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Dada una ecuación f(x) = 0, podemos
transformarla, de alguna manera, en
otra equivalente del tipo x = g(x) para
alguna función g. En este caso se tiene
que: a es raíz de f(x) = 0 ↔ f(a) = 0 ↔ a
= g(a) ↔ a es raíz de x = g(x).
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Un número a tal que a = g(a) se
dice un punto fijo de la función
g.
Cuándo una función g tiene un
punto fijo, y si lo tiene, cómo
encontrarlo?
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Si g es una función continua en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo xε[a, b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x ε[a, b], y |g’(x)| ≤ K < 1 para todo x ε[a, b], Kconstante, entonces g tiene un único punto fijo x ε[a, b]. La sucesión {xn}, con n definida, se encuentra mediante la fórmula de iteración:
xn=g(xn-1), n=1,2,3…..
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Un punto fijo de una función, g es un número p
tal que g(p)=p. El problema de encontrar las
soluciones de una ecuación f(x)=0 y el de
encontrar los puntos fijos de una función h(x) son
equivalentes en el siguiente sentido: dado el
problema de encontrar las soluciones de una
ecuación f(x)=0, podemos definir una función g
con un punto fijo p de muchas formas; por
ejemplo, f(x)=x-g(x). En forma inversa, si la
función g tiene un punto fijo en, p entonces la
función definida por f(x)=x-g(x) posee un cero en
p.
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El método de punto fijo inicia con una
aproximación inicial X0 y Xi+1=g(Xi) genera una
sucesión de aproximaciones la cual converge a la
solución de la ecuación f(x)=0. A la función g se
le conoce como función iteradora. Se puede
demostrar que dicha sucesión <Xn> converge
siempre y cuando |g’(x) <1|.
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EjemploUsando el método de punto fijo vamos a aproximar la soluciónde la ecuación
X3+4X2-10=0 dentro del intervalo [1,2].
Lo primero es buscar una función g(x) adecuada
x3+4X2-10=0
x2(x+4)=10
x=
Y claramente elegimos como función iteradora a
g(x)=
además observe que
Para toda x€ [1,2], lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.
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1. En la celda A5 escribimos nuestraaproximación inicial, en este caso 2.
2. En la celda A6 escribimos la fórmulaque calculará las aproximaciones:
=raiz(10/(A5+4))
3. Por último arrastramos la celda A6para generar las restantesaproximaciones.
Una desventaja potencial del método de punto fijo esque la elección de la función iteradora g(x) no siemprees fácil.
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Algoritmo
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Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de, f(x)=cos x-x f(x) comenzando con Xo=0 y hasta que |Ea|<1%.
Solución
Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz.
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,
x1=g(x0 )=cos 0=1
Con un error aproximado de 100%
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Aplicando nuevamente la fórmula iterativa
tenemos,
x1=g(x1 )=cos 1=0.540302305
Y un error aproximado de 85.08%.
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Intuimos que el error
aproximado se irá reduciendo
muy lentamente. En efecto, se
necesitan hasta 13 iteraciones
para lograr reducir el error
aproximado menor al 1%. El
resultado final que se obtiene
es:
Con un error aproximado
igual al 0.78%.
x13=0,907447
cos 0 1,000000cos 1 0,540302cos 2 -0,416147cos 3 -0,989992cos 4 -0,653643cos 5 0,283662cos 6 0,960170cos 7 0,753902cos 8 -0,145500cos 9 -0,911130cos 10 -0,839071cos 11 0,004426cos 12 0,843853cos 13 0,907447cos 14 0,136737cos 15 -0,759687cos 16 -0,957659cos 17 -0,275163cos 18 0,660317cos 19 0,988704cos 20 0,408082