PUENTE DE WHEATSTONE

Las mediciones más precisas de la resistencia se obtienen con un circuito llamado puente de Wheatstone, en honor del físico británico Charles Wheatstone. Este circuito consiste en tres resistencias conocidas y una resistencia desconocida, conectadas entre sí en forma de diamante. Se aplica una corriente continua a través de dos puntos opuestos del diamante y se conecta un galvanómetro a los otros dos puntos. Cuando todas las resistencias se nivelan, las corrientes que fluyen por los dos brazos del circuito se igualan, lo que elimina el flujo de corriente por el galvanómetro. Variando el valor de una de las resistencias conocidas, el puente puede ajustarse a cualquier valor de la resistencia desconocida, que se calcula a partir los valores de las otras resistencias. Se utilizan puentes de este tipo para medir la inductancia y la capacitancia de los componentes de circuitos. Para ello se sustituyen las resistencias por inductancias y capacitancias conocidas. Los puentes de este tipo suelen denominarse puentes de corriente alterna, porque se utilizan fuentes de corriente alterna en lugar de corriente continua. A menudo los puentes se nivelan con un timbre en lugar de un galvanómetro, que cuando el puente no está nivelado, emite un sonido que corresponde a la frecuencia de la fuente de corriente alterna; cuando se ha nivelado no se escucha ningún tono.

Analizando:

EBA=EBC ó I 1 Z1=I 2 Z2 …(1)

Donde se cumple que:

I 1=E

Z1+Z3

….(2)

I 2=E

Z2+Z4

….(3)

Reemplazando (2) y(3) en (1) se obtiene:

Z1 Z 4=Z2 Z3

En función de las admitancias se obtiene:

Y 1 Y 4=Y 2Y 3

Además debe cumplirse:

∠θ1+∠θ4=∠θ2+∠θ3

MEDICION DE INDUCTANCIAS APLICANDO EL MODELO PARALELO.

Deseamos medir los parámetros de un inductor real cuyo modelo circuital es una inductancia con una resistencia en paralelo. El puente más apropiado para realizar este tipo de mediciones (suponiendo que Q no es muy alta ni excesivamente pequeña) es el presentado en la Figura 7.Las ecuaciones cuando se cumple la condición de equilibrio son:

Fig. 7.- Medición de inductancias aplicando el modelo paralelo.

R3 R2=Z1 ZP=Z1

Y P

…(1)

Y P=Z1

R2 R3

…(2)

( 1RP

−j

w LP)= 1

R2 R3(R1−

jw C1

)…(3)

De donde:

RP=R2 R3

R1

…(4)

LP=R2 R3C1 …(5)

Q= 1w R1C1

…(6)

MEDICION DE CAPACITANCIAS APLICANDO EL MODELO SERIE.

El puente más apropiado para realizar las mediciones de los parámetros de un condensador real utilizando el modelo serie es el presentado en la Figura 8.

Fig. 8.- Medición de capacitancias aplicando el modelo serie.

Las relaciones que se cumplen cuando el puente está balanceado son:

R3(RX−j

w C X)=R2(R1−

jw C1

)…(1)

De donde:

RX=R1 R2

R3

….(2)

CX=R3

R2

C1 …(3)

Q= 1w R1C1

….(4 )

PUENTE DE MAXWELL

Dado un inductor real, el cual puede representarse mediante una inductancia ideal con una resistencia en serie (LX, RX), la configuración del puente de Maxwell permite determinar el valor de dichos parámetros a partir de un conjunto de resistencias y un condensador, ubicados de la forma mostrada en la Figura 3.

Fig. 3.- Puente de Maxwell para medir los parámetros de un inductor.

El hecho de utilizar un capacitor como elemento patrón en lugar de un inductor tiene ciertas ventajas, ya que el primero es más compacto, su campo eléctrico externo es muy reducido y es mucho más fácil de blindar para protegerlo de otros campos electromagnéticos.La relación existente entre los componentes cuando el puente está balanceado es la siguiente:

Z1 Z X=Z2 Z3 … (1 )

Z1 Z X=R2 R3 …(2)

ZX=R2 R3 Y 1… (3)

Y 1=1R1

+ jwC1 …(4)

RX+ jw LX=R2 R3( 1R1

+ jwC1)… (5)

RX=R2 R3

R1

…(6)

LX=R2 R3C1… (7)

Q=w R1C1 ….(8)

En primer lugar, podemos observar que los valores de Lx y Rx no dependen de la frecuencia de operación, sino que están relacionados únicamente con los valores de C1 y R1, R2 Y R3. Por otra parte, existe una interacción entre las resistencias de ajuste, ya que tanto R1 como R3 intervienen en la ecuación de Rx, mientras que en la de Lx solo interviene R3. De acuerdo con esto, es necesario realizar varios ajustes sucesivos de las dos resistencias variables hasta obtener la condición de cero en el detector. Por lo tanto, el balance de este tipo de puente resulta mucho más complejo y laborioso que el de un puente de Wheatstone de corriente continua.El puente tipo Maxwell también se utiliza para determinar el valor de condensadores reales cuyo modelo circuital consta de una conductancia ideal en paralelo con una resistencia que representa las pérdidas óhmicas. La configuración del circuito en este caso es la presentada en la Figura 4.

Fig. 4.- Puente de Maxwell para medir los parámetros de unCondensador.

La ecuación en la condición de equilibrio es:

Z1 R2=Z X R3 … (1 )

Y X R2=Y 1 R3 …(2)

Y X=R3

R2

Y 1 …(3)

Y 1=1R1

+ jwC1 …(4)

RX+ jw CX=R3

R2 ( 1R1

+ jw C1)…(5)

De donde:

RX=R1 R2

R3

…(6)

CX=R3

R2

C1 …(7)

Q=w R1C1 ….(8)

Como en el caso anterior, los valores de Cx y Rx son independientes de la frecuencia, e igualmente existe interacción entre los elementos de ajuste, debido a que ambos aparecen en la expresión de Rx.Si los parámetros de ajuste fuesen R1 y C1 en lugar de R1 y R3, desaparecería la interacción presente actualmente. La desventaja de un puente en el que el elemento variable es un condensador es el hecho de que resulta difícil hallar capacitoresvariables de precisión con valores comprendidos dentro de un rango adecuado para poder hacer un diseño de este tipo.La configuración del Puente de Maxwell ofrece muy buenos resultados siempre y cuando la Q del circuito no sea demasiado grande, esto es, mientras R1 del inductor no sea muy pequeña o Rx del condensador no sea excesivamente grande, ya que en caso contrario, R1 debería tomar valores mayores que los que ofrecen las resistencias

de ajuste disponibles. En estos casos es necesario utilizar otro tipo de configuración, que analizaremos a continuación.

PUENTE DE HAY

La configuración de este tipo de puente para medir inductores reales, cuyo modelo circuital consta de una inductancia en serie con una resistencia es la mostrada en la Figura 5.

Fig. 5 .- Puente de Hay para medir los parámetros de un inductor.

La ecuación de balance para este puente es la siguiente:

(R1− j1

wC1) ( RX+ jw LX )=R2 R3 …(1)

Esta ecuación puede separarse en las siguientes:

R1 R X+LX

C1

=R2 R3 …(2)

R1 w LX−RX

wC1

=0…(3)

De donde:

LX=R2 R3C1

1+w2 C12 R1

2 …(4)

RX=w2 C1

2 R1 R2 R3

1+w2C12 R1

2 …(5)

Q= 1w C1 R1

…(6)

Como podemos observar, los valores de Lx y Rx además de depender de los parámetros del puente, dependen de la frecuencia de operación y las expresiones para calcular L x y Rx son complejas.

Ahora bien, en el punto anterior indicamos que esta configuración la vamos a utilizar cuando el valor de Q sea elevado, ya que en caso contrario es conveniente emplear el puente de Maxwell. Como Q=1/wC1R1, cuando Q>>l, podemos considerar que losdenominadores tanto de Lx como de Rx son igual a 1, sin introducir en la medición del inductor un error mayor que el debido a la exactitud con la que se conoce el valor real de los otros elementos del puente.Con esta aproximación, las fórmulas para Lx y Rx son:

LX=C1 R2 R3… (7)

RX=w2C12 R1 R2 R3 …(8)

Utilizando estas relaciones se puede calcular el valor de Lx y Rx en forma mucho mas directa. Podemos considerar que a partir de Q=10, este valor es lo suficientemente grande como para realizar la aproximación.Para medir condensadores reales, cuya representación circuital es una capacitancia en paralelo con una resistencia, la configuración del puente de Hay es la mostrada en la Figura 6.

Fig. 6.- Puente de Hay para medir los parámetros de un condensador.

Las relaciones que se cumplen cuando el puente está balanceadoson:

R2(R1− j1

w C1)=R3 Z X …(9)

R3

R2

=(R1− j1

w C1 )( 1RX

+ jwC X)…(10)

De donde:

R1

R X

+C1

C X

=R3

R2

…(11)

R1 w CX−1

w C1 R1

=0 …(12)

Despejando Cx y Rx obtenemos:

CX=R3

R2

.C1

(1+w2 R12 C1

2)…(13)

RX=R2(1+w2 R1

2 C12)

w2 C12 R1 R3

…(14 )

Q= 1w C1 R1

…(15)

Como en el caso anterior, si Q>>1, las ecuaciones de Cx y Rx sepueden simplificar de la siguiente forma:

CX=R3

R2

C1 …(16)

RX=R2

w2 C12 R1 R3

…(17)

PUENTE DE SCHERING

Mientras que los puentes de Maxwell-Wien, Owen y Hay se emplean para medir inductores, los puentes de Wien y Schering se emplean para medir condensadores. El puente de Schering se emplea sobre todo para medir la fuga en condensadores de alta Tensión.

Para medir capacitores en circuitos donde el ángulo de fase es casi de 90º, el puente de Schering da las lecturas más exactas.En el Diagrama de la figura1. Zx es un condensador en serie con una resistencia (objeto de la medida); Z1 está formada por un condensador variable en paralelo con una resistencia variable, que tienen por fin ajustar el puente (hacer que la tensión del puente sea nula) Z2 es una resistencia; Z3 es un condensador;Donde se especifica Vs podría estar colocado un galvanómetro o sensor. La idea consiste en variar los componentes de la impedancia Z2 hasta obtener la condición de equilibrio de este puente (Vs=0 o usando un galvanómetro I=0). No es muy diferente a otros puentes como el de Weatstone por lo que la ecuación para la condición de equilibrio y obtención de la capacitancia desconocida resulta ser fácil de deducir, solo

que en este caso se trabaja con impedancias (Medida en ohmios, se refiere a la combinación entre la resistencia y la reactancia en un circuito eléctrico).El equilibrio ocurre cuando el Voltaje entre los puntos A y B (VAB) es igual al voltaje entre los puntos A y C (VAC) siendo los voltajes VDB y VDC también iguales.

V AB=V AC o ´ V DB=V DC …(1)

I 1 Z1=I2 Z2 …(2)

I 1=I3=E

Z1+Z3

… (3)I 2=I 4=E

Z2+ZX

… (4 )

Para que la tensión en VS =0.

Reemplazamos (3) y (4) en (1):

ZX=Z2

Z1

. Z3… (5)

De la figura 2 se deduce:

ZX=RX + 1jwC X

…(6)Z1=R1

(1+ jwC1 . R1 )…(7)

Z2=R2 …(8)

Z3=1

jwC3

…(9)

Reemplazando (6), (7),(8) y (9) en 5 se deduce que:

RX=C1 .R2

C3

… (10)

CX=C3 .R1

R2

… (11)