PRUEBAS DE HIPOSTESIS Y SIGNIFICANCIAHiptesis estadsticas. Hiptesis nula.Las hiptesis de estadsticas son suposiciones o conjeturas sobre las poblaciones involucradas son planteamientos sobre la distribucin de probabilidad de las poblaciones.Pruebas de hiptesis y significancia Si suponemos que cierta hiptesis es verdadera pero encontramos que los resultados de una muestra aleatoria difieren marcadamente de los esperados bajo la hiptesis sobre la base del azar de la teora del muestreo podremos decir que las diferencias observadas son significativas y nos inclinamos a rechazar la hiptesis. Errores de tipo I y tipo IIY si rechazamos una hiptesis cuando da la casualidad que es verdadera, decimos que se ha cometido un error de tipo I si por el contrario, aceptamos una hiptesis cuando esta a debido rechazarse, decimos que se ha cometido un error del tipo II. Para que cualquier prueba de hiptesis o las reglas de decisin sean adecuadas, se deben disear de manera que reduzcan los errores de la decisin. La nica manera de reducir ambos tipos de error es incrementando el tamao de la muestra. Lo cual puede o no ser posible.Nivel de significanciaAl probar una hiptesis dada, la probabilidad mxima con la que queremos tomar el riesgo de un error tipo se lIama nivel de significancia de la prueba. Esta probabilidad se especifica antes de que se hayan tomado muestras, para que los resultados obtenidos no influyan en nuestra decisin. Pruebas que involucran la distribucin normalPara ilustrar la ideas presentadas anteriormente, supongamos que bajo cierta hiptesis la distribucin muestral de estadstico S tiene distribucin normal con media s y desviacin estndar s. De igual manera, supongamos que decidimos rechazar la hiptesis si S es muy grande o pequea. La distribucin de la variable estandarizadas Z = (S - s) / s es la distribucin, y los valores extremos de Z pueden llevar al rechazo de la hiptesis.Pruebas de una o dos colas En la prueba anterior nos interesamos en los valores extremos del estadstico S o en su correspondiente valor Z a ambos lados de la media, es decir, en ambas colas de distribucin. Por esta razn tales pruebas reciben el nombre de pruebas de dos colas o pruebas bilaterales. El valor de P La hiptesis nula H0 ser una afirmacin de que cierto parmetro de una poblacin tiene un valor especfico, la hiptesis alterna H1 ser alguna de las siguientes afirmaciones: A) el parmetro es mayor que el valor indicado (prueba de cola derecha). B) el parmetro es mayor que el valor indicado (prueba de cola izquierda). C) el parmetro es mayor o menor que el valor indicado (prueba de dos colas). Pruebas especiales de significancia de pruebas grandesPara muestras grandes, muchos estadsticos S tienen distribuciones casi normales con media y desviacin estndar s. En tales casos podemos usar los resultados anteriores para formular reglas de decisin para las pruebas de hiptesis y significancia.

DISTRIBUCIN t DE STUDENTSi son +1 variables normales estndares independientes, la estadstica.Ecuacin (10.10) Se dice que tiene una distribucin t de Student, o simplemente t, con grados de libertad. Advirtase que la variable t es una razn de la variable normal estndar a la raz cuadrada de una variable chi cuadrado dividido por su nmero de grados de libertad. Es decir (10.10) es equivalente a . Nuevamente, el numerador y el denominador de (10.10) son independientes.Hay una distribucin t correspondiente a cada entero positivo. La funcin densidad para se da como Ecuacin (10.11)

Dos curvas de densidad para distribuciones t, con un y otra con , son representativas grficamente contra la distribucin normal estndar Grfica (10.5). Mencionemos ahora algunas propiedades importantes de las distribuciones t.1. Como una variable normal, una variable t varia de valor de 2. Una distribucin t es simtrica con (10.12) y

(10.13)

As una distribucin t no posee media cuando y no posee variancia cuando .3. Una distribucin t es similar a la distribucin normal estndar porque ambas varan en valor de , ambas son simtricas y ambas tienen media cero; sin embargo, una distribucin t tiene una mayor dispersin que la distribucin normal. Esta propiedad puede verse fcilmente de la desviacin estndar de , que es . Esta cantidad es siempre mayor que uno, pero se acerca a uno a medida que aumenta . En la prctica, podemos tratar como n (0,1) cuando .El cuadro X del apndice C otorga valores crticos en los extremos de ambas colas de distribuciones t para algunos puntos porcentuales para algunos puntos porcentuales escogidos. Por ejemplo, si X es , entonces Grafica (10.5)

De esto vemos que Y (Vase figura (10.5) para Anlogamente, si X es , tenemos que

Y as sucesivamente. En realidad, los encabezados columnares del cuadro X son niveles de significacin para pruebas bilaterales. Las anotaciones en el cuerpo son los valores crticos de para tales pruebas. Si deseramos tener una prueba de una sola cola con, por ejemplo , el valor critico se halla en la columna con para el numero apropiado de gl. Por ejemplo, , el nmero -1.725 se halla en la columna encabezada por 0.10 correspondiente a .Habiendo tratado las propiedades de las distribuciones , F y t, consideremos ahora sus aplicaciones. Estos modelos de probabilidades pueden emplearse para trabajo diferencial en una gran variedad de situaciones. Rigurosamente se puede aplicar a inferencias estadstica acerca de las variancias de poblacin, acerca de la comparacin entre dos variancias de poblacin y acerca de las medidas de poblacin en el supuesto de que las variancias de poblacin sean desconocidas.

Problemas. Una prueba de resistencia al rompimiento de 6 cuerdas fabricadas por una compaa mostro una resistencia promedio de 7750 lb con desviacin estndar de 145 lb, mientras que el fabricante reclama que sta es de 8000 lb. Podemos apoyar la queja del fabricante con un nivel de significancia del (a) 0.05, (b) 0.01 Cul es el valor de P de la prueba?

Debemos decidir entre las hiptesisH0: =8000 lb, y la queja del fabricante es justificadaH1: 8000 lb, y la queja del fabricante no es justificadaAs que se requiere una prueba de una cola.Bajo la hiptesis H0 tenemos

(a) Para una prueba de una cola con nivel de significancia de 0.05, adoptamos la regla de decisin:(1) Aceptar H0 si T es mayor que t0.95, que para 6 1 = 5 grados de libertad significa T 2.01.(2) De otra manera rechazar H0.Dado que T = 3.86, rechazamos H0.(b) Para una prueba de una cola con nivel de significancia de 0.01, adoptamos la regla de decisin: (1) Aceptar H0 si T es mayor que t0.99, que para 5 grados de libertad significa T > 3.36.(2) De otra manera rechazar H0.Dado que T = 3.86, rechazamos H0.Concluimos que es extremadamente improbable que la queja del fabricante sea justificada.(c) El valor de P es P (T 3.86.) La tabla en el apndice D muestra 0.005 P 0.01. Usando programas de computador, P = 0.006.