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Pruebas de Acceso a la Unversidad

Matemáticas II

� Resultados estadísticos-Andalucía 2017.

• Septiembre de 2017. o Examen y criterios de corrección.

o Comentarios de los correctores.

• Junio de 2017. o Examen y criterios de corrección.

















Resultados de las Pruebas de Acceso y Admisión a la Universidad de la asignatura Matemáticas II

en el Distrito Único Andaluz en el curso 2016-17.

Resultados antes de revisión y sin incluir exámenes de coincidencias ni de incidencias.

1.- Datos generales:

Junio-2017 Presentados % Aprobados Notas medias

Almería 1295 77,30 6,56

Cádiz 2379 67,55 5,85

Córdoba 1658 77 6,49

Granada 2507 71,8 6,03

Huelva 807 67,78 5,87

Jaén 1546 73,86 5,98

Málaga 2766 71,48 6,11

Sevilla UPO 518 59,85 5,40

Sevilla US 3452 69,41 6,12

A�DALUCÍA 16928 71,22 6,09

Septiembre-2017 Presentados % Aprobados Notas medias

Almería 203 26,11 3,22

Cádiz 385 37,40 3,85

Córdoba 312 39,42 4,34

Granada 468 38,8 4,09

Huelva 155 18,71 3,22

Jaén 224 32,58 3,68

Málaga 443 36,79 4,08

Sevilla UPO 104 24,04 3,43

Sevilla US 585 36,07 4,02

A�DALUCÍA 2879 34,82 3,91

2.- Datos específicos sobre ejercicios y opciones:

Conv Opción Universidad % Elección

opción

Medias en

cada opción

Medias en cada ejercicio

Ejerc.1 Ejerc.2 Ejerc.3 Ejerc.4

Jun

io2

017

A

UAL 54,90 6,38 1,11 2,20 1,23 1,85

UCA 59,44 5,65 0,86 1,96 1,14 1,69

UCO 57 6,18 1,1 2,06 1,19 1,82

UGR 51,9 5,9 1,08 1,95 1,23 1,67

UHU 60,22 5,68 0,95 1,96 1,09 1,68

UJA 55,49 5,80 0,94 2,01 1,14 1,72

UMA 55,57 5,92 1,07 2,01 1,11 1,73

UPO 58,30 5,24 0,72 1,86 0,97 1,68

US 59,84 5,88 1,04 1,92 1,17 1,75

B

UAL 45,10 6,72 1,87 1,20 1,97 1,67

UCA 40,56 6,16 1,84 0,94 1,90 1,48

UCO 43 6,92 1,94 1,26 2,05 1,67

UGR 48,1 6,16 1,79 1,07 1,83 1,47

UHU 39,78 6,15 1,83 0,98 1,88 1,47

UJA 44,51 6,19 1,83 0,95 1,94 1,47

UMA 44,43 6,34 1,90 1,04 1,91 1,49

UPO 41,70 5,62 1,68 0,95 1,68 1,31

US 40,16 6,20 1,78 1,00 1,97 1,45

Conv Opción Universidad % Elección

opción

Medias en

cada opción



Sep

tiem

bre

20

17

A

UAL 25,12 3,95 0,73 1,02 1,04 1,16

UCA 26,75 4,73 0,87 1,87 1,46 1,33

UCO 31 5,14 0,94 1,14 1,51 1,54

UGR 32,69 4,26 0,71 0,90 1,43 1,14

UHU 30,32 3,40 0,58 0,79 1,04 0,99

UJA 33,03 4,54 0,73 1,09 1,36 1,36

UMA 29,35 4,62 0,84 1,16 1,33 1,30

UPO 18,27 4,06 0,74 0,92 1,30 1,09

US 28,98 4,83 0,78 1,23 1,55 1,34

B

UAL 74,88 2,97 0,62 0,51 0,96 0,91

UCA 73,25 3,54 0,83 0,61 1,10 1,00

UCO 69 3,97 0,87 0,78 1,14 1,17

UGR 67,3 3,91 0,92 0,76 1,10 1,13

UHU 69,68 3,15 0,69 0,41 1,06 0,99

UJA 66,97 3,25 0,81 0,48 0,94 1,01

UMA 70,65 3,86 1,04 0,63 1,15 1,03

UPO 81,73 3,29 0,77 0,56 0,97 0,98

US 71,02 3,97 0,89 0,78 1,18 1,17

3.- Algunos gráficos:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Almería Cádiz Córdoba

PEVAU Andalucía 2017. Matemáticas IIPorcentajes de Aprobados

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Almería Cádiz Córdoba

PEVAU Andalucía 2017. Matemáticas II

Córdoba Granada Huelva Jaén Málaga Sevilla UPO Sevilla US

PEVAU Andalucía 2017. Matemáticas IIPorcentajes de Aprobados

Córdoba Granada Huelva Jaén Málaga Sevilla UPO Sevilla US

PEVAU Andalucía 2017. Matemáticas IINotas Medias

Sevilla US ANDALUCÍA

jun-17

sept-17

Sevilla US ANDALUCÍA

jun-17

sept-17

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

E1

PEVAU Andalucía JUNIO 2017. Matemáticas IINota media por Ejercicio y Opción

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

E1

PEVAU Andalucía SEPTIEMBRE 2017. Matemáticas IINota media por Ejercicio y Opción

E2 E3 E4

PEVAU Andalucía JUNIO 2017. Matemáticas IINota media por Ejercicio y Opción

E2 E3 E4

PEVAU Andalucía SEPTIEMBRE 2017. Matemáticas IINota media por Ejercicio y Opción

OPCIÓN A

OPCIÓN B

OPCIÓN A

OPCIÓN B

fernando

Cuadro de texto

SEPTIEMBRE

Comentarios de los correctores. Matematicas II.Septiembre 2017. Universidad de Sevilla.

1. Sobre el examen.

2. Sobre las opciones.

3. Sobre los criterios de correccion.

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)

Corrector 1.

1. Sobre el examen.




• Creo que el 80% de los alumnos/as corregidos han elegido la opcion B para evitarhacer el problema de optimizacion. Los que han optado por la opcion A, engeneral, han obtenido unas calificaciones aceptables.

• Muchos alumnos/as han perdido mucho tiempo haciendo el problema 3 (b) de laopcion B intentando calcular la potencia del producto de matrices. Muy pocoshan utilizado las propiedades de los determinantes.

• Otro error muy comun se ha producido al calcular la ecuacion de la recta normalen el ejercicio 1 (b) de la opcion B. No sabıan que hacer cuando la pendiente ledaba 1 / 0 .

Corrector 2.

1. Sobre el examen.




• Gran parte del alumnado entiende que “la menor cantidad posible de papel” seresuelve considerando el perımetro en lugar del area.

• Asumen que el paralelogramo es un rectangulo o un cuadrado. Otro error comunen este ejercicio es no considerar consecutivos los vertices del paralelogramo.

• Hay una gran cantidad de errores en la resolucion de ecuaciones exponenciales.

1

• Gran parte del alumnado, para determinar el plano que pasa por un punto ycontiene a una recta, hallan el plano perpendicular a la recta que contiene alpunto.

Los 4 correctores restantes no aportan comentarios.

Los ponentes, Saul Valverde Perez y Fernando Mayoral Masa, agradecen a los vocalescorrectores los comentarios anteriores.

2

fernando

Cuadro de texto

JUNIO

Comentarios de los correctores. Matematicas II.Junio 2017. Universidad de Sevilla.

1. Sobre el examen.




Corrector 1. Fernando Mayoral. Por razones obvias no hare comentarios sobrelos tres primeros aspectos que se consideran.

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)Como comentario general cabe citar la sensacion de que parece haber sido moda ensegundo de bachillerato el no simplificar conforme se van haciendo operaciones. Estoda como resultado el arrastrar “castillos de operaciones” que llegado un determinadomomento no hay mas remedio que simplificar, con los errores esperables.

Entre las cuestiones generales tambien cabe citar, otra vez, el deterioro en el calculosimbolico y en el manejo de la nomenclatura estandar: no poner lim o la diferencial enel calculo de primitivas, no poner parentesis en un integrando, mezclar las diferencialescuando se hace un cambio de variable, no distinguir entre matriz y determinante, etc.

Algunos de los errores mas comunes han sido los siguientes.

OPCION A:

• Ejercicio 1.

– Confundir el area de un rectangulo con la de un triangulo.

– Mezclar area del rectangulo con longitud de la semicircunferencia y perımetrode la parte rectangular con area del semicırculo.

∗ En otro nivel de errores esta el dejar la funcion a miniminar en funcion dedos variables (base y altura de rectangulo o base del rectangulo y radio delsemicırculo). En dichos casos, para buscar el mınimo se deriva un sumandorespecto a una de ellas y otro respecto a la otra. Y se iguala a cero, claro.

• Ejercicio 2.

a) Me resulta dıficil comprender que en segundo de bachillerato se representenparabolas (dadas por funciones explıcitas y = ax2 + bx + c) “dando val-ores”. En algunos casos se toman hasta seis u ocho valores de x. Esto, juntocon errores en los calculos, hace que se obtengan graficas tan raras comouno pueda imaginarse. Las “parabolas casi rectas” no son, ni de lejos, lasparabolas mas raras con las que me he encontrado. En algun caso el recintose parecıa a un rectangulo con algun lado curvilıneo, y dos lados sobre losejes coordenados.

1

b) El error habitual al expresar un area como una integral definida: intercambiarlos papeles de las graficas que determinan el recinto. Ademas de las cuestionesde notacion: no usar parentesis, no poner dx.

c) Errores producidos por no usar parentesis.

• Ejercicio 3.

a) Los principales errores han sido fruto de los errores aritmeticos surgidos alaplicar la regla de Sarrus para calcular el determinante de A+λI, en lugar dedesarrollar por la ultima fila o la ultima columna. Tambien ha habido quienha considerado que la matriz identidad es la matriz con todos sus elementosiguales a 1.

b) El principal error proviene de considerar que en la igualdad AX = −3X elsegundo miembro −3X es un termino independiente. Esto lleva a considerarque al multiplicar por A−1 en ambos miembros por la izquierda, y obtenerX = −3A−1X, se esta resolviendo algo.Tambien aparece varias veces un error de “incoherencia”. Por una parte,fruto de un error en algun calculo (y de no considerar el apartado (a)), seobtiene que la unica solucion es la solucion nula. Por otra, se obtiene que hayuna solucion con x = 1.

• Ejercicio 4.

a) El principal error ha sido el calcular el plano que es perpendicular a r y pasapor P , en lugar del que contiene a r.

b) Ha habido casosen los que, sin ningun criterio aparente, se ha cogido un puntode la recta y se ha querido obtener el simetrico de P respecto a r imponiendoque dicho punto sea el punto medio entre p y su simetrico respecto a r.

OPCION B:

• Ejercicio 1.

a) Algunos casos de errores en las ecuaciones de las asıntotas: decir que laasıntota vertical es y = 1, decir que la oblıcua es x+ 1.

b) El principal error ha sido el no tener en cuenta el punto de discontinuidad dela funcion a la hora de determinar los intervalos de monotonıa.

• Ejercicio 2. Ademas de los errores formales por mezclar variables, los erroresesperables:

- Hacer mal el cambio de variable debido a derivar, mal, t = 4√x en lugar de

utilizar x = t4.

- Manipular mal la funcion racional que se obtiene en t.

• Ejercicio 3.

a) La cuestion fundamental es que, en algunos casos, no se responde a lo que sepregunta. Se hacen calculos para estudiar el sistema que resulta, pero no seinterpreta lo que significa lo que se obtiene.

2

b) Nada digno de mencion. La mayorıa de los errores han sido los aritmeticos.Principalmente se han debido a un intento de resolucion desordenada delsistema.

• Ejercicio 4.

a) Algunos casos en los que la condicion de ortogonalidad se impone igualando acero el vector cuyas coordenadas son los productos, coordenada a coordenada,de los vectores involucrados.

b) No considerar el valor absoluto en la formula del volumen del tetraedro.

Corrector 2.

• Numerosos fallos en la simplificacion de fracciones (no sacan factor comun antes desimplificar, no saben dividir una fraccion entre otra. . . )

• No saben la formula del area y perımetro del cırculo, o las confunden entre sı.

• Sustituyen un valor aproximado de π en la funcion, y luego continuan el resto delproblema con datos aproximados.

• Consideran que hay asıntotas verticales en los puntos que anulan el denominador, sincalcular lımites para comprobarlo.

• Estudian muchas caracterısticas para representar una parabola (monotonıa, curvatura,extremos, ¡hasta asıntotas!...)

• Confunden corte entre graficas con corte con los ejes.

• Al hacer un cambio de variable, cambian el integrando, pero no los lımites de inte-gracion, que se mantienen iguales.

• Resuelven matricialmente un sistema que no tiene solucion unica, en el que no se puedehacer la inversa.

Corrector 3.

1. Sobre el examen. Nivel de dificultad adecuado.

2. Sobre las opciones. En principio parecıan dos opciones totalmente equilibradas.De los dos problemas de calculo, uno de ellos con cierta dificultad (problema de opti-mizacion en la opcion A, y la integral en la opcion B) y el otro mas sencillo.

Los problemas de geometrıa analıtica con el mismo nivel de dificultad en las dos op-ciones.

Los problemas de algebra lineal parecıan del mismo nivel pero en la practica el dela opcion A ha resultado mucho mas complicado. A mi entender por dos motivos.Primero, muchos errores al calcular el determinante de A+ λI y segundo, en ningunode los examenes corregidos se relaciona el apartado (a) del problema con el apartado(b). Ademas, en muchos examenes se hace uso de la inversa de A para intentar resolverel sistema AX = −3X.

3

3. Sobre los criterios de correccion. Me parecen adecuados, pero el hecho de quepequenos errores modifiquen sustancialmente los problemas y haya que seguir anali-zando lo que obtienen, dificulta la correccion. Ademas, de la misma forma que pequenoserrores en las cuentas apenas si penalizan, creo que errores graves deberıan penalizar.Por ejemplo, en el ejercicio 2 de la opcion B es frecuente encontrarse con el error

1

a+ b=

1

a+

1

b. Una vez hecha esa cuenta las integrales que quedan resultan sencillas

de calcular.

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...) Algunos comentarios sobrelos examenes.

a) Muchos errores al calcular el determinate de A + λI porque todo el mundo localcula con la regla de Sarrus. Nadie lo calcula mediante los adjuntos de unalınea y aprovecha los ceros de la matriz y el factor (λ− 2) que ya le da uno de losvalores que anulan el determinante.

b) Nadie simplifica las cuentas. Pongo un ejemplo para aclararlo. En el ejercicio 1

de la opcion A, del dato xh+ πx2

8= 16 se deduce que h =

16− πx2

8x

=16

x− πx

8con lo que el perımetro es

p(x) = πx

2+ x+ 2h = π

x

2+ x+

32

x− πx

4

= πx

4+ x+

32

x.

La derivada de esta funcion es p′(x) =π

4+ 1− 32

x2. Por tanto,

p′(x) = 0⇐⇒ 32

x2=π + 4

4⇐⇒ x2 =

128

π + 4.

Las cuentas que hacen casi la totalidad de los alumnos son las siguientes.

p(x) = πx

2+ x+ 2h = π

x

2+ x+

32− 2πx2

8x

=πx2 + 2x2 + 64−4πx2

8

2x

con lo que

p′(x) =

(2πx+ 4x− 8πx

8

)2x− 2

(πx2 + 2x2 + 64−4πx2

8

)4x2

= ....

y a partir de aquı (o antes) empiezan los errores.

4

c) Un comentario de menor importancia. En el ejercicio 4 de la opcion A, los puntosque aparecıan implicados P (1,−1, 0) y Q(1,−2, 0) ∈ r tenıan coordenadas muyparecidas. Algunos alumnos han tomado las coordenadas de uno cuando (posi-blemente) estaban pensando en el otro. Asımismo las ecuaciones del plano quecontiene a r (x− 3z − 1 = 0) y del plano perpendicular a r (3x+ z − 3 = 0) sonmuy parecidas. Seguramente se podrıan poner los datos de otra forma para queno haya lugar a estos errores.

d) En la opcion B, ejercicio 3, apartado (a). Nadie utiliza el metodo de Gauss.Algunos, pero muy pocos, usan el teorema de Rouche-Frobenius y la mayorıaresuelven el sistema usando el metodo de sustitucion y cuando llegan a la ecuacion0y = 0 deducen que y = 0. Lo mismo ocurre en la opcion A, ejercicio 3, apartado(b).

e) Para una gran mayorıa de alumnos la derivada de y = 4√x es y′ =

1

4 4√x.

Corrector 4.

1. Sobre el examen. Respecto al examen, me parecio facil, y creo que debe ser ası.

2. Sobre las opciones. Las opciones han estado equiibradas

3. Sobre los criterios de correccion. Los criterios de correccion han sido muy claros.

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)Los principales errores han sido varios:

• No se saben formulas de areas y perımetros de circunferencias.

• No utilizan parentesis.

• No utilizan notacion adecuada, por ejemplo en sistemas de ecuaciones.

• En la integral, no han visto que t2 =√x.

• No se sabıan la formula del volumen del tetraedro.

• El error de pensar que una asıntota vertical es cualquier valor que anula el de-nominador, sin demostrar los lımites.

• Utilizar L’Hopital para calcular los lımites de las asıntotas, sin justificar quepueden utilizarlo.

Corrector 5.

1. Sobre el examen. En mi opinion, en general el nivel de dificultad ha sido normal,en la lınea de otros anos. De hecho, las calificaciones de mis 150 examenes has sido:50 con menos de 5, 24 de 5 a 6, 21 de 6 a 7, 43 de 7 a 9, 12 mas de 9.

Particularmente, comentar que en el ejercicio 1 de la opcion A, el llamar a la puerta“rectangular” ha inducido a error dificultando la correcta realizacion del ejercicio segunhe comprobado corrigiendo las pruebas. A mi parecer hubiese sido preferible “Se quierehacer una puerta formada por un rectangulo coronado por un semicırculo, como la dela figura”.

5


La primera impresion que tuve al considerar las opciones es que la mayoritariamenteelegida iba a ser la A. Pense esto sabiendo los gustos y miedos de mi alumnado, hesido profesora de la materia de Matematicas II desde hace algunos anos ya. Me estoyrefiriendo a que en la opcion B estaba el ejercicio 2 con la temida integral con cambio devariable y el ejercicio 3 con un problema de planteamiento de ecuaciones, que aunquesencillo, no se trabaja tanto en el instituto como la recurrente discusion de sistema deecuaciones con parametro.

Habiendo corregido 150 pruebas, de ellas 79 de la opcion A y 71 de la opcion B,veo que no ha habido una opcion mayoritariamente elegida. Si bien el ejercicio 1 de laopcion A, de optimizacion, esta muy trabajado en el instituto (desde ya el primer cursode bachillerato), el de la prueba (considerando el semicırculo) no tenıa una solucionsencilla y requerıa calculos con raız y con el numero π, ası que supongo, quizas, estohizo que ambas opciones se equilibraran, pero solo estoy conjeturando.

3. Sobre los criterios de correccion. Me han parecido adecuados y me han ayudadoen la correccion.

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...) Los errores mas comunesque he encontrado son los siguientes:

OPCION A:

• Ejercicio 1.

- No se tiene en cuenta en el perımetro o en el area el semicırculo.

- Se aproxima el numero π.

- No se comprueba la condicion de mınimo.

• Ejercicio 2.

- No se indican explıcitamente los puntos de corte de las curvas.

• Ejercicio 3.

- Se suman incorrectamente las matrices (en vez de sumar se multiplica, perosolo en los elementos de la diagonal).

- Para el apartado (b) no tienen en cuenta el apartado (a).

- Se intenta despejar X en funcion de la inversa de A, perdiendose el tiempoen calcularla incluso. No se llega a nada porque a la derecha de la igualdadqueda tambien X.

• Ejercicio 4.

- Posiblemente porque en el apartado (b) se pide el simetrico respecto la recta,en el apartado (a) se calcula el plano perpendicular en vez del que contienea la recta.

OPCION B:

• Ejercicio 1.

6

• Ejercicio 2.

- No se cambian los extremos de integracion al hacer el cambio de variable.

- Se calcula incorrectamente dx.

• Ejercicio 3.

- No se responde explıcitamente a la pregunta del apartado (a).

• Ejercicio 4.

- No se plantea bien la formula del volumen del tetraedro. Se olvida dividirpor 6 y solo en tres pruebas de las corregidas se considera el valor absolutodel determinante.

Corrector 6.

1. Sobre el examen. Un aspecto que quiero comentar del enunciado del examen deselectividad es el siguiente. Al preguntar “calcula los extremos relativos...”, creo queestos podrıan calcularse sin especificar si son maximos o mınimos. Quiero decir queun alumno podrıa calcularlos y decir “los extremos relativos son blablabla”, y noespecificar si son maximos o mınimos. Creo que es una ambiguedad en el enunciado.

2. Sobre las opciones. Mas o menos, he corregido el mismo numero de examenes deambas opciones. Creo que las dos opciones son similares en dificultad/facilidad.


- El hecho de obtener puntos por cada cosa que hacen, de forma tan estructurada,hace que haya alumnos con buenas notas, a pesar de no hacer bien ningun ejerciciode forma completa. Puede plantear mal el perımetro y el area, pero si deriva bieny pone P ′(x) = 0 ya sumarıa 1 punto!

- Lo de hacer el dibujito de f ′ con flechas creciente y decreciente para comprobarque es maximo/mınimo es algo a cuidar, porque no es cierto si f ′ no es continua.

- Me parece demasiado dar tanta puntuacion al hecho de escribir las ecuaciones delsistema del ejercicio 3, opcion B.

- En el apartado b) del ejercicio 4 de la opcion B (tetraedro), muchos consiguenuna puntuacion alta a pesar de no hacer bien el ejercicio, por la estructura de loscriterios.


OPCION A:

• Ejercicio 1. Como se esperaba, hay diversas interpretaciones sobre que se consi-dera area y perımetro de la ventana.

• Ejercicio 2. Faltan muchas “ordenadas” en los puntos de corte.

• Ejercicio 3. Muchos alumnos olvidan el valor de λ obtenido a partir de Ruffini.Y el sistema AX = −3X se encabezonan en intentar resolverlo matricialmente,calculando A−1.

7

• Ejercicio 4. Creo que este es el ejercicio que mejor hacen.

OPCION B:

• Ejercicio 1. Muchos alumnos indican que el intervalo (0, 2) es de caracter decre-ciente, obviando que x = 1 no pertenece al dominio. Lo de las asıntotas lo hacenbastante bien, en general. Pero en algunos examenes se equivocan, afirmandoque hay asıntota horizontal, y directamente escriben que no puede haber asıntotaoblıcua (sin comprobarlo explıcitamente). Eso hace que pierdan 0.75 puntos!

• Ejercicio 2. Algunos examenes obvian la sugerencia.

• Ejercicio 3.

• Ejercicio 4. Casi ningun examen hace bien el apartado (b) del tetraedro. Elapartado (a) esta bien en bastantes examenes.

5. Otro comentario.

• Pedirıa, en proximos anos, algun dıa mas para corregir (aunque se que los plazosson muy ajustados).

Corrector 7.

1. Sobre el examen (dificultad,. . . ). El examen, en general de un nivel muy muy bajoen dificultad, en algun caso nivel de 3o de ESO, como es el caso de plantear ecuaciones.

2. Sobre las opciones (equilibradas o no,. . . ). La segunda opcion era mas facil, sicabe, que la primera, pero las dos son de un nivel de dificultad muy muy bajo.

3. Sobre los criterios de correccion. La pregunta sobre el area entre las curvas sepuntuaba en exceso por hacer casi nada.

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)Sobre todo las explicaciones de los ejercicios y jerarquıa de operaciones. Tampococontestan a las preguntas adecuadamenta, se conforman con encuadrar un resultado.

Corrector 8.

1. Sobre el examen. Considero que el examen se enmarca dentro de los contenidos de laasignatura Matematicas II para segundo curso de Bachillerato. Las partes dedicadasal Calculo Infinitesimal y al Algebra Lineal y Geometrıa estan bien equilibradas ysupongo que el alumnado no se ha visto sorprendido por ninguno de los ejercicios.Aunque, a priori, estos no presentan dificultad extra en su realizacion, me gustarıadestacar algunos puntos al respecto:

• En el apartado (a) del Ejercicio 2 de la Opcion A se solicita el esbozo de unaregion limitada por dos parabolas. La palabra “esbozo” empuja a los estudiantesa realizar un estudio completo (dominio, puntos de corte con los ejes, asıntotas,crecimiento, maximos, mınimos, concavidad, ...) de las funciones involucradas.

8

Creo que el estudiante realiza ese analisis ante un temor infundado por la potencialpenalizacion si este no aparece en su totalidad. Del grupo de examenes que hecorregido, poquısimos han sido los alumnos que se han atrevido a realizar elesbozo indicando que las funciones a representar eran parabolas y destacandolos puntos esenciales que permiten el bosquejo. Reconozco que es difıcil, perodeberıa buscarse una formula para que la peticion del esbozo de la grafica de unafuncion no anime a los alumnos al estudio completo de la misma cuando este noes absolutamente necesario. Dicho estudio, en muchas ocasiones superfluo, podrıaconsumir un tiempo extra, valioso para la conclusion satisfactoria de algunos delos ejercicios del examen.

• El apartado (b) del Ejercicio 3 de la Opcion A solicita la resolucion del sistemade ecuaciones lineales AX = −3X. Es cierto que el enunciado del ejercicio nopresenta ambiguedad y es claro y conciso; sin embargo, muchos alumnos hanmalinterpretado el sistema y confundido con un sistema de la forma AX = B,donde A y B son matrices dadas y X es la matriz (o vector) incognita. Unnœmero considerable de alumnos ha intentado resolver erroneamente el sistemahaciendo uso de la matriz inversa mediante la forma X = −3A−1X. Esto lesha llevado, obviamente, a la maxima penalizacion en el apartado. Puede que laconfusion resida en los numerosos problemas de las pruebas PAU de MatematicasII en Andalucıa que solicitan la resolucion de sistemas de la forma AX = B.Como botones de muestra pueden verse los siguientes ejercicios de los examenesde los ultimos anos:

Ano Convocatoria Opcion Ejercicio Apartado

2016 Septiembre B 3 b)2016 Junio A 3 a)2015 Septiembre A 3 a)2014 Junio B 32013 Septiembre A 3 c)

Sabemos que es interesante conocer los valores λ que hacen que la matriz A+ λIsea no regular. Como es bien conocido, el opuesto de cada uno de estos valoreses un autovalor (o valor propio) de la matriz A. Los autovectores (o vectorespropios) asociados al autovalor −λ son las soluciones (no triviales) del sistemade ecuaciones lineales homogeneo compatible indeterminado AX = −λX. Estosconceptos son utiles en Matematicas y, sobre todo, en ciertas areas de MatematicaAplicada, pero no son objeto de estudio en Bachillerato, son topicos fundamentalesen los primeros cursos de los grados universitarios con marcado caracter cientıfico-tecnico.

Supongo que no estoy equivocado al afirmar que todos los vocales correctores deMatematicas II (y profesores de Matematicas en general) reconocemos que lasdefiniciones de autovalor y autovector no deberıan presentar ninguna dificultadconceptual para los alumnos de segundo de Bachillerato. No obstante, consideroque la solicitud de resolucion del sistema AX = −3X podrıa haberse enunciadode forma diferente con la intencion de evitar la confusion anteriormente citada.

9

• En este examen aparecen problemas (uno para cada opcion) con una calificacionmaxima de 2,5 puntos sin division en apartados. Creo que, en la medida de loposible, deberıan evitarse los enunciados de este tipo de problemas. Aunque loscriterios de evaluacion indican lo contrario, un estudiante podrıa pensar que suforma de resolucion no puntuarıa si comete un error (por pequeno que sea) alprincipio de la resolucion del ejercicio. Esto puede hacer que muchos alumnosabandonen el ejercicio o no presten, tras el error, el cuidado que deberıan paraobtener una puntuacion relativamente aceptable (vease un breve comentario alrespecto en la seccion “Sobre los criterios de correccion”).


• Las dos opciones del examen me parecen bastante equilibradas. Sin embargo, laOpcion A ha sido elegida mayoritariamente (94 examenes de la Opcion A frentea 51 de la Opcion B). Es posible que haya influido la presencia de la integraldefinida con un cambio de variable en la Opcion B.

Las dos opciones del examen son muy parejas; en ambas se platean problemasparecidos de todos los topicos de la asignatura (derivacion y aplicaciones, in-tegracion, matrices y sistemas de ecuaciones y geometrıa analıtica). Si ambasopciones fueran muy diferentes, podrıa entenderse, perfectamente, la aparicionde las dos opciones en el examen. Sin embargo, la posibilidad de eleccion enopciones tan semejantes no esta exenta de inconvenientes. El primer de ellos: losestudiantes deben leer cuidadosamente dos opciones muy similares y decantarsepor una de ellas. Esta seleccion ya consume tiempo. Si, ademas, se encuentra conalguna dificultad en el camino, pensar en el cambio de opcion, vuelve a consumirtiempo, y cambiar de opcion definitivamente, origina una perdida de tiempo masque considerable. Serıa interesante analizar la posibilidad de plantear un examensin opciones o plantear dos opciones muy muy muy dispares.


• Se ha hecho un esfuerzo estimable por homogeneizar al maximo los criterios decorreccion. De esta manera se evitan discrepancias en la evaluacion y todos losestudiantes son calificados con criterios mas exhaustivos y uniformes.

• Los criterios de evaluacion estan muy atomizados para aquellos ejercicios conuna calificacion maxima de 2,5 puntos sin division en apartados. Pienso queesta atomizacion favorece a los estudiantes que no han resuelto el ejercicio y sehan preocupado por realizar pasos aprendidos de forma automatica en ejerciciossimilares. El corrector (al menos, este es mi caso) puede tener una sensacionextrana cuando, al seguir escrupulosamente los criterios de evaluacion, observauna calificacion alta para ejercicios de este tipo en aquellos examenes que estandemasiados lejos de una resolucion positiva.

• Puede que el apartado (b) del ejercicio 4 de la Opcion B tenga una puntuacionexcesiva con respecto a la de otros ejercicios. La aplicacion de una simple formulamemorizada no es comparable al desarrollo que debe realizarse en otros apartados.

10


Durante la correccion he detectado algunos errores repetitivos. Los mas destacadosson:

• Falta del area o perımetro del semicırculo en las formulas correspondientes.

• En general, ausencia de simplificaciones que podrıan llevar a expresiones massencillas y, por tanto, a calculos mas simples, minimizando los errores.

• Puntos de corte de las parabolas a ojo.

• Representacion de parabolas por medio de un numero elevado de sus puntos.

• Intento de resolucion del sistema AX = −3X mediante la forma X = −3A−1X.

• Los intervalos de crecimiento de la funcion del ejercicio 1 de la Opcion B contienenal punto x = 1, donde la funcion no esta definida.

• Resolucion de la integral definida del ejercicio 2 de la Opcion B sin aplicar elcambio de variable a los lımites de integracion.

• Ausencia del valor absoluto en el volumen del tetraedro.

• Realizacion de la descomposicion en fracciones simples sin efectuar previamentela division de los polinomios.

• Confusion entre cociente y resto en la division de polinomios.

5. Para finalizar

• He participado como vocal corrector de Matematicas II en unas quince edicionesde las Pruebas de Acceso a la Universidad. En ninguna de ellas he visto nece-sario el uso de la calculadora para resolver los problemas propuestos. Es mas, enningun momento el uso de la calculadora ha permitido resolver los ejercicios deforma mas simple ni ha ayudado en su resolucion. De hecho, los estudiantes usanla calculadora cuando se sienten perdidos, confundidos o dubitativos ante un pro-blema. En estos, y en otros casos, su uso suele tener consecuencias desfavorablesy no deseadas. Por todo esto, creo que serıa interesante sopesar la exclusion dela calculadora en los examenes de Matematicas II.

• Por ultimo, me gustarıa agradecer a los ponentes de la materia el esfuerzo ytiempo dedicados en la preparacion del examen y sus criterios de calificacion.

Corrector 9.

1. Sobre el examen. Me ha parecido bastante asequible y completo en el temario.

2. Sobre las opciones (equilibradas o no,. . . ). Si equilibradas. Los alumnos huyendel problema de optimizacion, pero el resto eran muy faciles.

3. Sobre los criterios de correccion. Bien.

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)Hay un error que se deberıa penalizar, y es olvidar los parentesis. En los integrandosera muy normal verlos sin parentesis que multiplicara al dx.

11

Corrector 10.

1. Sobre el examen (dificultad,. . . ). Ambos tipos eran faciles.

2. Sobre las opciones (equilibradas o no,. . . ). La mayorıa eligio A, pero eran muyparejas.

3. Sobre los criterios de correccion. El afan de uniformizar las calificaciones haceque se obtengan calificaciones pasables haciendo muy poco.

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)Muchos alumnos deducen que cuando una funcion pasa de decrecer a crecer, hay unmınimo (hace falta continuidad).

Los 13 correctores restantes no aportan comentarios.

Los ponentes, Saul Valverde Perez y Fernando Mayoral Masa, agradecen a los vocalescorrectores los comentarios anteriores.

12

Pruebas de Acceso a la Unversidad

Matemáticas II


• Septiembre de 2016.

o Examen y criterios de corrección.





• Septiembre de 2015.

o Examen y criterios de corrección.









Resultados de las Pruebas de Acceso a la Universidad de la asignatura Matemáticas II

en el Distrito Único Andaluz en el curso 2015-16.


En algunos casos se trata de datos que no corresponden a toda la muestra sino a un porcentaje

muy alto de ella.

1.-Datos generales:

Junio-2016 Presentados % Aprobados Notas medias

Almería 1014 75,24 6,57

Cádiz 2028 71,00 6,38

Córdoba 1480 74,00 6,69

Granada 1994 68,80 6,44

Huelva 711 74,00 6,28

Jaén 1200 72,00 6,39

Málaga 2245 74,03 6,48

Sevilla UPO 370 67,00 6,32

Sevilla US 3022 73,46 6,60

A�DALUCÍA 14064 72,45 6,49

Septiembre-2016 Presentados % Aprobados Notas medias

Almería 132 34,09 3,83

Cádiz 338 26,79 3,45

Córdoba 269 34,00 3,94

Granada 354 37,28 4,03

Huelva 127 32,28 3,48

Jaén 214 34,03 3,39

Málaga 380 26,84 3,53

Sevilla UPO 80 32,50 3,93

Sevilla US 529 32,33 3,73

A�DALUCÍA 2423 31,85 3,68


Conv Opción Universi

dad

% Elección

opción

Medias en

cada opción



Jun

io 2

01

6

A

UAL 67,85 7,41 1,85 1,65 2,09 1,83

UCA 69,48 6,98 1,76 1,42 2,08 1,71 UCO 67,00 7,41 1,86 1,60 2,11 1,82

UGR 64,49 7,36 1,87 1,62 2,09 1,78 UHU 64,30 6,89 1,71 1,49 2,04 1,65 UJA 70,70 7,03 1,75 1,56 2,04 1,69 UMA 67,30 7,09 1,81 1,59 2,00 1,69 UPO 64,86 7,21 1,80 1,54 2,01 1,87 US 66,45 7,28 1,83 1,58 2,10 1,77

B

UAL 32,15 5,18 1,78 1,46 1,22 0,73

UCA 30,52 5,01 1,80 1,45 1,15 0,61 UCO 33,00 5,24 1,77 1,48 1,20 0,76

UGR 35,05 5,52 1,87 1,52 1,38 0,75 UHU 35,70 5,19 1,91 1,35 1,17 0,77 UJA 29,30 5,15 1,75 1,41 1,18 0,81 UMA 32,69 5,13 1,87 1,39 1,20 0,67 UPO 35,14 4,69 1,66 1,32 0,97 0,74 US 33,55 5,32 1,83 1,47 1,23 0,79

Conv Opción Universi

dad

% Elección

opción

Medias en

cada opción



Sep

tiem

bre

20

16

A

UAL 64,39 4,45 1,23 0,50 1,69 1,04

UCA 64,29 4,13 1,06 0,43 1,51 1,13

UCO 68,00 4,17 1,06 0,43 1,49 1,20

UGR 60,00 4,47 1,15 0,58 1,57 1,16

UHU 62,20 4,01 1,05 0,41 1,52 1,03

UJA 66,35 3,77 0,83 0,47 1,43 1,03

UMA 62,89 3,90 0,95 0,40 1,58 0,97

UPO 73,75 4,29 1,17 0,48 1,44 1,19

US 64,27 4,24 1,12 0,45 1,63 1,04

B

UAL 35,61 2,68 0,74 1,04 0,63 0,28

UCA 35,71 2,23 0,76 0,60 0,57 0,30

UCO 32,00 3,43 1,04 1,14 0,80 0,45

UGR 40,00 3,60 1,01 1,08 0,86 0,86

UHU 37,80 2,61 0,80 0,80 0,42 0,59

UJA 33,65 3,32 1,01 0,92 0,68 0,71

UMA 37,11 2,91 0,95 0,90 0,70 0,35

UPO 26,25 2,92 1,01 0,95 0,53 0,42

US 35,73 2,82 0,87 0,74 0,73 0,48

3.-Algunos gráficos:

Almería Cádiz Córdoba Granada Huelva Jaén Málaga Sevilla UPO Sevilla US AND

Junio 75,24 71 74 68,8 74 72 74,03 67 73,46 72,45

Septiembre 34,09 26,79 34 37,28 32,28 34,03 26,84 32,5 32,33 31,85

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Po

rce

nta

je

PAU Andalucía. 2016. Matemáticas II.

Porcentajes de aprobados.


Junio 6,57 6,38 6,69 6,44 6,28 6,39 6,48 6,32 6,6 6,49

Septiembre 3,83 3,45 3,94 4,03 3,48 3,39 3,53 3,93 3,73 3,68

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

No

ta m

ed

ia


Notas medias.

UNIVERSIDADES DE ANDALUCIA

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

CURSO 2015-2016

MATEMATICAS II

Instrucciones: a) Duracion: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion A orealizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.

c) La puntuacion de cada pregunta esta indicada en la misma.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni con capacidadpara almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes ala obtencion de resultados deben estar suficientemente justificados.

Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sabiendo que limx→0

(1

ex − 1− m

2x

)es finito, calcula m y el valor del lımite.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea f : R → R la funcion definida por f(x) = x4. Encuentra la recta horizontal

que corta a la grafica de f formando con ella un recinto con area8

5.

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

2x− 4y + 2z = 15x− 11y + 9z = λ

x− 3y + 5z = 2

⎫⎬⎭

a) [1’75 puntos] Discute el sistema segun los valores de λ.

b) [0’75 puntos] Resuelvelo, si es posible, para λ = 4.

Ejercicio 4.- Considera el punto A(1,−1, 1) y la recta r dada por

⎧⎨⎩

x = 1 + 2λy = 1− λ

z = 1

a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto simetrico de A respecto a r.

b) [1 punto] Determina la ecuacion del plano que contiene a r y pasa por A.

PROPIETARIO

Cuadro de texto

SEPTIEMBRE 2016



CURSO 2015-2016

MATEMATICAS II






Opcion B

Ejercicio 1.- Sea f : R → R la funcion definida por f(x) = x2e−x2

.

a) [0’75 puntos] Estudia y determina las asıntotas de la grafica de f .

b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremosrelativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) [0’5 puntos] Esboza la grafica de f .

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula

∫x

1 +√xdx (sugerencia: t =

√x).

Ejercicio 3.- Considera A =

⎛⎝ 1

−10

⎞⎠ , B =

⎛⎝ 1

11

⎞⎠ y C =

⎛⎝ 1 1 1

−1 −1 −10 0 0

⎞⎠.

a) [1 punto] Calcula el rango de ABT + λI segun los valores de λ (BT es la matriz traspuesta de B, I esla matriz identidad de orden 3).

b) [1’5 puntos] Calcula la matriz X que verifica CX −X = 2I.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Calcula la distancia entre las rectas dadas por las siguientes ecuaciones

x = y = z y

⎧⎨⎩

x = 1 + µ

y = 3 + µ

z = −µ

Fernando Mayoral Masa

PROPIETARIO

Cuadro de texto

SEPTIEMBRE 2016



CURSO 2015-2016

MATEMATICAS II

CRITERIOS ESPECIFICOS DE CORRECCION

CRITERIOS GENERALES. Los criterios esenciales de valoracion de un ejercicio seran el planteamiento razo-nado y la ejecucion tecnica del mismo. La mera descripcion del planteamiento sin la resolucion efectiva no es suficientepara obtener una valoracion completa del ejercicio. Tambien se tendra en cuenta lo siguiente:

- En los ejercicios en los que se pida expresamente una deduccion razonada, la mera aplicacion de una formula nosera suficiente para obtener una valoracion completa de los mismos.

- Los estudiantes pueden utilizar calculadoras; no obstante, todos los procesos conducentes a la obtencion deresultados deben estar suficientemente razonados.

- Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el calculo del valor de un cierto parametro, no se tendranen cuenta en la calificacion de los apartados posteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten ser deuna complejidad equivalente.

- Los errores no conceptuales en las operaciones se penalizaran con un maximo del 10% de la nota total del ejercicio.

- La presentacion clara y ordenada del ejercicio se valorara positivamente.

- Si se realizan ejercicios de las dos opciones, solo se evaluaran los ejercicios de la misma opcion que el primero queaparezca fısicamente en el papel de examen.

CRITERIOS ESPECIFICOS PARA ESTE MODELO. La evaluacion se realizara segun el desglose de

las puntuaciones que se hace a continuacion. Si algun apartado no se menciona especıficamente, su puntuacion es la

que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente. Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar que

se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A esta hecho o estudiado correctamente, incluyendo, si ası se

pide en el enunciado, la justificacion oportuna.

Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Hasta 0’5 puntos por reducir la expresion a comun denominador. Hasta 0’5puntos por comprobar que se trata de una indeterminacion. Hasta 0’5 puntos por cada aplicacion de la reglade L’Hopital.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Hasta 1 punto por el planteamiento. Hasta 0’5 puntos por la obtencion de lasprimitivas. Hasta 0’5 puntos por la aplicacion de la regla de Barrow.

Ejercicio 3.- (a) [1’75 puntos] Hasta 1’25 puntos por el calculo del valor crıtico de λ. Hasta 0’25 puntospor el estudio de cada uno de los casos. (b) [0’75 puntos] Lo indicado.

Ejercicio 4.- (a) [1’5 puntos] Hasta 0’75 puntos por el planteamiento. (b) [1 punto] Hasta 0’5 puntospor el planteamiento.

Opcion B

Ejercicio 1.- (a) [0’75 puntos] Hasta 0’5 puntos por la asıntota horizontal. (b) [1’25 puntos] Hasta0’5 puntos por el estudio de los intervalos de monotonıa. Hasta 0’5 puntos por el estudio de los extremosrelativos. (c) [0’5 puntos] Lo indicado.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Hasta 0’75 puntos si efectua el cambio de variable. Hasta 0’5 puntos por ladivision de polinomios. Hasta 1 punto por la obtencion de las primitivas.

Ejercicio 3.- (a) [1 punto] Hasta 0’5 puntos por calcular ABT + λI. Hasta 0’25 puntos por cada caso.(b) [1’5 puntos] Hasta 0’5 puntos si despeja matricialmente. Hasta 0’5 puntos si calcula la inversa de C−I.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Hasta 1’25 puntos por el planteamiento.

PROPIETARIO

Cuadro de texto

SEPTIEMBRE 2016


1. Sobre el examen.




Corrector 1. Fernando Mayoral.

Por razones obvias no hare comentarios sobre los tres primeros aspectos que se consideran.

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)Como comentario general cabe decir que ha habido varias calificaciones muy altas(entre 9 y 10) y esto no es lo habitual en la convocatoria de Septiembre. Supongo queesto estara asociado a quienes se presentan para mejorar la calificacion con la intencionde aplicarla a partir del 2017-18 mas que a quienes suspendieron en la convocatoriade Junio (las PAU o segundo de Bachillerato). Sin tener los datos parece clara latendencia de presentarse a distintas convocatorias de materias especıficas para mejorarlas correspondientes calificaciones.

Otro aspecto general es el referente a la no comprobacion de los resultados que losean facilmente. Esto hace que no sean detectables algunos errores, de calculo o deplanteamiento, que lo serıan facilmente sin mas que hacer la comprobacion. En el casoconcreto del examen que nos incumbe, serıan fcilmente comprobables los resultados delos siguientes ejercicios:

• Opcion A, Ejercicio 3b).

• Opcion A, Ejercicio 4, los dos apartados.

• Opcion B, Ejercicio 2.

• Opcion B, Ejercicio 3b).

• Opcion B, Ejercicio 4. Si se calcula la distancia entre las rectas a partir dela perpendicular comun, serıa facilmente comprobable si los puntos que dan laperpendicular comun son los correctos o no.

Para terminar con las cuestiones generales cabe citar el deterioro en el manejo dela nomenclatura estandar: no poner lim o la diferencial en el calculo de primitivas,mezclar las diferenciales cuando se hace un cambio de variable, no distinguir entrematriz y determinante, etc.

OPCION A:

• Ejercicio 1. En algun momento de la correccion llegue a tener la impresion deque alguien, en algun lugar y en algun momento reciente habrıa inventado lo que

1

podrıa llamarse la ”aritmetica de las fracciones con denominador cero”.Demasiado comun ha sido el planteamiento ERRONEO siguiente:

puesto que limx→0

(1

ex − 1− m

2x

)=

1

0− m

0=

1−m0

tiene que ser m− 1 = 0.

Otro error comun ha sido aplicar una regla de L’Hopital extrana para deshacerla indeterminacion ∞ − ∞ (cuando m 6= 0). En unos casos se derivaba cadasumando, en otros se derivaban numerador y denominador de cada sumando y enotros no estaba claro que era lo que se derivaba.

• Ejercicio 2. Los principales errores pueden achacarse a no representar correcta-mente lo que dice el enunciado del ejercicio; bien por no representar la grafica def , o de hacer caso omiso de que se trata del recinto comprendido entre la graficay la recta horizontal o de hacer caso omiso de los puntos de corte entre la graficay la recta.

• Ejercicio 3.

a) El principal error conceptual ha sido el considerar que puede haber valoresde λ para los cuales el rango de la matriz ampliada del sistema es menor queel de la matriz de coeficientes de las incognitas.

b) Ha habido casos en los que habiendo llegado, en el apartado a), a la conclusionde que para λ = 4 el sistema era compatible determinado, o incompatible, seobtenıan bien las infinitas soluciones. Tambien se ha dado el caso opuesto,habiendo deducido que para λ = 4 el sistema era compatible indeterminado,se obtenıa una unica solucion, o que no habıa solucion.

• Ejercicio 4.

a) Al margen de los errores de manipulacion, el principal error de planteamientoha sido el de elegir, de forma caprichosa, un punto de la recta e imponer queese sea el punto medio entre el punto A dado y su simetrico.

b) El error de planteamiento principal ha sido el calcular el plano perpendiculara r que pasa por A.

OPCION B:

• Ejercicio 1.

a) Ademas de los problemas a la hora de calcular limx→∞ x2e−x

2, ha habido

varios casos en los que calculando bien el lımite se establecıa que eso querıadecir que la asıntota era x = 0.

b) La mayorıa de los errores en este apartado estan asociados a no saber derivarf(x) = x2e−x

2. En algunos casos por considerar que la derivada de e−x

2es

e−2x.

c) Por increible que pueda parecer en algunos casos se obtenıa una grafica conuna parte por debajo del eje de abscisas.

• Ejercicio 2. Los principales errores han sido el no saber hacer el cambio de vari-able (por transformar solo la funcion y olvidarse de dx) o haciendolo bien, el nomanipular bien la fraccion en t que quedaba.

2

• Ejercicio 3.

a) Los errores en el calculo del producto de la matriz/columna A (3 × 1) porla matriz/fila BT (1 × 3) han sido diversos. En unos casos se obtenıa unacolumna que luego se sumaba de alguna forma rara con la matriz λI. Enotros casos se obtenıa 0 y luego se sumaba con λI. Tambien ha habido casosen los que soy incapaz de describir que era lo que se hacıa.

b) Al margen de los errores habituales al intentar despejar X de forma simbolica(despues de sacar factor comun) tambien ha habido quien ha intentado despe-jar X a partir de la igualdad CX = X + 2I multiplicando por la inexistenteinversa de C.

• Ejercicio 4. Dos de los planteamientos erroneos han sido:

– Tomar al azar un punto P de una de las rectas, pongamos r, y calcular la dis-tancia de ese punto a la otra recta, pongamos s. Este error de planteamientome lo he encontrado en varias versiones. Por un lado, aplicando una formulapara calcular la distancia del punto a la recta y por otro, calculando un planoperpendicular a s que pasa por P .

– Intercambiar los papeles de las coordenadas de puntos y vectores que inter-vienen en la formula que suele utilizarse.

Corrector 2.

1. Sobre el examen.No tengo consideraciones importantes sobre el examen. Los ejercicios me han parecidoadecuados, tanto por los contenidos que se necesitan para resolverlos, como por eltiempo necesario para realizarlos.

2. Sobre las opciones. Un numero importante de alumnos, aproximadamente un 66%,han elegido la opcion A.

3. Sobre los criterios de correccion.Me han parecido correctos y me han ayudado a evaluar las diferentes partes de losejercicios de forma mas objetiva. Me han surgido algunas dudas sobre la correccion encriterios no contemplados, como por ejemplo en que hacer cuando los alumnos omitıanlımite en su calculo o dx en el calculo de integrales.


OPCION A:

• Ejercicio 1.

– Algunos alumnos intentan derivar directamente en la primera expresion dellımite sin pasar a la indeterminacion del tipo 0/0 y sin reducir a comundenominador.

– Algunos hacen deducciones del tipo:1

0− m

0=

0

0y, por lo tanto m = 1.

3

– Tambien escriben1−m

0= 0 y, por lo tanto m = 1.

– Simplificaciones incorrectas.

– No escribir lımite.

• Ejercicio 4. Muchos alumnos hallan el simetrico de A respecto a r tomando comopunto medio el punto P (1, 1, 1) de la ecuacion de la recta r.

Toman como plano que contiene a r el plano perpendicular a r que pasa por A.

OPCION B:

• Ejercicio 1.

– Muchos problemas a la hora de derivar.

– Consideran que la indeterminacion ∞ · 0 (involucrada en la busqueda deasıntotas horizontales) es ∞ · ∞ y deducen directamente que el lımite vale±∞ (para una funcion que solo alcanza valores positivos), dependiendo de siestan calculando el lımite en mas o menos infinito .

• Ejercicio 3.

– En muchos casos no saben despejar matricialmente. No tienen en cuenta queel producto de matrices es no conmutativo y hacen despejes muy extranos.

– Por ejemplo: C−1CX −X = C−12I =⇒ X −X = C−12I

– Errores al multiplicar ABT . Por ejemplo, obtienen una matriz fila al multi-plicar A por BT , a otros les da 0 la multiplicacion...

– Suman o restan matrices de dimensiones diferentes.

Corrector 3.

1. Sobre el examen.Me parece de un nivel adecuado. Facil de aprobar y no demasiado complicado sacarbuena nota.

2. Sobre las opciones.Bien equilibradas.

3. Sobre los criterios de correccion.Muy correctos. En general benevolos.

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)En mi opinion no hay errores comunes. En cambio si detecto una fuerte brecha entrealumnos con una preparacion adecuada, y otros que, fracamente, no entiendo quepuedan haber aprobados las matematicas de segundo de bachillerato. Un alumno quesaca un 1, como hay bastantes, es que no tiene ni idea de nada. Imposible que hayaaprobado por meritos propios. En mi opinion habrıa que indagar sobre el hecho de queestos alumnos hayan aprobado. Desde luego, no por sus meritos academicos.

4

Corrector 4.

1. Sobre el examen.La nota media de los 132 examenes que he corregido ha sido de 3,23 y han aprobado tansolo el 21,2% del total. Es una conclusion desmotivante puesto que muchos ejercicioslos dejan en blanco o cometen errores que indican que no lo llevan bien preparado quizasporque en Junio la mayorıa de ellos no pudieron presentarse y llegan desentrenados. Elexamen esta redactado con total claridad, enunciados de aplicacion directa y variedadentre las opciones, sin especial dificultad para elegir.

2. Sobre las opciones.Los alumnos que optan por la opcion A son 84 (de los 132 que he corregido), delos cuales aprueban el 28,5%. Cuarenta y cinco de ellos no responden al ejercicio 2referente al recinto y muchos mas no saben representar la funcion polinomica sencilla.Lo positivo que todos responden al ejercicio 3, sobre la discusion de parametro en elsistema de ecuaciones, puntuando mas de la mitad del ejercicio.

El resto son 48 alumnos que eligen la opcion B aprobando el 8,3% aun mas alarmante.La media de calificaciones por ejercicio es obtener en cada ejercicio 0,5 puntos y entorno a veinte alumnos dejan en blanco cada uno de los ejercicios, luego no se ve clarocual es aquel que determina el porque elegir esta opcion.

3. Sobre los criterios de correccion.Nada que anadir, todo correcto y justo a la hora de corregir conceptos, procedimientosy resultados.


OPCION A:

• Ejercicio 1. Muchos no identifican las indeterminaciones y se atreven a poner

∞ − ∞ = 0 o tambien1

0− m

0=

0

0para despejar m. Ademas, no citan la

aplicacion de la Regla de L´Hopital, ni tan siquiera con la mas mınima notacion.

• Ejercicio 2. Hacen un estudio completo de la funcion y no les da lugar a representarsu grafica bien. Cuando despejan el punto de corte de las graficas de las funcionesno senalan el valor negativo, solo senalan el positivo, es decir no se dan cuenta deque x = ± 4

√a. En cuanto a la notacion, se saltan el diferencial dx al expresar la

integral que da el area del recinto.

• Ejercicio 3. Algunos dicen que si el rango de la matriz ampliada es 3 entoncespor el de la matriz de coeficientes de las incognitas es tambien 3 y por tanto setrata de un SCD. Otros se equivocan a la hora de averiguar el parametro λ y pesea que se indique en el apartado b) que es para λ = 4, ellos lo relacionan con elapartado a) y justifican que no existe solucion. Aquellos que determinaron por sucuenta que era un SCD, lo resuelven por Cramer de orden 3 e indican soluciones

fraccionarias con 0 en el denominador, de modo que concluyen que x =k

0= 0 y

por tanto la solucion es (0, 0, 0).

5

• Ejercicio 4. Muy pocos hacen un esbozo grafico de las posiciones de la recta lospuntos y el plano perpendicular que se construyen. La mayorıa se acuerdan dela formula del punto medio, pero algunos lo toman de la ecuacion parametrica dela recta erroneamente. Es curioso como alumnos desarrollan en el apartado b) loque tendrıan que haber hecho en el apartado a).

OPCION B:

• Ejercicio 1. Por inercia muchos alumnos calculan limx→0

f(x) a la hora de estudiar la

asıntota vertical. Tambien aparecen errores como “tiene una asıntota horizontalen x = 0” o siempre ∞ · 0 = 0. Y por ultimo, en el apartado c) para esbozar lagrafica hacen un estudio completo y luego recaen en barbaridades que no tienennada que ver con lo que hicieron en a) o en b).

• Ejercicio 2. Es el ejercicio que mas responden y con mas barbaridades encontradas.A la hora del cambio parece que dx = dt o directamente no se pone. Muchos nosustituyen bien el cambio de variable o no consiguen dividir bien los polinomios,incluso en dos ocasiones he visto la barbaridad∫

P (x)

Q(x)dx =

∫P (x)

1

Q(x)dx =

∫P (x)dx+

∫1

Q(x)dx

calculando luego bien la integral polinomica y la logarıtmica correspondientes.

• Ejercicio 3. Resulta curioso como omiten λ + 1 como elemento de la matriz yponen solo λ. Algun caso se olvida de la paridad de los adjuntos a la hora delcalculo de la matriz inversa y por ultimo, es generalizado que no saben despejarla ecuacion matricial sacando factor comun la matriz X a la derecha.

• Ejercicio 4. Casi ninguno justifica la posicion relativa de las dos rectas. A conti-nuacion muchos toman un punto cualquiera de una recta y calculan la distanciade dicho punto a la otra recta, sin darse cuenta que en el caso de que se crucen lasrectas hay que aplicar la formula del producto mixto en valor absoluto divididopor el modulo del producto vectorial.

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CURSO 2015-2016

MATEMATICAS II






Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sabiendo que

limx→0

ln(x+ 1)− a sen(x) + x cos(3x)

x2

es finito, calcula a y el valor del lımite (ln denota logaritmo neperiano).

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Halla la ecuacion de la recta tangente a la grafica de una funcion f en el punto

de abscisa x = 1 sabiendo que f(0) = 0 y f ′(x) =(x− 1)2

x+ 1para x > −1.

Ejercicio 3.- Considera las matrices

A =

⎛⎝ −1 1 1

0 1 0−2 1 1

⎞⎠ y B =

⎛⎝ −3 3 2

−8 7 48 −6 −3

⎞⎠ .

a) [1’75 puntos] Halla la matriz X que verifica AX +B = 2A.

b) [0’75 puntos] Calcula B2 y B2016.

Ejercicio 4.- Considera el punto P (1, 0, 5) y la recta r dada por

{y + 2z = 0

x = 1

a) [1 punto] Determina la ecuacion del plano que pasa por P y es perpendicular a r.

b) [1’5 puntos] Calcula la distancia de P a la recta r y el punto simetrico de P respecto a r.

PROPIETARIO

Cuadro de texto

JUNIO 2016



CURSO 2015-2016

MATEMATICAS II






Opcion B

Ejercicio 1.- Sea f : R → R la funcion definida por f(x) =x

x2 + 1.

a) [0’75 puntos] Estudia y determina las asıntotas de la grafica de f . Calcula los puntos de corte de dichasasıntotas con la grafica de f .

b) [1’25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) [0’5 puntos] Esboza la grafica de f .

Ejercicio 2.- Sea f : (0,+∞) → R la funcion dada por f(x) = ln(x) (ln representa logaritmo neperiano).

a) [0’5 puntos] Calcula la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto de abscisa x = 1.

b) [2 puntos] Esboza el recinto comprendido entre la grafica de f , la recta y = x − 1 y la recta x = 3.Calcula su area.

Ejercicio 3.- Se considera el sistema de ecuaciones lineales

⎧⎨⎩

(3α − 1)x+ 2y = 5− α

αx+ y = 23αx+ 3y = α+ 5

a) [1’5 puntos] Discutelo segun los valores del parametro α.

b) [1 punto] Resuelvelo para α = 1 y determina en dicho caso, si existe, alguna solucion donde x = 4.

Ejercicio 4.- Considera las rectas r y s dadas por

r ≡

⎧⎨⎩

x = 1 + 2λy = 1− λ

z = 1y s ≡

{x+ 2y = −1

z = −1

a) [1’5 puntos] Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuacion del plano que las contiene.

b) [1 punto] Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado estan en las rectas r y s, calcula su area.

Fernando Mayoral Masa

PROPIETARIO

Cuadro de texto

JUNIO 2016



CURSO 2015-2016

MATEMATICAS II














Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Hasta 0’5 puntos si comprueba que se trata de una indeterminacion. Hasta0’5 puntos por la primera aplicacion de la regla de L’Hopital. Hasta 0’5 puntos por el valor de a. Hasta 0’5puntos por la segunda aplicacion de L’Hopital.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Hasta 0’25 puntos por la expresion (generica) de la recta tangente. Hasta 1’5puntos por la primitiva y hasta 0’25 puntos por el calculo de la constante.

Ejercicio 3.- (a) [1’75 puntos] Hasta 0’75 puntos si despeja matricialmente. Hasta 0’5 puntos si calculala inversa de A. (b) [0’75 puntos] Hasta 0’5 puntos por calcular B2.

Ejercicio 4.- (a) [1 punto] Hasta 0’5 puntos por el planteamiento. (b) [1’5 puntos] Hasta 0’75 puntospor la distancia.

Opcion B

Ejercicio 1.- (a) [0’75 puntos] Hasta 0’5 puntos por el estudio y calculo de las asıntotas.(b) [1’25 puntos] Hasta 0’5 puntos por la derivada de f . (c) [0’5 puntos] Lo indicado.

Ejercicio 2.- (a) [0’5 puntos] Lo indicado. (b) [2 puntos] Hasta 0’25 puntos por el esbozo. Hasta 0’5puntos por expresar el area pedida en forma integral. Hasta 1 punto por las primitivas.

Ejercicio 3.- (a) [1’5 puntos] Hasta 1 punto por justificar que si α = 1 el sistema es incompatible.(b) [1 punto] Hasta 0’75 puntos por la solucion general.

Ejercicio 4.- (a) [1’5 puntos] Hasta 0’5 puntos por comprobar que las rectas son coplanarias.(b) [1 punto] Hasta 0’75 puntos si calcula la distancia entre las rectas.

PROPIETARIO

Cuadro de texto

JUNIO 2016


1. Sobre el examen.






4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)Como comentario general cabe decir que hay varias tendencias que deberıan ser corre-gidas. Entre ellas cabe citar a las siguientes:

• Carencia de una manipulacion simbolica (algebraica) aceptable. Ejemplo de estoes la falta de uso coherente de los parentesisis para priorizar las operaciones.Unas veces no se pone parentesis pero se hacen las operaciones como si se pusieran.Otras veces se ponen, pero se hacen las operaciones como si no estuvieran puestos.

• Tendencia a representar graficas ”dando valores”.

• Desconexion entre algunos conceptos y su significado. Por ejemplo, en el Ejer-cicio 2 de la Opcion B que se pedıa una recta tangente y el area de un recintorelacionado con dicha recta tangente, la recta dibujada en algunos casos no tenıarelacion con la recta tangente. Incluso en algunos casos, a base de dar valorespara dibujarla, no era ni recta.

• Tendencia al uso indiscriminado de formulas. En el Ejercicio 4 de la Opcion A sepedıa la distancia de un punto a una recta y el simetrico de dicho punto respectoa dicha recta. El calculo del punto simetrico permitirıa obtener la distancia sinningun calculo adicional (tan solo calcular la distancia entre el punto y su simetricoy dividir por dos). Sin embargo, en la inmensa mayoria de los casos en los quese calcula bien la distancia, esta se obtiene mediante la formula correspondiente.No es que este mal, esta bien, pero es una perdida de tiempo. Indica la tendenciaa usar formulas sin necesidad.

OPCION A:

• Ejercicio 1. Los errores mas comunes en este ejercicio se han producido en relacioncon el calculo de derivadas. Desde no tener claro la derivada de la funcion senoy de la funcion coseno, pasando por no saber derivar cos(3x) (por no saber quehacer con el 3), hasta derivar x cos(3x) poniendo que es igual al producto de lasderivadas.

• Ejercicio 2. En los ultimos anos ”han caido” ejercicios de calculo de primitivasde cocientes de polinomios en los que el grado del numerador es mayor o igual

1

que el del denominador. Pueden verse los comentarios de anos anteriores sobrelos errores comunes en este tipo de ejercicios. Es sorprendente que a pesar delos toques de atencion anteriores haya quienes no tienen claro el significado de

los terminos de una division entera. Si tenemos una fraccionNumerador

denominadory

hacemos la division entera de

D = Dividendo = Numerador entre d = divisor = denominador

y se obtiene un cociente C y un resto r, entonces

Dividendo es igual a divisor por cociente mas resto: D = d · C + r.

POR TANTO:D

d= C +

r

d,

Numerador

denominador≡ Dividendo

divisor=

(divisor) · (cociente) + (resto)

divisor

=(divisor) · (cociente)

divisor+

(resto)

divisor= (cociente) +

(resto)

divisor.

No obstante, mi impresion es que el numero de examenes con una mala inter-pretacion de los terminos de la division entera ha sido menor que en anos anteri-ores. Deberıa haber sido cero.

• Ejercicio 3. Posiblemente este es el ejercicio mas facil de todos y el que tengamejores resultados. No obstante, en la manipulacion simbolica de la igualdadAX +B = 2A, una vez restado B en cada uno de los miembros de la igualdad yobtener AX = 2A − B, al despejar X multiplicando por A−1 a la izquierda (enlos dos miembros de la igualdad) se considera solo uno de los sumando, con locual se obtiene X = A−12A−B.

• Ejercicio 4. Ya se ha comentado antes lo relativo a este ejercicio.

OPCION B:

• Ejercicio 1. En algunos casos se llegaba como conclusion a una grafica que sepodrıa describir como la silueta de una golondrina, con las alas abiertas. Escurioso que, en algunos casos en el que los apartados (a) y (b) se habıan resueltode manera aceptable, el empeno en dibujar la grafica ”dando valores”, equivocarserepetidamente en el calculo de los puntos, e intentar que la grafica fuera coherentecon los resultados analıticos de los apartados (a) y (b), llevaba a obtener unagrafica en la que cualquier parecido con la realidad es pura coincidencia.

• Ejercicio 2. En el apartado (a) se pedıa la ecuacion de la recta tangente a unagrafica en un cierto punto y en el apartado (b) se pedıa el area entre la grafica,la recta tangente pedida y una recta vertical. En algunos casos no parece queel concepto ”recta tangente” tenga significado geometrico; se dibuja un recintodonde la recta tangente no es tangente en el punto de tangencia.

2

• Ejercicio 3. Este ejercicio trata sobre la discusion, y resolucion, de un sistema de3 ecuaciones con 2 incognitas. Ha sido, junto con el ejercicio 4 de esta opcion, elejercicio con peores resultados. Los errores han sido de los mas variados. Desdeanadir una columna de ceros a la matriz de los coeficientes de las incognitas, paraforzar un sistema cuadrado, hasta intentar una discusion cuyos protagonistasprincipales eran determinantes 3× 2 (!?!!???). Todo ello acompanado, en algunoscasos, con la aplicacion de la regla de Cramer con las fracciones con denominadornulo.

• Ejercicio 4. En el apartado (a) se pedıa comprobar que dos rectas son coplanarias ydeterminar la ecuacion del plano que las contiene. Uno de los errores conceptualesmas comunes ha sido el escribir la ”ecuacion del plano” que pasa por un puntode una de las rectas (hasta aquı, bien) y que tiene como vectores directores losde las rectas paralelas dadas. Es decir, se escribe una ecuacion en (x, y, z) quees equivalente a 0 = 0, al desarrollar hay algun error numerico y al final aparecela ecuacion de un plano. El hecho de no comprobar que lo que se obtiene escoherente (el plano contiene a dos puntos de cada recta, por ejemplo) hace queno se detecte la barbaridad con la que empiezan los calculos.

En el apartado (b) se pedıa el area de un cuadrado con dos de sus lados en lasrectas paralelas dadas. En algunos casos se toma un punto de cada recta, sincriterios aparentes, y se calcula la distancia entre ambos.

Corrector 2.

1. Sobre el examen. Ambos tipos eran faciles.

2. Sobre las opciones. Muy parecidas aunque los alumnos que escogen la A son el dobleque los de la B.

3. Sobre los criterios de correccion. El afan de uniformizar la correccion hace que seobtengan notas ”pasables” por no hacer casi nada.

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)Asombrosa la cantidad de alumnos que se empenan en resolver un sistema con tresincognitas, cuando solo hay dos.

Corrector 3.

1. Sobre el examen.Habrıa que evitar ejercicios con apartado unico o, al menos, que esten equilibradosentre ambas opciones. En este examen, la opcion A tiene 2 ejercicios de este tipo porninguno de la opcion B.

2. Sobre las opciones.El examen me ha parecido muy equilibrado en ambas partes y no he apreciado dife-rencias fundamentales. Los alumnos han elegido mayoritariamente (proporcion 2:1) laopcion A frente a la B.

3

3. Sobre los criterios de correccion.Los criterios extra me parecen muy cenidos a una unica forma de hacer los ejercicios.Quizas serıa interesante hacer indicaciones sobre cuantos puntos quitar por determina-dos errores. Por ejemplo: Error grave al derivar, o error grave al integrar, o error graveal hacer un lımite,... En muchos casos, un error leve hace que el problema sea muchomas facil o que no tengan que hacer una determinada cuenta importante (integral dellogaritmo, inversa de la matriz,...). Creo que esto deberıa estar recogido.


OPCION A:

• Ejercicio 1. Derivan mal la funcion x cos(3x). O bien no derivan el producto, obien se olvidan de la constante 3. En algunos casos, hacen L’Hopital sin comprobarque es una indeterminacion.

• Ejercicio 2. No escriben bien la formula de la recta tangente. Por ejemplo, es-criben y − f(x) = f ′(x)(x− 1)Suelen cometer errores en la division al interpretar cociente y resto (incluso divi-sor!!!).Me ha llamado la atencion que NADIE haya hecho la division por Ruffini: todoshan utilizado el algoritmo de Euclides. Tan solo 1 alumno ha hecho el cambiot = x+ 1 y, ası solo tenıa que dividir entre t, lo cual le ha resultado muy facil.

• Ejercicio 3. No se dan cuenta de que A−12A = 2I: hacen la cuenta.Muchos, aunque se dan cuenta de esto ultimo, multiplican primero por A−1 (antesde pasar restando B) y olvidan que B tambien hay que multiplicarla:

X −B = 2A⇒ A−1AX −B = A−12A⇒ X −B = 2I ⇒ X = 2I +B.

Este error hace que no tengan que calcular la inversa.

• Ejercicio 4. Usan indiscriminadamente formulas variopintas para calcular las dis-tancias. Habrıa que indicar que si usan una formula, al menos, expliquen de dondesale.

OPCION B:

• Ejercicio 1. Hacen por defecto el corte de la funcion con los ejes en lugar de conla asıntota (es mas, hacen el corte ANTES de calcular la asıntota).

• Ejercicio 2. Confusion entre la derivada y la primitva del logaritmo. Varios

escriben

∫lnx dx = 1/x.

• Ejercicio 3. Es muy curioso que muchos pongan una columna de 0 para la (inexis-tente) variable z.

• Ejercicio 4. Casi nadie se percata de que los vectores son paralelos: hacen eldeterminante formado por los 2 vectores directores y un vector que vaya de unarecta a la otra.El apartado b) lo hacen muy pocos, porque no se dan cuenta de que son paralelas.

4

Corrector 4.

1. Sobre el examen.

2. Sobre las opciones. En mi opinion, el nivel de dificultad de las opciones es diferente.En mi caso, una gran mayorıa ha elegido la opcion A, siendo estos los que mejoresnotas han obtenido.

3. Sobre los criterios de correccion. Los criterios de correccion me han sido muy utiles,ya que al estar desglosados no se perdıa tiempo en decidir que nota le correspondıa alalumno por la ejecucion de una parte del ejercicio. He echado de menos unificar la pe-nalizacion por redaccion incorrecta, uso incorrecto de sımbolos o errores gramaticales.


OPCION A:

• Ejercicio 1. La mayorıa sabe aplicar L’Hopital e imponer la indeterminacion 0/0para que el lımite sea finito, pero se equivocan derivando cocientes y productos.

• Ejercicio 2. No calculan el valor de la constante de integracion. Derivan en lugarde integrar.

• Ejercicio 3. Al despejar X multiplicando por la inversa de A, olvidan ponerparentesis en el segundo miembro (2A − B). Comenten errores en el calculode Adj(A). Hay varios casos donde copian mal los elementos de las matricescalculadas. Escriben el numero 2 en lugar de la matriz 2I.

• Ejercicio 4. Obtienen los puntos por los que pasan las rectas r y s de sus ecuacionesparametricas y consideran que la distancia entre las rectas es el modulo del vectorformado por dichos puntos.

OPCION B:

• Ejercicio 1. a) No explican la no existencia de las asıntotas. Olvidan calcular lasegunda parte de la cuestion: puntos de corte con las asıntotas.

• Ejercicio 2. Derivan en lugar de integrar.

• Ejercicio 3. Consideran que el sistema tiene 3 incognitas, en lugar de 2, y partenel estudio de una matriz de coeficientes de orden 3x3 con una columna de ceros.

5

Corrector 5.

1. Sobre el examen.

2. Sobre las opciones. La opcion A me ha parecido bastante mas facil que la B, teniendoen cuenta que el examen, en general no ha sido difıcil.

Opcion B. Ejercicio 1. Son tres ecuaciones con DOS incognitas. Ello ha confundido abastantes alumnos ya que tienen muy reciente (en MATEMATICAS II) el trabajo contres incognitas. No olvidemos que la geometrıa de esta materia es en el espacio, porlo que tienden a pensar que falta una incognita. Una gran mayoria ha anadido unacolumna de ceros correspondienbte a la incognita z que, en realidad, no existe.

3. Sobre los criterios de correccion. Estan demasiado detallados. Ello produce dos con-secuencias:

• Una que se puntua lo mas mınimo, elevando ası la nota.

• La segunda es que se ralentiza mucho la correccion.


a) En el calculo de la matriz inversa es muy corriente el error de dividir la matrizadjunta entre un numero: esta operacion no esta definida en el algebra de matrices.Sı esta definido el producto por un numero.

b) Sumar o restar puntos con vectores. Esta operacion tampoco esta definida. Sepuede operar con el vector OP , siendo O el origen de coordenadas, pero nuncacon el punto P .

c) No terminar adecuadamente la division de polinomios. Se debe acabar cuando elgrado del resto es menor que el del divisor.

d) En la descomposicion de funciones racionales suelen confundir el cociente de ladivision entera con el resto

e) El clasico error de utilizar el sımbolo de union en el estudio de la monotonıa deuna funcion.

Corrector 6.

1. Sobre el examen.

2. Sobre las opciones. La opcion A me ha resultado m’as facil de corregir que B. Lamayorıa ha elegido la opcion A

3. Sobre los criterios de correccion. Muy buena la idea de indicaciones de correcion aldetalle (al 0,25)

6


OPCION A:

• Ejercicio 1. Cuando derivan 1x+1

ponen ln(x+ 1). Al derivar ponen x · −sen(x) yse lıan luego y se olvidan de la multiplicacion.

• Ejercicio 4. Recta r en parametricas ponen x = 1 + t en lugar de x = 1.

OPCION B:

• Ejercicio 1. Muchos errores del tipo: asıntota horizontal: x = 0.

Corrector 7.

1. Sobre el examen. En los 155 examenes corregidos ha habido una nota media de 6,88.El problema mas valorado ha sido el primero con un 1,92 y el peor el cuarto con un1,45.

115 han obtenido al menos un 5, es decir, el 74%.

2. Sobre las opciones. 105 han optado por la version A, con una nota media de 7,77. Elproblema mas valorado ha sido el tercero con un 2,13 y el peor el segundo con un 1,77.90 han obtenido al menos un 5, es decir, el 86%.

50 han optado por la version B, con una nota media de 4,86. El problema mas valoradoha sido el primero con un 1,66 y el peor el cuarto con un 0,60. 24 han obtenido almenos un 5, es decir, el 48%.

Consecuentemente la opcion mayoritaria ha sido la A y ademas los resultados entreaquellos que la han elegido han sido sensiblemente mejores que entre los que no.

3. Sobre los criterios de correccion. Han sido suficientemente precisos.

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)En la opcion A, ha habido errores derivando funciones trigonometricas, integrando lafuncion racional o multiplicando matrices. Tambien, para calcular la distancia de unarecta a un punto exterior, han tomado la distancia desde un punto de la recta que noes el mas proximo. En la B interpretando geometricamente la asıntota, confundiendola recta x = 3 por la y = 3 y especialmente en el cuarto problema pocos han hechocorrectamente el segundo apartado.

Corrector 8.

1. Sobre el examen.

2. Sobre las opciones. Me ha parecido mas difıcil la opcion B, eligieron la A 93 y la B57. Han sido peores las notas de la opcion B en general. En la opcion B ha habido 2graficas, me ha parecido excesivo y larga esta opcion.

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Errores que se cometieron: no dibujar bien las graficas; poner areas negativas; nocalcular bien α; al calcular la ecuacion del plano de la opcion B, poner dos vectoresparalelos; al calcular la distancia entre rectas coger dos puntos cualesquiera y hacerdistancia entre esos puntos.

Corrector 9.

NO HAY NADA RESENABLE DE PARTICULAR.

Corrector 10.

1. Sobre el examen.

2. Sobre las opciones. Los examenes que he corregido han sido mayoritariamente de laopcion A en una proporcion aproximada del 80% frente al 20% de la opcion B. Enambas opciones los ejercicios 4, (geometrıa) han tenido buenos resultdos, en particularel de la opcion A; en la opcion B, las rectas coplanarias les ha costado algo mas.


4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)OPCION A:

• Ejercicio 1. Calculo de la derivada de x · cos(3x).

• Ejercicio 3. Errores al multiplicar por A−1.

OPCION B:

• Ejercicio 2. Calculo de la integral del ln(x).

• Ejericicio 3: Muchos errores al plantear el sistema de forma matricial y analizarrangos.

Corrector 11.

1. Sobre el examen. Me ha parecido tal vez mas facil que nunca, es decir dentro de lotıpico que se pregunta siempre, lo mas fcil que se podıa preguntar.

2. Sobre las opciones. Tal vez la opcion A haya sido mas sencilla que la opcion B, peroposiblemente porque el ejercicio de geometrıa de la opcion A era mas sencillo que elde la B, que pocos de los que la han escogido, han resuelto bien.

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3. Sobre los criterios de correccion. Me ha parecido excesivo el tener unos criterios tanpormenorizados. Aunque me parece genial que todos corrijamos bajo los mismos cri-terios, creo que estaban excesivamente desglosados, esto, ademas de relentizar la cor-reccion, ha hecho que un alumno que en realidad no sabe hacer el ejercicio que se le estapidiendo, consiga un 1,25 (sobre 2,5), tan solo por saber derivar funciones elementalespolinomicas o seno y coseno, por saber sustituir x = 0 en una funcion, etc. Cada unade esas cosas eran 0,25 puntos, en cambio el razonamiento para obligar a que el lımitesea finito (en el Ejercicio 1 de la Opcion A) tenıa el mismo valor.

Tampoco entiendo que, en el Ejercicio 3 de la Opcion A, se valore mas el mero calculodel producto de dos matrices 3 × 3 que la deduccion de que B elevado a cualquierpotencia par serıa la identidad.

Pero bueno, supongo que esto es cuestion de gustos pero desde luego ha sido condiferencia el examen que mas trabajo me ha costado corregir para cumplir con todoslos criterios.

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)No he observado un error que me haya llamado la atencion y que se repita.

Corrector 12.

Como comentario general sobre las pruebas, solo que la opcion A me parecio mas sencillaque la B. Eso mismo parece que opinaron los alumnos: de los 150 que corregı, 93 optaronpor la A (62 %) y 57 por la B (38 %).

En todo caso, tuve la impresion de que el examen era mas sencillo que en anos anteriores.

Los 8 correctores restantes no incluyen comentarios.

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Matemáticas II


• Septiembre de 2015. o Examen y criterios de corrección. o Comentarios de los correctores.

• Junio de 2015. o Examen y criterios de corrección. o Comentarios de los correctores.

• Septiembre de 2014. o Examen y criterios de corrección. o Comentarios de los correctores.

• Junio de 2014. o Examen y criterios de corrección. o Comentarios de los correctores.

Resultados de las Pruebas de Acceso a la Universidad

de la asignatura Matemáticas II en el Distrito Único Andaluz en el curso 2014-15.


En algunos casos se trata de datos que no corresponden a toda la muestra sino a un porcentaje muy alto de ella.

1.-Datos generales:

Junio Presentados % Aprobados Notas medias

Almería 954 78,09 6,56

Cádiz 1989 65,31 5,88

Córdoba 1426 71,73 6,32

Granada 1935 70,28 6,12 Huelva 661 73,98 6,41

Jaén 1174 69,93 6,02

Málaga 2214 72,17 6,22

Sevilla UPO 328 72,87 6,28

Sevilla US 3031 72,45 6,38

ANDALUCÍA 13712 71,25 6,22

Septiembre Presentados % Aprobados Notas medias

Almería 173 39,30 4,03

Cádiz 285 36,14 4,06

Córdoba 264 38 4,31

Granada 330 42,40 4,31 Huelva 119 44,54 4,45

Jaén 192 47,39 4,70

Málaga 366 37,00 4,10


Sevilla US 534 42,13 4,45

ANDALUCÍA 2318 40,41 4,3


en el Distrito Único Andaluz en el curso 2014-15. Resultados antes de revisión y sin incluir exámenes de coincidencias ni de incidencias.

En algunos casos se trata de datos que no corresponden a toda la muestra sino a un porcentaje muy alto de ella. 2.- Datos específicos sobre ejercicios y opciones:

Media en cada ejercicio Opción

% Elección opción

Medias en cada opción Ejerc.1 Ejerc.2 Ejerc.3 Ejerc.4

UAL 68,76 6,63 1,39 1,89 1,60 1,68 UCA 67,87 6,09 1,32 1,67 1,47 1,64 UCO 66 6,63 1,56 1,87 1,57 1,73 UGR 67,55 6,01 1,36 1,66 1,31 1,68 UHU 60,06 6,67 1,48 1,84 1,58 1,77 UJA 67,55 6,22 1,4 1,78 1,41 1,63 UMA 64,28 6,36 1,39 1,76 1,52 1,69 UPO 68,29 6,42 1,53 1,80 1,41 1,68

A

US 67,2 6,46 1,45 1,78 1,54 1,69


Jun

io 2

015

B

US 32,8 6,22 1,86 1,34 1,78 1,24

Media en cada ejercicio Opción

% Elección opción

Medias en cada opción Ejerc.1 Ejerc.2 Ejerc.3 Ejerc.4


A

US 51,69 4,72 1,04 1,43 1,65 0,6


Sep

tiem

bre

201

5

B

US 48,31 4,16 1,37 0,94 0,95 0,9

3.-Algunos gráficos:



0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Po

rce

nta

je

Junio 78,09 65,31 71,73 70,28 73,98 69,93 72,17 72,87 72,45 71,25

Septiembre 39,3 36,14 38 42,4 44,54 47,39 37 38,18 42,13 40,41

Almería Cádiz Córdoba Granada Huelva Jaén MálagaSevilla

UPOSevilla US AND


Notas medias.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

No

ta m

edia

Junio 6,56 5,88 6,32 6,12 6,41 6,02 6,22 6,28 6,38 6,22

Septiembre 4,03 4,06 4,31 4,31 4,45 4,7 4,1 4,54 4,45 4,3

Almería Cádiz Córdoba Granada Huelva Jaén MálagaSevilla

UPO

Sevilla

USAND



CURSO 2014-2015

MATEMATICAS II






Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Halla los valores a, b y c sabiendo que la grafica de la funcion f(x) =ax2 + b

x+ ctiene una asıntota vertical en x = 1, una asıntota oblicua de pendiente 2, y un extremo local en el punto deabscisa x = 3.


∫π

0

x2 sen (x) dx.

Ejercicio 3.- Considera las siguientes matrices:

A =

(−1 22 −1

), B =

1 0 0

−2 1 03 2 1

y C =

(1 0 0

−1 5 0

).

a) [1’5 puntos] Determina la matriz X para la que AtXB−1 = C, (At es la traspuesta de A).

b) [1 punto] Calcula el determinante de B−1(CtC)B, (Ct es la traspuesta de C).

Ejercicio 4.- Sea r la recta definida por

x = 1

y = 1

z = λ− 2

y s la recta dada por

{x− y = 1

z = −1

a) [1’75 puntos] Halla la ecuacion de la recta que corta perpendicularmente a las rectas dadas.

b) [0’75 puntos] Calcula la distancia entre r y s.

PROPIETARIO

Cuadro de texto

SEPTIEMBRE



CURSO 2014-2015

MATEMATICAS II






Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un rıo.El terreno debe tener 180 000 m2 para producir suficiente pasto para su ganado. ¿Que dimensiones tendrael terreno rectangular de modo que utilice la mınima cantidad de valla, si el lado que da al rıo no necesitavallado?

Ejercicio 2.- Sea f : R → R la funcion definida por f(x) =∣∣x2 − 4

∣∣.a) [0’75 puntos] Haz un esbozo de la grafica de f .

b) [1’75 puntos] Calcula el area del recinto limitado por la grafica de f y la recta y = 5.

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones

2x+ y + (α− 1)z = α− 1x− αy − 3z = 1x+ y + 2z = 2α − 2

a) [1 punto] Resuelve el sistema para α = 1.

b) [1’5 puntos] Determina, si existe, el valor de α para el que (x, y, z) = (1,−3, α) es la unica solucion delsistema dado.

Ejercicio 4.- Considera el plano π de ecuacion mx+ 5y + 2z = 0 y la recta r dada por

x+ 1

3=

y

n=

z − 1

2

a) [1 punto] Calcula m y n en el caso en el que la recta r es perpendicular al plano π.

b) [1’5 puntos] Calcula m y n en el caso en el que la recta r esta contenida en el plano π.

PROPIETARIO

Cuadro de texto

SEPTIEMBRE



CURSO 2014-2015

MATEMATICAS II














Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Hasta 0’5 puntos por c y hasta 0’75 por a. Hasta 0’5 puntos por f ′(x).

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Hasta 1’5 puntos por la aplicacion de la integracion por partes. Hasta 0’5puntos por obtener la primitiva. Hasta 0’5 puntos por aplicar la regla de Barrow.

Ejercicio 3.- (a) [1’5 puntos] Hasta 0’75 puntos si despeja X de forma simbolica y hasta 0’5 puntos sicalcula la inversa de At. (b) [1 punto] Hasta 0’5 puntos por el planteamiento.

Ejercicio 4.- (a) [1’75 puntos] Hasta 1 punto por el planteamiento. (b) [0’75 puntos] Lo indicado.

Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Hasta 1’25 puntos por la funcion a optimizar, hasta 0’5 puntos por hacerla derivada, hasta 0’25 puntos por determinar el punto crıtico, hasta 0’25 puntos por comprobar que es unmınimo y hasta 0’25 puntos por hallar las dimensiones.

Ejercicio 2.- (a) [0’75 puntos] Lo indicado en el enunciado. (b) [1’75 puntos] Hasta 1 punto porexpresar el area mediante integrales. Hasta 0’5 puntos por la obtencion de las primitivas y hasta 0’25 puntospor aplicar la regla de Barrow.

Ejercicio 3.- (a) [1 punto] Lo indicado en el enunciado. (b) [1’5 puntos] 0’5 puntos si solo obtiene losposibles valores para los que el vector dado es solucion.

Ejercicio 4.- (a) [1 punto] Hasta 0’75 puntos por el planteamiento. (b) [1’5 puntos] Hasta 1 puntopor el planteamiento.

PROPIETARIO

Cuadro de texto

SEPTIEMBRE

Comentarios de los correctores. Matematicas II.

Septiembre 2015. Universidad de Sevilla.

1) Sobre el examen.

2) Sobre las opciones.

3) Sobre los criterios de correccion.

4) Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)




OPCION A:

• Ejercicio 1. El error mas comun, e incomprensible, ha sido el operar mal con la

derivada de la funcion dada f(x) =ax2 + b

x+ c. En muchos casos, estando claro que

se conoce la formula de la derivada de un cociente, se aplica mal al hacer casoomiso de los parentesis que se deben utilizar y por tanto de la prioridad en lasoperaciones. En dichos casos, lo que deberıa ser la derivada de f se convierte en2ax(x+ c)− x2 + b · 1

(x+ c)2. Otro error, menos comun, ha sido el traducir la condicion

de que f tenga un extremo local en x = 3 como que hay que resolver f ′(x) = 3.

• Ejercicio 2. Demasiados errores relacionados con mezclar, mal, derivadas y primi-tivas del seno y el coseno. Y otros mas graves como decir que la integral/primitivade un producto es igual al producto de las integrales/primitivas.

• Ejercicio 3. (b) Es difıcil resumir la variedad de errores que se han dado en elcalculo del determinante de la matriz B−1(CtC)B siendo B una matriz 3× 3 y C

una matriz 2× 3. Algunos han sido los siguientes, la mayorıa fruto de considerarque para calcular el determinante hay que calcular primero la matriz producto:

– Calcular CtC =

2 −5 0

−5 25 00 0 0

, quitar la ultima fila y columna de ceros y

decir que el producto con B a la derecha y con la inversa de B a la izquierdano se puede hacer. Otra variante ha sido el decir que el determinante de lamatriz CtC es igual al de la matriz de orden 2 que queda al quitarle los ceroscitados.

– Decir que la matriz producto, o el determinante, no tienen sentido porque C

no es cuadrada.

• Ejercicio 4. (a) Uno de los distintos planteamientos erroneos a la hora de hacerel ejercicio ha sido el siguiente: coger un punto P de una de las dos rectas, al

1

azar la recta y el punto, construir el plano perpendicular a la recta en el puntotomado, hallar el punto Q de corte de dicho plano con la otra recta, y decir quela perpendicular comun es la recta determinada por P y Q. (b) Los errores mascomunes a la hora de intentar calcular la distancia entre las dos rectas dadas, queno se cortan ni son paralelas, han sido el calcular la distancia entre un punto,elegido al azar, de una de las rectas y otro punto, igual de azaroso, de la otrarecta; o calcular la distancia entre un punto de una de las rectas y la otra cosa,como si las rectas fueran paralelas.

OPCION B:

• Ejercicio 1. Ademas de los errores habituales, y sorprendentes, de no llegar aplantear la funcion a minimizar por no tener claro el area de un ractngulo (!) o laparte del perımetro involucrada en 3 de los cuatro lados, me he encontrado convarios casos con el siguiente error: se plantea la funcion a minimizar f(x) = 2x+180000

x(o x+2

180000

x) sobre los valores positivos de x, a continacion se reduce la

expresion a comun denominador f(x) =2x2 + 180000

xy a continuacion se quita

el denominador. Supongo que el planteamiento erroneo que hay detras sera algodel tipo: como al igualar a cero la derivada me puedo olvidar del denominador de

la derivada, pues quito ya el denominador, que lo unico que hace es estorbar,...

• Ejercicio 2. (a) La peticion de esbozo de la grafica es una expresion queaparece con cierta frecuencia en los ejercicios propuestos. Dicha expresion sugiereque el estudio que hay que hacer de la grafica no tiene que ser exhaustivo. Apesar de lo anterior me he encontado con ejercicios en los cuales se pretendehacer un estudio completo: crecimiento y decrecimiento, extremos, concavidad yconvexidad, asıntotas, verticales, horizontales y oblıcuas, etc. Cabe imaginar eltratamiento que se da, en algunos ejercicios, a la relacion entre el valor absolutoy la derivada a la hora de estudiar el crecimiento. (b) Los principales errores hansido los provenientes de no tener muy claro el recinto y de no manejar de maneraapropiada el valor absoluto.

• Ejercicio 3. (a) En este apartado se pedıa la resolucion de un sistema de ecuacioneslineales para un valor dado de un parametro. Haciendo caso omiso del enunciado,en algunos ejercicios los autores comienzan por discutir el sistema segun los valoresdel parametro. A pesar de ser un ejercicio trivial, al menos este apartado, quese puede resolver con herramientas elementales, se dan demasiados errores en laoperaciones elementales a la hora de ir despejando incognitas, o a la hora decalcular determinantes (cuando se aplica la regla de Cramer). Dichos erroresserıan faciles de detectar sin mas que comprobar si lo obtenido es solucion o no.(b) En algunos ejercicios se aborda este apartado con la discusion del sistema enfuncion del parametro. En algunos casos lo que se hace a continuacion es intentarresolver el sistema en funcion del parametro con la consiguiente cascade de erroresy mezcla de conceptos.

• Ejercicio 4. (a) Si piden valores para los cuales una recta es perpendicular a unplano. El error mas ha sido el imponer dicha condicion diciendo que el vector

2

direccion de la recta tiene que ser ortogonal al vector normal al plano. (b) Eneste apartado, en el que se pedıan valores para los cuales una recta esta contenidaen un plano, la variedad de planteamientos y calculos erroneos ha sido mayor queen el apartado anterior. Entre ellos esta el imponer que el vector direccion de la

recta sea un punto del plano.

Corrector 2.

1) Sobre el examen.

Enunciado del tipo ”esboza la grafica de la funcion” tal es demasiado ambiguo, deberıaexplicitarse mas. Respecto al Ejercicio 3 de la opcion A, no le veo interes en quemultipliquen matrices y calculen de nuevo inversa, determinante, que es lo que hacenla mayorıa y eso ya esta valorado en el apartado anterior; habrıa que forzar a queusaran propiedades de los determinantes.


Se deberıa dar el examen resuelto a todos los correctores.OPCION A:

• Ejercicio 2. Los criterios me han complicado mas que ayudado en la correccion.

OPCION B:

• Ejercicio 1. Se recomienda la puntuacion de 0,25 por la comprobacion del mınimo;creo que deberıa pedirse en el enunciado tal comprobacion (este comentario ya sehizo en la convocatoria anterior por otro corrector); el 1,25 inicial que se da porla funcion a optimizar no deberıa de darse si el alumno no indica claramente queel objetivo del problema es buscar el mınimo de esa funcion (algunos sı llegan aescribir la funcion pero no saben que hay que hacer con ella y en ese caso no creoque merezcan el 1,25).

• Ejercicio 2. El desglose de puntos para expresar el area como integral me ha dadomas problemas que ayudado ya que se dan casos muy variopintos.

En general, creo que un desglose tan minucioso no ayuda, deberıa ser algo mas deltipo: x puntos si comprende el concepto tal, y puntos si conoce el procedimiento tal,z puntos si hace un planteamiento correcto,...


OPCION A:

• Ejercicio 2. Muy pocos saben manejarse con cos(π), sen(π), . . .

• Ejercicio 4. Para calcular la perpendicular a dos rectas que se cruzan, muchostoman un punto de cada recta y construyen la recta entre ellos.

OPCION B:

• Ejercicio 1. Es comun que den como unica solucion de x2 = 90000 solo la raızpositiva y olviden la negativa.

3

• Ejercicio 2. Al plantear la integral para hacer el area le quitan el valor absolutodirectamente a la funcion. Casi nadie lo hace bien.

Corrector 3.

1. Sobre el examen.

El examen me parece adecuado para los contenidos que desarrollamos en 2Ao de Bachi-llerato.


Las dos opciones me parecen bastante acertadas, con un nivel de complejidad bastanteigualado.


Los item que se han proporcionado para corregir todos bajo los mismo criterios meparecen bastante buenos, ya que abarcan la mayorıa de los casos que nos encontramosal corregir.


Los errores mas frecuentes o mas alarmantes han sido los siguientes:

OPCION A:

• Ejercicio 1. No asocian en muchas ocasiones el tener una asıntota con el desarrollode un lımite.

• Ejercicio 2. Errores de signo bastante frecuentes a la hora de integrar las razonestrigonometricas basicas.

• Ejercicio 3. No despejan X simbolicamente al resolver una ecuacion matricial, lohacen ”a lo bruto”, es decir, colocando una matriz con incognitas.

• Ejercicio 4. No entienden que significa la perpendicular comun a dos rectas dadas.

OPCION B:

• Ejercicio 1. En el problema de optimizacion me he encontrado muchos erroresen la funcion area. (Han usado el area del triangulo o incluso el teorema dePitagoras).

• Ejercicio 2. No saben definir el valor absoluto como una funcion a trozos. A lahora de calcular el area de un recinto, suelen dibujarlo bien pero en la mayorıa delos casos no han dividido la integral en dos tramos, siempre usan el mismo. Y enel caso que divide la integral en dos tramos, en los integrando colocan la funcionque les parece sin analizar el dibujo.

• Ejercicio 3. En el apartdo b del sisitema de ecuaciones, el error comun es que losalumnos no saben que condiciones debe cumplir la terna de valores dados paraque sea solucion. Empiezan a resolver el sistema a lo loco.

4

• Ejercicio 4. He observado en varias ocasiones que los alumnos no diferencianvector director con puntos de la recta o el plano. Me he encontrado un alumnoque imponia que un vector de la recta perteneciera al plano sustituyendo lascoordenadas del vector en la ecuacion general del plano.

Corrector 4.


OPCION A:

• Ejercicio 1. Se detectan muchos casos en los que al hacer la derivada, no utilizanparentesis en el numerador y por tanto no realizan la resta de forma correcta.

• Ejercicio 2. Me he encontrado con demasiada frecuencia con la igualdad

cosx · x = cosx2.

OPCION B:

• Ejercicio 3. En el apartado (b) hallan los valores posibles para una de las condi-ciones, pero no terminan el ejercicio por no comprobar si cumplen todas las condi-ciones.

• Ejercicio 4. Demasiados alumnos utilizan que si la recta es perpendicular al plano,el vector normal al plano y el vector director de la recta tienen que ser iguales (enlugar de proporcionales).

5



CURSO 2014-2015

MATEMATICAS II






Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Se quiere construir un deposito abierto de base cuadrada y paredes verticalescon capacidad para 13’5 metros cubicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme.Calcula las dimensiones del deposito para que el gasto en chapa sea el mınimo posible.


∫ −x2

x2 + x− 2dx.


λx+ y − z = −1λx + λz = λ

x+ y − λz = 0

a) [1’5 puntos] Discute el sistema segun los valores de λ.

b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 0.

Ejercicio 4.- Sean los puntos A(0, 1, 1), B(2, 1, 3), C(−1, 2, 0) y D(2, 1,m).

a) [0’75 puntos] Calcula m para que A,B,C y D esten en un mismo plano.

b) [0’75 puntos] Determina la ecuacion del plano respecto del cual los puntos A y B son simetricos.

c) [1 punto] Calcula el area del triangulo de vertices A,B y C.

fernando

Cuadro de texto

JUNIO



CURSO 2014-2015

MATEMATICAS II






Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sabiendo que limx→0

ax2 + bx+ 1− cos(x)

sen (x2)es finito e igual a uno, calcula los

valores de a y b.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Determina la funcion f : (0,∞) → R sabiendo que f ′′(x) = ln (x) y que sugrafica tiene tangente horizontal en el punto P (1, 2) ( ln denota la funcion logaritmo neperiano).

Ejercicio 3.- Considera las matrices

A =

(−1 22 m

)y B =

1 2 0

−2 m 03 2 m

a) [1’5 puntos] Encuentra el valor, o los valores, de m para los que A y B tienen el mismo rango.

b) [1 punto] Determina, si existen, los valores de m para los que A y B tienen el mismo determinante.

Ejercicio 4.- Sea el plano π ≡ 2x+ y − z + 8 = 0.

a) [1’5 puntos] Calcula el punto P ′, simetrico del punto P (2,−1, 5) respecto del plano π.

b) [1 punto] Calcula la recta r′, simetrica de la recta r ≡ x− 2

−2=

y + 1

3=

z − 5

1respecto del plano π.

fernando

Cuadro de texto

JUNIO



CURSO 2014-2015

MATEMATICAS II














Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Hasta 1’5 puntos por obtener la funcion a optimizar, hasta 0’5 puntos porcalcular el punto crıtico y hasta 0’25 puntos por comprobar que es mınimo.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Hasta 0’75 puntos por la division de polinomios. Hasta 1 punto por la descom-posicion en fracciones simples. Hasta 0’75 puntos por el calculo de las primitivas.

Ejercicio 3.- (a) [1’5 puntos] Hasta 0’5 puntos por obtener los casos posibles. Hasta 0’5 puntos porcada caso. (b) [1 punto] Lo indicado en el enunciado.

Ejercicio 4.- Hasta 0’5 puntos por el planteamiento en cada apartado.

Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Hasta 0’25 puntos si comprueba que se trata de una indeterminacion. Hasta0’75 puntos por la primera aplicacion de la regla de L’Hopital. Hasta 0’5 puntos por el calculo de b. Hasta0’75 puntos por la segunda aplicacion de la regla de L’Hopital.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Hasta 0’75 por cada primitiva. Hasta 0’5 puntos por cada una de las constantes.

Ejercicio 3.- (a) [1’5 puntos] Hasta 1 punto por el planteamiento. (b) [1 punto] Hasta 0’5 puntos porla igualdad de los determinantes.


fernando

Cuadro de texto

JUNIO


1) Sobre el examen.







OPCION A:

• Ejercicio 1. La ecuacion que caracteriza a los puntos crıticos de la funcion aoptimizar lleva a la ecuacion x3 = 27. Me he encontrado mas examenes de losesperables en los cuales se decıa que esta ecuacion tiene como soluciones ±3.

• Ejercicio 2. En este ejercicio se trataba del calculo de la primitva de una funcionracional en la que el grado del numerador es igual al grado del denominador. Apesar de que en el examen de Septiembre del pasado 2014, el ejercicio 2 de laopcion A era muy similar, los mismos comentarios sobre los errores comentidosque hice a dicho ejercicio son aplicables ahora. Los citados errores comunes hansido:

– Plantear una descomposicion en fracciones simples sin reducir el problema auna fraccion con grado del numerador menor que el del denominador.

– Hacer la division e intercambiar los papeles de cociente y resto al pasar aexpresiones fraccionarias.

• Ejercicio 3. Se trataba de la discuacion de un sistema (de 3 ecuaciones linealescon 3 incognitas) dependiente de un parametro. El determinante de la matrizA de los coefientes de las incognitas es nulo para cualquier valor del parametro.Uno de los planteamientos erroneos mas comunes ha sido el determinar el rangode A a partir de que se anule o no un menor concreto de orden 2. De esta formaobtenıan, erroneamente, que el rango de A era 1 para λ = 0 y luego, al resolverel sistema en el apartado b), obtenıan un solo paramtero para describir todas lassoluciones. En algunos casos, haciendo caso omiso a la resolucion, se obligabaa que hubiera dos parametros para que los resultados fueran coherentes con elapartado a).

• Ejercicio 4c. Uno de los fallos habituales ha sido querer calcular el area con-siderando que una altura es la distancia de un vertice al punto medio del ladoopuesto. Es decir considerando que se trata de un triangulo isosceles (donde acada cual le venga bien).

1

OPCION B:

• Ejercicio 1. Un error habitual ha sido derivar mal el denominador, sen (x2),diciendo que dicha derivada es 2 sen (x) o cos(2x) u otras expresiones peregrinasde procedencia incierta. Menos habitual que el anterior, pero mas de lo quedeberıa, ha sido el derivar mal sen (x) y cos(x) intercambiando los signos de lasderivadas correctas.

• Ejercicio 2. Los errores mas comunes han sido (i) no considerar la constante deintegracion en el primer calculo de primitivas y (ii) poner que el que la rectatangente a la grafica de f en el punto (1, 2) sea horizontal se traduce en quef ′(1) = 2.

• Ejercicio 3. La discusion, en el apartado a), de los rangos de A (matriz 2×2) y deB (matriz 3× 3) ha sido planteada, mayoritariamente, de manera farragosa y enmuchos casos de manera erronea. El principal error ha consistido en la extranadeduccion siguiente: puesto que det(A) solo se anula para m = −4 y det(B) solose anula para m = 0 y m = −4, entonces los rangos de A y B coinciden para

m = −4 ¿?.

• Ejercicio 4. Un error muy habitual ha sido el considerar, sin ningun tipo decomprobacion ni duda sobre cual era la posicion relativa de la recta y el plano,que la recta dada era paralela al plano y por tanto la simetrica tenıa que tener elmismo vector direccion.

Corrector 2.

1. Sobre el examen.En el ejercicio 1 de la opcion A deberıa haber dicho que tenıa forma de prisma recto,tener paredes verticales no es suficiente informacion.

2. Sobre las opciones.Las dos opciones eran faciles, quizas la opcion A lo era un poco mas.

3. Sobre los criterios de correccion.Deberıa fijarse la cantidad a penalizar para aquellos alumnos que escriben la infor-macion como quieren (no ponen nunca la dx en las integrales, se comen los parentesis,etc.)

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)Es injustificable que bastantes alumnos no distingan volumen, superficie, suma dearistas. Deberıa fijarse una penalizacion grande a quienes no conozcan conceptos muybasicos.

Corrector 3.

- Comentarios generales.

1. Creo innecesario el uso de calculadoras para el examen.

2

2. En el ejercicio 4 de la opcion A es desafortunada la eleccion del punto D(2, 1, m),habida cuenta de que el punto B del enunciado es (2, 1, 3).

3. El ejercicio 4 de la opcion A es mas facil que el 4 de la opcion B. El apartado c) dela opcion A, con un valor de un punto, se reduce simplemente a la aplicacion dela formula del area de un triangulo, mientras que el de la opcion B requiere mayorcomprension por parte del alumno. Quizas deberıa haberse anadido una preguntaadicional a este ejercicio, para que el alumno estudiara la posicion relativa de larecta y el plano.

4. En general, considero mas estandar la opcion A, elegida por 114 alumnos, quela B elegida por 46 alumnos. Solamente dos alumnos han hecho bien el segundoapartado del ejercicio 4 de la opcion B.

5. Asimismo, deberıan penalizarse (aunque fuera mınima tal penalizacion) las faltasde ortografıa.

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)OPCION A:

• Ejercicio 1. Hay alumnos que minimizan el perımetro.

• Ejercicio 2. Muchos alumnos no efectuan la division.

• Ejercicio 3. Algunos alumnos calculan bien el determinante de la matriz de loscoeficientes, pero consideran entonces λ = 0.

• Ejercicio 4. La simple memorizacion de resultados hace que algunos alumnos seequivoquen al calcular el area del triangulo.

OPCION B:

• Ejercicio 1. • Me he encontrado por primera vez ”razonamientos” del tipo:

ax2

x2 + bx

x2 +1

x2 − cos x

x2

senx2

x2

= limx→0

a+ b

x+ 1

x2 − cos x

x

senx2

x2

=a+∞+∞−∞

sen= 1 =⇒ a = sen

Al aplicar la regla de L’Hopital muchos han derivado la expresion siguiendo laregla del cociente.

• Ejercicio 2. Hay alumnos que no distinguen las dos constantes de integracion.

• Ejercicio 3. Algunos alumnos no se percatan de que para m = −4 el rango de Ano es 2.

• Ejercicio 4. Ha sido muy comun el error de pensar que una recta simetrica deotra respecto de un plano tiene el mismo vector de direccion.

Corrector 4.

1. Sobre el examen.Parece que el examen esta bien enmarcado dentro de los contenidos de la asignatura

3

Matem’aticas II para segundo de Bachillerato. Las partes dedicadas al Calculo In-finitesimal y al Algebra Lineal y Geometrıa estan equilibradas. Los ejercicios nopresentan ningun tipo de dificultad extra y no creo que los alumnos se hayan vistosorprendidos por los problemas del examen. La preparacion del examen habra llevadotiempo y esfuerzo que, desde aquı agradezco a los ponentes de la materia.

Ahora, quisiera realizar algunas puntualizaciones a los ejercicios del examen:

• Opcion A, ejercicio 2. El monomio x− 2 es el resto de la division polinomica enel Ejercicio 2 de la Opcion A. Unos de los factores del denominador es x+ 2. Unpequeno error en el signo ha hecho que varios estudiantes hayan simplificado laintregral racional propia y reducido el problema a la integracion

∫1

x− 1dx.

Esta integral no requiere, obviamente, descomposicion en fracciones simples, porlo que el problema propuesto y el resuelto por el estudiante no tienen la mismadificultad. Esta “casualidad” ha recortado la puntuacion en algunos estudiantesy podrıa haberse sorteado facilmente con una eleccion diferente de los coeficientesde los polinomios dados.

• Opcion A, ejercicio 3. La matriz A del sistema de ecuaciones lineales es singular(det (A) = 0) para todo valor del parametro λ. Este hecho ha podido influir enla evaluacion del ejercicio y algunos alumnos no han podido conseguir la maximacalificacion (10 puntos) porque, posiblemente, no hayan sabido reaccionar contranquilidad y sosiego ante esta circunstancia.

• Opcion A, ejercicio 4. Deberıa haberse evitado la similitud entre los puntosB(2, 1, 3) y D(2, 1, m). Observando estos puntos, un valor para m es directo. Escierto que, para un caso general, podrıa no haber unicidad; pero, en este, m = 3es el unico valor que satisface la condicion solicitada.

• Es posible que el apartado b) del Ejercicio 3 de la Opcion A este sobrevalorado.Esto mismo sucede con el apartado c) del Ejercicio 4 de la Opcion A.

• El examen puede resolverse completamente sin calculadora. Es mas, no recuerdoningun examen de Matematicas II en la PAU donde fuera necesario el uso de lacalculadora. En este edicion no he encontrado ningun examen donde la utilizacionde la calculadora haya repercutido de forma negativa en el alumno. Sin embargo,sigo pesando que serıa interesante plantearse la exclusion de la calculadora en losexamenes de Matematicas II.


• Las dos opciones del examen me parecen bastante equilibradas. Sin embargo, laOpcion A ha sido elegida mayoritariamente (98 examenes de la Opcion A frente a62 de la Opcion B). Es posible que hayan influido la presencia de dos parametrosen el lımite y la solicitud de una recta simetrica respecto a un plano.

4

• He podido encontrar un considerable numero de examenes que han cambiado deopcion despues de haber realizado uno o dos problemas de la eleccion inicial.Naturalmente, este cambio afecta de modo adverso a la calificacion.

Las dos opciones del examen son muy parejas; en ambas se platean problemasparecidos de todos los tıpicos de la asignatura (derivacion y aplicaciones, in-tegracion, matrices y sistemas de ecuaciones y geometrıa analıtica). Si ambasopciones fueran muy diferentes, podrıa entenderse, perfectamente, la aparicionde las dos opciones en el examen. Sin embargo, la posibilidad de eleccion en op-ciones tan semejantes no esta exenta de inconvenientes. El primero de ellos: losestudiantes deben leer cuidadosamente dos opciones muy similares y decantarsepor una de ellas. Esta seleccion ya consume tiempo. Si, ademas, se encuentra conalguna dificultad en el camino, pensar en el cambio de opcion, vuelve a consumirtiempo, y cambiar de opcion definitivamente, origina una perdida de tiempo masque considerable. Serıa interesante analizar la posibilidad de plantear un examensin opciones o plantear dos opciones muy muy muy dispares.

3. Sobre los criterios de correccion.Se ha hecho un esfuerzo estimable por homogeneizar al maximo los criterios de cor-reccion. De esta manera se evitan discrepancias en la evaluacion y todos los estudiantesson calificados con criterios mas exhaustivos y uniformes.

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...Durante la correccion he detectado pocos errores repetitivos. Los mas destacados son:

• La realizacion de la descomposicion en fracciones simples sin efectuar previamentela division de los polinomios; esto es, se impone la equivocada igualdad

x2

x2 + x− 2=

A

x− 1+

B

x− 2.

• La formula del area del triangulo no aparece dividida por 2.

• El analisis efectuado en el apartado a) del Ejercicio 3 de la Opcion B para ladeterminacion del rango de las matrices A y B lleva a los estudiantes a deducirque det (A) = det (B) = 0 cuando m = −4. Por este motivo, muchos alumnosha respondido en el apartado b) que m = −4 es el unico valor para el que ambasmatrices tienen el mismo determinante.

• Algunos alumnos han discutido la compatibilidad del sistema del Ejercicio 3 de laOpcion A cuando λ = 1. El estudio de esta compatibilidad ha sido extrapolado,sin justificacion, al caso general λ 6= 0.

Corrector 5.

1) Sobre el examen. Nada que decir.

2) Sobre las opciones.La opcion A ha sido la mas elegida y creo que mas asequible que la opcion B. El

5

ejercicio 3 de la opcion A ha sido complicado, no por el ejercicio en sı, sino por comose le ha explicado al alumnado de bachilerato.

3) Sobre los criterios de correccion. Nada que decir.

4) Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)OPCION A:

• Ejercicio 1.

- Algun que otro alumno/a ha despejado mal (multiplicar-restar).

- Algun que otro alumno/a ha quitado parentesis mal (donde es una multipli-cacion al quitar parentesis lo ha convertido en suma).

- Algun que otro alumno/a, aun cometiendo fallos ”gordos” en operacionesbasicas, (No errores de calculo) llegan a la solucion de forma casual. Le hepenalizado los errores cometidos y le he puntuado la solucion.

• Ejercicio 2.

- En la division polinomica intercambian el cociente por el resto.

- Muchos de ellos no dividen.

- Despejan mal.

• Ejercicio 3. Llegan muchos al decir que es SCI pero que el rango de ambas en 1.

• Ejercicio 4.

- Imponen que el determinante es igual a cero pero lo utilizan las coordenadasde los puntos y no de los vectores, dando la solucion correcta. Les ocurre amuchos.

- Al quitar parentesis con varios sumandos y un signo menos delante, solamentele cambian el signo al primer sumando.

OPCION B:

• Ejercicio 1. Muchos derivan mal cos(x2), pero la solucion es correcta.

• Ejercicio 2. Olvidan las condiciones o las confunden.

• Ejercicio 3. En el apartado b) no escriben lo que pide el enunciado, utilizan elvalor obtenido en el apartado a) y comprueban que el determinante da lo mismo.Por tanto dan solo un valor.

• Ejercicio 4. La mayorıa ,en el apartado b ,han considerado la recta r paralelaal plano, si haberlo comprobado primero. Si se han dado cuenta, que el puntoP pertenece a la recta, que ya tienen el simetrico por el apartado a y toman elmismo vector director de la recta r para construir la simetrica.

Corrector 6.

1) Sobre el examen.La nota media de los 160 examenes que he corregido ha sido de 6,39 y han aprobado116, es decir, el 72,5%.

6

Con ello se mejoran los resultados medios de la convocatoria de Junio de 2014.

Las notas medias de los cuatro problemas han estado compensadas. Estas han sido1’58, 1’60, 1’70 y 1’51 respectivamente. Este equilibrio no se mantiene al considerarcada una de las opciones por separado.

2) Sobre las opciones.En los examenes que he corregido ha habido una gran diferencia entre el numero dealumnos que han escogido cada opcion pero el porcentaje de aprobados en cada unaha sido muy similar y las notas medias cercanas.

Han optado por la A 118 alumnos, con una nota media de 6’47, de los que han aprobado85, es decir, el 72%.

La opcion B ha sido elegida por 42 alumnos. Aunque la nota media ha sido ligeramentesuperior a la de la opcion A, 6’18, el porcentaje de aprobados ha sido un poco mayor,un 73,8%, es decir 31.

En la opcion A las notas medias de los problemas han sido 1’39, 1’77, 1’63 y 1’67,respectivamente, estando sensiblemente mas compensadas que las de la opcion B.

Estas ultimas han sido 2’11, 1’10, 1’92 y 1’05, por lo que los problemas tercero y, sobretodo, primero han sido bastante mas faciles que los otros dos en la opcion B.

No obstante, a pesar del desequilibrio entre el numero de alumnos que ha escogido unaopcion frente la otra, se puede afirmar que las opciones estan compensadas.

3) Sobre los criterios de correccion.Los criterios me han parecido en general correctos y no ha habido ningun apartadosobre el que este totalmente disconforme.

4) Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)Sobre los errores cometidos destacarıa en la opcion A los cometidos en el segundoproblema, que a pesar de ello ha sido el que mejor nota media ha tenido de la opcion.

El error mas cometido ha sido intercambiar el resto por el cociente, resultando unproblema de dificultad equivalente. En ese mismo problema algunos han cambiadocomo factor del denominador x + 2 por x − 2, lo que permitıa simplificar la funcionracional y unos pocos han confundido en el valor de la integral el logaritmo con arcotangente.

En el cuarto problema de la opcion B, incluso en examenes con buena nota, muchoshan supuesto que las rectas r y r′ son paralelas.

Con la excepcion del unico examen con un 10, la nota mas alta en ese cuarto problemade los 41 examenes restantes de la opcion B ha sido un 1’75.

Corrector 7.

1) Sobre el examen.Considero que en la opcion B, el nivel de razonamiento del problema 4 apartado b) noes apropiado a 2o de Bachillerato. Los alumnos de Dibujo Tecnico podran tener masvision del problema que el resto.

7


3) Sobre los criterios de correccion.En la opcion A considero que la sugerencia de 0’25 por comprobar que es mınimo esmuy poco en comparacion con la puntuacion por poner las formulas del area y volumen.


• Formulas del area y volumen del ortoedro.

• No comprobar que la solucion es efectivamente mınimo.

• Formula de la prueba de una division.

• Si un determinante de orden n es cero, entonces el rango es de orden (n− 1).

• Si un menor de orden (n− 1) es cero, entonces el rango es de orden (n− 2).

• Formula del area de un triangulo conocidos los vertices.

• Uso de la Regla de L’Hopital sin comprobar que es una indeterminacion del tipo0/0.

• Cociente de un numero entre cero igualado a uno.

• Olvidar la constante en una integral primitiva.

• No identificar recta tangente horizontal en un punto con derivada en ese puntocero.

• Confundir la recta simetrica respecto de un plano con la recta perpendicular alplano o con una recta paralela a la recta dada.

Corrector 8.

1) Sobre el examen.En el ejercicio 1, deberıa pedirse explıcitamente la comprobacion del mınimo ya quees puntuable. He tenido muchos casos donde el ejercicio estaba perfecto a falta dela comprobacion del mınimo y temo que no lo han hecho, simplemente, porque no sepedıa. En el ejercicio 4, apartado a), si se puntua el realizar la grafica, deberıa pedirse.

2) Sobre las opciones.La opcion B es mas difıcil. La han entregado pocos alumnos y ninguno la ha hechocompletamente bien.

3) Sobre los criterios de correccion.Positivo: Me parece muy adecuado este ano que se hayan detallado los criterios hastael 0’25. Creo que eso homogeneiza bastante la correccion. Por ejemplo, si no hubierahabido esos criterios, yo habrıa puesto peores notas: No habrıa sumado 0’25 solo porponer la grafica o solo por poner el cuadro de la derivacion por partes.

Negativo: Deberıa detallarse los criterios hasta que la suma coincida con el valor totaldel ejercicio. En la mayorıa de los ejercicios esto sı ocurre, pero en algunos no, comopor ejemplo en el ejercicio 4 de la opcion B. Esto confunde mucho.

8

4) Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...)Muchos de los alumnos entregan la primera hoja en blanco. Me ha resultado raro.

OPCION A:

• Ejercicio 1. Algunos de ellos han cometido errores de base, como por ejemplo,4(xy) = 4x4y o 4(xy) = 4x+ 4y.

• Ejercicio 2. Algunos de ellos no realizan la division polinomica antes de factorizar.

• Ejercicio 3 La inmensa mayorıa, si no todos, a la hora de comprobar que el rangode la matriz ampliada es 2, no comprueban que todos los menores de orden 3× 3son cero, solo prueban con uno y no justifican por que cogen ese menor y no otro.

OPCION B:

• Ejercicio 1. No lo hace casi nadie.

• Ejercicio 4. Hacen el producto escalar de puntos.

• Ejercicio 4 b). No lo hace nadie bien. Me he encontrado el mismo comentario enmuchos examenes: ”como la recta es simetrica, tiene el mismo vector director”.Algunos devuelven la ecuacion de un plano diciendo que es una recta.

Corrector 9.


OPCION A:

• Ejercicio 1. Al calcular una raız cubica, usan el doble signo: x = 3√27 = ±3.

• Ejercicio 3. Si en una matriz encuentran una fila de ceros, el rango es 1, porquetodos los menores que cogen contiene esa fila. No se plantean coger las filasprimera y tercera.

• Ejercicio 3. En algebra, hacen una clasificacion teorica de los sistemas segun elTeorema de Rouche-Frobenius bastante detallada. No es algo negativo, pero esalgo que no se puede valorar con puntuacion, a lo que dedican mucho tiempo deexamen.

• Ejercicio 4. Para calcular el area de un triangulo, calculan el area como el modulodel vector que une un punto con el punto medio del lado opuesto, sea como seael triangulo.

OPCION B:

• Para determinar la recta simetrica de otra respecto a un plano, consideran quedebe tener el mismo vector director que la recta original.


9


en el Distrito Único Andaluz en el curso 2013-14

1.-Datos generales:

Junio Presentados % Aprobados Notas medias

Almería 980 73,88 6,33

Cádiz 1921 63,51 5,77

Córdoba 1345 73,00 6,48

Granada 1900 73,84 6,44

Huelva 616 63,47 5,69

Jaén 1171 67,68 5,85

Málaga 2215 70,02 6,05

Sevilla UPO 353 66,57 5,88

Sevilla US 2893 65,11 5,94

A�DALUCÍA 13389 68,44 6,07

Septiembre Presentados % Aprobados Notas medias

Almería 179 32,40 3,75

Cádiz 340 24,1 3,36

Córdoba 230 41 4,42

Granada 362 41,19 3,95

Huelva 133 23,31 3,38

Jaén 221 26,92 3,40

Málaga 327 43,43 4,31


Sevilla US 511 27,98 3,46

A�DALUCÍA 2373 32,83 3,75


Opción % Elección

opción

Medias en

cada opción

Media en cada ejercicio


Jun

io 2

01

4

A

UAL 63,37 6,67 2,03 1,33 1,71 1,61

UCA 58,56 6,19 1,88 1,22 1,61 1,48

UCO 60 6,78 2,01 1,49 1,72 1,62

UGR 60,42 7,05 2,02 1,55 1,86 1,62

UHU 57,79 5,92 1,84 1,28 1,37 1,43

UJA 54,40 6,12 1,83 1,34 1,57 1,39

UMA 62,20 6,45 1,97 1,34 1,50 1,56

UPO 55,24 6,13 1,91 1,27 1,58 1,38

US 62,47 6,23 1,9 1,25 1,63 1,25

B

UAL 36,63 5,77 0,89 1,51 2,14 1,23

UCA 41,43 5,17 0,87 1,27 1,93 1,1

UCO 40 6,06 1,2 1,52 2,1 1,3

UGR 39,58 5,52 0,96 1,38 1,95 1,23

UHU 42,21 5,38 0,94 1,32 1,96 1,15

UJA 45,60 5,53 0,88 1,45 2,04 1,15

UMA 37,40 5,50 0,96 1,37 1,93 1,21

UPO 44,76 5,56 1,05 1,38 2,03 1,10

US 37,53 5,45 0,95 1,4 1,97 1,27

Opción % Elección

opción

Medias en

cada opción

Media en cada ejercicio


Sep

tiem

bre

201

4

A

UAL 83,80 3,91 1,37 0,61 1,18 0,76

UCA 85,3 3,48 1,19 0,49 1,09 0,71

UCO 90 4,43 1,54 0.96 1,35 0,93

UGR 86,18 4,11 1,37 0,73 1,19 0,82

UHU 87,22 3,56 1,16 0,59 1,08 0,73

UJA 86,15 3,43 1,08 0,73 1,00 0,61

UMA 86,85 4,47 1,49 0,94 1,20 0,84

UPO 90,00 3,89 1,32 0,70 1,05 0,82

US 88,08 3,55 1,28 0,55 1,08 0,63

B

UAL 16,20 2,94 0,55 0,45 1,24 0,7

UCA 14,7 2,64 0,62 0,34 1,29 0,40

UCO 10 4,37 1,31 0,7 1,71 1,17

UGR 13,82 2,91 0,74 0,22 1,33 0,62

UHU 12,78 2,14 0,46 0,37 1,02 0,29

UJA 13,85 3,21 0,81 0,51 1,31 0,58

UMA 13,15 3,28 0,85 0,51 1,25 0,66

UPO 10,00 2,39 0,32 0,18 1,61 0,29

US 11,92 2,85 0,61 0,32 1,46 0,46

3.-Algunosgráficos:


Junio 73,88 63,51 73 73,84 63,47 67,68 69,54 66,57 65,11 68,47

Septiembre 32,4 24,1 41 41,19 23,31 26,92 43,43 30 27,98 32,83

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Po

rce

nta

je




Junio 6,33 5,77 6,48 6,44 5,69 5,85 6,09 5,88 5,94 6,07

Septiembre 3,75 3,36 4,42 3,95 3,38 3,4 4,31 3,74 3,46 3,75

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

No

ta m

ed

ia


Notas medias.



CURSO 2013-2014

MATEMATICAS II


b) Tienes que elegir entre realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion Ao realizar unicamente los cuatro ejercicios de la Opcion B.



e) Se permitira el uso de calculadoras que no sean programables, graficas ni concapacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesosconducentes a la obtencion de resultados deben estar suficientemente justificados.

Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sabiendo que lımx→0

cos(3x)− ex + ax

x sen(x)es finito, calcula a y el valor del lımite.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula ∫1

0

x2

2x2 − 2x− 4dx.


x − y + mz = 0mx + 2y + z = 0−x + y + 2mz = 0

.

a) [0’75 puntos] Halla los valores del parametro m para los que el sistema tiene una unica solucion.

b) [1 punto] Halla los valores del parametro m para los que el sistema tiene alguna solucion distinta dela solucion nula.

c) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para m = −2.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1, 1, 2) y B(1,−1,−2) y la recta r dada por

x = 1 + 2ty = t

z = 1

a) [1 punto] Halla la ecuacion general del plano que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa porA y por B.

b) [1’5 puntos] Halla el punto de la recta r que esta a la misma distancia de A y de B.

PROPIETARIO

Cuadro de texto

SEPTIEMBRE



CURSO 2013-2014

MATEMATICAS II






Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] De entre todos los numeros reales positivos, determina el que sumado consu inverso da suma mınima.


∫ π

4

0

x

cos2 xdx. (Sugerencia: integracion por partes).

Ejercicio 3.- Sabiendo que el determinante de la matriz A =

x y z

1 0 11 2 3

es 2, calcula los siguientes

determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:

a) [0’5 puntos] det(3A)

b) [0’5 puntos] det(A−1)

c) [0’75 puntos]

∣∣∣∣∣∣3 0 13x 2y z

3 4 3

∣∣∣∣∣∣

d) [0’75 puntos]

∣∣∣∣∣∣1 2 3

x+ 2 y + 4 z + 6−1 0 −1

∣∣∣∣∣∣

Ejercicio 4.- Sea r la recta que pasa por los puntos A(1, 0,−1) y B(2,−1, 3).

a) [1’25 puntos] Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta r.

b) [1’25 puntos] Halla la ecuacion de la recta que corta perpendicularmente a r y pasa por el origende coordenadas.

PROPIETARIO

Cuadro de texto

SEPTIEMBRE



CURSO 2013-2014

MATEMATICAS II


CRITERIOS GENERALES. Los criterios esenciales de valoracion de un ejercicio seran el planteamientorazonado y la ejecucion tecnica del mismo. La mera descripcion del planteamiento sin la resolucion efectiva no essuficiente para obtener una valoracion completa del ejercicio. Tambien se tendra en cuenta lo siguiente:

- En los ejercicios en los que se pida expresamente una deduccion razonada, la mera aplicacion de una formulano sera suficiente para obtener una valoracion completa de los mismos.


- Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el calculo del valor de un cierto parametro, no setendran en cuenta en la calificacion de los apartados posteriores que puedan verse afectados, siempre queresulten ser de una complejidad equivalente.

- Los errores no conceptuales en las operaciones se penalizaran con un maximo del 10% de la nota total delejercicio.


- Si se realizan ejercicios de las dos opciones, solo se evaluaran los ejercicios de la misma opcion que el primeroque aparezca fısicamente en el papel de examen.

CRITERIOS ESPECIFICOS PARA ESTE MODELO. La evaluacion se realizara segun el desglose

de las puntuaciones que se hace a continuacion. Si algun apartado no se menciona especıficamente, su puntuacion es

la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente. Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar

que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A esta hecho o estudiado correctamente, incluyendo, si

ası se pide en el enunciado, la justificacion oportuna.

Opcion A

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Hasta 0’5 puntos si comprueba que se trata de una indeterminacion. Hasta0’75 puntos por la primera aplicacion de la regla de L’Hopital. Hasta 0’5 puntos por calcular de formarazonada el valor de a.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Hasta 0’5 puntos por la division de polinomios y hasta 1 punto por ladescomposicion en fracciones simples.

Ejercicio 3.- (a) [0’75 puntos] Hasta 0’5 puntos por calcular los valores crıticos. (b) [1 punto] Hasta0’5 puntos por cada uno de los valores. (c) [0’75 puntos] Lo indicado en el enunciado.

Ejercicio 4.- (a) [1 punto] Hasta 0’5 puntos por el planteamiento.(b) [1’5 puntos] Hasta 0’75 puntos por el planteamiento.

Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Hasta 0’75 puntos por la funcion a optimizar. Hasta 1 punto por la condicionnecesaria y hasta 0’75 puntos por la condicion suficiente.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Hasta 1’25 puntos por la aplicacion adecuada de la formula de integracionpor partes y hasta 0’5 puntos por cada primitiva trascendente.

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Lo indicado en el enunciado en cada uno de los apartados.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] En cada apartado, hasta 0’5 puntos por el planteamiento.

PROPIETARIO

Cuadro de texto

SEPTIEMBRE


1. Sobre el examen.







OPCION A:

• Ejercicio 1. En la resolucion estandar de este ejercicio aparecen, aplicando la reglade L’Hopital, las derivadas de las funciones ex, cos(3x), xsen(x), cos(x) y sen(x).Sorprende el numero de estudiantes que:

– Derivan cos(3x) como −sen(3x), o como −3 sen(x), o...

– Derivan x sen(x) como cos(x). Supongo que se llegara a esta conclusion apli-cando la muy famosa NO-propiedad de que la derivada de un producto es elproducto de las derivadas.

– Derivan cos(x) como sen(x), y sen (x) como − cos(x).

• Ejercicio 2. Fallos (demasiado) habituales:

– Pretender hacer la descomposicion en fracciones simples sin tener en cuentaque el grado del numerador no es menor que el del denominador. Es decir,pretender imponer que

x2

2x2 − 2x− 4=

A

x + 1+

B

x− 2

y calcular los valores A y B que se obtienen de la anterior igualdad dandodos valores a x.

– Hacer bien la division de polinomios (calcular bien el cociente y el resto) perodescomponer mal la fraccion intercambiando los papeles de cociente y resto.Es decir, poner:

D

d= r +

c

den lugar de

D

d=

d · c + r

d= c +

r

d.

– Dividir el denominador entre el numerador.

– Descomponer el integrando como una suma en la que cada sumando es unafraccion con el numerador dado y el denominador es uno de los sumandos deldenominador dado; es decir, una barbaridad como la siguiente

x2

2x2 − 2x− 4=

x2

2x2− x2

2x− x2

4

1

con lo cual se pasa del calculo de una funcion racional al de una funcionpolinomica.

– No considerar que, una vez obtenidos los valores que anulan al denominador,en la factorizacion de dicho denominador interviene el coeficiente de x2.

– Obtener/considerar logaritmos de numeros negativos, ...

• Ejercicio 3. A pesar de ser un ejercicio muy tıpico, el hecho de tratarse de unsistema homogeneo, para cualquier valor del parametro, y de plantear las pregun-tas como conceptos, y no como nomenclatura, ha dado lugar a que se pongan demanifiesto varias deficiencias:

– Considerar que un sistema homogeneo puede ser incompatible.

– Considerar que los calificativos de ”compatible determinado”, ”compatibleindeterminado” e ”incompatible”, para un sistema de ecuaciones lineales,son simples nombres que se asocian a determinadas situaciones de rangos dematrices pero que no tienen otro significado. Esto lleva a todas las situacionescontradictorias imaginables: en un apartado se obtiene que un determinadosistema es ”compatible indeterminado” y en el siguiente se deduce que tieneuna unica solucion o que no tiene solucion; o al reves, en un apartado seconcluye, mal, que es incompatible y en el siguiente se calculan infinitassoluciones.

– Aplicar la regla de Cramer para la resolucion de un sistema en el que eldeterminante de la matriz (de los coeficientes de las incognitas) es cero.

Ademas ha habido otros errores como el que el rango de la matriz ampliada deun sistema puede ser menor que el de la matriz de coeficientes de las incognitas.

• Ejercicio 4.

a) Los errores mas importantes han sido:

(i) Calcular un plano perpendicular a r.

(ii) Calcular un plano perpendicular a la recta que pasa por A y B.

(iii) Calcular un plano paralelo a r y que contiene a la recta que pasa por Ay B.

b) El error mas generalizado ha sido el hacer caso omiso del enunciado. De estaforma, en muchos casos, lo que se ha calculado ha sido el punto medio delsegmento AB o las distancias de A y B a la recta r, etc.

OPCION B:

• Ejercicio 1. Resulta sorprendente que en un problema de optimizacion con unafuncion a optimizar tan simple de plantear, haya quien ni siquiera llegue a plantearla.Y mucho mas sorprendente que esa haya sido la tonica general (de quienes hanelegido la opcion B).

• Ejercicio 2. No se puede decir que haya habido errores comunes, si excluimos deestos el no hacer nada del ejercicio. En algunos casos se ha intentado el calculo dela integral considerando que el cos2 x estaba multiplicando en lugar de diviendo.En estos casos se deducıa que la primitiva cos2 x era sen2x, o cosas parecidas.

2

• Ejercicio 3. El unico apartado que ha sido resuelto de forma correcta en generalha sido el apartado (b).

• Ejercicio 4. El principal fallo, en ambos apartados, ha sido el no llegar a plantearel ejercicio.

Corrector 2.

1. Sobre el examen. Me ha parecido que entra dentro de lo normal, bastante compensadocon alguna pregunta bstante sencilla en cada una de las opciones.

2. Sobre las opciones. La opcion A creo que era mas sencilla y es la que han elegidocasi todos los alumnos. Salvo la integral de la funcion racional, en la que han falladomucho, las otras preguntas eran mas sencillas que las de la opcion B.

3. Sobre los criterios de correccion. Creo que estaban bien detallados y que con un pocode experiencia en correccion de examenes es facil aplicar los criterios.

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...) Como ya he dicho antes, casi todoslos alumnos han elegido la opcion A y los que han elegido la opcion B han obtenido muymalos resultados. Creo que algunos alumnos han elegido la opcion B porque no ibanbien preparados y de las ocho preguntas solo creıan saber hacer la de las propiedadesde los determinantes.

Fallos muy frecuentes han sido los siguientes:

• Se equivocan al derivar.

• No dividen los polinomios para hacer la integral de la funcion racional.

• No factorizan bien y despues tienen problemas para descomponer en fraccionessimples.

• Al estudiar el sistema de ecuaciones, a pesar de que suelen hallar bien los valorescrıticos, no contestan a lo que se les pide.


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CURSO 2013-2014

MATEMATICAS II






Opcion A

Ejercicio 1.- Sea f : R → R definida por f(x) = x3 + ax2 + bx+ c.

a) [1’75 puntos] Halla a, b y c para que la grafica de f tenga un punto de inflexion de abscisa x = 1

2y

que la recta tangente en el punto de abscisa x = 0 tenga por ecuacion y = 5− 6x.

b) [0’75 puntos] Para a = 3, b = −9 y c = 8, calcula los extremos relativos de f (abscisas donde seobtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2.- Sean f : R → R y g : R → R las funciones definidas respectivamente por

f(x) =|x|2

y g(x) =1

1 + x2

a) [1 punto] Esboza las graficas de f y g sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entreambas graficas.

b) [1’5 puntos] Calcula el area del recinto limitado por las graficas de f y g.

Ejercicio 3.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

x + 2y − 3z = 32x + 3y + z = 5

}

a) [1’5 puntos] Calcula α de manera que al anadir una tercera ecuacion de la forma αx + y − 7z = 1el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original.

b) [1 punto] Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incognitassea 4.

Ejercicio 4.- Considera la recta r que pasa por los puntos A(1, 0,−1) y B(−1, 1, 0).

a) [1 punto] Halla la ecuacion de la recta s paralela a r que pasa por C(−2, 3, 2).

b) [1’5 puntos] Calcula la distancia de r a s.

fernando

Cuadro de texto

JUNIO



CURSO 2013-2014

MATEMATICAS II






Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Se desea construir un deposito en forma de cilindro recto, con base circulary sin tapadera, que tenga una capacidad de 125 m3. Halla el radio de la base y la altura que debe tenerel deposito para que la superficie sea mınima.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Sea f la funcion definida por f(x) = x ln(x + 1) para x > −1 (ln denota ellogaritmo neperiano). Determina la primitiva de f cuya grafica pasa por el punto (1, 0).

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Considera las matrices

A =

0 1 1

1 0 00 0 1

y B =

1 −1 1

1 −1 0−1 2 3

Determina, si existe, la matriz X que verifica AX +B = A2.

Ejercicio 4.- Sea r la recta definida por

{x+ 2y − z = 32x− y + z = 1

a) [1’5 puntos] Determina la ecuacion general del plano que contiene a r y pasa por el origen decoordenadas.

b) [1 punto] Halla las ecuaciones parametricas del plano que corta perpendicularmente a r en el punto(1, 1, 0).

fernando

Cuadro de texto

JUNIO



CURSO 2013-2014

MATEMATICAS II


CRITERIOS GENERALES. Los criterios esenciales de valoracion de un ejercicio seran el planteamientorazonado y la ejecucion tecnica del mismo. La mera descripcion del planteamiento sin la resolucion efectiva no essuficiente para obtener una valoracion completa del ejercicio. Tambien se tendra en cuenta lo siguiente:

- En los ejercicios en los que se pida expresamente una deduccion razonada, la mera aplicacion de una formulano sera suficiente para obtener una valoracion completa de los mismos.


- Los errores cometidos en un apartado, por ejemplo en el calculo del valor de un cierto parametro, no setendran en cuenta en la calificacion de los apartados posteriores que puedan verse afectados, siempre queresulten ser de una complejidad equivalente.

- Los errores no conceptuales en las operaciones se penalizaran con un maximo del 10% de la nota total delejercicio.


- Si se realizan ejercicios de las dos opciones, solo se evaluaran los ejercicios de la misma opcion que el primeroque aparezca fısicamente en el papel de examen.

CRITERIOS ESPECIFICOS PARA ESTE MODELO. La evaluacion se realizara segun el desglose

de las puntuaciones que se hace a continuacion. Si algun apartado no se menciona especıficamente, su puntuacion es

la que figura en el enunciado del ejercicio correspondiente. Cuando se dice: “x puntos por A”, hay que interpretar

que se deben conceder x puntos si lo que se dice en la frase A esta hecho o estudiado correctamente, incluyendo, si

ası se pide en el enunciado, la justificacion oportuna.

Opcion A

Ejercicio 1.- (a) [1’75 puntos] Hasta 0’5 puntos por imponer cada una de las condiciones.(b) [0’75 puntos] Hasta 0’25 puntos por el calculo de los puntos crıticos.

Ejercicio 2.- (a) [1 punto] Hasta 0’25 puntos por la grafica de f . Hasta 0’5 puntos por los puntosde corte. (b) [1’5 puntos] Hasta 0’5 puntos por expresar el area en terminos de integrales. Hasta 0’5puntos por la primitiva de g.

Ejercicio 3.- (a) [1’5 puntos] Hasta 1 punto por el planteamiento. (b) [1 punto] Lo indicado en elenunciado.

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] En cada uno de los apartados, hasta la mitad de la puntuacion por elplanteamiento.

Opcion B

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Hasta 1’25 puntos por obtener la funcion a optimizar. Hasta 0’5 puntos porel calculo del punto crıtico y hasta 0’5 puntos por justificar que es un mınimo.

Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Hasta 1’25 puntos por la aplicacion de integracion por partes. Hasta 0’25puntos por el calculo de la constante.

Ejercicio 3.- [2’5 puntos] Hasta 1 punto si despeja X matricialmente. Hasta 0’75 puntos si calculaA−1.


fernando

Cuadro de texto

JUNIO


1. Sobre el examen.







Cada vez echo mas en falta el que, una vez obtenidos unos resultados, haya una mınimacomprobacion de los aspectos que sean facilmente comprobables (aunque dicha com-probacion no se haga de forma explıcita como parte de la resolucion):

• Cuando se calcula una primitiva (en las dos opciones, Ejercicio 2): comprobarque la derivada es la que tiene que ser.

• Si se trata de resolver un sistema (Opcion A, Ejercicio 3): comprobar que lasolucion que se obtiene verifica las ecuaciones del sistema, por lo menos alguna.

• Si se calcula la inversa de una matriz (Opcion B, Ejercicio 3): comprobar que elproducto de la matriz dada por la que se supone tiene que ser la inversa es iguala la matriz identidad.

• Si se trata de calcular un plano que contiene a una recta (Opcion B, Ejercicio4(a)): comprobar que algun punto de la recta (con dos bastarıa) esta en el planoo comprobar que el vector direccion de la recta es perpendicular al vector normalal plano.

• Si se trata de calcular un plano perpendicular a una recta (Opcion B, Ejercicio4(b)): comprobar que el vector direccion de la recta es (un multiplo de) el vectornormal al plano.

• ...

Al margen de como se penalice un error aritmetico (cambiar un signo, multiplicarcuando se trata de sumar o vicerversa, etc.) en la realizacion de un calculo, serıa unacuestion de debate/discusion como debe ser considerado dicho error cuando conducea un resultado claramente erroneo. El error en sı puede no ser relevante pero el nover, en casos como los citados anteriormente, que el resultado no es correcto si es algorelevante. Por poner un ejemplo, si hay un error aritmetico en el calculo de la inversa deuna matriz y se obtiene un resultado incorrecto, ¿que se debe penalizar? ¿solo el erroraritmetico? ¿el que no se sabe lo que es la inversa de una matriz? ¿el que no se sabemultiplicar matrices? Obviamente hay situaciones que no debieran ser cuestionables.

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Si en la situacion anterior se llega a que la inversa obtenida tiene una fila de ceros, porponer un ejemplo, es obvio cual debe ser la penalizacion.

A pesar de corregir en casi todas las convocatorias de selectividad, reconozco que enesta convocatoria ha habido algunos fallos y algunos detalles que me han sorprendido.A continuacion enumero algunos de los fallos y detalles mas comunes.

OPCION A:

• Ejercicio 1. En algunos de los examenes corregidos la condicion de que un puntode inflexion tenga abscisa x = 1

2se ha traducido como que f ′′(0) = 1

2, y en algun

otro como que se anulen en x = 12

tanto la derivada primera como la segunda.

• Ejercicio 2a. Para representar la grafica de la funcion f definida por f(x) =|x|2

mas alumnos de los que serıa deseable, y razonable, lo hacen representando, mal,varios puntos de la grafica. De esa forma, lo que tendrıan que ser dos semirrectasaparecen como dos medias parabolas (por llamarlo de alguna forma). Por otraparte, sorprende que en la representacion de la funcion g(x) = 1

1+x2 haya quiendetermine una grafica con una parte por debajo del eje horizontal.

• Ejercicio 2b. En el calculo del area aparece la integral

∫ 1

0

1

1 + x2dx. Sorprende,

por un lado, que hay muchos alumnos que no reconocen a la primitiva comoinmediata y por otro, que muchos de los alumnos que ponen bien la primitiva, alaplicar la regla de Barrow y tener que obtener arctg (1) dan dicho resultado engrados, en lugar de radianes. No tengo muy claro si esto es un sintoma de faltade uso habitual de la calculadora, tan poco que no se cae en la cuenta de que hayque ponerla para que trabaje en radianes en lugar de grados, o un uso excesivoque lleva a utilizarla para calcular el arco cuya tangente es 1. Algo que deberıaestar claro es que para hacer ciertos calculos (como el anterior, o la raız cuadradade 4, o 12 dividido entre 3, etc.) es un mal sintoma utilizar calculadora. Por otraparte, si se usa la calculadora de forma habitual habrıa que tener claro que, almenos con las funciones arco hay que trabajar en radianes (por la misma razonpor la que el area de un cırculo de radio r es π r2, y no 180 r2).

• Ejercicio 3a. Se pedıa determinar el valor de un parametro para que al anadir unaecuacion a un sistema de dos ecuaciones (con tres incognitas) el sistema resultantetuviera las mismas soluciones que el original. A pesar de la clara interpretaciongeometrica que tiene el problema (que un plano contenga a la recta interseccionde dos planos dados,...), ninguno de los examenes que yo he corregido contemplaesta vertiente geometrica sino que, en la mayoria de los casos, directamente seimpone que el determinante de la matriz de los coeficientes de las incognitas seacero, y nada mas.

• Ejercicio 3b. Se pedıa resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas.Los fallos mas comunes han sido los aritmeticos. Estos hubieran sido facilmentedetectables sin mas que comprobar si lo obtenido verifica las ecuaciones que de-berıan cumplir.

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• Ejercicio 4b. En este ejercicio se pedıa calcular la distancia entre dos rectas para-lelas. El calculo de dicha distancia se puede obtener de muchas formas distintas(cortando ambas rectas con un plano perpendicular, obteniendo los ingredientespara aplicar una formula que a los alumnos les gusta, etc.). Me sorprendio, yme alegre, de que en 1 de los 94 examenes que he corregido de la opcion A (losrestantes hasta 155 eran de la opcion B) el calculo de la distancia se hiciera comoun problema de mınimo, y se hiciera bien. De los restantes, algunos bien y otrosmal, incluyendo todo tipo de fallos: fallos de manipulacion y fallos de conceptosobre lo que se esta haciendo.

OPCION B:

• Ejercicio 1. Sorprende que haya alumnos que no tienen muy claro cual es elvolumen de un cilindro, y del area lateral ni hablamos. Lo mismo se puede decirdel area de un cırculo y la longitud de una circunferencia.

• Ejercicio 2. En este ejercicio se pedıa una primitiva en cuyo calculo habıa queutilizar integracion por partes. Reconozco que no soy especialmente aficionado alas reglas nemotecnicas. Hace no mucho tiempo me entere de que una forma derecordar dicha formula era recordar que “Un Dia Vi Una Vaca Vestida De Uni-forme”. En varios de los examenes que he corregido de la opcion B ponıa ALPES.La primera vez que lo vi pense que quien lo habıa escrito estaba pensando en lasvacaciones. Al verlo en repetidas ocasiones ya supuse que serıa otra cosa. Bus-cando en Internet encontre que es el acronimo de Arcos, Logaritmos, Potencias,Exponenciales y Senos y cosenos, y se usa para elegir adecuadamente las partesen la formula de integracion por partes. Al margen de este tipo de cuestionesanecdoticas, y por mucho que se controlen reglas nemotecnicas como las citadas,es dificil llegar a la resolucion completa de un ejercicio como el considerado sino maneja bien el calculo de derivadas (que aparece en la nueva integral de laformula) y no se sabe obtener el cociente y el resto en la division de polinomiosque aparece despues de aplicar la integracion por partes (un polinomio de segundogrado dividido por un polinomio de primer grado).

• Ejercicio 3. El fallo mas comun en este ejercicio ha sido el despejar la matrix Xde la ecuacion dada sin tener claro que “despejar” es algo que se hace en base aoperaciones sobre los dos miembros de una igualdad y que dichas operaciones noalteran la igualdad. Aparece el fallo habitual de multiplicar por la inversa de A,en un miembro de la igualdad por la derecha y en el otro por la izquierda, y elfallo de una vez despejada AX = A2−B obtener A−1AX = A−1A2−B. La faltade uso de parentesis no solo si circunscribe a las operaciones matriciales sino quese detecta en cualquier operacion algebraica e incluso con expresiones numericas.

• Ejercicio 4. En este ejercicio se trataba de determinar, en el apartado (a), unplano que contiene a una recta y en el apartado (b) un plano perperdicular adicha recta. Mas alumnos de lo que serıa razonable, y deseable, determinan unplano perpendicular cuando se pide uno que contenga a la recta y viceversa. Enalgunos casos, en uno de los apartados se determina un plano en forma implıcitay en el otro se determina el mismo plano anterior pero en forma parametrica. Y

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uno de los dos apartados esta bien. Da la impresion de que se hacen calculos demanera indiscrimida, y poco crıtica, respecto a lo que se obtiene.

Corrector 2.

1. Sobre el examen. En general el examen no entranaba especial dificultad. El nivel delmismo, a mi entender, ha sido medio y en la lınea de lo que se pretende, es decir, valorarel grado de consecucion de los objetivos propuestos para la materia de Matematicas II.

2. Sobre las opciones.OPCION A:

• El alumnado se ha decantado claramente por esta opcion. Creo que debido prin-cipalmente a la aversion del mismo a resolver problemas (opcion B, ejercicio 1).

• Ejercicio 2. Un esbozo no implica un analisis detallado de las funciones, pero sıun mınimo estudio necesario para llegar a conclusiones sobre su grafica. Para lagrafica de f no se necesita gran cosa, sin embargo para el esbozo de la graficade g muchos alumnos no han realizado comentarios relativos a la tendencia, alsigno, puntos de corte o estudiado al menos su monotonıa. Sabıan de ”memoria”su grafica o ”les sonaba” y se han limitado a dibujarla sin realizar justificacionalguna de la misma.Muchos han fallado al calcular los puntos de corte, planteando ecuaciones y ex-trayendo conclusiones de las mismas muy erroneas del tipo

x(1 + x2) = 2 =⇒ x = 2, x = 1 y x = −1

(lo cual me ha sorprendido bastante). Pocos han realizado un calculo correcto delos puntos de corte razonado y aplicando Ruffini.

• Ejercicio 3. a) Pocos alumnos han realizado un analisis total de las condicionesnecesarias para que al anadir la ecuacion, el sistema tuviera las mismas soluciones.Algunos sı han calculado con un determinante que el rango de la ampliada tambienes dos y otros han demostrado que se cumplen los requisitos demostrando medi-ante trasformaciones elementales que la nueva ecuacion es combinacion lineal delas dos dadas en el enunciado.

OPCION B:

• Ejercicio 1. En general, trasladar al leguaje matematico un enunciado, plante-ando de forma correcta todas las variables necesarias y sus posibles relaciones,para despues solucionar, siembra la duda en el alumnado, maxime tratandose deun examen de selectividad y la presion que supone. Sin embargo el problemapropuesto en el examen es tıpico y posiblemente visto ya en 1 de Bachillerato encasi todos los centros. Por tanto, desde mi punto de vista es acertado y en lıneacon el nivel y lo que se pretende.

• Ejercicio 3. Lo han resuelto con relativa facilidad. Un porcentaje muy alto dealumnos lo han planteado correctamente, calculando la matriz inversa de A y

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llegando a la expresion correcta de X. Estos ejercicios no suponen dificultad, pero”jugar” con muchos numeros y realizar una cantidad considerable de operacionesimplica concentracion y destreza en la realizacion de operaciones con numeros.

3. Sobre los criterios de correccion. Creo que los criterios especıficos de correccion que senos entregaron en la reunion de coordinacion (tanto los generales como los especıficosdel modelo) son claros pero de difıcil implementacion, principalmente debido a la faltade tiempo para poder aplicarlos con la atencion y dedicacion que se merece una pruebade esta importancia.Uno de los criterios generales puntualiza que si en el calculo del valor de un parametrose ha cometido un error, no se tendra en cuenta en la calificacion de los apartadosposteriores que puedan verse afectados, siempre que resulten ser de una complejidadequivalente. En mi opinion este es un criterio discrecional de muy difıcil aplicacion.En la reunion de coordinacion deberıa quedar mas cerrado (dentro de lo posible).En la reunion de coordinacion se terminaron de perfilar bien los criterios de correcciony se envio el mismo dıa correos a todos los vocales correctores.


5. Propuesta de mejora: Poder disfrutar de dos dıas mas para la correccion de los ejercicioscon el fin de que redunde directamente en la calidad de la correccion. Dar en lareunion de coordinacion un examen resuelto y poder anotar in situ especificacionessobre los criterios de correccion concretos a aplicar en cada subapartado. Especificaren el examen (de alguna manera) que se entiende por esbozo de una grafica si se vuelvea preguntar.

Corrector 3.

1. Sobre el examen. El examen me ha parecido correcto, aunque deberıan evitarse queaparezcan numeros complicados, como por ejemplo los de las incognitas de la soluciondel ejercicio 3(b) de la opcion A.

2. Sobre las opciones. La opcion A ha sido escogida por 96 alumnos y la B por 54. Lanota media de los que han hecho la A es 6,38, mientas que los de la B es 5,94. En laopcion A han alcanzado el 5 un 74%, mientras que en la B un 65%.

3. Sobre los criterios de correccion. Me han parecido correctos.

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...) Un error frecuente ha ocurrido enel ejercicio 4(b) de la opcion A, donde se ha utilizado una formula que solo sirve paracalcular distancias entre rectas que se cruzan, porque si estas son paralelas aquellaproduce una fraccion donde se anulan el numerador y el denominador.

El uso de la calculadora provoca algunos errores. El mas grave, que tambien ha sidocomun, ha sido en el ejercicio 2 de la opcion B, donde se ha valorado el arco-tangenteen grados y no en radianes. Tambien en el ejercicio 1 de la opcion B algunos alumnoshan aplicado redondeos que provocaban que en la solucion el radio y la altura tuviesenvalores ligeramente distintos.

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Corrector 4.

1. Sobre el examen. Creo que deben ser en las dos opciones: Los 4 ejercicios con dosapartados (a) y (b). La puntuacion en los ejercicios 1(a), 2(a), 3(a) y 4(a) la misma yen los ejercicios 1(b), 2(b), 3(b) y 4(b) la misma. Esto facilitarıa la labor del correc-tor. Ademas en la primera hoja de los examenes debe haber unos recuadros donde elcorrector ponga la calificacion de cada uno de los ejercicios y apartados. Los ejerciciosme parecen adecuados.

2. Sobre las opciones. La opcion B llevaba un grado mayor de dificultad operativa. Elejercicio 1 de la opcion A era tan trivial en las operaciones que ha sido dificil suevaluacion.

3. Sobre los criterios de correccion. Deberıan especificarse mas los criterios de correccion ydeberıa facilitarse al corrector los ejercicios resueltos con valoraciones parciales. NOTA:Un criterio general nos dice: la presentacion clara y ordenada del ejercicio se valorarapositivamente. Una presentacion farragosa y desordenada ¿como se valora?. Si no sevalora negativamente (que no esta en ningun criterio), entonces el criterio general noes tenido en cuenta. ¿¿¿¿????

4. Sobre los examenes corregidos (errores comunes,...) De todo un poco.

Corrector 5.

1. Sobre el examen. El examen esta dentro de lo habitual y, por tanto, de lo esperadopor los alumnos y profesores de matematicas. Ademas, por lo que he indagado eninternet, tiene una estructura muy similar a la de examenes de selectividad de otrascomunidades autonomas. Hasta ahı todo tiene sentido de cara a homogeneizar a nivelnacional esta prueba.

Desgraciadamente, hay cosas que no se entienden. La primera, y mas importante, deellas es por que los conocimientos de los alumnos a los que doy clases en primero decarrera (en este caso, grados de Ingenierıa) estan por debajo del nivel del examen deselectividad. Puede ser porque la mayorıa no aprueban o aprueban con notas bajas. Opuede ser porque, segun mi impresion, los alumnos vienen preparados para este tipo deexamenes y sus conocimientos generales de matematicas son menores de lo que reflejansus notas en selectividad. Sea como sea, si los niveles de los resultados de matematicasde selectividad no se corresponden con los que son en realidad, deberıamos plantearnosque sucede.

Otra cosa que no entiendo es por que, si queremos homogeneizar al maximo el examenpara que todos los alumnos presentados reciban calificaciones lo mas similares posiblesen funcion de los ejercicios que resuelvan, no se realizan examenes con mayor numero deejercicios o apartados independientes (obviamente mas cortos y de menor puntuacion)y se especifican con mas claridad los criterios de correccion. Como ejemplo, si sequiere saber si el alumno manipula apropiadamente las matrices para despejar en unaecuacion, se le puede poner un ejercicio en el que solo se pida dicha manipulacion, en

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vez de hacer que dicha manipulacion sea parte de un ejercicio en el que ademas se pidancalculos con matrices, de modo que, sin haber manipulado correctamente las matrices,por realizar algunos calculos, acaben obteniendo algo de puntuacion. Otro ejemplo: sise quiere saber si el alumno maneja correctamente la integracion por partes y la defunciones racionales, no puede aparecer esta integral racional despues de la integracionpor partes, ya que de ese modo, un error en esta tecnica cambiarıa dicha funcionracional. ¿No serıa mas sencillo poner por separado un ejercicio sobre integracion porpartes que lleve a integrales inmediatas y otro ejercicio con integracion racional?

Siguiendo esta lınea, con ejercicios mas largos y con muchos detalles que puntuar porseparado, tambien se enmascaran las grandes carencias en simplificacion y manipu-lacion basica de expresiones, encontrandonos con fallos que deberıan ser inaceptables aestas alturas de la carrera academica (del tipo, 1/(a+ b) = 1/a+ 1/b o incluso peores)en alumnos que posteriormente pueden incluso aprobar el examen. Quizas habrıa queponer mas enfasis en ensenar bien lo basico a nuestros alumnos de bachillerato en vez dehacerles y hacernos creer que poseen muchos conocimientos, cuando en verdad lo quese hace es cargarles de nuevos mecanismos que se suelen reducir a formulas y metodosde aplicacion directa, en los que se echa en falta cualquier idea subyacente. Ejemplos:calculo de inversas por adjuntos (que se aplica hasta en la resolucion de sistemas), estu-dio de rangos por determinantes, cualquier solucion a problemas geometricos en dos otres dimensiones (que se suelen resolver con formulas de determinantes bien escogidos),etc. Esto, por supuesto, no es culpa del examen.

Algunos comentarios sobre los enunciados:

• Ejercicio 1 opcion B: Aunque se entiende bien, deberıa poner “...para que SUsuperficie sea mınima”.

• Ejercicio 4.b) opcion B: Deberıa poner “Halla UNAS ecuaciones parametricas...”.El mismo comentario se podrıa hacer para el apartado a) del mismo ejercicio ypara el a) del ejercicio 4 de la opcion A. Me gustarıa tambien comentar aquı quelas ecuaciones parametricas de un plano son especialmente laboriosas de corregirporque distintos caminos pueden llevar a expresiones muy distintas.


Segun mis resultados, las opcion A ha sido elegida por aproximadamente los 2/3 delos alumnos. Da la impresion de que, al menos a ojos de los alumnos, esta opcion eramas sencilla. El hecho de separar en apartados los ejercicios puede haber sido tambienimportante para que se produzca este desfase en las opciones. Puedo entender que unalumno considere menos arriesgado resolver un ejercicio con apartados independientesque uno en el que un fallo al principio puede dar al traste con todo el ejercicio.

3. Sobre los criterios de correccion. Comparado con otros anos en los que he corregidoselectividad, este ano los criterios no me han parecido especialmente bien definidos enalgunos de los ejercicios. Por ejemplo, en el ejercicio 3 Opcion B, el ejercicio se puntuasobre 2’5 puntos y los criterios son ”Hasta 1 punto si despeja X matricialmente. Hasta0’75 puntos si calcula A−1.” Ademas de dejar 0’75 puntos al libre albedrıo del corrector,si un alumno falla despejando X, el resto del ejercicio esta mal. Segun considere el

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corrector, entonces se puede o no valorar la matriz inversa o los calculos realizados, yaque serıan innecesarios, o incluso valorarlos de otro modo. Eso abre un intervalo de1’5 puntos dejado a la consideracion del corrector, que me parece excesivo de cara a lahomogeneidad de la correccion.

Igualmente, en el ejercicio 2 de la Opcion B, los criterios son “Hasta 1’25 puntos por laaplicacion de integracion por partes. Hasta 0’25 puntos por el calculo de la constante”.Tal y como esta escrito, queda 1 punto a la consideracion del corrector. Ademas, si serealiza mal la integracion por partes, el resto ya no tiene sentido. ¿Como puntuarloentonces? De nuevo queda un intervalo muy grande, con todo lo que esto conlleva.

Otros anos que he corregido selectividad, en la reunion de entrega de examenes, sediscutıan, con mas detalle que lo que se ha hecho este ano, todos estos intervalospara que ası el resultado fuese mas parecido entre distintos correctores. Este ano, sinembargo, aunque se comentaron algunos puntos, quedaron otros sin tratar.


Hay diversos hechos que llaman la atencion:

a. “Arctg(1) = 45” (no grados, radianes). En un examen como este la calculadorasobra. Ya que se permite su uso, como se puede entender que se cometa este fallo.

b. X = A−1(A2 − B). Casi la totalidad de los alumnos que han despejado bien laX, despues han acabado calculando A2 en vez de simplificar con A−1. Esto noes un fallo, pero no tiene sentido. Parece que los alumnos tienen en mente comodespejar la X de una expresion matricial (quizas porque es algo que aparece envarios examenes de selectividad) pero despues no son capaces de ir mas alla.

c. Hay demasiados fallos de calculos y los alumnos no comprueban los resultadoscomprobables (por ejemplo, la matriz inversa).

d. En los problemas geometricos casi todos los alumnos tienden a aplicar una de lasmultiples formulas que conocen, en vez de razonar geometricamente el problema.Eso me parece algo notable, sobre todo teniendo en cuenta que es habitual quemanejen mal dichas formulas.

e. La representacion de funciones a estas alturas deberıa ir algo mas alla que a darvalores y unir puntos. Desgraciadamente esto no se ha reflejado en este examen.

f. Las simplificaciones no existen. Es difıcil, por ejemplo, encontrar a algun alumnoque simplificase el valor del radio del problema del cilindro.

Corrector 6.

1. Sobre el examen. Parece ser un examen esperado por profesores y los alumnos. Unamitad dedicada al analisis y la otra al algebra y la geometrıa. Considero que debe sercompleja y delicada la elaboracion de un examen de este estilo y debemos agradecer elesfuerzo que realizan los ponentes de la materia en su preparacion. Sin embargo, megustarıa realizar algunas comentarios con la intencion de ayudar y anadir un pequenograno de arena en la confeccion de las propuestas de examenes:

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• Algunos ejercicios no estan divididos en apartados. Estos ejercicios solo aparecenen la opcion B y pueden resultar susceptibles de menor calificacion. Tendrıa queanalizarse si la division de los ejercicios en apartados y subpartados beneficia alos alumnos y facilita la correccion.

• Para obtener la maxima calificacion en algunos apartados y ejercicios es suficientememorizar y aplicar una o varias formulas. Deberıa discutirse la conveniencia deeludir o minimizar este tipo de apartados y ejercicios.

• En este categorıa de examenes esta permitido el uso de la calculadora. No obs-tante, la calculadora no es necesaria para la realizacion completa de los ejercicios.Ademas, los estudiantes usan la calculadora cuando se sienten perdidos, confun-didos o dubitativos ante un problema. En estos, y en otros casos, su uso sueletener consecuencias no deseadas. Por ejemplo, en este examen, algunos estudi-antes han escrito que arctg (1) = 50. Deberıa estudiarse la pertinencia del uso dela calculadora en los examenes de Matematicas II.

• Puede que la puntuacion de algunos apartados y ejercicios este algo descompen-sada. A modo de ejemplo, podemos citar las puntuaciones de los dos apartadosdel primer ejercicio de la opcion A y las del primer y ultimo ejercicio de estaopcion.

• La resolucion del esbozo de graficas de funciones acostumbra a ser un cajon de sas-tre. Algunos estudiantes realizan un estudio “a fondo” de la funcion y determinan,a partir de este, su representacion grafica; otros, dibujan las graficas dando valoresy algunos, las representan sin ninguna justificacion. A la vista de las calificacionesy usando los criterios de evaluacion, uno tiene la impresion de que los alumnos yalumnas que realizan el esbozo con un estudio detallado de las funciones resultanperjudicados. Se deberıa, por tanto, precisar mas aquellas cuestiones relacionadascon los esbozos y las representaciones graficas de funciones.


• La opcion A ha sido elegida mayoritariamente. Puede que haya influido la divisionde sus ejercicios en apartados.

• Los alumnos que han elegido la opcion A han sido evaluados, de media, con mayorcalificacion.


• Todos deberıamos hacer un esfuerzo para unificar al maximo los criterios es-pecıficos de correccion y evitar, en la medida de lo posible, cierto grado de dis-paridad en las calificaciones. Es cierto que los problemas se pueden resolver demultiples formas y serıa difıcil contemplar todas las vıas de resolucion en los cri-terios de correccion. Pero resulta deficiente que, en los criterios especıficos, soloaparezca la puntuacion de una unica vıa de correccion. La falta de acuerdo enla puntuacion de otras formas de resolucion puede justificar la discrepancia a lahora de corregir los examenes. Seguro que las decisiones tomadas de forma indi-vidual por cada corrector es legıtima y esta asentada en principios de igualdad,

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conocimientos y profesionalidad, pero el consenso (en la reunion de recogidas deexamenes) serıa lo adecuado para evaluar a todos los estudiantes de la forma mashomogenea.

• Algunos ejercicios requieren la imposicion y comprobacion de condiciones nece-sarias y suficientes. Las condiciones necesarias suelen evaluarse con una alta pun-tuacion en relacion con la comprobacion de las condiciones suficientes. Es ciertoque la mayorıa de los estudiantes no comprueban las condiciones suficientes, perolos alumnos que sı lo hacen aparecen desfavorecidos por la ratio en la calificacion.


• Son muy pocos los alumnos que comprueban que la funcion f del primer ejerciciode la opcion A, para los valores de a, b y c que encuentran, tiene un punto deinflexion en x = 1/2.

• Muchos alumnos proporcionan los puntos de corte de las graficas del segundoejercicio de la opcion A usando tablas de valores. En muchos casos, la ecuacioncubica que determina los puntos de corte no se resuelve de forma correcta.

• Es demasiado frecuente escribir que arctg(1) = 45. Otras veces, el area se dejaen funcion del valor de arctg(1).

• El valor de α para el ejercicio 3 de la opcion A se encuentra imponiendo unacondicion necesaria, pero, en pocas ocasiones, se comprueba la condicion sufi-ciente.

• Nunca se comprueba, o por lo menos no aparece en las hojas entregadas, que losresultados que se obtienen son los correctos. Esto es sencillo en la mayorıa de losejercicios de algebra lineal y en algunos de geometrıa y analisis.

• Es usual el calculo de la distancia entre las rectas r y s mediante una formula queen algunos casos no se sabe aplicar.

• En muchos ejercicios no aparecen simplificaciones; los estudiantes parecen tenerrecelo de las mismas. Y cuando aparecen no son correctas.

• Pocos son los alumnos que llegan a la resolucion del problema de optimizacion sinun solo error.

• Suelen aplicar bien la formula de integracion por partes, pero un gran numero dealumnos no sabe que hacer la integral de la funcion racional.

• Un error repetido se produce al despejar la matriz X: la matriz inversa solomultiplica a la matriz A2.

Corrector 7.

En la opcion A, el ejercicio 2, cuando se pregunta que se esbocen las graficas de las dosfunciones, muchos alumnos las han representado haciendo un estudio profundo (calculandosus dominios, cortes con los ejes, simetrıas, extremos, inflexiones, asıntotas, etc.). Tambienes verdad que otros muchos han cogido cinco o seis valores y las han esbozado con dichos

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valores. Aquellos que han representado en profundidad las funciones, que les cuente 2,5puntos, me parece muy poco comparandolo con el primer ejercicio (que tambien vale 2,5puntos) o incluso con el tercero, el de discutir un sistema muy simple.

Mas o menos la opcion A esta (o ası la veo yo) compensada. Es en la opcion B en laque veo mas descompensacion. El ejercicio 3, por ejemplo, comparandolo con el ejercicio 1o incluso con el 2, este ejercicio 3 me parece muy trivial, y creo que valorarlo con 2,5 puntos(igual que los otros) es excesivo. Tambien es verdad que si se pregunta algo mas en esteejercicio 3 el examen ya resultarıa bastante largo.

Corrector 8.

• Una vez mas se constata que el alumnado huye del problema de optimizacion de laopcion B, sin pararse a pensar que los tres problemas que le siguen son de realizacionmas rapida que en la opcion A.

• La mayorıa de los que eligen dicha opcion B obtienen mejores resultados que los dela opcion A. Se nota que son estudiantes mejor preparados, que dominan bien laintegracion por partes y que no tienen problemas con la ecuacion matricial. El problemade geometrıa, teniendo claras las ideas, se hacıa de manera facil y rapida.

• En la opcion A, el problema 2 es muy ambiguo para mi gusto, ya que la palabra“esboza” sigue apareciendo ano tras ano con la limitacion que ello supone. Serıaaconsejable indicar y solicitar algunos apartados como corte con los ejes, dominio,simetrıa, monotonıa y extremos, por ejemplo.

En las dos funciones que aparecıan, muchos alumnos hacen la tabla elemental de valores(como si fueran de segundo de E.S.O.) y claro, comprueban que para 1 y −1 le salen losmismos valores; por lo tanto esos son los puntos de corte y ya tienen asegurados hasta0’5, segun instrucciones. Los criterios de ese ejercicio han sido muy generosos y no seha valorado la realizacion completa del problema, que es donde se podrıa apreciar elmanejo del alumnado, globalmente.

Corrector 9.

• Tanto en una opcion como en otra, los resultados de algunos de los ejercicios sonbastante engorrosos.

• Bastante diferencia de complejidad entre ambas opciones, por ejemplo, en los ejerciciosde geometrıa.


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