PRUEBA DE HIPOTESIS Y PLANTEAMINETO DE LA HIPOTESIS

PRUEBA DE HIPOTESIS

Las secciones anteriores han mostrado cmo puede estimarse un parmetro a partir de los datos contenidos en una muestra. Puede encontrarse ya sea un slo nmero (estimador puntual) o un intervalo de valores posibles (intervalo de confianza). Sin embargo, muchos problemas de ingeniera, ciencia, y administracin, requieren que se tome una decisin entre aceptar o rechazar una proposicin sobre algn parmetro. Esta proposicin recibe el nombre de hiptesis. Este es uno de los aspectos ms tiles de la inferencia estadstica, puesto que muchos tipos de problemas de toma de decisiones, pruebas o experimentos en el mundo de la ingeniera, pueden formularse como problemas de prueba de hiptesis.

Una hiptesis estadstica es una proposicin o supuesto sobre los parmetros de una o ms poblaciones.

Suponga que se tiene inters en la rapidez de combustin de un agente propulsor slido utilizado en los sistemas de salida de emergencia para la tripulacin de aeronaves. El inters se centra sobre la rapidez de combustin promedio. De manera especfica, el inters recae en decir si la rapidez de combustin promedio es o no 50 cm/s. Esto puede expresarse de manera formal como

Ho; = 50 cm/s

H1; 50 cm/s

La proposicin Ho; = 50 cm/s, se conoce como hiptesis nula, mientras que la proposicin H1; 50 cm/s, recibe el nombre de hiptesis alternativa. Puesto que la hiptesis alternativa especifica valores de que pueden ser mayores o menores que 50 cm/s, tambin se conoce como hiptesis alternativa bilateral. En algunas situaciones, lo que se desea es formular una hiptesis alternativa unilateral, como en

Ho; = 50 cm/s Ho; = 50 cm/s H1; < 50 cm/s H1; > 50 cm/s

Es importante recordar que las hiptesis siempre son proposiciones sobre la poblacin o distribucin bajo estudio, no proposiciones sobre la muestra. Por lo general, el valor del parmetro de la poblacin especificado en la hiptesis nula se determina en una de tres maneras diferentes:

1. Puede ser resultado de la experiencia pasada o del conocimiento del proceso, entonces el objetivo de la prueba de hiptesis usualmente es determinar si ha cambiado el valor del parmetro.

2. Puede obtenerse a partir de alguna teora o modelo que se relaciona con el proceso bajo estudio. En este caso, el objetivo de la prueba de hiptesis es verificar la teora o modelo.

3. Cuando el valor del parmetro proviene de consideraciones externas, tales como las especificaciones de diseo o ingeniera, o de obligaciones contractuales. En esta situacin, el objetivo usual de la prueba de hiptesis es probar el cumplimiento de las especificaciones.

Un procedimiento que conduce a una decisin sobre una hiptesis en particular recibe el nombre de prueba de hiptesis. Los procedimientos de prueba de hiptesis dependen del empleo de la informacin contenida en la muestra aleatoria de la poblacin de inters. Si esta informacin es consistente con la hiptesis, se concluye que sta es verdadera; sin embargo si esta informacin es inconsistente con la hiptesis, se concluye que esta es falsa. Debe hacerse hincapi en que la verdad o falsedad de una hiptesis en particular nunca puede conocerse con certidumbre, a menos que pueda examinarse a toda la poblacin. Usualmente esto es imposible en muchas situaciones prcticas. Por tanto, es necesario desarrollar un procedimiento de prueba de hiptesis teniendo en cuenta la probabilidad de llegar a una conclusin equivocada.

La hiptesis nula, representada por Ho, es la afirmacin sobre una o ms caractersticas de poblaciones que al inicio se supone cierta (es decir, la "creencia a priori").

La hiptesis alternativa, representada por H1, es la afirmacin contradictoria a Ho, y sta es la hiptesis del investigador.

La hiptesis nula se rechaza en favor de la hiptesis alternativa, slo si la evidencia muestral sugiere que Ho es falsa. Si la muestra no contradice decididamente a Ho, se contina creyendo en la validez de la hiptesis nula. Entonces, las dos conclusiones posibles de un anlisis por prueba de hiptesis son rechazar Ho o no rechazar Ho.

Prueba de una Hiptesis Estadstica

Para ilustrar los conceptos generales, considere el problema de la rapidez de combustin del agente propulsor presentado con anterioridad. La hiptesis nula es que la rapidez promedio de combustin es 50 cm/s, mientras que la hiptesis alternativa es que sta no es igual a 50 cm/s. Esto es, se desea probar:

Ho; = 50 cm/s

H1; 50 cm/s

Supngase que se realiza una prueba sobre una muestra de 10 especmenes, y que se observa cual es la rapidez de combustin promedio muestral. La media muestral es un estimador de la media verdadera de la poblacin. Un valor de la media muestral que este prximo al valor hipottico = 50 cm/s es una evidencia de que el verdadero valor de la media es realmente 50 cm/s; esto es, tal evidencia apoya la hiptesis nula Ho. Por otra parte, una media muestral muy diferente de 50 cm/s constituye una evidencia que apoya la hiptesis alternativa H1. Por tanto, en este caso, la media muestral es el estadstico de prueba.

La media muestral puede tomar muchos valores diferentes. Supngase que si 48.551.5, entonces no se rechaza la hiptesis nula Ho; = 50 cm/s, y que si 51.5, entonces se acepta la hiptesis alternativa H1; 50 cm/s.

Los valores de que son menores que 48.5 o mayores que 51.5 constituyen la regin crtica de la prueba, mientras que todos los valores que estn en el intervalo 48.551.5 forman la regin de aceptacin. Las fronteras entre las regiones crticas y de aceptacin reciben el nombre de valores crticos. La costumbre es establecer conclusiones con respecto a la hiptesis nula Ho. Por tanto, se rechaza Ho en favor de H1 si el estadstico de prueba cae en la regin crtica, de lo contrario, no se rechaza Ho.

Este procedimiento de decisin puede conducir a una de dos conclusiones errneas. Por ejemplo, es posible que el valor verdadero de la rapidez promedio de combustin del agente propulsor sea igual a 50 cm/s. Sin embargo, para todos los especmenes bajo prueba, bien puede observarse un valor del estadstico de prueba que cae en la regin crtica. En este caso, la hiptesis nula Ho ser rechazada en favor de la alternativa H1cuando, de hecho, Ho en realidad es verdadero. Este tipo de conclusin equivocada se conoce como error tipo I.

El error tipo I se define como el rechazo de la hiptesis nula Ho cuando sta es verdadera. Tambin es conocido como nivel de significancia.Si tuviramos un nivel de confianza del 95% entonces el nivel de significancia sera del 5%. Anlogamente si se tiene un nivel de confianza del 90% entonces el nivel de significancia sera del 10%.

Ahora supngase que la verdadera rapidez promedio de combustin es diferente de 50 cm/s, aunque la media muestral caiga dentro de la regin de aceptacin. En este caso se acepta Ho cuando sta es falsa. Este tipo de conclusin recibe el nombre de error tipo II.

El error tipo II error se define como la aceptacin de la hiptesis nula cuando sta es falsa.

Por tanto, al probar cualquier hiptesis estadstica, existen cuatro situaciones diferentes que determinan si la decisin final es correcta o errnea.

DecisinHo es verdaderaHo es falsa

Aceptar HoNo hay errorError tipo II

Rechazar HoError tipo I No hay error

1. Los errores tipo I y tipo II estn relacionados. Una disminucin en la probabilidad de uno por lo general tiene como resultado un aumento en la probabilidad del otro.

2. El tamao de la regin crtica, y por tanto la probabilidad de cometer un error tipo I, siempre se puede reducir al ajustar el o los valores crticos.

3. Un aumento en el tamao muestral n reducir y de forma simultnea.

4. Si la hiptesis nula es falsa, es un mximo cuando el valor real del parmetro se aproxima al hipottico. Entre ms grande sea la distancia entre el valor real y el valor hipottico, ser menor PASOS PARA ESTABLECER UN ENSAYO DE HIPOTESIS

Independientemente de la distribucin que se este tratando

1. Interpretar correctamente hacia que distribucin muestral se ajustan los datos del enunciado.

2. Interpretar correctamente los datos del enunciado diferenciando los parmetros de los estadsticos. As mismo se debe determinar en este punto informacin implcita como el tipo de muestreo y si la poblacin es finita o infinita.

3. Establecer simultneamente el ensayo de hiptesis y el planteamiento grfico del problema. El ensayo de hiptesis est en funcin de parmetros ya que se quiere evaluar el universo de donde proviene la muestra. En este punto se determina el tipo de ensayo (unilateral o bilateral).

4. Establecer la regla de decisin. Esta se puede establecer en funcin del valor crtico, el cual se obtiene dependiendo del valor de (Error tipo I o nivel de significancia) o en funcin del estadstico lmite de la distribucin muestral. Cada una de las hiptesis deber ser argumentada correctamente para tomar la decisin, la cual estar en funcin de la hiptesis nula o Ho.

5. Calcular el estadstico real, y situarlo para tomar la decisin.

6. Justificar la toma de decisin y concluir.

PRUEBAS UNILATERALES Y BILATERALES

Una prueba es de una cola cuando la hiptesis alterna, H1, establece una direccin.

Ejemplo 7:

H0: el ingreso medio de las mujeres es menor o igual al ingreso medio de los hombres.

H1: el ingreso medio de las mujeres es mayor que el de los hombres.

Para este caso la distribucin de muestreo para el valor estadstico z, prueba de una cola, nivel de significancia de .05 se establece como indica la siguiente Fig.

Una prueba es de dos colas cuando no se establece una direccin especfica de la hiptesis alterna H1

Ejemplo 8:

H0: el ingreso medio de las mujeres es igual al ingreso medio de los hombres.

H1: el ingreso medio de las mujeres no es igual al ingreso medio de los hombres.

En este caso la distribucin de muestreo para el valor estadstico z, prueba de dos colas, nivel de significancia de 0.05 se estable como se indica en la siguiente fig.

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA UNA DISTRIBUCIN MUESTRAL DE DIFERENCIAS DE MEDIAS

Suponga que los parmetros para dos poblaciones son: 1, 2, 1, 2 Para muestras grandes el estadstico de prueba es:

Cuando 1 y 2 no se conocen pero el tamao de muestra n1 y n2 es mayor o igual que 30, el estadstico de prueba es

Ejemplo 9:

Se realiz un estudio para comparar los aos promedio de servicio de quienes se retiraron en 1979 con los que se retiraron el ao anterior en Delong Manufacturing Co. Con un nivel de significancia de .01 podemos concluir que los trabajadores que se retiraron el ao pasado trabajaron ms aos segn la siguiente muestra? Nota: sea poblacin #1= ao anterior.

Paso 1:

H0: 2 ( 1Paso 2

Rechace H0 si z > 2.33

Paso 3:

Paso 4:

Como z = 6.80 > 2.33, H0 se rechaza.

Conclusin.- Los que se retiraron el ao anterior tenan ms aos de servicio.MUESTREO PEQUEO T STUDENT, PRUEBA DE HIPOTESIS SOBRE LA MEDIA POBLACIONAL, PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS

En las actividades anteriores se manej el uso de la distribucin z, la cual se poda utilizar siempre y cuando los tamaos de las muestras fueran mayores o iguales a 30 en muestras ms pequeas si la distribucin o las distribuciones de donde proviene la muestra o las muestras son normales.

En esta actividad y la siguiente se podrn utilizar muestras pequeas siempre y cuando la distribucin de donde proviene la muestra tenga un comportamiento normal. Esta es una condicin para utilizar las dos distribuciones que se manejarn en estas actividades; t de student, 2 ji-cuadrada

DISTRIBUCION "t DE STUDENT"

Supngase que se toma una muestra de una poblacin normal con media y varianza Si es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribucin es una distribucin normal estndar. Supngase que la varianza de la poblacin es desconocida. Qu sucede con la distribucin de esta estadstica si se reemplaza por s? La distribucin t proporciona la respuesta a esta pregunta.

La media y la varianza de la distribucin t son y para >2, respectivamente.

La siguiente figura presenta la grfica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribucin t es similar a la de la distribucin normal estndar: ambas son simtricas y unimodales, y el valor mximo de la ordenada se alcanza en la media Sin embargo, la distribucin t tiene colas ms amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribucin normal. A medida que el nmero de grados de libertad tiende a infinito, la forma lmite de la distribucin t es la distribucin normal estndar.

Propiedades de las distribuciones t

1. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.

2. Cada curva t, est ms dispersa que la curva normal estndar z.

3. A medida que aumenta, la dispersin de la curva t correspondiente disminuye.

4. A medida que , la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estndar, por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con gl = La distribucin de la variable aleatoria t est dada por:

Esta se conoce como la distribucin t con grados de libertad.

Sean X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias independientes que son todas normales con media y desviacin estndar . Entonces la variable aleatoria tiene una distribucin t con = n-1 grados de libertad.

La distribucin t difiere de la de Z en que la varianza de t depende del tamao de la muestra y siempre es mayor a uno. nicamente cuando el tamao de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones sern las mismas.

Se acostumbra representar con el valor t por arriba del cual se encuentra un rea igual a . Como la distribucin t es simtrica alrededor de una media de cero, tenemos; es decir, el valor t que deja un rea de a la derecha y por tanto un rea de a la izquierda, es igual al valor t negativo que deja un rea de en la cola derecha de la distribucin. Esto es, t0.95 = -t0.05, t0.99=-t0.01, etc.

Para encontrar los valores de t se utilizar la tabla de valores crticos de la distribucin t del libro Probabilidad y Estadstica para Ingenieros de los autores Walpole, Myers y Myers.

Ejemplo 11:

El valor t con = 14 grados de libertad que deja un rea de 0.025 a la izquierda, y por tanto un rea de 0.975 a la derecha, es

t0.975=-t0.025 = -2.145

Si se observa la tabla, el rea sombreada de la curva es de la cola derecha, es por esto que se tiene que hacer la resta de . La manera de encontrar el valor de t es buscar el valor de en el primer rengln de la tabla y luego buscar los grados de libertad en la primer columna y donde se intercepten y se obtendr el valor de t.

Ejemplo 12:

Encuentre la probabilidad de t0.025 < t < t0.05.

Solucin:

Como t0.05 deja un rea de 0.05 a la derecha, y t0.025 deja un rea de 0.025 a la izquierda, encontramos un rea total de 1-0.05-0.025 = 0.925.

P( t0.025 < t < t0.05) = 0.925

Ejemplo 13:

Encuentre k tal que P(k < t < -1.761) = 0.045, para una muestra aleatoria de tamao 15 que se selecciona de una distribucin normal.

Solucin:

Si se busca en la tabla el valor de t =1.761 con 14 grados de libertad nos damos cuenta que a este valor le corresponde un rea de 0.05 a la izquierda, por ser negativo el valor. Entonces si se resta 0.05 y 0.045 se tiene un valor de 0.005, que equivale a Luego se busca el valor de 0.005 en el primer rengln con 14 grados de libertad y se obtiene un valor de t = 2.977, pero como el valor de est en el extremo izquierdo de la curva entonces la respuesta es t = -2.977 por lo tanto:

P(-2.977 < t < -1.761) = 0.045

PRUEBA DE HIPOTESIS SOBRE LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCION NORMAL, VARIANZA DESCONOCIDA

Ciertamente sospechamos que las pruebas sobre una media poblacional con desconocida, debe incluir el uso de la distribucin t de Student. La estructura de la prueba es idntica a la del caso de conocida, con la excepcin de que el valor en la estadstica de prueba se reemplaza por la estimacin de s calculada y la distribucin normal estndar se reemplaza con una distribucin t.

Ejemplo 14:

El Instituto Elctrico Edison publica cifras del nmero anual de Kilowatt-hora que gastan varios aparatos elctrodomsticos. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al ao. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al ao con una desviacin estndar de11.9 kilowatt-hora, esto sugiere con un nivel de significancia de 0.05 que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la poblacin de kilowatt-hora es normal.

Solucin:

Datos:

= 46 kilowatt-hora

s = 11.9 kilowatt-hora

= 42 kilowatt-hora

n = 12

= 0.05

Paso 1

Ho; = 46 kilowatt-hora

H1; < 46 kilowatt-hora

Paso 2

Si tR -1.796 No se rechaza Ho

Si tR < -1.796 Se rechaza Ho

Paso 3

Paso 4.- Justificacin y decisin:

Como 1.16 > -1.796, por lo tanto no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que el nmero promedio de kilowwatt-hora que gastan al ao las aspiradoras no es significativamente menor que 46.

Solucin por el otro mtodo:

Regla de decisin:

Si 39.83 No se Rechaza Ho

Si < 39.83 Se rechaza Ho

Como la = 42 y este valor no es menor que 39.83 por lo tanto no se rechaza Ho.

Se puede aprovechar este ejemplo para calcular el valor de P , como el valor de t calculada es de 1.16, se busca en la tabla y se ve que el area a la izquierda de este valor es de 0.135 con 11 grados de libertad, por lo tanto no se rechaza Ho., ya que sera un valor alto para un nivel de significancia.

EJERCICIO 1Un artculo publicado en la revista Materials Engineering describe los resultados de pruebas de resistencia a la adhesin de 22 especmenes de aleacin U-700. La carga para la que cada especmen falla es la siguiente en MPa:

19.818.517.616.715.8

15.414.113.611.911.4

11.48.87.515.415.4

19.514.912.711.911.4

10.17.9

Sugieren los datos que la carga promedio de falla es mayor que 10Mpa? Supngase que la carga donde se presenta la falla tiene una distribucin normal, y utilicese = 0.05. Calcule el valor de P.

EJERCICIO 2Los pesos en libras de una muestra aleatoria de bebs de seis meses son: 14.6, 12.5, 15.3, 16.1, 14.4, 12.9, 13.7 y 14.9. Haga una prueba con nivel de 5% de significancia para determinar si el peso promedio de todos los bebs de seis meses es distinto a 14 libras, suponga que sus pesos se distribuyen normalmente y calcule el valor de P. 4.5 MUESTREO PEQUEO: DISTRIBUCIN JI CUADRADA, CUADROS DE CONTINGENCIA LIMITACIONES DE LA PRUEBA DE JI CUADRADA

En realidad la distribucin ji-cuadrada es la distribucin muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una poblacin normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendr la distribucin muestral de varianzas.

Para estimar la varianza poblacional o la desviacin estndar, se necesita conocer el estadstico X2. Si se elige una muestra de tamao n de una poblacin normal con varianza , el estadstico: tiene una distribucin muestral que es una distribucin ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota 2 ( es la minscula de la letra griega ji). El estadstico ji-cuadrada esta dado por:donde n es el tamao de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la poblacin de donde se extrajo la muestra. El estadstico ji-cuadrada tambin se puede dar con la siguiente expresin: Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada

1. Los valores de 2 son mayores o iguales que 0.

2. La forma de una distribucin 2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un nmero infinito de distribuciones 2.

3. El rea bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.

4. Las distribuciones 2 no son simtricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, estn sesgadas a la derecha.

5. Cuando n>2, la media de una distribucin 2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).

6. El valor modal de una distribucin 2 se da en el valor (n-3).

La siguiente figura ilustra tres distribuciones 2Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).

La funcin de densidad de la distribucin 2 esta dada por:

para x>0

La tabla que se utilizar para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadstica de Walpole, la cual da valores crticos (gl) para veinte valores especiales de . Para denotar el valor crtico de una distribucin X2 con gl grados de libertad se usa el smbolo (gl); este valor crtico determina a su derecha un rea de bajo la curva X2 y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar 2 0.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y a o largo del lado superior de la misma tabla.

Ensayo de Hiptesis para la Varianza de una Poblacin Normal

En la mayora de los casos se tiene el problema de desconocer la varianza o desviacin estndar de la poblacin, en donde las distribuciones son normales. Si se desea probar una hiptesis acerca de la varianza se puede hacer utilizando las medidas estadsticas con las que se construy el intervalo de confianza , esto es con la distribucin Ji- cuadrada.

Ejemplo 15:

1. Una compaa que produce una parte maquinada para un motor, afirma que tiene una varianza de dimetro no mayor a 0.0002 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra s2 = 0.0003. Si se supone que las medidas del dimetro se distribuyen en forma normal, hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use = 0.05.

Solucin:

Como en todos los ensayos de hiptesis que se han realizado anteriormente el procedimiento es el mismo. Despus de que se identifican los datos, se plantea la hiptesis para determinar el tipo de ensayo.

Datos:

= 0.0002

n = 10

s2 = 0.0003

= 0.05

Ensayo de hiptesis:

Ho; = 0.0002

H1; > 0.0002

Regla de decisin:

Si X2R 16.919 no se rechaza Ho.

Si X2R>16.919 se rechaza Ho.

Clculos:

Justificacin y decisin:

Como 13.5 no es mayor que 16.919 por lo tanto no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que no se puede refutar la afirmacin del proveedor.

Este ejercicio se puede aprovechar para calcular el valor de P. En la tabla se busca el valor de 13.5 en el rengln de 9 grados de libertad. Interpolando entre 0.10 y 0.20 se obtiene un valor de P de 0.1484.

EJERCICIO 3

El contenido de azcar del almbar de los duraznos enlatados tiene una distribucin normal, donde se cree que la varianza es = 18 mg2. Se toma una muestra de 10 latas dieron una desviacin estndar de 4.8 mg. Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la varianza ha cambiado? Use un = 0.05 y calcule el valor de P.

EJERCICIO 4

Experiencia anterior indica que el tiempo que se requiere para que los estudiantes de ltimo ao de preparatoria completen una prueba estandarizada es una variable aletoria normal con una desviacin estndar de seis minutos. Se toma una muestra aleatoria de 20 estudiantes de ltimo ao de preparatoria y se obtiene una desviacin estndar de 4.51. Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la desviacin estndar disminuy?. Utilice el valor de P para su decisin._377301506.unknown