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PRÉSTAMOS

Carmen Badía, Hortènsia Fontanals, Merche Galisteo, José Mª Lecina,

Mª Angels Pons, Teresa Preixens, Dídac Ramírez, F. Javier Sarrasí y

Anna Mª Sucarrats

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ECONÓMICA, FINANCIERA Y

ACTUARIAL

División de Ciencias Jurídicas, Económicas y Sociales

Universidad de Barcelona

Préstamos 1

4. PRÉSTAMOS

4.1. INTRODUCCIÓN

4.1.1. Definición

Un préstamo es una operación financiera en la que el sujeto activo, o prestamista, entrega al

sujeto pasivo, o prestatario, un capital o un conjunto de capitales financieros, y a cambio el

prestatario se compromete a reembolsar en un plazo concreto, ya sea mediante un único pago

o mediante desembolsos sucesivos la cuantía prestada y el pago del precio o interés.

Se denomina prestación al capital financiero o conjunto de capitales financieros que el

prestamista entrega al prestatario. Normalmente la prestación es de un solo capital ( )0,C ,

siendo C el principal o nominal del préstamo. Se denomina contraprestación, al capital

financiero o conjunto de capitales financieros que se compromete a pagar el prestatario al

prestamista, pudiendo tratarse de:

• Un conjunto unitario, ( ){ }'T,'C , cuando la contraprestación es un único capital financiero.

• Un conjunto de n capitales financieros: ( ){ } n,...,2,1rrr T,C = donde rC es la cuantía que debe

pagar el prestatario en el diferimento rT .

El esquema habitual de una operación de préstamo es:

( ){ } ←

→

= n,...,2,1rrr T,Ctacióncontrapres

)0,C(prestación

estatarioPrestamistaPr

tratándose de una operación parcialmente compleja. Los capitales financieros que se

intercambian entre los sujetos de la operación deben ser equivalentes entre sí. Dicha

2 Introducción a la Matemática Financiera

equivalencia se establece mediante el precio pactado en la operación y suele venir

determinada en régimen financiero de interés compuesto vencido:

( ){ } ( ){ } n,...,2,1rrrIT,C~0,C

m=

4.1.2. Clasificación

La operaciones de préstamo admiten distintos tipos de sistematizaciones. Si se clasifican de

acuerdo con su estructura amortizativa los préstamos pueden ser:

a. Préstamos con devolución única del capital prestado al final de la operación. Dentro de este grupo se distinguen dos modalidades de préstamos:

a.1. Préstamos amortizables mediante pago único de capital e intereses al final de la

operación.

a.2. Préstamos con pago periódico de intereses y devolución única de capital al final de la

operación.

b. Préstamos con amortización periódica de capital. Esta modalidad de préstamo se caracteriza porque la cuantía que paga el prestatario en cada

periodo se destina a cubrir los intereses devengados en el periodo y además a devolver una

parte del capital prestado.

Dentro de este grupo cabe diferenciar:

b.1. Préstamos amortizables mediante términos amortizativos constantes. (Préstamo

amortizable por el sistema francés).

b.2. Préstamos amortizables mediante términos amortizativos variables en progresión

geométrica.

b.3. Préstamos amortizables mediante términos amortizativos de variación lineal.

b.4. Préstamos con cuota de capital constante.

Préstamos 3

4.2. PRÉSTAMO AMORTIZABLE MEDIANTE UN SOLO PAGO

En esta modalidad de préstamo, el prestamista entrega al prestatario C unidades monetarias

(u.m.) en el origen de la operación, y a cambio, el prestatario se compromete a efectuar un

único pago al final de la misma que incluye el nominal prestado, C, y los intereses generados

durante todo el plazo.

Generalmente este préstamo se pacta en régimen financiero de interés compuesto a tanto

constante.

4.2.1. Ecuación de equilibrio inicial

Partiendo de la equivalencia financiera entre prestación y contraprestación:

( ){ } ( ){ }'T,'C~0,CmI

y valorando ambos conjuntos al final del plazo al tanto de interés Im que rige la operación, se

obtiene:

( ) p'T

mI1C'C +⋅=

donde:

• Y = C’ - C, son los intereses acumulados durante todo el plazo.

• T’/p = T’ · m = número de periodos en T’ años.

4.2.2. Reserva matemática y deuda pendiente

4.2.2.1. Reserva matemática

La reserva matemática nos indica el desequilibrio interno de la operación en un instante

cualquiera τ del plazo de la operación, 'T0 ≤τ≤ , y permite calcular el importe que cancela el

préstamo en dicho instante τ , es decir, la cuantía que el prestatario debe entregar al

prestamista para cancelar la operación de forma anticipada en τ .

La reserva matemática en τ se calcula valorando en ese instante de tiempo, al tanto del


préstamo, las prestaciones y las contraprestaciones ya realizadas desde el inicio de la

operación hasta el instante τ considerado, obteniendo la denominada reserva retrospectiva, o

bien valorando las prestaciones y las contraprestaciones pendientes de realización desde el

instante τ hasta el final de la operación, obteniendo la denominada reserva prospectiva.

Ambas reservas coinciden.

En esta modalidad de préstamo la reserva matemática retrospectiva y prospectiva, se obtienen

del siguiente modo:

C C’

0 τ T’ años retroRτ prosR τ

Reserva matemática retrospectiva. Se obtiene valorando en el instante τ la única prestación

recibida por el prestatario, ya que no se ha efectuado ninguna contraprestación:

( )pmretro I1CR

τ

τ +⋅=

Reserva matemática prospectiva. Resulta de valorar en τ la única contraprestación

pendiente, ya que no hay ninguna prestación pendiente de recibir a partir de τ :

( ) p'T

mpros I1'CR

−τ

τ +⋅=

Como puede observarse, τR se obtiene capitalizando las C u.m. desde el inicio de la operación

hasta τ o bien actualizando las C’ u.m. desde T’ hasta τ :

( ) ( ) ( ) ( ) retropmp

'T

mp'T

mp'T

mpros RI1CI1I1CI1'CR τ

τ−τ−τ

τ =+⋅=+⋅+⋅=+⋅=

Préstamos 5

En definitiva, se cumple que retropros RR ττ =

Gráficamente, la evolución de la reserva matemática es:

τR 'C

Y

C

τR C

0 τ 'T años 4.2.2.2. Deuda pendiente

La deuda pendiente es la parte del nominal del préstamo pendiente de devolución en un

instante cualquiera de la operación. En esta modalidad de préstamo:

0Dy'TparaCD 'T=≠τ=τ

4.2.2.3. Relación entre reserva matemática y deuda pendiente

• En el inicio de la operación deuda pendiente y reserva matemática coinciden con el nominal

del préstamo:

CRD 00 ==

• En τ, con 'T0 ⟨τ⟨ , la deuda coincide con el nominal del préstamo y la reserva va

aumentando debido a los intereses generados sobre las C u.m. durante los τ años

transcurridos desde el inicio de la operación:


( )pmI1CRCDτ

ττ +⋅=≠=

• En T’, se devuelve el nominal prestado junto con los intereses, por lo que la deuda

pendiente y la reserva vuelven a coincidir, siendo ambas nulas:

0RD 'T'T ==

4.2.3. Total amortizado

El total amortizado es la parte del nominal del préstamo que ya ha sido devuelto por el

prestatario. Es la diferencia entre el nominal del préstamo y la deuda pendiente:

ττ −= DCM

En este modalidad de préstamo, en cualquier instante de la operación y puesto que el

prestatario no efectúa ningún pago hasta el final de la misma, el total amortizado es nulo, hasta

el momento de efectuar el pago de las C’ u.m., en que el total amortizado coincide con el

nominal.

CMy'Tpara0M 'T=≠τ=τ

4.2.4. Tanto efectivo prestatario. Tasa anual equivalente: TAE.

Toda operación de préstamo lleva asociados gastos a cargo del prestatario. Esto implica que si

bien el tanto de interés pactado entre los dos sujetos en el momento de concertar el préstamo

permite obtener las magnitudes del mismo, no es representativo del tanto al que le resulta la

operación.

4.2.4.1. Tanto efectivo prestatario

El tanto efectivo prestatario, 'mI , es el tanto efectivo de interés que hace equivalentes los

siguientes conjuntos de capitales:

• El conjunto de capitales financieros recibido por el prestatario, siendo lo habitual que esté

Préstamos 7

formado por un único capital, cuya cuantía es el nominal del préstamo.

• El conjunto de capitales pagado por el prestatario, que incluye, además de las

contraprestaciones, los gastos a su cargo. Algunos de estos gastos repercuten directamente en

el prestamista mientras que otros son gastos necesarios para la obtención del préstamo pero

que no repercuten en la entidad prestamista, como sería el caso de los gastos notariales. Lo

habitual es que todos estos gastos se hagan efectivos en el momento de la contratación del

préstamo.

Sean,

• G0 los gastos que el prestatario debe pagar en el inicio de la operación.

• G0,1 los gastos iniciales a cargo del prestatario que repercuten en el prestamista.

• G0,2 a los gastos iniciales a cargo del prestatario que no repercuten en el prestamista.

G0 = G0,1 + G0,2

El tanto efectivo prestatario, 'mI , en el préstamo amortizable mediante un único pago, es el que

hace equivalentes los siguientes conjuntos de capitales financieros:

( ){ } ( ) ( ){ }'T,'C;0,G~0,C 0I'm

La valoración se puede efectuar en cualquier instante de tiempo, aunque generalmente se

valora en el origen de la operación, siendo en este caso, la ecuación que permite obtener el

tanto efectivo prestatario:

p'T

'm0 )I1('CGC

−+⋅+=

de donde,

1C

GCI 'Tp

'0'

m −

−=

−

4.2.4.2. Tasa anual equivalente: TAE El cálculo de la tasa anual equivalente, TAE, está regulado por el Banco de España en la

circular nº 8/1990 que establece:


...“En el cálculo del coste efectivo se incluirán las comisiones y demás gastos que el cliente esté obligado a pagar a la entidad como contraprestación por el crédito recibido o los servicios inherentes al mismo. No se consideran a estos efectos las comisiones o gastos que se indican a continuación, aún cuando debe quedar expresa y claramente indicado que la tasa anual equivalente no los incluye: • Los gastos que el cliente pueda evitar en uso de las facultades que le concede el contrato, en particular, y, en su

caso, los gastos por transferencia de los fondos debidos por el cliente. • Los gastos a abonar a terceros, en particular los corretajes, gastos notariales e impuestos. • Los gastos por seguros o garantías. No obstante, se incluirán las primas de los seguros que tengan por objeto

garantizar a la entidad el reembolso del crédito en caso de fallecimiento, invalidez, o desempleo de la persona física que haya recibido el crédito, siempre que la entidad imponga dicho seguro como condición para conceder el crédito.”…

De modo que la TAE, ∗1I , es el tanto efectivo anual que hace equivalentes los siguientes

conjuntos de capitales financieros:

• El conjunto unitario formado por el nominal del préstamo que el prestamista entrega al

prestatario al inicio de la operación.

• El conjunto formado por las contraprestaciones y por todos los gastos pagados por el

prestatario y que repercuten en el prestamista.

Si G0,1 son los gastos iniciales a cargo del prestatario que repercuten en el prestamista, la TAE, ∗1I , en el préstamo amortizable mediante un único pago se obtiene de la siguiente equivalencia:

( ){ } ( ) ( ){ }'T,'C;0,G~0,C 1,0I1∗

Valorando en el origen de la operación resulta, 'T

11,0 )I1('CGC −∗+⋅+=

1CGC

I'T

1

'1,0

1 −

−=

−∗

Ejemplo Una persona solicita un préstamo de 40.000 € a una entidad financiera, amortizable mediante

un único pago, que comprende capital e intereses, a los 7 meses de su concesión. El tanto de

interés del préstamo es del 5% anual en régimen financiero de interés compuesto. Existen unos

gastos iniciales, a cargo del prestatario del 3% sobre el nominal, de los cuales 400 € los paga

al prestamista.

Los datos del ejemplo son:

Préstamos 9

• C = 40.000 €

• I1= 0,05

• T' = 7/12 años

• 0G 0,03 40.000 1.200 €= ⋅ =

• G0,1= 400 €

Calcular:

a. Cuantía a devolver al final de la operación

El esquema temporal de la operación es:

40.000 C’=C+Y

0 7/12 años

( )7 /12C' 40.000 1 0,05 41.154,79 €= ⋅ + =

donde,

• C = 40.000 € es la devolución del nominal prestado.

• Y = 1.154,79 € corresponde al pago de los intereses.

b. Reserva matemática y deuda pendiente a los 4 meses de la concesión del préstamo

• Reserva matemática:

( )4 /12retro4 /12R 40.000 1 0,05 40.655,85 €= ⋅ + =

( ) 3 /12pros4 /12R 41.154,79 1 0,05 40.655,85 €−= ⋅ + =

• Deuda pendiente:

4 /12D 40.000 €=


c. Tanto efectivo prestatario y TAE

• Tanto efectivo prestatario: '1I

Para hallar el tanto efectivo prestatario, '1I , hay que plantear la siguiente equivalencia

financiera:

( ){ } ( ) ( ){ }12/7,79,154.41;0,200.1~0,000.40'1I

y valorando al inicio de la operación, se obtiene:

( ) ⇒+⋅+=− 127'

1I179,154.41200.1000.40 10628,0179,154.41

800.38I712

'1 =−

=−

• TAE de la operación: ∗1I

La equivalencia financiera a plantear para obtener la TAE, ∗1I , de la operación es la siguiente:

( ){ } ( ) ( ){ }12/7,79,154.41;0,400~0,000.401I∗

y valorando al inicio de la operación, se obtiene:

( ) 127

1I179,154.41400000.40−∗+⋅+= 06825,01

79,154.41600.39I

712''1 =−

=⇒−

4.3. PRÉSTAMO AMORTIZABLE MEDIANTE UN SOLO PAGO Y ABONO PERIÓDICO DE INTERESES

En esta modalidad de préstamo, el prestamista entrega al prestatario un único capital al inicio

de la operación. A cambio el prestatario se compromete a pagar al prestamista al final de cada

periodo los intereses devengados en el mismo, y a restituir el nominal del préstamo al final de

la operación.

Este tipo de préstamo se suele pactar en régimen financiero de interés compuesto vencido.

Préstamos 11


La equivalencia entre prestaciones y contraprestaciones viene dada por:

( ){ } ( ) ( ){ }np,C;rp,IC~0,C n,...,2,1rmIm=⋅

siendo:

• C el nominal del préstamo

• Im el tanto efectivo de interés al que se ha concertado la operación de préstamo, y cuya

frecuencia coincide con la del abono de intereses

• C · Im la cuota de interés del periodo

• n el número de periodos de p años cada uno

• n·p la duración total de la operación, expresada en años

Gráficamente:

0 1 2 3 . . . . . . . . . . . . . (n-1) n periodos

C CIm CIm CIm . . . . . . . . . . . . . CIm CIm+C



La reserva matemática muestra la evolución de la operación a lo largo del plazo, y permite

obtener la cuantía que debe pagar el prestatario en caso de cancelar anticipadamente el

préstamo.

• Al final de cada uno de los n-1 primeros periodos, tras efectuar el correspondiente pago de

intereses, la reserva matemática coincide con el nominal del préstamo.

1n...,,2,1rconCRr −==


Este valor se puede obtener a partir de la reserva retrospectiva o prospectiva:

Reserva matemática retrospectiva. El importe que cancela el préstamo transcurridos r

periodos se obtiene por diferencia entre lo que el prestamista entrega al prestatario, valorado

en r, y lo que el prestatario ya ha devuelto al prestamista, valorado también en r:

( ) CsICI1CRmIrm

rm

retror =⋅⋅−+⋅=

Reserva matemática prospectiva. A partir del final del periodo r-ésimo quedan pendientes el

pago de las n-r últimas cuotas de interés y la devolución de las C u.m. prestadas que,

valorados al final del periodo r-ésimo, permiten obtener la cuantía que el prestatario debe pagar

al prestamista para cancelar el préstamo de forma anticipada:

( ) CI1CICR )rn(mIrnm

prosr m

=+⋅+⋅⋅= −−−

a

• En el instante τ, siendo 1rr +⟨τ⟨ , la cuantía que cancela anticipadamente el préstamo se

puede obtener capitalizando la reserva al final del periodo r-ésimo, la fracción de periodo

transcurrida:

( ) ( ) rm

rmr I1CI1RR −τ−τ

τ +⋅=+⋅=

• Al final de la operación, un instante después de efectuado el pago de la cuota de interés

correspondiente y de devolver el nominal del préstamo la reserva es nula: 0Rn =

4.3.2.2. Deuda pendiente

La deuda pendiente en τ es la parte del nominal del préstamo pendiente de amortizar en dicho

instante. Teniendo en cuenta que desde que el prestamista entrega la cuantía C al inicio de la

operación, el prestatario no devuelve nada, la deuda pendiente es siempre C u.m., excepto al

final de la operación ya que después de amortizar el préstamo, la deuda pendiente es nula.

0DynparaCD n =≠τ=τ

Préstamos 13


• Al inicio de la operación, la deuda pendiente y la reserva matemática coinciden con el

nominal del préstamo.

CRD 00 ==

• Al final de cada periodo, una vez pagada la cuota de interés, la deuda pendiente y la reserva

matemática coinciden, también, con el nominal prestado.

1n...,,2,1rconCRD rr −===

• En 1rr +⟨τ⟨ la deuda pendiente sigue siendo el nominal del préstamo, mientras que la

reserva ha aumentado debido a los intereses generados durante la fracción de periodo que ha

transcurrido desde r hasta τ.

ττ ≠= RCD

• Al final de la operación, tanto la deuda pendiente como la reserva son nulas.

0RD nn ==

La representación gráfica de la reserva matemática es la siguiente:

Rτ

C⋅(1+Im) _ C⋅Im C -

Dr = Rr Rτ ≠Dτ = Dr C

0 1 2 . . . . . r τ (r+1) . . . . . . . . . .(n-1) n periodos



El total amortizado en τ, τM , es la parte del nominal del préstamo amortizada por el prestatario

hasta este momento.

Puesto que el prestatario no amortiza nada del capital prestado hasta el final de la operación,

resulta:

CMyncon0M n =≠τ=τ

4.3.4. Tanto efectivo prestatario. Tasa anual equivalente: TAE


En esta modalidad de préstamo, el tanto efectivo prestatario, 'mI , cuya frecuencia de

capitalización coincide con la de las cuotas de interés, es el que resulta de la siguiente

equivalencia:

( ){ } ( ) ( ) ( ){ }np,C;rp,IC;0,G~0,C n,...,2,1rm0I'm

=⋅

Si se valora en el origen de la operación, la ecuación que permite obtener el tanto efectivo 'mI ,

que indica el coste al que resulta el préstamo al prestatario es,

( ) n'mInm0 I1CICGC '

m

−+⋅+⋅⋅+= a

4.3.4.2. Tasa anual equivalente: TAE

Para encontrar la TAE, la equivalencia financiera a plantear es la siguiente:

( ){ } ( ) ( ) ( ){ }pn,C;rp,IC;0,G~0,C n,...,2,1rm1,0Im

=⋅∗

Préstamos 15

Valorando al inicio de la operación se obtiene la ecuación que permite hallar el tanto ∗mI

( ) nmInm1,0 I1CICGC

m

−∗+⋅⋅+= ⋅+∗a

siendo la TAE el tanto efectivo anual equivalente al anterior:

( ) 1I1ITAEm

m1 −+== ∗∗

Ejemplo Una persona solicita un préstamo de 20.000 € a amortizar mediante un solo pago dentro de 2

años, y con pago trimestral de intereses. El tanto de interés concertado con la entidad

financiera es del 6% anual capitalizable trimestralmente, y los gastos a cargo del prestatario

ascienden a 1.000 € de los que 400 € repercuten en el prestamista.


• C = 20.000 €

• p= 1/4 años

• T'-T = n·p = 2

• n= 8 trimestres

• i4 = 0,06 ; I4 = 0,06/14 = 0,015

• G0= 1.000 €

• G0,1= 400 €

Calcular:

a. Cuota de interés trimestral

4C I 20.000 0,015 300 €⋅ = ⋅ =

b. Reserva matemática y deuda pendiente a los 9 y 11 meses de concertado el préstamo

• A los 9 meses de concertado el préstamo, una vez efectuado el pago de la cuota de interés

correspondiente:

3 3R 20.000 € D= =


• A los 11 meses de concertado el préstamo:

( )2

3233

2 333

R 20.000 1 0,015 20.199,50 €

D D 20.000 €

= ⋅ + =

= =

c. Tanto efectivo prestatario y TAE


La equivalencia financiera a plantear es la siguiente:

( ){ } ( ) ( )

⋅

=

2,000.20;41r,300;0,000.1~0,000.20

8,...,2,1rI'4

Valorando al inicio de la operación, resulta:

( ) 8'4I8

I1000.20300000.1000.20 '4

−+⋅+⋅+= a

de donde se obtiene el tanto efectivo trimestral prestatario, 02188,0I'4 =


La equivalencia financiera en este caso es:

( ){ } ( ) ( )

⋅

=∗

2,000.20;41r,300;0,400~0,000.20

8,...,2,1rI4

y valorando al inicio de la operación, al tanto ∗4I , resulta:

( ) 84I8

I1000.20300400000.204

−∗+⋅+⋅+= ∗a

Préstamos 17

ecuación de la que se obtiene el tanto efectivo trimestral, 01770,0I4 =∗ , a partir del cual se

obtiene la TAE, ∗1I , como el tanto efectivo anual equivalente:

( ) 07270,0101770,01ITAE 41 =−+== ∗

4.4. PRÉSTAMO AMORTIZABLE MEDIANTE TÉRMINOS AMORTIZATIVOS CONSTANTES. PRÉSTAMO FRANCÉS

El préstamo amortizable por el sistema francés es un préstamo con términos amortizativos

constantes y pagaderos periódicamente por vencido, pactado en régimen financiero de interés

compuesto vencido. Cada uno de los pagos que efectúa el prestatario al final de cada periodo

se destinan a pagar los intereses devengados en el periodo y a amortizar parte del capital

prestado.

Las magnitudes que intervienen en esta modalidad de préstamo y en general, en todos los

préstamos de amortización periódica son:

• C el nominal del préstamo.

• p la periodicidad considerada en la operación.

• n el número de periodos en que se divide el plazo de la operación.

• α el término amortizativo. Es la cuantía que el prestatario paga al prestamista al final de

cada uno de los n periodos. Los términos amortizativos se componen de cuota de interés y de

cuota de capital.

• rY la cuota de interés del periodo r-ésimo. Es la parte del término amortizativo que se

destina a pagar los intereses devengados del periodo.

• rA la cuota de amortización o de capital del periodo r-ésimo . Es la parte del término del

término amortizativo que se destina a amortizar el capital prestado.

• mI el tanto efectivo de interés al que se ha pactado el préstamo, cuya frecuencia de

capitalización coincide con la frecuencia de pago de los términos amortizativos.



La equivalencia financiera entre prestación y contraprestaciones es:

( ){ } ( ){ } n,...,2,1rIrp,~0,C

m=α

siendo su esquema temporal:

0 1 2 3 . . . . . . . . . . . . . (n-1) n periodos

C α α α . . . . . . . . . . . . . . α α

Valorando al inicio de la operación, al tanto de interés del préstamo, se obtiene la ecuación que

permite hallar el término amortizativo que el prestatario debe pagar al final de cada periodo:

mInC a⋅α=mIn

Ca

=α⇒



• Al final del periodo r-ésimo, r = 1, 2, …, n-1, después del pago del término amortizativo

correspondiente la reserva matemática puede obtenerse por el método retrospectivo o

prospectivo.

Reserva matemática retrospectiva

( )mIr

rm

retror sI1CR ⋅α−+⋅=

Reserva matemática prospectiva

mIrnprosrR

−⋅α= a

Préstamos 19

La reserva matemática retrospectiva y prospectiva coinciden, siendo su esquema temporal:

0 1 2 . . . . . (r-1) r (r+1) . . . . . . . . . n periodos

retrorR pros

rR

C α α . . . . . . .α α α . . . . . . . . . . α

• La reserva matemática en τ, siendo 1rr +⟨τ⟨ , es:

( ) rmr I1RR −τ

τ +⋅=

• Al final de la operación:

0Rn =

La representación gráfica de la reserva matemática es:

Rτ

C α R1 α

R2

Rn-1

α

0 1 2 . . . . . . . . . . . . . . (n-1) n periodos



La deuda pendiente al final del periodo r-ésimo es:

0DyCDconAD n0

n

1rssr === ∑

+=

La deuda pendiente va disminuyendo a medida que el prestatario va pagando los términos

amortizativos, ya que una parte de los mismos se destina a la amortización de nominal.

Para obtener la deuda pendiente sin calcular previamente las cuotas de amortización hay que

relacionarla con la reserva matemática.


Conocida la reserva matemática se puede calcular la deuda pendiente a partir de ella, ya que:

• Al inicio de la operación deuda pendiente y reserva matemática coinciden con el nominal del

préstamo:

CRD 00 ==

• Al final de cada periodo, una vez que se ha pagado el término amortizativo correspondiente,

deuda y reserva coinciden:

n,...,2,1rRD rr ==

Rτ

C α R1=D1 α

R2=D2

Rn-1=Dn-1

α Rn=Dn

0 1 2 . . . . . . . . . (n-1) n periodos

Préstamos 21

• En τ con 1rr +⟨τ⟨

ττ ≠== RRDD rr

Los intereses que se acumulan sobre la cuantía pendiente al inicio del periodo hacen que la

reserva matemática vaya aumentando y que no coincida con la deuda hasta un momento

después de efectuado el pago del término amortizativo del periodo siguiente.

Rτ

Rr⋅ (1+Im)

Rr⋅ (1+Im)τ-r α

Rτ −−−− Dr = Rr Dr=Dτ Rr+1 = Dr+1

0 . . . . . . r τ r+1. . . . .periodos

• Al final de la operación, la reserva matemática y la deuda pendiente coinciden y son nulas:

0RD nn ==

4.4.3. Cuota de interés y cuota de capital

El término amortizativo que se paga al final del periodo r-ésimo se desglosa en cuota de interés

y cuota de capital:

α = Yr + Ar

• Cuota de interés. En cada periodo se pagan los intereses sobre la reserva matemática del

final del periodo anterior:

( ) m1r1rm1rr IRRI1RY ⋅=−+⋅= −−−

• Cuota de capital. Conocido el término amortizativo y la cuota de interés, por diferencia

puede obtenerse la cuota de capital.

Ar = α – Yr


o bien:

Ar = Rr-1 - Rr

Gráficamente el desglose del término amortizativo del periodo r-ésimo es:

Rτ

Rr-1⋅ (1+Im)

Yr= Rr-1⋅ Im

Rr-1 α Ar= α-Yr

Rr

0. . . . . . r-1 r . . . . . . . periodos

Una característica del préstamo amortizable por el sistema francés es que las cuotas de

amortización varían en progresión geométrica de razón ( )mI1+ :

=⋅⋅α−α=⋅−α=−α=−−− mI)1r(nm1rmrr IRIYA a

( ) ( ) =+⋅α=

+−⋅−⋅α= −+−

+−−1rn

mm

)1rn(m

m I1II11

I1

( )( )

( ) ( ) 1rm

In

1rmn

mIn

1rnm

In

I1CI1I1

CI1C

mmm

−−−+− +⋅=+⋅+⋅

=+⋅=saa

Por tanto:

( )mIn

11r

m1r sCAconI1AA =+⋅= −

Préstamos 23

La primera cuota de amortización puede obtenerse a través de la expresión anterior y también:

A1 = α - Y1 = α - C · Im


El total amortizado hasta el final del periodo r-ésimo se obtiene sumando las cuotas de

amortización pagadas por el prestatario desde el inicio de la operación hasta el final de dicho

periodo.

∑=

=r

1ssr AM

o bien se obtiene por diferencia entre el nominal del préstamo y la deuda pendiente:

rr DCM −=

4.4.5. Cuadro de amortización

Las magnitudes del préstamo se pueden resumir en el cuadro de amortización:

r α Yr Ar Mr Rr = Dr

0 ----- ----- ----- M0 = 0 R0 = C

1 α Y1 = C·Im A1 = α – Y1 M1 = M0+ A1 R1 = R0 - A1

2 α Y2 = R1·Im A2 = α – Y2 M2 = M1+ A2 R2 = R1 – A2

…… …… …… …… …… ……

r α Yr = Rr-1·Im Ar = α – Yr Mr = Mr-1+ Ar Rr = Rr-1 – Ar

…… …… …… …… …… ……

n-1 α Yn-1 = Rn-2·Im An-1 = α – Yn-1 Mn-1 = Mn-2+ An-1 Rn-1 = Rn-2 – An-1

n α Yn = Rn-1·Im An= α – Yn=Rn-1 Mn = Mn-1+ An=C Rn = Rn-1 – An =0


4.4.6. Tanto efectivo prestatario. Tasa anual equivalente: TAE


El coste al que resulta la operación al prestatario, se obtiene a partir de la siguiente

equivalencia financiera:

( ){ } ( ) ( ){ }n,...,2,1r0I

rp,;0,G~0,C'm

=α

Valorando al inicio de la operación se obtiene la ecuación que permite determinar el tanto

efectivo prestatario, 'mI :

'mIn0GC a⋅α+=

4.4.6.2. Tasa anual equivalente: TAE

La TAE, *1I , se obtiene de la siguiente equivalencia financiera:

( ){ } ( ) ( ){ }n,...,2,1r1,0I

rp,;0,G~0,Cm

=α∗

Valorando al inicio de la operación se obtiene la ecuación que permite obtener el tanto ∗mI ,

∗⋅α+=mIn1,0GC a

siendo la TAE

TAE = ( ) 1I1Im

m*1 −+= ∗

Ejemplo Una persona solicita un préstamo hipotecario de 160.000 € de nominal, a amortizar mediante

pagos mensuales, constantes y vencidos durante 10 años. El tanto de interés es del 6% anual

pagadero mensualmente. Existen unos gastos iniciales a cargo del prestatario del 5% sobre el

nominal, de los cuales 3.000 € repercuten en el prestamista.

Préstamos 25


• C =160.000 €

• i12= 0,06 ⇒ I12 = 0,06/12 = 0,005

• t = 10 años

• p = 121 años

• α constante y mensual

• n = 120 meses

• G0= 0,05·160.000 = 8.000 €

• G0,1= 3.000 €

Calcular:

a. Término amortizativo El importe del término amortizativo se obtiene a partir de la siguiente equivalencia financiera:

( ){ }120,...,2,1r

005,0I 121r,~0,000.160

12 ==

⋅α

Valorando al inicio de la operación, se obtiene:

005,0120000.160 a⋅α=120 0,005

160.000 1.776,328031 1776,33 €⇒ α = = ≅a

El esquema temporal de la operación es en este caso:

0 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 meses

160.000 1.776,33 1.776,33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.776,33

b. Reserva matemática y deuda pendiente a los 6 años, y a los 6 años y 15 días de concertado

el préstamo

• Reserva matemática a los 6 años, esto es, a los 72 meses:

( )72retro72 72 0,005R 160.000 1 0,005 1.776,33 s 75.636,61206 75.636,61 €= ⋅ + − ⋅ = ≅


pros72 48 0,005R 1.776,33 75.636,61206 75.636,61 €= ⋅ = =a

• Reserva matemática a los 6 años y 15 días, esto es, a los 72 meses y medio:

( ) ( )1 2 1 272,5 72R R 1 0,005 75.636,61 1 0,005 75.825,47 €= ⋅ + = ⋅ + =

• Deuda pendiente a los 6 años:

D72 = R72 = 75.636,61 €

• Deuda pendiente a los 6 años y 15 días:

72,5 72 72 72,5D D R 75.636,61 € R= = = ≠

c. Cuota de amortización y cuota de interés correspondiente al primer mes del séptimo año

• Una manera de hallar la cuota de interés y de capital es la siguiente, que a su vez es el

método general que puede utilizarse en todos los préstamos de amortización periódica:

Y73 = R72 · I12 = 75.636,61 · 0,005 = 378,18 €

A73 = α – Y73 = 1.776,33 – 378,18 = 1.398,15 €

• Si se tiene en cuenta que en el préstamo francés la cuotas de capital crecen en progresión

geométrica, resulta:

Y1 = C· I12 = 160.000 · 0,005 = 800 €

A1 = α – Y1 = 1.776,33 – 800 = 976,33 €

o bien,

1120 0,005

160.000A 976,33 €s

= =

Préstamos 27

por lo que,

A73 = A1 · 1,00572 = 976,33 · 1,00572 = 1.398,15 €

siendo,

Y73 = α – A73 = 1.776.33 – 1.398,15 = 378,18 €

d. Total amortizado hasta el final de los 6 años, esto es a los 72 meses

72 72M C D 160.000 75.636,61 84.363,39 €= − = − =

e. Tanto efectivo prestatario y TAE


Se obtiene de la siguiente equivalencia financiera:

( ){ } ( )

⋅

= 120,...,2,1rI 121r,33,776.1;0,000.8~0,000.160

'12

Valorando al inicio de la operación resulta:

'12I120

33,776.1000.8000.160 a⋅+=

00596,0I'12 =


La equivalencia financiera a plantear en este caso es la siguiente:

( ){ } ( )

⋅

=∗

120,...,2,1rI 121r,33,776.1;0,000.3~0,000.160

12


∗⋅+=12I120

33,776.1000.3000.160 a

00535,0I12 =∗


La TAE es el tanto efectivo anual equivalente al anterior:

( ) ( ) 06612,0100535,011I1ITAE 121212

*1 =−+=−+== ∗

4.4.7. Préstamo francés con carencia

En ocasiones el momento en el que se concierta el préstamo no coincide con el inicio del pago

de los términos amortizativos, sino que durante un determinado número de periodos no se

efectúa amortización de capital. El número de periodos transcurridos desde el inicio de la

operación hasta el inicio de la devolución del capital prestado se denomina carencia.

Durante los periodos que dura la carencia, si bien el prestatario no amortiza capital, puede

pagar los intereses periódicamente, denominándose en este caso carencia parcial, o bien no

realizar ningún pago, en cuyo caso se denomina carencia total.

4.4.7.1. Préstamo francés con carencia parcial

El prestamista entrega el nominal del préstamo al inicio de la operación y el prestatario se

compromete a pagar al final de cada uno de los d primeros periodos los correspondientes

intereses, e iniciándose el pago de los términos amortizativos, que comprenden capital e

intereses, cuando termina el plazo de carencia.

La equivalencia financiera entre prestación y contraprestaciones es en este caso la siguiente:

( ){ } ( ) ( )( ){ }n,...,2,1rd,...,2,1rmIprd,;rp,IC~0,C

m== +α⋅


C C⋅Im . . . . . . . . C⋅Im α α . . . . . . . . . . . . . . . . α

0 1 . . . . . . . . . d d+1 d+2 . . . . . . . . . . . . . d+n periodos

d cuotas de interés n términos amortizativos

Préstamos 29

Valorando prestaciones y contraprestaciones al inicio de la operación se obtiene la ecuación de

equilibrio inicial:

( ) dmInIdm I1ICC

mm

−+⋅⋅α+⋅⋅= aa

de donde resulta:

mInC a⋅α=

ecuación de equilibrio que coincide con la del préstamo francés sin carencia.

La representación gráfica de la reserva matemática en esta modalidad de préstamo es la

siguiente:

Rτ

C⋅Im C⋅Im C Rd+1 α

Rd+n-1

α

0 1 2 . . . . . . d d+1 d+2. . . . . d+n-1 d+n periodos

Ejemplo Calcular el término amortizativo de un préstamo como el del ejemplo anterior pero cuya

duración total sea de 11 años, siendo el primero de carencia parcial, durante el cual se pagarán

los intereses mensualmente y por vencido.

El esquema temporal de la operación es:

160.000 800 . . . . . . . . 800 α . . . . . . . . . . . . . . . α α

0 1 . . . . . . . . . 12 13 . . . . . . . . . . . . 131 132 meses

12 meses de carencia 120 términos amortizativos mensuales


La equivalencia financiera, en este caso, es:

( ){ } ( )

⋅+α

⋅

===120,...,2,1r12 12

1r12,;121r,800~0,000.160

12,...,2,1r005,0I

siendo la ecuación de equilibrio inicial:

( ) 12005,0120005,012 005,01800000.160 −+⋅⋅α+⋅= aa

que es equivalente a plantear la ecuación al final de la carencia,

005,0120000.160 a⋅α=

de donde:

euros33,776.1000.160

005,0120

==αa

4.4.7.2. Préstamo francés con carencia total

El prestamista entrega el nominal del préstamo al inicio de la operación y el prestatario no

efectúa ningún pago hasta que han transcurrido los d periodos de carencia. Al final de la

carencia, el prestatario debe al prestamista el nominal más los intereses generados durante la

carencia, importe que restituirá mediante el pago de los términos amortizativos.

La equivalencia financiera entre prestación y contraprestaciones es la siguiente:

( ){ } ( )( ){ } n,...,2,1rIprd,~0,C

m=+α


C α α . . . . . . . . . . . . . . . α

0 d d+1 d+2 . . . . . . . . . . . . . d+n periodos

n términos amortizativos

Préstamos 31

El término amortizativo, α, se obtiene a partir de la ecuación de equilibrio inicial:

( ) dmIn I1C

m

−+⋅⋅α= a

que también se puede plantear al final de los d periodos de carencia:

( )mIn

dmI1C a⋅α=+⋅

siendo,

( )mIn

dmI1C

a+⋅

=α

Gráficamente la reserva matemática es:

Rτ

α Rd

C

Rd = C·(1+Im)d

α

0 1 2 . . . . . d d+1 . . . . . . . d+(n-1) d+n periodos

Ejemplo Si en el ejemplo anterior el primer año es de carencia total y se mantienen el resto de datos,

calcular el importe de los términos amortizativos.

El esquema temporal de la operación es este caso:


0 1 . . . . . . . . . . .12 13. . . . . . . 131 132 meses

12 meses de carencia total 120 α mensuales

160.000 α . . . . . . . . α α

y la equivalencia financiera entre prestación y contraprestaciones viene dada por:

( ){ } ( )120,...,2,1r

005,0I 121r12,~0,000.160

12 ==

⋅+α

El término amortizativo puede obtenerse a partir de la ecuación de equilibrio inicial, ya sea

planteada al inicio de la operación o al final de la carencia:

• Ecuación de equilibrio inicial:

( ) 12005,0120 005,01000.160 −+⋅⋅α= a

• Ecuación de equilibrio al final del plazo de carencia:

( ) 005,012012005,01000.160 a⋅α=+⋅

Despejando el término amortizativo de cualquiera de las dos ecuaciones, se obtiene:

( )12

120 0,005

160.000 1 0,0051.885,89 €

⋅ +α = =a

Préstamos 33

4.5. PRÉSTAMO AMORTIZABLE MEDIANTE TÉRMINOS AMORTIZATIVOS DE VARIACIÓN GEOMÉTRICA

Es un préstamo de amortización periódica con términos amortizativos variables en progresión

geométrica y pagaderos por vencido, pactado en régimen financiero de interés compuesto.


La equivalencia financiera entre prestación y contraprestaciones en esta modalidad de

préstamo es la siguiente:

( ){ } ( ){ } n,...,2,1r1r

1Irp,q~0,C

m=

−⋅α

donde:

• α1 es el primer término amortizativo

• q es la razón de variación de los términos amortizativos

y siendo su esquema temporal:

0 1 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . n periodos

C α1 α1·q α1·q2 . . . . . . . . . . . . . . . . α1·q

n-1

Valorando al inicio de la operación se obtiene la ecuación de equilibrio inicial de la que se

puede obtener el importe del primer término amortizativo. Para valorar las contraprestaciones

se debe utilizar el valor actual de la renta variable en progresión geométrica, inmediata,

temporal y vencida.

( )

( ) qI1siI1nC

qI1siqI1I1q1C

m1

m1

mm

nm

n

1

=++⋅⋅α=

≠+−++⋅−

⋅α=

−

−


resultando:

( )( )

( )qI1si

I1nC

qI1siI1q1

qI1C

m1m

1

mnm

nm

1

=++⋅

=α

≠++⋅−

−+⋅=α

−

−

4.5.2. Reserva matemática y deuda pendiente 4.5.2.1. Reserva matemática

• Al final del periodo r-ésimo, r=1, 2, ..., n-1, después del pago del término amortizativo

correspondiente, la reserva matemática se calcula del siguiente modo:


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) qI1siI1rI1CR

qI1siqI1qI1I1C

I1qI1I1q1I1CR

m1r

m1r

mretror

mm

rrm

1r

m

rm

m

rm

r

1r

mretror

=++⋅⋅α−+⋅=

≠+−+−+

⋅α−+⋅=

=+⋅−++⋅−

⋅α−+⋅=

−

−


( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) qI1siI1rnI1rnR

qI1siqI1I1q1q

qI1I1q1R

m1r

m11

m1rprosr

mm

nrm

rnr

1m

nrm

rn

1rprosr

=++⋅−⋅α=+⋅−⋅α=

≠+−++⋅−

⋅⋅α=−++⋅−

⋅α=

−−+

−−−−

+

Préstamos 35


0 1 2 . . . . . r-1 r r+1 . . . . . . . . . . . n periodos

retrorR pros

rR

C α1 α1 ·q . . . . α1·qr-2 α1·qr-1 α1·qr . . . . . . . . . . α1·q

n-1


( ) rmr I1RR −τ

τ +⋅=

• Al final de la operación: 0Rn =



0DyCDconAD n0

n

1rssr === ∑

+=

Para obtener la deuda pendiente sin calcular previamente las cuotas de amortización debemos

relacionarla con la reserva matemática, tal como se ha visto en el préstamo amortizable por el

sistema francés.


El término amortizativo que se paga al final del periodo r-ésimo se descompone en cuota de

interés y cuota de capital:

αr = Yr + Ar

• Cuota de interés: en cada periodo se pagan los intereses sobre la reserva matemática al

final del periodo anterior:

Yr = Rr-1 · Im


• Cuota de capital: conocido el término amortizativo y la cuota de interés, por diferencia

puede obtenerse la cuota de capital:

m1r1r

1rrr IRqYA ⋅−⋅α=−α= −−




periodo.

∑=

=r

1ssr AM

o bien se obtiene por diferencia entre el nominal del préstamo y la deuda pendiente:

rr DCM −=

Ejemplo Una empresa solicita un préstamo de 140.000 € de nominal a amortizar mediante términos

amortizativos semestrales crecientes en un 2% semestral acumulativo. El tanto de interés del

préstamo es del 6% anual pagadero semestralmente, la duración de la operación es de 10

años y los gastos iniciales a cargo del prestatario ascienden a 7.000 €, de los cuales 3.000 €

repercuten en el prestamista.


• C = 140.000 €

• αr = α1.qr-1 y semestral

• q = 1,02

• i2 = 0,06 ⇒ I2 = 0,06/2 = 0,03

• t =10 años

• p = 1/2 años

• n = 20 semestres

• G0 = 7.000 €

• G0,1= 3.000 €

Préstamos 37

Calcular:

a. Término amortizativo


( ){ }20,...,2,1r

1r103,0I 2

1r,02,1~0,000.1402 =

−

=

⋅⋅α

Valorando al inicio de la operación se obtiene:

( ) 02,103,01queya02,103,0103,0102,11000.140

2020

1 ≠+−++⋅−

⋅α=−

y despejando el primer término amortizativo,

( )( )

1 2020

140.000 1 0,03 1,027.897,6930 7.897,69 €

1 1,02 1 0,03 −

⋅ + −α = = ≅

− ⋅ +

A partir del primer término se pueden obtener todos los demás:

r 1 r 1

r 1 q 7.897,69 1,02 € con r 1,2,...,20− −α = α ⋅ = ⋅ =

b. Reserva matemática y deuda pendiente a los 2 años y a los 2 años y 4 meses de la

concesión del préstamo

• Reserva matemática a los 2 años, esto es, a los 4 semestres:

( ) ( ) ( )44

4 4retro4

1 1,02 1 0,03R 140.000 1 0,03 7.897,69 1 0,03 123.550,62 €

1 0,03 1,02

−− ⋅ += ⋅ + − ⋅ ⋅ + =

+ −

( ) 1616pros4 5

45 1

1 1,02 1 0,03R 123.550,62 €

1 0,03 1,02

siendo 1,02 8.548,7168 8.548,72 €

−− ⋅ += α ⋅ =

+ −

α = α ⋅ = ≅


• Reserva matemática a los 2 años y 4 meses:

( ) ( )2 3 2 32 443

R R 1 0,03 123.550,62 1 0,03 126.009,43 €= ⋅ + = ⋅ + =

• Deuda pendiente a los 2 años de concertada la operación:

4 4D R 123.550,62 €= =

• Deuda pendiente a los 2 años y 4 meses

2 4 443

D D R 123.550,62 €= = =

c. Composición del quinto término amortizativo

• Cuota de interés:

5 4 2Y R I 123.550,62 0,03 3.706,52 €= ⋅ = ⋅ =

• Cuota de amortización:

5 5 5A Y 8.548,72 3.706,52 4.842,20 €= α − = − =

d. Tanto efectivo prestatario y TAE


Se obtiene de la siguiente equivalencia financiera:

( ){ } ( )20,...,2,1r

1r

I 21r,02,169,897.7;0,000.7~0,000.140

'2 =

−

⋅


( )

03525,0I

02,1I1I102,1169,897.7000.7000.140

'12

'2

20'2

20

=

−+

+⋅−⋅+=

−

Préstamos 39


La equivalencia a plantear en este caso es la siguiente:

( ){ } ( )20,...,2,1r

1r

I 21r,02,169,897.7;0,000.3~0,000.140

2 =

−

⋅

∗

y valorando al inicio de la operación se obtiene el tanto ∗2I

( )

03220,0I

02,1I1I102,1169,897.7000.3000.140

2

2

202

20

=

−+

+⋅−⋅+=

∗

∗

−∗

La TAE es el tanto efectivo anual equivalente a ∗2I

TAE = ( ) ( ) 06544,0103220,011I1I 222

*1 =−+=−+= ∗

4.6. PRÉSTAMO AMORTIZABLE MEDIANTE TÉRMINOS AMORTIZATIVOS DE VARIACIÓN LINEAL

Es un préstamo de amortización periódica con términos amortizativos variables en progresión

aritmética y pagaderos por vencido, pactado en régimen financiero de interés compuesto

vencido.


La equivalencia financiera entre prestación y contraprestaciones es en esta modalidad de

préstamo la siguiente:

( ){ } ( )( ){ } n,...,2,1r1Irp,h1r~0,C

m=⋅−+α

donde:

• α1 es el primer término amortizativo

• h es la razón de variación aritmética de los términos amortizativos



0 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n periodos

C α1 α1+h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . α1+(n-1)h

Valorando al inicio de la operación se obtiene la ecuación de equilibrio inicial de la que se

puede despejar el primer término amortizativo. Para valorar las contraprestaciones se debe

utilizar el valor actual de la renta variable en progresión aritmética, inmediata, temporal y

vencida,

mIn

m1 I

hnhnIhC

m

⋅−⋅

⋅++α= a

resultando:

⋅+−

⋅+

=α hnIhI

hnC

mIn

m1

ma

4.6.2. Reserva matemática y deuda pendiente 4.6.2.1. Reserva matemática

• Al final del periodo r-ésimo, después del pago del término amortizativo correspondiente, la

reserva matemática se calcula del siguiente modo:


( ) ( )rm

mIr

m1

rm

retror I1

Ihrhr

IhI1CR

m+⋅

⋅−⋅

⋅++α−+⋅= a


( ) ( ) hrsiendoI

hrnhrnIhR 11r

mIrn

m1r

prosr m

⋅+α=α⋅−

−⋅

⋅−++α= +−+ a

Préstamos 41


0 1 2 . . . . . . r-1 r r+1 . . . . . . . . . . n periodos

retrorR pros

rR

C α1 α1+h . . .α1+(r-2)h α1+(r-1)h α1+rh . . . . . . . . α1+(n-1)h

• La reserva matemática en τ, si 1rr +⟨τ⟨ , es:

( ) rmr I1RR −τ

τ +⋅=

• Al final de la operación,

0Rn =



0DyCDconAD n0

n

1rssr === ∑

+=

Para obtener la deuda pendiente sin calcular previamente las cuotas de amortización hay que

relacionarla con la reserva matemática, tal como se ha visto en el préstamo amortizable por el

sistema francés.


El término amortizativo que se paga al final del periodo r-ésimo se desglosa en cuota de interés

y cuota de capital:

αr = Yr + Ar

• Cuota de interés: en cada periodo se pagan los intereses sobre la reserva al final del

periodo anterior.

Yr = Rr-1 · Im


• Cuota de capital: conocido el término amortizativo y la cuota de interés, por diferencia

puede obtenerse la cuota de capital.

( ) m1r1rrr IRh1rYA ⋅−⋅−+α=−α= −




periodo:

∑=

=r

1ssr AM

o también:

rr DCM −=

Ejemplo Una persona solicita un préstamo de 80.000 € a devolver en 7 años mediante términos

amortizativos trimestrales, vencidos y crecientes cada trimestre en 150 €. El tanto concertado

con la entidad financiera es del 5% anual capitalizable trimestralmente.


• C = 80.000 €

• ( ) h1r1r ⋅−+α=α y trimestral

• h = 150 €

• i4 = 0,05 ⇒ I4 = 0,05/4 = 0,0125

• t =7 años

• p = 1/4 años

• n = 28 trimestres

Calcular:

a. Expresión general del término amortizativo


Préstamos 43

( ){ } ( )28,...,2,1r

10125,0I 41r,1501r~0,000.80

4 ==

⋅⋅−+α

Valorando al inicio de la operación, se obtiene:

0125,01502815028

0125,0150000.80 5012,0281

⋅−⋅

⋅++α= a

y despejando el primer término amortizativo,

128 0,0125

28 15080.0001500,0125 28 150 1.500,23126 1.500,23 €

0,0125

⋅+

α = − + ⋅ = ≅ a

A partir del primer término amortizativo se pueden obtener todos los demás:

( ) ( ) 28,...,2,1rcon1501r23,500.1h1r1r =⋅−+=⋅−+α=α

a. Reserva matemática y deuda pendiente a los 4 años y a los 4 años y 2 meses

• Reserva matemática a los 4 años, esto es a los 16 trimestres:

( )

( )

retro 1616

1616 0,0125

R 80.000 1 0,0125

150 16 1501.500,23 16 150 1 0,0125 52.106,38 €0,0125 0,0125

= ⋅ + −

⋅ − + + ⋅ ⋅ − ⋅ + =

a

pros

1716 12 0,0125

17 1

150 12 150R 12 150 52.106,38 €0,0125 0,0125

siendo 16 150 1.500,23 16 150 3.900,23 €

⋅ = α + + ⋅ ⋅ − =

α = α + ⋅ = + ⋅ =

a

• Reserva matemática a los 4 años y 2 meses

( ) ( )2 2

3 32 16163

R R 1 0,0125 52.106,38 1 0,0125 52.539,70 €= ⋅ + = ⋅ + =


• Deuda pendiente a los 4 años

16 16D R 52.106,38 €= =

• Deuda pendiente a los 4 años y 2 meses

2 16 16163

D D R 52.106,38 €= = =

b. Cuota de interés y de amortización del término amortizativo que se paga a los 4 años y 3

meses

• Cuota de interés:

17 16 2Y R I 52.106,38 0,0125 651,33 €= ⋅ = ⋅ =

• Cuota de amortización:

17 17 17A Y 3.900,23 651,33 3.248,9 €= α − = − =

4.7. PRÉSTAMO DE CUOTA DE CAPITAL CONSTANTE

Es un préstamo que se caracteriza porque la cuota de capital o cuota de amortización es

constante.

nCAsiendon,...,2,1rconAAr ===

Habitualmente en los préstamos de amortización periódica se plantea la ecuación de equilibrio

inicial para calcular los términos amortizativos, y a partir de éstos se obtiene la reserva

matemática, obteniendo el resto de magnitudes a partir de ambos. En esta modalidad de

préstamo, a partir del total amortizado y de la deuda pendiente se obtienen el resto de

magnitudes.




periodo.

Préstamos 45

n....,,2,1rconArAAMr

1s

r

1ssr =⋅=== ∑∑

==

4.7.2. Deuda pendiente y reserva matemática 4.7.2.1. Deuda pendiente

La deuda pendiente al final del periodo r-ésimo, con r = 1,2,…,n-1, es

( ) 0DyCDconArCArnAAD n0

n

1rs

n

1rssr ==⋅−=⋅−=== ∑∑

+=+=


• La deuda pendiente y la reserva matemática coinciden al final de cada periodo una vez

efectuado el pago del término amortizativo correspondiente:

n...,,2,1rconRD rr ==


( ) ( ) rmr

rmr I1DI1RR −τ−τ

τ +⋅=+⋅=

4.7.3. Cuota de capital y cuota de interés

El término amortizativo que se paga al final del periodo r-ésimo se desglosa en cuota de capital

y cuota de interés:

αr = Ar + Yr

• Cuota de capital: n,...,2,1rconnCAA r ===

• Cuota de interés: en cada periodo se pagan los intereses sobre la reserva al final del

periodo anterior:

1rm1rmr DIRIY −− ⋅=⋅=


De modo que:

( )( ) ( ) mmm1rmr IA1rICA1rCIDIY ⋅⋅−−⋅=⋅−−⋅=⋅= −

y sustituyendo m1 ICY ⋅= , se obtiene la expresión general de las cuotas de interés:

( ) n,...,2,1rconIA1rYY m1r =⋅⋅−−=

que, como puede apreciarse, siguen una progresión aritmética decreciente de razón mIAh ⋅−=

4.7.4. Término amortizativo

El término amortizativo del periodo r-ésimo es la suma de la cuota de interés y la cuota de

capital de dicho periodo:

AYrr +=α

Sustituyendo en la expresión anterior las dos cuotas por su valor,

( ) { }

( ) ( ) n...,,2,1rconIA1rh1r

AYsiendoAh1rY

m11

111r

=⋅⋅−−α=⋅−+α=

=α=+=+⋅−+=α

Los términos amortizativos siguen una progresión aritmética decreciente de razón, mIAh ⋅−= ,

del mismo modo que las cuotas de interés.

Ejemplo Se solicita un préstamo de 60.000 €, amortizable mediante términos amortizativos trimestrales,

vencidos y con cuota de capital constante, la duración de la operación es de 12 años y el tanto

de interés es del 6% anual capitalizable trimestralmente. Los gastos iniciales a cargo del

prestatario ascienden a 3.600 €, de los cuales 1.500 € los paga al prestamista.


• C = 60.000 €

Préstamos 47

• i4 = 0,06 ⇒ I4 = 0,06/4 = 0,015

• t =12 años

• p = 1/4 años

• n = 48 trimestres

• A = cuota de amortización o de capital constante y trimestral

• G0 = 3.600 €

• G0,1 = 1.500 €

Se pide:

a. Total amortizado a los 7 años de concertado el préstamo

La cuota de capital constante es:

C 60.000A 1.250 €n 48

= = =

siendo el total amortizado transcurridos 7 años, es decir a los 28 trimestres desde el inicio de la

operación: 28

28s 1

M A 28 A 28 1.250 35.000 €=

= = ⋅ = ⋅ =∑

b. Reserva matemática y deuda pendiente a los 7 años y a los 7 años y 1 mes desde el inicio

de la operación

• Deuda pendiente a los 7 años, esto es a los 28 trimestres:

La deuda pendiente se puede obtener por diferencia entre el nominal del préstamo y el total

amortizado hasta el final de los 7 años:

28 28D C M 60.000 35.000 25.000 €= − = − =

o como suma de las cuotas de amortización pendientes,

( )28D 48 28 1.250 25.000 €= − ⋅ =

• Reserva matemática a los 7 años:

28 28R D 25.000 €= =


• Deuda pendiente a los 7 años y 1 mes:

1 28283

D D 25.000 €= =

• Reserva matemática a los 7 años y 1 mes:

( ) ( )1 13 3

1 28283

R R 1 0,015 25.000 1 0,015 25.124,38 €= ⋅ + = ⋅ + =

c. Expresión general del término amortizativo

La expresión general del término amortizativo es:

( ) n,...,2,1rconIA1r m1r =⋅⋅−−α=α

siendo en este caso:

1 1 4

4

Y A C I A 60.000 0,015 1.250 900 1.250 2.150 €

h A I 1.250 0,015 18,75 €

α = + = ⋅ + = ⋅ + = + =

= − ⋅ = − ⋅ = −

de modo que:

( )r 2.150 r 1 18,75 € con r 1, 2,...,48α = − − ⋅ =

d. Cuota de interés y de amortización que componen el término amortizativo que se hace

efectivo al final del quinto año

Se trata del término amortizativo número 20:

20 1Si r 20 19 h 2.150 19 18,75 1.793,75 €= ⇒ α = α − ⋅ = − ⋅ =

siendo:

20 20

A 1.250 €

Y A 1.793,75 1.250 543,75 €

=

= α − = − =

Préstamos 49

e. Tanto efectivo prestatario y TAE


Se obtiene a partir de la siguiente equivalencia financiera:

( ){ } ( ) ( )48,...,2,1rI 4

1r,75,181r150.2;0,600.3~0,000.60'4 =

⋅−−


'4

I48'4 I

75,184875,1848I75,18150.2600.3000.60 '

4

⋅+⋅

⋅−−+= a

01824,0I'4 =


La equivalencia financiera en este caso es la siguiente:

( ){ } ( ) ( )48,...,2,1rI 4

1r,75,181r150.2;0,500.1~0,000.604 =

⋅−−

∗


∗∗

⋅+⋅

⋅−−+= ∗

4I48

4 I75,184875,1848

I75,18150.2500.1000.60

4a

01631,0I4 =∗

La TAE es el tanto efectivo anual equivalente al trimestral anterior:

TAE = ( ) ( ) 06687,0101631,011I1I 444

*1 =−+=−+= ∗

prÉstamos - benvinguda — ocwocw.ub.edu/admistracio-i-direccio-dempreses/matematica-de-les... ·...

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