proyecto control final
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TERCER INFORME DEL PROYECTO DE SISTEMAS DE CONTROL
Presentado por:
FABER ISAZA SANCHEZ
Cod: 2063551
NAIROBI SOLORZANO SANCHEZ
Cod: 2063616
JUAN CENTENO TORRES
Cod: 2063512
Presentado a:
PHD. DANIEL SIERRA
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES
BUCARAMANGA, SANTANDER
2010
MARCO TEORICO
RESPUESTA EN EL TIEMPO
El tiempo es la variable independiente empleada en la mayoría de sistemas de control, por
lo que es de interés evaluar la respuesta de salida y del estado con respecto al tiempo,
denominada respuesta en el tiempo.
La respuesta en el tiempo de un sistema de control puede descomponerse normalmente
en dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria.
A grandes rasgos, la respuesta transitoria determina el comportamiento del sistema
durante la transición de algún estado inicial hasta el estado final. Está determinada por la
característica dinámica del sistema.
Por otro lado, la respuesta transitoria, en el caso de sistemas estables es la respuesta que
permanece cuando el tiempo crece infinitamente depende fundamentalmente de la señal
de entrada al sistema.
En el problema de análisis, una señal de prueba se aplica como entrada al sistema y el
desempeño del sistema se evalúa al estudiar la respuesta en el tiempo del sistema.
Las señales de prueba típicas son:
Entrada función impulso, entrada función escalón, entrada función rampa, entrada
función parabólica.
La respuesta en el tiempo, tiene ciertas especificaciones que se muestran a continuación:
• Tiempo de retardo: tiempo que tarda la respuesta en alcanzar por primera vez la mitad
del valor final.
• Tiempo de crecimiento: tiempo requerido para que la respuesta crezca del 10% al 90%
(sobreamortiguado), del 5% al 95%, o del 0 al 100% (subamortiguado) de su valor final.
• Tiempo de pico: tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del
sobreimpulso.
• Máximo sobreimpulso: es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde
la unidad. Si el valor final de la respuesta es diferente de 1, se utiliza el máximo
sobreimpulso porcentual, que está dado por:
• Tiempo de establecimiento: tiempo requerido por la curva de respuesta para alcanzar
y mantenerse dentro de determinado rango alrededor del valor final, especificado en
porcentaje absoluto del valor final (se usa generalmente el 5% ó el 2%).
Figura 1. Parámetros de desempeño en el tiempo.
RESPUESTA EN FRECUENCIA
El análisis de respuesta en frecuencia es la técnica don una señal de prueba senoidal es
usada para medir puntos sobre la respuesta de frecuencia de una función de
transferencia. Una señal senoidal es aplicada para un sistema con función de
transferencia; después de que la oscilación momentánea desarrollada para condiciones
iniciales ha decaído, la salida viene a ser una onda senoidal pero con una magnitud
diferente y fase relativa. La magnitud y la fase da salida están, de hecho, relacionadas con
la función de transferencia a la frecuencia de la salida sinusoidal. En resumen, La
respuesta en frecuencia es una representación de la respuesta del sistema a entradas
sinusoidales a frecuencia variable. La salida de un sistema lineal a una entrada sinusoidal
es una sinusoide de la misma frecuencia pero con distinta magnitud y fase. La respuesta
en frecuencia se define como las diferencias de magnitud y fase entre las sinusoides de
entrada y salida.
• Margen de ganancia: se define como el cambio en la ganancia a lazo abierto necesario
para causar inestabilidad en el sistema. Los sistemas con márgenes de ganancia
grandes pueden tolerar mayores cambios en los parámetros del sistema antes de
hacerse inestable a lazo cerrado. El margen de ganancia es la diferencia entre la curva
de magnitud y 0dB en el punto correspondiente a la frecuencia que nos da una fase de
-180 grados (la frecuencia de cruce de fase, ωcf).
• Margen de fase: se define como el cambio a lazo abierto en la fase necesario para
causar inestabilidad en el sistema a lazo cerrado. El margen de fase mide también la
tolerancia del sistema a retardos. El margen de fase es la diferencia de fase entre curva
de la fase y -180 grados en el punto correspondiente a la frecuencia que nos da una
ganancia de 0dB (la frecuencia de cruce de ganancia, ωcg).
ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO
El error de estado estacionario se define como la diferencia entre la entrada y la salida de
un sistema en el límite cuando el tiempo tiende a infinito, es decir, cuando la respuesta ha
alcanzado el estado estacionario. El error de estado estacionario dependerá del tipo de
entrada (escalón, rampa, etc.) y de (tipo del sistema) que el sistema sea del tipo 0, I, II… El
análisis del error de estado estacionario sólo es útil para sistemas estables.
COMPENSADORES
Algunos compensadores típicos son:
• Compensador en Adelanto: El compensador de adelanto persigue el aumento del
margen de fase mediante la superposición de la curva de fase del diagrama de bode
sobre el diagrama de bode del sistema a compensar. El diagrama de bode del
compensador se sitúa de manera que el valor máximo de adelanto de fase se
encuentre donde se espera tener la frecuencia de cruce de ganancia. Conviene tener
en cuenta que el compensador de adelanto de fase siempre sumará ganancias
positivas sobre el sistema original, llevando hacia la derecha la frecuencia de cruce de
ganancia. Esto originará que el margen de fase aumente menos de lo esperado.
• Compensador en Atraso: Para un sistema que tiene buenas características de
respuesta transitoria pero no satisface los requerimientos en respuesta permanente
se utiliza la compensación en atraso. Esencialmente, un compensador en atraso
aumenta la ganancia de lazo cerrado sin modificar apreciablemente el lugar
geométrico de las raíces. Para ello, se colocan el cero y el polo de la red de atraso
cerca del origen. El compensador de retardo persigue el aumento del margen de fase
disminuyendo la ganancia del sistema compensado para frecuencias iguales o
superiores a las frecuencias características del sistema, con lo que supuestamente
deberá trasladar la frecuencia de cruce de ganancia hacia valores menores. Como el
margen de fase se mide a la frecuencia del cruce de ganancia, y esta se conseguirá
reducir, es previsible que dicho margen aumente.
• Compensador adelanto–atraso: Este compensador se añadirá cuando se necesite
modificar las condiciones de la respuesta transitoria y permanente. Su diseño puede
ser realizado a partir del diseño separado de la red de atraso y la red de adelanto, es
decir, se diseña inicialmente la red de adelanto tal que los polos dominantes deseados,
pertenezcan al Lugar Geométrico de las Raíces y luego a través del atraso se logra la
ganancia deseada en lazo directo que satisfaga el error. La compensación de adelanto
suele usarse para mejorar los márgenes de estabilidad. La compensación de adelanto
da una frecuencia de cruce de ganancia más alta que la que puede obtenerse con la
compensación de retardo. La frecuencia de cruce de ganancia más alta significa un
mayor ancho de banda. Un ancho de banda grande implica una reducción en el tiempo
de asentamiento. Si se desea un ancho de banda grande o una respuesta rápida, debe
emplearse la compensación de adelanto.
• Proporcional (P): Ajustar el valor de la ganancia en un controlador proporcional será
como moverse en el LGR hasta lograr la respuesta deseada, tanto transitoria como
permanente. Con ello se logra modificar tanto la respuesta transitoria como la
respuesta permanente, pero en forma limitada.
ANCHO DE BANDA
El ancho de banda es la longitud, medida en Hz, del rango de frecuencias en el que se
concentra la mayor parte de la potencia de la señal. Puede ser calculado a partir de una
señal temporal mediante el análisis de Fourier. También son llamadas frecuencias
efectivas las pertenecientes a este rango.
Así, el ancho de banda de un filtro es la diferencia entre las frecuencias en las que su
atenuación al pasar a través de filtro se mantiene igual o inferior a 3 dB comparada con la
frecuencia central de pico.
RESUMEN
Nuestra planta está encargada de regular la velocidad de la máquina y la potencia
eléctrica suministrada por el generador cuando la máquina se encuentra con carga. Se ha
analizado nuestro sistema y se ha linealizado de tal forma que obtuvimos la función de
transferencia del sistema, a la cual se le han realizado diferentes métodos de análisis para
determinar la posible estabilidad del sistema para cualquier condición de trabajo.
Con la ayuda de la herramienta Simulink se simulo en el software MATLAB la respuesta del
sistema original ante una entrada escalón obteniendo una salida exponencial que tiende
hacia el infinito, dejando ver la completa inestabilidad de este sistema, para ello tomando
como referencia los conocimientos adquiridos en el Aula de clase, implementamos y
estudiamos las diferentes fuentes de esta inestabilidad. En esta primera parte se basó en
la caracterización y familiarización de nuestra planta donde pudimos saber cuáles eran la
ubicación de polos y ceros y cuál era el error de estado estacionario ante una entrada
escalón.
Como era de esperarlo las características de desempeño en el tiempo tenía demasiados
errores ya que el sistema era inestable y unos parámetros que no se podían hallar;
nuestra planta como tal tenía muchas falencias y necesitaba ser estudiado con mucha
profundidad y aplicar métodos más significativos para tener un óptimo desempeño,
concluimos que lo mejor es buscar métodos de sistemas de control para estabilizar el
sistema.
A medida que avanzamos en nuestro curso hemos desarrollado diferentes métodos con
los cuales hemos profundizado más en nuestro proyecto, una de ellas es el criterio de
estabilidad de Routh Hurtwitz, con esta herramienta obtuvimos un rango de valores de
ganancia (K) para los cuales el sistema de lazo cerrado nos garantizaba estabilidad, ya
teniendo estos valores debíamos encontrar un solo valor de ganancia que me diera un
mejor desempeño en nuestro sistema y por eso utilizamos la respuesta en frecuencia, allí
evaluamos valores de K para los cuales me cumplan un margen de fase entre 30°- 60° y
un margen de ganancia mayor a 6 dB, para esto utilizamos MATLAB, aparte de esto
tuvimos en cuenta el error de estacionario y nos aseguramos que fuera muy pequeño.
Para la selección del valor de ganancia en nuestro caso como la gráfica de fase no cruza
con el eje de -180° no tuvimos en cuenta la condición de ángulo ya que la ganancia no
afecta la fase. Ya seleccionado el valor de ganancia evaluamos la respuesta al escalón en
lazo cerrado y evaluamos los indicadores de desempeño en el tiempo, obteniendo un
tiempo de crecimiento muy rápido y sin ningún sobrepaso haciendo que el sistema se
tornara mucho más eficiente. Llegamos a la conclusión que el sistema en lazo cerrado
mejoro muchísimo con este ajuste de ganancia y con una buena respuesta en el tiempo en
comparación con el sistema original que estaba inestable.
CARACTERÍSTICAS DE DESEMPEÑO DEL SISTEMA SIN COMPENSAR
Para obtener un desempeño satisfactorio, el margen de fase debe estar entre 30° y 60° y
el margen de ganancia debe ser mayor que 6 dB.
Entre los valores de K que me cumple con la condición de magnitud y a la vez me da el
menor error de estado estacionario es K=0.2.
Figura 2. Diagrama de Bode del sistema de lazo abierto para K=0.2.
Al no haber cruce de ganancia por el eje de 0 dB, el margen de fase es infinito, es decir,
para cualquier adelanto o atraso en la fase, no me afectara la estabilidad del sistema,
mientras que el cruce de fase por -180° se encuentra en el infinito, el margen de ganancia
será el valor alcanzado en el infinito, es decir, 8 dB. Resumiendo:
�� = ∞ �� = � ��
Al verificar la respuesta de escalón con MATLAB con este valor de K encontramos estos
valores: �� � �� ��������� = �. ���� [���] �� � �� ����� ������� = �. !"# [���]
Como podemos apreciar en la grafica de Respuesta al Escalón Sistema Lazo Cerrado
obtenemos una curva sin sobrepasos y con una rapido tiempo de establecimiento, con
otros valores de K el sistema se tardaba para responder y con valores negativos se tornaba
mucho mas lento por eso escogimos este valor y nos otorga una buena respuesta en
frecuencia.
Figura 3. Respuesta al escalón unitario para K=0.2.
Se ha graficado la función de transferencia de lazo cerrado, pero como se observa en la
Figura 3, la forma que obtuvimos fue la de un filtro pasa altas y como no tenemos cruce
de ganancia por 0 dB, no podemos leer una frecuencia de corte ni utilizar el criterio de 3
dB. Como se puede observar en la grafica de magnitud, no se presenta pico de resonancia,
es decir, el valor aumenta de forma logarítmica hasta estabilizarse sin tener un sobrepaso
antes de alcanzar su valor final.
Figura 4. Diagrama de Bode del sistema de lazo abierto para K=0.2.
DISEÑO DEL COMPENSADOR
El compensador deberá otorgarle al sistema las siguientes características o parámetros de
desempeño:
• Error estacionario ante entrada escalón de menos del 5%.
• Ancho de banda 50% superior al ancho de banda del sistema de lazo cerrado
sin compensar.
Para mejorar el error de estado estacionario es útil un compensador en atraso.
Comenzaremos a hallar la constante necesaria para cumplir con el error estacionario
solicitado:
��� = ! ! + %&
%& = !��� − !
%&( = !�. �) − ! = !*
%& = +,-�→� /0�1 = +,-�→� 23!�" + 4!�# + �!� + 5!3#�" + 4#�# + �#� + 5#6 = 5!5#
%& = �. �77"��. �!�!7 = �. �*�)7
%&( = +,-�→� %/0�1 = +,-�→� % 23!�" + 4!�# + �!� + 5!3#�" + 4#�# + �#� + 5#6 = %5!5#
%&( = % 8�. �77"��. �!�!79 = !*
% = !�. �!�#"
Como anteriormente no se pudo leer en la grafica de bode cual era el ancho de banda,
ya que nuestro sistema se comportaba como un pasa altas, pero podemos decir que el
ancho de banda es inversamente proporcional al tiempo de crecimiento, es decir:
4: ∝ !�
4:�<�=� = !. )4:
� �<�=� = �. ���� � �<�=� = �. �)#7 [���] Utilizando la fórmula del tiempo de crecimiento de un sistema de segundo orden,
obtenemos una aproximación de la frecuencia de corte necesaria para obtener estos
resultados.
� �<�=� = > − ?@�A! − B# ∴ ? = ���D! EA! − B#
B F
Tomando como B = �. )
� �<�=� = > − >"@�√! − �. )# =#>"�. ����@� = �. �)#7
@� = 7�. !)#� [���/���]
Si seleccionamos el cero ! = �. �! , y @� = 7�. !)#� [���/���], requeriremos una
atenuación de 0.4 dB
−#� +IJ0?1 = −�. 7
? = !��.7#� = !. �7�!
Entonces nuestro polo nos quedaría en: !? = �. �*))� Por último obtenemos el Kc
%� = %? = !�. �!!. �7�! = *. ))*�7
Y nos quedaría el compensador de la siguiente forma:
/� = %�0� + ! K 10� + ! ?K 1
/� = *. ))*�70� + �. �!10� + �. �*))�1
Se simulo el sistema compensado para determinar el desempeño del compensador y los
resultados no fueron los esperados ya que no nos otorgo los parámetros deseados.
Procedemos a realizar un compensador tipo Proporcional – Integral (PI) ya que este tipo
de compensador es análogo al compensador en atraso y es ideal para atenuar altas
frecuencias y a su vez mejora el error estacionario.
/�0�1 = % L! + !�M = % 0� + !1�
Según el método de Ziegler – Nichols para el compensador tipo PI:
= N�. " O % = �. *N
Donde L y T son parámetros que se pueden observar en la siguiente grafica:
Figura 5. Parámetros del método de Ziegler – Nichols.
De la respuesta en el tiempo ante una entrada escalón en lazo abierto de nuestro sistema
podemos leer los siguientes valores:
N = �. ���* [���] O = �. !##! Entonces:
= �. #�*�� O % = !. #�7)
Por tanto nuestro controlador PI nos quedaría de la siguiente forma:
/�0�1 = !. #�7)0�. #�*��� $ !1�. #�*���
/�0�1 � 7. "�)70� $ ". 7)#"1�
Al simular este compensador, el sistema respondía de una forma aproximada a las
especificaciones pero nos encontramos con que el sistema se volvía demasiado lento. Con
la ayuda de la aplicación SISOTOOL de MATLAB, movimos la posición del cero hasta
obtener estabilidad del sistema de lazo cerrado, disminuir el tiempo de respuesta, es
decir, hacerlo más rápido y lograr el tiempo de crecimiento con el que empezamos el
diseño que aseguraba el aumento del ancho de banda, quedándonos como compensador
final el siguiente:
/�0�1 � !". �"�0�. ���� $ !1�
A continuación se mostraran las características obtenidas con este compensador.
RESPUESTA AL ESCALÓN DEL SISTEMA COMPENSADO
La respuesta al escalón del sistema compensado, nos muestra los siguientes parámetros
de desempeño:
Figura 6. Respuesta Al Escalón Sistema Lazo Cerrado Compensado
Respuesta ante Entrada Escalón
Tiempo [seg]
Am
pli
tud
�� � �� ��������� � �. )�� ����� �� � �� ����� ������� � �. ��! �����
Estos parámetros de desempeño nos muestra un buen comportamiento de todo el
sistema con el compensador, y estamos asegurando el tiempo de crecimiento para
obtener el ancho de banda que se especificó en las opciones de diseño.
Hasta el momento hemos verificado que los parámetros de desempeño en el tiempo son
los esperados, a continuación hallaremos el error de estado estacionario del sistema
completo para ver que no sobrepasa al 5% de las especificaciones.
%& � +,-�→� /�0�1/0�1
%& � +,-�→� 2!". �"�0�. ���� $ !1� 6 23!�" $ 4!�# $ �!� $ 5!3#�" $ 4#�# $ �#� $ 5#6 ≅ ∞
��� � ! ! $ %& � !
! $ ∞ �R ��� ≅ �
El resultado respecto al error del estado estacionario es mejor de lo esperado debido al
polo que situamos en el origen.
SISTEMA COMPENSADO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
Podemos evaluar en el sistema de lazo abierto y obtener el margen de fase y margen de
ganancia como se muestra a continuación
Figura 7. Diagrama de Bode Sistema Compensado Lazo Abierto
Diagrama de Bode Sistema Compensado Lazo Abierto
Frecuencia [rad/s]
Mag
nit
ud
[d
B]
Fase
[G
rad
os]
ST = �). !° :�� � #, �� 8���� 9
S/ � *, #� ��4� :�W � ∞
El margen de fase antes de compensar el sistema tendía infinito, eso era bueno porque
podíamos variar la fase sin volver inestable el sistema pero luego de la compensación se
redujo a cambio de brindarnos los parámetros deseados, sin embargo el margen de fase
actual está en un buen rango. Aun después de compensar el sistema, el margen de
ganancia cumple con el criterio de los 6[dB].
FUNCION DE TRANSFERENCIA DE LAZO CERRADO En la Figura 8 se muestra el diagrama de bloques del sistema completo compensado y a
continuación se mira el ancho de banda por medio del diagrama de bode en lazo cerrado.
Figura 8. Diagrama de Bloques del Sistema Compensado.
Figura 9. Diagrama de Bode Sistema Compensado En lazo Cerrado.
r(t) e(t) y(t)
Diagrama de Bode Sistema Compensado Lazo Cerrado
Frecuencia [rad/s]
Mag
nit
ud
[d
B]
Fase
[G
rad
os]
En la figura 9 se puede observar que esta vez sí podemos utilizar el criterio de -3dB ya que
la gráfica de magnitud posee la forma de un filtro pasabajas y comienza con un valor
estable, entonces nuestra frecuencia de corte será aquella a la que la magnitud allá
decaído 3dB de su valor estable.
Al observar la gráfica y aplicar este criterio podemos observar que el ancho de banda es
aproximadamente !� [���/�].
OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES Con los conocimientos adquiridos en el curso de sistemas de control pudimos aplicar estas
herramientas para este proyecto y saber a grandes rasgos que era lo que pasaba con la
planta y que debíamos hacer para que funcionara correctamente a unas especificaciones
de diseño dadas. Al determinar que el sistema en primera instancia era inestable
procedimos a mirar con que valores de ganancia (K) era estable el sistema, este ajuste de
ganancia lo determinamos por medio del método de Routh Hurtwitz y elegimos un valor
de ganancia entre el rango dado por dicho método que nos ofreció mayor eficiencia.
Solo con el ajuste de ganancia no fue suficiente para decir que el sistema era bueno en
lazo cerrado ya que se comportaba como un pasa altas y al observar en la gráfica de bode
de lazo cerrado, la gráfica de magnitud comienza en un valor muy alejado de 0[dB].
También se logró mejorar significativamente el error de estada estacionario ante una
entrada tipo escalón, ya que con el solo ajuste de ganancia obtuvimos un error
aproximadamente del 80%, y después de compensar el sistema logramos un error de
estado estacionario que tiende a cero.
Sin duda alguna el software MATLAB es de gran utilidad al momento del análisis de
sistemas de control ya que tiene múltiples herramientas que son de gran ayuda debido a
que podemos interactuar y modificar la ubicación de polos, ceros y ganancias mientras
estamos simulando nuestra planta, todo gracias a su compleja y versátil interfaz gráfica.
En el diseño de este compensador tratamos de seguir paso a paso las instrucciones
descritos en clase y a su vez verificábamos la efectividad de los procedimientos ya sea en
el lugar geométrico de las raíces (Respuesta en el tiempo), diagrama de bode (Respuesta
en frecuencia) y como se comportaba el sistema frente a una entrada tipo escalón.
BIBLIOGRAFIAS
• Ingeniería De Control Moderna, Katsohiko Ogata, Pearson (2003, 4ª edición)
• Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo, Prentices Hall
• http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/lead.lag.html#lagfr
• http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/ess.html
• http://usuarios.multimania.es/automatica/temas/tema6/pags/compensadores/comp
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• http://prof.usb.ve/lamanna/cursos/Comp-Bode-1.pdf
• http://www.control-systems-
principles.co.uk/whitepapers/spanishwp/11freqresponser2SP.pdf
• http://200.13.98.241/~javier/rootlocus.pdf