propuestos tercer parcial

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Universidad Simón Bolívar.

Matemáticas II (MA-1112).

[email protected] ; @ChristianLaya

Ejercicios propuestos

Enero – marzo 2013

Función exponencial y logaritmo general:

1. Determine el dominio de las siguientes funciones:

Solución:

Sabemos que el dominio de la función es todos los números reales, por ende, no importa cuál sea su

exponente ésta siempre existirá.

Separamos en funciones internas para trabajar mejor:

tiene sentido si y sólo si , entonces,

, tiene sentido si y sólo si . Resolvemos la inecuación:

Finalmente, hallamos el dominio de la función f:

Separamos en funciones internas para trabajar mejor:

, tiene sentido si y sólo si , entonces, .

, tiene sentido si y sólo si . Resolvemos la inecuación:

, tiene sentido si y sólo si . Resolvemos:

Finalmente, hallamos el dominio de la función g:

mailto:[email protected]

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Dentro de la raíz cuadrada tenemos dos funciones: una función constante (su dominio son todos los números

reales) y una función exponencial (su dominio son todos los números reales). Por ende, h tendrá sentido si y sólo

si se cumple:

Hacemos el estudio de signos:

El dominio de la función h, es:

2. Halle la solución o el conjunto solución de las siguientes ecuaciones o inecuaciones:

Solución:

Aplicamos logaritmo a ambos lados de la ecuación:

Como es una inecuación exponencial y las bases son iguales, ésta tendrá sentido si y sólo si los exponentes

cumplen con la condición, es decir:

La expresión que obtenemos al final es siempre positiva no importa qué valor real tome “x”, sin embargo, no es

cierto que un número real positivo es menor que cero, por ende:

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Transformamos la inecuación en una expresión con bases iguales:

3. Considere la función definida, por:

para a fi a

Demuestre que:

Solución:

El planteamiento del problema nos pide, básicamente, que hallemos la inversa de f. Para ello, debemos probar

que f es inyectiva para luego hallar su función inversa.

Sabemos que si una función es inyectiva, se cumple que .

Logramos probar que la función es inyectiva. Hallemos su inversa despe ando “x” en función de “y”

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4. Halle la primera derivada de la función definida, por:

Solución:

Derivamos:

Nota: si se continua simplificando se llegará a una respuesta más corta y concisa.

5. Resuelva las siguientes integrales:

Solución:

Hacemos un cambio de variable:

Hacemos un cambio trigonométrico:

5

Devolvemos el cambio de variable:

Nota: cuando se obtienen números reales en la respuesta de la integral, estos pueden ser obviados debido a

que ya se incluyen en la constante (+c).


Aplicamos el método de fracciones simples:

Si

Si

Haciendo los cambios de variables pertinentes, obtenemos que:

Devolvemos el cambio de variable:

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Integramos por partes:


Aplicamos el método de fracciones simples:

Tenemos que:

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Hacemos otro cambio de variable:

Tenemos que:


Tenemos que:

6. Demuestre que:

Solución:

La demostración nos pide que hallemos el valor de la integral:

Integramos por partes:

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7. Sean tales que . Demuestre que:

Solución:

Sabemos que:

Entonces:

Funciones hiperbólicas:

8. Sea . Denótese por la inversa de la función tangente hiperbólica. Demuestre que:

Solución:

La demostración nos pide que hallemos la función inversa de la tangente hiperbólica. Para ello, debemos probar

que la función es inyectiva. Veamos la gráfica de ésta en el intervalo :

Sabemos que si una función es monótona creciente en un intervalo dado, entonces, ésta es inyectiva. Si

analizamos la gráfica de la tangente hiperbólica en el intervalo vemos como ésta sólo crece, entonces, la

función es inyectiva.

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Despejamos x en función de y:

Aplicamos logaritmo neperiano a ambos lados de la igualdad:

Finalmente, hacemos un cambio de variable y sustituimos x por y:

9. Demuestre que las siguientes identidades:

Solución:

Si se trabajan ambos lados (por separado) de la igualdad, por más que se trate no se podrá demostrar nada.

Esto nos da una idea de que la igualdad no es cierta. Probemos con un contraejemplo:

Sean :

Los resultados de la evaluación no son iguales y, por ende, diremos que la igualdad dada es falsa.

Podemos partir de cualquier lado de la igualdad:

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Podemos partir de cualquier lado de la igualdad:

10. Resuelva las siguientes integrales:

Solución:


Hacemos otro cambio de variable:

Tenemos que:


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Resolvemos la integral y obtenemos que:

Nota: esta integral puede ser resuelta haciendo un cambio universal.

Tenemos que:


Resolviendo esta integral, tenemos que:

Nota: esta integral puede ser resuelta empleando un cambio de variable universal.

Límites:

11. Calcule los siguientes límites:

Solución:

Tenemos que:

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Si evaluamos obtenemos una indeterminación del tipo . Tenemos que:

Si evaluamos obtenemos una indeterminación del tipo 0/0. Aplicamos L’ Hopital:



Resolvemos el límite:

Si evaluamos obtenemos una indeterminación del tipo .

Si evaluamos obtenemos una indeterminación del tipo . Aplicamos L’ Hopital:

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Finalmente:



Si evaluamos obtenemos una indeterminación del tipo . Reorganizamos hasta llevarla a una

indeterminación del tipo 0/0 para aplicar L’ Hopital.


Finalmente:



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Finalmente:

Integrales impropias e infinitas:

12. Determine si las siguientes integrales convergen o divergen:

Solución:

Probemos la convergencia o divergencia de la integral mediante el teorema de comparación. Sabemos que:

Resolvemos la integral:

La integral mayor converge, entonces, la integral menor converge por el teorema de comparación.

Sea la función definida, por: , cuyo dominio, es:

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Vemos, entonces, que uno de los límites de integración no pertenece al dominio de la función, por ende:

Por ende, la integral diverge.

Sea la función definida, por:

Probemos la convergencia o divergencia de la integral mediante el criterio de comparación. De los límites de

integración sabemos que:

, entonces:

Estudiamos la convergencia o divergencia de la integral:

Como la integral converge, diremos que la integral dada también converge por el criterio de comparación.

Sabemos que:

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Resolvemos la integral y obtenemos que:

La integral converge y, por ende, la integral dada también converge.

Tenemos que:

Determinemos si la integral converge. Usemos el teorema de comparación. Sabemos que:

Sabemos que la integral converge. Por ende, la integral converge por el teorema de comparación.

Si ésta integral converge, entonces, la integral dada también converge por el teorema de comparación.

13. Halle los valores de c para que la siguiente integral sea convergente:

Solución:

Tenemos que:

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Resolvemos la indefinida:

Si el límite no existirá.

Si el límite no existirá.

Si obtendremos una indeterminación del tipo . Resolvemos:

Indeterminación del tipo 0/0. Aplicamos L’ Hopital:

El límite es finito (existe). Por ende, el único valor que puede tomar “c” es cero.

Respuestas

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