proposiciones logicas

INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICO PÚBLICO CAJAMARCA – ANEXO MAGDALENA

MÓDULO: MATEMÁTICA

UNIDAD: LÓGICA Y FUNCIONES

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Lic. Lorena López Chuquimago “Mira que te mando que te esfuerces y seas valiente; no temas ni desmayes porque Jehová tu

Dios estará contigo en donde quiera que vayas”

I CICLO

PROPOSICIONES LÓGICAS MATEMÁTICAS

I. CONCEPTO DE PROPOSICION

Las proposiciones constituyen los elementos de inferencia, es decir, son parte de todo

proceso de razonamiento lógico, por eso es preciso estudiar todo lo concerniente a ellas.

Consideremos en primer lugar, que a toda expresión u oración del lenguaje se le denomina

enunciado. Así por ejemplo, consideremos los siguientes enunciados:

1. El rectángulo es cuadrilátero

2. La suma de dos números impares es impar

3. Fujimori fue presidente del Perú

4. ¿Cuándo es el examen?

5. ¡Viva la matemática! 6. No ensucie la pared.

II. CLASES DE PROPOSICIONES

Consideremos los ejemplos:

a) La proposición “Juan es un abogado y profesor”, se puede descomponer en las

proposiciones. “Juan es abogado” y “Juan es profesor”, que son proposiciones en su

forma más elemental, que constan de un sujeto: Juan y de un predicado: es abogado, en el

primer caso, o es profesor en el segundo. Estas proposiciones reciben el nombre de

proposiciones simples o atómicas. De ahí que, la proposición “Juan es un abogado y

profesor”, no es simple, y se llama compuesta o molecular.

b) La proposición “Rosa y María son amigas”, no se puede descomponer en otras

proposiciones simples, pues si las descompondríamos en “Rosa es amiga” y “María es

amiga”, estas no son proposiciones porque no tiene sentido decir que son verdaderas o

No son proposiciones

porque no se puede saber

si es “V” o “F”

V

F

V

PROPOSICION, es todo enunciado al cual, con buen sentido, se le puede asignar uno y sólo

uno de los llamados valores de verdad o valores veritativos: VERDADERO(1) o FALSO(0)




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falsas. Por lo tanto, esta proposición es simple, y consta de dos sujetos y un predicado y

equivale a decir “Rosa es amiga de María”.

c) La proposición “Un número no es positivo”, es la negación de la proposición “Un número

es positivo”, que es una proposición simple o atómica, de tal manera que la negación de

ésta, no constituye una proposición simple, sino molecular o compuesta.

2.1. PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS

Ejemplos:

a) 8 es un número par.

b) Juan tiene más edad que Pedro.

c) 7, 9, 11 son primos entre sí.

d) Seré un buen profesional en mecánica automotriz(Aquí el sujeto está tácito y es “yo”)

Notación: Las proposiciones simples o atómicas se simbolizan por letras:

p, q, r, s, t

P1, P2, P3

P, Q, R, S, T

Así por ejemplo, la proposición “Hoy día hay clases de matemática”, lo podemos

representar por la variable p, de tal forma que resulta.

P= “Hoy día hay clases de matemática”

2.2. PROPOSICIÓN MOLECULA

Ejemplo:

“La matemática es divina” “La lógica es interesante”

Con ellas se puede formar proposiciones compuestas tales como: a) La matemática es divina y la lógica es interesante.

b) La matemática es divina o la lógica es interesante.

c) Si la matemática es divina, entonces la lógica es interesante.

d) La matemática no es divina.

Es la proposición en su forma más elemental, consta de uno o varios sujetos y de un solo

predicado que afirma algo en torno a dichos sujetos.

VARIABLES PROPOSICIONALES

Porque reemplazan a cualquier proposición.

Es la proposición que está constituida por dos o más proposiciones simples o atómicas, o es

una negación.




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III. CONECTIVOS LÓGICOS

CONECTIVO LÓGICO

SÍMBOLO OPERACIÓN ASOCIADA

SIMBOLIZACIÓN

SIGNIFICADO

…y… Conjunción P y q

… o… Disyunción Inclusiva

P o q o ambos

O…o… Disyunción Exclusiva

P o q pero no ambos

Si…, entonces Condicional Si p, entonces q

…Si y sólo si… Bicondicional P si y sólo si q

…no… Negación No p

Ni…ni… Negación Conjunta

Ni p ni q

No…o no… Negación Alterna No p o no q

TABLAS DE VERDAD

Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada

P P

1V 0F

0F 1V

Conjunción: Solamente si las componentes de la conjunción son ciertas,

la conjunción es cierta.

P Q P Q

1V 1V 1V

1V 0F 0F

0F 1V 0F

0F 0F 0F




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Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos

componentes.

P Q P Q

1V 1V 1 V

1V 0F 1 V

0F 1V 1 V

0F 0F 0 F

Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la

falsedad.

P Q PQ

1V 1V 1V

1V 0F 0F

0F 1V 1V

0F 0F 1V

Bicondicional: El bicondicional solamente es cierto si sus componentes

tienen el mismo valor de verdad. P Q P Q

1V 1V 1V

1V 0F 0F

0F 1V 0F

0F 0f 1V

EJERCICIOS RESUELTOS

(p Λ ¬ p) → q

1

1

0

0

0

0

0

0

2º

0

0

1

1

1º

1

1

0

0

1

1

1

1

3º

1

0

1

0

(p V q) ↔ (q V p)

1

1

0

0

1

1

1

0

1º

1

0

1

0

1

1

1

1

2º

1

0

1

0

1

1

1

0

1º

1

1

0

0




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1. Simboliza las siguientes proposiciones:

a. No vi la película, pero leí la novela: ¬p ˄ q

b. Ni vi la película ni leí la novela: ¬p ˄ ¬q

c. No es cierto que viese la película y leyese la novela: ¬ (p ˄ q)

d. Vi la película aunque no leí la novela: p ˄ ¬q

e. No me gusta trasnochar ni madrugar: ¬p ˄ ¬q

f. O tú estás equivocado o es falsa la noticia que has leído: p ˅ q

(p Λ q) → p

1

1

0

0

1

0

0

0

1º

1

0

1

0

1

1

1

1

2º

1

1

0

0

(p V q) → q

1

1

0

0

1

1

1

0

1º

1

0

1

0

1

0

1

1

2º

1

0

1

0

[(p → q) Λ ¬ q] → ¬ p

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0




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g. Si no estuvieras loca, no habrías venido aquí: ¬p → ¬q

h. Llueve y o bien nieva o sopla el viento: p ˄ (q ˅ r)

i. O está lloviendo y nevando o está soplando el viento: (p ˄ q) ˅ r)

j. Si hay verdadera democracia, entonces no hay detenciones arbitrarias ni

otras violaciones de los derechos civiles: p → (¬q ˄ ¬r)

k. Roberto hará el doctorado cuando y solamente cuando obtenga la

licenciatura: p ↔ q

l. Si viene en tren, llegará antes de las seis. Si viene en coche, llegará antes

de las seis. Luego, tanto si viene en tren como si viene en coche, llegará antes de las

seis:

p → q, r → q |- (p ˅ r) →

2. Simboliza:

a. Si p, entonces q: p → q

b. No es el caso que p y q: ¬ (p ˄ q)

c. p solamente si q y no-r: p ↔ (q ˄ ¬r)

d. p o no-q: p ˅ ¬q

e. Si p y q, entonces no-r o s: (p ˄ q) → (¬r ˅ s)

f. Si p, entonces q, y si q, entonces p: (p → q) ˄ (q → p)




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g. Si p y q, entonces r. p. Luego si q, entonces r: (p ˄ q) → r, p |- q → r

h. Si p y q, entonces r. Si r y s, entonces t. Luego si p y q y s, entonces t

(p ˄ q) → r, (r ˄ s) → t |- (p ˄ q ˄ s) → t

TAREA

Construye las tablas de verdad de:

a. ¬p ˄ q

b. ¬p ˄ ¬q

c. (p ˅ ¬q) ˅ p

d. (p → q) ˄ p

e. (p ↔ q) ˄ ¬p

f. [¬(p → q) ˅ (p ↔ q)] ˄ [(¬p → q) ˅ ¬p]




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LÓGICA Y FUNCIONES

PRÁCTICA DIRIGIDA

PARTE I

Analice y marcar con una X, en caso sea SI o No, y explique el Por qué en ambos casos. Nº LISTA DE PROPOSICIONES Y NO

PROPOSICIONES ES PROPOSICIÓN? EXPLICAR ¿POR QUÉ?

1 Saturno gira en torno al sol. SI NO

2 Dime mejor muchacho si no es mejor esperar a

la muerte dormido SI NO

3 Cada paso del teorema de Thales. SI NO

4 Mañana será feriado. SI NO

5 Hay vida en Júpiter SI NO

6 Yo soy aquel SI NO

7 ¡Dios mío que la profesora me apruebe! SI NO

8 El reglamento debe ser cambiado por otro

mejor. SI NO

9 El presidente del Perú debe ser elegido por un

periodo de cuatro años. SI NO

10 Si yo llegara a las estrellas SI NO

11 ¡Ya llegó mi turno! SI NO

12 ¿Me odias? SI NO

13 Desearía que te comportaras mejor SI NO

14 Todo rombo es un cuadrado SI NO

15 La adición de pares ordenados de números

naturales. SI NO

16 Dos rectas paralelas determinan un plano SI NO




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17 Estudiar es triunfar SI NO

18 Cada vez que te miro Casimiro. SI NO

19 Llueve SI NO

29 Juan ama a Rosa. SI NO

30 Quisiera ira a la fiesta que me invitaron. SI NO

31

¿Qué es Lógica? SI NO

32

4 + 4 = 8 SI NO

33 Quisiera poderte ayudar. SI NO

34 !Por Júpiter!, !Casi me saco la lotería! SI NO

35 ¡Espero que te mejores! SI NO

36 El número dos es par, pero el número tres es

impar. SI NO

37

Ojalá apruebe el módulo de matemática. SI NO

38 Lorenzo es inteligente, sin embargo es floja SI NO

39 3 > 5 SI NO

40 La materia ni se crea ni se destruye. SI NO




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PARTE II

Analice si las siguientes proposiciones son Atómicas o Moleculares, en caso de ser

moleculares subrayar los conectores lógicos.

1. Carlos vive en Perú o en Chile.

2. Si los mamíferos son mortales, entonces la especie está en extinción

3. Los turistas enamoran y se van

4. El principito no podía comprender a la gente adulta

5. Mark y Ana son actores.

6. Manuel es hermano de Abel y Sofía

7. Un polígono es un pentágono si y solo sí tiene cinco lados.

8. Dos de los congresistas son Cajamarquinos

9. Los estudiantes peruanos tienen mucha personalidad

10. Roberto y Sandra son limeños

11. Los peces son acuáticos porque respiran por branquias

12. Iré a verte aunque llueva

13. Este libro tiene más páginas que aquel otro

14. Tan bueno es Juan como Pedro

15. Sin libertad de expresión no hay democracia

16. La materia no se crea ni se destruye

17. Si la memoria no me engaña mañana es tu cumpleaños

18. Callar es otorgar

19. La matemática es una ciencia exacta sin embargo es muy formativa

20. Ni estudias ni trabajas




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LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL

Dos esquemas o dos proposiciones, por ejemplo A y B, son equivalentes, cuando unidos

por bicondicional el resultado es una tautología.

A ≡ B que se lee “A es equivalente a B”




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proposiciones logicas

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