8/18/2019 PROPORCIONALIDAD TEORÍA

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PROPORCIONALIDADPara comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos comenzar por comprender el concepto de razón.

Razón y proporción numérica

Razón entre dos números

La Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente entre ellos.

Entonces:

Razón entre dos números a y b es el cociente entre

Por ejemplo la razón entre !" y # es $ ya %ue 

 & la razón entre los números "!$ y "' es 

PROPI(DAD() D( LA) RA*ON() +(O,-.RICA)

Propiedad !: si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón ueda multiplicada o

dividida por el mismo número.

E!emplo: sea la razón "#$% & '

"# ( ) & #' & * "# : ' & % & "  % % % %

Propiedad #: +i el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón ueda dividida o

multiplicada por el mismo número

E!emplo: +ea la razón )*$ & #

  )* & )* & ' )* & )* & "'

( ' "- : ) )

Propiedad ': +i ambos términos de una razón geométrica se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no altera.

E!emplo: sea la razón "- & )

  *

"- ( # & %' & ) "- : ' & & )

  * ( # '# * : ' )

PROPORCI/N N0,-RICA

 /ora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre s0, para ver cómo se comportan entre ellas, estaremos

/ablando de una proporción numérica.

Entonces:

Los números a b c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma ue entre c y d.

Es decir

+e lee 1a es a b como c es a d1

 

Los números #, "2 y "', )2 forman una proporción, ya ue la razón entre # y "2 es la misma ue la razón entre "' y )2.

 

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Es decir# & "'

"2 )2

En la proporción 3ay cuatro términos4 a y d se llaman e2tremos, c y b se llaman medios3

 

La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción el producto de los e2tremos es i4ual alde los medios3

 

 s0, en la proporción anterior# & "'

"2 )2

 +e cumple ue el producto de los e(tremos nos da # ( )2 & "'2 y el producto de los medios nos da "2 ( "' & "'2

 

5isto lo anterior, podemos decir ue:

Las dos magnitudes pueden subir o ba!ar 6aumentar o disminuir7 o bien si una de las magnitudes sube la otra ba!o y viceversa.

". +i ocurre, como en el primer caso, ue las dos magnitudes ue se comparan o relacionan pueden subir o ba!ar en igual

cantidad, /ablaremos de magnitudes directamente proporcionales.

'. +i ocurre como en el segundo caso, en ue si una magnitud sube la otra ba!a en la misma cantidad, /ablaremos de

8agnitudes inversamente proporcionales.

,A+NI.0D() DIR(C.A,(N.( PROPORCIONAL()

+i la primera magnitud se le dobla, triplica99. una cantidad y la segunda magnitud también se dobla, triplica99

la otra cantidad, entonces se dice la son magnitudes directamente proporcionales.

 

(jemplo

0n saco de camotes pesa 5" 643 7Cu8nto pesan ' sacos9

0n car4amento de papas pesa $#" 64 7Cu8ntos sacos de #" :4 se podr8n ;acer9

úmero de sacos " ' ) ... '* ...

Peso en ;g #2 -2 "'2 ... "2#2 ...

 

Las magnitudes número de sacos y peso en 64 son directamente proporcionales.

La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a ;g es #2.

 Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo ue llamaremos Regla de tres y ue nos servir< para

resolver una gran cantidad de problemas matem

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PROPI(DAD() D( LA) PROPORCION()

Propiedad !: en toda proporción la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es asu consecuente, como la suma o diferencia entre el antecedente y elconsecuente de la segunda razón es a

su consecuente.

a & c = a > b & c > d

b d b d 

a & c = a ? b & c ? d

b d b d 

Propiedad # : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón esa su antecedente , como la suma o diferencia entre el antecedente y elconsecuente de la segunda razón es a

su antecedente .

a & c = a > b & c > d

b d a c 

a & c = a ? b & c ? d

b d a c 

Propiedad ' : en toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es ala diferencia entre los mismos , como la suma entre el antecedente y el consecuentede la segunda razón es a

la diferencia de los mismos .

a & c = a > b & c > d

b d a - b c - d 

)erie de razones i4uales : una serie de razones iguales es una igualdad entre dos o m c > e> m

b d f n b+ d + f+ n

(jercicio !

3allar los valores desconocidos de la siguiente serie de razones iguales.

4 < $ < ! @ # & " = # . ) & b. " = b < !#b d 3   b 3

5 & " = A. ) & ". d = d < !$d 3

4 < $ < ! = 5 < $ < !b d 3 12 15 3 

(jercicio # 3  Aplicar las propiedades de las proporciones3

a> a? b < @ a B b < ! B #

a & c = a > b & c > d

b d b d 

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  & " > ' = & ) = . ' & ) .b = b & . ' & *

  b 2 b 2 3

a + b = 9

a > * & @ a & ? * = a & )

b> a b < # a B b < 5 B'

a & c = a ? b & c ? d

b d a c 

' & # ? ) = ' & " = ' . # & a. " = a & '. # & -

a 4 a 4 1

a ? b & '

8 - b = 2 ↔ b = 8 - 2 = 6 

Resoler 

a7 a > b & A y la razón es ",A  solución 2 y 3

b 7 a ? b & ? " y la razón entre ellos 2,-%A  solución 7 y 8