PROPORCIONALIDAD

MAGNITUD: Es todo aquello que puede ser medido.

CANTIDAD: Es un estado particular de la magnitud por ejemplo.

Magnitud Cantidad

Longitud 75 cm

Volumen 30 litros

Número de

días25 días

Número de

obreros43 obreros

Cantidad de

obra700 m3

RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES: (D.P)

Por ejemplo un, vendedor ambulante vende cada una de las botellas con un litro de

gaseosa a S/. 2 analizamos las magnitudes, número de botellas vendidas y el precio.

Se observa que:

12

= 24

= 48

= 510

= 612

= 0 .5

Observamos que la relación entre los valores correspondientes entre las 2

magnitudes es constante, cuando ocurre esto a las magnitudes las llamaremos D.P.

# de botellas 1 2 4 5 6

precio 2 4 8 10 12

Veamos gráficamente.

precio

Por lo tanto:

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P)

Por ejemplo, si 24 obreros pueden hacer una zanja en 10 días, analicemos los valores

correspondientes que pueden tomar las magnitudes número de obreros y números de

días.

# de

Obreros

24 1

6

12 8

# de días 10 1

5

20 30

Podemos Observar que:

24 . 10 = 16 .15 = 12 . 20 = 8.30

Cuando dos magnitudes cumplen que el producto de sus valores correspondientes es

constante les llamaremos magnitudes I.P.

(# de obreros) I.P (# de días)

Veamos gráficamente

Dos magnitudes serán D.P. si al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, el valor de la otra, aumenta o disminuye en la misma proporción respectivamente.

Por lo tanto:

Ejemplos:

a) Si la magnitud A2 es I.P 3√B , calcule x, si:

A 15 X

B 27 1728

b) La presión es I.P con el volumen, ¿a qué presión está sometido un gas, si al

aumentar la presión en 12 atmósferas, el volumen varía en 1/7?

GRÁFICA DE LAS MAGNITUDES PROPORCIONALES

A) GRÁFICA MAGNITUDES D.P.

Si: A(D.P.)B

AB = k

Dos magnitudes serán I.P. si al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores de la otra disminuye o aumentar en la misma proporción respectivamente.

AB = k

recta

a3

a2

a1

b3b2b1

Tg =

a1b1

=a2b2

=. ..anbn

=K

Analicemos las magnitudes D.P como función de proporcionalidad:

Sabemos que cuando A es D.P.B. se cumple.

(Valor de A )(Valor de B ) = k (cte)

Llamemos:

“y” al valor de A

“x” al valor de B

“m” a la cte.

Entonces:

yx

= m

Lo que nos representa la ecuación de una recta que pasa por el origen de

coordenadas por lo que:

y = f(x), entonces:

f(x) = mx

f(x): función de proporcionalidad directa

Aplicación 1:

Si f(x) es una función de proporcionalidad directa, en donde f(4) = 12, Calcule f(3)

+ f(2)

Aplicación 2:

Si f(x) es una función de proporcionalidad, calcule

x =F (3 ) x F (4 ) − (F (5))2

F (17)x

1F (9 )

B) GRÁFICA MAGNITUDES I.P.

Si A(I.P.) B A . B = K

Gráfica: Hipérbola equilátera

Analicemos las magnitudes I.P. como función de proporcionalidad.

Sabemos que cuando A I P B:

(Valor de A) (Valor de B) = cte.

Llamaremos:

“y” al valor de A

“x” al valor de B

“m” a la cte.

Luego reemplazamos: y . x = m

y=mx

Lo que es una ecuación de una hipérbola equilátera por lo que:

y = f(x), entonces:

f ( x )=mx

ó f(x).x = m, f(x): función de proporcionalidad inversa.

PROPIEDADES:

A . B = Ka1

a2

an

bnb2b1

1. A(I.P.)B = A(D.P)1B

2. A(D.P.)B = An (I.P.) Bn

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Si A es D.P. a B, además cuando A = 12 entonces B es igual a 16. Hallar A

cuando B sea igual a 12.

a) 8 b) 9 c) 10

d) 12 e) 6

2. Si A es I.P. a B además cuando A es igual a 10, entonces B es igual a 24. Hallar B

cuando A sea igual a 15.

a) 10 b) 8 c) 16

d) 12 e) 4

3. Si A es D.P. a B2, además cuando A es igual a 32 entonces B es igual a 4. Hallar A

cuando B sea igual a 3.

a) 6 b) 9 c) 18

d) 27 e) 36

4. Si A es D.P. a B. IP a C e I.P. a D, además cuando AD=2 entonces B=2C. Hallar A

cuando B=48, C=2 y D=3.

a) 4 b) 6 c) 8

d) 12 e) 16

5. Si: A es D.P. a B, e I.P. a C, además cuando A es igual a 2, entonces B es igual a

6 y C es igual a 8. Hallar A ciando B sea 15 y C igual 10.

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 5

6. Sea “F” una función de proporcionalidad directa tal que: F(3) + F(4) = 20.

Hallar el valor de: F(21/5).F(5).F(7)

a) 1 200 b) 1 176 c) 1 154

d) 1 100 e) 1 086

7. Se tiene dos magnitudes tales que: es I.P. a B. Si cuando A = 8 entonces B =

6, halar A cuando B sea 4.

a) 9 b) 27 c) 4

d) 32 e) 64

8. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es D.P. a e I.P. a C2 cuando A=8

y B=16 entonces C=6. Hallar B cuando A=9 y C=4.

a) 2 b) 4 c)

d) 6 e) 16

9. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que A es DP a B1/2; A es IP a C2. Cuando

A=8, B=16, C=6. Calcular B si A=9 y C=4.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

10. La magnitud A es DP a B2, e IP a C1/3. Si el valor de B se duplica y el de C

disminuye en sus 26/27. ¿Qué sucede con el valor de A?

a) Queda multiplicado por 12

b) Disminuye en 1/11 de su valor

c) Aumenta en 1/11 de su valor

d) Se triplica

e) Se cuadriplica

11. Se sabe que “A “ es I.P. con “B” y que “B” es I.P. con “C”. Si cuando “A” aumenta

15 unidades “C” varia en 20%. ¿Qué pasa con “B” cuando “A”. aumenta en 25

unidades?

a) Aumenta en 10%

b) Aumenta en 20%

c) Disminuye en 15%

d) Disminuye en 25%

e) No varia

12. Sean dos magnitudes A y B tales que: A IP B (B 30); A DP B (B 30). Si A = 6

cuando B = 20. ¿Cuál será el valor de A cuando B = 60?

a) 2 b) 4 c) 8

d) 3 e) 6

13. El peso de un eje varía proporcionalmente a su longitud y a su sección transversal.

Si un metro de hierro forjado de un centímetro de diámetro pesa 0,6 kg. Calcular el

peso de un eje de 5m de largo y 5 cm de diámetro.

a) 60kg b) 75kg c) 90kg

d) 105kg e) 120kg

14. ¿Cuál es el peso de un diamante que vale 55.000 dólares, si uno de 6 kilates

cuesta 19800 y el precio es proporcional al cuadrado de su peso. (1 kilate = 0.259)

a) 6g b) 6,25g c) 2,5g

d) 25g e) 62,5g

15. Si:

MAGNITUD VALORES ASIGNADOS

A 36 144 324 9 4

B 6 3 2 12 18

Determinar la relación correcta entre A y B

a) AD.P 1/B b) A2 D.P. 1/B c) AI.P.B.2

d) √A D .P 1/B e) √A I . P . B2