propiedades eléctricas de sólidos -...

Química del estado sólido (1615) Sem. 20 - II

Alejandro Solano – Peralta, Química del Estado Solido (clave 1615), Química (plan 2004) Facultad de Estudios Superiores - Cuautitlán, UNAM, Mx. Marzo del 2020

Propiedades eléctricas de sólidos

A lo largo de la historia se ha visto que de una u otra manera toda la materia responde o presenta

propiedades eléctricas y que en función a su comportamiento eléctrico son usados para una u otra cosa dando

con ello una gran variedad tanto de aplicaciones como opciones para cubrir las necesidades de la humanidad.

Hoy en día hay una gran variedad de sustancias solidas que presentan en mayor o menor medida respuesta

eléctrica. P. ej. El GaAs el cual, a pesar de tener un compuesto donde el enlace es enteramente covalente, se

tiene un compuesto semiconductor de amplio uso en la industria de la electrónica, en la construcción de celdas

solares y de dispositivos emisores de luz por mencionar algunas de sus aplicaciones. Estas aplicaciones se basan

en efectos provocados tanto por el acomodo electrónico como geométrico de los átomos y el modificar estos

acomodos hace que se pueda modular su comportamiento eléctrico. En esta parte del curso se vislumbrarán

tanto los diversos tipos de comportamiento eléctrico y las teorías o planteamientos que ayudan a entender este

muy interesante comportamiento físico por lo que es requisito necesario conocimiento básicos de estructura de

la materia, teorías del enlace químico y electricidad.

En esta parte del curso se espera contribuir en el alumno una mejor comprensión de este tema y, a

posteriori, introducir al alumno en la denominada ciencia de los materiales.

4.1 Conductividad eléctrica, aspectos generales

inicialmente es conveniente saber qué es la corriente eléctrica por lo que se entrara con aspectos generales

de electricidad.

La electricidad se puede definir como el conjunto de fenómenos físicos relacionados con la presencia y

flujo de cargas eléctricas.

Una característica importante es que una carga eléctrica se encuentra siempre rodeada por un campo

eléctrico que puede representarse, en cada punto del espacio, por un vector, usualmente simbolizado por y

que se denomina vector campo eléctrico.

El módulo del vector, en un punto dado, se denomina intensidad del campo eléctrico en ese punto. Para

definir este módulo, considérese la carga Q de la figura 4.1, generando un campo eléctrico en el espacio que la

rodea.

Figura 4.1 Representación de un campo eléctrico alrededor de una carga Q.

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Colocando una carga de prueba q0 en un punto P1, se verá que sobre ella actúa una fuerza eléctrica. La

intensidad del campo eléctrico en P1 estará dada, por definición, por la expresión 4.1.

�� =F

𝑞0 (4.1)

La expresión anterior permite determinar la intensidad del campo eléctrico en cualquier otro punto, tales

como P2, P3, etc. El valor de �� será diferente para cada uno de ellos. De la ecuación 4.1, se obtiene

F = �� 𝑞0 (4.2)

Lo cual significa que, si se conoce la intensidad del campo eléctrico en un punto, es posible calcular el

módulo de la fuerza que actúa sobre una carga cualquiera ubicada en dicho punto.

Otra cosa que se observó al ser estudiado estos sistemas es que las cargas eléctricas de signo contrario se

atraen y las cargas eléctricas con el mismo signo se repelen, figura 4.1, aun cuando se encuentran separadas.

Figura 4.2 Repulsión y atracción de cargas puntuales negativas y positivas

Esto dice que las cargas eléctricas influyen sobre la región que está a su alrededor, la región de influencia,

el campo eléctrico, el cual es invisible pero su fuerza (eléctrica) ejerce acciones sobre los cuerpos cargados.

Esta enunciación indica que el campo no es directamente mensurable, sino a través de medición de la fuerza

actuante sobre alguna carga. La idea de campo eléctrico fue propuesta por Faraday en 1831 al demostrar el

principio de inducción electromagnética y como Faraday no podía ver el campo eléctrico, introdujo el concepto

de líneas de fuerza* para representarlas gráficamente. En ellas, el sentido de las líneas de fuerza es hacia afuera

si la carga es positiva, y hacia la carga si es negativa como se aprecia en la figura 4.3.

* Estas son líneas imaginarias que describen, si los hubiere, los cambios en dirección de las fuerzas al pasar de un punto a

otro. En el caso del campo eléctrico, puesto que tiene magnitud y sentido, se trata de una cantidad vectorial, y las líneas de

fuerza o líneas de campo eléctrico indican las trayectorias que seguirían las partículas si se las abandonase libremente a la

influencia de las fuerzas del campo. El campo eléctrico será un vector tangente a la línea de fuerza en cualquier punto

considerado.


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Figura 4.3 Representación de campos eléctricos creados por cargas puntuales negativa y positiva

Precisamente, a la fuerza de atracción o repulsión que se observa entre objetos con carga eléctrica,

debida a la sola existencia de estas cargas, dando origen al campo electrostático se denomina interacción

electrostática.

En términos matemáticos, la magnitud de la fuerza F que cada una de las dos cargas puntuales q1 y q2 ejerce

sobre la otra, ambas separadas por una distancia r, se expresa mediante la denominada ley de Coulomb:

2

21

0 r

qq

4

1F

= (4.3)

Donde ε0 es la permitividad del medio en el vacío (8.85 x 10-12 C2 / N m2), es número irracional, y una de

las constantes matemáticas más importantes (3.14159…), y la constante 1/(4ε0) es conocida como la constante

de Coulomb. A pesar de que esta ley constituye uno de los pilares de la electrostática, tiene 2 limitaciones

importantes:

a) La expresión matemática sólo es aplicable a cargas puntuales.

b) La fuerza no está definida para r = 0.

En términos microscópicos, generalmente la unidad de carga eléctrica se considera a la carga del electrón,

el Sistema Internacional (SI) de Unidades, a la cual se denomina coulombio (símbolo C) y se define como la

cantidad de carga que pasa por una sección en 1 segundo cuando la corriente eléctrica es de 1 amperio, y

corresponde con la carga de 6.24 × 1018 electrones aproximadamente. En consecuencia, la carga del electrón es:

C10x602564.110x24.6

C1e 19

18

−== (4.4)

Por ello, una corriente eléctrica es el flujo de partículas cargadas inducido su movimiento en una dirección

preferente por una diferencial de potencial eléctrico.

A partir de todo lo anterior, se puede decir que una corriente eléctrica resulta del movimiento de partículas

cargadas eléctricamente, séase electrones o iones, en respuesta a una fuerza, diferencia de potencial eléctrico,

que actúan sobre ellas y una medida de la capacidad de un material o sustancia para dejar pasar la corriente

eléctrica a través de él es la conductividad eléctrica (símbolo σ) la cual depende de la estructura atómica y

molecular del material.

Una corriente de electricidad existe cuando una carga neta, normalmente electrones, se transporta desde

un lugar a otro en cierta región. A la cantidad de carga por unidad de tiempo se le denomina intensidad de

corriente eléctrica la cual es representada comúnmente con la letra I cuya unidad elemental se denomina

amperio (A)*. La diferencia de potencial eléctrico† se puede decir que es el trabajo que debe hacer para mover

una carga desde un punto A a punto B conservándose siempre en equilibrio. La unidad en el SI para la diferencia

de potencial es el Joule/Coulomb y se representa mediante una unidad denominada, el voltio (V). Otra

característica importante de un conductor eléctrico es la denominada resistencia eléctrica que es la oposición

* En el Sistema Internacional (SI) de Unidades se expresa en culombios por segundo (C/s). † En honor a Alessandro Volta, quien en 1800 inventó la pila voltaica, también conocida como celda galvánica, una celda

electroquímica, la primera batería química.


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al flujo de corriente eléctrica a través de un conductor. La unidad de resistencia en el SI es el ohmio*, que se

representa con la letra griega omega (Ω).

Una forma de definir la relación fundamental entre tensión eléctrica, o diferencia de potencial eléctrico, y

corriente eléctrica es a través de lo que ahora se conoce como la ley de Ohm la cual establece que la diferencia

de potencial eléctrico aplicado, V, a una muestra es directamente proporcional a la intensidad de la corriente

que la atraviesa, I. Esto, matemáticamente, es descrito como

𝐼 ∝ 𝑉 =𝑉

𝑅 (4.5)

Donde la constante de proporcionalidad, R, es la resistencia eléctrica del material a través del cual pasa la

corriente eléctrica. A raíz de esto, se ha definido la resistividad eléctrica, (m), como:

𝜌 =𝑅 ∙ 𝐴

𝑙=

𝑉 ∙ 𝐴

𝐼 ∙ 𝑙 (4.6)

Donde R es la resistencia, A es el área de la sección transversal del material (m2), l es la longitud de la

conductor (m), I es la intensidad de la corriente y V es el voltaje aplicado. Asimismo, la conductividad eléctrica

que es la inversa de la resistividad.

𝜎 =1

𝜌 (4.7)

y su unidad es el S/m (siemens por metro) o Ω−1·m−1 y la conductancia eléctrica, G, definida como

𝐺 =1

𝑅 (4.8)

Cuya unidad es el Siemens (S) o -1. Otra forma de establecer la ley de Ohm es a través de la densidad de

corriente, J, o de conducción

𝐽 =𝐼

𝐴= 𝜎 ∙ �� (4.9)

Donde �� es la intensidad del campo eléctrico, o la diferencia de voltaje entre dos puntos dividido por la

distancia que los separa.

�� =𝑉

𝑙 (4.10)

La densidad de corriente es frecuentemente expresada como

𝐽 = 𝑁𝑣𝑑𝑞 (4.11)

Donde N es el número de portadores de carga (portadores/ unidad de volumen), vd es la velocidad de

desplazamiento (m/s) y q es la carga de cada portador.

En este punto, es importante mencionar que la conductividad (o resistividad eléctrica) de los sistemas

monocristalinos, como tantas otras propiedades físicas tales como elasticidad, temperatura, velocidad de

propagación de la luz, etc., dependen de la dirección a la cual se hace la medición, es decir, son anisotrópicos.

* en honor a Georg S. A. Ohm


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Sistemas cristalinos con alta simetría, por ejemplo los cúbicos simples puede considerarse que su dependencia

de la medición de la propiedad física con la orientación del cristal es casi nula por lo que se dice es isotrópica en

tanto sistemas hexagonales donde la longitud c de la celda no es la misma a la longitud c de la misma celda

modificando con ello algunas propiedades físicas

4.1.1 Factores que afectan la conductividad electrónica

Los factores que afectan a la conductividad eléctrica en los sólidos son:

• Temperatura; Un aumento de la temperatura del material supone un aumento de la energía de vibración

de los átomos de la red cristalina. Los átomos oscilan en torno a sus posiciones de equilibrio y dispersan

a las ondas electrónicas. En términos clásicos, considerando las vibraciones térmicas de los átomos de la

red con masa M y teniendo una energía cinética, ½ Ma22 donde a es la amplitud y es la frecuencia de

la vibración e igual a la energía térmica, 3/2 kT, la resistividad es proporcional con la temperatura, es decir,

T. Esta relación la obedecen muchos metales puros no magnéticos excepto a muy baja temperatura.

Frecuentemente, la resistividad como función de la temperatura es empíricamente representado por una

ley de potencias de la forma:

𝜌 = 𝜌0 (𝑇

𝑇0)𝑛

(4.12)

Donde 0 es la resistividad a una temperatura de referencia, T0, y n es un índice característico que mejor

ajusta a los datos. Así también, se ha observado que los metales presentan un aumento lineal de la

resistividad eléctrica en un intervalo amplio de temperatura por lo que puede ser expresado mediante la

siguiente ecuación.

ρT = ρ0(1 + αR(T − T0)) (4.13)

Donde T es la resistividad a cualquier temperatura, 0 es la resistividad a una temperatura de referencia

(usualmente = °C, 273 K), R es el coeficiente de resistividad térmica y T es la temperatura de interés. Esta

ecuación sólo es válida cuando R es constante en el intervalo de temperatura de interés.

• Imperfecciones de la red debido a vibraciones de la red, impurezas, defectos reticulares (vacancias,

dislocaciones, fronteras de grano, etc.), o cualquier otra desviación de un arreglo periódico perfecto

dispersan a los electrones por lo que estos toman un camino menos directo.

Por ello, la resistividad eléctrica es notoriamente afectada por las deformaciones de la red y el tipo y

cantidad de impurezas presentes.

En aleaciones, de forma general, la conductividad de la aleación tiene mayor resistividad que los metales

puros por la dispersión de los electrones debido al ordenamiento de los metales mezclados, P. ej en una

aleación isomorfa donde los dos metales forman una disolución sólida sustitucional un mecanismo

adicional, dispersión por los átomos diferentes, incrementa la resistividad total. Una forma semiempírica

la cual permite predecir la conductividad de una aleación es dada por la regla de Nordhelm:

( )iii c1Ac −= (4.14)


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Donde i es la contribución debida al i-esimo defecto, A es el coeficiente de Nordhelm de resistividad del

defecto (Ω m/%) y ci es la fracción atómica de la especie soluto (%wt). La regla de de Nordhelm asume

que los átomos soluto están dispersos de forma aleatoria en la red. Para cantidades suficientemente

pequeñas de impurezas, (1-ci) 1, esta regla muestra que la resistividad es cercanamente lineal con la

concentración de la impureza. En la figura 4.4 se muestra un diagrama esquemático de una aleación de

Ni:C donde se puede ver el aumento en la resistividad al incrementar la concentración de carbono en la

aleación.

Figura 4.4 Comportamiento eléctrico de aleación níquel en función de la concentración de carbono.

Este aumento en la resistividad genera un incremento en la dispersión de electrones lo que puede

ocasionar que la aleación se caliente bastante tal es el caso de la aleación Nícromo (80% Ni, 20% Cr) con

una resistividad de 1.00 x10-6 se usa como elemento calefactor o aleaciones de Bi-Sn-Pb-Cd se usan

para hacer fusibles eléctricos por su baja temperatura de fusión.

En sólidos, cuando dos fases cristalinas están presentes la resistividad total es dado por

BBAAi VV += (4.15)

Donde A y B son sus valores de resistividad y VA y VB son sus volúmenes respectivos de las especies A y

B.

• El procesamiento y endurecimiento del sólido. Los métodos de endurecimiento del material modifican

las distancias entre las irregularidades introducidas - distancias pequeñas, menor movilidad de los

electrones y mayor resistividad eléctrica. Los métodos de reblandecimiento de los materiales (templados)

disminuyen las irregularidades internas del material y mejoran sus propiedades eléctricas conductoras.

Todos los mecanismos de procesamiento de un material destinados a aumentar su resistencia mecánica

se basan en la creación de irregularidades cristalinas en el material. Por tanto, todos estos métodos de

procesamiento aumentan a su vez la resistividad eléctrica, debido al endurecimiento por:

1) Solución sólida: introducción de impurezas o vacantes.

2) Dispersión o envejecimiento: introducción de precipitados en el material.

3) Deformación en frío: creación de dislocaciones.

4) Control del tamaño de grano: creación o aumento de fronteras de grano.

De todo lo anterior, una forma general de estimar la resistividad, considerando que cada mecanismo que

afecta la conductividad es independiente del otro presente, es con base en la Regla de Mattiesen definida como:

ρ = ρt + ρimp + ρdef (4.16)


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Donde t es la contribución a la resistividad por efectos térmicos, imp es la contribución por las impurezas

y def es la contribución a la resistividad por defectos presentes. A partir de ella es posible predecir con buena

aproximación la resistividad de muchos tipos de conductores.

4.1.2 Clasificación eléctrica de los sólidos

De esta manera, dependiendo con la facilidad con la que pueden conducir la corriente eléctrica y tomando

las unidades correspondientes, típicamente se pueden clasificar los sólidos en tres grupos: conductores,

semiconductores y aislantes.

Los conductores eléctricos oscilan de 104 a 109 (m)-1. Dentro de este grupo se encuentran los metales y

algunos materiales cerámicos que, a pesar de intrínsecamente no ser buenos conductores, una vez dopados o

impurificados su conductividad aumenta tanto hasta el hecho de ser ya etiquetados como conductores. En el

extremo opuesto, se ubican los aislantes los cuales presentan una conductividad menor de 10-7 (m)-1. Sólidos

con esta muy baja conductividad se tienen generalmente a los materiales cerámicos puros y a muchos materiales

poliméricos. En el grupo con conductividad eléctrica intermedia, 104–10-7 (m)-1, se encuentran los

denominados semiconductores. Este tipo de comportamiento eléctrico es fuertemente dependiente de la

temperatura. En la figura 4.5 se muestran algunos ejemplos de sustancias solidas que presentan diversos tipos

de comportamiento eléctrico señalado anteriormente.

Figura 4.5 Conductividad eléctrica de diferentes materiales a temperatura ambiente (Tomado de: Hummel,

2012, p. 80).

Arriba del extremo superior de la conductividad (> 109 Ω−1·m−1), se encuentran los denominados

superconductores que son conductores eléctricos que por debajo de cierta temperatura, denominada

temperatura crítica, presentan una altísima conductividad o una nula o casi nula resistividad eléctrica por lo que

se puede decir que toda la energía con la que entran los electrones a viajar a través de ellos es la misma con la

que salen. A esta categoría pertenecen muchos sólidos metálicos y también muchos materiales cerámicos, pero

a muy baja temperatura.

4.2 Teorías que describen el comportamiento eléctrico

Las clasificaciones de los materiales sólidos se pueden visualizar inicialmente en términos de la teoría de

bandas de energía la cual está fuertemente correlacionada con el espaciamiento interatómico en el sólido. Sin

embargo, antes del advenimiento de la mecánica cuántica, un modelo para explicar la conductividad de los

metales fue postulado inicialmente por Paul Drude, donde los electrones se desplazan a una velocidad media

aproximadamente constante que es la velocidad límite asociada al efecto acelerador del campo eléctrico y un

efecto desacelerador de la red cristalina con la que chocan los electrones produciendo el efecto Joule. Sin

embargo, el advenimiento de la mecánica cuántica permitió construir modelos teóricos más refinados a partir


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de la teoría de bandas de energía que explican detalladamente el comportamiento de los materiales

conductores. A continuación se dará un breve esbozo de cada uno de estos planteamientos.

4.2.1 Modelo de Lorentz – Drude, mar de electrones

Posterior al descubrimiento del electrón por parte de J. J. Thomson y en pleno auge la teoría cinética de los

gases, Paul K. L. Drude en 1900 planteo una teoría para tratar de explicar en forma cuantitativa el enlazamiento

metálico. El modelo de Drude, frecuentemente llamado como teoría clásica del electrón libre, involucra en su

estructura ideas de la teoría cinética de los gases en el comportamiento de los electrones, figura 4.12. El modelo

toma en cuenta las siguientes consideraciones:

• Los electrones internos (core) se mantienen unidos a sus núcleos los cuales están en posición fija

conformado un arreglo tipo red de iones positivos.

• Los electrones de valencia forman una distribución de densidad de electrones penetrando en todo el

cristal. Los electrones tienen una energía térmica promedio (3/2 kT) similar a la de un gas ideal

• En ausencia de un campo eléctrico externo, los electrones ejecutan un movimiento aleatorio a través

del metal, así que su velocidad promedio �� es cero, aunque √��2 sea mayor que cero.

• Los electrones colisionan sólo con los core iónico, los electrones no colisionan con algo más.

• Entre colisiones, los electrones no interactúan con otro electrón en movimiento (aproximación de

electrón independiente) o con iones (aproximación de electrón libre)

• La distancia recorrida por un electrón entre colisiones es una distancia promedio libre y el tiempo

entre colisiones sucesivas es denominado tiempo de relajación (alias tiempo de colisión)

• Los electrones externos, electrones libres influenciados por un campo eléctrico, se asume se comportan

idealmente.

De lo anterior; la velocidad promedio de los electrones dado por efectos térmicos (√3𝑘𝑇 𝑚𝑒⁄ ) seria 1.16 x

105 m s-1 a temperatura ambiente (25°C, 298 K).

En presencia de un campo eléctrico �� , los electrones adquieren una velocidad de deriva o de

desplazamiento, vd, así como también pueden realizar colisiones con el entorno, en una dirección resultante

paralela a una corriente eléctrica E. mediante una forma de la segunda ley de Newton (F = m a) se obtiene:

𝑚𝑒 (𝑑𝑣𝑑

𝑑𝑡+

𝑣𝑑

𝜏) = −𝑒�� (4.17)

Donde me es la masa de electrón, es el tiempo libre promedio (s), e es la carga del electrón. Considerando

un valor promedio de la velocidad (m/s) de las partículas se tiene:

𝑚𝑑

𝑑𝑡⟨𝑣 ⟩ = 𝑞 �� −𝛾⟨𝑣 ⟩ (4.18)

Donde m es la masa efectiva, ⟨𝑣 ⟩ es la velocidad promedio, q es la carga eléctrica del portador (C), es una

fuerza de resistencia y �� es el campo eléctrico externo.

Rearreglando y considerando un estado estacionario, se tiene:

𝑣𝑑 =𝑒 ∙ 𝜏

𝑚𝑒∙ �� = 𝜇𝑒 ∙ �� (4.19)


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Donde 𝜇𝑒 =𝑒∙𝜏

𝑚𝑒 es la movilidad del electrón (m/V s). A partir de la definición de densidad de corriente, J, se

obtiene:

𝜎 =𝑛 𝑒2 𝜏

𝑚𝑒∙= 𝑛 |𝑒| 𝜇𝑒 (4.20)

Donde n es el número de partículas que contribuyen a la conductividad eléctrica, e es la magnitud de la

carga del electrón (1.602…×10−19 C) y 𝜇𝑒 es la movilidad del electrón.

A partir de la velocidad promedio, ⟨𝑣 ⟩, de la partícula es posible determinar el camino libre promedio entre

dos colisiones consecutivas definido como:

𝑙 = 𝑣𝑑 ∙ 𝜏 (4.21)

Sin embargo, aunque el modelo de Drude representa una teoría “clásica” para metales sencillos, en el que

la dispersión es caracterizada por un tiempo de relajación τ. Un modelo mejor es el de la llamada teoría

semiclásica, en la cual el efecto de la potencial periodicidad del entramado sobre los electrones les dota de una

masa efectiva, que en el caso del electrón al ser la partícula que lleva la carga y ser de masa constante, implica

un número efectivo de electrones, es decir:

𝜎 =𝑛 𝑒2 𝜏

𝑚∗∙= 𝑛∗ |𝑒| 𝜇𝑒 (4.22)

Donde n* es un nuero efectivo de electrones que llevan a cabo la conductividad eléctrica dado que, en su

movimiento por el sólido, las cargas eléctricas (electrones) colisionan, se dispersan, con su entorno. Estas

colisiones se resisten al movimiento libre de la carga eléctrica y limitan la velocidad hasta cierto valor máximo,

vm. El tipo y número de colisiones depende, por tanto, de la estructura cristalina del material y de la temperatura

desde el punto de vista cinético. Así, desde el punto de vista estructural de este modelo, los factores que limitan

el movimiento del electrón en el interior del metal son:

• Red de núcleos atómicos y sus vibraciones. El ordenamiento, tipo de empaquetamiento y movimiento

vibracional de los núcleos afecta a la movilidad de los electrones por lo que en sistemas de mayor

factor de empaquetamiento reduciría el espacio por el cual los átomos se puedan mover y por tanto

reduciría la velocidad de los electrones conductores.

• Imperfecciones de la red de núcleos. La conductividad en un metal depende del número de portadores

y la movilidad, m (velocidad de desplazamiento) de los mismos. En un metal real (con defectos) la

movilidad y velocidad de las cargas eléctricas depende críticamente del número y tipo de defectos

estructurales. A mayor número de defectos, menor distancia entre colisiones, menor movilidad y por

ende, una menor conductividad eléctrica

• Resto de las cargas eléctricas. La variación en la carga de los núcleos afecta su tamaño, así el hecho de

tener partículas con mayor carga hacen que disminuya su tamaño lo cual a su vez induce que haya

distorsiones en el arreglo regular del sólido generando con ello un mayor número de colisiones con los

electrones móviles en el metal,

En la siguiente figura se puede apreciar los posibles efectos que se tiene en la movilidad de los electrones

al tener imperfecciones en el empaquetamiento cristalino.


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Figura 4.6 Desplazamiento de electrones a) en un cristal perfecto, b) con desorden estructural y c) con

impurezas en la estructura atómica del metal (Tomado de: Askeland, 2012, p. 729).

Este modelo ofrece una buena explicación para la conductividad de corriente continua y corriente alterna

en metales, el efecto Hall, y la conductividad térmica (debida a electrones) en metales, pero falla al no proveer

una explicación para la disparidad entre las capacidades caloríficas de los metales en comparación con la de los

materiales aislantes. En un aislante eléctrico, se esperaría que la capacidad calórica sea cero dado que no existen

electrones libres. En la realidad, los metales y los aisladores eléctricos poseen aproximadamente la misma

capacidad calorífica a temperatura ambiente.

4.2.2 Modelo de bandas de energía

El lector que esté interesado en un poco más en el soporte matemático, y sus implicaciones en la estructura

electrónica en cristales puede dirigirse a Rojas (2007, p. 89)*

Un cristal es, de forma general, un conjunto de átomos enlazados, es decir, en interacción. La interacción

entre los átomos debe producir un desdoblamiento de estados y, en consecuencia, de energía. Esta interacción

entre los orbitales interactuantes de este conjunto de átomos a una distancia de equilibrio, con base a la teoría

de orbitales moleculares, genera un número discreto de orbitales que pertenecerán a todo este conjunto de

átomos donde la diferencia de energía entre dicho orbitales moleculares en tan pequeño que da la impresión

de formar una banda de energía en donde los electrones obedecen las 3 reglas fundamentales del ordenamiento

electrónico en átomos: el principio de exclusión de Pauli, el principio de construcción de Bohr y la 2da regla de

Hund o de máxima multiplicidad.

Una forma útil de visualizar la diferencia entre conductores, aislantes y semiconductores es dibujar las

energías disponibles de los electrones en el material. En lugar de tener energías discretas como en el caso de

átomos libres, los estados de energía disponibles forman bandas. Consideremos el metal litio, cuya

configuración electrónica es:

Vemos que un átomo de litio presenta un orbital 1s lleno (con 2 electrones) y un orbital 2s semilleno (con

1 electrón). También se puede considerar a efectos prácticos los orbitales 2p, que estarán en la capa de valencia

del litio, aunque vacíos.

* I. Rojas, C. Mora y H. J. Herrera Suárez (2007), Lat. Am. J. Phys. Educ.1 (1), 89


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En base a lo anterior se plantea la teoría de bandas de energía, o simplemente teoría de bandas, la cual

considera que los orbitales atómicos de los electrones de valencia de los N átomos del litio al acercarse los

átomos y con ello formar el enlace metálico, se combinan linealmente entre sí para dar unos orbitales

moleculares, pertenecientes a todo el cristal y con energías muy semejantes entre sí. Tan cercanos se hallan

energéticamente estos orbitales moleculares formados, que se puede decir que dan lugar a una banda de

energía. Es decir, en una banda en la cual se tienen tantos orbitales moleculares como orbitales atómicos se

combinen.

Figura 4.7 Formación de las bandas de niveles de energía.

Así, para el caso del litio metálico, si tenemos N átomos de litio, se tendrá N orbitales atómicos 2s que darán

lugar a N orbitales moleculares, figura 4.7, que se puede llamar también 2s por facilidad de comprensión. Estos

orbitales estarán muy próximos en energía y darán una banda 2s. Lo mismo sucederá con los 3N orbitales 2p de

los N átomos de litio (cada átomo de litio tendrá 3 orbitales 2p; px, py y pz), aunque estén vacíos, dando lugar

también a una banda 2p.

La formación de las bandas de energía a partir de los niveles de energía y su transición a una región de

energía casi continua se muestra en la figura 4.8. Esta ampliación se produce porque los átomos interactúan

cada vez más a medida que disminuye su distancia de separación, distancia interatómica.

Figura 4.8 Ensanchamiento de (a) los niveles de energía en (b) bandas de energía y en (c) regiones cuasi-

continuas con decremento en las distancias interatómicas, d, para un metal después de los cálculos de Slater

(Tomado de: Humel, 2011, p.35).

N orbitales moleculares

muy próximos en energía n orbitales atómicos

de igual energía


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A la banda formada por los orbitales 2s semillenos se le llama banda de valencia en tanto que la banda vacía

formada por la combinación de los orbitales 2p, se le llama ahora banda de conducción. Como se ilustra en la

figura 4.9.

Figura 4.9 Representación del modelo de bandas.

La banda de valencia (BV) está ocupada por los electrones de valencia de los átomos, es decir, aquellos

electrones que se encuentran en la última capa o nivel energético de los átomos. Los electrones de valencia son

los que forman los enlaces entre los átomos, pero no intervienen en la conducción eléctrica en tanto que la

banda de conducción (BC) está ocupada por electrones libres, es decir, aquellos que se han desligado de sus

átomos y pueden moverse fácilmente y ser así los responsables de conducir la corriente eléctrica. Entre la banda

de valencia y la de conducción existe un intervalo o brecha de energía denominada banda prohibida o gap, en

inglés, la cual es un rango de energía donde no pueden existir estados energéticos de los electrones, y por ende,

no tener electrones con dicha energía, figura 4.10.

Figura 4.10 Representación de la estructura de bandas (Tomado de: Callister & Rethwisch, 2009, p. 724).

Un parámetro importante en la teoría de banda es el nivel de Fermi. Como se mencionó anteriormente, la

ocupación de los distintos niveles energéticos dentro de las bandas sigue las reglas conocidas empleadas para

la distribución de los electrones en átomos y moléculas. La distribución que se obtiene, siguiendo esas reglas, es

la que existe a la temperatura de 0 K. Un número dado de electrones, por ejemplo, N alcanza para llenar todos


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los orbitales atómicos (OA) desde el de menor energía y hasta N/2 OA. A esta temperatura hay un corte abrupto

entre OA llenos y vacíos. El nivel de energía lleno por sobre el cual todos los otros orbitales están vacíos se

denomina nivel de Fermi (NF), figura 4.11, y su posición se relaciona a la banda de conducción la cual es un factor

fundamental en la determinación de las propiedades eléctricas y térmicas de los sólidos.

Figura 4.11 Contexto del nivel de Fermi para un semiconductor (Tomado de http://hyperphysics.phy-

astr.gsu.edu/hbasees/Solids/Fermi.html)

Distribución de los electrones en las bandas

Una forma de describir la distribución de los electrones sobre estas bandas de energía es mediante la

denominada estadística o distribución de Fermi-Dirac (F - D)* que describe una distribución de partículas con

espín semientero, denominados fermiones, sobre estados de energía en sistemas que consisten en muchas

partículas idénticas que obedecen al "principio de exclusión de Pauli". Además, se asume que las partículas en

este sistema tienen una interacción mutua insignificante, partículas no interactuantes. Eso permite que el

sistema de muchas partículas se describa en términos de estados de energía de una sola partícula con la

condición de que dos partículas no pueden ocupar el mismo estado; Esto último tiene un efecto considerable

en las propiedades del sistema.

Dado que la energía de un sistema mecano-cuántico está discretizada, es decir, que las partículas no pueden

tener cualquier energía, sino que ha de ser determinado de entre un conjunto de valores discretos. La

distribución de Fermi-Dirac dice cuánto vale esta cantidad en función de la temperatura y el potencial químico.

Así, la función de distribución de Fermi-Dirac, figura 4.12, viene dada por la siguiente ecuación:

𝑛𝑘

𝑔𝑘= 𝑓0(𝜀𝑘) =

1

𝑒(𝜀𝑘−𝜇)/𝑘𝐵𝑇 + 1 (4.23)

Donde el cociente (nk/gk) se denomina índice de ocupación de un compartimento de energía k. nk es el

número promedio de partículas en el k-ésimo estado de energía, gk es la degeneración del estado k-ésimo, εk es

la energía en el estado k-ésimo, μ es el potencial químico, T es la temperatura y kB es la constante de Boltzmann.

Es usual, en el caso de fermiones, denominar al potencial químico μ como nivel de Fermi que, en general, será

función de la temperatura. En el caso cuando su valor para T = 0 K, la energía del último nivel ocupado recibe el

nombre de energía de Fermi (EF) y la temperatura a la que corresponde esta energía mediante la siguiente

relación

* Lleva el nombre en honor a Enrico Fermi (1901 – 1954) y Paul A. M. Dirac (1902 – 1984), cada uno de los cuales

descubrió el método de forma independiente (aunque Fermi definió la estadística antes que Dirac).

https://en.wikipedia.org/wiki/Physical_system

https://en.wikipedia.org/wiki/Interaction

https://en.wikipedia.org/wiki/Energy_eigenstates


A. S. P. 14 / 39

𝐸𝐹 = 𝑘𝐵/𝑇𝐹 (4.24)

Se conoce como temperatura de Fermi (TF). Por tanto, la ecuación puede reescribirse de la siguiente

manera.

𝑓(𝜀𝑘) = 1

𝑒(𝜀𝑘−𝐸𝐹)/𝑘𝐵𝑇 + 1 (4.25)

La importancia de la energía de Fermi se ve más claramente estableciendo T= 0 K. En el cero absoluto, todos

los estados que corresponden a una energía menor que el nivel de Fermi están ocupados, mientras que los

estados de energía superior están vacíos. Es decir, la probabilidad es 1 para energías menores que la energía de

Fermi y cero para energías mayores que la energía de Fermi, lo cual es totalmente coherente con el principio de

exclusión de Pauli, donde cada estado cuántico no puede tener más que una sola partícula.

Así, si se tiene una temperatura mayor a 0 K, los niveles de energía inferior a μ pero próximos a él comienzan

a despoblarse en beneficio de los que presentan una mayor energía. En otras palabras, la población de los k-

esimos estados cambia, ocupándose ahora estados con mayor energía y que en un principio estaban

despoblados.

En la siguiente figura se representa la forma de n (k) para distintos valores de la temperatura, y donde

(k)/F se ha tomado como variable continua

Figura 4.12 Distribución de Fermi-Dirac que expresa la probabilidad de encontrar un electrón en un cierto

nivel de energía.

En la figura anterior, se puede apreciar que conforme se incrementa la temperatura la población de estados

energéticos de mayor energía ligeramente aumenta y por ende el valor de la función de distribución de Fermi-

Dirac disminuye lo que involucra una disminución en las poblaciones de los niveles energéticos cercanos a la

energía de Fermi, (k)/F 1

Densidad de estados electrónicos (DOS)

En los sólidos, a pesar de que la diferencia energética entre los niveles energéticos es muy pequeña, a tal

grado de formar una denominada banda de energía, hay diferencias en los estados electrónicos posibles por

unidad de volumen y por unidad de energía. El número de estados electrónicos posibles por unidad de volumen

y por unidad de energía se denomina Densidad de Estados Electrónicos o DOS (Density Of States del inglés) el

cual implica que el número de estados energéticos que tengan ya sea cierta energía u ocupen, los electrones,


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cierto espacio o volumen para moverse es diferente. Este término es importante porque permite conocer no

solo la concentración de partículas acarreadoras disponibles sino también su distribución, en términos de

energía de los mismos lo cual es importante en los sólidos semiconductores.

En un sistema cuántico físico finito el caracterizar el número existente de estados por cada intervalo de

energía es como poner n-partículas en un pozo donde existe un número discreto de estados posibles de energía,

de modo que la ocupación o densidad de estados será una distribución discreta y no homogénea. En cambio, en

sistemas cuánticos infinitos las energías accesibles forman un continuo de modo que la densidad de estados

formará también un continuo. Dado que la densidad de estados depende esencialmente del tipo de

interacciones presentes del sistema (ya que es esta la que determina la cuantización de las energías) se puede

describir de la siguiente manera:.

𝑑N(E)

𝑑𝐸= ρ(E)f(E)ΔE (4.26)

Donde N(E) es el número de partículas por volumen unitario con energía interna E, (E) es la densidad de

estados energéticos por volumen unitario en el intervalo E+ΔE y f (E) es una función que describe el volumen

(0D, 1D, 2D o 3D) con dicho intervalo de energía. Por ejemplo, es posible calcular la población de electrones en

la banda de conducción multiplicando la densidad de estados de electrones de conducción (E) por la función

de Fermi f(E), para un espacio tridimensional, mediante la siguiente ecuación;

𝑑𝑁

𝑑𝐸= 𝜌(𝐸)𝑓3𝐷(𝐸) =

8√2𝜋𝑚3

2⁄

ℎ3 √𝐸1

𝑒𝑥𝑝(𝐸−𝐸𝐹)

𝑘𝐵𝑇⁄+ 1

(4.27)

Así, el producto de todos estos estados da la población “real” de la banda de conducción como se muestra

a continuación.

Figura 4.13 Esquema del cálculo de la población de electrones de conducción mediante la densidad de

estados de electrones de conducción r(E) y la función de Fermi, P(E) (Tomado de: http://hyperphysics.phy-

astr.gsu.edu/hbasees/Solids/Fermi.html).

4.3 Tipos de conductores eléctricos

Los sólidos se pueden clasificar en función de su resistencia o conductividad. El factor que gobierna el

movimiento de las partículas eléctricamente cargadas es la magnitud de la banda o brecha prohibida.

Generalmente se considera que cuando esta brecha de energía prohibida es de magnitud de 1 a 3 eV se

considera un sólido semiconductor, en tanto que si tiene valores menores de 1 eV se considera un conductor y

si presenta un valor mayor a 3 eV se dice que es un aislante. A continuación, se verá cada uno de los tipos de

conductores eléctricos, su explicación mediante teoría de bandas y su aplicación en las medidas de

conductividad eléctrica.

4.3.1 Conductores eléctricos


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Un conductor eléctrico es un material que ofrece poca resistencia al movimiento de la carga eléctrica. Sus

átomos se caracterizan por tener pocos electrones en su capa de valencia, por lo que no se necesita mucha

energía para que estos salten de un átomo a otro. En términos de la teoría de bandas en sólidos, los metales son

únicos como buenos conductores de la electricidad. Esto puede verse considerando el enlace metálico,

anteriormente definido, que consiste en un centro iónico tipo gas noble rodeado por una pequeña cantidad de

electrones de valencia débilmente enlazados, esencialmente libres, por lo que no se necesita mucha energía

para que estos salten de un átomo a otro. Los metales están presentes en estado sólido y forman una estructura

cristalina compacta (bcc) la cual tiene un número de primeros vecinos relativamente grande (NC = 12 para hcp

y fcc y 8 para bcc). Su interacción es no direccional y la distancia interatómica es, por ejemplo, litio, de 3 Å y

radio iónico de 0.5 Å.

En la teoría de bandas (de energía), esto se dibuja como una superposición de bandas de valencia con la

banda de conducción o con una banda prohibida suficientemente pequeña entre dichas bandas, para que al

menos una fracción de los electrones de valencia puedan moverse a través del material.

En el diagrama de las bandas de energías en conductores eléctricos, aunque la banda de valencia tenga

espacios sin rellenar (el nivel de Fermi marca una ocupación sólo parcial de la banda), como se muestra en la

figura 4.28, en ausencia de campos eléctricos, la conducción eléctrica se produce en todas direcciones a

velocidades muy elevadas. Incluso a la temperatura más fría posible - en el cero absoluto - la conducción

eléctrica puede aún darse a las velocidades de Fermi (la velocidad de los electrones con energía de Fermi).

Figura 4.14 Esquema del traslape de las bandas de energías en conductores eléctricos (Tomado de:

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Solids/band.html).

Cuando se aplica un campo eléctrico, un ligero desequilibrio desarrolla un flujo de los electrones móviles.

Los electrones de esta banda pueden verse acelerados por el campo porque hay multitud de estados cercanos

sin rellenar en la banda. P. ej. En el caso del sodio, metal alcalino, el cual tiene una configuración electrónica

1s22s22p63s1, la última banda s está semillena (banda de valencia) y lejos de la siguiente banda p, figura 4.29. Sin

embargo, a pesar de que entre ellas exista una diferencia energética, brecha prohibida (gap) de energía, los

electrones (3s) son excitados muy fácilmente dentro de la misma banda a los niveles vacíos y la banda 3s es,

simultáneamente, la banda de valencia y de conducción generando con ello una alta conductividad eléctrica.

Un aspecto importante por mencionar es que la resistencia en los metales se da por la dispersión de

electrones desde defectos en la red o por la vibración (fonones) de los átomos mismos.


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Figura 4.15 Estructura de bandas de los metales alcalinos.

4.3.2 Semiconductores puros e impurificados (dopados)

En los sólidos semiconductores existe una brecha de energía prohibida entre 1.0 y 3.0 eV, como se

mencionó anteriormente, sin embargo un sólido semiconductor puede funcionar como un conductor o como

un aislante dependiendo de algunos factores, como el campo eléctrico o magnético, la radiación, la presión o la

temperatura del ambiente en el que se encuentre y, en este caso, el nivel de Fermi está situado de manera que

está o lleno o vacío y la fracción de electrones excitada depende de la energía absorbida que permita el salto de

los electrones entre las dos bandas. Es decir:

Egap = E = ECond - EVal (4.28)

Donde Egap es la energía de la brecha prohibida de energía (gap), ECond es la energía del primer nivel

energético de la banda de conducción y EVal es la energía del último nivel energético de la banda de valencia.

Figura 4.16 Banda de energías en semiconductores.

Esta energía prohibida, dependiendo su magnitud, puede ser “brincada” mediante diversos tipos de energía

tales como:


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Egap = h (óptica), P (presión), B (magnética), E (eléctrica), etc.

Permitiendo con ello solidos dar respuesta ya sea ante estímulos externos o por efectos de una corriente

eléctrica generar un estímulo tales como dispositivos LED (optoelectrónica), dispositivos mecanoeléctricos (PZT,

piezoeléctricos)*, termopares (termoeléctricos) o la respuesta eléctrica de ciertos minerales como la turmalina,

el topacio y el cuarzo a cambios de temperatura (pyroelectricos) entre múltiples efectos.

De forma general, se plantea que al excitar un electrón en la banda de conducción se deja atrás un hueco

en la banda de valencia el cual está cargado positivamente que, aunque se mueve menor rapidez que un

electrón, pueden también conducir la electricidad, por lo que la conductividad eléctrica es ahora expresada de

la siguiente manera:

𝜎 = 𝑛|𝑒|𝜇𝑒 + 𝑝|𝑒|𝜇ℎ (4.29)

Donde n es el número de electrones, acarreadores por m3, e es la magnitud de la carga del electrón, e es

la movilidad, m2/(Vs), del electrón p es el número de huecos (hole) y h es la movilidad del hueco.

En la figura 4.17 se muestra las implicaciones de la función de Fermi en la conductividad eléctrica de un

semiconductor. La teoría de bandas de sólidos da la imagen de que hay una diferencia considerable entre el

nivel de Fermi, y la banda de conducción del semiconductor. A temperaturas más altas, una mayor fracción de

los electrones pueden "puentear" este vacío y participar en la conducción eléctrica. Note que, aunque la función

de Fermi tiene un valor finito en el hueco, no existe una población de electrones a estas energías (que es lo que

quiere decir el hueco). La población depende del producto de la función de Fermi y la densidad de estados de

electrones.

Así, en el hueco no hay electrones debido a que la densidad de estados es cero. En la banda de conducción

a 0ºK, no hay electrones, aunque hay muchos de estados disponibles, pero la función de Fermi es cero. A altas

temperaturas, tanto la densidad de estados como la función de Fermi tiene valores finitos en la banda de

conducción, por lo que hay una población conductora finita. La conductividad en los metales se explica con gran

aproximación por la estadística de Fermi-Dirac aplicada a los electrones de valencia o "gas electrónico" del

metal.

Figura 4.17 Distribución de electrones entre dos bandas separadas por un estrecho gap, T= 0 y T > 0 .

(Tomado de: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/hframe.html).

* PZT es el cerámico titanato y zirconato de plomo con formula química Pb[ZrxTi1−x]O donde 0 ≤ x ≤ 1.


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Figura 4.18 Distribución de los electrones entre dos bandas separadas por un gap estrecho a T > 0 K.

Semiconductores intrínsecos

Un sólido semiconductor intrínseco es aquel que está hecho de un sólo tipo de átomo por lo que también

suele llamarse como semiconductor puro. El elemento semiconductor intrínseco más usado es el silicio (por ser

mucho más abundante y poder trabajarlo a temperaturas mayores que el germanio), el segundo el germanio,

aunque existen otros elementos como el estaño (Sn) y combinaciones de elementos de los grupos 12 y 13 con

los de los grupos 16 y 15 (Ga As, P In, As Ga Al, Te Cd, Se Cd y S Cd), respectivamente, que presentan

comportamiento idéntico.

Tabla 4.1 Energías cohesivas, energías del gap de las bandas y parámetros de red para los

semiconductores del grupo 14. C Si Ge Sn

Ec(eV) 14.7 7.75 6.52 5.5

Egap(eV) 5.2 1.12 0.67 0.08

Pred (nm) 0.54307 0.5657 0.649

De la tabla 4.6, la característica común de estos elementos es que tiene 4 electrones en su órbita externa

(tetravalentes), teniendo una configuración electrónica ns²p², ejemplo el silicio de la figura 4.31 que comparte

con los átomos adyacentes formando 4 enlaces covalentes. De esta manera cada átomo posee 8 electrones en

su capa más externa en la que la unión entre los electrones y sus átomos es muy fuerte. Por consiguiente, los

electrones no se desplazan fácilmente, y el sólido en circunstancias “normales” se comporta como un aislante

perfecto a 0 K.


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Figura 4.19 Esquema del acomodo de los electrones alrededor de los átomos de silicio.

Sin embargo, los electrones al aumentar su energía, de alguna manera, algunos pueden separarse del

enlace e intervenir en la conducción eléctrica. De esta manera, la resistividad de un semiconductor disminuye

con la temperatura (su conductividad aumenta).

Figura 4.20 Diagrama de bandas de un semiconductor intrínseco (Tomado de: http://hyperphysics.phy-

astr.gsu.edu/hbasees/Solids/band.html).

En los semiconductores intrínsecos, en el caso del silicio o el germanio, el nivel de Fermi está esencialmente

a “mitad de camino” entre las bandas de valencia y conducción, figura 4.34. Aunque no ocurre conducción a 0

K, a temperaturas superiores la energía cinética de vibración de los átomos de la red aumenta y un número finito

de electrones puede absorber la energía suficiente y alcanzar así la banda de conducción donde podrán ya

moverse e lo largo del cristal como electrón libre y proporcionar algo de corriente y conforme aumente más la

temperatura más electrones de conducción habrá, por ello, la concentración de electrones acarreadores de

energía en semiconductores intrínsecos es fuertemente dependiente de la temperatura dada su gran movilidad,

véase la tabla 4.7.

En los semiconductores intrínsecos se tiene la relación

𝑛 = 𝑝 = 𝑛𝑖 (4.30)

Donde ni es la concentración intrínseca de portadores en un semiconductor, por lo que la conductividad

eléctrica es ahora

𝜎 = 𝑛𝑖|𝑒|(𝜇𝑒 + 𝜇ℎ) (4.31)


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En semiconductores intrínsecos es posible controlar el número de portadores y, en consecuencia, la

conductividad eléctrica al controlar la temperatura dado que, con base en la ecuación de Fermi, el número de

electrones en la banda de conducción es calculado mediante la siguiente ecuación:

𝑛 = 𝑛𝑖 = 𝑝𝑖 = 𝑛0𝑒𝑥𝑝 (−𝐸𝑔𝑎𝑝

2𝑘𝐵𝑇) (4.32)

Donde n0 es:

𝑛0 = 2(2𝜋𝑘𝐵𝑇

ℎ2)

32⁄

(𝑚𝑛∗ 𝑚𝑝

∗ )3

4⁄ (4.33)

En estas ecuaciones kB y h son las constantes de Boltzmann y de Planck y 𝑚𝑛∗ y 𝑚𝑝

∗ son las masas efectivas

de los electrones y huecos en el semiconductor, respectivamente. Quedando definida la conductividad eléctrica

como:

𝜎 = 𝑛0𝑞(𝜇𝑛 + 𝜇𝑝)𝑒𝑥𝑝 (−𝐸𝑔

2𝑘𝐵𝑇) (4.34)

Semiconductores extrínsecos

Los semiconductores extrínsecos se forman al agregar un pequeño porcentaje de sustancias dopantes o

impurezas a un semiconductor intrínseco, es decir, añadir pequeñas cantidades de elementos trivalentes o

pentavalentes a un semiconductor tetravalente. Un espécimen de 1 cm3 de un metal o semiconductor tiene del

orden de 1022 átomos. En un metal, cada átomo dona al menos un electrón libre para la conducción, por lo que

1 cm3 de metal contiene del orden de 1022 electrones libres, mientras que una muestra de germanio puro de 1

cm3 a 20 °C contiene aproximadamente 4.2 x1022 átomos, pero sólo 2.5 x1013 electrones libres y 2.5 x1013 hoyos.

La adición de 0.001% de arsénico (una impureza) dona 1017 electrones libres adicionales en el mismo volumen y

la conductividad eléctrica se incrementa en un factor de 10,000. Ahora, la conductividad del semiconductor

dependerá de la concentración de esos átomos dopantes. Dependiendo de la naturaleza de la impureza habrá

dos tipos de semiconductores:

A) tipo n: En las redes de Si o Ge se introducen elementos pentavalentes del grupo 15 (P. ej. P, As o Sb) los

cuales al tener un electrón más en su capa de valencia que los elementos del grupo 14 se comportan como

impurezas donadoras de electrones o portadores negativos. La adición de este tipo de impurezas donantes

contribuye con un nuevo nivel energético que, al ser de un átomo diferente, tiene distinta energía que los niveles

que forman la banda permitiendo con ello que los electrones crucen la banda prohibida de los semiconductores,

de modo que pueden ser excitados más fácilmente hacia la banda de conducción. Esto desplaza el nivel de Fermi

efectivo, a un nuevo punto medio entre los niveles de los electrones donantes y la banda de conducción, figura

4.21.


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Figura 4.21 Diagrama de bandas de un semiconductor extrínseco tipo n (Tomado de:

http://www.hyperphysics.de/hyperphysics/hbase/solids/dope.html#c2).

Así, con la energía proporcionada por un voltaje aplicado, los electrones pueden migrar a la banda de

conducción, y moverse a través del sólido. Los electrones se dice que son los "portadores mayoritarios" del flujo

de corriente en un semiconductor de tipo n.

B) tipo p: En este caso se introducen a silicio o germanio elementos trivalentes del grupo 13 (ej. Al, Ga, B,

In) que presentan un electrón menos en su capa de valencia, por lo que se comportan como especies aceptores

o captadores de electrones. La adición de impurezas aceptoras de electrones genera un nuevo nivel energético

cercano a la banda de valencia lo cual contribuye también a disminuir la magnitud de la banda prohibida, gap,

de los semiconductores, de modo que los electrones pueden ser fácilmente excitados desde la banda de valencia

hasta estos “nuevos” niveles energeticos, dejando huecos móviles en la banda de valencia. Esto desplaza el nivel

de Fermi efectivo, a un punto a medio camino entre los niveles de la especie aceptora y la banda de Valencia,

figura 4.22.

Figura 4.22 Diagrama de bandas de un semiconductor extrínseco tipo p (Tomado de:

http://www.hyperphysics.de/hyperphysics/hbase/solids/dope.html#c2).

Así, con la energía proporcionada por un voltaje aplicado, los electrones pueden también migrar desde la

banda de valencia hasta los huecos de los orbitales de la impureza inmersos en la banda prohibida. Dado que

los electrones pueden ser intercambiados entre los huecos, se dice que son móviles. Los huecos se dice que son

los "portadores mayoritarios" para el flujo de corriente en un semiconductor de tipo p.

Tabla 4.2 Energías de ionización (eV) para especies donadoras y aceptoras.

Impureza Si Ge

P 0.045 0.012

As 0.049 0.0127

Sb 0.039 0.010


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B 0.045 0.0104

Al 0.057 0.0102

Ga 0.065 0.0108

In 0.16 0.0112

El factor que controla es la escasez de portadores de carga, relacionado con los dopantes son los cambios

en la concentración de portadores de controlar el dopaje afectarán a las propiedades eléctricas del

semiconductor.

Efecto de la impurificación en la concentración de las especies portadores.

El hecho de impurificar un semiconductor intrínseco hace que se modifique la conductividad dado que a

partir de la condición inicial.

𝜎 = 𝑛𝑒|𝑒|𝜇𝑒 + 𝑛ℎ|𝑒|𝜇ℎ (4.35)

La relación general es

𝑛𝑝 = 𝑛𝑖2 (4.36)

Donde n seria la concentración de electrones, ne, en el sólido, p es la concentración de huecos, nh, en el

sólido y ni es la relación intrínseca de portadores en un semiconductor y es una constante a temperatura dada.

Una segunda relación fundamental para semiconductores extrínsecos involucra a la densidad de carga la cual

debe ser cero. Es decir,

𝑁𝑎 + 𝑛 = 𝑁𝑑 + 𝑝 (4.37)

Donde Na es la concentración de los iones aceptores negativos y Nd es la concentración de los iones

donadores positivos.

En un semiconductor tipo n creado al adicionar al semiconductor intrínseco impurezas donadoras, el

número de especies aceptoras negativas, Na, es cero y el número de electrones es mucho mayor que el número

de huecos (esto es, n >> p) por lo que la ecuación se reduce a

𝑛 ≈ 𝑁𝑑 (4.38)

Y la concentración de huecos en un semiconductor tipo n (pn) es definida como

𝑝𝑛 =𝑛𝑖

2

𝑛𝑛≈

𝑛𝑖2

𝑁𝑑 (4.39)

La conductividad sería ahora

𝜎 ≈ 𝑛|𝑒|𝜇𝑒 (4.40)

Las ecuaciones correspondientes para un semiconductor tipo p seria:

𝑝𝑝 ≈ 𝑁𝑎 (4.41)

𝑛𝑝 =𝑛𝑖

2

𝑝𝑝≈

𝑛𝑖2

𝑁𝑎 (4.42)

Obteniendo, por tanto


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𝜎 = 𝑝𝑝|𝑒|𝜇ℎ (4.43)

Dependencia térmica de la conductividad

Los semiconductores, en contraste con los metales, presentan un aumento de la conductividad con el

aumento de la temperatura porque el factor limitante de la conducción es, en este caso, la concentración de

portadores de carga, figura 4.37.

(4.44)

Figura 4.37 Grafica esquematica de la conductividad eléctrica en funcion del inverso de la temperatura en

los sólidos.

En tanto en los semiconductores dopados, al aumentar la temperatura, los dopantes proporcionan más y

más portadores. La conductividad extrínseca crece con la temperatura. A partir de una cierta temperatura, ya

todos los átomos del dopante han entregado sus portadores y, en adelante, la semiconductividad intrínseca

predomina. La semiconductividad intrínseca (asociada al Si directamente) crece al crecer T, como ya vimos. Los

equipos electrónicos basados en semiconductores (extrínsecos) tienen un rango especificado de temperaturas

de trabajo. Si la temperatura es excesivamente baja, no habrá conducción al aplicar las señales de excitación y

si la temperatura es excesivamente alta, habrá conducción espontánea, figura 4.38. Entonces, se pierde el

control de las válvulas electrónicas y el equipo funcionará mal o no funcionará.

−=

Tk2

Eexp

B

gap

0


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Figura 4.38 Efecto de la temperatura en la banda de conducción en semiconductores tipo n y p.

Un caso particular es cuando ciertos sólidos presentan estructuras cristalinas diferentes a distintas

temperaturas involucrando con ello cambios en sus propiedades físicas por lo que es posible que esa transición

de fases esté caracterizada por un cambio abrupto en la conductividad del material y una función de κ(T)

diferente en cada una de las fases.

4.3.3 Aislantes y dieléctricos. ferro-, piezo- y termoeléctricos

Hay algunos sólidos con escasa capacidad de conducción de la electricidad. A estos sólidos se les conoce

como aislantes eléctricos, los cuales en términos de la teoría de bandas de energía, presentan una gran brecha

energética, Eg > 3.0 eV, entre la banda de valencia y la banda de conducción lo cual impide que se lleve a cabo

el libre movimiento de los electrones por el sólido, figura 4.39. Este tipo de solidos son ampliamente utilizados

en la industria eléctrica para separar conductores eléctricos que de tocarse accidentalmente cuando se

encuentran en tensión pueden producir una descarga. Dentro de los materiales aislantes se tienen los plásticos,

la madera, las cerámicas, y las gomas por mencionar algunos.

Figura 4.39 Banda de energía de un material aislante (Tomado de: http://hyperphysics.phy-

astr.gsu.edu/hbasees/Solids/band.html#c2).

No existe un aislador perfecto, porque incluso los aisladores contienen pequeñas cantidades de cargas

móviles (portadores de carga) que pueden llevar corriente. Además, todos los aisladores se vuelven


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eléctricamente conductores cuando se aplica un voltaje suficientemente grande para que el campo eléctrico

separe los electrones de los átomos. Esto se conoce como la tensión de ruptura de un aislador, figura 4.40.

Algunos materiales como el vidrio, el papel y el teflón, que tienen una alta resistividad, son muy buenos aislantes

eléctricos.

Sólidos dieléctricos

Aunque el dieléctrico y el aislador generalmente se consideran sinónimos, el término dieléctrico es más de

uso frecuente al considerar el efecto de alternar campos eléctricos en la sustancia mientras que el aislante es

más de uso frecuente cuando el material se está utilizando para soportar un alto campo eléctrico de ahí que los

dieléctricos sólidos son de más uso general en la ingeniería eléctrica. Algunos ejemplos incluyen porcelana,

cristal, el papel, la goma y la mayoría de los plásticos, así como las cintas sintéticas: tereftalato de polietileno

(PET), naftalato de polietileno (PEN) y sulfito de polifenileno (PPS) que se utilizan para envolver los conductores

magnéticos de los embobinados

Se denomina dieléctrico a un material con una baja conductividad eléctrica (σ << 1); es decir, un aislante,

sin embargo, tiene la propiedad de formar dipolos eléctricos en su interior bajo la acción de un campo eléctrico

aplicado. En un dieléctrico las cargas eléctricas no fluyen a través del material como lo hacen en un conductor

eléctrico, sino que al aplicar una diferencia de potencial a un dieléctrico se conduce a una polarización de carga

dentro del sólido donde las partículas que lo constituyen (moléculas o iones) se desplazan ligeramente de sus

posiciones de equilibrio promedio, lo que provoca la denominada polarización dieléctrica. Debido a esta

polarización dieléctrica, las cargas positivas se desplazan en la dirección del campo y las cargas negativas se

desplazan en la dirección opuesta. Esto crea un campo eléctrico interno que reduce el campo general dentro del

propio dieléctrico. La polarización desaparece cuando el voltaje desaparece.

Dentro del sólido existen varios factores que contribuyen a la polarización:

• Polarizabilidad electrónica (ae): Polarización debida al desplazamiento del mar de electrones con

respecto a su nucleo formando un dipolo (electrones localizados)

• Polarizabilidad iónica (ai): Polarización debida al desplazamiento de iones de su posición de equilibrio.

• Polarizabilidad dipolar (ad): Polarización debida a la reorientación de los dipolos permanentes de las

moléculas.

• Polarizabilidad de carga a través del espacio (as) debida a la migración de carga de largo alcance.

De lo anterior, la polarizabilidad se puede describir la siguiente manera:

α = αe + αi + αd + αs (4.45)

Así, de todos los tipos de polarización mencionados, en la ausencia de moléculas dipolares, las

polarizabilidades electrónica y iónica toman importancia dada por la presencia de átomos polarizables o

especies atómicas cargadas (iones) que puedan moverse ligeramente de su posición, figura 4.41.


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Figura 4.40 Diagrama esquemático de los diversos factores que contribuyen a la polarización en sistemas

dieléctricos

De forma general, la presencia de un campo eléctrico, figura 4.41, puede polarizar la distribución

electrónica alrededor de una partícula creando un momento dipolar:

𝜇 𝑑 = 𝑞 ∙ 𝑑 (4.46)

Figura 4.41 Efecto de campo eléctrico en las cargas de una molécula.

El momento dipolar por unidad de volumen, �� , es dado por;

�� = 𝑛𝑚𝜇 𝑑 (4.47)

Donde nm es el número de átomos por unidad de volumen.

Un aspecto a considerar es que la polarización de un sólido va a depender de la magnitud del campo

eléctrico aplicado por lo que usando una corriente continua definiendo con ello la susceptibilidad eléctrica como

el grado de polarización de un sólido en un campo eléctrico externo lo cual puede ser descrito como:

�� = 𝜀0𝜒𝑒𝜉 (4.48)

Donde �� es la polarización eléctrica inducida de la muestra, 0 es la permitividad del vacío, e es la

susceptibilidad eléctrica (parámetro adimensional) y es la magnitud del campo eléctrico aplicado.

Si el sólido es polarizable se puede variar la intensidad del campo eléctrico hasta alcanzar un máximo en la

polarización del sólido, Psat. Asimismo, si el campo eléctrico se aplica en sentido opuesto, es posible cambiar la

dirección de la polarización y obtener una curva antisimétrica denominada curva de polarización, como se puede

observar en la siguiente figura, la cual es característica para cada solido dieléctrico.


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Figura 4.42 Curva de polarización eléctrica en función del campo eléctrico aplicado.

Al hacer estudios con corriente alterna donde la magnitud y el sentido del campo eléctrico varía

periódicamente de forma senoidal es posible determinar la rapidez de reorientación de los dipolos formados en

respuesta al campo eléctrico alterno aplicado siendo esta una característica del sistema en estudio mediante un

tiempo de relajación, .

El tiempo de relajación varia para cada una de las contribuciones a la polarizabilidad:

1. Polarizabilidad electrónica (αe); la respuesta es rápida, es pequeño

2. Polarizabilidad iónica (αi); Respuesta es lenta

3. Polarizabilidad dipolar (αd); Respuesta es más lenta

4. Polarizabilidad de carga a través del espacio (αs); Respuesta es muy lenta, es grande.

Los tiempos de relajación, dado que son los tiempos en los cuales una partícula dieléctrica cambia de

orientación de la polarización en presencia de una corriente alterna, se puede asociar a una frecuencia de

polarización a través de la cual se puede asociar al tipo de polarizabilidad presente en el sólido.

Polarización iónica y ferro-electricidad

Muchos materiales dieléctricos son aislantes (no hay conductividad de los electrones o iones) y sólidos

densos, es decir, son sólidos en las cuales sus partículas están fijamente posicionadas por lo que no pueden ser

reorientadas. Por lo tanto, su polarizabilidad debe venir de polarizabilidad iónica y electrónica, figura 4.45.

Figura 4.43 desplazamiento de los átomos, iónica, de su posición de equilibrio por un campo eléctrico

aplicado.

El desplazamiento no desaparece cuando el campo eléctrico es removido.

Cuando la contribución iónica es grande, una clase particular de sólidos dieléctricos llamados

ferroeléctricos resultara. En el sólido ferroeléctrico se desarrolla una polarización (se forman cargas) de forma

espontánea en respuesta a un campo eléctrico externo, sin embargo:

• La polarización no siempre desaparece cuando el campo externo es removido.


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• La dirección de la polarización es reversible.

De esta manera, se puede definir el ferro electricidad como la reversibilidad de los dipolos eléctricos

formados espontáneamente en un cristal, mediante la aplicación de un campo eléctrico. Este fenómeno es

además cooperativo, es decir, la polarización espontánea de una celda unidad interacciona con las adyacentes

orientándolas en el mismo sentido. Si se gráfica la polarización (P) del material ferroeléctrico en función del

campo eléctrico aplicado (E), se obtiene una curva que muestra un ciclo de histéresis (figura 4.46), a partir del

cual se pueden definir una polarización remanente Pr (polarización espontánea en ausencia del campo eléctrico

aplicado), y un campo coercitivo Ec (campo eléctrico aplicado en la dirección opuesta, necesario para hacer cero

la polarización espontánea del material).

Figura 4.44 Un típico ciclo de histéresis eléctrica de un ferroeléctrico (Tomado de Müller & Xu, 1991, p.

10)

Desde esta representación, se puede convertir un material cerámico ferroeléctrico, por medio de la

aplicación de un campo eléctrico hasta saturación, Ps, en una especie de monocristal a efectos de estado

electrocristalino. La posibilidad de cambiar la dirección de polarización es lo que diferencia a los materiales

ferroeléctricos de los materiales piroeléctricos* en los cuales la variación de la polarización espontánea con la

temperatura. El permitir que los dipolos cambien de dirección implica que el salto energético entre dos estados

direccionados debe ser bastante pequeño. Esto significa que hay un estado no polar ligeramente menos estable.

Por lo tanto, aumentando la temperatura cambiarán las estabilidades relativas de tal modo que el material

cambiará su estructura a la forma no polar, esto es, a un estado paraeléctrico† al alcanzar una determinada

temperatura. En general, por encima de la transición cristalina, la constante dieléctrica obedece una ecuación

tipo Curie-Weis:

* En un material piroeléctrico la polarización espontánea se debe a la distribución asimétrica de los iones en la celda unidad,

por lo que no es posible un cambio sin destrucción de la red cristalina. † La paraelectricidad se refiere a la propiedad que presentan numerosos materiales a polarizarse cuando son sometidos a la

influencia de un campo eléctrico, incluso cuando no existen dipolos permanentes presentes en el material. Dado que no existe

alineación residual de dipolos, al cesar la influencia del campo eléctrico, la polarización se desvanece.


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K−1 =C

T − Tc (4.49)

Donde K es la constante dieléctrica, C es la constante de Curie, característica de cada material, y Tc es la

temperatura de Curie o punto de Curie. En un ferroeléctrico cuya transición de fase sea de segundo orden (sin

discontinuidad en las propiedades), las temperaturas pueden ser idénticas. En el caso de una transición de

primer orden (cambio continuo en las propiedades), la temperatura de Curie puede ser menor que el punto de

Curie. Sin embargo, existen excepciones a esta ley de Curie-Weis para dieléctricos.

Solidos piezoeléctricos

Un material piezoeléctrico convierte energía mecánica (fuerza) a energía eléctrica y viceversa, es decir, se

deforman bajo la acción de fuerzas internas al ser sometidos a un campo eléctrico. El efecto piezoeléctrico es

un fenómeno que ocurre en determinados cristales y normalmente es reversible: al dejar de someter los cristales

a un voltaje exterior o campo eléctrico, recuperan su forma, figura 4.56.

Los materiales piezoeléctricos son cristales naturales o sintéticos que carecen de centro de simetría. Una

compresión o un cizallamiento provocan disociación de los centros de gravedad de las cargas eléctricas, tanto

positivas como negativas. Como consecuencia, en la masa aparecen dipolos elementales y, por influencia, en las

superficies enfrentadas surgen cargas de signo opuesto. La célula unitaria de cuarzo (Si–O2) está compuesta por

6 átomos de oxígeno, con dos cargas negativas cada uno, y 3 de silicio con cuatro cargas positivas cada uno.

Muchas sustancias cristalinas poseen propiedades piezoeléctricas, pero solamente algunas se usan a escala

industrial; entre éstas, el cuarzo, la Sal de Rochelle (KNaC4H4O6·4H2O), el titanato de bario, el dihidrógeno fosfato

de amonio (NH4H2PO4), etc.

Figura 4.45 Efecto de un sensor piezoeléctrico.

De los cristales piezoeléctricos se cortan láminas que se usan fundamentalmente como patrones (o

controles) de frecuencia, o como transductores. Estas láminas, se cortan siguiendo determinadas reglas,

vinculadas a los ejes cristalográficos, se suelen llamar simplemente cristales. Los cristales se usan como patrones

de frecuencia, cuando la frecuencia de resonancia mecánica de los mismos es muy estable (por ejemplo, láminas

convenientemente cortadas de un cristal de cuarzo); estos cristales al vibrar generan una tensión proporcional

a la amplitud de la vibración, y de la misma frecuencia que ésta; y provistos de electrodos convenientes, tienen

las características de un circuito resonante de muy alto Q y alta relación L/C, y se utilizan en circuitos filtros, o

como elementos de realimentación selectiva en circuitos osciladores, entre otras aplicaciones.


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Aplicaciones más comunes de este efecto son: Altavoces de agudos (tweeters: pequeños altavoces), cápsula

(pick-up) de tocadiscos, mecheros eléctricos, encendido electrónico de calefones y estufas a gas, sensores,

transductores ultrasónicos (como los cabezales de los ecógrafos), transductor piezoeléctrico, transformadores

piezoeléctricos, destartradores odontológicos de ultrasonido para remoción del tártaro o "sarro" interdental.

El Pb(Zr1-xTix)O3, también conocido como PZT, es probablemente el más importante material piezoeléctrico.

El PZT es una solución en fase solida el cual tiene una estructura cristalina tipo Perovskita con átomos de Ti y Zr

ocupando aleatoriamente sitios en el centro del poliedro, los átomos de plomo se ubican en las esquinas de la

celda. Bajo condiciones que le confieren una estructura tetragonal o romboedral en los cristales de PZT, cada

cristal tiene un momento dipolar. En la figura 4.57 se presenta el diagrama de fases temperatura composición

(x, y) en el que aparecen las transiciones entre los estados para-, ferro- y antiferroelectrico para el sistema PZT.

Figura 4.46 Estructuras cristalinas por debajo y encima de la temperatura de Curie y diagrama de fases T-

x y del PZT (Tomado de: Jaffe, 1971, 134).

Las propiedades piezoeléctricas son óptimas cerca del x = 0.5, figura 4.58, esta composición es cercana a la

frontera de fases morfotrópica, la cual separa las fases tetragonal y romboédrica, figura 4.59.

Figura 4.47 Propiedades dieléctricas y piezoeléctricas de la solución solida PbTiO3-PbZrO3 (Tomado de:

Jaffe, 1971, p. 183)


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A continuación se muestra de forma esquemática las transiciones entre fases cristalinas del sistema PZT.

Figura 4.48 Una porción del diagrama de fases de la solución sólida PbTiO3 - PbZrO3 (PZT) mostrando los

cambios estructurales a la temperatura de Curie y en el límite de fases morfotrópica (Tomado de: Newnham,

1997, p. 20).

El PZT también presenta diversos ciclos de histéresis eléctrica para cada tipo de sistema cristalino que

presenta, figura 4.49.

Figura 4.49 Ciclos de histéresis de las diversas formas polimórficas del PZT.

4.3.4 Superconductores, teorías y aplicaciones

Los superconductores son un tipo especial de solidos que pueden conducir la corriente eléctrica casi sin

ofrecer resistencia, y, por tanto, sin que se produzca una “pérdida” energética. Es decir, los metales son buenos

conductores, tanto térmicos como eléctricos, pero estos se calientan al conducir un flujo de electrones, efecto

Joule. Esto ocurre porque los átomos del metal vibran y chocan con los electrones conductores de corriente

ofreciendo resistencia a su movimiento y se pierde energía en forma de calor. Sin embargo, ¿qué pasaría si se

disminuye la temperatura y se disminuye al movimiento vibracional de los átomos?

El primer estudios sistemático de la dependencia de la resistencia eléctrica con la temperatura fue realizada

por Cailletet, Bouty y Wroblewski en 1885. Su investigación les permitió esperar que a muy bajas temperaturas

(−273°C) un valor de resistencia eléctrica cercano a cero. Posteriormente, de 1892 a 1896, Dewar y Fleming


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reportaron la medición de resistencia eléctrica de varios metales, no metales y aleaciones a temperaturas

cercanas a la del aire liquido (aprox. -196 °C), ellos, de sus estudios con mercurio, indicaron que la resistencia

del mercurio podría desaparecer a 0 K (-273 °C), véase Gavroglu (2002, p. 750).

En su intento por llegar a realizar las mediciones de resistividad eléctrica a muy baja temperatura, en 1908

H. Kammerlingh Onnes licuo por primera vez el helio llegando así a temperatura de 4 K. Posteriormente, en 1911

Onnes observó que si el mercurio se enfría cerca de los 4 K (-269 °C) perdía casi toda su resistencia eléctrica,

0.0001 veces el valor de resistencia del mercurio solido a 0◦°C, figura 4.61, fenómeno que en 1913 se le llamo

por primera vez superconductividad. Este descubrimiento fue seguido por la observación de otros metales que

exhiben resistividad cero por debajo de una cierta temperatura denominada temperatura crítica. Es decir, al

disminuir la temperatura, la resistencia eléctrica de los metales también disminuye, sin embargo, a una

temperaturas (temperatura critica, Tc) en torno a los 0 K, algunos metales no presentan resistencia eléctrica, es

decir, se convierten en superconductores.

a

)

b

)

Figura 4.50 a) la resistencia eléctrica del mercurio desaparecía bruscamente al enfriarse a cierta

temperatura crítica y b) no permitir el ingreso de líneas de fuerza magnética al interior del sólido (efecto

Meissner).

Con el paso del tiempo, se ha encontrado que los superconductores pueden ser tanto los metales o algunas

aleaciones, si se enfrían lo suficiente, e incluso, compuestos de carbono.

En los metales, la resistividad eléctrica aumenta a medida que la temperatura aumenta acorde con la

ecuación 4.13.

𝜌 = 𝜌0(1 + 𝛼𝑅(𝑇 − 𝑇0)) (4.13)

Donde R es el coeficiente de resistividad térmica y se observaría a bajas temperaturas un comportamiento

lineal, sin embargo, muchas sustancias solidas presentan un brusco decremento en su resistividad eléctrica. En

la figura 4.51 se presenta comportamiento eléctrico que presenta un conductor eléctrico y un superconductor.


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Figura 4.51 Resistencia en función de la temperatura para un conductor eléctrico y un superconductor.

Asimismo, los superconductores generan una supercorriente en la cual no hay efecto Joule, es decir,

perdida de energía en forma de calor, permitiendo con ello una generación de campos magnéticos de gran

intensidad. Sin embargo hay una cantidad límite de eléctrica por unidad de área denominada corriente crítica,

denominada comúnmente como densidad de corriente crítica, Jc, que en otras palabas se puede decir que a

corrientes eléctricas mayores que la corriente crítica, el supercoductor pierde esa propiedad y comienza a disipar

energía. Por ejemplo, para un conductor normal (P. ej. Cobre) se obtienen valores de 10-13 m, en tanto para

un superconductor se tienen valores de 10-23 m indicando una nula o casi nula resistencia al flujo de

electrones. Además, los superconductores expulsan o no permiten el flujo de las líneas de fuerza de un campo

magnético en su interior, descubierto por W. Meissner y R. Ochsenfeld en 1933, es decir son diamagnetos

perfectos. Estas dos propiedades, conductor perfecto y un diagmagneto perfecto, denominado efecto Meissner

o Meissner-Ochsenfeld, son independientes y caracterizan al estado superconductor como una nueva fase o

estado de la materia.

Otra característica de un superconductor consiste en que, al aplicar un campo magnético superior a un

valor crítico, Hc, a una muestra superconductora, esta recupera su resistencia eléctrica normal provocando la

desaparición de la superconductividad. Así, el estado superconductivo es definido por tres factores muy

importantes: temperatura crítica (Tc), campo crítico (Hc) y densidad de corriente crítica (Jc), figura 4.63, y cada

uno de estos parámetros depende de los otros dos.


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Figura 4.52 Relación entre temperatura, campo magnético y densidad de corriente en el estado

superconductor.

Se ha encontrado que el campo magnético crítico que destruye la superconductividad obedece a una

relación parabólica dada por la ecuación:

Hc = H0 [1 − (T

Tc)2

] (4.50)

Donde Hc es el campo magnético crítico y Ho es el campo crítico extrapolado al cero absoluto. Así, cada

material puede ser caracterizado por sus valores de Tc y de Ho y, conociendo éstos, se puede utilizar la ecuación

4.95 para encontrar el campo crítico a cualquier temperatura. Actualmente, hay muchas aleaciones metálicas

con las cuales es posible generar campos magnéticos de hasta 45.5 T (Castelvecchi, 2019; Hahn, 2019),

En la tabla 4.3 se muestran diversos sólidos, su temperatura crítica y, en algunos casos, su campo crítico,

así como el tipo de estructura de red que posee. Sorprendentemente, el cobre, la plata y el oro, tres de los

mejores conductores eléctricos, no están dentro de los elementos superconductores*.

Tabla 4.3 Temperaturas y campos magnéticos críticos de algunos metales, aleaciones y compuestos

cerámicos (Datos tomados de: Magaña Solís, 1997 y de Montes, 2014, p. 505)

Metales Tc (K) Hc (T) Estructura cristalina

Comp.

cerámico Tc (K)

Nb 9.15 0.198 Bcc Tl2Ba2Ca2Cu3Ox 122

V 5.3 0.102 Bcc YBa2Cu3O7-x 90

Ta 4.48 0.0830 Bcc Ba1-xKxBiO3-y 30

Mo 0.92 0.0098 Bcc

Sn 3.72 0.0305 Diamante Fullerenos

Al 1.19 0.0099 Fcc Rb3C60 28

In 3.4 0.0293 Fcc K3C60 18

Pb 7.2 0.0803 Cs2RbC60 33

Rb2.7Tl2.2C60 42.5

Comp. intermetálico

Nb3Ge 23.2 38

Nb3Sn 21 24.5

Nb3Al 17.5 32.4

Nb3Ti 9.5 15

V3Si 17.3 2.35

PbMoS 14.4 6.0

Explicación teórica

La pregunta sería ¿Cómo se puede explicar el comportamiento superconductor en algunos sólidos? En 1935

los hermanos Fritz y Heinz London describieron las dos propiedades básicas (resistencia cero y expulsión del

* Véase; http://www.superconductors.org/

http://www.superconductors.org/


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campo magnético) en el marco de la electrodinámica. Lo consiguieron gracias a la enorme intuición de que el

estado superconductor era una función de onda cuántica macroscópica con orden en el espacio de las

velocidades (en física, espacio de momentos). En 1950 V. Ginzburg y L. Landau describieron la

superconductividad utilizando la teoría general de Landau de las transiciones de fase. Landau recibió el Premio

Nobel en 1962. Es una teoría fenomenológica que describe la fase superconductora a través de una

pseudofunción de onda.

Posteriormente, Bardeen, Cooper y Schrieffer desarrollaron una teoría (denominada teoría BCS de sus

iniciales) la cual se pudo desarrollar gracias a dos pistas fundamentales ofrecidas por físicos experimentales a

principios de los años cincuenta:

• El descubrimiento del efecto isotópico en 1950 (que vinculó la superconductividad con la red cristalina)

y

• El descubrimiento de Lars Onsager en 1953 de que los portadores de carga son en realidad parejas de

electrones llamados pares de Cooper (resultado de experimentos sobre la cuantización flujo magnético

que pasa a través de un anillo superconductor).

Con base a eso, la teoría BCS plantea:

1. Existe una interacción atractiva entre los electrones de un metal.

2. Dos electrones, en presencia del resto de los electrones del metal, forman un estado ligado, llamado

pares de Cooper, que son electrones se pueden comportar de manera muy diferente de los electrones

individuales.

3. Un estado coherente de pares de electrones con momento y espín opuesto (obedecen el principio de

exclusión de Pauli) tiene menor energía (del orden de 0.001 eV) que un metal no superconductor que

inhibe la clase de interacciones de colisión que da lugar a la resistividad ordinaria. La función de onda,

sin embargo, no tiene un número de electrones bien definido.

Clasificación de los superconductores.

Los superconductores se pueden clasificar en base a:

• Su comportamiento físico;

Tipo I, llamados también superconductores “suaves” o perfectos, los cuales presentan un cambio

brusco de una fase a otra, o, en otras palabras, si sufre un cambio de fase de primer orden. En estos, la

superconductividad existe sólo por debajo de sus temperaturas críticas y por debajo de una intensidad

de campo magnético crítica.

Tipo II, también conocidos como superconductores “duros” o imperfectos, pasan por un estado mixto

en que conviven ambas fases, dicho de otro modo, si sufre un cambio de fase de segundo orden. Es

decir, presentan campos críticos mucho más altos. Son imperfectos porque el campo realmente penetra

a través de pequeñas canalizaciones, es decir, por la formación de vórtices* magnéticos denominadas

vórtices de Abrikosov, o fluxones†. Esto ocurre por encima de una cierta intensidad de campo crítico Hc1.

* Un vórtice es un flujo turbulento en rotación espiral con trayectorias de corriente cerradas. Un vórtice puede tener flujos

circulares o rotatorios que poseen vorticidad, circulación por unidad de área en un punto del flujo. † Un fluxón es un cuanto de flujo magnético, es decir, son pequeñas regiones no superconductora en la superficie del

superconductor en torno a la cual circula una pequeña corriente eléctrica.


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La densidad de vórtice aumenta al aumentar la intensidad de campo. En un campo crítico más alto Hc2,

la superconductividad se destruye. Los superconductores de tipo II no presentan un efecto Meissner

completo.

Figura 4.53 Vista grafica de un fluxón y la respuesta a un campo magnético externo de un superconductor

de tipo I (en rojo) y uno de tipo II (en azul). (Tomado de Wikipedia, User; Eynar)

• El tipo de material de que están hechos, pudiendo ser elementos puros (como el mercurio o el plomo),

orgánicos (si están en forma de fulerenos o nanotubos, lo cual los podría incluir en cierto modo entre

los elementos puros), cerámicas (entre las que destacan las del grupo YBCO y el diboruro de magnesio)

y aleaciones.

• La teoría que los explica, llamándose convencionales (si son explicados por la teoría BCS) o no

convencionales (en caso contrario).

• Su temperatura crítica, denominados de alta temperatura cuando su temperatura critica sobrepasa

los 30 K. Los materiales con temperaturas críticas en el rango de 120 K, han recibido una gran atención

dado que se puede alcanzar su estado superconductor enfriándolos con nitrógeno líquido, es decir, si

Tc > 77 K.

Algunas aplicaciones de los superconductores son: trenes de levitación magnética (maglev), imanes

superconductores de Resonancia Magnética de Imágenes, aceleradores de partículas, magnetómetros, bloques

de SQUIDs, circuitos digitales, uniones josephson, filtros de ondas electromagnéticas, separador magnético en

industrias de pigmentos, en bobinas (electroimanes) y en posibles transformadores de alto rendimiento, así

como dispositivos de levitación magnética.

Un ejemplo típico es el compuesto YBa2Cu3O7-x, figura 4.64, el cual es un compuesto deficiente en oxígeno

y presenta una estructura tipo Perovskita, celda ortorrómbica, con parámetros de red: a = 3.820 Å, b = 3.887 Å

y c = 11.687 Å con Tc = 93 K por lo que es clasificado como superconductor tipo II.


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Figura 4.54 Estructura cristalina de YBa2Cu3O7 y medición del momento magnético en función de la fuerza

del campo magnético aplicado (izquierda) y de la temperatura (derecha) para una muestra de YBa2Cu3O7

(Tomado de: Howe, 2014, pp. 12 y 41)

Sorprendentemente, en este compuesto superconductor, su comportamiento varía con la diferenciación

del contenido de oxígeno, figura 4.66.

Figura 4.55 Temperatura de transición superconductora, Tc, trazado como una función de la composición

de oxígeno, 7-x, para la muestra de YBa2Cu3O7-x. (Tomado de: Howe, 2014, p.41)

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