propiedades de determinantes y las operaciones de fila y columna.determinante de vandermonde.metodo...

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1. |A t|= |A|

2. |A|=0 Si:

Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las

otras.

3. Un determinante triangular es igual al producto de los

elementos de la diagonal principal.

det ( A )=a11 , a22 ,…….ann

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas

paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de

otra paralela multiplicados previamente por un nº real el

valor del determinante no varía.

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda

multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo

una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados

por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la

suma de dos determinantes.

8. |A·B| =|A|·|B|

OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA O COLUMNA EN UN DETERMINANTE

1.Multiplicar una fila o una columna por un escalar no nulo el determinante queda multiplicado por dicho escalar.

Notación: Si Fi←αFi ,dondeα∈R− {0 }SiCi←αCi ,dondeα∈R− {0 }∴det ( A )=α∗det ( A)

2. Intercambiar de posición dos filas o columnas el determinante queda multiplicado por -1.

Notación: Fi↔Fj ,donde i . j∈N / i≠ j Ci↔Cj ,donde i . j∈N / i≠ j∴det ( A )=−1∗det (A)

3.Sumar a una fila o columna y un múltiplo de otra el valor del determinante no cambia.

Notación:Fi←Fi−αFj ,donde α∈R−{0 } y donde i . j∈N / i≠ j

Ci←Ci−αCj ,donde α∈R−{0 } y donde i . j∈N / i≠ j

∴Serecomienda soloutilizar esta operacion para calcular undeterminante

transformandolo en triangular paraencontrar su valor ,al multiplicar

los elementosde la diagonal principal.

Ejercicio:

Para que valores de λ el determinante es diferente de cero.

1.Usando el método de Sarrus

A=|λ 1 11 λ 11 1 λ|=( λ3−3 λ+2 )=( λ−1 )2 ( λ+2 )

∴ λ∈ R− {−2,1 }

¿|1aa2

a3

1bb2

b3

1cc2

c3

1dd2

d3|¿

f 2 ←f 2−a¿ f 1

f 3 ←f 3−a¿ f 2

f 4 ←f 4−a¿ f 3

|1000

1b−a

b2−abb3−ab2

1c−a

c2−acc3−ac2

1d−a

d2−add3−a d2|

¿| b−a c−a d−ab(b−a) c (c−a) d (d−a)b2(b−a) c2(c−a) d2(d−a)|

¿ (b−a ) (c−a ) (d−a )|1 1 1b d db2 c2 d2| ¿

f 2 ←f 2−b¿ f 1

f 3 ←f 3−b¿ f 2

¿ (b−a ) (c−a ) (d−a )|1 1 10 c−b d−b0 c (c−b ) d (d−b )|

¿ (b−a ) (c−a ) (d−a ) ( c−b ) ¿

Ejemplo 2:

| 1 1 1 ¿||a b c ¿|¿¿

¿¿

=(b−a )(c−a )(c−b )

MÉTODO DEL ACUMULADOREste método consiste en sumar todos los elementos de todas las filas y columnas en una sola, si y solo si los elementos de las demás filas o columnas suman lo mismo.

Ejemplos:

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