Carlos Perales GonzlezMtodos Numricos y Simulacin2 de Grado de Fsica UCOCurso 2012-2013

PROPAGACIN DE UNA ENFERMEDADEN POBLACIONES DINMICAS

(14 Y 44)

NDICE

1.- Anlisis del problema

1.1.- Modelos de propagacion de enfermedades1.2.- Modelos depoblaciones

2.- Metodologa

2.1.- Metodologa del problema del crecimiento poblacional, aplicado a la poblacin mundial2.2.- Metodologa del problema de la propagacin de enfermedades

3.- Cdigos de Matlab

3.1.- Modelos de poblaciones3.2.- Modelos de propagacin de enfermedades

4.- Resultados numricos y anlisis

4.1.- Crecimiento poblacional4.2.- Propagacin de enfermedades

5.- Bibliografa

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1.- Anlisis del problema

En la teora de propagacin de enfermedades, muchos modelos de los que se utilizan sonsimplificaciones de comunidades de individuos ms o menos grandes, cuyo nico aspectoimportante es la evolucin de la enfermedad a estudiar, sin tener en cuenta otros factores como elcrecimiento. En el trabajo se ha incluido un apartado extra en el que se trata distintos modelos decrecimiento de una poblacin, con el fin de elegir uno de ellos para nuestro problema, en funcin decaractersticas que discutiremos en dicho apartado.

1.1.- Modelos de propagacin de enfermedades

La idea principal de este trabajo es estudiar distintos modelos de propagacin de unaenfermedad en comunidades estticas y dinmicas. Usaremos dos en particular. El primero de ellosse representar por dos variables: los individuos infectados de una poblacin, que denominaremos"y(t)", y los que no lo estn y por tanto son susceptibles de enfermar, "x(t)". Sabemos entonces que,si todos los individuos tienen la misma probabilidad de infectarse, y existe un lmite de usuariosinfectados. Este lmite es es la poblacin total, a la que designaremos como "m", no siendo unavariable que dependa del tiempo en este primer modelo. Podemos usar un modelo de tipo logstico,que explicaremos en el apartado 1.2 con ms detalle.

dydt=k1 y (my )

Donde k1 es una constante de infeccin. Se denota con subndice, a pesar de ser la nicaconstante del 1er modelo, puesto que se corresponde con la constante de infeccin de nuestro 2omodelo. En nuestro problema, dicha constante la tenemos como valor, pero en otro caso podra serposible hallarla mediante ajuste lineal de datos estadsticos.

La cantidad de individuos susceptibles a enfermar en cada momento se dara como

x (t )=my (t )

El sistema tiende a que todos los individuos se infecten y los individuos sanos desaparezcancuando el tiempo crece indefinidamente. Dicha ecuacin diferencial de primer orden tiene unasolucin analtica. Desarrollando la ecuacin diferencial,

dydt=k1myk1 y

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Se trata de una ecuacin diferencial de Bernouilli. Para resolverla, realizamos el cambio

u(t )= 1y; dydt=1

u2dudt

Sustituyendo, nos queda la siguiente ecuacin diferencial lineal completa:

dudt=k 1mu+k 1

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Cuya solucin es del tipo:

y (t )= 1

Cek1mt+ 1m

Siendo C una constante que se ajusta conociendo un valor de y(t); en nuestro problema devalores iniciales, de y(0).

En el segundo modelo, aadimos una variable ms: z(t). Esta da cuenta de los individuosque, a efectos de la enfermedad, se eliminan de la poblacin total m (m(t) cuando la poblacindependa del tiempo). Esto quiere decir que hay individuos que ya no se tienen en cuenta para eldesarrollo de la enfermedad porque se inmunizan, porque son aislados, porque mueren a causa deesta, etc. En definitiva, que han pertenecido a la poblacin total como parte del grupo y(t) y queahora pueden encontrarse vivos o muertos, pero no pueden infectar ni ser infectados.

En este modelo, suponemos que es la poblacin de individuos saludables x(t) la que decrecea cero exponencialmente, de la forma

x (t )=x (0)e(k1/ k2) z (t )

Siendo x(0) los individuos sanos en t=0, k1 la constante de infeccin que apareca en elmodelo anterior y k2 la constante de recuperacin, relacionada con la velocidad de crecimiento delgrupo de poblacin z(t) y que por tanto aparece en la ecuacin diferencial de esta. Aunquellamemos a esta constante de "recuperacin", esto no significa que los individuos z(t) estn sanados;simplemente, como hemos comentado anteriormente, no se computan como infectados, pero puedenestar aislados en cuarentena o muertos.

La variacin de z(t) depende de los individuos del grupo y(t) que halla. La ecuacindiferencial mediante la cual se determina z(t) parte de considerar que la suma de todos losindividuos grupos x(t), y(t), z(t) resultan el conjunto total m.

m=x (t )+ y (t )+z (t )Adems, el crecimiento de la poblacin z(t) depende de la cantidad de infectados y(t) que

haya, mediante la constante de recuperacin anterior. De esta forma, la ecuacin diferencial queda:

dzdt=k 2 y=k 2(mzx)=k 2(mzx (0)e

(k1 /k 2) z)

Esta es la ecuacin que rige nuestro 2 modelo. A diferencia del primero, este no se puederesolver analticamente. Por lo que no podemos comprobar los resultados numricos con los valoresreales; pero si la aproximacin numrica en el otro modelo resulta bastante acertada con el nmerode intervalos tomado, podramos suponer que en este los resultados numricos obtenidos tambinson fiables

Una vez que y(t) alcance aproximadamente el valor m, el crecimiento de la poblacin z(t)ser a ritmo constante. Este modelo sirve para periodos de tiempo cortos, pues vemos que elgrupo de poblacin z(t) puede crecer indefinidamente, al no existir una limitacin a su crecimiento.

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Una correccin de este modelo sera convertir la ecuacin diferenicial de z(t) en una funcinlogstica, imponiendo como lmite m(t). La ecuacin quedara:

dzdt=k 2 y (my )=k 2 (mzx (0)e

(k 1/ k2) z)(z+x (0)e(k 1/ k2 )z)

El modelo, obviamente, se complicara, y esta modificacin tampoco admitira solucinanaltica. Como el problema tratar de periodos de tiempo de un mes, en el cual z(t) no alcanza untamao considerable con respecto a m(t), no realizaremos esta correccin sobre el modelo.

Cuando el tamao de la poblacin vara (m(t) es una funcin dependiente del tiempo), como loselementos de la poblacin que crecen son los susceptibles a enfermar y no los infectados ni losrecuperados, hay que realizar la siguiente modificacin:

x (t )=(my (0))e(k1/ k2)z (t )

dzdt=k 2(mz(my (0))e

(k 1/ k2) z)

y=mz(m y (0))e(k1 / k2) z

Estas sern las ecuaciones con las que elaboraremos el tercer modelo para nuestro problema.

1.2.- Modelos de poblaciones

A continuacin, vamos a estudiar tres tipos de modelos: uno con crecimiento fijo, otro concrecimiento variable siguiendo el coeficiente de crecimiento una ecuacin de una recta, y unmodelo logstico.

En el primero, se trata de un crecimiento exponencial, en el cual la varicin de la poblacin esproporcional a esta, mediante una constante de proporcionalidad . Expresada en tanto por ciento,la ecuacin diferencial de la poblacin queda:

dPdt

= 100

P

Sirve para intervalos muy pequeos; para el crecimiento mundial, del orden de 1 decena deaos o menos. Examinando datos tabulados obtenidos [1], es fcil observar que la tasa decrecimiento de la poblacin mundial vara considerablemente cuando elegimos ms de 5-10 aosseguidos. Parece lgico pensar que este modelo no nos servir para nuestro problema, pero a pesarde ello lo ejecutaremos y graficaremos, con el objetivo de comprobar si esto es cierto o no.

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Ao Poblacin Tasa de crecimiento interanual(%)1990 5,287,166,778 1.5691991 5,370,142,696 1.5811992 5,455,057,523 1.5131993 5,537,583,721 1.4621994 5,618,516,091 1.4421995 5,699,516,291 1.4111996 5,779,912,412 1.3611997 5,858,582,659 1.3221998 5,936,039,484 1.2991999 6,013,121,531 1.2752000 6,089,810,661 1.2612001 6,166,582,980 1.2452002 6,243,351,444 1.2252003 6,319,822,330 1.2172004 6,396,726,866 1.2012005 6,473,525,274 1.2012006 6,551,256,997 1.1972007 6,629,668,134 1.1852008 6,708,196,774 1.1662009 6,786,381,274 1.140

En el 2 modelo, se predice que el crecimiento decrecer linealmente, desde un 1 hasta un2, entre un tiempo t1 y t2. En este caso, la dependencia de (t) con el tiempo es directamenteproporcional. Su ecuacin ser:

(t )=1+(21)(t2t1)

(tt1)

Aunque se puede extender su uso ms all del rea de trabajo del 1er modelo, la dificultadasociada a este es que hemos propuesto que la tasa de crecimiento varie linealmente sabiendo la tasade crecimiento entre dos tiempos dados. No es, por tanto, un modelo para usar en periodos muyamplios de tiempo. De hecho, el tiempo idneo para trabajar con este modelo es en el periodo t2 - t1.Esto es porque hemos propuesto que el crecimiento sigue esa recta, predicha hasta ese ao. Siextendisemos este modelo a periodos de tiempo mayores, podra ocurrir dos cosas, dependiendo desu pendiente. Si la pendiente es negativa, veremos que, en algn momento, la poblacin alcanzarasu mximo, como demostraremos en los apartados siguientes, para despus decrecer cada vez ms

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rpidamente hasta extinguirse, cosa que sabemos que no ocurre con las poblaciones reales. Si lapendiente es positiva, la poblacin crecera ms rpidamente cada vez, sin lmite ninguno. Adems,deberamos conocer dos puntos de esa recta, por lo que debemos usar datos estadsticos o realizarun estudio ms profundo sobre la poblacin y sus caractersticas.

Por ltimo, recurrimos al modelo de poblacin ms conocido: el logstico. Surge como unrefinamiento del de crecimiento exponencial. En este, la variacin de una poblacin con respectodel tiempo es igual a la poblacin que haya, por una constante positiva si crece hacia el infinito, onegativa si decrece hasta 0. Esto quiere decir que, cuanto ms poblacin haya, ms rpido crecer odecrecer, pues ms individuos participarn en el proceso de crecimiento o decrecimiento.

El problema del crecimiento exponencial positivo es que no hay ningun impedimentomatemtico para que se siga desarrollando la poblacin; no existe un "tope". Lo que se quieresealar es que, para periodos de tiempo muy grandes, segn el modelo la poblacin crecerininterrumpidamente, tendiendo al infinito cuando el tiempo tambin lo haga. Esto no tiene ningnsentido real, pues una poblacin no puede crecer indefinidamente al verse limitada por el alimentodel que dispone, el espacio y los depredadores que la acechan, entre otros parmetros.

No ocurre as si la constante del crecimiento exponencial es negativa; en ese caso, lapoblacin cuando el tiempo tiende hacia infinito es 0. Aqu, poblacin no decrece indefinidamentehacia valores negativos, sino que existe un lmite con sentido fsico: la extincin de esa poblacin.El modelo de tipo exponencial negativo lo hemos utilizado en el caso del x(t) (las personassusceptibles de infectarse) en nuestro segundo modelo de infeccin, puesto que estamosconsiderando que no se toman medidas contra la enfermedad antes de que un individuo se infecte y,por tanto, cada individuo finalmente se infectar. Como hemos dicho, cuando se infecta, puedepasar a formar parte del colectivo z(t), dentro del cual se engloban las personas que son aisladas,tratadas, que estn inmunizadas o que han muerto a causa de la enfermedad.

Sin embargo, existe una forma de modelizar el hecho de que la velocidad de crecimiento deuna poblacin dependa de la cantidad de individuos por la que est compuesta y, al mismo tiempo,que exista un lmite mximo al cual pueda tender esa poblacin al existir una cantidad finita derecursos: a esto se le llama el modelo logstico. La ecuacin que uitiliza en la que se basa este fuepublicada por Pierr Franois Verhulst en 1838, y tiene gran aplicacin no solo en la propagacin deenfermedades, sino tambin en las poblaciones biolgicas y difusin de noticias a travs de lasredes sociales.

La ecuacin que nosotros utilizaremos ser del tipo:

dPdt

= 100

P (PmaxP )=' P (PmaxP)

Donde el lmite para la poblacin ser Pmx.

2.- Metodologa

Una vez espuesto los distintos modelos, explicaremos un poco los valores con los quesimularemos los distintos modelos y la justificacin de estos. Pero para tratar el problema de ladifusin de la enfermedad, antes probaremos los distintos modelos poblacionales, con el fin de

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justificar la eleccin del modelo logstico.

2.1.- Metodologa del problema del crecimiento poblacional, aplicado a la poblacinmundial

Se prueban los distintos modelos de poblaciones. Los datos que tenemos son parapoblaciones mundiales, as que los parmetros con los que operaremos son:

a = 2000, tiempo inicial en aosb = 2050, tiempo final en aosn = 500, nmero de intervalos a tomar, siendo el tamao del paso entre cada punto calculado

h = 0.1P0 = 6000, habitantes en millones de habitantes = 1.25, tasa de crecimiento para el 1er modelo1 = 1.25, tasa de crecimiento inicial para el 2 modelo2 = 0.45, tasa de crecimiento final para el 2 modelo' = 510-6, tasa de crecimiento para el 3er modeloPmax = 10000, poblacin mxima en millones de habitantes

Para los 3 modelos, utilizaremos el mtodo de Runge-Kutta de orden 4, por ser bastantepreciso y tratarse de una sola ecuacin diferencial cada vez. Destaca el hecho de que para laresolucin de problemas logsticos se necesita ese valor tan pequeo de ' para que el sistemaconverja, pues se ha observado que para valores mayores como 0,0004 o 0,004 el mtodo deRunge-Kutta presentaba problemas de estabilidad. Tambin lo hace si, para cualquiera de losmodelos usados, el tamao del paso entre un nodo y otro es menor de 0,1. Por esto, el nmero deintervalos que hay que tomar es:

nbah

Tambin estudiaremos para qu fecha, con los valores que hemos impuesto, la poblacinsegn el 2 modelo es mxima y empieza a decrecer. Para el momento en el que esto ocurre, ese esel valor mximo de tiempo mximo hasta al cual podramos extrapolar nuestro modelo. Una vezque ejecutemos todos estos datos, veremos que el mejor modelo para representar la variacin de lapoblacin total de nuestro problema de propagacin de enfermedades es el logstico, puesto que,adems de ser bastante usado en el mbito de la biologa, es eficaz a largo plazo y no es preciso unestudio profundo sobre la poblacin a tratar.

2.2.- Metodologa del problema de la propagacin de enfermedades

Primero, probaremos los dos modelos de propagacin para una poblacin esttica m, ycompararemos en el primero de ellos la solucin aproximada con la exacta, pues hemos demostradoen el apartado anterior que su ecuacin diferencial corresponde a un a ecuacin de Bernouilli cuyoresultado podemos obtener analticamente. Los parmetros, para los dos modelos, son:

a = 0, tiempo inicial en dasb = 30, tiempo final en dasn = 300, nmero de intervalos a tomar, siendo el tamao del paso h = 0.1

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k1 = 210-6, constante de infeccink2 = 10-4, constante de desapariciny0 = 103, individuos infectados inicialesx0 = 9,9104, individuos susceptibles de enfermar inicialesm = 105, individuos totales de la poblacin esttica, que son los mismos que los de la

poblacin total inicial del 3er modelommax = 1.5105 , poblacin mxima para el 3er modelo' = 410-7, tasa de crecimiento para el 3er modelo

Para el primer caso, la solucin exacta del modelo es

y (t )= 19,9 104e0,2 t+105

Para una poblacin total variable, usaremos la siguiente ecuacin diferencial:

dmdt

=4 106m(1.5 105m)

Junto con la ecuacin diferencial del 3er modelo:

dzdt=104(mz(m103)e0,2 z)

La tasa de crecimiento en la ecuacin diferencial de m(t) es un orden de magnitud menorque en el usado para el crecimiento de poblaciones con el fin de que se aprecie el efecto delcrecimiento en el posterior anlisis de los datos.

3.- Cdigos de Matlab

3.1.- Modelos de poblaciones

El cdigo a usar es

% POBLACIONES DINMICAS% ------------------------------------------------------------------------% 1) Si la poblacin sigue una ecuacin de crecimiento variable como en una% rectaf=inline('(1.25+(0.45-1.25)./(2050-2000).*(t-2000)).*P./100','t','P');% 2) Si la poblacin tiene un crecimiento fijo de 1.25%g=inline('1.25.*P./100','t','P');% 3) Si la poblacin sigue un modelo logsticoh=inline('P.*(10000-P)*5.e-06','t','P'); % Parmetros de Runge-Kuttaa=2000;b=2050;P0=6000; % En millones de habitantesn=500;[t1,P1]=rungekutta(f,a,b,P0,n);[t2,P2]=rungekutta(g,a,b,P0,n);[t3,P3]=rungekutta(h,a,b,P0,n);

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figure(1);plot(t1,P1,'-',t2,P2,'-',t3,P3,'-');legend('Crecimiento variable','Crecimiento constante','Modelo logstico'); % Veremos en qu ao el valor de la poblacin en el 2 modelo se hace% mximo. Para ello, ejecutaremos aqu cdigo de Runge-Kutta de% orden 4 un bucle 'if' que compare los dos valores anteriores, y concluya% si el valor que se calcul anteriormente es el valor mximo o no % Runge-Kutta para el 2 modelo% Aadimos un valor alto del parmetro b, que nos asegure que el mximo% est entre 'a' y 'b', y tomamos n de forma que h=0.1b=2400;n=4000;% Tomamos un tamao de paso equidistanteh=(b-a)/n;% Hallamos el numero de columnas que tendr nuestra matriz finalm=length(P0);% Se crea el vector 't' y la matriz 'y', que se rellenan con cerost=zeros(n+1,1);y=zeros(n+1,m);% Se aaden a 't' e 'y' los valores inicialesy(1,:)=P0;t(1)=a;% Ejecutamos el bucle, en el que se aplica el mtodofor i=1:n k1=f(t(i),y(i,:)); k2=f(t(i)+h/2,y(i,:)+h/2*k1); k3=f(t(i)+h/2,y(i,:)+h/2*k2); k4=f(t(i)+h,y(i,:)+h*k3); y(i+1,:)=y(i,:)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); t(i+1)=t(i)+h; % Aadimos el bucle, que se ejecutar a partir del tercer punto calculado if i>=2 if y(i-1)y(i+1) fprintf('La poblacin mxima para el 2 modelo se alcanza para t = %d, y es de P = %d\n',round(t(i)),round(y(i,:))); end endend% Dibujamos la grficafigure(2);plot(t,y,'-');legend('Modelo 2, mximo')

Como vemos, ya est comentado y no es necesario hacer aclaraciones fuera del cdigo.

3.2.- Modelos de propagacin de enfermedades

Al igual que ocurre con el de poblaciones, este cdigo aparece ya comentado

% PROPAGACIN DE UNA ENFERMEDAD% En nuestro programa, contaremos con tres modelos.% ------------------------------------------------------------------------% 1) Calculamos la variacin de los individuos sanos "x" y los% infectados "y" suponiendo que la poblacin total no vara y los infectados% no sanan% Poblacin total "m" = 1.e0+5% Poblacin inicial infectada "y0" = 1.e+03

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% Constante de proporcionalidad de transmisin "k1" = 2.e-06 y0=1.e+03;f=inline('2.e-06*y.*(1.e+05-y)','t','y');a=0;b=30;n=300; % Para asegurarnos de que h=

legend('Poblacin inmunizada o muerta');title('Modelo 2) Poblacin inmunizada o muerta');display('Para el segundo modelo del trabajo 14:');fprintf('El nmero final de contagiados es %i, el sanos es %i, y el de inmunizados o muertos es %i\n\n',round(y3(300)),round(x3(300)),round(z(300))); %-------------------------------------------------------------------------% 3) Calculamos la variacin de los individuos sanos "x", los infectados% "y" y los que estuvieron infectados pero ya no "z" (por inmunizacin o% muerte) suponiendo que la poblacin total vara segn el modelo logstico% Poblacin total inicial "m0" = 1.e+05% Poblacin total mxima "mmax" = 1.5e+05% Poblacin inicial infectada "y0" = 1.e+03% Poblacin inicial sana "x0" = 9.9e+04% Constante de proporcionalidad de evolucin de poblacin "d" = 4.e-03% Constante de proporcionalidad de transmisin "k1" = 2.e-06% Constante de proporcionalidad de recuperacin "k2" = 1.e-04% Definiremos el vector "u" como el vector fila de las derivadas de "m" y "z" h=@(t,u)([4.e-07*u(1).*(15.e+04-u(1)),1.e-04*(u(1)-u(2)-(u(1)-1000)*exp(-2.e-02.*u(2)))]);a=0;b=30;n=300;[t4,U]=rungekutta(h,a,b,[1.e+05,0],n);x4=(U(:,1)-1000).*exp(-(k1/k2).*U(:,2));y4=U(:,1)-U(:,2)-x4;figure(5);plot(t4,x4,'-',t4,y4,'-',t4,U(:,1),'-');legend('Poblacin no infectada','Poblacin infectada','Poblacin total');title('Modelo 3) Propagacin de la infeccin');figure(6);plot(t4,U(:,2),'-');legend('Poblacin inmunizada o muerta');title('Modelo 3) Poblacin inmunizada o muerta');display('Para el tercer modelo del trabajo 14:');fprintf('Con una poblacin inicial de %i y final de %i, el nmero final de contagiados es %i, el de sanos es %i,\ny el de inmunizados o muertos es %i\n',round(U(1,1)),round(U(300,1)),round(y4(300)),round(x4(300)),round(U(300,2))); % Comparacin del crecimiento de z(t) en el modelo 2 y 3figure(7);plot(t3,z,'-',t4,U(:,2),'-');title('Comparacin de la poblacin inmunizada o muerta');legend('Modelo 2)','Modelo 3)');

4.- Resultados numricos y anlisis

A continuacin, expondremos los datos que hemos obtenido y realizaremos un anlisis deestos.

4.1.- Crecimiento poblacional

Como vemos en la tabla de datos anteriormente expuesta para el 1er modelo, el valor de1,25% es adecuado para el rango de fechas de 1998 hasta 2006, pero no ms all. Por tanto, para

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nuestra prediccin a 50 aos, no resulta tan correcto como el 2 y 3er modelo.

Apoyndonos en la grfica de los tres modelos para el mismo intervalo de tiempo, podemosexplicar por qu hemos usado el logstico en lugar de los otros dos para nuestro problema depropagacin de enfermedades

El 1er modelo queda descartado, puesto que se trata de un crecimiento exponencial, solovlido para periodos cortos de tiempo, y que crece indefinidamente. Al principio es parecido al del2 modelo, pero luego vemos que se distanta y crece mucho ms rpidamente, llegando al final delao 2050 a sobrepasar en ms de 1000 habitantes al 2 y 3er modelo.

Entre el 2 y 3er modelo, elegimos el logstico, debido a que el segundo presenta un mximoy posteriormente decrece hasta que la poblacin se extingue, como vemos en la siguiente grfica.En nuestro problema de propagacin de enfermedades, la comunidad total m(t) que estudiamos notiene por qu desaparecer, sea a causa de la infeccin o por otras causas.

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El mximo se alcanza en el ao 2078, cuando la poblacin mundial es de 9777 millones dehabitantes. Adems, para aplicarlo a nuestro problema, necesitaramos realizar un estudio a fondode la poblacin sobre la cul estamos estudiando la difusin de la infeccin y, por tanto, nuestromodelo no valdra para cualquier poblacin, sino para unas muy especficas.

No ocurre as con el modelo logstico que, al tener la pendiente configurada por la cantidadmxima de invididuos que el entorno es capaz de albergar, es ms general. En conclusin, elegimospara nuestro modelo de propagacin de enfermedades una poblacin que se rija por una ecuacindiferencial de tipo logstico.

4.2.- Propagacin de enfermedades

Para el modelo ms simple de poblacin, vemos que la solucin aproximada por el mtodode Runge-Kutta de orden 4 es tan parecida a la exacta, calculada sabiendo que se trata de unaecuacin diferencial de Bernouilli, que ha sido necesario graficarlas por separado para compararlas,pues se dibujaban una encima de la otra.

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Como vemos, de ocupar una misma grfica, las lneas se superpondran, y no podramosdiscernir si realmente hemos graficado cuatro lneas o solo dos. De hecho, el nmero de infectadosa los 30 das que se logra con la solucin aproximada es, redondeado a las unidades, igual que el de

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la solucin exacta. El mtodo de Runge-Kutta de orden 4 es suficientemente exacto a la hora detratar con diferenciales que derivan en exponenciales, siempre y cuando tomemos como tamao depaso 0.1 .

A la hora de discernir entre el 1er y 2 modelo, la solucin no es tan sencilla como graficarlos dos resultados y comprar.

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Como vemos, ni comparando las grficas ni graficando unos resultados encima de los otroses posible apreciar la diferencia. Esta diferencia no es otra que el nmero de individuos del grupoz(t), salvo errores de redondeo cometidos al usar distintas ecuaciones diferenciales. Graficando laevolucin de este, nos damos cuenta de que los valores que adopta son bajos, en comparacin con lapoblacin total. Por esto, la aproximacin exponencial para z(t) es correcta. Graficamos aparte laevolucin del grupo de los z(t)

Mientras que el valor de infectados pasados un mes en el modelo 1 es 79977, para elsegundo es 79847, y el nmero de individuos "recuperados" z(t) es 80. Este valor de orden 10,mientras que el del nmero de infecados es de 104, por lo que en la grfica de los infectados y lossusceptibles de enfermar esta variacin es imperceptible. El 2 modelo (y por extensin, el tercero)son tiles, por tanto, para predecir la evolucin de la gente que se inmuniza de la enfermedad omuere a causa de esta, y no son prcticos para estudiar la poblacin infectada, pues sucomportamiento es muy similar al del 1er modelo, que es ms simple.

Por ltimo, nuestro modelo de difusin de la enfermedad, estimado para una poblacininicial de 100000 final de 138485, concluye con un total de 129332 infectados y 136 individuoscategorizados dentro del grupo z(t). Como vemos en la grfica, el crecimiento moderado de lapoblacin total permite al grupo x(t) predominar en la poblacin ms tiempo que en los demsmodelos. Sin embargo, a partir del dcimo da, el crecimiento se estabiliza, y gana peso lainfeccin, que iguala en nmero a los individuos susceptibles de enfermar en torno al vigsimo da.

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En el grfico de los individuos "recuperados", vemos que sigue un crecimiento exponencialpero que, como supusimos, el valor que alcanza es pequeo comparado con el total de la poblacin,al igual que en el segundo modelo. Esto nos permite usar la aproximacin que vimos en el primerapartado de este trabajo.

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Comparando con el 2 modelo:

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Evidentemente, el crecimiento de la poblacin z(t) en el 3er modelo es mayor que en el 2,puesto que la poblacin de infectados y(t) es mayor que en este. Aparte de esto, no existe ningunaotra diferencia en el desarrollo de este grupo de la poblacin; el crecimiento de este grupo no sufrevariaciones en el modo de crecimiento originadas por el crecimiento de la poblacin total. Es decir,que en el inico, cuando el crecimiento de la poblacin total es mayor, no se aprecian diferencias.Una muestra de ello es que, hasta los 10 das, el desarrollo de la poblacin z(t) es el mismo en losdos modelos. Podemos decir que la utilizacin de un modelo de crecimiento de poblacin variablepara el estudio de la propagacin de la enfermedad, dentro del plazo que hemos estudiado, no tieneninguna influencia. Si queremos estudiar la poblacin de infectados, escogeremos el 1er modelo; siqueremos estudiar la poblacin de "recuperados", elegiremos el 2 modelo.

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5.- Bibliografa

[1] United States Census Bureau, http://www.census.gov/population/international/data/worldpop/table_population.php, visitado el 30/5/2013[2] Funcin logstica, Wikipedia http://es.wikipedia.org/wiki/Funcin_logstica, visitado el 8/6/2013[2] D.N. Burghes, M.S. Borrie. Modelling with Differential Equations

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