projecte final de carrera. salvador serra, moisès morató

Desembre 1999

PROJECTE FINAL DE CARRERA

Estudi i simulació del nucli d’un conductivímetre.

Autors

Moisès Morató Güell Salvador Serra Abellán

Projecte final de carrera

Capítol 1 Presentació del Projecte

1.1 Proposta i objectius 1.2 Fases del projecte 1.3 Contingut


1. INTRODUCCIÓ 1.1 PROPOSTA I OBJECTIUS

El present projecte va sorgir com a proposta del Departament de Màquines i Motors

Tèrmics de l’U.P.C., davant el seu dubte sobre el funcionament correcte del

Conductivímetre instal·lat en l’Escola Tècnica Superior d’Enginyers Industrials de

Barcelona. L’objectiu inicial era la comprovació de funcionament del conductivímetre per

comparació TCFCM N-20 adquirit, així com la preparació de la instrumentació necessària.

Una primera fase experimental per tal de comprovar el mecanisme funcional del

conductivímetre i familiarització amb els elements que el composen, evidencià que la

precisió obtinguda en les experiències era prou deficient, com alguns experimentadors

havien comprovat amb anterioritat.

Aquest fet va ser el decisiu per tal que el Departament decidís definir clarament l’objectiu

final del projecte, com una avaluació dels paràmetres influents del conductivímetre en

aquest aspecte. De la mateixa manera, s’acordà que seria de profund interés la

investigació, sense modificar els paràmetres principals del conductivímetre, de factors

tant metodològics com instrumentals per tal de millorar la precisió en la mesura de

conductivitats, essent aquesta la funció principal que està definida en un conductivímetre.

1.2 FASES DEL PROJECTE

En una primera fase del projecte, s’analitzen amb profunditat els antecedents, entre els

quals es destaquen el procediment d’obtenció de resultats, arquitectura del

conductivímetre, elements de mesura principals (termoparells) i d’altres factors no menys

importants com el factor humà.

Un cop recapitulades aquestes dades, es van documentar els coneixements amb

assistències a Empreses i Departaments diversos, entre els quals cal destacar les visites

a un proveidor de termoparells (SEDEM) i especialistes en mesures de caràcter físic en el

Laboratori General d’Assaigs i Investigacions pertanyent a la Generalitat de Catalunya.


La segona fase consisteix en l’anàlisi complert del sistema actual i procediment, en el

qual es detecten els elements cabdals que afecten a la determinació de la conductivitat,

amb els quals es passa a atacar mitjançant diverses estratègies la metodologia i pràctica

realitzada fins el moment.

Fig. 1.1 Esquema del procediment de treball en el projecte

FASES DEL PROJECTEFASES DEL PROJECTE

ANTECEDENTS1.- Grans errors en l’obtenció de conductivitats.2.- Manca d’operativa.3.- Acceptació a priori d’hipòtesis simplificatives.4.- Assignació injustificada d’errors.

Peces

Conductivímetre Termopars Procediment

Factor humà

EXPERIMENTACIÓTCFCM N-20 Holometrix

(Planta 7 ETSEIB)

CONSULTES IDOCUMENTACIÓ

-SEDEM-LGAI (Generalitat de

Catalunya)-Dpt. Cibernètica ETSEIB

SIMULACIÓblocs de programes

SIMUL

Mètode IN SITUCreació de metodologia

Anàlisi del sistemaactual

EXPERIMENTACIÓTCFCM N-20 Holometrix

(Planta 7 ETSEIB)

RESULTATS

Desenvolupament denou mètode per amillores

Detecció d’elementsque afecten a la

determinació de laconductivitat

Con

tras

t

correcció

Apl

icac

ió


Amb totes aquestes dades, s’inicia una nova fase d’experimentació, en la qual

s’introdueix l’anomenat Mètode In Situ, que depura els erros sistemàtics que sorgeixen en

els elements de mesura, i per extensió, en el càlcul d’estimació de la conductivitat

tèrmica.

Unaltra estratègia que reforça l’anterior ha estat la simulació numèrica del nucli funcional

del conductivímetre. Aquesta fase ha comportat l’elaboració de diversos programes

informàtics que han donat com a resultat una quantificació de l’error existent en la

determinació de la conductivitat, respecte el model teòric utilitzat fins ara.

Aquesta nova fase serà contrastada amb la fase anterior i serà la determinant per a la

construcció d’una nova metodologia o procediment de treball, proposat a fi i efecte de

millorar la precisió en la mesura, que és l’objectiu principal marcat com a fita en aquest

projecte.

Com a aportació principal d’aquest projecte, cal destacar la definició d’un mètode

experimental a seguir, si es volen eliminar aquells factors que distorsionen el càlcul i per

tant, el valor final estimat per a la conductivitat. Poden ser atractives per amplificar

aquestes millores el canvis en l’instrumentació proposats, de baix cost en relació amb la

inversió inicial del conductivímetre. També es proposen d’altres millores secundàries, de

caràcter mediambiental, i de facilitat de maneig, exposades en el Capítol 11.

1.3 CONTINGUT

En la recerca d’informació per a l’inici de la pròpia investigació, ha estat sorprenent la

quantitat d’informació trobada, elaborada al llarg de molts anys, tant en la recerca de

conductivitats de diferents materials, com en la investigació dels diferents elements que hi

participen en les diferentes màquines, essent la termometria del termoparell la que es

deriva ha estat la més atractiva tant per les seves múltiples aplicacions en el món

tecnològico-industrial com en el camp de laboratori. El ràpid desenvolupament tecnològic

durant les darreres décades han generat un increment en l’esforç per eixamplar els

coneixements de les propietats dels materials. Aquesta afirmació és veritablement certa

per aquelles propietats i valors necessaris per a l’avaluació de la transferència de calor, i


és vital per dissenyar més convenientment els elements que intervenen en la

transferència d’energia calorífica, tals com l’enginyeria nuclear, la investigació espacial i

d’altres àrees de la tecnologia moderna.

A més de la directa aplicació dels valors de les propietats en l’enginyeria computacional i

de disseny, existeix la necessitat dels científics (i de la Ciència) que intenten predir els

valors de les propietats per mecanismes estadístics, i que requereixen d’acurada

informació bàsica per verificar i provar els seus models. La predicció teòrica de les

propietats és de gran importància quan aquesta propietat necessita d’unes condicions on

la mesura n’és del tot impossible.

S’ha cregut oportú, incloure en la Memòria del present Projecte, i per introduir al

consultant al tema essencial en el qual es fonamenta el funcionament del

conductivímetre, uns capítols d’iniciació tant en la teoria de la transferència de calor

(Capítol 2), com dels diferents mètodes i mecanismes dels clàssics conductivímetres

existents (Capítol 3), fent menció especial els que tenen com a fonamentació la

transferència de calor en règim permanent, amb flux longitudinal, i de mesura per

comparació en el Capítol 5. Una breu però alhora interessant introducció a la teoria dels

termoparells en el Capítol 4 fonamenta el coneixement d’aquests elements per aquelles

persones que desconeixien els efectes sobre els quals es fonamenten.

En el Capítol 6 s’elabora una teoria sobre les possibilitats dels aïllaments i les maneres

d’optimitzar-los. Si es passa al Capítol 7 es troben diverses classificacions i tipologies

d’errors que es porten a terme en qualsevol experimentació en general.

Aquests capítols fonamenten el coneixement previ necessari per escometre, en tots els

detalls, els Capítols 8, i 9, on s’explica l’experimentació realitzada i les conclusions que

s’han obtingut, així com una valoració dels paràmetres de disseny que hi juguen en el

càlcul d’estimació de la conductivitat cercada. La simulació numèrica amb la varietat de

lligams entre variables és comentada en el Capítol 10, amb una introducció teòrica a

aquest tipus de simulació.El Capítol 11 i últim de la memòria inclou de manera resumida

les conclusions generals que s'han obtingut, i les propostes que d’aquestes conclusions

es deriven. La nova adquisió de material necessària per ampliar encara més les millores

en l’equip actual és nomenat en aquest Capítol.


Capítol 2 Fonaments teòrics de la transferència de calor

2.1 Concepte de la conducció de calor 2.2 La llei fonamental 2.3 Factors que afecten a la conductivitat tèrmica dels materials


2 FONAMENTS TEÒRICS DE LA TRANSFERÈNCIA DE

CALOR PER CONDUCCIÓ

2.1 CONCEPTE DE LA CONDUCCIÓ DE CALOR

El fenòmen de la conducció en sòlids és comunment interpretat com un simple canvi

intermolecular d’energia cinètica. Així, si les molècules d’un material conductor en el final

d’una vareta són escalfades, aquestes entren ràpidament en moviment i, per comunicació

mitjançant impactes elàstics amb les seves veines de menor energia cinètica, es van

posant successivament en moviment, i així segueix en tota la longitud de la vareta. Una

versió alternativa a aquesta es dibuixa a partir de la derivació de la conducció de calor a

partir del concepte de la direcció o corrent dels electrons; els bons conductors de calor

són també bons conductors del corrent elèctric, i des d’aleshores que la conducció de

l’electricitat és recollida en la teoria del corrent d’electrons lliures, sembla lògic atribuir la

conducció de calor al moviment d’electrons lliures o de valència (Llei de Wiedemann-

Franz). En ambdues teories, el que en transició es refereix com calor, en el procés propi

de transició és conegut com conducció.

Mentres el veritable mecanisme de la conducció de calor no és completament entés d’una

manera estricta (Sch 55), les lleis que governen aquest fenòmen són conegudes

fermament i conseqüents amb la Termodinàmica clàssica, i la llei particular que

caracteritza el fenòmen de la transferència de calor pot ésser establerta directament a

partir de l’evidència experimental.

2.2 LA LLEI FONAMENTAL

Una conseqüència de la segona llei de la Termodinàmica i de l’experiència és la que el

calor es pot intercanviar entre dos sistemes només si els dos sistemes són a diferent

temperatura, i que la direcció d’aquest flux de calor parteix des del sistema d’alta al

sistema de baixa temperatura.

Les condicions fonamentals per a la transferència de calor per conducció en l’interior d’un

sòlid són:


a) que existeixi un gradient de temperatura, i

b) que el flux resultant sigui en la direcció de decreixença de la temperatura.

Si el flux prové en proporció constant, aleshores la primera llei de la termodinàmica ens

diu que aquesta energia calorífica es conserva en tota la llargària del flux.

La llei bàsica que defineix quantitativament la conducció de calor s’atribueix al matemàtic

francès Jean Fourier (1768-1830). Respecte la Fig. 2.1, la forma unidimensional

d’entendre la Llei de Fourier estableix que la quantitat de calor dQ conduïda (o circulant)

en la direcció x d’un sòlid de material homogeni en un temps dt és proporcional al

producte de l’àrea de conducció A (normal al flux que segueix en la direcció x) pel

gradient de temperatura ∂T/∂x existent en un límit determinat. La proporció entre la

quantitat de flux circulant per unitat de temps i aquest producte és una propietat pròpia de

la conducció tèrmica del material coneguda com conductivitat tèrmica λ.

Fig. 2.1 Conducció tèrmica unidireccional

Si l’expressem aritmèticament

(2.1)

xTA

dtdQ

∂∂

−= λ


El signe negatiu és fixat arbitràriament, per tal d’obtenir el flux de calor Q positiu en el

sentit de temperatures decreixents. El tipus de procés mostrat segons l’equació (2.1), on

la temperatura T és funció del temps t i de l’espai x, és conegut com conducció transitòria,

i que contrasta amb el procés anomenat conducció estable, on la temperatura T només

és funció de l’espai. En aquest tipus darrer de conducció, tenim que dQ/dt = Q/t = q,

resultant

(2.2)

L’equació (2.1) definida com a Llei de Fourier, per a un flux transitori en un conductor

lineal, és deriva a partir de l’equació diferencial general establerta per a un volum

tridimensional.

Considerem un paral·lelepípede de material conductor, mostrat a la Fig. 2.2. Tractem el

cas general que el volum V=dxdydz genera un calor intern qT’’’, i que la conductivitat λT

del material no és uniforme, sino que depén de la temperatura. La quantitat total de calor

que travessa el diferencial de superfície dydz a una x vé donat per

(2.3)

Fig. 2.2 Balanç d’energia tèrmica en un volum diferencial

El gradient està expressat com a una derivada parcial, on T és també una funció de y i de

z. Per a determinar la corresponent quantitat de calor que abandona l’element a la posició

dxdTkAq −=

dtx

TdydzdQ xTx

∂

∂−= λ


x+dx, prenem F(x,T)=λT∂Tx/∂x i fem un increment dx a la posició x. Si operem, negligint

els termes a partir del 2on ordre, s’obté

(2.4)

i per tant

(2.5)

i es pot fer l’equació anàloga per a la conducció en les direccions y i z. La quantitat de

calor que incrementa l’energia interna de l’element volumètric vé donat com

(2.6)

i evidentment el calor total generat en el volum es correspon amb

(2.7)

Seguidament, es poden combinar els vuit components ( dos per a cada direcció, el calor

generat i el calor total), ja que s’ha de complir la conservació de l’energia.

(2.8)

que si desenvolupem,

(2.9)

L’equació amb derivades i diferencials més general per a la conducció de calor té la

mateixa forma, però on λT, C, w i qT’’’ són substituides per λ(x,y,z,T), C(x,y,z,T),

w(x,y,z,T) i q’’’(x,y,z,T,t), és a dir, amb la seva dependència espacial, temporal i de

temperatura. Per altra banda, l’equació (2.9) inclou la majoria dels casos de més interés.

Per exemple, si la conductivitat tèrmica del sistema és uniforme, aleshores el camp de

temperatura T(x,y,z,t) satisfarà l’equació general de la conducció de calor

(2.10)

dxxT

xxTdx

xFTxFTdxxF T

xT

∂∂

∂∂

+∂

∂=

∂∂

+=+ λλ),(),(

dtdxxT

xxTdydzdQ T

xTdxx

∂∂

∂∂

+∂

∂−=+ λλ

dttTCwdxdydzdE

∂∂

=

dxdydzdtqVdtqdQ TTg////// ==

dEdQdQdQdQdQdQdQ dzzdyydxxgzyx +++=+++ +++

tTCwq

zT

zyT

yxT

x TTTT ∂∂

=+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂ ///λλλ

tTq

zT

yT

xT T

∂∂

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

αλ1///

2

2

2

2

2

2


on tenim una constant α que agrupa i es coneix amb el nom de difusivitat

tèrmica , una propietat dels materials conductors.

A partir de l’equació (2.10) es poden aplicar dues condicions diferents. Una és la condició

de no-generació de calor interna, qT’’’=0, de manera que la temperatura T(x,y,z,t) ha de

complir l’equació de Fourier

(2.11)

i l’altra condició, a partir de (2.10), és que si bé hi ha generació de calor, però les

temperatures es mantenen estables (constants respecte el temps), aleshores T(x,y,z)

haurà de complir l’equació de Poisson

(2.12)

Si apliquem les dues condicions a la vegada; condició estàtica i no generació de calor, el

camp de Temperatura T(x,y,z) complirà l’equació de Laplace

(2.13)

S’ha tractat en aquest capítol l’equació de Fourier, bàsica en el mecanisme del

conductivímetre per comparació que ens ocupa. La seva determinació per evidència i a

través de les equacions del balanç energètic serveixen per fonamentar l’experimentació

realitzada, i extreure les conclusions que en els Capítols 8 i 9 es mostren. Queda per

conèixer els valors de conductivitats tèrmiques d’alguns materials, així de la seva

dependència versus altres factors més coneguts.

Cwλ

α =

tT

zT

yT

xT

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

α1

2

2

2

2

2

2

0///

2

2

2

2

2

2

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

λTq

zT

yT

xT

02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zT

yT

xT


2.3 FACTORS QUE AFECTEN A LA CONDUCTIVITAT TÈRMICA DELS MATERIALS

La conductivitat tèrmica d’un cos depén de nombrosos factors (Mis 65), entre els que

podem destacar :

A) La composició química i la puresa, essent aquesta determinant pels cristalls

B) La constitució física pels sòlids, en particular:

a) el grau de cristal·lització, així com la grandària dels cristalls,

b) la porositat, la forma i la grandària dels porus, així com la seva orientació,

c) les anisotropies, la direcció del flux pot tenir una gran influència, particularment en

certs sistemes cristal·lins,

d) el corrent tèrmic, és a dir les temperatures prèvies que té el cos i la velocitat de

refredament,

C) La temperatura mitjana

D) La importància del flux de calor

E) La pressió.

En el cas especial dels metalls, des dels primers estudis sobre l’electricitat, era aparent

que els metalls eren tan bons transmissors de calor com tan bons conductors de

l’electricitat. D’aquí vingué la idea natural d’admetre que el ‘transport’ de la calor i de

l’electricitat es portava de la mateixa manera.

La conducció és l’únic mètode de transmissió d’energia tèrmica en les fases sòlides. La

transferència de calor mitjançant la conducció és un fenòmen que s’efectua de mol·lècula

a mol·lècula i s’aconsegueix a través de dos mecanismes.

El primer és la interacció mol·lecular, en el qual les mol·lècules de més energia cedeixen

energia tèrmica a mol·lecules veïnes amb un estat energètic inferior (indicat per la seva

temperatura). Aquest tipus de transferència té lloc en tots els sistemes formats per


mol·lècules, tant sols és necessari que existeixi un gradient de temperatura per que

aquest tipus de transmissió s’efectuï. Evidentment l’estat d’agregació de la matèria serà

un paràmetre que afectarà enormement a la conducció, per tant la facilitat per a conduir el

calor per conducció augmenta en l’ordre de gasos, líquids i sòlids.

El segon mecanisme de transferència de calor per conducció és el degut als electrons

lliures, els quals es presenten principalment en els sòlids metàl.lics purs. La concentració

d’electrons lliures varia considerablement per a les aleacions metàl.liques i és molt baixa

per als no metalls. La facilitat que tenen els sòlids per a conduïr la calor varia directament

amb la concentració d'electrons lliures. En consequència s'hauria d'esperar que els

metalls purs fossin els millors conductors de la calor, fet que està confirmat per

l'experiència.

Per als gasos, els valors de la conductivitat tèrmica mostren un increment amb l'augment

de la temperatura, fet que es deu a l'agitació tèrmica de les mol·lècules gasoses a

temperatures elevades que provoca un major freqüència de col·lisions, augmentant així

l'intercanvi mol.lecular.

Se ha desenvolupat una gran quantitat de treball analític en la predicció de la

conductivitat tèrmica en els gasos monoatòmics. Prenent com a hipòtesis que la

mol.lècula de gas és una esfera rígida, l'equació resultant per a la conductivitat és la

següent :

λπ

=⋅

⋅13

2 2

3

d

k Tm

(2.14)

On d és el diàmetre mol.lecular estimat, k la constant de Boltzmann, T la temperatura

absoluta i m la massa per mol.lècula.

Interacció mol.lecular

Electrons lliures Conducció

total


Aquesta equació prediu la conductivitat tèrmica en funció de la temperatura i independent

de la pressió. La dependència de la temperatura és una mica dèbil comparada amb els

resultats experimentals, no obstant és acceptable fins a una pressió de 10 atmosferes.

A la taula següent es mostra les conductivitats d’alguns sòlids:

Extret de Transferència de calor aplicada a la Ingenieria. James R. Welty.

λ (W/mK)

Material 20 ºC 100 ºC 200 ºC Metalls Alumini 228.45 228.45 230.18 Coure 385.95 379.02 368.64 Or 292.49 294.22 297.68 Ferro 73.21 67.50 54.69 Plom 35.13 33.40 29.77 Magnesi 172.20 167.53 158.19 Niquel 92.94 82.55 63.86 Platí 70.09 72.52 75.29 Plata 588.44 410.18 361.72 Estany 62.31 58.84 Tungsté 162.69 150.57 133.26 Urani 29.25 29.77 33.92 Zinc 112.50 109.03 100.38 Aleacions Alumini 2024 121.50 Llautó (70% Cu 30 % Zn) 106.96 127.9 147.63 Ferro fos 1.12 51.23 46.38 Nicrom V 12.22 13.83 17.20 Acer inoxidable 16.27 17.31 22.50 Acer dolç (1% C) 42.92 42.92 39.63 No metalls Asbest 0.16 0.19 0.22 Argila refrectària 1.12 Llàmina de suro 0.04 Terra diatomàcea (pols) 0.05 Vidre de finestra 0.78 Vidre, Pyrex 1.09 1.16 1.45 Marga arenosa 4% (H2O) 0.93 Llana de roca 0.04 0.06

En els materials sòlids i líquids, a diferència dels gasos , la conductivitat tèrmica és

essencialment independent de la pressió. La conductivitat en metalls purs tenim la


presència d'electrons lliures que augmenten considerablement les capacitats de

conducció de calor com també de la conducció elèctrica. Són molt conegudes les

propietats de conducció elèctrica dels metalls purs, i són les mateixes característiques

físiques que l'originen, les que també són responsables de que aquests materials siguin

millors conductors de la calor.


Capítol 3 Mecanismes de mesura de la conductivitat tèrmica

3.1 Introducció a la mesura de la conductivitat tèrmica 3.1.1 Generalitats 3.1.2 Mètodes d’avaluació del camp de temperatures 3.2 Mesura de conductivitats en sòlids 3.3 Mesures en sòlids de baixa conductivitat 3.3.1 Experimentació en règim permanent 3.3.2 Experimentació en règim transitori 3.4 Mesures en sòlids metàl·lics 3.4.1 Experimentació amb mètodes dinàmics 3.4.2 Experimentació amb mètodes estàtics 3.5 Conclusions


3 MECANISMES DE MESURA DE LA CONDUCTIVITAT TÈRMICA

3.1 INTRODUCCIÓ A LA MESURA DE LA CONDUCTIVITAT TÈRMICA

3.1.1 GENERALITATS

L’estudi de la transferència de calor per conducció està afectat principalment amb la

distribució de temperatura i la seva història en les estructures sòlides. En certs casos, la

determinació del camp de temperatures constitueix la solució per a la determinació de la

transferència de calor. Exemples d’això succeeix en el disseny de bobines elèctriques,

àleps de turbines, i d’altres estructures que han de treballar en les límits de temperatura

permesos. El disseny de sistemes d’altes temperatures com vehicles supersònics ó

reactors nuclears comporta el problema addicional de les altes tensions tèrmiques, i és

aquí unaltra vegada on el còmput d’aquesta tensió tèrmica depèn directament del

coneixement de la distribució de les temperatures existents.En algunes aplicacions, el flux

de calor travessa estructures com parets planes, tubs, així com superfícies canviadores

de calor, i ocasionalment pot ésser necessari el càlcul del domini de temperatures i el

flux. Sempre s’estarà per sobre el coneixement de la temperatura, perque en tots els

casos és la distribució de temperatures qui determina la transferència de calor, i aquesta

és, en general, impossible d’obtenir sense la primera, exceptuant l’experimentació directa.

3.1.2 MÈTODES D’AVALUACIÓ DEL CAMP DE TEMPERATURES

Es disposa essencialment de quatre mètodes per a l’avaluació d’aquests camps de

temperatura: (1) analític, (2) gràfic, (3) numèric, i (4) experimental.

Mètode analític

El mètode analític deriva a una solució matemàtica per a la temperatura com a funció de

les coordenades espai i temps. La solució ha de satisfer les equacions diferencials

característiques de les qual ha derivat, així com també d’unes condicions inicials de

contorn per a cada problema en particular. En quasi tots els casos, es necessària una


simplificació pràctica del sistema que aporta a una aproximació, amb la que la solució

obtinguda en aquestes circumstàncies no és “exacta”.

Mètodes gràfics

Les tècniques gràfiques es basen en les propietats dels dominis de les equacions i dels

principis numèrics, tenint com a principal avantatge el d’obtenir ràpidament una primera

aproximació a la solució.

Mètodes numèrics

El mètode numèric està basat en les diferències finites, i s’ha convertit en una tècnica

computacional d’aproximació. Aquest mètode és preferit per la seva flexibilitat, i acostuma

a dar bones solucions aproximatives al problema, sobretot quan aquest és intractable de

manera analítica. Com el mètode gràfic, tanmateix, per dreçar el sistema numèric és

necessària una possible parametrització.

Mètode experimental

Finalment, el mètode directe d’experimentació se sol reservar per aquells tipus de

problemes que no poden ésser tractats convenientment pels mètodes abans esmentats.

En el cas del conductivímetre, la informació final que es cerca és la de la conductivitat

d’un material, essent necessària la coneixença del flux calorífic sense saber-ne aquesta

conductivitat. Al no disposar d’aquesta dada, s’hauria de trobar el camp de temperatures

de la única manera possible: fent servir el mètode experimental.

La conductivitat tèrmica pot ser mesurada en qualsevol aparell que faciliti les condicions

de contorn requerides en una solució particular de l’equació de la conducció tèrmica de

Fourier.

(3.1)

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=zT

zyT

yxT

xdtdTc zyx λλλρ


Per a un medi isotròpic, l’equació anterior queda

(3.2)

Aquesta equació és aplicada normalment a una geometria uni-direccional i la difusivitat

tèrmica a pot ésser avaluada de la distribució de temperatures T mesurades com a funció

del temps t. La conductivitat tèrmica pot ser determinada a partir de la capacitat tèrmica

cρ.

En el cas uni-dimensional de temperatures en règim permanent, i amb λ ≠ f(T), l’equació

(3.2) es transforma en

(3.3)

o bé (3.4)

per tal de determinar directament la conductivitat tèrmica. Pràcticament totes les mesures

de la conductivitat tèrmica són basades en les equacions anteriors (3.3) i (3.4); en canvi,

les condicions de contorn establertes en varis instruments i les correccions necessàries

difereixen d’un material a unaltre. És per això que s’estudia la determinació per als fluids i

per als sòlids separadament. El cas dels sòlids és la que interessa per al conductivímetre

en qüestió.

3.2 MESURA DE CONDUCTIVITATS EN SÒLIDS

La conductivitat tèrmica dels sòlids varia entre valors tan baixos com la que tenen els

gasos, a valors extremadament elevats. Els valors més elevats s’observen en els metalls,

especialment en aquells que tenen conductivitat elèctrica elevada. Aquest ampli rang fa

entendre que s’hagi de tractar separadament els casos de sòlids de conductivitat elevada

i els de baixa conductivitat. Per a ambdós casos, es podran fer experimentacions tal que

la recopilació de dades i mesures es faci o bé en règim transitori, o bé en règim

permanent. L’evolució de la informàtica i la rapidesa de captació de dades dels sensors

TatT 2∇=

∂∂

constantqperdxdTAq

dxTd

=−=

=

λ

02

2


versus una funció temporal permet actualment operar en un règim transitori sense que els

errors deguts a la temporalitat de les dades afectin a la determinació de la conductivitat.

3.3 MESURES EN SÒLIDS DE BAIXA CONDUCTIVITAT

3.3.1 EXPERIMENTACIÓ EN RÈGIM PERMANENT

L’equació (3.4) és principalment aplicada en fluxes lineals o radials de calor. Per a fluxos

lineals, els aparells usats tenen l’aspecte mostrat a la Fig. 3.1 ; instruments similars, amb

possibilitat de múltiples capes de substàncies són utilitzades. Les capes poden ésser

gruixudes ja que la convecció lliure no afecta. En el cas de líquids i gasos, el contacte

tèrmic amb les plaques escalfadores i refredadores estava assegurat, i l’increment de

temperatura en la “mostra” era la de les plaques, que es mesurava per sensors localitzats

en les superfícies conductores d’aquestes plaques.

Fig.3.1 Mecanisme de mesura de sòlids de baixa conductivitat

Per medis de baixa conductivitat, on la resistència de contacte no és la que més afecta,

s’utilitzen les mateixes tècniques per a mesurar la ∆T. Com més bon conductors siguin

aquests materials (aïllants), serà més important en aquests casos, el bon contacte entre

el material i les superfícies de l’escalfador i el refredador.

Una resistència de contacte baixa i uniforme normalment s’esdevé cada cop més difícil a

mesura que s’incrementa la temperatura i per a materials més conductors. En aquests

casos és avantatjós proveir un pobre, però uniforme contacte mitjançant capes aïllants


entre les superfícies escalfadores i refredadores amb la peça. Això porta a la reducció

dels problemes de contacte tèrmic quan es pertorben els gradients de temperatura.

3.3.2 EXPERIMENTACIÓ EN RÈGIM TRANSITORI

Aquest tipus de proves són comunes per a la determinació de medis porosos. Per a

mesures de petites mostres, hi ha desenvolupat el mètode transitori (anomenat “flash” o

“pulsació de calor”) on una alta intensitat d’energia de curta durada és absorbida en la

superfície d’una mostra fina. La difusivitat tèrmica és determinada per la forma de la

corba de la temperatura versus el temps i l’espai.

Molts dels instruments i mètodes, tant en règims permanents o transitoris, poden ésser

aplicats per a la mesura de la conductivitat dels metalls. Senzillament serà necessari

aplicar alguns condicionants per a aquests casos.

3.4 MESURES EN SÒLIDS METÀL·LICS

Com s’havia avançat anteriorment, la determinació de la conductivitat tèrmica necessita

de la determinació d’un camp de temperatures, per a la determinació de la transferència

de calor. Si coneixem prèviament els valors de conductivitats d’un sistema, podem

emprar un mètode analític, o gràfic, per a sistemes simples. Si el sistema és més

complex, aleshores es pot optar per a una discretització del sistema, i utilitzar els

mètodes numèrics computacionals, per a determinar el camp de temperatures. Si el

sistema és difícil de simular per ordinador, però és factible realitzar un model real,

aleshores es comptarà amb el mètode experimental.

Aquest mètode experimental no necessita de la coneixença del valor de la conductivitat

per a determinar el camp de temperatures, ja que el trobarem realment i el podrem

mesurar, això si, amb un grau d’error degut a les medicions, com s’ha comentat en els

apartats anteriors. Per tant, aquest mètode ha de permetre, per a geometries senzilles,

comparar la distribució de temperatures seguint altres mètodes (per exemple l’analític), i

poder determinar la conductivitat tèrmica que tenim en l’experiment.


Els mètodes utilitzats en la mesura del coeficient de conductivitat tèrmica poden ser

dividits en dos grans grups: estàtics o dinàmics, depenent del règim en que es realitzen

les lectures que serviran per al càlcul de la conductivitat.

Els mètodes estàtics treballen amb la hipòtesis que el règim assolit és estacionari. En

règim estacionari, les equacions implicades en la transferència de calor depenen

únicament de coordenades geomètriques i el temps no intervé com a variable. Els

mètodes estacionaris presenten com a principal avantatge la facilitat en ser mesurats, i

exigeixen menys correccions. El conductivímetre del qual s’ocupa el present estudi

treballa amb aquest mètode estàtic.

3.4.1 EXPERIMENTACIÓ AMB MÈTODES DINÀMICS

En els mètodes dinàmics la temperatura és funció de l’espai i del temps. Per poder

analitzar el comportament d’un sistema dinàmic necessitem l’ajut d’una computadora i

d’un conjunt d’hipòtesis de difícil comparació amb la realitat. Per exemple, la pressió a

que es sotmeten les peces determinen d’una manera molt important la resistència tèrmica

entre les superfícies (convecció-conducció), i cal tenir en compte que la pressió de

contacte entre les peces varia a l’evolucionar la temperatura. La necessitat de la

computadora és deguda a que en un instant t és impossible de mesurar la temperatura de

varis punts, i per tant s’ha de fer d’una manera automàtica en un diferencial de temps

prou petit. Per aquestes i d’altres causes, és extremadament difícil determinar amb

exactitud l’evolució de tots els paràmetres que intervenen en tot el procés. Per tant és poc

recomanable utilitzar mètodes dinàmics per a determinar la conductivitat, ja que el

tractament matemàtic és tant artificiós que la divergència amb la realitat pot ser molt gran.

3.4.2 EXPERIMENTACIÓ AMB MÈTODES ESTÀTICS

S’acudeix, doncs, a solucions estàtiques, que tot i essent més senzilles que les anteriors

donen un millor resultat, ja que la facilitat d’obtenir bones mesures és molt més gran i no

intervé la variable temps.


Els models estàtics també presuposen un seguit d’hipòtesis i solucions simplificades i

generalment són que les línees de flux de calor se suposen rectes i paral·leles i que les

isotermes són plans paral·lels i perpendiculars a les línees de flux. La major part

d’aquests estudis estàtics es basen en la determinació d’aquest flux calorífic que

atravessa una superfície coneguda, medint aquest flux mitjançant calorímetres especials.

Dins aquest grup de mesures estàtiques, trobem dos mètodes diferents segons la manera

de determinar aquest flux calorífic:

A) Mètode de mesura absoluta

B) Mètode per comparació

Mètode de mesura absoluta

Es pren el material a estudiar en forma de placa circular, la qual es disposa sobre una

placa conductora escalfada elèctricament, tot això en un sistema format per dos vasos

cilíndrics plens d’aigua. El got exterior fa el paper d’anell de guarda i impedeix les

pèrdues de calor per la superfície lateral del vas interior. L’aigua continguda en els vasos

es porta a ebullició, la quantitat de calor transmesa per la part de la placa que s’estudia,

en contacte amb la base del vas interior, es determina per la quantitat d’aigua vaporitzada

en aquest vas, la qual és recollida en la proveta després de condensada. (Fig.3.2)

Fig. 3.2 Determinació del flux calorífic amb mètode de mesura absoluta


Un aparell més avançat que es sol utilitzar té l’aspecte de la Fig. 3.3. La mostra es

subjecta dins un contenidor, i està perforada pels seus extrems superior i inferior. Per

l’extrem inferior s’hi acopla un escalfador elèctric, mentre que l’extrem superior és refredat

per aigua circulant freda. Un forn de guarda que envolta la peça, té un escalfament i un

refredament molt similar a la peça, per tal de tenir una distribució de temperatures

semblant. La peça és més aviat llarga, que no pas ample, i té un gradient elevat de

temperatura entre els seus extrems. La distribució de temperatura longitudinalment, és

mesurada per varis termoparells, distanciats de manera coneguda, permetent el càlcul de

la conductivitat tèrmica a diferents temperatures.

Fig. 3.3 Mètode de mesura absoluta amb cilindre de guarda

Alguns mètodes, degut a que els metalls poden escalfar-se directament a partir d’un

corrent elèctric, s’aprofiten d’aquest fenòmen amb instruments basats en l’anomenant

“mètode directe d’escalfament elèctric”.

Per a una geometria cilíndrica, l’equació (3.5) és (3.5)

tTc

xT

AI

rE

xEk

rT

xT

TrT

rrT

xT

∂∂

=∂∂

−

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

ρµλ

λ2222

2

2

2

2 1


on k és la conductivitat elèctrica, E el potencial elèctric, I el corrent elèctric, A la secció de

la mostra, i µ el coeficient Thompson de calor (veure capítol 4).

La influència del calor de Thompson pot ser minúscul si es mesuren petits gradients de

temperatura. Si s’utilitzen mostres primes que permeten menystenir el gradient radial,

aleshores l’equació (3.5) es simplifica a

(3.6)

Si s’assumeix que λ ≠ f(T) aleshores eliminem el segon terme quedant l’equació

(3.7)

Kohlrausch aplicà aquesta equació en una prova amb el condicionant que els extrems de

la mostra són a temperatura constant, i el flux radial de calor és minimitzat per aïllament.

En aquestes circumstàncies, s’obté un perfil axial de temperatures a partir del qual el rati

de les conductivitats tèrmica i elèctrica pot ser avaluat. Coneixent la conductivitat

elèctrica, s’està en condicions de determinar la conductivitat tèrmica.

Negligint pèrdues de calor radials en la mostra, s’obté la primera relació de Kohlrausch

(3.8)

Bode, K.H. (“Eine neue Methode zur Messung der Wärmeleitfähigkeit von Metallen bei

hohen Temperaturen”) provà d’escalfar cables molt prims, els extrems dels quals estaven

a la mateixa temperatura, i generava a la mostra la mateixa quantitat de calor que anava

perdent radialment per radiació les parets d’una cambra de buit termoestàtica. La

distribució de temperatures era uniforme al llarg del cable (només hi havia una distribució

radial de temperatura) , i l’assumpció feta per al calor de Thompson a l’equació (3.6) es

complia. Angell M.F. (“Thermal Conductivity at High Temperatures”) establí una

distribució uniforme de temperatura a la zona central d’una llarguíssima mostra (a

022

2

2

=

∂∂

+

∂∂

∂∂

+∂∂

xEk

xT

TxT λ

λ

02

2

2

=

∂∂

+∂∂

xEk

xT

λ

12

221 )(

21

TTEE

k −−

=λ


temperatures fredes en els seus extrems). La conductivitat tèrmica de les seves mesures

podia ésser avaluada per

(3.9)

on ∆E és la caiguda de potencial observada sobre una longitud L en la zona uniforme de

temperatures i ∆T és la diferència de temperatures radial a la mateixa regió.

Un dels aparells clàssics de mesura directa, correspon al d’escalfament directe.

Els mètodes d’escalfament elèctric directe, on la temperatura es manté pel pas d’un

corrent elèctric a través de la mostra, es feren populars per a la determinació de la

conductivitat a altes temperatures (>1500ºC). Existeixen diferents tècniques i variants

incloses dins la classificació d’escalfament directe, començant pel mètode Kohlraush

utilitzat abans de 1900. En general, els mètodes d’escalfament directe tenen algunes

avantatges (HTD 69) respecte d’altres mètodes:

a) les propietats termofísiques (com la resistivitat elèctrica, emitància hemiesfèrica,

emitància espectral, coeficient Seebeck i calor específica,...) poden ser determinades

simultàniament o successivament en la mateixa mostra

b) els aparells i les tècniques experimentals acostumen a ser més senzilles que altres

mètodes.

Comunment amb d’altres mètodes, s’usen per mesurar conductivitats tèrmiques a

temperatures elevades, i els resultats obtinguts per diferents mètodes d’escalfament

directe acostumen a ser àmpliament diferents. A més, els resultats finals dependran de

l’anàlisis matemàtic i de les suposicions adoptades que s’adoptin; per exemple, la

integració tenint en compte o no de les diferencials de segon ordre en les equacions.

Una comparació dels resultats experimentals obtinguts per un bon nombre

d’investigadors, per a un material en concret, serveix per avaluar els diferents mètodes.

L’aparell experimental va ser dissenyat per a ser flexible. Era necessari per tal de

permetre diferents condicions de contorn i permetre a les diferents geometries de les

TI

LE

∆∆

=π

λ41


mostres la seva mesura. Les mostres en forma de cables, cilindres o tubs són suspeses

verticalment entre dos electrodes. Les proves es realitzen sota el buit per eliminar la

convecció i minimitzar els efectes a la superfície. La potència regulable és aplicada a la

mostra, on es fan mesures elèctriques i de temperatura.

Mètode per comparació

Coneixent el valor de la conductivitat tèrmica d’un material, i prenent aquest com a patró,

es pot determinar el coeficient de conductivitat tèrmica d’unaltre material. Aquest és el

principi de funcionament del conductivímetre en estudi. S’ajunten dues plaques, una de

conductivitat tèrmica coneguda λ1, i unaltre de conductivitat desconeguda λ2. S’estableix

un règim permanent tal que el mateix flux travessa ambdues plaques, i per tant

(3.10)

amb la mesura de les temperatures es pot determinar λ2. Una de les dificultats de l’ús

d’aquest mètode rau en el temps que es necessita per arribar a l’estabilització de les

temperatures.

Com es desprén de la descripció anterior, el determinar el valor numèric de λ és una

operació delicada, i els valors indicats per a una mateixa matèria per diferents

experimentadors, a vegades difereixen bastant: això s’explica perque el valor de λ varia

molt amb l’estat físic de la matèria i la seva composició. L’acer fos no presenta el mateix

valor de λ que l’acer laminat. Les impureses tenen també una marcada influència: per

exemple, per a l’or en estat pur s’ha trobat λOR = 266 Kcal/m2·h·ºC/m. Amb un 0,2%

d’impureses de les quals 0,1% era ferro es troba que λOR = 155 Kcal/m2·h·ºC/m. El coure

també ens presenta un λCOURE = 346 Kcal/m2·h·ºC/m, mentres que el coure comercial té

una conductivitat λCOURE com.= 300 Kcal/m2·h·ºC/m.

El valor de λ serà també molt variable segons la compacitat de la matèria de que es tracti;

per exemple, la fibra de amiant presenta quan el seu pes específic és de 0,7 Kgs/dm3 una

conductivitat λ0,7 = 0,165 Kcal/m2·h·ºC/m, baixant notablement si la fibra està menys

compactada: per a 0,39 Kg/dm3 té una λ0,39 = 0,0775 Kcal/m2·h·ºC/m. Aquesta variabilitat

2

22

1

11

eT

eT ∆

=∆ λλ


també es trobarà quan el material pugui tenir diferentes composicions granulomètriques

com succeeix amb les arenes utilitzades per al moldeig de metalls, en el formigó, etc...

Un anàlisi més ampli, amb el tractament de les desviacions possibles, es tracta en el

Capítol 9, on el seguiment de les experiències provocaren un estudi de les desviacions de

cada mesura i les seves aportacions en el resultat final.

A la vegada, i depenent de la geometria, els mètodes de mesura es poden classificar en

dos grups principals : Els mètodes de flux de calor radial i els mètodes de flux de calor

longitudinal.

Mètode de flux de calor radial

Aquest mètode presuposa que el flux de calor en la mostra és radial, i per tant, les

superfícies isotèrmiques són un conjunt de superfícies cil.líndriques centrades en l'eix de

la mostra.

Fig. 3.4 Geometria cilíndrica

El mètode de flux radial es basa en la mesura directa de la conductivitat tèrmica, és a dir

mesurant la potència i increments tèrmics entre dos punts a diferents radis de la mostra.

Per a un cilindre amb flux radial de calor, tenim que la potència que l'atravessa és :

( )L

rrToTiq

i

or πλ2

ln∗

−

=& (3.11)


Fig. 3.5 Distribució de temperatures amb flux travessant geometria cilíndrica

La potència es genera en el nucli de la mostra mitjançant resistències elèctriques

centrals, per tant , determinant T0 i Ti a dos radis diferents de la mostra, obtenim la

conductivitat tèrmica aillant λ de l'equació 3.11.

La potència suministrada pot mesurar-se elèctricament, determinant la intensitat i la

caiguda de potencial. Les temperatures es determinen mitjançant termopars.

Aquest mètode és senzill en concepte, però presenta agunes dificultats experimentals.

Per assegurar unes superfícies isotèrmes en el centre del cilindre i flux radial (Fig. 3.4), la

relació longitud / diàmetre ha de ser aproximadament 4 com a mínim: això suposa utilitzar

mostres grans. Aquest mètode és especialment indicat per mesurar conductivitats en

metalls, aillants de tuberia i en materials que puguin ser fabricats per extrussió.

Mètode de flux de calor longitudinal

La mesura de λ per aquest mètode es basa en la determinació del gradient tèrmic en una

mostra que s'escalfa per un costat i es refreda per l'altre. El flux de calor ha de mantenir-

se en una direcció, i per tant les superfícies isotermes són plans perpendiculars a la

direcció del flux (Fig. 3.6). És el cas del conductivímetre en estudi, malgrat que s’utilitzin

peces cilíndriques geomètricament parlant.


Fig. 3.6 Flux de calor longitudinal

Amb la finalitat d'aconseguir una direcció longitudinal del flux i evitar perdues laerals

s'utilitzen guardes calorífiques, les quals pretenen que en cada punt tinguin la mateixa

temperatura que la mostra adjacent, impedint així la fuita de calor en sentit transversal.

3.5 CONCLUSIONS

A partir d’aquests dos mètodes, s’han creat múltiples aparells Conductivímetres; alguns

per mesura directa i d’altres per comparació. Al llarg dels anys, diversos experimentadors

han trobat resultats diferents per a diversos materials utilitzant aquests aparells, i s’ha

elaborat una àmplia bibliografia al respecte, així com una documentació de consulta

realitzada a partir de conferències on s’exposaven els resultats d’aquesta pràctica. La

dificultat sovint en l’estimació d’un material concret rau, com s’ha vist, d’una manera

experimental en la determinació amb la seva imprecissió del camp de temperatures, fet

que confirmem amb l’experimentació realitzada i comentada en el Capítol 8. Però unaltre

factor és la homogeneïtat de les peces, la puresa del material.

Per a l’obtenció d’un major afinament en el resultat, es troba amb que l’assumpció d’una

distribució linial de temperatura (degut a una dependència de la conductivitat també lineal

versus la temperatura) és inadmissible des del punt de vista teòric. Però amb unes

condicions concretes per a alguns materials, complint que per a un gradient de

temperatura suficientment petit, el factor de segon ordre de la dependència de la

conductivitat respecte a la temperatura sigui mínimament menyspreable, és pot donar per

acceptable aquesta simplificació. Una vegada hi ha una recopilació de dades de


conductivitat per a un material concret al llarg d’un ampli espectre de temperatures, es pot

deduir si la dependència del tipus λ(T)= a + b·T + c·T2 té un caràcter fortament no-lineal, i

introduir factors de correcció a l’hora de determinar la transferència de calor al llarg de la

peça d’aquest material.


35

Capítol 4 La termometria del termoparell

4.1 Introducció 4.2 Principis fonamentals 4.3 Estimació dels errors en la mesura de la temperatura 4.4 Mesura de la temperatura en sòlids 4.5 Tipus de termoparells 4.5.1 Rang de temperatura 4.5.2 Protecció atmosfèrica 4.5.3 Materials de contacte 4.5.4 Limitacions mecàniques 4.6 Termoparells tipus K


36

4 LA TERMOMETRIA DEL TERMOPARELL

4.1 INTRODUCCIÓ

A causa dels seus varis avantatges, els termoparells han estat llargament utilitzats tant en

la recerca científica, així com en la termometria a nivell industrial. Són ben senzills,

consisteixen normalment en dos cables, una unió estable de referència, i un sistema de

potenciòmetre. Alguns sistemes de termoparells més complexos consisteixen de moltes

unions separades o termopiles, però el principi fonamental segueix essent el mateix.

Poden ser ben llargs (per permetre una protecció mecànica o corrossiva) o ben petits (per

tenir una resposta ràpida i una capacitat tèrmica petita). Els cables petits son utilitzats en

sistemes criogènics, essent molt fràgils i flexibles; en canvi els de longitud major que

s’usen en forns solen estar instal·lats i són generalment rígids.

Amb un disseny acurat, els encapsulaments dels termòmetres poden conviure en

ambients corrossius. Els termoparells poden usar-se sobre un ampli rang de

temperatures, des de Heli líquid a –270 ºC a altes temperatures en forns de 2200 ºC.

Però són necessàries diferentes aleacions per poder treballar en temperatures extremes.

Moltes de les combinacions de termoparells dónen pràcticament una relació lineal entre la

seva sortida de mesura i un ampli rang de temperatures. Aquesta propietat porta a una

calibració i a uns mètodes d’instrumentació que són tant simples com precisos. A

diferència dels termòmetres de resistència, els termoparells no tenen l’efecte

d’autoescalfament. Aquesta característica és molt important en estudis de calorimetria

precisa i en recerca criogènica.

El nombre de combinacions de termopars potencials és virtualment infinita, pero

afortunadament hi ha un bon munt d’estandaritzats. Aquesta normalització ha permès una

disponibilitat molt difosa a un preu raonable, permetent intercambiabilitat de materials

entre diferents subministradors i companyies.

Per tant, els sistemes de termoparells són fàcils d’utilitzar: amb una sèrie d’aparells com

multímetres, potenciòmetres portàtils, són utilitzats amb freqüència. La necessitat d’una

unió estable de referència ha d’ésser evitat per moltes aplicacions amb la inserció d’una

unió de compensació de temperatura; aquesta és la pràctica més comuna en la indústria

que s’hi dedica.


37

A l’any 1821 Thomas Johann Seebeck descobrí l’existència de la corrent termoelèctrica

mentres experimentava amb circuits de bismut-coure i bismut-antimoni. Ell veié que quan

les unions de diferents metalls eren escalfades a diferentes temperatures, es generava

una emf (força electromotriu). Si es formava un circuit tancat, s’induïa una corrent , que

anomenen termoelèctrica. Pocs anys abans Becquerel havia demostrat que la unió entre

platí i pal·ladi es podria utilitzar per mesurar la temperatura. Aproximadament una década

més tard, Jean Peltier descobrí un efecte tèrmic inusual, quan feia circular petites

corrents externes a través de les unions de diferents cables termoparells. Quan una

corrent travessava una unió en un sentit, aquesta es refredava; quan el corrent circulava

en sentit contrari, la unió s’escalfava. Amb l’ajuda de les noves teories desenvolupades

de la Termodinàmica, William Thomson fou capaç de mostrar que els dos efectes estaven

relacionats. Ell deduí les equacions fonamentals que s’utilitzen avui dia. Les teories de la

Termoelectricitat han arribat a ésser polides i complexes, malgrat que són innecesàries

pel seu ús a la pràctica (EGo 76). Una revisió fou preparada per Pollack per a la

American Society for Testing and Materials.

4.2 PRINCIPIS FONAMENTALS

Els principis fonamentals necessaris per entendre els circuits termoelèctrics més simples

poden ser expressats en tres efectes, i tres lleis que es deriven de les equacions

fonamentals.

L’efecte Seebeck es descriu segons la Fig. 4.1. Si un circuit està format tal que consisteix

de dos conductors diferents A (positiu) i B (negatiu), units en ambdós extrems, i a

temperatures diferents T1 i T2, aleshores un corrent flueix dins el circuit en la direcció

indicada. Si aleshores tallem el circuit en el cable A, aleshores tenim una diferència de

potencial creada en aquest esvoranc, que s’anomena Voltatge de Seebeck (també se sol

dir voltatge termoelèctric, emf...).


38

Fig 4.1 L’efecte Seebeck

Per a una diferència petita de temperatures, el canvi en la diferència de potencial que

dóna l’obertura en el cable A vé donada per

(4.1)

on αA,B és el coeficient Seebeck (o potència termoelèctrica) per la combinació dels

materials A i B a la temperatura T. La caiguda de potencial per un rang de temperatures

vé donat per

(4.2)

El coeficient de Seebeck es pot obtenir diferenciant la funció de Es(T), o també mitjançant

la relació

(4.3)

on R indica un material estàndar de referència.

L’efecte Thomson pot ésser entés amb l’ajuda de la Fig. 4.2. Quan un corrent circula a

través d’una unió de conductors desiguals, el calor és absorbit (T2+∆T) o alliberat (T1-∆T)

per les unions. Si el corrent elèctric circula en la mateixa direcció que la corrent Seebeck,

aleshores el calor és absorbit en la unió calenta (i viceversa). Aquest efecte és utilitzat en

l’escalfament o refredament termoelèctric. La relació és la que segueix

(4.4)

dTdE BAs ,α=

∫=2

1,

T

T BAs dTE α

BRRABA ,,, ααα +=

IdtdQ BAp ,π=


39

on dQp és la quantitat de calor, πA,B és el coeficient de Peltier, I el corrent elèctric, i dt el

temps transcorregut. L’efecte Peltier està estretament lligat amb l’efecte Seebeck.

Fig. 4.2 L’efecte Thomson

La relació entre ambdós fou derivat per Thomsom com segueix

(4.5)

on σ és el coeficient de Thomson per un conductor definit per

(4.6)

Literalment l’efecte Thomson és defineix com el canvi en capacitat tèrmica de un

conductor (de secció unitat) quan una quantitat unitat de càrrega elèctrica flueix a través

d’ell en un gradient de temperatura de 1 K.

Les tres lleis bàsiques de la termotècnia pràctica es troben descrites en la ASTM STP

470. Aquestes són:

1.”Llei dels metalls homogenis – un corrent termoelèctric no pot ser soportat en un circuit

d’un únic material homogeni, per més que varii la seva secció, només per l’aplicació de

calor”

Per tant, com a mínim, seran dos materials diferents els necessaris per a un circuit

termoelèctric. S’ha de notar que les imperfeccions físiques o químiques poden fer que un

material sigui efectivament no homogeni.

dTBABA )(, σσπ −=

∫=2

121 ,

T

T ATT dTE σ


40

2.”Llei de metalls intermedis – la suma algebràica de les forces termoelectromotius

(voltatges) en un circuit composat de qualsevol nombre de materials diferents és zero si

tot el circuit és a una temperatura uniforme”

Un tercer material no homogeni pot afegir-se sempre a un circuit si és tant llarg com una

regió isoterma. A partir d’aquesta llei, representada en la Fig. 4.3, tenim la conseqüència

que el mètode d’unió dels cables termopàrics, per exemple la soldadura, subjecció,

contacte de mercuri, etc..., no afecta al resultat de la sortida si la unió és isotèrmica.

Unaltra conseqüència és que si els voltatges termoelèctrics de dos materials són

coneguts respecte a un material de referència, els seus voltatges respecte els altres

poden ser determinats per addició, com és mostra a la Fig. 4.4 més endavant.

Fig. 4.3 Llei de metalls intermedis. El voltatge termoelèctric no queda afectat per la inserció del material C


41

Fig.4.4 Determinació per addició dels voltatges termoelèctrics

3.”Llei de les temperatures intermèdies – si dos metalls homogenis diferents produeixen una emf

de valor E1, quan les unions estan a temperatures T1 i T2, i produeixen una emf de valor E2 quan

les temperatures de les unions són T2 i T3, aleshores la emf generada quan les unions estan a T1 i

T3 serà la suma E1+ E2.”

Un resultat d’aquesta llei es que els termoparells calibrats per a una temperatura de

referència, poden ser fàcilment corregits per a unaltra temperatura de referència. Unaltra

aplicació d’aquesta llei es la disponibilitat d’ús de cables d’extensió (allargaments) sense

malmetre el voltatge resultant.

4.3 ESTIMACIO DELS ERRORS EN LA MESURA DE LA TEMPERATURA

És extensament reconegut que la sortida d’un sensor, com un termoparell o un

termòmetre, representa una aproximació de la temperatura en un lloc dins un fluid o un

sòlid. Hi ha una varietat de factors que causen desviacions entre el valor de sortida i la

temperatura real en el punt d’interés. Primer de tot, la presència d’una sonda mateixa pot

modificar les condicions tèrmiques en el punt i els seus voltants, alterant així la distribució

de la temperatura. Això passa, per exemple, quan el calor és condueix desde


42

l’empalmament del termoparell al llarg dels cables conductors. Un segon i major factor és

que el sensor pot comunicar-se amb d’altres ambients propers al que estem mesurant.

A més, certes característiques bàsiques de la transferència energètica i procesos

d’emmagatzemament energètic tendeixen a afavorir l’aparició d’errors en la mesura de la

temperatura. Un cas característic és que el canvi de calor per convecció no pot tenir lloc

sense una diferència de temperatures. Unaltre és la dissipació viscosa que ocurreix en la

superfície adjacent d’un cos situat enmig d’un flux d’alta velocitat. En addició, en els

processos transitoris, la capacitat tèrmica d’un sensor provoca una diferència de

temperatura entre el sensor i el fluid.

La tasca dels sensors dissenyats per petits errors és agreujada pel factor que els aïllants

tèrmics perfectes no existeixen. Això contrasta amb la situació de les mesures

elèctriques, on essencialment els aïllants perfectes són fàcilment aconseguibles.

Amb un disseny curós, és possible reduir els errors de mesura resultants d’una o més

causes abans esmentades. Per exemple, els coeficients de transferència de calor per

convecció poden ser incrementats mitjançant l’increment local de la velocitat del fluid

adjacent al sensor. El canvi mitjançant radiació amb l’entorn es pot reduir encobrint el

sensor.

És assumit aquí que la informació relacionada amb el disseny de la sonda pot ser

obtinguda a partir de les referències abans esmentades i de l’ampli ventall d’informació

que trata sobre el tema. El propòsit d’aquest apartat és revisar les fonts d’error en la

mesura de temperatura i la discussió analítica dels models que es poden emprar en

l’estimació d’aquests errors.

Una finalitat aparentment natural de l’anàlisi seria proporcionar fòrmules aproximadament

precises de correcció que s’usarien per ajustar la sortida d’un sensor i tenir aleshores

valors acurats de la temperatura. En canvi, a la pràctica, els problemes de la

transferència de calor que afecten a les sondes de temperatures són tan complexes que

no permeten a fer anàlisis precisos. Fins i tot quan els ordinadors son usats per facilitar la

solució, relativament els models analítics simples són quasi apropiats. Avui en dia, una

finalitat real d’anàlisi és proporcionar estimacions de l’ordre de la magnitud dels errors


43

que poden ser esperats en la mesura de temperatures. Els anàlisis dónen consells per les

sondes així com suggereixen paràmetres de correlació per tests de calibració.

4.4 MESURA DE LA TEMPERATURA EN SÒLIDS

La nostra atenció es centra ara en els models computacionals d’estimació d’errors en la

mesura de temperatures en estat estable en sòlids. Es poden trobar vàries situacions:

mesura de la temperatura de la superfície d’un sòlid, termoparell insert dins un sòlid... En

el nostre cas ens interessa aquest darrer cas.

TERMOPARELL INSERT DINS UN SÒLID

Fig. 4.5 Inserció d’un termoparell dins un sòlid

Un diagrama esquemàtic del problema és mostrat a la Fig. 4.5. Un termoparell és situat en

un forat fet dins la superfície; a més, és emplaçat amb una mica d’adhesiu, com per

exemple, epoxi. Per fora del sòlid, el termoparell es condueix enmig d’un fluid, la

temperatura del qual és Tf. El cable és tant llarg que al final pren la temperatura del fluid

Tf.


44

akrr

π2)/ln( 23

ai krr

krrR

ππ 2)/ln(

2)/ln( 2312

1 +=

El termoparell serveix aleshores com un canal a través del qual el calor pot fluir-hi cap a

dins, o cap a fora, del sòlid. Així que el calor és conduit, es provoquen dos tipus d’errors

de mesura de la temperatura. Primerament, hi ha un increment o disminució de la

temperatura del sòlid. En segon lloc, degut a la presència del adhesiu, hi ha una

diferència de temperatura addicional entre el sòlid i la unió termopàrica. Si el sòlid és un

metall, aleshores el segon d’aquests efectes és dominant. Per tant, en una primera

aproximació, la temperatura del sòlid s’assumeix que és influenciada per la presència del

termoparell.

El model analític i l’expressió resultant de l’error de temperatura es deuen a Moffat (Mof

68) Temperature Measurement in Solids: Errors Due to Thermal Resistance between the

Thermocouple and the Specimen, personal communication. Consta d’imaginar-se que el

cable del termopar està format de dues parts: (1) el segment que està introduit en el sòlid

i (2) el segment que està dins el fluid, tal i com es mostra a la Fig. 4.5. La línea

discontínua 0-0 representa la superfície. Aleshores Moffat tractà per separat els

problemes d’ambdues regions. Aquestes solucions impliquen també la temperatura T00 en

la interfície entre les dues regions. Imposant, però, la condició de flux de calor continu a la

interfície 0-0 es pot determinar T00. Un cop és coneguda aquesta temperatura, l’error de

temperatura a la unió és calculable fàcilment.

A la regió 1 el cable termoparell es comporta com una aleta situada en un entorn

uniforme de temperatura. L’adhesiu aporta una resistència tèrmica

(4.7)

on ka és la conductivitat tèrmica de l’adhesiu, i r2 i r3 són, respectivament, els radis externs

del cable termopàric i de l’adhesiu. Llavors, la resistència R1 pel flux de calor radial dQr/dx

des del cable termopar fins al sòlid es:

(4.8)


45

LARktanhTTRAkQ S

2/1100

11 )~()(

~−−=

on r2 i r1 representen els radis equivalents en el cas que el termopar tingui aïllant de

conductivitat ki.

Si T00 és la temperatura en el plà 0-0, la teoria d’aletes ens facilita la següent expressió

de la quantitat de flux de calor que travessa la interfície 0-0 cap a la regió 1.

(4.9)

La quantitat Ak~ és el producte conductivitat-àrea per una conducció axial a través dels

cables termopars, i L és la longitud de la sonda en la regió d’estudi. L’equació (4.9) no té

en compte de la transferència de calor a la pròpia unió, però pot ser inclosa utilitzant una

expressió alternativa d’aquesta teoria.

La tranferència de calor que travessa el plà 0-0 desde la regió 2 és expressada per una

equació similar a l’anterior, però amb canvis a la nomenclatura:

R1→R2 i (T00-TS)→ (Tf-T00). A més, la longitud del cable és suficientment llarga com

perque tanh≈1.

(4.10)

L’expressions per Q1 i Q2 s’han d’igualar, del que surt

(4.11)

Tornant a la regió 1 i tornant a utilitzar la teoria d’aletes, la temperatura Ttc de la unió del

termopar es pot expressar en termes de T00 com segueix:

(4.12)

)(~

002

2 TTRAkQ f −=

LARktanhRRTT

TT SfS 2/1

11200 )~(/1 −+

−=−

LARkTTTT

S

Stc2/1

100 )~cosh(1

−=

−−


46

Combinant les equacions (4.11) i (4.12) adequadament, es pot trobar una equació per

l’expressió de l’error Ttc-TS

(4.13)

Donat un valor a Tf-TS, l’error de temperatura és accentuat per petites profunditats L,

grans valors de Ak~ , valors elevats de la resistència tèrmica R1 i petits valors de la

resistència R2. Aquestes normes qualitatives semblen físicament raonables.

L’estimació dels errors en la mesura de temperatures de sòlids en règim transitori és una

tasca molt més dificultosa que la de règims permanents. Una revisió a les publicacions

referides al tema indiquen que un model físic bastant simple comporta a un gran

problema matemàtic, el centre del qual és tractar amb equacions de derivades parcials,

inclús si l’espai depenent és monodimensional. Les solucions numèriques trobades amb

l’ajut dels ordinadors han pogut avançar en aquest camí, emperò quasi bé sempre cada

problema s’ha de modelar més o menys individualment, per arribar a un ordre requerit

d’estimació d’error.

4.5 TIPUS DE TERMOPARELLS

Molts dels treballs de mesura de temperatura amb termoparells poden fer-se

adequadament per un dels molts estandaritzats que existeixen. La utilització d’un

d’aquests tipus és sovint recomanable, sempre i quan el suposat acompliment no sigui

totalment tant satisfactori com amb una selecció concreta. La raó d’això, és naturalment,

que les despeses extres han d’ésser defugides. L’ús de materials comuns és realment

disponible amb un estoc ampli de termoparells de característiques conegudes i de

qualitat. També, els endarreriments dels coneixements en l’aplicació és molt més gran

per aquestes combinacions menys usades.

+=

−−

−− LARktanhRRLARkTTTT

Sf

Stc2/1

1122/1

1 )~(/11

)~

cosh(1


47

La funció d’un termoparell pot deteriorar-se sota moltes condicions i aplicacions adverses.

De fet, no s’han trobat termoparells que actuin successivament per a tots els requisits

d’ús. A ran d’això, s’ha de tenir un compromís en la selecció del tipus més satisfactori

d’entre un conjunt de candidats per a un ús particular. Les limitacions dels termoparells

fan desitjable catalogar i descriure les consideracions principalment respecte l’entorn en

termes de rang de temperatura, protecció atmosfèrica, materials de contacte i limitacions

mecàniques.

4.5.1 RANG DE TEMPERATURA

L’acompliment funcional dels termoparells varia majorment amb la temperatura. Molts

materials que són utilitzats a altes temperatures degut a que els seus elevats punts de

fusió, són menys satisfactoris que d’altres amb moderats punts de fusió a menors

temperatures. Els requeriments d’actuació en un determinat rang de temperatures, a part

d’altres factors ambientals, condueix de facto, a una classificació dels termoparells per a

usos criogènics, usos generals (temperatures moderades) o aplicacions d’elevada

temperatura. Aquesta és una classificació convenient ja que generalment un usuari estarà

interessat en només un d’aquests tres rangs i pot generalment escollir el material dels

termoparells més adequat.

4.5.2 PROTECCIÓ ATMOSFÈRICA

Els efectes atmosfèrics són importants per a temperatures moderades i altes, degut a que

les reaccions químiques i processos de difusió es produeixen ràpidament sota aquestes

condicions. Una atmosfera inerta és necessària en molts casos, especialment per a

operacions tèrmiques de llarga durada; el buit pot utilitzar-se com a alternativa, però la

vaporització dels materials dels termoparells poden arribar a ser notables a temperatures

extremes. Alguns dels metalls nobles tenen característiques excelents per a atmosferes

oxidants entre mitjanes i altes temperatures, però cap dels metalls és òptim per a

ambients reductors. Aquestes restriccions fan necessari l’aïllament del termoparell

respecte l’entorn per alguns serveis. Pous de termopars, sondes o cables embeinats són


48

la solució al respecte. En aquesta última opció, la junta dels cables termopàrics pot estar

soldada a la part interior de la funda, o bé estar totalment aïllada mitjançant un aïllant

posat entremig.

4.5.3 MATERIALS DE CONTACTE

Els termoparells necessiten sovintment d’un suport mecànic, així com d’un aïllament

elèctric. El contacte amb el material a mesurar és sovint un requisit per a l’obtenció d’un

valor real de temperatura del material, més que no pas del seu entorn. Tots aquests

materials han d’ésser compatibles amb el termoparell per evitar l’error per contaminació

progressiva. La contaminació és, moltes de les vegades, el major problema a altes

temperatures, on les reaccions químiques prenen part d’una manera important. A més de

tot això, els processos metalúrgics com la interdifusió entre metalls pot ocòrrer. També la

resistivitat elèctrica dels aïllants disminueix. Aquestes consideracions deuen ser

observades en el disseny o aplicació de termoparells per a altes temperatures,

particularment en el rang comprès entre 1600 i 1800 ºC.

Per a baixes temperatures on materials orgànics o bé plàstics poden usar-se com aïllants,

existeixen menors limitacions. Malgrat tot, s’han de vigilar les reaccions químiques en

medis corrossius sempre.

4.5.4 LIMITACIONS MECÀNIQUES

Un dels majors avantatges declarats dels termoparells com a sensors de temperatura és

el petit tamany que la unió i el cablejat poden prendre. La seva adaptabilitat en les

instal·lacions en punts concrets, muntatges petits o bé localitzacions inaccessibles és

ilimitada. Hi ha disponible una variabilitat en els dissenys termopàrics; els conductors

poden ésser cables tant petits de fins a 0,02 mm. Pel que fa al tamany físic i adaptabilitat

per a condicions especials, hi ha menys limitacions amb l’ús de termoparells que amb

qualsevol altre tipus de sensor de temperatura.


49

En entorns mecànics durs, on les vibracions, cops, expansions tèrmiques o la càrrega

estructural són factors importants, la instal·lació de termoparells ha de ser dissenyada

apropiadament. En general, l’eludició d’aquest tipus de limitacions és similar a la resolució

de problemes. Existeixen comptades situacions on el disseny de l’instal·lació es torna

molt especialitzat.

Una característica elèctrica d’un termoparell instal·lat pot dependre de limitacions de

tamany i d’altres conceptes mecànics, com el temps de resposta a un canvi sobtat de

temperatura. El tamany final d’un termoparell és, al final, un compromís entre un curta

instal·lació per a l’obtenció d’una ràpida resposta i una instal·lació més abrupte per evitar

les vibracions i els cops.

4.6 TERMOPARELLS TIPUS K

Un termoparell de base metall amb el nom comercial de Chromel-P vs Alumel fou

desenvolupat per la Hoskins Manufacturing Company i fou emprat per aplicacions

industrials durant el període de la Primera Guerra Mundial. Adams (1920) revisà els

termoparells en ús en aquest temps i va incloure taules i d’altres dades a aquesta parella.

Lohr (1920), en aquesta línia, desenvolupà en termes de processos de selecció

d’aleacions, que el conduiren a una tria de metalls utilitzats avui dia. Les taules de

referència foren preparades per Roeser, Dahl, and Gowens (1935) en la National Bureau

of Standards, i més endavant per l’equip de Shenker (1955) en la circular de la NBS núm.

561. Jones (1969) convertí les taules NBS a la Escala Internacional Pràctica de

Temperatura (International Practical Temperature Scale - IPTS) de 1968, pel rang

comprès entre –180 a +1300 ºC en increments d’un grau. Gottlieb (1971) proporcionà

dades per a la correcció de la IPTS-48 cap a la IPTS-68.

El termoparell Chromel-P vs Alumel ha estat complementat per parelles similars

produïdes per d’altres fabricants. Actualment, aquests termoparells s’adapten a les taules

de referència NBS_561 amb una desviació de ±2.2 ºC des de 0 a 277ºC, i ±0,75% a partir

de 277ºC i fins a 1260ºC. Són denominats com termoparells Tipus K, fent servir el

sistema de classificació aceptat per molts fabricants i pel conjunt d’organitzacions


50

interessades. L’ús comú del nom original ha persistit, tanmateix, com que Chromel-

Alumel és sinònim de la designació Tipus K.

D’acord amb Starr & Wang (1969), el rang recomanat per termoparells tipus K és

generalment el comprés entre 0 i 1260 ºC amb les toleràncies facilitades anteriorment;

també es disposa en el mercat de termoparells amb cables de major qualitat, que

permeten tenir per al mateix rang de temperatura, una tolerància de desviació igual a la

meitat de la tolerància estàndard. En l’annex es troba la taula, de la qual es pot graficar la

corba voltatge versus temperatura en la Fig. 4.6 . El potencial termoelèctric varia per

sobre el rang de 0 a 1000ºC, però és aproximadament 40 µV/ºC.

Fig. 4.6 Corba dels termoparells tipus K

Roeser i Wensel (1941) presentaren un informe l’èxit en l’intent de trobar equacions de la

forma

per a la corba de calibratge en l’interval de 0 a 300ºC. Una equació basada sobre tres

punts de calibració a 100, 200 i 300ºC portaven a errors de 1ºC. El mateix feren per al

rang comprès entre –190 i 0ºC. L’equació resultant no portava a un error superior a 2 µV

en qualsevol punt.

32 cTbTaTV ++=

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Temperatura (ºC)

f.e.m

. (10

e-6

V)


51

Els termoparells de tipus Crom-Alumini no poden ésser calibrats i utilitzats sempre amb

tant alta precissió i repetitivitat com alguns dels altres termoparells, malgrat això

acostumen a ser clarament superiors en altres aspectes si els lleus errors són aceptables.

En algunes aplicacions aquestes petites desviacions poden ser eliminades bé amb un

tractament de calor previ de calibració, o bé sense excedir-se d’un límit de temperatura.

La falta de repetiment i les seves conseqüèncioes foren estudiades per varis

investigadors, i els seus resultats mostraven una regió de inestabilitat reversible de

caràcter metal·lúrgic en els aliatges del Crom entre 300 i 550 ºC. Dins aquesta regió el

potencial termoelèctric depèn de la temperatura, el temps d’exposició, i l’historial tèrmic

previ del termoparell.

Unaltre efecte que provoca un petit error fou observat per Wintle i Salt (1967) en els seus

estudis sobre termoparells de Crom i Alumini. Trobaren que els instruments de mesura

fabricats a partir de la mateixa remesa de cables exhibien generalment diferències de

l’ordre de ±0,25% de la temperatura indicada. A més a més, les corbes de calibració es

desviaven amb forma de punxa, si bé en petites quantitats, i que en un curt interval de

temperatura eren com corbes suaus. Aleshores una corba real diferencial no podia ser

dibuixada sense primerament plotejar un gran nombre de punts de calibració sobre el

rang d’interés. Un límit d’error de ±0,75ºC era acotat per corbes de calibració amb dades

separades 20ºC. En vistes d’aquesta condició es podia suggerir que la tolerància

específica per a una remesa concreta de cables sería si més no que ± (0,75ºC+0,25% de

T) a partir de la calibració obtinguda per una mostra d’aquesta remesa.


Capítol 5 Introducció a la realitat del conductivímetre per comparació

5.1 Introducció 5.2 Equacions bàsiques i contrastació 5.2.1 Introducció 5.2 2 Problemàtica 5.2.3 Comprovació de hipòtesis en el càlcul de la conductivitat 5.3 Resistència Tèrmica de Contacte 5.4 Modelització de superfícies 5.5 Conclusions


5. INTRODUCCIÓ A LA REALITAT DEL CONDUCTIVÍMETRE PER COMPARACIÓ 5.1 INTRODUCCIÓ En aquest capítol s’introdueix la realitat física del comportament tèrmic del

conductivímetre per comparació, realitat llunyana dels models simplificats que es donen

als nombrosos llibres de termodinàmica. Aquest capítol s’endinsarà amb profunditat

sobre els efectes de la resistència tèrmica que provoquen les interfícies entre peces,

creant salts considerables de temperatura en aquestes, dificultant enormement l’obtenció

d’un perfil de temperatures extern forçat que pugui assimilar-se a la distribució interna

En el present capítol es proposarà un model de superfícies per a comprendre com es

realitza aproximadament el contacte entre dues superfícies. El contacte entre superfícies

es una dada molt important per a altres estudis per saber quin percentatge de transmissió

de calor es realitza per conducció o convecció gasosa. El model de superfícies proposat

en aquest treball és propi, i no pretén ser un patró exhaustiu del comportament en el

contacte entre dos cossos, ja que l’estudi profund d’aquest tema suposa tot un món

encara avui no totalment conegut, per tant s’ha de prendre el model proposat com un

Perfil intern

Perfil extern

Fig.5.1 Diferència entre perfils de temperatura interna i externa.


model de tendències, que explica com evoluciona la superfície de contacte enfront de

l’apropament de dos cossos.

5.2 EQUACIONS BÀSIQUES I CONTRASTACIÓ 5.2.1 INTRODUCCIÓ

S'ha estat experimentant al llarg d'un any amb un conductivímetre per comparació model

TCFCM-120. El funcionament d'aquest es basa en fer passar un flux de calor a través de

tres mostres. Dues de les mostres són de material i conductivitat coneguda, són les

mostres de referència, entre mig de les quals s’hi situa una mostra de conductivitat

desconeguda. Les tres peces tenen la mateixa secció amb la finalitat de garantir un flux

(W/m^2) uniforme.

El conductivímetre per comparació es basa en el fet que per les tres peces es veuen

travesades pel mateix flux de calor, aleshores és fàcil determinar la conductivitat de la

peça central aplicant la primera llei de Fourier.

La primera llei de Fourier estableix que el flux de calor és proporcional al gradient de

temperatura. Per a un estudi monodimensional com aquest, l'expressió de la primera llei

de Fourier és :

1 2 3

Q

(5.1)

Fig.5.2 Disposició de peces en el conductivímetre

dxdT

Aq

λ−=&


Aplicant l'equació de conducció de Fourier (considerant la conductivitat mitjana a cada

peça i un gradient lineal per a cada mostra) s’arriben a les següents igualtats:

3

333

2

222

1

111 ......

xT

AxTA

xTA

∆∆

=∆∆

=∆∆

λλλ

Experimentalment es mesura el gradient de temperatura prenent les temperatures en els

nuclis de les peces mitjançant orificis que estan fets a distancies conegudes.

Si es considera que el flux de calor és el mateix, que les seccions de les peces són les

mateixes, i la conductivitat a la temperatura mitjana de cada mostra i les distàncies a que

es prenen els increments de temperatures son les mateixes, llavors es pot escriure que :

λ λ λ1 1 2 2 3 3. . .∆ ∆ ∆T T T= =

On λi és la conductivitat i ∆Ti és l'increment de temperatura en la peça i. La conductivitat

que es busca és λ2, i totes les demés variables son conegudes, per tant, una mesura que

se sol fer de la conductivitat tèrmica sol contemplar els dos resultats (superior i inferior) ja

que matemàticament mai es troba la igualtat exacta de fluxos entre la peça 1 i 3.

(5.2)

Fig.5.3 Situació dels orificis per permetre l’alotjament dels termopars

∆x1

∆x2

∆x3


Així doncs, el valor experimental de la conductivitat tèrmica que s'agafa és el següent.

On λi és la conductivitat a la temperatura mitjana a que es troba la peça i.

En aquesta senzilla equació i condicions de contorn es basa el conductivímetre per

comparació.

En resum, el conductivímetre per comparació necessita un flux uniforme que travessi una

columna de peces i la coneixença prèvia de la conductivitat de les dues peces extremes.

un cop determinats els increments de temperatura en cadascuna de les tres peces,

l'obtenció de la conductivitat és inmediata amb l'equació anterior (5.3).

2

33112 .2

..T

TT∆

∆+∆=

λλλ (5.3)


5.2.2 PROBLEMÀTICA

Paradoxalment aquest mètode, tot i tenir un fonament tant senzill i una formulació

d'equacions també senzilles, l' obtenció de resultats precisos, ha estat fins ara dificultós.

El perquè d' aquesta dificultat, s'ha trobat en la llarga experimentació al llarg d'un any

amb el conductivímetre per comparació.

Els problemes principals han estat :

-dificultat en la determinació del gradient de temperatura en cada peça.

-precissió relativa insuficient dels termopars.

-col.locació de les peces.

-manca d'una operativa en la recullida de dades (correció in situ).

El càlcul de la conductivitat en conductivímetres per

comparació es limita en primer terme al càlcul de gradients

de temperatures, per tant, la bondat dels resultats depèn

exclusivament en primera instància de la precissió en que

es determinin els gradients de temperatura. En particular

en aquest estudi, els gradients a determinar es mesuren en

longituts relativament petites, les quals comporten a errors

no despreciables que dificultaran una bona apreciació del

gradient real. Aquest fenomen s’explica detalladament en

els capítols 8 i 9.

Aquest problema afecta directament al problema anterior,

ja que la manca de precissió introdueix un error en el càlcul

del gradient de temperatura. Tot i que els termopars tenen

una precissió considerable, la necessitat d’obtenir la

diferència relativa real de temperatures entre dos punts

molt propers dificulta molt l’avaluació del gradient tèrmic.

• Dificultat en la determinació

del gradient de precissió

• Precissió relativa insuficient

dels termopars.


Encara que la precissió dels termopars pugui ser en error

percentil (%) molt petit, per a temperatures elevades, un

error de 1º entre dos termopars a la mateixa temperatura

de 300º suposa introduir una font d’error en l’avaluació del

gradient de temperatures. És per aquest fet que s’ha

introduit el sistema de referenciació in situ per al càlcul de

la conductivitat tèrmica.

A tall d’exemple s’introdueix el següent cas :

Es tenen dues peces de conductivitat 40 Wm-1K-1 i 10 Wm-1K-1 respectivament, ambdues

amb un gruix de 25 mm.

Si es posen les dues peces en columna sota un gradient de 50º, s’obindria en teoria una

distribució de temperatures com la següent :

Peça A: λ=40 Peça B: λ=10

10º

40º

Peça A: λ=40

Peça B: λ=10

Fig.5.4 Distribució teòrica de temperatures.


El qué significa que s’obtindría un gradient teòric de 0,4º per mm en el primer tram i 1,6º

per mm en el segon.

Donant una longitut de18 mm entre cada forat de lectura de termopars, s’obtindría pel

primer tram, una diferència de lectures en els termopars de :

I similarment en el segon:

El quocient dels quals donen evidentment la relació de conductivitats.

Si es suposa que es té un une error de 1º per a cada termopar, en el pitjor dels casos es

podria obtenir el següent resultat respecte al quocient de increments de temperatura:

Discrepant un 48 % del valor real.

Un problema no tèrmic, encara que no per aixó menys

important ha estat la dificultat d’aconseguir un bon

centratge de les peces de la columna. El problema es deu

en gran part al sistema de premsapeces, el qual una gran

majoria de vegades fa rotar les peces i les descentra.

Aquest problema seria fàcilment solventable amb un

premasapeces de diferent concepció. (Fig.5.5).

º2,7º4,0.18 =mmmm

º8,28º6,1.18 =mmmm

4º2,7º8,28

==B

Aλ

λ

92,522,728,28

=−+

=errorB

Aλ

λ

• Col.locació de les peces


La operativa que s’utilitzava anteriorment per extreure el

valor de la conductivitat porta implicita una acumulació

d’errors que actualment s’ha solventat amb la referenciació

in situ i tractament posterior de dades. Aquests temes són

ampliament exposats en el capítol 8 i 9.

5.2.3 COMPROVACIÓ DE HIPÒTESIS EN EL CÀLCUL DE LA CONDUCTIVITAT

En un primer contacte amb el conductivímetre, era sabut que els resultats obtinguts fins

aleshores per altres investigadors no havien estat satisfactoris. Així mateix, el fabricant,

alertava que un error entre les potències obtingudes en les peces superior i inferior

havien d'estar per sota el 30 %, d'altre banda s'haurien de desestimar els resultats.

Aquest 30 % dona una idea aproximada de la precissió d’ aquest conductivímetre per

comparació.

En les primeres proves que es van realitzar al laboratori es van confirmar les

observacions d'altres investigadors : Els resultats obtinguts discrepaven dels esperats, els

gradients de temperatures es desviaven entre un 20 i un 30 % dels resultats esperats.

En un primer moment es va creure en la necessitat de comprobar si totes les suposicions

i simplificacions fetes en el model eren realment aplicables al conductivímetre. Les

simplificacions acceptades són:

- Conductivitats constants de les peces. La conductivitat de les peces és

constant , és a dir :

- Flux uniforme. Es considera que el flux de calor travessa

transversalment les peces.

• Manca d’operativa en la

recollida de dades

.),,,( ctantTzyx =λ


Conductivitat constant La primera simplificació que es fa en el procés de determinació de la conductivitat, és

suposar la conductivitat de la peça constant (a la temperatura mitjana de la peça). La

conductivitat essencialment per a un metall és funció de la seva temperatura, per tant, la

peça tindrà una conductivitat diferent al llarg del seu eix longitudinal. En els càlculs que es

realitzen, però,per a determinar la conductivitat s’utilitza sempre la conductivitat a la

temperatura mitjana de les mostres, per tant és una simplificació en la que és considera

un amitjanament de les propietats conductores de la peça. Es presenten en l’annex 9

algunes gràfiques de diferents materials on s'observa la dependència de la conductivitat

amb la temperatura.

Es va desestimar en un principi aquesta simplificació i es va incloure en les equacions

una λ variable (lineal) λ=a+b.T. amb la sorpresa que els resultats continuaven essent

quasi els mateixos que suposant λ =ctant, amb una diferència de resultat entre λ constant

i λ variable de 10-6 unitats. Aquesta curisositat queda revelada en l’annex 4.

Evidentment, la simplificació de λ(T) =ctant era prou bona, posteriorment es va

comprobar que la conductivitat versus temperatura, per a la gran majoria de casos varia

lentament i linealment en els intervals de temperatura a que es troba cada peça,

posteriorment es va arribar a la conclusió, que pel increment de temperatures en que es

troben les peces (20 graus màxim) la conductivitat es pot considerar o aproximar

perfectament per una recta. λ=a+b.T. En aquest cas, considerant la conductivitat tèrmica

com una funció lineal de la temperatura, el resultat que s'obté de la conductivitat

incògnita, és exactament la mateixa que havent considerat la conductivitat de la peça a la

temperatura mitjana. Per tant la simplificació de considerar λ(T) =ctant, és correcta.

Aquesta afirmació queda demostrada en l’annex 4.


Flux uniforme Una segona simplificació que es fa en aquest model, i fonamental per al càlcul de la

conductivitat, és el que fa referència al flux uniforme de calor a través de les tres peces.

Exigir un flux de calor uniforme al llarg de les peces (sentit vertical), és en difinitiva, exigir

una distribució de plans isotèrmics (horitzontals) , és a dir, al voltant de les tres peces i

per a qualsevol alçada s'ha de tenir la mateixa temperatura en el pla horitzontal per a

garantir la nulitat de flux radial.

Per a aconseguir un flux unidireccional de calor o el qué és el mateix, plans horitzontals

isotèrmics (Fig.5.5) al voltant de les tres peces, es poden utilitzar bàsicament dues

metodologies :

1-disposar al voltant de les tres peces una resistència molt més gran

que la que suposa la pròpia pila de peces, a la fi de conduir

forçosament el flux de calor a través de les peces.

2-disposar al voltant de les peces un dispositiu , que iguali en cada

alçada la temperatura de la pila central. Així, al establir un grup de

superficíes planes isotèrmiques, el flux de calor, forçosament haurà

de prendre la direcció perpendicular a aquests, és a dir atravessant

les tres mostres.

Superfícies isotermes

Flux de calor

Plans isotèrmics


El conductivímetre TCFCM utilitza una combinació dels dos mètodes anteriors, potenciant

així l'efecte final. La pila central, amb les tres peces ,està envoltada d'un forn de guarda

que s'encarrega de mantenir un gradient lineal de temperatures el més semblant possible

a la pila central a la mateixa vegada que les mostres estan envoltades de pols altament

aillant (pols de diatomàcees).

Aquest forn de guarda, senzillament és una anell exterior a la pila, del qual es pot

controlar la temperatura dels seus dos extrems, així es té la possibilitat d'aconseguir un

gradient lineal de temperatura a l'entorn de les tres peces :

Pila

Forn de guarda

Fig.5.6 Distribució teòrica de temperatures al forn de guarda.

Pols aïllant Forn de guarda

Premsapeces

Fig.5.5 Identificació del forn de guarda.


Entre la pila central, composada per les tres peces, i el forn de guarda es diposita aïllant,

per potenciar més l’efecte de conducció del flux en sentit longitudinal. L'aïlllant sol ser

pols de diatomàcees, la conductivitat d'aquestes sol èsser de l'ordre de 100 vegades

menys conductora que els metalls. En valor absolut, la conductivitat de les diatomàcees

és de (0,02÷0,08) W/mK.

La distribució de temperatures al llarg del nucli central s'ha pogut comprobar

experimentalment amb una única peça de gran longitut. El resultat ha estat que les

distribucions de temperatures interiors segueix una forta tendència lineal com era

d'esperar i no s'hi han trobat anomalies. Els resultats sobre l’anàlisis de la peça única

estan desenvolupats en el capítol 8.

Com preveu la teoria, en la pila central es tenen dos gradients diferents, un per a la

mostra i una altre per les dues referències (Fig. 5.7).

Fig.5.7 Distribució teòrica de temperatures de la pila.

Pila

Forn de guarda


En realitat s'ha trobat que a més d' aquesta diferència de pendents (tal i com preveu la

primera llei de Fourier) es tenen uns salts de temperatura importants en les interfícies

(Fig 5.8).

Aquest salt de temperatures és degut a que en les interfícies coexisteixen nous fenòmens

de transferència tèrmica : conducció gaseosa, convecció i radiació. D'aquests tres nous

fenòmens, el que pren més rellevància enfront dels altres és la conducció gaseosa. Fent

càlculs (annex 7), s'arriba al següent resultat sobre el paper que hi juga cada tipus de

transferència.

Pila

Forn de guarda

Fig.5.8 Distribució real de temperatures de la pila.

Conducció sòlid

Conducció gas

Convecció Radiació

Fig.5.9 Proporció de transferència calorífica pels diferents mètodes.


En el gràfic anterior (Fig.5.9) observem com els dos mètodes més rellevants de

transferència de calor són les conduccións. Les àrees són proporcionals a les potències

(Watts) que travessen les interfícies per a cada tipologia de transferència. Així, tot i tenint

la conducció per sòlids una transferència superficial (Watts/m2) molt superior a la

conducció per gasos, la superfície de contacte és percentualment molt inferior a la

superfície on la continuitat física es veu interrompuda i per tant la transferència total per

conducció sòlid-sòlid es veu reduïda dràsticament, havent de compartir protagonisme

amb la transferència amb la conducció gasosa. El paper que pren ara la conducció

gasosa en la interfície provoca un salt tèrmic en aquesta.

Com es veurà, aquest gradient tèrmic tant elevat a la interfície és degut a que la

conducció gasosa transmet la potència amb menys eficiència que la conducció a través

de sòlids, a consequència d'aquest fet el salt tèrmic ha de ser tant elevat per poder

continuar aportant el mateix flux de calor a la interfície que a través de les peces. A grans

trets, i abans d'aprofundir en el comportament del flux en les interfícies cal fixar-se en que

aquest salt tèrmic representa un elevadíssim gradient tèrmic en les interfícies, per tant es

preveu que el fenomen de la conducció sòlid-sòlid perdi molta importància en les

interfícies. Quan més importància tingui la conducció gasosa en les interfícies de contacte

més elevat serà el salt tèrmic. Per tant, es preveu ja, que la superfície real de contacte en

les interfícies passarà a tenir un valor molt petit compararat amb la secció total de les

peces.


5.3 RESISTÈNCIA TÈRMICA DE CONTACTE

Un estudi previ en les interfícies de contacte es necessària per a comprendre la forta

discontinuitat de temperatures que tenen lloc en aquestes :

Si es consideren ara dues peces sòlides en contacte com s'il.lustra a la Fig.5.10, amb els

costats aïllats de manera que el calor flueix únicament en direcció axial, el flux de calor ha

de ser el mateix a través de les dues peces sota condicions de estat estacionari. La

experiència mostra que el perfil de temperatura actual varia aproximadament com es

mostra en la Fig.5.11 La caiguda de temperatura en el el pla de contacte entre ambdós

materials és el resultat d'una resistència tèrmica de contacte.

Fig 5.10 Interfícies i superfícies de contacte.

Forta caiguda de temperatura

Pla de contacte

Fig.5.11 Distribució real de temperatures al llarg de la columna


Tot i essent les superfícies de contacte entre les peces molt pulides per aconseguir un

gran nombre de punts de contacte i així facilitar el pas de calor per conducció sòlid-sòlid,

realment sempre es tenen microcavitats i escletxes entre les peces, fet que comporta a

l’existència de punts entre les superfícies de contacte on no es té continuitat física

material, per tant , la conducció i convecció gasosa intervenen el l'intercanvi de calor a les

interfícies.

Una senzilla modelització de la interfície :

La figura 5.12 esquematitza el contacte entre dues peces. En el contacte entre dues

superfícies existeixen zones on queda garantida la continuitat física, mentre que altres

zones queden mancades d'aquesta continuitat, i per tant la transferència d'energia es

realitzen per fenomens de convecció i conducció gasosa.

Les distàncies que separen les discontinuitats entre les superfícies depenen

fonamentalment de l'acabat de les superfícies d'aquestes. Per a modelitzar el contacte

entre les superfícies es pren una distància mitjana que és representativa de la separàció

entre dues superfícies en tots els seus punts on el contacte és inexistent. A aquesta

distància representativa l'anomenem Lg . Serà important tenir en compte que Lg<<L, on L

és la longitut de dues peces superposades (Fig.5.12).

Fig.5.12 Modelització d’interfícies.


El procés de pulit de les superfícies també determina en gran part la proporció de

superfícies en contacte. Però és important tenir en compte que la quantitat d'àrea de

contacte entre les dues superfícies és molt inferior a l'àrea de discontinuitat física (buits).

A la superfície total o la secció de tranferència de calor l'anomenarem Atot o A, la

superfície en la que queda garantida la continuitat física l'anomenarem Acond i la resta

de superfície Aconv (Fig.5.12).

Es compleix la següent igualtat :

A A Atot conv cond= +

fent un balanç d'energia entre els dos material A i B obtenim :

q AT T

xT T

h AA

T TxA

A

A

A B

cB

B

B=

−=

−=

−λ λ. .

/ .. .1 2 2 2 2 3

1∆ ∆

On a la quantitat 1 / .h Ac se l'anomena resistència tèrmica de contacte, i hc es

denomina coeficient de contacte o coeficient de convecció. Aquest factor pot ser de vital

importància en certes aplicacions, degut a les diferents situacions de transferència de

calor que involucren unions mecàniques de dos materials.

Cap superfície real és perfectament llisa, i es creu que la rugositat de la superfície pren

un paper molt important en la resistència de contacte.

Existeixen dos contribucions principals a la transferència de calor en la unió :

1- La conducció sòlid a sòlid en els punts de contacte.

2- La conducció a través dels gasos atrapats en els espais buits creats pel

contacte.

(5.4)

(5.5)


El segon factor representa la major resistència al flux , ja que la conductivitat tèrmica del

gas és bastant més petita que la dels sòlids.

Podem escriure per al flux de la unió tenint en compte la nomenclatura

qT T

L A L AA

T TL

T Th A

A B

g A cond g B condf conv

A B

g

A B

c=

−+

+−

=−2 2 2 2 2 2

2 2 1/ . . / . .. .

/ .λ λλ

On Lg és l'espesor mitjà de l'espai buit i λf és la conductivitat tèrmica del fluid que omple

l'espai buit. A és l'àrea de secció transversal total de les barres. Si resolem hc , el

coeficient de convecció s'obté :

hL

AA

AAc

g

cond A B

A B

convf= ⋅ ⋅

++ ⋅

1 2λ λλ λ

λ.

En la majoria de casos, l'aire és el fluid que omple els buits i λf és petita comparada amb

λA i λB . Si l' àrea de contacte és petita, la major resistència tèrmica resulta de l'espai buit.

El problema principal respecte a aquesta senzilla teoria ha estat determinar els valors

efectius de Acond , Aconv i Lg . La determinació d'aquests paràmetres són estremadament

difícils de determinar.

La superfície de contacte és un paràmetre determinant per aconseguir una conducció de

la calor òptima. Per aconseguir que la superfície de contacte entre dues cares augmenti

es pot recòrrer a pressionar una cara contra l'altre a fi i efecte de augmentar els punts de

contacte. El conductivímetre TCFCM disposa d'un pertit cargol per pressionar les peces,

però bàsicament el seu servei és mantenir les tres peces inmòbils durant el muntatge del

procés.

La pregunta que es questiona ara, és determinar com efecte la pressió a que es sotmeten

les peces sobre la superficie total de conducció. Es proposa a continuació un model de

superfícies, per a poder valorar a grans trets quins poden ser els valors de les àrees.

(5.6)

(5.7)


5.4 MODELITZACIÓ DE SUPERFÍCIES Si amb un comparador de precissió s'escaneja una superfície pulida i es recullen diferents

mesures aleatòries del relleu de la superfície, s'obtíndrà una base de dades de les

característiques d'aquesta, és a dir, de la diferència d'alçades relatives entre diferents

punts.

palpador

superfície


Ara bé, la superfície mesurada amb comparador difereix de la superfície real ja que el

palpador no pot seguir realment totes les depressions existents o microcavitats.

Així doncs, la superfície mesurada és el resultat de l’exploració, amb l’ajuda d’instruments

de mesura de la superfície real. Aixó explica en part la diferència que existeix entre la

superfície real i la superfície mesurada. La diversitat d’instruments i les diferents

tècniques poden donar a partir d’una mateixa superfície real, superfícies de mesura

diferents.

Si una superfície es talla per un pla normal a ella mateixa s’obté una corba anomenada

perfil de la superficie. És a partir d’aquest perfil que s’examinen els diferents defectes de

superfície.

superfície palpador

Direcció del perfil geomètric

Escales en µ

2

200

ondulació

estries

Fig.5.13 Secció aumentada de material pulit


Els defectes geomètrics es reparteixen en tres ordres de magnitut :

n Defectes de primer ordre. Són els defectes de forma. Per exemple desviacions d’alineació, desviacions de

rodonesa, etc.

n Defectes de segon ordre. Es caracteritzen per una línea ondulada. S’obtenen fent l’envolvent superior que passa

per la majoria de sortints. Aquesta envolvent és la que aproximadament detecta el

palpador del comparador.

n Defectes de tercer ordre. Caracteritzen la rugositat de lasuperfície.

Els defectes de tercer ordre son els defectes constituïts per les estries o sots. Els

defectes de quart ordre son defectes aperiòdics.

És necessari estudiar estadísticament el relleu de les superficies amb la finalitat de

preveure el seu comportament en el contacte amb una altre superficie.

Els resultats d’una exploració d’una superfície poden ser molt diferents depenent de la

exactitut en que es mesura. No és el mateix mesurar la superfície real amb sistemes

microscòpics que amb sistemes mecànics. Amb sistemes microscòpics es coneix el relleu

de la superfície fins als defectes de tercer ordre, mentre que amb sistemes mecànics

només s’arriba a detectar el defectes de segon ordre, i si aquests no són molt acurats,

ens quedem amb defectes de primer ordre.


Si per exemple es fes un histograma de la superfície real d’un disc de vinil, la seva

aparença seria semblant a la següent:

Suposem que tenim una superfície i tres aparells de mesura diferents amb precisions i

formes diferents:

El palpador nº 1 mesura quasi exclusivament

les crestes de la superficie, per tant

s’obtindran només els màxims d’aquella

superficie

1 2 3

superfície disc de vinil

0

5

10

15

20

25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10pr of undi t a t

valls

crestes Fr

eqüè

ncia

abs

olut

a


El palpador nº 2 (realment seria amb sistemes

microscòpics), mesura molt afinadament la

realitat de la superfície real, i per tant es

tindria una lectura quasi exacta de la

superfície al detectar els defectes de tercer

ordre

El palpador nº 3 captaria les ondulacions dels

defectes de segon ordre i i té una precissió

intermitja als palpadors nº 1 i nº2.

Si es realitza un histograma real de la superfície (palpador nº 2), es tindria un histograma

com ara el següent:

.

VALLS

CRESTES


Realment però, el que interessa per a aquest estudi són les crestes dels materials, ja que

són aquestes les primeres en entrar en contacte amb una altre superfície.

Si es fa un histograma de les crestes de la superficie (palpador nº1)el que s’obté tendeix

a la forma :

En principi, s’assimilarà la distribució de màxims del material (crestes) a una distribució

normal, distribució millorable per a altres estudis en els quals s’adoptin distribucions

diferents a partir de valors reals.

A continuació es proposa el model normal per a la distribució d’alçades de conjunts de

crestes d’un material. Evidentment aquest és un model, i si fos necessari, els models

poden ser perfeccionats si s’obtenen dades de cada superfície en concret per obtenir-ne

la seva distribució d’alçades. Partim d’una secció augmentada de material de superfície

pulida :


A continuació s’associa a cada cresta un molla :

En teoria, la distribució d’alçades de les crestes ha de seguir una distribució normal :

Realment la distribució gaussiana té els seus límits en aquest model, ja que es preveuen

models superficials que difereixin substancialment del model Gaussià.

F(t)

Fig.5.14. Modelització d’ una superfície

Fig.5.15 Distribució gaussiana


A partir d’ara, si no es diu el contrari, les distribucions a que es farà referència al llarg

d’aquest capítol són referents a les crestes del material. Les crestes són els primers punts

del material en entrar en contacte amb una altre superfície, és per aquest fet que ara ens

centrarem en les crestes del material.

Per a una superfície pulida es tindrà un rang reduit de la distribució de crestes mentre que

per a una superfície poc pulida, el rang o domimi de lectures serà més gran

Suposem que tenim dues superfícies ben definides, és a dir, amb la distribució de crestes

(Fig.5.14 i Fig.5.15).

El comportament de la superfície és semblant al d'un conjunt de molles de diferents

longituts, oposades unes contra les altres (Fig 5.17). Aquest model, encara que en principi

es apropiat, ja que els materials en que es treballa son metalls i aquests presenten una

llei lineal en el primer tram de la corba elàstica (tensió-deformació), té els seus limits en

les deformacions plàstiques degudes a grans pressions que succeixen en microzones. :

Superfície molt pulida

superfície poc pulida

Fig.5.16 Distribucions d’alçades de diferents qualitats de superfícies

Fig.5.17 Apropament de dues superfícies


El procés de contacte entre dues superfícies és la següent : En un primer moment prenen

contacte els punts de les dues superficies que sobresurten més, en el model de les

molles, entrerien en contacte primer el punts als quals la suma de les llargades de la

molla fos màxima. A partir d'aquest punt, per aconseguir que més punts de la superfície

estiguin en contacte serà necessari pressionar les dues superfícies, ja que ara la

existeixen molles en contacte i ofereixen resistència a l’aproximació d’ambdues.

Evidentment, quan més es vulguin aproximar les dues superfícies, una major pressió

s'haurà d'exercir , ja que un major nombre de molles estarà en contacte.

La llei de Hook estableix :

On σ és la tensió aplicada, ε és la deformació unitària i E és la constant de

proporcionalitat entre les tensions i les deformacions coneguda com a mòdul dèlasticitat,

el seu valor depèn del tipus de materials. Aquesta llei és vàlida únicament en el tram

lineal de les deformacions enfront dels esforços.

Alguns valors de E de materials més usuals són :

Material E, Kg/cm2

Acer (2.-2,2.).10^6

Coure 10^6

Fusta 10^5

Alumini 0,675.10^6

Ferro fos (0,75-1,6).10^6

Plàstic de fibra de vidre (0,18-0.40).10^6

En la figura següent fig 5.18 es modelitza la superfície d'una de les cares de les peces. Xo

és l'increment entre el punt més alt de la superfície i el més baix. Com que el model està

matematitzat per una corba de Gauss, matemàticament la probabilitat de trobar un punt a

εσ .E= (5.8)


qualsevol alçada o profunditat de la superfície no és diferent de zero. Evidentment,

físicament aquest cas no és així, ja que existeix una acotació per els punts més elevats, i

una altre pels punts més baixos. S'ha agafat en aquest cas una distància significativa de

Xo que representi la realitat, una aproximació de Xo de 6 desviacions tipus, es a dir , 6σ,

distància que inclou el 99.8 % de punts de la superfície.

Per a facilitar el modelatge, es farà interaccionar la superfície real (de molles) amb una

superfície totalment plana, la penetració de la qual dins de la superfície modelitzada ve

donada pel paràmetre X.

Es prendrà com a referència zero tres desviacions tipus més enllà de la mitjana de les

crestes. Per tant el pla zero seria el pla extrem de la superfície.

Ara, per aplicar l'equació de Hook és necesari conèixer prèviament quin valor de la

superfície de contacte tenim per a cada x donat. Evidentment per x=0→ S=0 , i per x=Xo

→ S=So. Tot i que el model que es proposa aquí només serveix per els primers moments

de contacte, ja que només es contempla la conexió entre crestes i no de la superfície

total, conexió per a la qual s’hauria d’arribar a deformacions plàstiques.

Fig.5.18 Modelització


La modelització prèvia que hem fet

de la superfície mitjançant la corba

de Gauss a partir de les dades

experimentals del relleu de la

superfície ens donen una funció

matemàtica f(t). Per a una distància

arbitrària x a partir del punt més

allunyat de la superfície, l’àrea

donada sota la corba fins al punt X es

la probabilitat de trobar crestes més

petiques que la distància X , Aquesta

probabilitat ve donada per l'àrea

continguda fins aquest punt

(Fig.5.19).

Per exemple, si x=0, la probabilitat de que una distància o en la modelització, una molla

toqui la superfície totalment plana és del 0,14%. si X=X0=6σ la probabilitat de que

aquesta mateixa molla toqui el pla teòric és del 99.86 %.

Evidentment, aquesta àrea sota de la funció, representa la totalitat de la superfície que

està en contacte de les dues superfícies (perfectament plana-modelitzada). Per tant, la

funció que representa la superfície de contacte en funció de la distància de penetracio x

és la següent :

dttfSoxSX

.)(.)(0∫=

On So és la superfície total que formarien totes les crestes del material i f(x) la funció de

probabilitat.

(5.9)

Fig.5.19 Àrea i probabilitat


Per fer el calcul de l'expressió de la llei de Hook , serà necessari integrar la expressió

anterior :

∫=X

dttfxF0

).()(

Llavors: S x So F x( ) . ( )=

Matemàticament, resulta :

si x=0 → S(x) ≈ 0

si x=X0 → S(x) ≈ S0

Plantejem ara la llei de Hook per al model proposat en la fig 5.20.

(5.10)

(5.11)

fig 5.20 Probabilitat a profunditat X.

εσ .E= (5.12)


Aquesta llei és vàlida per a cada molla del model proposat.

Tenim que ε és per a cada molla, el seu escurçament dividit per a la seva longitut inicial,

és a dir :

Per a poder aplicar la llei de Hook al conjunt de molles s'escull una ε representativa de

l'escurçament de totes les molles.

S'han de donar ara els valors correponents als valors mitjans de l'equació anterior. El

valor de X 0, tenint en compte que és la longitut mitjana de les molles del model en estat

de repòs.

El valor de X és el valor representatiu de l'escurçament mitjà de totes les molles al ser la

superfície modelitazada penetrada per una superfície plana perfecte una distància x. Si

totes les molles tinguessin la mateixa longitut, el valor representatiu de l'escurçament de

les molles seria evidentment x, ja que totes elles prendrien contacte amb la superfície

(5.14) 0X

X=ε

(5.13) 0X

X=ε

ε.)()( E

xSxN

= (5.15)

0

.)()(

XXE

xSxN

= (5.16)

Fig.5.21. escurçament d’un molla


teòricament plana al mateix temps i totes minvarien amb el mateix valor. En el model

presentat les longituts de les molles presenten però una distribució de campana de

Gauss, per tant, no totes les molles prenen contacte en el mateix moment amb la

superfície teòrica, per tant, s'ha de fer una estimació de quina és la disminució de la

longitut mitjana total de les molles per a una penetració x donada.

En la Fig.5.22 per a una penetració de x donada, la mitjana representativa de les longituts

totals, és la mitjana (centre de gravetat de l'area sota la corva fins al punt x ).

Per tant

Si x és el valor mitjà de les profunditats en referència a la molla més llarga, llavors el

tram mitjà comprimit és x X− .

El mateix efecte tenim amb el valor promig de les molles ( X 0) per a una distància x

donada. El valor de X 0 serà doncs la distància entre el punt de base les molles i el punt

(5.17) ∫∫= X

X

dttf

dttftx

0

0

).(

).(.

Fig. 5.16

X x


de mitjana de longituts de molles entre 0 i X. Es a dir :

∫∫

−= X

X

dttf

dttftX

0

00

).(

).(.6σ

Substituint tots els valors en

S'arriba a : (Tenint en comte que Xo comença a la base (6 sigma)

I substituint per f(t) :

(5.18)

)()(.)(0

xSX

XxExN ⋅−

= (5.19)

∫∫

∫

∫∫

−

⋅

−⋅⋅

=

X

X

X

X

X

dttf

dttft

Edttf

dttftxSdttf

xN

0

0

0

00

0

).(

).(.6

).(

).(.).(

)(

σ

(5.20)

dte

dtet

Edte

dtetxSdte

xN

Xt

Xt

X t

X t

X t

.

..6

.

...

2.1

)(

0.2

)(0

.2)(

0

.2)(

0

.2)(

00

.2)(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∫

∫

∫

∫∫

−−

−−

−−

−−

−−

−

⋅

−⋅⋅

=

σµ

σµ

σµ

σ

µ

σµ

σ

πσ

(5.21)


I desenvolupant igualment per a la superfície, obtenim :

On

N(x) : força a aplicar per aconseguir penetrar una profunditat x

So : secció total

E : mòdul d'elasticitat

µ : profunditat mitjana

σ : desviació tipus de les mostres.

La tipologia general de la funció anterior (5.20) és la següent :

SodtexSX

t

..2.

1)(0

.2)(2

2

⋅= ∫

−−

σ

µ

πσ (5.20)

x

N(x)

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

Fig.5.23. Esforç versus desplaçament


La tipologia de (5.22) pren la forma :

El significat de les gràfiques anteriors està plenament d'acord amb el que cabria

presuposar del comportament del contacte entre dues superfícies. Respecte a la primera

gràfica (Fig.5.23) el comportament és l'esperat, per a penetracions o aproximacions

petites entre les superfícies de l'ordre de 1σ la força que s'ha de fer per aproximar dites

superfícies és manté constant a quasi zero, aquest comportament és d'esperar ja que els

contactes en aquest primer instant són pocs. a mesura que la distància de penetració va

augmentant, l'esforç puja subtadament. A partir d'un punt (aproximadament 6 σ) l'esforç

que s'ha de fer per continuar aproximant les dues superficies és lineal. Aquest

comportament s'ha de donar, ja que ha partir d'una certa pressió, la superfície total de

contacte roman quasi constant, aleshores la llei de Hook és vàlida macroscòpicament i

els increments de longitut passen a ser proporcionals a les tensions.

Respecte a la segona gràfica (Fig.5.24) el resultat també és l'esperat amb el model, a

partir d'una certa distància de penetració, la superfície contactada per una altre superficie

totalment plana convergeix cap a la superfície o secció total So.

X

S(x)/S0

0 2 4 6 8 10

Fig.5.24. escurçament d’un molla

1

0


L'equació (5.21) que ens relaciona N(x) amb x hauria de convergir amb la llei de Hook per

a valors suficienment grans, ja que a partir d'una x elevada (x>6σ) els termes següents

convergeixen cap a les següents expressions :

→ 1

→ 3 σ

Llavors, l'expressió assoleix la forma :

Reordenant termes :

Equació que concorda amb la llei de Hook i per tant convergeix amb la teoria

macroscòpica.

Aquest estudi preliminar es necessari si es vol conèixer previament quina totalitat de la

superfície de dues peces està en contacte per a determinar Acond . Una utilitat

important, però poc fiable és fer una estimació de l'esforç a que s'han de mantenir les

peces a fi i efecte d'assegurar un contacte mínim. Aquest estudi tant sols intenta

modelitzar a petits trets el comportament en el contacte entre dos superfícies. Les

mancances del model poden ser moltes, com per exemple la no contemplació de la

∫+→

X

xdttflim

0inf

).( (5.23)

∫

∫−

−

−−

+→ X t

X t

x

dte

dtetlim

0

.2)(

0

.2)(

inf

.

..

2

2

2

2

σµ

σµ

(5.24)

ExSExSxN ⋅−

=⋅−−

=σ

σσσσ

3)3.(

36)3.()( 00 (5.25)

(5.26) σ

σ3

)3(.)(

0

−=

xES

xN


plastificació puntual de microzones on la pressió pot superar la pressió del material de

fluència. En aquestes zones es donaria un contacte superficial del quasi el 100 %,

invalidant en part la distribució estadística donada. Tot i tenint en compte aquestes

deficiències, el model ens ajuda a representar en una primera aproximació aquest

comportament.Un cas teòric a aplicar al model donat pot contrastar-se amb dades reals

extretes de diferents assajos.

Considerem dues superficies de 20 cm2 amb una distribució de superfície de (0-0,6) mm.

σ=0,1 i E=2100000. i la mitjana 3. S'obté :

x N(Kg) S(%) P (Kg/cm2) Pefec (Kg/cm2) 0 0 0 0 0

0,01 1,0709 0,05159 0,053545 103,789494 0,02 5,4207 0,1205 0,271035 224,925311 0,03 15,696 0,2117 0,7848 370,713274 0,04 36,458 0,3311 1,8229 550,558744 0,05 75,3911 0,4859 3,769555 775,788228 0,06 145,181 0,6847 7,25905 1060,17964 0,07 266,304 0,9374 13,3152 1420,43951 0,08 471,191 1,2553 23,55955 1876,80634 0,09 810,014 1,6514 40,5007 2452,50696

0,1 1358,91 2,14 67,9455 3175,02336

E=2100000 sigma=1 Superf=20 cm2

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

x

N(x

)

0

2

4

6

8

10

12

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

x

Supe

rfíc

ie(%

)

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6

Fig.5.25 Esforç a compressió Fig.5.26 Superfície de contacte


Per a validar aquest resultat és necessari contrastar-ho amb els resultats obtinguts amb

diversos assajos realitzats a laboratori. El nostre model en que la superfície de contacte

entre dues superfícies pulides les superfícies de les quals presenten una distribució

normal i que la rugositat en aquesta sigui de varis ordres de magnitut inferior als

diàmetres d'aquestes, prediu que per aconseguir superfícies de contacte porcentualment

petites (1%) es necessiten pressions elevades 23 Kg/cm2, i per arribar a contactes de un

2% de superfície es necessitarien uns 70 Kg/cm2 . Per a percentatges més elevats de

contacte superficial (15%), s'haurien de sotmetre les peces unes compressions

impracticables de 40.000 Kg/cm2, evidentment, el material ja hauria passat pel punt de

fluència. Per tant el model no és aplicable a partir de pressions elevades, o el qué és el

mateix, a partir de percentatges d'area de conducció elevades.

Per tant, és important tenir en compte que aquest model és vàlid només en el tram lineal

(compressions-deformacions), i s'ha de tenir especial atenció en considerar que aquest

deix de ser vàlid en quan les pressions que s'obtenen sobrepassen el límit de fluència del

material. Quan s'arriba a aquest punt, que realment s'inicia per zones microscòpiques on

s'ha rebasat el límit de fluència, és produeix una plastificació i localment pren contacte un

elevadíssim percentatge d' àtoms, millorant així la conducció. Evidentment, si fos de vital

importància assegurar un contacte molt elevat, tant sols caldria exposar les dues peces a

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

2

2,25

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Pressió (Kg/cm2)

% s

uper

fície

Força(Kp)

Fig.5.27 Superficie vs esforç Fig.5.28 Guany marginal

0,0001

0,001

0,01

0,1

11 10 100 1000

N(kg)

inc(

N)/i

nc(S

)

Força(Kp)


la compressió de fluència de la mostra de menor tensió de fluència, així ens

asseguraríem un contacte superficial elevat. Però el principal problema en que ens

trobem és que els metalls en que s'està treballant presenten una tensió de fluència

elevada, de l'ordre de uns quants milers de Kg/cm^2 , tenint en compte que les seccions

tenen uns 20 cm^2, les pressions a donar serien massa elevades i es necessitarien

premses descomunals. Ens centrarem doncs únicament en les tensions que produeixen

deformacions lineals.

Per tant, aquest model prediu que un gran increment de pressió no comporta a una

millora apreciable (en el tram lineal compressions-deformacions) de conducció a partir

d'una area efectiva de contacte de un 1%.

Ara comprovarem si efectivament l'àrea de contacte és percentualment tant petita com

prediu el nostre model :

Anem a determinar de quin ordre és l'area de conducció, per tant , en la comprovació

següent suposarem que tant la peça A com la B estan fetes amb el mateix material.

Podem escriure doncs

λ λ λAB

A condB A

ggas conv

B A

gA

T Tx

AT T

LA

T TL

⋅ ⋅−

= ⋅ ⋅−

+ ⋅ ⋅−2 2 2 2 2 2

∆

Fig.5.28

(5.27)


Si despreciem la part deguda únicament a convecció obtenim el següent resultat :

% . .AT TT T

Lxcond

B

B A

g<

−−

100 2 2

2 2 ∆

Que ens acota superiorment el percentatge de superfície en contacte.

Per al valor de Lg podem recòrrer a determinar l' estat de les superfíces amb un

comparador, per poder determinar el valor mitjà d'aquest.

Comprovem de quin ordre és aquesta superfície introduïnt valors característics obtinguts

a laboratori :

T2-T2B = 10

T2B-T2A = 5

x = 2 cm

Lg = 0.001 cm

L’expressió (5.28) dóna un valor de % Acond < 0.1 fet que concorda amb el model , ja que

preveu una superfície de contacte ínfima.

(5.28)


5.5 Conclusións La conclusió final sobre aquest apartat és la següent :

Per a tenir una bona conducció en les interfícies, el millor és aconseguir un bon poliment

de les superfícies, si aquestes presenten concavitats o convexitats, els punts de contacte

entre ambdues poden arribar a ser del tot insignificants (<<0.01 %). En el cas de

presentar la superfície punts no pulits que sobresurtin, afectaran aquests punts que

sobresurten als seus inmediats veïns impossibilitant-los de mantenir un contacte amb la

superfície contrària i afectant greument la conducció. En els millor dels casos, si

aconseguim un bon acabat de les superfícies l'alçada dels punts d'aquesta han de seguir

una normal, ja s'ha vist que tot i així la superfície de contacte és ínfima, però no

despreciable. Per tant s'ha d' aconseguir un bon puliment de les superfícies de contacte i

pressionar-les durant els assajos.

Tenint en compte que a partir de pressions relativament baixes s’aconsegueix el millor

increment en la conducció i que per arribar a un percentatge de superfície notable s’han

de practicar compressions, un disseny que presenti un equip que permeti grans

compressions és innecesari, realment donant una pressió mecànica manual és suficient,

ja que el rendiment marginal (fig.5.28) és molt més important a compressions baixes.

S'ha vist la importància del fenomen de la convecció. La convecció transmet la calor amb

més dificultat que la conducció, per tant, al participar ambdues (convecció + conducció)

en la transferència de calor en les interfases, el salt de temperatura a la interfase serà

forçosament major que en el cas d'existir continuitat únicament sòlida, ja que ara , la

resistència que ofereix la interfície és major, per tant, per a garantir un mateix flux de

calor s'ha d'incrementar el salt tèrmic.

Quan més elevat sigui el percentatge de convecció entre les dues superfícies (enfront la

conducció) , més gran serà el salt tèrmic. Aixó és degut a que al treballar en paral.lel els

dos sistemes, i al tenir un coeficent de transferència més baix la convecció que la

conducció, quan major importància té la convecció més gran ha de ser el salt de

temperatura a fi i efecte de mantenir la potència constant al llarg de la peça.


La solució òptima seria poder aconseguir que en les interfícies, la conducció fos el més

gran possible enfront a la convecció, ja que quan més important és el paper de la

conducció, més fàcilment la potència travessa la mostra, d'aquesta manera s'aconsegueix

millorar l'objectiu de tenir un flux de calor axial el més gran possible enfront de pèrdues

laterals.

Per aconseguir un paper més important de la conducció enfront de la convecció es pot

recòrrer a diferents solucions : pulir les superficies de contacte, col.locar líquid conductor

a la interfície, pressionar mínimament les peces... peró totes elles no evitaran una

caiguda sobtada de temperatura a la interfície ja que el percentatge en aquesta que

careix de contacte directe és molt elevat, per tant qualsevol sobreesforç en aquesta

direcció careix de sentit i s’han de buscar en consequència altres mètodes per aconseguir

l’objectiu inicial: un flux longitudinal de calor i el més gran possible.


Capítol 6 Mètodes d’aïllament

6.1 Introducció 6.2 Mètodes d’aíllament 6.3 Conclusions


6 MÈTODES D’AÏLLAMENT 6.1 INTRODUCCIÓ L’aillament tèrmic és un dels requisits que ha de cumplir un bon conductivímetre per

apropar-se a les condicions d’idealitat. Aquest aïllament tèrmic, a més, s’ha de cumplir

només en una determinada direcció.

L’aïllament tèrmic ha estat per a l’enginyeria un dels reptes a vèncer per aconseguir un

mateix objectiu, minimitzar la transferència de calor. En la industria alimentaria , en la

construcció i empreses de tots els àmbits s’utilitzen diverses tipologies d’aïllament tèrmic

per aconseguir diversos objectius (estalvi energètic, refredaments elevats,

escalfaments ...). En l’última decada s’han aconseguit aïllants millors i més barats, tot

aixó gràcies a la recent investigació en un dels camps en plena expansió en el món de

l’enginyeria, els aïllants. Un dels exemples més importants aconseguits en aquesta

dècada han estat la dels materials anomenats aerogels, d’una densitat comparable a la

de l’aire i conductivitat tèrmica extremadament baixa.

Per a un conductivímetre, l’aïllament tèrmic és extremadament important, ja que es pretén

obtenir un flux de calor en una direcció determinada (axial) i anul.lar les fuites de calor

radials. Per aconseguir aquest objectiu d’aillament es pot recòrrer a vàries tècniques,

desde materials de baixa conductivitat, fins a sistemes més sofisticats com forns de

guarda que dificulten la transmissió radial de calor.


6.2. AÏLLAMENTS La transferència de calor es pot produir per tres fenòmens,: conducció, radiació i

convecció. Coneixent la naturalesa de la transfència de cadascuna d’elles es poden

realitzar diferents metodologies per a frenar el trasvàs energètic de flux de calor.A

continuació es farà una breu explicació de la metodologia emprada per a reduir cadascun

dels trasvassos d’energia.

•Aïllaments per a la conducció. L’expressió de la primera llei de la transferència de calor ens diu que el flux de potència

tèrmica és proporcional algradient de temperatures, essent la constant de proporcionalitat

la conductivitat tèrmica del material.

I que en el cas particular de paret plana amb conductivitat constant l’expressió de flux de

potència es tradueix a la senzilla igualtat següent :

dxdT

Aq

x

⋅−= λ

dTbTa

xT

Aq

x

−⋅−=

∆∆

⋅−= λλ

Ta

Tb

λ

d

(6.1)

(6.2)

Fig.6.1


En el cas de tenir un seguit de materials conexes (disposició en sèrie) es té la següent

igualtat per al trasvàs energètic.

Similarment a com passa en els corrents elèctrics, la diferencia de temperatures entre els

extrems del seguit de peces representaria el diferencial de potencial, els termes di/λi

serien les resistències que composarien el circuit i el flux de calor per unitat de superfície

correspondria a la intensitat elèctrica.

Per a una distribució en forma cil.líndrica, es té una transmissió de potència com la

següent :

λA λB λC

Ta

Tb

C

c

B

b

A

ax dddTbTa

Aq

λλλ

λ++

−⋅−=

LDiDo

ToTiqr

πλ2

ln

−

=

Fig.6.2

(6.3)

Do

Di

Fig.6.3

(6.4)

To

Ti


∑∑

=

=

−

∆=

−

= n

in

i n

n

nr

R

T

LDDToTiq

1

1

1

2

ln

πλ

En el cas de tenir un seguit de superfícies cil.líndriques conexes, el flux de calor radial

que s’establiria degut a l’increment de temperatura entre els dos extrems seria :

En el cas del conductivímetre, la tipologia cil.líndrica és la més escaient per prendre el

model d’aïllament lateral, i simplificant el problema, es pot associar en un primer model la

(Fig.6.4) on una de les capes estaria composada per a un aillant, és a dir d’un material

amb una λ baixa. Les altres capes representarien el recipient on està contingut l’aillant i

altres parts del conductivímetre, en el centre estaria disposada la columna de peces.

Com es pot veure en l’equació (6.5) l’aillant juga el paper de resistència dins d’una cadena

de resistències, és a dir forma part del sumatori de resistències per conducció.

Ti To

∑=

−

−

=

n

i n

n

nr

LDDToTiq

1

1

2

ln

πλ

Fig.6.4

(6.5)

(6.6)


L’expressió d’ aquesta resistència és la següent :

LDD

Rn

n

n

n πλ2

ln1

= −

Analitzant-la s’arriba a les següents conclusions :

• El pes de la resistència tèrmica de l’anell d’aïllant

és inversament proporcional a la conductivitat

tèrmica de l’aillant, per tant interessa evidentment

un material amb conductivitat baixa.aïllant

•La resistència es proporcional al logaritme de la

relació de diàmetres que forma l’anell. Per tant, una

relació gran entre diàmetres comporta a un

aillament elevat. Com que el diàmetre intern de

l’aillant està acotat per la geometria del propi

conductivímetre, només es pot jugar amb el

diàmetre exterior, fet que condiciona que no

s’utilitzin gruixos elevats d’aïllant per què tant sols

s’aconsegueix augmentar la resistència en l’ordre

del logaritme de la relació de diàmetres, el que

significa, a grans trets, que grans augments en

gruix d’aïllants no comporten a grans resistències

d’aïllament tèrmic.

(6.7)

α

λ

α

Do/Di

Fig.6.5

Fig.6.6


Com a conclusió d’aquesta primera part dedicada a la conducció, es té que per a tenir

una gran resistència a la conducció és necessari tenir una material aillant (baixa

conductivitat) amb un gruix de paret suficient, però no per que aquest tingui un gruix molt

elevat, s’aconseguiran efectes aillants proporcionals.

•Aïllaments per a la convecció. La convecció és el mecanisme de transferència de calor característic de les interfícies,

normalment sòlid-fluid. La fòrmula que permet calcular la potència transmesa per aquest

medi, entre una superfície a temperatura To i un fluid a T∞ és :

Aquesta agitació pot ser espontània a causa de la varició de la densitat amb la

temperatura, o afavorida mitjançant l’aportació d’energia externa, el primer cas es

denomina convecció natural i el segon convecció forçada.

La convecció es tracta d’un fenomen complex, que s’inicia amb la conducció a través de

les mol.lècules del fluid adherides a la superfície del sòlid. Posteriorment aquest procés

continua gràcies al moviment dels paquets de mol.lècules que afavoreix la potència

tèrmica transmesa.

Per a l’estudi de la convecció s’utilitzen paràmetres adimensionals que defineixen el

comportament del sistema. Aquest paràmetres són :

•Nre. De Reynolds •Nre. De Prantl

)( 0 ∞−= TTAhq c

µρvL

L =Re

αν

=Pr

Relació entre les forces d’inèrcia i les forces viscoses.

Quocient entre les difusivitat mecànica i tèrmica

(6.8)


•Nre. De Grashof •Nre. De Nusselt Així mateix, és molt freqüent trobar-se a la pràctica amb fenòmens de transferència de

calor en que intervenen l’aigua i l’aire, en aquest cas és possible fer l’estudi mitjançant les

fòrmules simplificades per a aquests dos elements. En general aquestes fòrmules

proporcionen valors més ajustats i són en general, d’ús més senzill. A més existeixen

fòrmules simplificades per altres fluids, fòrmules que són la síntesi de la interpolació de

multitut d’experiencies elaborades per investigadors.

En el cas del conductivímetre, la convecció quasi no intervé en la transferència

energètica, ja que entre les peces i el conductivímetre no existeixen pràcticament volums

de fluids, a més, tenint en compte que les experiències es poden realitzar en el buit, la

transferència per convecció queda totalment anulada. Així doncs, a efectes pràctics no

es contempla la convecció, ja que aquesta ja no apareix com a forma de trasvàs

energètic, o dit d’una altre manera, l’objectiu d’anul.lar aquesta transferència s’aconseguit

a priori al ser aquesta ja quasi nul.la.

2

3)(ν

β LTTgGr o ∞−

=

λLhNu c=

La seva arrel cuadrada té un paper anàleg, en el cas de la convecció natural, al desenvolupat pel ReL en la convecció forçada. β és el coeficient de dilatació volumètrica.

A partir d’aquest paràmetre s’obté el coeficient de convecció.


•Aïllaments per a la radiació. Suposem que tenim dues plaques metàl.lique molt properes, amb un coeficient

d’emisivitat ε i a diferent temperatura, la transferència de calor per unitat de superfície

establerta entre ambdues degut a la radiació ve donada per la següent eqüació:

Per a simplificar el desenvolupament següent suposarem que les plaques tenen la

mateixa emisivitat εm=εn=ε, llavors la igualtat anterior pren la forma següent :

111)( 44

0 −+

−=

nm

nm TTAq

εε

σ

On σ és la constant de Boltzman i el seu valor és 5,67E-8 W/m2K4,ε1 i ε2 són les esmisivitats corresponents a cadascuna de les plaques.

Tm Tn

)(22

)( 4444

0nm

nm TTTTAq

−−

=−

−= σ

εε

εεσ

(6.9)

(6.10)


Si col.loquem una placa entre mig de les dues anteriors i mantenim les temperatures de

les plaques extremes :

Les equacions de transferència passen a ser :

Per tant, posant una placa metàl.lica intermitja a les del primer cas, rebaixem la

transferència energètica per radiació fins a la meitat.

En el cas de posar s plaques intermitges entre les dues a temperatures Tm i Tn amb el

mateix ε, s’obté el següent resultat :

Tm Tn T1

)(2

)(2

441

41

4

1nm TTTT

Aq

−−

=−−

= σε

εσ

εε

Sumant les dos expresions últimes obtenim :

2)(

2

44

1

nm TTAq −

−= σ

εε

Amb el que s’obté :

2)(

2044

1

Aq

TTAq

nm =−−

= σε

ε

Tm T2 T1 Ts-1 Tn Ts

...

s plaques intermitges

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Fig.6.7

Fig.6.8


Les equacions de transferència energètica són :

Sumant les s+1 últimes expresions obtenim :

Com a resultat obtenim que si entre dues plaques d’emisivitat ε s’en situen un nombre s,

la potència que es transmet és s+1 vegades més petita que en el cas de no existir

plaques

Aquest cas és considerant com de plaques infinites, o el que és el mateix, que la

distància que separa les plaques sigui molt més petita que la dimensió de les plaques.

En el conductivímetre, si es volgués apantallar la radiació, seria lògic fer-ho disposant de

plaques cil.lindriques al voltant de les peces . Per tant, la reducció de potència degut a

l’apantallament per plaques s’ha de prendre com a aproximació de l’ordre de magnitud.

Quan més juntes estiguin les làmines cil.lindriques i més estret sigui el gruix total que

ocupent totes elles, més ens acostarem al càlcul anterior (6.15).

)(2

)(2

...)(2

)(2

44441

42

41

41

4nsssm

sTTTTTTTT

Aq

−−

=−−

==−−

=−−

= − σε

εσ

εε

σε

εσ

εε

12

44

+−

−=

sTT

Aq nm

s

σε

ε

(6.14)

(6.15)

apantallament per radiació


D’aquest apartat es conclou que l’aillament que és produiria en un apantallament per

làmines cil.lindriques, seria aproximadament el que ens dona la següent expresió:

Per tant, on s’aconsegueix una reducció més important de flux de calor és en les primeres

plaques,

Anem ara a comparar dos dels sistemes d’aïllaments, l’aïllament per conducció i

l’aillament per apantallament a la radiació.

Partirem d’entre dues plaques planes d’alumini

paraleles situades a 10 cm de distància (ordre de

magnitut del problema tractat en aquest estudi) i

cadascuna d’elles a diferent temperatura, una

d’elles a 300 K (25ºc)i l’ altre a Tsup. L’aïllament

per conducció es basarà en un material de baixa

conductivitat, mentre que l’aïllament per

apantallament tèrmic consistirà en extreure l’aire

d’entre les plaques i situar-hi un conjunt de

pantalles paraleles d’alumini.

11

: +=

nK

Aq

plaquesn

300 K Tsup

10 cm

reducció de perdues per radiació

0102030405060708090

100

0 5 10 15

nº de plaques

Potè

ncia

tran

smes

a (%

)

Fig.6.9 Reducció de pèrdues per apantallament

(6.16)

Fig.6.10


Les solucions proposades són les següents : La potència transmesa pel tipus d’aillament A,sense tenir en compte el signe, és :

Mentre la potència transmesa pel tipus d’aillament B, es del tipus :

On n és el nombre de plaques interposades. És d’especial interés per l’objectiu d’aquest apartat escriure (6.18) en el format :

Tsup

1,0300sup−

=T

Aq

λ

300 K

Plaques d’alumini

B

300 K Tsup

aillant

A

λ

1300sup

2

44

+−

−=

nT

Aq

σε

ε

ℜ∆

=T

Aq

(6.17)

(6.18)

(6.19)

Fig.6.11


Per poder apreciar de que depèn la “resistència tèrmica” en el cas de la radiació.

Desenvolupant :

Reordenant termes : Per tant la resistència tèrmica serà l’expressió :

En el que es comprova que la resistència tèrmica és proporcional al nombre de plaques

que s’interposin, i inversament proporcional al coeficient d’emissió.

És especialment important veure que l’efectivitat de la resistència tèrmica depèn de les

temperatures, ja que els termes de temperatures del denominador penalitzen molt en

altes temperatures la resistivitat tèrmica, i per tant es preveu que la funció

d’apantallament tèrmic sigui efectiva a temperatures moderades peró no a altes

temperatures. Aixó implicarà que en el disseny d’aillament és molt important saber en

quin rang de temperatures es mourà l’experimentació per determinar quin mètode

d’aillament escollir. A grans trets, ja es preveu que per a zones properes al nucli s’hauria

d’utilitzar material aillant, i per les zones més externes (més fredes) s’hauria d’utilitzar

apantallament tèrmic.

1)300sup)(300sup)(300sup(

21300sup

2

2244

+−++

−=

+−

−=

nTTT

nT

Aq

σε

εσ

εε

σε

ε−

++

+−

=

2).300sup)(300sup(

1)300sup(

22 TT

nT

Aq

σε

ε−

++

+=ℜ

2).300sup)(300sup(

122 TT

n

(6.20)

(6.21)

(6.22)


Per a comparar els dos mètodes, de forma aproximada, es calcula quan s’estableix un

mateix trasvàs de potència pels dos mètodes d’aillament, igualant les dues expresions

(6.17) (6.18) s’obté :

Desenvolupant el segon terme Simplificant Si es vol comparar el nombre de plaques necessaries per tenir el mateix efecte que un

material de conductivitat λ que separa dues plaques situades a 10 cm de distància amb la

placa més freda a 300 K i plaques de emisivitat ε=0,1, es té la següent expressió :

1infsup

2infsup 44

+−

−=

∆−

=n

TTxtT

Aq

σε

ελ

σε

ε

λ

−++

+−

=∆−

=

2inf)sup)(infsup(

1inf)sup(infsup

22 TTTT

nTT

xtT

Aq

12

inf)sup)(infsup( 22

+−

++=

∆ n

TTTT

x

σε

ελ

11,01̂,0)300sup)(300sup( 22

−⋅++

=λ

σTTn

(6.23)

(6.24)

(6.25)

(6.26)


Que representada gràficament s’ obté :

Gràfica de la qual se n’extreuen les següents conclusions :

•Per a baixes temperatures, les plaques a posar que equivalen a 10 cm. de gruix d’aillant

entren dins un rang assequible (2-10 plaques).

•Per a temperatures moderades, amb un petit nombre de plaques (2-10 plaques)

s’aconsegueixen aillaments tant importants o més com els aconseguits per aïllaments

tant sofisticats com poden ser els aerogels.

•Per a temperatures elevades de Tsup i aillaments elevats es necessita una gran

quantitat de plaques paraleles (60-100 plaques), fet que queda limitat per l’espai fixat

inicialment pel recinte aillant de 10 cm. Així mateix també s’ha de valorar l’eficiència d’un

aillant en els 10 cm. d’espai disponible.

Per tant, els camps d’utilització de cadascun dels dos mètodes dependrà del rang de

temperatures que ens trobem i de l’aillament que es vulgui donar. Per a importants

gradients de temperatura els mètodoes d’aillament més adequats seran els material

aïllants (aerogels, pols de diatomàcees...) mentre que per a salts més moderats de

gradients i per a temperatures amb valor absolut més baixes, és interesant pensar en

Fig.6.12

1

10

100

300 500 700 900

nº p

laqu

es e

quiv

alen

ts

lamda=0,1

lamda=0,05

lamda=0,02

lamda=0,01

Tsup


adoptar un mètode per apantallament tèrmic. La combinació dels dos mètodes promet els

millors resultats.

A continuació es presenten diverses configuracions de sistemes d’aïllament, combinant

l’apantallament (radiació) i aillament material. Aquestes configuracions es comparen amb

el cas de tenir una peça cil.líndrica sense aillament (cas 8).

Els càlculs de potència s’han realitzat de forma simpificada ja que el que es pretén es

comparar si existeix una substancial millora emprant un determinat mètode. El nostre

objectiu és determinar quin tipus de disseny aillant obté millors resultat.

Per a obtenir un resultat orientatiu de quina és la millor configuració, s’ha calculat per

diversos dissenys d’aillaments, quina potència es dissipa a través d’ells, evidentment, el

millor serà aquell disseny que dificulti més el trasvàs d’energia calorífica.

Les variables usades per aquests càlculs, s’els li ha donat un valor realista del que es té

en realitat , tant per el que fa a la conductivitat de les diatomàcees com per a constant

d’emisivitat o al coeficient de convecció.

Els càlculs realitzats sobre aquests diferents dissenys estan inclosos en l’annex nº 8.


Les diferents configuracions de prototipus candidates a millor disseny són els següents :

El cas 8, desprovist de qualsevol aïllament és el cas de referència per poder valorar la

resta de casos. Ha tots els models se’ls li ha calculat quina potència dissipen si la

columna interior està a 773 K i exteriorment es té una temperatura de 293 K, els demés

paràmetres (diàmetres, conductivitats, emisivitats ...) estan definits en l’annex 8.

Fig.6.13


Els valors obtinguts de les potències dissipades per a cada model, són els següents :

Com s’aprecia, el cas 8 és el cas amb més dissipació energètica ja que no està provist de

cap tipus d’aïllament, les restants tipologies estan provistes d’aillament, aíllaments que

redueixen la potència dissipada, sense ser valors excepcionalment importants.

Tots els model proposats tenen en comú dues plaques metal.liques que conformen el

recinte en el qual s’ha de dissenyar el model òptim per garantir un aillament el més gran

possible. Aquest recinte està acotat per les parets 2 i 7.Aquest recinte finalment està

envoltat per una cúpula de vidre amb la qual s’aconsegueix aconseguir el buit en tot

l’interior.

El cas 4, contempla només el recinte anterior sense introduir parts aillants en el seu

interior, evidentment, aquest és el que fa pitjor la funció d’aïllant.

Els demés casos són fets per una combinació de diferents sectors dins d’aquest recinte

en el qual es disposa de subsectors amb aillant i altres amb càmeres de buit confinades

entre plaques metal.liques.7

El cas 3, la seva eficàcia depèn en gran part de la proximitat de les plaques d’alumini que

s’utilitzen per apantallar, quan més properes estiguin aquestes, més s’aproximaran a la

geometria de plaques planes, amb la inmediata consequència que s’obtindran millores en

l’aíllament proporcional al nombre de plaques.

76,72 70,28

94,66

193

64,24 60,61

224

0

50

100

150

200

250

CAS1 CAS2 CAS3 CAS4 CAS5 CAS7 CAS8

W/m

Fig.6.14


El següent gràfic presenta la potència dissipada versus la proximitat de les plaques : El model 5 és el model en que tota la capacitat del recinte s’ha utilitzat pols aillant per

actuar com a aïllant, la reducció de potència dissipada respecte el cas 8 és important,

amb una reducció de potència dissipada del 71 %.

Els casos 1 i 2 son diferents propostes de combinacions d’aillament (apantallament + pols

diatomàcees), fent una funció prou bona però encara no òptima.

El més important a observar en la gràfica (Fig 6.14) anterior, és el disseny amb menys

pèrdues (73 % d’aillamet respecte cas 8), aquest és el model 7, i és una combinació dels

mètodes d’aillament amb aillant i amb apantallament tèrmic, disposant en les zones de

més gradient tèrmic material d’aillament (pols de diatomàcees) i en la zona exterior, amb

menys gradient tèrmic s’utilitza aillament per apantallament tèrmic. Aquest fet confirma la

teoria introduida en aquest apartat, en el que s’ha demostrat que l’aillament per

apantallament és millor en petits gradients de temperatura i per a temperatures baixes en

valor absolut. Per tant, el millor disseny de conductivímetre és una combinació del dos

mètodes, en el qual l’apantallament tèrmic té la seva màxima eficiencia a baixes

temperatures i l’aillament amb pols és més rendible a altes temperatures .

aïllament

72,5373,97

76,7

81,8

90,7

70

75

80

85

90

95

0 5 10

distància entre làmines [m m]

potè

ncia

per

duda

[w/m

]

Fig.6.15


6.3 CONCLUSIONS Despres d’analitzar les diverses tipologies d’aillaments amb diferents dissenys, s’ha

arribat a la conclusió que el millor model proposat per a aconseguir un aillament òptim, és

disposar d’una primer recinte amb material aillant i a continuació un recinte amb plaques

metàl.liques que actuin per apantallament tèrmic. Aquest resultat ha estat comprobat i

contrastat amb diferents models en el capítol anterior, i, efectivament els millors resultats

es donen per la distribució descrita.

L’aillament proposat d’altes prestacions és especialment útil per incorporar en

conductivímetres que no disposen de forn de guarda, i per tant la seva efectivitat per a la

determinació de la conductivitat depèn fonamentalment de les garanties d’aillament.

Un punt especialment important a tenir en compte és que l’aillament a obtenir per a la

conducció està acotat, és a dir, els valors mínims de conductivitat que podem disposar en

el nostre conductivímetre ve donat per la naturalesa de l’aillant emprat. Els millors aillants

coneguts fins ara (aerogels) estan en l’ordre de 0,02 Wm-1K-1. A efectes pràctics aixó

suposa que al tenir un recinte limitat per disposar de l’aillament, el poder d’aillament

emprant aillants està limitat.

Fig.6.16

Columna central

aíllant

Plaques metal.liques


En el cas exposat en el capítol anterior en el que es disposava de dues plaques a

diferents temperatures

l’aillament màxim actual que es pot aconseguir, és de :

Per tant, disposant del millor aillament que ens permet la tecnologia actual se’ns

dissiparien 0,2 Watts per metre quadrat de superfície per cada grau de diferència entre

ambdues plaques. Suposant una diferència de 50º entre plaques s’obtindria una perdua

energètica de 10 watts per metre quadrat.

Encara que aquesta potència sigui minsa, és la potència mínima que es pot arribar

mitjançant aquesta tecnologia. Per tant, queda preguntar si és possible disminuir encara

més aquests 10 W/m2.

Tinf Tsup

10 cm

Tinf Tsup

aillant

A

λ Km

WxTA

qx

22,01,0

102,01=⋅=

∆⋅=

∆λ

Fig.6.17

Fig.6.18

(6.27)


Si recorrem a la segona possibilitat d’aillament per apantallament tèrmic suposant

emissivitats iguals per a tots els components:

Suposant que es tinguin 350 K de T sup, desenvolupant .

Per tant, per aquest cas, es veu que posant aproximadament tres plaques, s’aconsegueix

una efecte aillant de la mateixa qualitat que amb l’aillament més sofisticat que es coneix, i

superar-lo ampliament posant més plaques entre les dues plaques extremes, tot

dependrà del nombre de plaques que càpiguen en el recinte, suposant que hi poguèssim

posar aproximadament 19 plaques intermitges (5 mm de separació entre cadascuna

d’elles), s’aconseguiria rebaixar la potència fins a 1 Wm-2K-1, el que suposa una millora

respecte el màxim possible mitjançant aïllants importantíssima.

El principal avantatge doncs de l’apantallament tèrmic és que la seva eficiència es pot fer

en teoria tant gran com es vulgui, ja que la potència dissipada es inversament

proporcional al nombre de plaques que es col.loquin en el recinte. Això però està acotat

1300sup

2

44

+−

−=

nT

Aq

σε

ε

300 K

Plaques d’alumini

B

Tsup

244

/15,19

130035005,0.867,5 mW

nnE

Aq

+=

+−

−=

(6.28)

Fig.6.19


realment per a la tècnica, ja que el nombre de plaques possibles (en el cas real

cil.lindriques) dependrà de la mínima proximitat que la tècnica permiti col.locar.

En segon lloc anotar que el grau de rendiment de l’apantallament tèrmic depèn dels rangs

de temperatura en que es mogui l’experimentació. Com s’ha demostrat anteriorment, a

altes temperatures l’apantallament tèrmic deixa de tenir efectivitat i passa a tenir

protagonisme l’aillament per conducció. Per tant, combinant las característiques més

favorables de cadascuna de les dues tipologies d’aillament s’aconsegueix un recinte amb

l’ efecte aïllant òptim.


119

Capítol 7 Els errors en les mesures experimentals

7.1 Introducció a les medicions 7.2 Nocions generals sobre la precisió i els errors de les medicions 7.3 Exemple d’aplicació en els termoparells


120

7. ELS ERRORS EN LES MESURES EXPERIMENTALS. 7.1 INTRODUCCIÓ A LES MEDICIONS

S’anomena medició el procés que consisteix en obtenir, mitjançant experiments, la relació

numèrica entre una magnitud subjecta a medició i un cert valor adoptat com a unitat de

referència.

El número que expressa la relació entre la magnitud subjecta a medició i la unitat de

mesura, s’anomena valor numèric de la magnitud subjecta a medició (Pre 80); aquest

valor pot ser enter o fracció, però és un número abstracte. El valor de la magnitud,

adoptat com a unitat de mesura, s’anomena dimensió d’aquesta unitat.

A l’escollir les unitats de mesura es necessari adoptar el factor de ‘comoditat’, és a dir, el

resultat de les medicions s’ha d’expressar, tant com sigui possible, per un valor ‘còmode’,

ni molt gran ni molt petit.

Si la unitat de medició és representada en forma d’una mostra concreta, anomenada

mesura, aleshores el procés de mesura consisteix en comparar directament la magnitud

subjecta a medició amb la mesura, com l’expressió material de la unitat de medició.

En aquells casos quan la comparació directa és impossible o és difícil de realitzar, la

magnitud que ha de ser mesurada es transforma en qualsevol altra magnitud física,

relacionada unívocament amb la que ha de ser mesurada i més còmode per a la medició.

Per exemple, la medició de la temperatura mitjançant un termòmetre de líquid, es redueix

a la determinació de la longitud de la columna de líquid expressada en divisions de

l’escala, mentre que la medició de la temperatura amb un termòmetre de resistència, es

redueix a la determinació de la resistència elèctrica.

Segons el procediment usat per a obtenir el valor numèric de la magnitud cercada, les

medicions es poden dividir en dos tipus: directes i indirectes.

directes

Medicions

indirectes

Tipus de medicions segons el procediment


121

Medicions directes

Es consideren directes aquelles medicions, el resultat de les quals s’obté directament de

les dades experimentals. En aquest cas, el valor de la magnitud cercada s’obté

comparant-la directament amb les mesures o mitjançant instruments de medició graduats

segons les unitats respectives.

A l’efectuar medicions directes, el seu resultat s’expressa en les mateixes unitats que la

magnitud subjecta a medició.

Les medicions directes són una varietat molt difosa de medicions tècniques. Entre les

mateixes figuren les medicions de longitud mitjançant un metre, de la temperatura a partir

d’un termòmetre, de la pressió amb un manòmetre, etc.

Medicions indirectes

A les medicions indirectes pertanyen les que el seu resultat s’obté a partir de les

medicions directes d’altres magnituds enllaçades, mitjançant una dependència

determinada, amb la magnitud cercada.

En una forma general, la magnitud cercada ‘x’ pot ésser determinada mitjançant una certa

dependència funcional y=f(x1,x2,x3,...), on x1,x2,x3,... són els valors de les magnituds que es

mesuren directament.

Per exemple de medicions indirectes, tenim la determinació de despesa de gas, líquid o

vapor a partir del salt de pressió.

Les medicions indirectes s’utilitzen en la tècnica i en les investigacions científiques en

aquells casos on és impossible o molt difícil la medició directa de la magnitud cercada, o

quan la medició indirecta permet obtenir uns resultats més precisos.

Segons la destinació de les medicions i l’exactitud amb que s’han d’efectuar, aquestes es

divideixen en medicions de laboratori (precises) i medicions tècniques.


122

Per principi de medició s’entén el conjunt de fenòmens físics sobre els quals es

fonamenten les medicions, per exemple, la medició de la temperatura utilitzant l’efecte

termoelèctric. Per mètode de medicions s’entén el conjunt de procediments relacionats

amb l’aplicació dels principis i els medis tècnics de medició.

El procès de medició, les maneres de realitzar-lo i els aparells usats, depenen de la

magnitud que ha de ser mesurada i els mètodes i condicions de medició existents. A

l’efectuar medicions termotècniques, s’usa ampliament el mètode d’avaluació directa, el

mètode de comparació amb la mesura i el mètode de zero.

d’avaluació directa

Mètodes de medicions de comparació

de zero

Mètode d’avaluació directa

Per mètode d’avaluació directa s’entén el mètode de medició en el qual el valor de la

magnitud que ha de ser mesurada es determina directament pel dispositiu de lectura de

l’aparell de medició d’efecte directe, per exemple, la medició de la pressió amb un

manòmetre. Aquest és el mètode més difós sobretot en condicions industrials.

Mètode de comparació

El mètode de comparació amb la mesura és quan la magnitud subjecta a medició es

compara amb la magnitud de la mesura reproduible, per exemple, la medició de la f.e.m.

del termòmetre termoelèctric, o de la tensió de la corrent contínua en un compensador,

comparant-la amb la f.e.m. d’un element normal. Aquest mètode s’anomena sovint

mètode de compensació.


123

Mètode de zero

S’anomena mètode de zero aquest que l’efecte de la magnitud subjecta a medició

s’equilibra totalment pel defecte de la magnitud coneguda, de manera que, com a

resultat, el seu efecte recíproc es redueix a zero. En aquest cas l’aparell emprat només

serveix per a enregistrar el moment en que s’assoleix l’equilibri, és a dir, el moment quan

la seva indicació es redueix a zero. Per si mateix, l’aparell no mesura res i per això

s’anomena així.

7.2 NOCIONS GENERALS SOBRE LA PRECISIÓ I ELS ERRORS DE LES MEDICIONS.

Al mesurar qualsevol magnitud, encara que ho fem amb molta cura, sempre obtindrem un

resultat quelcom alterat. Les causes d’aquesta alteració poden ésser diferents. Les

alteracions poden originar-se degut a l’ús de mètodes i aparells de medició defectuosos,

la inconstància de les condicions de medició i una sèrie d’altres causes. Les alteracions

que es produeixen a l’efectuar qualsevol tipus de mesura, determinen els errors de

medició, és a dir, la divergència del resultat de la medició respecte el valor veritable de la

magnitud mesurada.

L’error de medició pot expressar-se en unitats de la magnitud mesurada, o sia, en forma

d’error absolut que és la diferència entre el valor obtingut durant la medició i el valor

veritable de la magnitud mesurada. L’error de medició també pot expressar-se en forma

d’error relatiu de medició, el qual és la relació amb el valor exacte de la magnitud

mesurada. Però si parlem amb exactitud, aquest valor romandrà sempre incògnit,

desconegut, i tan sols podrem trobar l’avaluació aproximada de l’error de medició.

L’error resultant d’una medició permet revelar les xifres dubtoses del valor numèric d’una

magnitud, que s’obté com a resultat de la medició. El valor referit s’arrodoneix d’acord

amb l’ordre numèric de la xifra significativa de l’error, o sia, el valor numèric del resultat

d’una medició ha de finalitzar en una xifra del mateix ordre que el valor de l’error. A

l’arrodonir els valors de les medicions es recomanable aprofitar les regles dels càlculs

aproximatius.

Els errors de medició, segons el caràcter de les causes que els originin, solen classificar-

se en errors aleatoris, sistemàtics i greus.


124

a) aleatoris

errors instrumentals

errors deguts al mètode de medició

Tipus d’errors b) sistemàtics errors subjectius

(segons les causes) errors deguts a l’instal·lació

errors metòdics

c) greus

Errors aleatoris

Per error aleatori s’entén l’error de medició que varía casualment al mesurar repetits cops

una mateixa magnitud. Aquests errors són provocats per factors que no es poden

determinar en el procés de medició i sobre els quals és impossible exercir influència. La

presència d’errors aleatoris pot sostenir-se només en realitzar medicions repetides de una

mateixa magnitud i amb la mateixa cura. Si al repetir les medicions s’obtenen valors

numèrics iguals, això no vol dir que no hi han errors aleatoris, sino que són insuficients

tant la precisió com la sensibilitat del mètode o els aparells de medició.

Els errors aleatoris son inconstants respecte al seu valor i signe. No poden determinar-se

per separat i provoquen la inexactitud del resultat de medició. Emperò, mitjançant la

teoria de la probabilitat i els mètodes estadístics, aquests errors poden ésser determinats

i caracteritzats quantitativament en el seu conjunt, d’una manera tant més segura com

major sigui el nombre d’observacions realitzades.


125

Errors sistemàtics

Per error sistemàtic s’entén l’error de medició que roman constant o varia d’una manera

regular al mesurar repetides vegades una mateixa magnitud. Si els errors sistemàtics són

coneguts, aleshores, si tenen valors i signes determinats, aquests poden corregir-se.

S’anomena correcció el valor d’una magnitud –homònima a la que es medeix-, el qual

s’afegeix al valor obtingut durant la medició amb l’objectiu d’eliminar l’error sistemàtic.

S’ha de notar que la correcció que s’introdueix en les indicacions d’un aparell de mesura

s’anomena correcció de la indicació de l’aparell; la correcció que s’afegeix al valor

nominal de la mesura s’anomena correcció del valor de la mesura. En alguns casos

s’utilitza el factor de correcció, o sigui, el nombre pel qual es multiplica el resultat de la

medició amb la finalitat d’eliminar l’error sistemàtic. Generalment es distingeixen les

següents varietats d’error sistemàtic: els errors instrumentals, els errors deguts al mètode

de medició, els errors subjectius, els errors deguts a la instalació i els errors metòdics.

a) Per errors instrumentals de medició s’entenen els que depenen dels errors dels

aparells de medició emprats. A l’utilitzar aparells de precisió elevada, els errors

instrumentals, provocats pels errors dels instruments, poden eliminar-se introduint

correccions. Però els errors instrumentals dels medis tècnics de medició d’ús comú no

poden ésser eliminats, ja que a aquests medis tècnics, al comprovar-los, no se’ls

proporciona correccions.

b) Per error del mètode de medicions s’entén el que succeeix a partir de la imperfecció

del mètode usat. Tal error surgeix amb freqüència a l’usar nous mètodes, així com a

l’aplicar equacions aproximatives que representen, sovint, una aproximació inexacta de la

dependència real entre les magnituds. L’error del mètode de medicions s’ha de prendre

en consideració a l’avaluar l’error dels aparells, i en particular, el del dispositiu de mesura,

i en molts casos, també l’error del resultat de les medicions.

c) Els errors subjectius (típics de les medicions no automàtiques) s’originen a

conseqüència de les particularitats individuals de l’observador, per exemple, degut al

retard o a l’avançament a l’enregistrar el moment de qualsevol senyal, la interpolació

incorrecta al llegir les indicacions dins dels límits d’una divisió de l’escala, a causa del

paralatge, etc...


126

d) Els errors d’instalació surten a partir de la incorrecta instalació de l’agulla de l’aparell

de medició en la marca inicial de l’escala, o a la imperfecta instalació del propi aparell.

e) Els errors metòdics de les medicions son els que es determinen a partir de les

condicions (o la metodologia) de medició d’una magnitud ( la pressió, la temperatura...) i

no depenen de l’exactitud dels aparells usats. L’error metòdic pot aparèixer, per exemple,

degut a la pressió excessiva de la columna de líquid en la línia de connexió, si el aparell

mesurador de la pressió s’instala més amunt o més avall on hi ha aquesta pressió, i al

mesurar la temperatura amb un termòmetre termoparell juntament amb un aparell de

medició, degut a les condicions d’intercanvi tèrmic en el medi ambient on es vol mesurar

la temperatura, o degut al canvi de temperatura de l’objecte, provocada pel mateix

termòmetre en el procés de medició.

A l’efectuar medicions, sobretot en les precises, es necesari tenir en compte que els

errors sistemàtics poden alterar considerablement els resultats de les mateixes. Per això,

abans de començar a mesurar s’han d’assenyalar totes les possibles fonts d’errors

sistemàtics i prendre mesures per eliminar-les o determinar-les. Malgrat tot, pràcticament

és impossible establir unes regles absolutes per a detectar i eliminar els errors

sistemàtics, doncs hi han massa variats els procediments per a mesurar magnituds

diferents. A més, al realitzar mesures no automàtiques, la seva precissió depèn molt dels

coneixements i l’experiència de l’experimentador. Hi ha, però, algunes regles generals per

eliminar els errors sistemàtics.

Per tal de precisar les variacions possibles dels errors instrumentals, cal sotmetre els

aparells a un control sistemàtic.

Per eliminar els errors d’instal·lació, tant a l’efectuar medicions precisions com tècniques,

cal un curós i adequat muntatge dels aparells de medició. Si les causes son les

pertorbacions exteriors (temperatura, moviment, vibració), aleshores la seva influència

s’ha de tenir en compte.


127

Errors greus

Per error greu d’una medició s’entén aquell que supera molt l’error estimat en unes

condicions determinades.

Al mesurar una magnitud variable en funció del temps, el resultat de la medició pot

alterar-se no només a causa dels errors abans esmentats, sino també a un error d’unaltre

tipus, el qual només apareix en règim dinàmic, i per això s’anomena error dinàmic dels

aparells de medició. Al mesurar una magnitud variable en funció del temps, l’error dinàmic

pot aparèixer degut a la incorrecta elecció dels aparells de mesura o que aquests no

corresponen a les condicions de medició. A l’elegir l’aparell es necessari conèixer les

seves propietats dinàmiques, així com la llei de variació de la magnitud que ha de

mesurar-se.

Per regla general, les medicions precises es repeteixen diferents cops i es fan amb

aparells d’alta precisió. Repetint les medicions es pot reduir la influència dels errors

aleatoris sobre el resultat final, i per tant, elevar l’exactitud de les mateixes. S’ha de tenir

en compte, però, que inclús en condicions favorables, l’exactitud de la medició no pot

superar l’exactitud de control dels aparells.

A l’utilitzar mesures tècniques utilitzades ampliament en la indústria, i sovint en

condicions de laboratori, s’utilitzen aparells d’ús comú, als quals no se’ls hi proporciona

correccions.

7.3 EXEMPLE D’APLICACIÓ EN ELS TERMOPARELLS

A continuació i aplicat particularment a aquest projecte s’analitza la dispersió de la lectura

de temperatures degut a la imprecisió dels termopars i del posicionament d’aquests.

En primer lloc es consideren les següents hipòtesis: els termopars donen una lectura per

a una certa temperatura segons una normal centrada en el valor nominal donat pel

fabricant i una certa desviació tipus denominada σtermo. Així mateix també es pren com a

hipòtesi que segueix una distribució probabiística normal de Gauss la posició que ocupa


128

l’extrem del termopar respecte l’eix de la peça, aquesta distribució té una desviació tipus

σpos.

Per a una lectura en un cert termopar i intervenen doncs dos focus d’errors i poden ser

gràficament visualitzats com segueix:

Fig. 7.1 Desviacions aleatòries en els termoparells

En el gràfic anterior s’observa l’acumulació d’errors degut a la imprecisió pròpia del

termopar i del posicionament exacte del termopar.

Distr. A

T

Punt A

T(A)

Distr. B

Punt B

α


129

En primer lloc, el termopar no queda exactament col.locat en el punt desitjat, i el taladre

també té un cert valor de desviació. En definitiva, on es pren la temperatura de la peça

serà en un punt A dins d’una distribució de probabilitats A. Això significa que s’està

prenent una temperatura d’un termopar a una coordenada que realment es desconeix. La

distribució de probabilitats d’aquest posicionament se li assigna una desviació tipus de

valor σpos. A més de l’error del coneixement de la posició on exactament es pren la

temperatura, es té un error adidional de lectura del termopar. Si es fixa la posició de la

peça perfectament i es determina la temperatura d’aquell punt, aquest valor també

presentarà una incertesa degut al marge de tolerància d’aquell termopar. Aquest error

existeix tot i encara que el termopar estigui cal.librat i no s’ha de confondre amb l’error de

temperatura del tercer apartat. L’error de precissió de temperatura del termopar sol ser

molt més petit que l’error degut a un descentament d’aquest. A la lectura del termopar se

li assigna un valor de desviació tipus σtermo.

L’anàlisi matemàtica dóna com a resultat total una desviació tipus per l’error conjunt de

precisió de termopar i de posicionament :

(7.1)

Finalment i com a ressolució d’aquest punt , la solució per atenuar l’efecte d’aquestes

imprecisions irradicables és la de la repetició de mesures a fi i efecte de tenir la màxima

mostra de resultats i per tant un rang de confiança del valor de la conductivitat més reduït.

Però el veritable error que més afecta en l’actualitat a la realització pràctica d’experiments

en el conductivímetre, és l’error sistemàtic existent entre un termoparell i unaltre, com

queda evident en el Capítol 8, i la seva eliminació relativa segons la proposta explicada

en el Capítol 11.

)(cos2

22

α

σσσ pos

termototal +=


130

Capítol 8 Verificació experimental del conductivímetre TCFCM N-20

8.1 Introducció a les experiències 8.2 Les primeres experiències 8.3 Experiències amb càlcul de Qmàx i Qmín 8.4 El factor diàmetre 8.5 La repetitivitat en les experiències 8.6 La pila única i la referenciació de termoparells


131

8. VERIFICACIÓ EXPERIMENTAL DEL CONDUCTIVÍMETRE

TCFCM N-20.

8.1 INTRODUCCIÓ A LES EXPERIÈNCIES

En aquest capítol s’explica les diferentes experiències que s’han realitzat, a partir d’uns

objectius que es cercaven en cada una d’elles. Aquests objectius anaven evolucionant,

intentant trobar un camí a partir del qual es podría crear una operativa sistemàtica que fés

obtenir resultats cada cop més precisos.

Es parteix d’unes condicions de funcionament suposades, que s’han de comprovar, i per

tal de comprovar, altrament dit avaluar, una certa millora, és imprescindible definir un cert

valor relacionat amb la precisió o qualitat de les mesures, i conèixer en quin rang es troba

aquest valor en l’estatus inicial de partida.

Altrament, i suposant que aquest valor (o valors) relacionat amb la precisió pot ésser

millorable, s’han de buscar les suposades causes per les quals no ho és, i comprovar la

seva implicació en el resultat. Aquestes causes van des de la temperatura de l’aigua de

refredament, el cabal d’aigua circulant, el tipus de termoparell, l’alineació de les peces,

les magnituds de les peces (alçada, diàmetre, forats...) i d’altres. També es planteja que

el sistema d’aïllament de la columna central no és la correcta mitjançant pols de

diatomea, i sigui més útil fer el buit dins el forn de guarda. En resum, es dubta de tot i tot

és suscitable de provocar l’error més important.

Com més endavant es comprova en l’explicació de les experiències realitzades, també

les peces facilitades pel Departament de certs materials, com l’Inconel, són dubtoses de

pertànyer a la mateixa naturalesa, i per tant, òbviament no obtenim el resultat esperat

segons les nostres taules de conductivitats a diferentes temperatures.

Per tal d’eliminar i comprovar les diferents causes d’error, s’ha utilitzat tant

l’experimentació (que es el que més tracta aquest capítol), així com l’anàlisi paramètrica

(Veure capítol 9) o el càlcul per simulació numèrica (tractat en el capítol 10).

A mesura que el nombre d’experiències creix, es veu la necesitat de crear una

metodologia de recollida de dades, que es la presentada més àmpliament en l’annex.


132

També, i a mesura que s’han anat fent les experiències, s’han trobat millores que no

afecten al resultat, però si a la comoditat o a d’altres factors, que han anat formant una

sèrie d’objectius de segon terme.

8.2 LES PRIMERES EXPERIÈNCIES

Primer de tot, s’han comprovat que els termoparells que pertanyen al Forn de Guarda,

anomenats des de TC7 fins a TC12, corresponen a les lectures observades en el lector.

Efectivament, si toquem amb un filferro calent les puntes termopàriques que eixen en la

superfície del Forn de Guarda, veiem que el valor donat en mV en l’aparell creix per

moments. Comprovem que les posicions de cada termopar corresponen a les indicades

en el manual: el TC7 és el situat en la posició més elevada, i el TC12 és el més inferior

del grup de 6 termoparells localitzats en la part superior. Altrament es comprova que el

termoparell anomenat TC15 Lower Guard Heater Controller és el localitzat en la part més

inferior de la superfície del Forn de Guarda.

La mateixa prova es fa similarment, als termoparells connectats en les posicions TC1 a

TC6 (que correspondran a aquells termoparells que s’hauran d’introduir en la pila central),

així com els TC13 Main Heater Controller i TC14 Auxiliary Heater Controller, que són els

que fixaran la temperatura superior i inferior de la pila central.

La primera prova en que es passa a tractar les lectures dels termoparells (donades en

mV) a valors de temperatura (en K o ºC) la fem a temperatura ambient. Sense muntar cap

dispositiu especial, i deixant els extrems dels termoparells connectats a l’aire, obtenim

unes temperatures semblants a la temperatura ambient. Per passar de la lectura

electrònica a un valor de temperatura, podem fer-ho per dos camins diferents:

a) taules

b) fòrmula de regressió

Cal comprovar si són semblants aquestes dues maneres de fer-ho, i en quin marge de

temperatures es pot aplicar tant una com l’altra. Per principis, és preferible sempre la

utilització de taules, facilitades pel proveidor o fabricant dels elements termopàrics, o bé

les que proporcionen Associacions com l’ ASTM, abans que emprar mètodes a partir


133

d’una equació de regressió, ja que aquesta no s’adaptarà fidelment a la corba en tots els

seus punts (ja que necessitaríem una equació de infinits termes). Però sovint, aquestes

fòrmules de regressió poden resultar útils pel seu ús, ja que amb una petita calculadora

programable o bé un senzill programa informàtic, permet obtenir ràpidament el valor

cercat només introduïnt el valor d’entrada, i estalviar la feina de fer la regressió lineal

entre dos punts de la taula (amb el perill que això pot comportar de cometre errors

manuals d’operació).

El fabricant OMEGA de termoparells, facilita en el seu manual “The Temperature

HandbookTM” tant una taula de conversió, com una equació de regressió. Si s’estudia en

el rang de temperatures que es preveu es farà servir en les experiències de 200 ºC a

250 ºC, es pot comprovar la linealitat de la funció en aquest rang, així com la divergència

que comet la corba versus la taula. Els valors en taula corresponen a:

ºC 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

200 8138 8178 8218 8258 8298 8338 8378 8418 8458 8499 8539

210 8539 8579 8619 8659 8699 8739 8779 8819 8860 8900 8940

220 8940 8980 9020 9061 9101 9141 9181 9222 9262 9302 9343

230 9343 9383 9423 9464 9504 9545 9585 9626 9666 9707 9747

240 9747 9788 9828 9869 9909 9950 9991 10031 10072 10113 10153

Revised Thermocouple Reference Tables, Type K, Pàg. Z-168 The Temperature Handbook, OMEGA 1995

I l’equació de regressió facilitada, per a Termoparells tipus K, es de ordre 8, i indica que

és vàlida per a un rang d’entre 0 ºC i 1370 ºC, amb un error acotat de ±0.7 ºC:

(8.1)

T = Temperatura en ºC ; x= Voltatge del termoparell en KV

8

7654

32

1333708.61338690.11218452.11083506.49.860963914

682.22103404248.67233·109.24152226584602.0

xExExExEx

xxxT

⋅−

−⋅+⋅−⋅+⋅−

−⋅+⋅+⋅+=


134

En la següent taula es mostren alguns valors obtinguts per la fòrmula de regressió, i la

seva comparació amb el que corresponen segons la taula

emf (mV) T taula (ºC) Tregressió (ºC) Ttaula-Tregressió (ºC)

8138 200 200.0575 -0.0575

8539 210 209.9425 0.0575

8940 220 219.8168 0.1832

9343 230 229.7277 0.2723

9747 240 239.6492 0.3324

10153 250 249.6042 0.3958

Si s’expressa en un gràfic, es pot veure l’evolució del comportament de la corba

Fig. 8.1 Temperatura respecte lectura del termoparell tipus K segons taula i equació regressora

En el gràfic superior no es poden distingir molt bé les dues corbes que relacionen la emf

amb la Temperatura, però si es grafica la diferència Ttaula – Tequació per veure l’evolució

d’aquest terme, s’aprecia més ampliament la difèrencia entre un mètode i l’altre:

temperatura versus emf

200

210

220

230

240

250

8130 8630 9130 9630 10130emf (10e-6 V)

Tem

pera

tura

(ºC

)

taulaequació


135

Fig. 8.2 Diferència de la temperatura entre taules i equació regressora

es comprova la creixent separació del valor donat per l’equació regressora i el valor

facilitat per la taula. La separació màxima per a aquest rang arriba quasi a 0,4 ºC. Si

suposem correctes les relacions entre la temperatura i la força electromotriu facilitades

per la taula, aleshores aquestes diferències corresponen a l’error que s’obtindria fent

servir les equacions de regressió. Aquest tipus d’error està clarament tipificat en el

Capítol 7, com un error sistemàtic degut al mètode de medició.

Es comprova en la Fig. 8.1 la linealitat força constatable, si més no en aquest rang de

temperatura, d’amplada 50 ºC. El coeficient de Seebeck, correspon a uns 40 µV / ºC, per

tant, a un error de lectura de 1 µV li correspon un error de 0,025 ºC, 16 vegades més

petit que el trobat per fer servir una equació de regressió.

No ha de ser, emperò, infravalorat el mètode d’obtenció de la temperatura a partir

d’equacions regressores, ja que l’error donat segueix una linealitat, i per tant, per a rangs

petits de diferències de temperatura, els dos errors es poden compensar (l’equació de

Fourier ens parla de ∆T, i no de temperatures absolutes), i per tant, si tenim un material

d’una certa conductivitat que faci tenir gradients petits de temperatura, podem assumir

que els dos errors seran comparables. En el cas de l’Inconel, les mostres mesuren uns

gradients d’aproximadament uns 10 ºC, i per tant, no és tant l’error provocat per fer servir

un mètode de mesura o unaltre,

Exemple: TC1: 9747 µV ⇒ Tequació= 239,6492 ºC (Ttaula=240 ºC)

TC2: 10153 µV ⇒ Tequació= 249,6042 ºC (Ttaula=250 ºC)

-0,1000

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

8130 8630 9130 9630 10130

e.m.f. (10e-6 V)D

iferè

ncia

(ºC

)


136

Això provoca que ∆T= TC2 - TC1 = 9,955 ºC (equació) = 10 ºC (taula),

per tant l’error obtingut en el càlcul del gradient correspon a –0,045 ºC (un 4,5‰ del

gradient “real”). On es denota més la mancança de fiabilitat de l’ús de l’equació és quan

cerquem valors absoluts de temperatura com per exemple la temperatura mitjana del

gradient anterior,

Tmitjana= (TC1+TC2)/2 = 244,6267 ºC (equació) = 245 ºC (taula) ,

representant una desviació de –0,3733 ºC respecte el valor esperat segons taula.

És important saber, per tant, si la utilització d’equacions regressores pot influir molt o poc

en el resultat dels càlculs. De moment, sembla que afecta poc en el càlcul del gradient

quant aquest és petit (només ho hem verificat en un rang concret de 200 a 250 ºC, i en el

cas més òptim quan més a prop de 250 ºC més constant es feia la diferència respecte el

valor obtingut a taula. La utilització, però, d’un simple ordinador on tinguem introduïda la

taula del tipus de termoparell a utilitzar, i un simple programa que interpoli el valor

d’entrada entre dos valors de la taula, evitarà cometre l’error obtingut anteriorment

descrit, tenint en compte que encara a la nostra mesura de temperatura li afecten d’altres

errors, o bé, que la precissió necessària no sigui l’adequada. El mètode escollit en les

experiències, doncs, serà la transformació de lectura de força electromotriu a temperatura

a partir de la taula.

Presentem, ara si, els resultats obtinguts a partir de la lectura de 9 termoparells

connectats, amb la punta descoberta en l’aire en repòs. Després d’esperar uns 10 minuts,

per tal que el contacte físic de la nostra mà amb el cable no hagi pervertit el resultat de la

medició, veiem que la pantalla mostra els valors estables de força electromotriu següents;

Temperatura emf TAULA


137

fem 940 904 937 933 927 922 917 910 903

T (ºC) 23.5122 22.6250 23.4390 23.3415 23.1951 23.0732 22.9500 22.7750 22.6000

Tots els valors es mostren propers, i tenen com a mitjana una temperatura de 23,0568 ºC

(valor més probable estadísticament).

Fig. 8.3 Valors de temperatura per als 9 termoparells

S’observa que entre el valor màxim (23,5122 ºC) i el valor mínim (22,60 ºC) es

distribueixen la resta de valors sense destacar cap mena de localització especial, ni cap

anomalia extrema, sino que uniformement existeixen valors al llarg de tot el rang.

L’amplitud del rang (valor màxim – valor mínim) correspon a una amplada de 0.9122 ºC

(que podríem representar com si a un valor central T se li sumés una desviació maximal ±

0,4561 ºC).

Tenim una primera aproximació dels errors comesos per aquests 9 termoparells. Si

cerquem la relació entre l’interval d’error i el valor esperat de 23,06 ºC, trobem el

percentatge d’error màxim comés entre aquests 9 termoparells,

Aquest error és perfectament normal, i per tant haurem de conviure amb ell, ja que el

fabricant compleix l’especificació advertida (vegeu Capítol 4) dels límits d’error dels

termoparells tipus K;

22

22,5

23

23,5

24

1 2 3 4 5 6 7 8 9

tem

pera

tura

(ºC

)

%98.110006.23

4561.0'. =×±

=errordpercent


138

Existeixen en el mercat termoparells millors que presenten, per a temperatures superiors

a 0 ºC, un error maximal de 1,1ºC o bé 0,4%, com també es pot solicitar una calibració

personificada dels termoparells (molt més costosos, i més endavant es discutirà sobre la

seva impracticabilitat en el nostre cas).

Un problema semblant a l’anterior, a l’aplicació de taules o fòrmules de regressió per a la

conversió d’una lectura d’una magnitud per passar-la a una dada en unaltre magnitud, es

presenta quan es té la necessitat d’avaluar la conductivitat tèrmica d’un material a una

certa temperatura. Recordem que en el conductivímetre per comparació, per avaluar el

cabal de calor circulant pel conjunt de mostres, es necessari aplicar l’equació de Fourier

si no es disposa d’elements quantificadors d’energia calorífica circulant.

Les peces mostres que el Departament ha facilitat són les que el fabricant suministra amb

la màquina, i són de Inconel 718 i Electrolytic Iron. En el manual de la màquina també

s’inclouen unes taules de conductivitat d’ambdós materials, així com les seves equacions

regressores.

Fig. 8.4 Gràfica de la conductivitat de l’Inconel 718 versus la temperatura

LÍMITS D’ERROR TERMOPARELLS K (el que sigui més gran) per a T < 0ºC → 2,2ºC ó 2% per a T > 0ºC → 2,2ºC ó 0,75%

0

5

10

15

20

25

30

-200 0 200 400 600 800 1000

Temperatura (ºC)

cond

uctiv

itat (

W/m

K)


139

(8.2)

λ en (W/mK) ; T en (K)

Es pot observar la força linealitat de la conductivitat tèrmica de l’Inconel 718 respecte la

temperatura, fet que permet gaudir de la simplicitat de poder interpolar linealment a partir

de la taula de valors, on la conductivitat vé definida en un interval de 5ºC. Els valors de la

conductivitat tèrmica dels materials, degut a la seva variabilitat i dificultat de mesura, no

acostumen a donar-se amb una gran precissió, com en les taules donades, on la màxima

precissió és de 0,01 W/mK.

Si restem els valors donats per taula, als que corresponen utilitzant l’equació de

regressió, i els grafiquem, obtenim la corba següent en funció de la temperatura,

Fig. 8.5 Desviació de la conductivitat de l’Inconel segons el mètode taula / equació regressora

Es pot observar que a la zona al voltant dels 300 ºC tindrem la major desviació per l’ús de

fòrmules de regressió, superant els 0,05 W/mK (representa un 0,31% d’error per a la

conductivitat a aquesta temperatura, i és 10 vegades superior a la precisió facilitada per

les taules). La fòrmula ens està facilitant la conductivitat del material a uns 3 ºC per sota

de la temperatura de referència. Cal determinar amb quin pes pot afectar aquesta

desviació en el nostre càlcul. Com s’ha comentat anteriorment, per al càlcul experimental

s’ha d’optar, ja que es disposa, de les taules facilitades.

617514411

39252718

107767.1103952.5106635.4

101805.4104555.210853.245.4

TTTTTTINCONEL

−−−

−−−

⋅+⋅−⋅+

+⋅+⋅−⋅+≈λ

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

-200 0 200 400 600 800 1000

temperatura (ºC)

desv

iaci

óco

nduc

tivita

t (W

/mK

)


140

La determinació del material de referencia en les proves experimentals ha de permetre la

coneixença el més exacte possible del valor de la conductivitat en el rang de

temperatures d’estudi. Un material que la seva conductivitat sigui el més constant

possible hauria de ser l’idoni.

Fig. 8.6 Gràfica de la conductivitat de l’Electrolytic Iron respecte la temperatura

L’Electrolytic Iron té una conductivitat no tant lineal, decreixent amb la temperatura i més

elevada.

Per a les experiències, es treballa amb 3 peces d’Inconel 718, de 25,4 mm d’alçada entre

les seves dues superfícies de contacte, de 25 mm de diàmetre, i amb dos forats cecs, de

diàmetre 1.6 mm, que arriben a l’eix del cilindre, interseparats 19.05 mm, i a una distància

cada un d’ells de la superfície de 3.18 mm.

El manual de l’aparell facilita les coordenades dels termoparells del Guard Furnace,

prenent com a plà de referència l’anomenat Top Sink , que es la superfície de contacte

refredadora, on es munta la Resistència Inferior d’escalfament de la pila (Fig. 5.5). Les

coordenades són:

termopar 7 8 9 10 11 12 15

alçada (mm) 177,6 111,25 104,9 98,55 92,2 85,85 41,4

0

20

40

60

80

100

-200 0 200 400 600 800 1000

temperatura (ºC)

cond

uctiv

itat (

W/m

K)


141

Com es pot comprovar, els termoparells 7 al 12 estan iso-distanciats respecte el següent

6,35mm, mentres que el termoparell 15 està en la posició més baixa. El selector de que

disposa el Conductivímetre, serveix per a les diferentes mides de piles centrals a

mesurar. Podem tenir a vegades conjunts que seran més o menys alts. Com que

l’aïllament consisteix en tenir el mateix gradient tant a la pila central com en el forn de

guarda, i sovint tindrem peces més llargues o més curtes, el termoparell que controlarà la

temperatura superior en la pila hauria d’estar a la mateixa alçada que el termoparell que

comandarà la temperatura superior en el forn de guarda. Com que els termoparells en el

forn de guarda són fixos, s’ha proporcionat aquest selector de termoparell entre el 7 i el

12, per cercar el que estigui més a prop del termoparell de la pila central.

La nostra primera curiositat es centra ara, a partir dels resultats d’un muntatge de 3 peces

d’Inconel (veure experiència 0.1), els resultats trobats en el forn de guarda, en la seva

part superior. Les temperatures de control han estat de 240 ºC en la part superior, i de

180 ºC en l’escalfador auxiliar, provocant així un gradient d’uns 60 ºC entre els

termoparells que controlen la temperatura superior i inferior en la pila central (números 13

i 14), o bé entre aquells que controlen el forn de guarda (en aquest cas el TC7, i com

sempre en la part inferior el TC15).

Cal observar que després de 2,5 hores aproximadament, sembla que el sistema hagi

arribat a un estat estacionari, perque els valors mostrats en les pantalles dels

controladors PID de les temperatures asolides pels termoparells de control s’han

estabilitzat, i per altra banda coincideixen amb els valors introduïts. Malgrat tot, si llegim

els valors en el multivoltímetre, veiem que cada termoparell oscila entre uns valors límits

de manera molt lenta. Això es provoca quan hi passa corrent per les resistències a

impulsos, per tal d’estabilitzar les temperatures de control, i per tant provoca petites

turbulències de temperatura, sobretot en els termoparells més a prop dels escalfadors.

Les més petites oscilacions poden ser degudes, segons la bibliografia consultada, a

sorolls elèctrics i petitíssimes variacions locals de la temperatura, com veurem més

endavant. Es prenen els valors que es veuen que queden més estabilitzats en el temps,

obtenint el resultat següent:


142

TERMOPAR LECTURA

(µV) TEMPERATURA

(ºC)

TC1 9367 230.60 TC2 8874 218.35

TC3 8710 214.27

TC4 8265 203.18

TC5 8080 198.52

TC6 7512 184.30

TC7 9732 239.62

TC8 9542 234.93

TC9 9331 229.71

TC10 9242 227.50

TC11 8974 220.85

TC12 8822 217.07

TC13 9714 239.18

TC14 7313 179.32

Fig. 8.7 Distribució de temperatures en el forn de guarda

Dels resultats en general es pot comprovar com TC7 ≅ TC13.

Del gràfic es comprova una forta linealitat entre els termoparells d’estudi. S’indica amb

una línia vermella la unió tèrmica teòrica entre TC7 i TC12 (el que s’hauria d’haver

esperat). Això no és així, degut bàsicament als errors facilitats pels termoparells i tot el

Resultats experiència 0.1 Als valors llegits, se’ls hi ha aplicat la taula de conversió comentada anteriorment. S’han arrodonit els resultats a dues xifres decimals de temperatura, ja que si el coeficient de Seebeck resulta d’uns 40 µV/ºC, per a un error de lectura mínim de 0,5 µV, li corresponen 0,012 ºC, que sería la precisió que facilita la taula. També la localització pot afectar. Malgrat tot, ja hem vist que ha estat dificultosa la lectura perque els valors llegits anaven oscilant, així com també que el termoparell dóna un error natural que pot arribar a 2.2ºC d’error en aquest cas. Si grafiquem isodistancialment els valors de TC7 a TC12, obtenim el gràfic següent:

215

220

225

230

235

240

7 8 9 10 11 12termoparell

Tem

pera

tura


143

procés de lectura. Això, i el fet que les conductivitats no són constants, pot provocar

alteracions en la teorica linealitat de les temperatures.

Analitzem més acuradament els resultats:

S’observa que si entre cada 2 termoparells hi hauria d’haver 4.51ºC (ja que la mitjana és

el valor més probable), les diferències més greus són les que separen TC10-

TC11=6.65ºC que s’allunyen 2.14ºC del valor esperat. Per sota hi ha TC9-TC10 = 2.21ºC

que té un error de 2.3ºC respecte el valor desitjat.

Cal tenir en compte, que encara que sembli gran aquest error, està dins dels paràmetres

assumibles i aceptables, ja que l’error d’un termoparell pot ser de 2.2 ºC, i per calcular la

diferència de temperatures calen dos termoparells (duplicant l’error acceptable), però

l’estadística diu que l’error suma no serà la suma dels errors, sinó quelcom més petit (si

els errors es comporten com a distribucions normals). Mirant el gràfic, es veu que

l’element comú que distorsiona per més i per menys aquests dos gradients és el

termoparell TC10, que dóna un valor massa elevat. Si suposem correctes els valors

extrems TC7 i TC12 (més que res perque al ser als extrems, el rati temperatura/distància

serà més correcte), podem calcular el valor de TC10 a partir de la línea vermella.

El valor esperat TC10linial= TC12 + 2·Mitjana = 226.09 ºC, i el TC10lectura = 227.50 ºC,

essent l’error de la lectura respecte l’esperat de +1.41ºC.

A partir de l’anàlisi dels valors trobats a la pila central, formada per 3 peces d’Inconel 718,

amb forats distanciats segons la Fig. 8.8

TC7-TC8 = 4.69 ºC TC8-TC9 = 5.22 ºC TC9-TC10 = 2.21 ºC TC10-TC11 = 6.65 ºC TC11-TC12 = 3.78 ºC Mitjana=(TC7-TC12)/5 = 4.51 ºC


144

Fig. 8.8 Mostra

Si tenim en compte la mida de la resistència, i de la peça que posiciona el termoparell

núm. 14, controlador de la Temperatura Auxiliar, es pot obtenir les cotes dels termoparells

1 al 6. Es busquen aquí les diferentes posicions dels termoparells per graficar

adequadament els resultats (els termoparells no estan isodistanciats com en el guard

furnace)

Les resistències tenen una amplaza en la direcció ‘z’, de 35 mm. Els termoparells

controladors ‘MAIN 13’ i ‘AUX 14’ estan localitzats en dues peces cilíndriques, d’igual

diàmetre que la pila central, i d’alçada 6.4 mm (el termoparell està en el plà mig d’aquesta

peça).

TERMOPAR ALÇADA

(mm) TEMPERATURA

(ºC)

TC13 120,83 239.18 TC1 114,45 230.60

TC2 95,4 218.35

TC3 89,04 214.27

TC4 69,99 203.18

TC5 63,63 198.52

TC6 44,58 184.30

TC14 38,2 179.32

S’observen diferències (notables?) entre els gradients de les 3 peces (el que és el mateix

entre les diferències de termoparells en cada peça). S’analitzen a continuació diferents

aspectes:

Alguns càlculs d’interès: TC1-TC2 = 12.25 ºC tmitjana1= 224.475 ºC TC3-TC4 = 11.09 ºC tmitjana2= 208.725 ºC TC5-TC6 = 14.22 ºC tmitjana3= 191.41 ºC gradients: (TC1-TC6) / (Z1-Z6) = 0.6626 ºC/mm (TC1-TC2) / (Z1-Z2) = 0.6430 ºC/mm (TC3-TC4) / (Z3-Z4) = 0.5821 ºC/mm (TC5-TC6) / (Z5-Z6) = 0.7465 ºC/mm


145

Fig. 8.9 Resultats en pila central formada per les 3 peces

a) La diferència entre els gradients trobats

Si s’accepta la hipòtesi que el material d’estudi té conductivitat tèrmica constant,

aleshores les diferències de temperatura de cada peça haurien de ser iguals. Si es

numeren les peces de dalt a baix, la peça núm. 2 té un salt de temperatura de 11.09 ºC,

mentres que la tercera té una diferència de 14.22 ºC que suposa un increment de 3.13

ºC corresponent a un 28.22% de diferència. Malgrat que sembli una diferència molt

elevada, 3.13 ºC d’error entre un salt i unaltre és perfectament comprensible amb la

precisió anotada en els termoparells. Comença, però, a ser preocupant aquesta

admisibilitat en els errors dels termoparells, ja que es comprova que relativament uns

resultats aparentment semblants apareixen amb diferències notables percentuals.

Apareix, en el càlcul del gradient, el factor distància. El fet que un forat practicat a les

peces de 1.6 mm de diàmetre per allotjar un termoparell, i es suposi que la lectura feta

pel termoparell sigui justament en el centre del forat, sembla un xic atrevit. Consultat un

fabricant de termoparells, la resposta sobre la localització de la unió termopàrica dintre de

la ‘camisa’ del termoparell fou que es troba en el mig, seguint un procés molt acurat.

Òbviament, s’ha de suposar una dispersió en aquest posicionament. Cal veure i analitzar

si dintre del marge d’aquests 1.6 mm, un desplaçament de la lectura pot afectar molt el

175

185

195

205

215

225

235

35455565758595105115125

z(tc) (mm)

tem

pera

tura

(ºC

)

exp 0.1

tc6

tc2tc3

tc4

tc5

tc1


146

nostre resultat, però en qualsevol cas és un factor a tenir en compte, que afegeix

dispersió i error en el càlcul final. Si més no, mínimament s’ha d’esperar una localització

de la unió termopàrica seguint una distribució normal.

Un anàlisi ràpid i senzill és que quan més gran sigui el gradient de temperatura, més

afectarà aquesta indeterminació de la localització, ja que repercutirà en el valor llegit pel

termoparell. Per exemple, si un termoparell està localitzat en una pila on hi passa un flux

de calor que provoca un gradient com l’experiència d’estudi de 0.66 ºC/mm

aproximadament, i la localització del termoparell pot estar dins una tolerància per error de

± 0.5 mm, aleshores l’error de lectura de temperatura degut a aquest motiu sería de:

Error de temperatura = Gradient x Tolerància dist. = 0.66 ºC/mm · ± 0.5 mm = ± 0.33 ºC .

No es un factor numèricament important, però s’ha de tenir en compte, i posteriorment

s’haurà de cercar si existeix alguna manera de decrementar-lo per tal de poder ser

menystingut.

Tornant a l’experiència anterior, si es vol justificar l’error dels salts de temperatura entre

les peces 2 i 3, continuant amb la suposició de conductivitat constant i suposant que les

lectures dels termoparells són exactes i no tenen cap altre error a més del produït per la

localització, la suma milimètrica dels errors de posicionament faria igualar els dos

gradients. Com que la peça 2 té un salt més petit de temperatura , vol dir que els

termoparells introduits en la peça 2 estan més a prop que aquests 19,05 mm, mentres

que en la peça 3 estan més separats. Simulant aquesta situació, i considerant que la

distància de desviació és la mateixa per tots, tenim

(8.3)

on d són els 19.05 mm teòrics entre els termoparells, s’obté e = 1.1779 mm.

Com que aquesta desviació (repartida equitativament entre els 4 termoparells) és

superior als ±0.8 mm de marge que tenim en cada banda del termoparell (ja que té

diàmetre 1.6 mm), es comprova que hi han d’altres factors, a part d’aquesta posibilitat de

edT

edT

2232

+∆

=−

∆


147

descentratge de la unió termopàrica, com pot ser l’error assumible dels termoparells,

encara que també hi ha la possibilitat de que el flux de calor sigui diferent en bona

mesura en les dues peces, que suposaria tenir greus problemes amb la filosofia de

l’aparell.

Evidentement el nostre problema és aconseguir amb la màxima precisió els valors de d i

∆T, que són els paràmetres que ens afecten en el càlcul de la conductivitat per

comparació (a més de la conductivitat de la mostra patró). Per millorar la distància, tenim

2 factors en quant a la seva determinació ja que la distància possible a prendre realment

està compresa en l’interval d±φforat . Per disminuir aquest interval, millorant la precisió

relativa, s’ha d’augmentar d i disminuir φforat en el possible. S’ha de tenir en compte que

els forats no estiguin massa aprop dels extrems per evitar la no uniformitat de

temperatures en aquella zona.

Tot aquest anàlisi s’ha de comprovar però amb les dades de conductivitat del material

emprat, ja que fins ara s’ha treballat amb la hipòtesi de conductivitat constant. Degut a

que l’Inconel 718 té conductivitat més gran quan més gran és la temperatura, i si el flux

de calor ha de ser constant

(8.4)

aleshores degut a que λ1 > λ2 > λ3 , tenim que per complir l’equació hauríem d’obtenir ∆T1

< ∆T2 < ∆T3, la qual cosa es compleix entre la 3ª peça i les altres, però no entre les peces

1 i 2.

b) El desplaçament per sota i per sobre de les temperatures respecte la teòrica.

Si els termoparells de control estan en consonància amb el forn de guarda, igualant

aquest el gradient amb la pila central per evitar fluxos radials, es nota que la pila 1 té les

temperatures per sota de la línia teòrica, la peça 2 intersecta i la peça 3 té les

temperatures més altes que el forn de guarda a la seva alçada. En un principi es podria

dT

dT

dT 332211 ∆

=∆

=∆ λλλ


148

sospitar que el flux intenta “escapar-se” en la zona de la peça 1, cap a l’exterior (sobre-

escalfant la pols i el forn de guarda), i després torna en la part més inferior cap a la pila

central. El que simplement passa es que entre els termoparells 2 i 3, i entre els 4 i 5,

existeixen unes interfícies de contacte de peces que provoquen un salt de temperatura

degut a la resistència tèrmica existent. En les interfícies coexisteixen dos fenòmens: la

conducció i la convecció. Aquest gradient tèrmic tant elevat a la interfície és degut a que

la convecció transmet la potència amb menys eficiència que la conducció, a

conseqüència d’aquest fet el salt tèrmic ha de ser tant elevat per poder continuar aportant

el mateix flux de calor. A grans trets, i sense aprofundir en el comportament del flux en les

interfícies cal fixar-nos en que aquest salt tèrmic representa un elevadíssim gradient

tèrmic en les interfícies, per tant es preveu que el fenòmen de la conducció hi perd

importància. Quanta més importància tingui la convecció més elevat serà el salt tèrmic, i

per tant la superfície de contacte en les interfícies passa a tenir un valor molt petit

comparat amb la secció total de les peces. Uns factors importants que decanten la

balança cap a una interfície amb molta convecció o molta conducció, és el grau de

rugositat de les peces, així com la pressió que s’exerceix a la pila central.

Per comprovar sobre quin rang es troba aquest salt de temperatura, i a partir dels

resultats obtinguts en l’experiència 7.0, podem calcular aproximadament la temperatura

en els extrems comuns de les peces, a partir de la regressió.

Fig. 8.9 Situació dels termoparells en les peces mostra

Si prenem unes coordenades com les de la figura anterior per a cada peça, i escrivim

l’equació

(8.5) iiii bzazT +=)(


149

per a cadascuna de les peces i i cercant els valors a i b per cada equació,

PEÇA 1 TC1=230.60 ºC Z(1)= 22.23 mm TC2=218.35 ºC Z(2)= 3.18 mm PEÇA 2 TC3=214.27 ºC Z(3)= 22.23 mm TC4=203.18 ºC Z(4)= 3.18 mm PEÇA 3 TC5=198.52 ºC Z(5)= 22.23 mm TC6=184.30 ºC Z(6)= 3.18 mm s’obtenen les equacions individuals per a cada peça (8.6)

Comparem les Temperatures inferior i superior de les peces en les dues interfícies

Tinf1=216.30 ºC Tsup2=216.62 ºC ∆T = -0.32 ºC!!

Tinf2=201.26 ºC Tsup3=200.89 ºC ∆T = 0.37 ºC

Es comprova un cert error, ja que teòricament, la Temperatura inferior de la peça 1 hauria

de ser en tot cas superior a la superior de la peça 2. Això és degut clarament a les

desviacions de les lectures (i cal tenir en compte que aquí s’ha suposat conductivitat

constant). Recordem l’anomalia detectada en el sub-apartat anterior, on es trobava erroni

trobar un gradient de temperatura major en la peça 1 que en la 2. En qualsevol cas, de

moment sembla que el salt de temperatura sigui petit per a aquesta configuració, si fem

cas al segon salt de 0.37ºC, pràcticament inapreciable.

Implementem ara el concepte de conductivitat tèrmica, cercant els valors en l’experiència

d’estudi. Tal i com s’explica en l’Annex 4, per calcular el flux de calor circulant per una pila

només ens cal saber el valor de la conductivitat tèrmica a la temperatura mitjana del

gradient d’estudi, si acceptem que la conductivitat és funció lineal de la temperatura.

a1=0.6430 b1=216.30

a2=0.6047 b2=201.26

a3=0.7465 b3=181.93

93.1817465.026.2016047.030.2166430.0

33

22

11

+=+=

+=

zTzTzT


150

Retrobant les temperatures mitjanes de cada pila i buscant la conductivitat tèrmica a

aquestes a partir de la interpolació de taules, s’obtenen les següents dades:

PEÇA 1: Tmitj = 224.475 ºC ⇒ λ1 = 14.59055 W/mK ⇒ Q1=9382.37 W/m2



Veiem que els fluxos de calor calculats són diferents, quan la teoria ens diu que haurien

de ser iguals. Fixant-se en la diferència, es comprova que tenim més flux de calor on hi

ha més gradient de temperatura (pila 3,TC5-TC6 = 14.22 K), i que on hi havia menys

gradient (pila2, TC3-TC4 = 11.09 K) hi ha menys flux, quedant amb valor entremig la pila

1. Això desemboca a la conclusió que els gradients han predominat en el càlcul degut a

les seves desviacions, és a dir, són massa desiguals.

Si es calcula el percentatge d’error màxim entre cabals, prenent com a referència el més

petit:

Q3 / Q2 = 1.255 ⇒ 25.5% d’error

Segons el manual del Conductivímetre TCFCM-N20, quan els fluxos han estat més

diferents del 20%, aleshores es suggereix que hi ha hagut un problema en el muntatge

global, o amb la mesura d’algunes temperatures en la pila central. Si el “balanç d’energia”

és millor que el 5% és un indicatiu que estem davant d’un test excel·lent. Si el balanç es

troba entre el 5% i el 20% aleshores el test es considera acceptable. Malgrat tot, com és

de lògica, indica que ens podem trobar amb un test de baixa precisió en la mesura de la

conductivitat tot i tenint que els fluxos siguin perfectament iguals, ja que es poden tenir

problemes amb la mesura de temperatures en la mostra de testeig.

Si prenem la mitjana entre Q2 i Q3, obtenim el valor Q2,3 = (Q2 + Q3)/ 2 = 9391.645 W/m2,

molt proper al flux de calor Q1, només un 0.0988 % més de diferència, el que hauria estat

una dada excel·lent per al càlcul de la conductivitat en la peça 1.

Pero el manual ens indica que posicionarem la peça d’estudi en el mig de la pila central

(és a dir, en la posició 2), i que per trobar el flux que passa per 2 es troba la mitjana entre

Q1 i Q3 com a valor més probable. La diferència entre aquests fluxos extrems Q1 i Q3 és

del 11.42% i per tant en principi és una prova acceptable.


151

En comparació de mitjanes, en aquest cas s’obtenen uns valors molt diferents:

Q1,3 = (Q1+Q3)/2 = 9918.39 W/m2 Q2= 8328,88 W/m2

tenint la mitjana un 19.0843 % més que el valor Q2 esperat. Si es calcula la conductivitat

trobada en la peça 2 seguint els passos indicats en el manual,

(8.7)

es troba un valor λ2exp= 17.0374 W/mK per a l’Inconel a la temperatura mitjana de la peça

2 de 208.725 ºC, mentres que segons taules, el valor correspon a 14.307 W/mK.

El valor trobat té, respecte el valor esperat, una sobreestimació del 19.08%,

semblantment com la mitjana dels fluxos Q1,3 tenia respecte Q2.

NOTA: L’Inconel 718 presenta la conductivitat trobada de 17.0374 W/mK a la temperatura de 369.8375 ºC (161.11 ºC per

sobre de la temperatura d’estudi).

Es pot cloure aquesta experiència amb l’afirmació que no ha complert els objectius

esperats, si bé que el balanç entre els fluxos Q1 i Q3 és acceptable, el resultat de la

conductivitat trobada un 19.08% per sobre del que s’esperava, no compleix la precissió

de entre el ±5% i ±10% que el manual contempla. A més, la temperatura a la qual

correspon la conductivitat trobada (369ºC) no es troba ni tant sols al llarg de la pila central

(compresa entre els 240 ºC i els 180ºC). És suposa que els errors en les conductivitats

trobades depenen també de la funció d’aquestes respecte la temperatura, pendent

d’estudi en el següent capítol.

La curiositat respecte el dubte de fer servir taules per als termoparells, i per a les

conductivitats de l’Inconel, o bé la utilització de funcions regressores, fa comparar per a

aquesta experiència els resultats seguint el mètode emprat fins ara, Taules, o bé els que

s’haurien obtingut amb les funcions. Els resultats són els que es presenten:

2

3,12

·T

dQ∆

=λ


152

(W/mK) Taules Funcions Dif (%)

Q1 9382.37 9416 +0.36

Q2 8328.88 8355 +0.31

Q3 10454.41 10432 -0.21

Amb les dispersions que s’han trobat en l’esperiència estudiada, l’efecte de servir un

mètode o unaltre no és important amb aquestes diferències, ja que hi han altres factors

que afecten molt més. Si les experiències fossin més precises, aleshores si serà

convenient d’eliminar aquesta dispersió.

Per últim, cerquem d’una manera aproximada, sobre quins valors haurien d’haver estat

les diferències de temperatura en cada pila. Si considerem com a valor més probable del

flux circulant la mitjana dels 3 fluxos, Q1,2,3= (Q1+Q2+Q3)/3 = 9388.55 W/m2 i considerem

que les conductivitats trobades a la temperatura mitjana de cada pila no varien

excessivament de les reals, es pot trobar ∆Ti = Q1,2,3·d / λi, que després dels càlculs es

troba

∆T1 =12.26 ºC ; ∆T2 =12.50 ºC ; ∆T3 =12.77 ºC

8.3 EXPERIÈNCIES AMB CÀLCUL DE Qmàx I Qmín

Per especular sobre la teoria que un dels factors importants és la localització de la unió

termopàrica, per intentar justificar les diferències entre els fluxos de calor, i amb l’objectiu

de cercar una acotació al valor del cabal calorífic per trobar uns límits (raonables?) a la

conductivitat tèrmica cercada, es realitzen dues experiències, a temperatures més

elevades que l’anterior.

Els valors per al nostre cas corresponen a:

d=19.05 mm ∅=1.7 mm ⇒ dmàx= d + ∅ = 20.75 mm dmín= d - ∅ = 17.35 mm

La pràctica consisteix en trobar, per a les peces 1 i 3 (superior i inferior), uns valors

màxims i mínims del flux de calor circulant, a partir de les distàncies mínima i màxima

respectivament, suposant que les temperatures trobades no tenen més error que aquest,


153

Fig. 8.10 Indicacions de la distància màxima i mínima en les peces

el de la localització. S’ha comprovat anteriorment que no era prou suposar aquesta

deslocalització, ja que les diferències entre els gradients era massa elevada, i aquest

factor d’estudi no podia solament ser el causant d’aquesta desviació. Emperó, pot ser

interessant fer una anàlisi amb dades experimentals:

TC1: 451.6 ºC

TC2: 432.5 ºC

∆T1=19.1 ºC

Tm1=442.05 ºC

λ1=18.3075 W/mK

TC3: 423.0 ºC

TC4: 402.1 ºC

∆T2=20.9 ºC

Tm2=412.55 ºC

λ2=17.7934 W/mK

TC5: 392.9 ºC

TC6: 368.1 ºC

∆T3=24.8 ºC

Tm3=380.5 ºC

λ3=17.2360 W/mK

Experiència 0.2

Es comprova primerament els resultats teòrics considerant la distància d.

S’observa un flux de calor més gran en la peça posicionada en la part més inferior, i

menys flux en la peça superior, quedant la peça del mig amb un cabal intermedi.

2333

2222

2111

/46.22438

/37.19521

/55.18355

mWdTQ

mWdTQ

mWdTQ

=∆

=

=∆

=

=∆

=

λ

λ

λ


154

La diferència relativa entre els cabals extrems (3 respecte 1) és del 22.24% (deixaria de

ser una bona experiència). Malgrat tot, degut a que la mitjana entre els fluxos extrems es

trobarà propera al cabal a cercar Q2, el resultat que s’obtindrà serà molt proper al teòric:

Q13= (Q1 + Q3) / 2 = 20397 W/m2. (representa només un 4.48% d’error respecte Q2 experimental).

Fem l’anàlisi de distàncies màxima i mínima “possible”:

Això representa fer un interval aproximadament del ±10% de cada cabal. Per tant, si el

cabal real Q del flux uniforme que travessa la peça ha de complir les condicions

següents:

Q1mín < Q < Q1màx Q3mín < Q < Q3màx

que en el nostre cas es converteixen en condicions incompatibles, ja que Q3mín > Q1màx.

S’haurien de suposar unes deslocalitzacions dels termoparells una mica més grans, per

tal de tenir solapació entre els dos intervals, i per tant, teòricament, es trobaria que el flux

estaria en la intersecció d’aquests intervals, que coincidiria en un punt aproximadament

igual a la mitjana entre el cabal mínim de la peça 3 i el cabal màxim de la peça 1. Però

com hem vist abans, potser es casualitat que la peça 2 tingui un cabal aproximadament

igual a la mitjana dels cabals 1 i 3, mentres que aquests difereixen un 22%.

Sense desmuntar la pila central de peces, tornem a fer una altra experiència, amb

temperatures encara més elevades. Els resultats i càlculs referents a temperatures

mitjanes, salts de temperatura i conductivitat són els següents:

233mín3

2

mín

333

211mín1

2

mín

111

/13.20600/05.24637

/72.16851/08.20154

mWd

TQmWd

TQ

mWd

TQmWd

TQ

màxmàx

màxmàx

=∆

==∆

=

=∆

==∆

=

λλ

λλ


155

TC1: 523.9 ºC

TC2: 504.5 ºC

∆T1=19.4 ºC

Tm1=514.2 ºC

λ1=19.5556 W/mK

TC3: 495.5 ºC

TC4: 474.5 ºC

∆T2=21 ºC

Tm2=485 ºC

λ2=19.05 W/mK

TC5: 464.9 ºC

TC6: 440.6 ºC

∆T3=24.3 ºC

Tm3=452.75 ºC

λ3=18.4995 W/mK

Experiència 0.3

S’observa, respecte l’experiència anterior, una similitud en l’ordre dels resultats: les peces

tenen, en l’ordre 1 a 3, un salt de temperatura creixent. La conductivitat tèrmica, com

sembla lògic, és cada cop més petita (ja que la temperatura mitjana de cada peça és

decreixent, i no queda desvirtuada per les desviacions de lectura). Això porta a uns

resultats de cabals anàlegs als anteriors:

Aquesta vegada, la relació diferencial de Q3 respecte Q1 és del 18.5% (ha millorat una

mica, però està en el mateix ordre). La mitjana Q13=21756.333 W/m2 només està un 3,6%

per sobre del que s’ha trobat experimentalment a Q2.

Només observant aquesta correlació entre els últims 2 experiments, entre els quals no

s’ha fet cap desmuntatge del conjunt ni s’han tocat els termoparells de la seva posició, es

poden sospitar dues causes possibles:

a) Les 3 peces de mateix material, Inconel718, no són exactament iguals, de la mateixa

naturalesa: tenen conductivitats una mica diferents, que si es coneguessin amb

exactitud, calcularíem cabals més semblants entre les 3 peces.

b) Pot afectar en el resultat dels cabals la localització geomètrica dels termoparells

(efecte de distància d ± error), i com que no s’han tocat els termoparells, es

repeteixen els efectes de la mateixa manera relativa.

2333

2222

2111

/78.23597

/21000

/89.19914

mWdTQ

mWdTQ

mWdTQ

=∆

=

=∆

=

=∆

=

λ

λ

λ


156

Tenint en compte aquestes dues possibles causes, es podria buscar una relació

aproximada del tipus

(8.8)

que sempre es compliria si no es toquessin les peces d’ordre ni els termoparells. Això ens

indica que és necessària una identificació de les peces, per saber si canviant-les d’ordre

es pot deduir alguna cosa. També ens porta a una personificació dels termoparells, no

tant per l’efecte de la deslocalització, ja que la seva posició final en la peça pot quedar

totalment girada respecte a unaltre experiència, sino globalment per la seva desviació

respecte un valor de referència.

Si es suposa en l’experiència 0.3, que com a càlcul del flux és acceptable la mitjana dels

cabals Q13, calculem quina seria la conductivitat trobada seguint el mecanisme:

λ2(485ºC) = Q13·d / ∆T2 = 19.74 W/mK

que representa a l’igual que els fluxos un 3.6% d’error respecte el valor esperat de 19.05

W/mK. (La conductivitat trobada correspon per a l’Inconel 718 a la temperatura de 524.3

ºC).

Òbviament, l’aplicació d’aquesta última equació per trobar el valor estimat de la

conductivitat de la peça, hi intervé el factor deslocalització geomètrica. Cerquem ara

aquesta dispersió ideal que si la coneguéssim amb exactitud trobariem la conductivitat

esperada de 19.05 W/mK.

d*=λ*·∆T2 / Q13 = 18.39·10-3 m = 18.39 mm

Això representa una desviació de la distància termopàrica de –0.66 mm, que està dins

dels límits raonables.

Si s’intenta analitzar el perquè en aquesta experiència 0.3 hem trobat una major

proximitat en els fluxos extrems, que a la vegada la seva mitjana s’ha apropat al valor

experimental en la peça 2 (en conjunt s’ha trobat de manera molt sensible una millor

experimentació) que respecte l’exp. 0.2, es pot deduir que la causa rau en la quantitat de

flux tèrmic circulant. Si es comparen:

312 QQQ βα +=


157

EXP. 0.2 Q123= 20105.13 W/m2 ∆T16= 83.5 K λ2=17.7934 W/mK

EXP. 0.3 Q123= 21504.22 W/m2 ∆T16= 83.3 K λ2=19.05 W/mK

El flux circulant en l’exp. 0.3 és un 6.96% més gran que l’exp. 0.2, i no perque s’hagi

aplicat un gradient més gran de temperatura (que són quasi-iguals), sino perque al

realitzar-se a temperatures més elevades, les conductivitats són un 7% més grans.

Malgrat tot, no es troba perquè hauria de ser millor l’experiència a major temperatura

(major flux), ja que els errors en els termoparells fins i tot poden ser més grans a més

temperatura, les distàncies queden afectades de la mateixa manera, i la conductivitat

segueix essent igual de lineal en ambdós rangs de temperatura. L’únic del que es pot

sospitar és que a més flux de calor, el mecanisme del conductivímetre (escalfadors,

refredadors, controls PID, forn de guarda) funciona de manera més correcta. Són punts

que s’hauran de comprovar en futures experiències, però es constata amb l’experiència

0.1, que era a temperatures més baixes, i la dispersió entre els cabals més diferents era

del 25.5%. Si ens fixem que aleshores aquesta dispersió corresponia entre les peces 2 i

3, es pot arribar a la conclusió anterior que les peces poden ésser quelcom diferents per

naturalesa (encara que el factor termoparell està pendent d’estudi).

Si ordenem els cabals trobats per a les tres experiències de menor a major, i cerquem les

variables de relació α i β a partir de les exp. 02 i 0.3 segons:

exp. Qm Q QM

0.1 8328.88 9382.37 10454.41

0.2 18355.55 19521.37 22438.46

0.3 19914.89 21000 23597.78

s’obtenen els valors α = 0.7693 i β = 0.2406.

Si apliquem aquests factors de linealitat als fluxos corresponents a l’exp. 0.1, trobem

Q*2= α·Qm + β·QM = 8922.74 W/m2 (només un 4.89 % menys que el Q experimental).

Mm QQQ βα +=


158

8.4 EL FACTOR DIÀMETRE

Fins ara s’ha tractat el flux de calor com el flux per unitat de superfície (en W/m2), ja que

al tenir teòricament una pila formada per 3 peces de diàmetre constant i igual a 50 mm,

per tal de tenir un flux el més uniforme possible, no calia diferenciar-les i aplicar cada

vegada un diàmetre diferent.

S’ha comprovat anteriorment com les desviacions en la distància inter-termopàrica podien

influir en el resultat final. Comprovem-ho ara per al factor diàmetre. Les peces hauran de

ser mecanitzades en principi, per tal de tenir el diàmetre desitjat. És obvi que les

perforacions practicades a les peces per a la localització dels termoparells és un clar

impediment per tal de tenir una situació teòrica impecable de pila central uniforme, però

està clar que és la manera com treballa el conductivímetre.

També en el disseny del conductivímetre imposa una certa geometria, que en el cas del

diàmetre, és de 50 mm, ja que les peces mostra són així. En el capítol 9 s’explica com

aquest diàmetre de peça, és òptim per a les dimensions del forn de guarda que es té.

Per a la valoració de l’efectivitat de dispersió del flux de calor degut a la dispersió de

diàmetre, tenim que l’àrea de la peça teòrica és A=πr2.

El rati que compara aquest flux teòric vé amb relació inversa al quadrat de la relació entre

radis (o diàmetres)

(8.9)

Fent un exemple numèric, si el diàmetre té 1 mm menys dels 50 mm corresponents (un

2% d’error), aleshores pertoca per aquest motiu un error en l’estimació del flux (per unitat

d’àrea) de +4.12%.

Aquest efecte podria explicar les inexactituds dels fluxos dins un rang, però no explica

gensmenys les diferències trobades anteriors de fins el 25,55% de desviació entre fluxos,

degut a que la mecanització de les peces es troba força correcta.

Mesurades amb un peu de rei les 4 peces d’Inconel, els seus diàmetres són: 49,9 mm, 50

mm, 49,85 mm i 49.85 mm.

2

*2*

2

*

**

====

RR

RR

AA

AqAq

QQ

ππ


159

Si el diàmetre és pogués creixer tant com vulguèssim, aleshores una millora directament

relacionada seria que la perforació de les peces per als termoparells no seria

(relativament) tant important.

Altres factors que poden afectar al càlcul, degut a que afecten a la teoria bàsica de

funcionament del conductivímetre, seria la no linealitat de les 3 peces. Els seus eixos

tenen segur una descentricitat, que en les interfícies provocaria unes línies de flux no

simètriques, podent arribar a perjudicar la lectura dels termoparells (que està només a

només a 3.18 mm de les interfícies).

8.5 LA REPETITIVITAT EN LES EXPERIÈNCIES

L’experimentació sembla que dóna resposta a algunes de les preguntes que inicialment, i

sense conèixer profundament el mecanisme tèrmic del conductivímetre, es poden

presentar. La comparació entre experiments poden donar com a conclusió que hi han

efectes pràctics que segons la teoria no es contemplen. Un d’ells, és conèixer fins a quin

grau dues experiències, amb les mateixes peces i les mateixes entrades de temperatures

límits, poden donar resultats diferents, degut a que el muntatge geomètric poden haver

petitíssimes desviacions de col·locació de peces.

TERMOPAR LECTURA (µV) TEMPERATURA

(ºC)


(ºC)

TC1 9769 240.61 TC1 9787 241.05

TC2 9209 226.65 TC2 9226 227.07

TC3 8785 216.05 TC3 8801 216.45

TC4 8132 199.71 TC4 8147 200.09

TC5 7841 192.44 TC5 7855 192.79

TC6 7311 179.21 TC6 7324 179.53

TC7 9893 243.69 TC7 9907 244.03

TC8 9731 239.66 TC8 9743 239.96

TC9 9503 233.98 TC9 9514 234.26

TC10 9385 231.04 TC10 9395 231.29

TC11 9084 223.52 TC11 9092 223.72

TC12 8931 219.70 TC12 8939 219.90

TC13 9709 239.11 TC13 9717 239.31

TC14 7306 179.08 TC14 7313 179.26

TC15 7297 178.86 TC15 7303 179.01

EXPERIÈNCIA 1.1 EXPERIÈNCIA 1.2


160

Es comença en aquest punt a personificar les peces per tal de situarles en l’ordre que ens

interessi. Partim amb els resultats de l’exp. 1.1. i exp. 1.2. mostrats a la taula anterior.

Amb les lectures anteriors, es poden calcular els corresponents fluxos de calor:

exp. QI QII QIII QI/QII QI/QIII

1.1 10785.74 12249.89 9661.14 0.88047 1.116405

1.2 10808.96 12274.29 9683.95 0.88061 1.116172

1.1/1.2 0.997851 0.998012 0.997644

Aquestes dues experiències han estat realitzades amb 3 peces d’Inconel718, que s’han

anomenat I,II i III i han estat posicionades des de la part superior a inferior. Les

temperatures de control, tant per a la pila central com pel forn de guarda han estat de

240 ºC i de 180 ºC. Després d’anotar les lectures de l’experiment 1.1 havent passat unes

4 hores, s’ha esperat 2 hores més per tal d’estabilitzar més el llarg transitori.

Els resultats dels cabals difereixen, semblantment a les experiències anteriors, però entre

ambdues lectures, es nota un creixement del cabal circulant, de manera uniforme en les 3

peces ja que les relacions dels cabals són molt semblants.

Aquesta experiència continua confirmant una diferència dels cabals calculats segons uns

paràmetres de distància i de conductivitat suposats, i aquesta dispersió pot ser deguda en

part a que la distància inter-termopàrica pot ser diferent en cada cas, provocant una

dispersió per la localització dels termoparells (vegeu Capítol 7). Així mateix la naturalesa

del material pot provocar que les peces mostra tinguin una conductivitat tèrmica real molt

diferent entre elles, fent que el camp de temperatures provocat sigui diferent.

Realitzem, sense desmuntar la pila de l’experiència anterior, una prova amb tots els

controladors de temperatura marcant 210 ºC (temperatura mitjana de les temperatures

extremes anteriors 240ºC i 180ºC). Servirà aquesta experiència per continuar valorant les

diferències entre les lectures dels termoparells que, teòricament, estan mesurant tots la

mateixa temperatura.

Les lectures són les següents:


161


(ºC)

TC1 8528 209.62

TC2 8617 211.85

TC3 8534 209.77

TC4 8567 210.59

TC5 8587 211.09

TC6 8616 211.82

TC7 8544 210.02

TC8 8530 209.67

TC9 8435 207.29

TC10 8447 207.59

TC11 8293 203.74

TC12 8281 203.44

TC13 8500 208.92

TC14 8513 209.24

TC15 8500 208.92

EXPERIÈNCIA 1.3

A partir d’aquest resultat, s’ha desmuntat l’experiment global 1 i es torna a muntar de la

mateixa manera, amb el mateix ordre de peces, per passar a realitzar l’experiència 2.

L’únic element que no es repeteix són els termoparells, que els anem agafant a l’atzar i

els anem posicionant a les diferentes peces.

La primera lectura la farem a partir de introduir les mateixes temperatures de control que

les experiències 1.1 i 1.2, és a dir 240 i 180 ºC. El resultat en els cabals,

comparativament amb l’experiencia 1, són els següents:


1.1 10785.74 12249.89 9661.14 0.88047 1.116405

2.1 10601.11 11368.10 9469.52 0.93253 1.119498

1.1/2.1 1.017416 1.077567 1.020235

Aquesta experiència en comparació amb la exp. 1.1 es comporta de diferent manera de

com es comportava la exp. 1.2 respecte la mateixa exp. 1.1. Els resultats, si bé defineixen

la mateixa tendència, difereixen relativament entre ells, notant-se que la peça II és la que

té una pertorbació major.

Tots els termoparells tenen lectures molt aproximades, exceptuant els termoparells més inferiors del forn de guarda, que presenten temperatures uns 7ºC inferiors a les esperades. Les lectures bàsiques de la pila central (TC1 a TC6), presenten com a temperatures més diferents la TC1=209.62 ºC i la TC2=211.85 ºC. Això representa una diferència entre aquestes dues lectures de 2.23 ºC, que és una diferència comprensible a partir de les especificacions dels termoparells tipus K. Semblantment com s’ha fet amb les peces que s’han personalitzat per veure si sempre existeix una relació entre elles, s’hauran de personalitzar els termoparells per saber si existeix una relació entre dos termoparells concrets.


162

És pot deduir que la tendència més forta que fa que els fluxos continuin tenint l’ordre QII >

QI > QIII és degut a les peces (bé per material o per distància termopàrica/diàmetre), però

també hi ha un factor termopàric que fa que les relacions entre els cabals que en un

mateix muntatge fa que sigui força constant, puguin variar entre dos experiments anàlegs.

Per poder constatar aquesta suposició anterior, amb el mateix muntatge es predisposa a

fer la lectura corresponent a l’exp. 2.2, que consisteix a posar com a temperatures de

control els valors de 140 ºC i 100 ºC per el MAIN HEATER i el AUX HEATER

respectivament. Els resultats dels cabals així com els comparatius entre ells són els que

es mostren a la taula següent:


2.1 10601.11 11368.10 9469.52 0.93253 1.119498

2.2 6999.49 6602.08 5838.82 1.06019 1.198785

2.1/2.2 1.514555 1.721896 1.621821

El balanç ha estat malaurat. Per començar, ja no es té que la peça II té el cabal més gran

de les tres. Les relacions entre l’exp. 2.1 i l’exp. 2.2 tenen major diferència, per tant, que

els valors que s’havien trobat en les relacions de l’exp. 1.1 versus exp. 1.2.

Per buscar les causes d’aquestes anomalies dintre de les anomalies que tenen els

cabals, es pot suposar que a menor temperatura, els resultats dels cabals s’alteren

perque els gradients de temperatura s’han vist afectat per un error relatiu major. També

s’ha fet l’observació dels valors que mostra la Unitat Lectora temporalment, i s’arriba a la

conclusió que les e.m.f. mostrades oscil·len en un entorn aproximat de ±15 µV que

equival a ±0.375 ºC.

Tot això impulsa a la recomanació d’executar l’experiment 2.3 realitzat a temperatures

superiors a la realitzada en l’experiència 2.1, concretament a 400ºC com a temperatura

superior i 340 ºC com a temperatura inferior, i no a temperatures tant baixes com l’exp.

2.2.


163

Però aquest experiment no es pot realitzar, ja que la resistència superior ha sofert un

reescalfament molt elevat de manera contínua, degut a que el termoparell que controla

aquesta resistència superior s’ha averiat, provocant que el PID sempre troba una

temperatura inferior a la introduïda, escalfant contínuament la resistència. El muntatge

s’ha desmontat per tal de reparar la citada resistència.

Es passa al muntatge d’una nova experiència, consistent en fer passar un flux de calor a

les mateixes peces, però aquesta vegada s’ha optat per canviar l’ordre de les peces I,II i

III, posicionant la peça II en la posició superior 1, la peça III en la posició intermèdia 2 i la

peça I a la part inferior 3. Els termoparells, com fins ara, s’han escollit de manera

aleatòria. S’han fet dues lectures (dos experiències); una amb un gradient aplicat d’entre

180ºC i 140ºC (exp. 3.1), i el gradient típic d’entre 240ºC i 180ºC (exp. 3.2). Els fluxos

resultants i les seves corresponents relacions s’expressen a la taula següent:


3.1 7852.35 7260.14 5325.41 1.081570 1.474506

3.2 13116.46 11509.01 9082.60 1.139660 1.444130

3.1/3.2 0.598663 0.6308222 0.586331

En les relacions entre els resultats de l’exp.3.1 i exp.3.2 es nota una petita diferència,

però tots els valors estan entorn del valor que el flux de cada peça una a una en

l’experiment 3.1 és 0.60 vegades aprox el flux de cada peça en l’experiment 3.2. Les

variacions poden venir degut a que, com s’ha comentat anteriorment, els fluxos baixos

deguts a petits salts de temperatura (o bé a baixes temperatures), poden alterar-se més

fàcilment.

Pel mateix motiu, les relacions entre peces en la primera experiència varien un xic

respecte les mateixes relacions en la segona experiència, però es mantenen força

constants si tenim en compte la variació dels fluxos que arriben a l’experiència 3.1 fins el

47% entre les peces I i III.

El que és important notar, és que ara tenim la relació de QI > QII > QIII, , a l’igual que

l’experiment 2.2, en les dues experiències, diferenciant-se del que succeïa a les


164

experiències 1.1, 1.2 i 2.1. El que hi ha en comú sempre és que la peça III sempre té un

cabal molt inferior a les peces I i II, arribant a tenir la peça I un flux 47% major que la peça

III (QI / QIII = 1.47), mentres que les relacions dels fluxos de les peces I i II (QI / QII) solen

estar entre 0.88 i 1.14 ( major flux en I que en II o a la inversa).

Podem fer la hipòtesi atrevida, degut als paràmetres amb els que estem jugant, que les

peces I i II poden tenir naturalesa o comportament semblant, i la diferència entre els seus

fluxos sigui deguda a variacions provocades per termoparells, o bé al procés de

muntatge, posicionament o al comportament del conductivímetre (refredament lateral, ...).

Però es pot desconfiar de la peça III per un comportament anòmal (distància entre

termoparells més petita, Inconel pertorbat, etc...).

Per estudiar com ha afectat el canvi de localització de les peces I, II i III en l’experiment 2

respecte les anteriors, es fa la comparació entre experiències que han tingut les mateixes

temperatures extremes, en aquest cas s’escull la experiència 2.1 i l’experiència 3.2,

realitzades amb un gradient comprés entre 240ºC i 180ºC. Cal tenir en compte que

l’aleatorietat dels termoparells que s’han usat pot tenir implicació directa important, i

podria donar pas a suposicions incorrectes.

Les relacions dels fluxos entre les dues experiències, les podem fer de dues maneres:

a) relacionant de manera que la peça personalitzada com I es relaciona amb ella

mateixa, sigui la seva situació que sigui, o bé

b) relacionant les peces superiors entre si, les que ocupen la posició intermèdia entre si i

les inferiors entre si.

Si relacionem les peces independentment de la seva situació:

exp. QI QII QIII QI/QII QI/QIII QII/QIII

2.1 10601.11 11368.10 9469.52 0.93253 1.119498 1.200494

3.2 13116.46 11509.01 9082.60 1.139660 1.444130 1.267233

2.1/3.2 0.808229 0.987756 1.042600


165

S’observa que les relacions QI/QII i QI/QIII tenen valors molt dispars entre les dues

experiències. mentres que la relació QII/QIII es manté força més constant entre els dos

experiments. Es pot observar, aleshores, que la peça I té un comportament molt diferent

en cadascuna de les proves: mentres que en l’exp. 2.1 té un flux intermedi que les altres

dues peces (posicionada en la peça superior), a l’exp. 3.2 té un flux superior que les

altres dues (quan està posicionada en la part inferior). Això es reflecteix també en les

relacions de fluxos de cada peça; mentres que les peces II i III tenen fluxos molt propers

en cadascuna de les experiències (0.98 i 1.04), la peça I difereix un 20%. Aquest fet

provoca que mentres en l’exp. 2.1 tenim una diferència de fluxos del 20% entre la peça II i

la peça III, en l’experiment 3.2 la diferència creix fins el 44% entre les peces I i III.

Per tant la repetitivitat sembla, es veu compromesa pel posicionament de peces, però cal

tenir en compte que potser l’aleatorietat dels termoparells pugui tenir molt a veure en

aquest sentit.

Comprovem els resultats segons el posicionament, i no segons les peces:

exp. Q1 Q2 Q3 Q1/Q2 Q1/Q3 Q2/Q3

2.1 10601.11 11368.10 9469.52 0.93253 1.119498 1.200494

3.2 11509.01 9082.60 13116.46 1.267149 0.877447 0.692458

2.1/3.2 0.92111 1.251634 0.721956

S’observa que no existeix cap correspondència en els ratis dels fluxos. La peça

intermèdia 2 té en l’experiment 2.1 el flux més gran de les tres, mentres que en la

següent experiència té el flux més petit. Per tant, es pot concloure que la repetitivat depen

clarament de les peces mostra que es facin servir.

El seu posicionament també pot implicar alguna desviació, però la variabilitat observada

es pot entendre sobretot si ens fixem en les peces i no depén d’on les posem que el seu

comportament seguirà essent el mateix. Per a una bona experimentació per trobar la

conductivitat tèrmica d’una mostra, s’haurà de testejar molt bé prèviament les peces

mostra que s’utilitzarà.


166

8.6 LA PILA ÚNICA I LA REFERENCIACIÓ DE TERMOPARELLS

Degut al diferent comportament de la peça 1 en les experiències 2.1 i 3.2, una possible

causa que se li atribueix és la desviació provocada pels termoparells en cada cas. Per a

això, i fugint de la variabilitat eventual entre les peces mostra i la seva posició, es prepara

una peça de llargària igual al conjunt pila central formada per 3 peces. Aquesta peça, que

l’anomenarem Pila Única, és de material acer, i es desconeix la seva conductivitat. Però

la seva utilitat és per a l’observació dels termoparells i la seva dependència entre ells.

Aquesta peça de 80 mm de longitud i de diàmetre 50mm té practicats 7 forats

interespaiats 10 mm, i allunyats de les 2 cares superior i inferior també 10 mm. Com a

principal avantatge, és que no hi han interfícies, i en teoria tota la pila és de la mateixa

naturalesa, mateix material. Desconeixem la conductivitat tèrmica del material, ja que

desconeixem el material en si i la seva composició. Si prenem com a referència la

conductivitat tèrmica de l’acer al carboni 1.5%C en l’interval de 273 K a 875 K, que té

com a equació regresora:

λAcer = 36 –0.0083· (T-273) T en K

i per tant té una variabilitat de la seva conductivitat de 0.0083 W/mK2, que en un interval

de 100 K representaria només 0.83 W/mK de diferència (només un 2.3% de variació).

Això permet esperar que els intervals de temperatura hauran de ser força constants.

Fig. 8.11 Localització dels termoparells i experimentació amb peça única


167

Per al conjunt d’experiències 4, el forat del mig no s’ha ocupat amb cap termoparell.

Les distàncies d(1-2)=d(2-3)=d(4-5)=d(5-6)= 10 mm i d(3-4)=20 mm.

La primera experimentació es realitza introduint les temperatures de control MAIN a 240

ºC i AUX a 200 ºC. Es fa una primera lectura 4.1, i es deixa reposar tota una nit, després

de la qual es fa la lectura 4.2. Es nota que els valors no han variat gaire, i per tant, es

suposa que s’ha arribat a un transitori força estable. S’observa, però, que els termoparells

posicionats al forn de guarda varien més amb el temps que els termoparells de la pila

central, que són més estacionaris. Els valors de transició, però, no varien més de 0.25ºC.

Les lectures són les expressades en la següent taula:


(ºC)

TC1 9608 236.5986

TC2 9446 232.5614

TC3 9102 223.9736

TC4 8653 212.7461

TC5 8463 207.9924

TC6 8174 200.7623

TC7 9861 242.8672

TC8 9735 239.7597

TC9 9550 235.1538

TC10 9470 233.1598

TC11 9228 227.1211

TC12 9127 224.5983

TC13 9715 239.2622

TC14 8114 199.2617

TC15 8100 199.1616

EXPERIÈNCIA 4.2

Es pot comprovar una forta linealitat en les temperatures de la Pila Central, degut

bàsicament a la inexistència d’interfícies que provocaven salts. Com a més discordants

d’aquestes temperatures, sembla que la TC2 té la temperatura una mica per sobre de la

tendència general, així com la TC5. A primera vista, el forn de guarda té en la seva

posició superior un comportament similar i paral·lel al de la pila central, malgrat que

200205210215220225230235240245

50 70 90 110

ALÇADA (mm)

TEM

P. (º

C)

PILA CENTRALFORN GUARDA

Fig. 8.12 Temperatures segons exp. 4.2


168

sembla que obtinguem temperatures una mica més grans (possiblement per desajustos

en les mides d’alçada)

Calculant només els gradients en la pila central, i agafant distàncies diferents cada

vegada s’obtenen els següents resultats:

Si prenem les diferències de temperatures distanciades 10 mm: TC1-TC2 = 4.0373 ºC (TC1-TC2)/D = 403.73 ºC/m TC2-TC3 = 8.5877 ºC (TC2-TC3)/D = 858.77 ºC/m TC4-TC5 = 4.7537 ºC (TC4-TC5)/D = 475.37 ºC/m TC5-TC6 = 7.2300 ºC (TC5-TC6)/D = 723.00 ºC/m S’obtenen unes diferències de temperatures molt diferents entre si.

Si es calcula la mitjana i la desviació estandard dels gradients: MITJANA = 615.2175 ºC/m DESVIACIÓ=212.30 ºC/m

Si prenem les diferències de temperatures distanciades 20 mm (com passa en les peces mostres) TC1-TC3 = 12.6250 ºC (TC1-TC3)/D = 631.25 ºC/m TC3-TC4 = 11.2276 ºC (TC3-TC4)/D = 561.38 ºC/m TC4-TC6 = 11.9837 ºC (TC4-TC6)/D = 599.185 ºC/m MITJANA = 597.2717 ºC/m DESVIACIÓ =34.97 ºC/m

Ha millorat amb gran quantitat la desviació tipus. Cal tenir en compte que només hi havia

3 dades.

Si prenem les diferències de temperatures distanciades 30 mm. TC2-TC4 = 19.8153 ºC (TC2-TC4)/D = 660.51 ºC/m TC3-TC5 = 15.9813 ºC (TC3-TC5)/D = 532.71 ºC/m

MITJANA = 596.61 ºC/m DESVIACIÓ = 90.368 ºC/m (Només hi han 2 dades!!!)

Si prenem les diferències de temperatures distanciades 40 mm. TC1-TC4 = 23.8526 ºC (TC1-TC4)/D = 596.315 ºC/m TC2-TC5 = 24.5690 ºC (TC2-TC5)/D = 614.225 ºC/m TC3-TC6 = 23.2113 ºC (TC3-TC6)/D = 580.282 ºC/m

MITJANA = 596.94 ºC/m DESVIACIÓ = 16.98014 ºC/m


169

Si prenem les diferències de temperatures distanciades 50 mm. TC1-TC5 = 28.6063 ºC (TC1-TC5)/D = 572.126 ºC/m TC2-TC6 = 31.799 ºC (TC2-TC6)/D = 635.98 ºC/m

MITJANA = 604.053 ºC/m DESVIACIÓ = 45.151 ºC/m (Només hi han 2 dades!!!)

Diferència de temperatures separades 60 mm: TC1-TC6 = 35.8363 ºC (TC1-TC6)/D = 597.2716 ºC/m

Òbviament, per causes d’estadística, només són comparables les desviacions estàndards

de mostres d’igual número de dades. Si comparem les de D=20 mm, i les de D=40 mm,

on tenim 3 dades en cada cas, la desviació estàndard es redueix a la meitat (de 34ºC/m a

16ºC/m). Si comparem les desviacions de les mostres de 2 dades (com les de D=30 mm i

les de D=50 mm) també s’obté una reducció de la meitat: de 90 ºC/m a 45 ºC/m (i això

que no hem doblat els 30 mm per passar a 60 mm, sinó que ens quedem a D=50 mm).

S’observa que per a més dades, la desviació és inferior, però cal fixar-se en el cas de

D=10 mm, on tenim 4 dades i tenim la desviació de 212 ºC/m. El que si que queda

clarivident és que per a aproximar millor el càlcul del gradient s’ha tenir distàncies com

més grans millor.

Això dóna a pensar que és favorable INTENTAR EXPERIMENTAR amb dues peces, de

conductivitat coneguda, més grans, en comptes de tres peces més petites com

actualment s’està fent. Una altra raó per a EXPERIMENTAR amb dues peces, és que, al

no tenir tants forats (només es necessitaran 2 a cada peça, per tant 4 en total), no es

distorsionarà tant el flux de calor que travessa el cilindre.

Un condicionant en contra d’experimentar amb dues peces, és la suposada simetria que

s’obté amb el Guard Furnace (Forn de Guarda) actualment amb les 3 peces, però

aquesta asimetria que obtindríem, és molt petita, i no afectarà gaire al nostre flux, ja que

tenim un bon aïllant entre la pila i el forn de guarda. Càlculs realitzats amb les dades de la

Diatomea, dónen un flux de calor, per a una diferència de temperatura constant al llarg de

la pila de 10ºC (cas més desfavorable), de 0,4496 W, és a dir, un 1,7% del flux que

travessa la pila. En estat estacionari, però, seria molt inferior, i en qualsevol cas, es pot

regular les temperatures del forn de guarda.


170

Fig. 8.13 Tipologies de camp de temperatura en pila central

S’observa en la Fig. 8.13 la simetria citada anteriorment. Les peces patró A tenen la

mateixa conductivitat, mentres que la peça desconeguda B té una conductivitat que serà

inferior o superior a A en el rang de temperatures d’estudi. Tenint en compte aquesta

diferència de conductivitats i les resistències de contacte, s’observa que les corbes de

temperatures seran com la vermella en el cas que la conductivitat de B sigui més petita

que la del material A. En el cas contrari tenim la corba groga. El forn de guarda segueix

una corba més o menys lineal representada de color blau.

Segons el fabricant de termoparells SEDEM consultat, el problema real dels termoparells

és el fons d’escala. Això vol dir que cada termoparell té una corba característica pròpia

que relaciona la e.m.f. que dóna amb la temperatura mesurada. Els errors no són

constants, si no que depenen de la temperatura a la qual es mesura.

L’error que s’obté per la indeterminació de la localització dels termoparells (la inexactitud

de la distància) no és tan gran com es podia pensar, ja que SEDEM asegura que els

termoparells que venen incorporats amb màntel, van soldats en el centre de la punta, i

que això es fa microscòpicament. Aquest fet pot semblar inútil, ja que no serveix en el

nostre cas tenir molt ben localitzat el punt del sensor de temperatura, si la lectura que

dóna depén d’un fons d’escala desconegut. Només pot ser útil quan d’aquest

termoparell previ a la seva instalació, se li ha fet un calibratge.


171

Per veure si és efectiu un calibratge, seguidament s’analitza la prova consistent en

sotmetre el conjunt a una temperatura constant, introduint en els quatre controladors PID

la temperatura de 240ºC, que era la superior en les experiències anteriors. Aquest

calibratge el podem qualificar d’atrevit, ja que els termoparells estan separats, i no tenim

la certesa que tota la peça estigui a la mateixa temperatura. Però els resultats obtinguts

són molt interesants de seguir amb la mateixa operativa d’abans. Posteriorment es fa una

prova similar, però ara introduïnt la temperatura de 200 ºC. Els resultats d’aquestes dues

experiències 4.3 i 4.4 es troben en la taula adjunta.


(ºC) TERMOPAR LECTURA (µV) TEMPERATURA

(ºC)

TC1 9723 239.4612 TC1 8096 198.8115

TC2 9787 241.0529 TC2 8160 200.4121

TC3 9703 238.9636 TC3 8078 198.3613

TC4 9732 239.6851 TC4 8106 199.0616

TC5 9801 241.4010 TC5 8153 200.2371

TC6 9730 239.6353 TC6 8114 199.2617

TC7 9753 240.2074 TC7 8130 199.6618

TC8 9729 239.6104 TC8 8113 199.2366

TC9 9624 236.9971 TC9 8022 196.9610

TC10 9640 237.3954 TC10 8035 197.2861

TC11 9496 233.8080 TC11 7904 194.0111

TC12 9493 233.7332 TC12 7902 193.9611

TC13 9709 239.1129 TC13 8091 198.6864

TC14 9720 239.3866 TC14 8103 198.9865

TC15 9712 239.1875 TC15 8092 198.7114

EXPERIÈNCIA 4.3 EXPERIÈNCIA 4.4

Podríem fixar-nos una altra vegada entre els valors màxims i mínims de cada experiència

i notar que en principi són variacions acceptables. Es podria notar que en el forn de

guarda existeixen els termoparells núm. 11 i 12 que destaquen per donar les

temperatures més inferiors i allunyades. Però no ens interessa de moment el conjunt de

termoparells, sinó que centrarem l’atenció en els TC1 a TC6 que són els de la pila central,

i els que en definitiva, dónen lectures amb les quals s’opera per obtenir el resultat final.


172

Si de cada experiència, “prenem” com a termoparell referència el TC1, que correspondría

a aquell termoparell que dóna la temperatura exacta, i restem a cada lectura dels altres

termoparells la temperatura llegida per TC1, obtenim la desviació que dóna cada

termoparell.

di = TCi – TC1 ⇒ TCi* = TCi – d = TCi – TCi + TC1 = TC1

essent TCi* la temperatura del termoparell TCi un cop se li aplica la correcció de la seva

desviació.

Verifiquem, per als termoparells indicats abans, les seves desviacions:

Termoparell Desviació a 4.3 Desviació a 4.4

TC2 +1.5917 +1.6006

TC3 -0.4976 -0.4502

TC4 +0.2239 +0.2501

TC5 +1.9398 +1.4256

TC6 +0.1741 +0.4502

Verifiquem que per a cada termoparell són diferentes les desviacions, però és curiós el

paral·lelisme entre les dues experiències. No és d’extranyar que les desviacions siguin

diferentes per a cada experiència, ja que la desviació, tal com informava SEDEM, era

funció de la temperatura. El que passa és que per a petits intervals de temepratura,

aquesta desviació és manté aproximadament igual. El resultat seria similar si s’hagués

pres com a termoparell de referència qualsevol altre. El que passa és que quan corregim

les temperatures, el valor absolut de la temperatura potser diferirà del valor físic real,

depenent de la bondat del valor de referència.

Passem, doncs, a corregir els resultats de l’experiència 4.2 amb aquestes desviacions.

Com que la peça té un gradient de 40ºC, les desviacions calculades segons l’exp. 4.3 a

240ºC no són les millors per als termoparells que llegeixen valors al voltant de 200ºC, i a


173

la inversa. Per això, es corregeixen els TC1, TC2, TC3 amb les desviacions de l’exp. 4.3,

i els TC4,TC5,TC6 es corregeixen amb les desviacions de l’exp. 4.4.

Tot seguit, es compara l’estudi realitzat anteriorment calculant els diferents gradients

segons diferentes distàncies, i les seves desviacions, i es compara sense i amb correcció.

Termoparell Temp. 4.2 (ºC) Temp. 4.2 corregida (ºC)

TC1 236.5986 236.5986

TC2 232.5614 230.9697

TC3 223.9736 224.4712

TC4 212.7461 212.4961

TC5 207.9924 206.5669

TC6 200.7623 200.3122

SENSE CORREGIR AMB CORRECCIÓ

Si prenem les diferències de temperatures distanciades D=10 mm: (TC1-TC2)/D = 403.73 ºC/m (TC1-TC2)*/D = 562.90 ºC/m (TC2-TC3)/D = 858.77 ºC/m (TC2-TC3)*/D = 649.84 ºC/m (TC4-TC5)/D = 475.37 ºC/m (TC4-TC5)*/D = 592.93 ºC/m (TC5-TC6)/D = 723.00 ºC/m (TC5-TC6)*/D = 625.46 ºC/m MITJANA = 615.2175 ºC/m MITJANA = 607.7819 ºC/m DESVIACIÓ=212.30 ºC/m DESVIACIÓ = 37.93 ºC/m

Si prenem les diferències de temperatures distanciades 20 mm (com passa en les

peces mostres) (TC1-TC3)/D = 631.25 ºC/m (TC1-TC3)*/D = 606.37 ºC/m (TC3-TC4)/D = 561.38 ºC/m (TC3-TC4)*/D = 598.76 ºC/m (TC4-TC6)/D = 599.185 ºC/m (TC4-TC6)*/D = 609.19 ºC/m MITJANA = 597.2717 ºC/m MITJANA = 604.7736 ºC/m DESVIACIÓ =34.97 ºC/m DESVIACIÓ = 5.3981 ºC/m

Si prenem les diferències de temperatures distanciades 30 mm. (TC2-TC4)/D = 660.51 ºC/m (TC2-TC4)*/D = 615.79 ºC/m (TC3-TC5)/D = 532.71 ºC/m (TC3-TC5)*/D = 596.81 ºC/m

MITJANA = 596.61 ºC/m MITJANA = 606.2987 ºC/m DESVIACIÓ = 90.368 ºC/m DESVIACIÓ = 13.4169 ºC/m


174

Si prenem les diferències de temperatures distanciades 40 mm. (TC1-TC4)/D = 596.315 ºC/m (TC1-TC4)*/D = 602.56 ºC/m (TC2-TC5)/D = 614.225 ºC/m (TC2-TC5)*/D = 610.07 ºC/m (TC3-TC6)/D = 580.282 ºC/m (TC3-TC6)*/D = 603.97 ºC/m


Si prenem les diferències de temperatures distanciades 50 mm. (TC1-TC5)/D = 572.126 ºC/m (TC1-TC5)*/D = 600.64 ºC/m (TC2-TC6)/D = 635.98 ºC/m (TC2-TC6)*/D = 613.15 ºC/m


Diferència de temperatures separades 60 mm: (TC1-TC6)/D = 597.2716 ºC/m (TC1-TC6)*/D = 604.7736 ºC/m

La millora és, indubtablement, substancial. Si ens fixem en els valors de gradients formats

a partir de D=20 mm, s’observa que passem de tenir gradients tant diferents des de 561

ºC/m fins al valor de 631 ºC/m (un interval de 70 ºC/m), mentre que un cop s’han corregit

les lectures termopàriques, l’entorn es redueix entre 599 ºC/m a 609 ºC/m (només un

interval de 10ºC/m, una setena part).

Aquesta variabilitat, inclús, queda millorada si fixem els gradients a partir de D=40 mm (és

a dir, peces més grans). L’interval queda reduït a 6ºC/m, tenint una desviació tipus els 3

gradients de 4ºC/m.

A part d’aquestes experiències, es realitza unes altres isotèrmiques a 100ºC (exp. 4.5), a

220ºC (exp. 4.6) i una final posant com a temperatures extremes 250ºC i 210ºC (exp.

4.7), els resultats de les quals es poden consultar en els annexos. La conclusió és que es

fa inevitable una correcció per comparació dels termoparells amb un de referència, i

l’estudi de tenir major distància entre els termoparells. A el mètode d’escalfar tota una

peça a una temperatura isoterma, i aplicar la ‘calibració’ dels termoparells, l’anomenem

‘Referenciació in situ’. De fet, no podem parlar de calibració, ja que s’escull un termoparell

a l’atzar com el de referència, però en principi no ens importa gaire si la seva lectura és la

més aproximada a la temperatura real.


175

En aquest moment, s’ha procedit a col·locar una etiqueta a cada termoparell, de manera

que els tindrem numerats.

Es creu oportú seguir el comportament d’aquests termoparells a temperatures més

elevades ja que en aquest conductivímetre, el rang de treball pot arribar fins els 1000 ºC.

Per a portar a terme la comprovació d’errors relatius entre els sis termoparells (per tal

d’eliminar el que clarament és coneix com error sistemàtic), es va idear el següent

muntatge:

Es va disposar del mateix conductivímetre, el qual disposa de quatre controladors PID

que tenen com a finalitat mantenir els dos extrems de la pila i els extrems del forn de

guarda a unes temperatures concretes. L’objectiu final es mantenir la pila a temperatura

uniforme mantenint els controladors PID tots a la mateixa temperatura. A més, es

dissenya una peça especial per a la col·locació dels sis termoparells: es tracta d’una peça

cilíndrica metàl·lica, en la qual s’hi practiquen sis forats radials.

Fig. 8.14 Peça per a la referenciació permanent dels termoparells

Aquesta peça pretén que les lectures llegides pels sis termoparells estiguessin el més

possible concentrades en un sol punt de la peça, a fi i efecte de poder evitar

pertorbacions degudes a una possible imperfecte isotèrmia. En aquesta experiència,

l’objectiu de la isotèrmia és una dificultat més afegida, ja que els controladors PID

presenten certes oscil·lacions periòdiques característiques del sistema (acoplament) i

pertorbacions mínimes degudes al fenòmen del ‘soroll’. En definitiva, la condició

d’isotermicitat no està garantida, però no es cap problema si tenim en compte que els

petits canvis de lectura donats pels termoparells segueixen cicles d’uns quatre minuts, i


176

les lectures dels sis termoparells poden ésser preses en un lapse de temps

considerablement més petit (20 segons) fet que tenint en compte que el punt de lectura

de temperatures pels sis termoparells és localment el mateix i que les oscil·lacions de

temperatures a més eren quasi insignificants (0.8 ºC), els resultats de les lectures dels sis

termoparells poden esser considerats perfectament sota condicions d’estat estacionari a

efectes de l’objectiu a aconseguir.

Els resultats es troben als Annexos. Aquesta taula de referenciació, permet corregir les

lectures mitjançant la interpolació, respecte un dels termoparells.

El problema que es planteja és que quan els termoparells que han estat referenciats

respecte aquest mètode, un cop s’haguessin trencat, s’haurien de tornar a referenciar un

paquet nou de termoparells. Però si el sistema funciona, una referenciació que pot durar

una semana de pràctica, permet tenir un conjunt de termoparells amb una taula de

correccions per molt de temps.

En el gràfic següent, mostrem l’evolució de les lectures dels 6 termoparells en un entorn

d’entre 180-220 ºC. Veiem que són força lineals, mentre que entre ells les diferencies son

una mica notables.

t TC1 TC2 TC3 TC4 TC5 TC6 180 7344 7367 7273 7268 7264 7297 185 7557 7582 7482 7476 7471 7503 190 7761 7787 7684 7678 7673 7704 195 7962 7988 7883 7877 7871 7903 200 8160 8186 8077 8071 8063 8092 205 8367 8393 8278 8274 8258 8299 210 8565 8589 8473 8469 8453 8493 215 8776 8800 8684 8680 8663 8702 220 8970 8992 8876 8872 8855 8895

Fig. 8.15 Resultats en la referenciació permanent dels termoparells

L’experiència 5.1 es composa de 3 peces d’Inconel, però en aquest cas s’ha substituit la

peça III, que en principi era sospitosa de tenir alguna errada, per la peça IV. El

posicionament, de dalt a baix segueix l’ordre I,II i IV. Per error, s’ha posat la peça I a

l’inrevés, de manera que la localització del TC13 (MAIN) la tenim localitzada a l’alçada de

7200

7700

8200

8700

1 2 3 4 5 6Termoparell

Lect

ura

emf (

10e-

6V)


177

TC2. No es cap problema, ja que el selector de MAIN GUARD el posicionem al TC10

coincidint aproximadament amb aquesta alçada. A més, servirà aquesta prova per veure

si s’arriba a un transitori més estable, pel fet de tenir la temperatura de control MAIN més

lluny de la resistència. Al veure que les temperatures oscil·laven molt, especialment la del

TC1 (per estar entre la resistència focus i el termoparell de control), s’opta per fer un

auto-tunning, acció que fa estabilitzar molt bé la situació. Les temperatures de control han

estat de 230ºC i 180 ºC, ja que no permetia el sistema arribar a una temperatura superior

en el MAIN. El resultat en els termoparells principals en l’experiència, i afegint-hi el factor

correcció per taula, han estat els següents:

TC EMF (µV)

5.1

Temp (ºC)

5.1

EMF (µV)

5.1 corregit

Temp (ºC)

5.1 corregit

TC1 9962 245.40 9962 245.40

TC2 9406 231.56 9386 231.06

TC3 8972 220.72 9067.35 223.11

TC4 8350 205.17 8444.17 207.52

TC5 7992 196.21 8086.78 198.58

TC6 7276 178.34 7322.79 179.50

La correcció s’ha fet a partir d’interpolar en la taula de referenciació el valor dels

termoparells 2 a 6 respecte el TC1. Per tant el valor de cada termoparell és el que

correspondria a la lectura del TC1 si estigués posat a cada lloc.

Els resultats de fluxos de calor són els que segueixen:

Q1=10750.52 W/m2 Q1corregit=11135.01 W/m2

Q2=11737.06 W/m2 Q2corregit=11790.34 W/m2

Q3=13077.64 W/m2 Q3corregit=13988.24 W/m2

El resultat ha estat decebedor. Mentres que la diferència dels fluxos més gran en

l’experiència sense calibrar ha estat de un 21.6%, aquesta augmenta fins el 25.62% en

quant s’aplica la suposada referenciació. Dóna a entendre que els termoparells es

comporten entre ells de manera diferenta quan estan muntats d’una manera o unaltre.


178

Degut a que l’experiència 5.1 s’ha realitzat en principi d’una manera anòmala, descartem

continuar provant fent isotermes a aquest muntatge, i es passa a l’experiència següent.

Es passa a experimentar amb el material Electrolytic Iron, per veure el seu

comportament. Estem parlant d’un material de major conductivitat que l’ Inconel 718 a les

temperatures d’estudi, i amb una mica més de pendent respecte la temperatura.

L’experiència 6.1 la realitzem amb les temperatures de control 240ºC i 190ºC. Degut a

que el material és diferent, i per tant es calenta de manera diferent, després d’un temps

raonable es comprova que les temperatures han arribat a un transitori molt oscil·lant. Es

fa un auto-tunning de manera que el sistema cerca els seus paràmetres Proporcional,

Derivador i Integrador de manera automàtica, arribant a un transitori força més estable.

Es treu la conclusió, doncs, que per a cada experiència s’haurà de fer un self-tunning. Els

resultats obtinguts són:

TC1: 9815 241.75 ºC

TC2: 9451 232.69 ºC

∆T1= 9.0629 ºC

Tm1=237.2175 ºC

λ1=58.4226 W/mK

Q1=27794.26 W/m2

TC3: 8882 218.47 ºC

TC4: 8448 207.62 ºC

∆T2= 10.8570 ºC

Tm2=213.0456 ºC

λ2=60.1172 W/mK

Q2=34262.15 W/m2

TC5: 8128 199.61 ºC

TC6: 7665 188.04 ºC

∆T3= 11.5718 ºC

Tm3=193.8260 ºC

λ3=61.4704 W/mK

Q3=37339.70 W/m2

S’observen a priori dues característiques:

a) el cabal ha crescut respecte les altres proves: estem a l’ordre de 35000 W/m2.

b) la diferència entre cabals és molt gran: 34.34% entre el màxim i el mínim.

El primer fet és degut al creixement de la conductivitat tèrmica del material, que provoca

també que els gradients de temperatura en les peces sigui inferior. El que no sabem és el

factor que limita el cabal: en aquesta experiència només hem posat en les temperatures

de control 50 ºC de diferència, ja que més no permetia el sistema. En canvi, amb

l’Inconel, era difícil pujar de 60ºC de gradient, però tot i això el cabal era inferior. A més

cabal, podem tenir més gradient de temperatura, que en principi sembla favorable a tenir

millor precisió.


179

Podem asumir que la característica b) és deguda a la imprecisió de la conductivitat

tèrmica, ja que depén més fortament de la temperatura, i un error de temperatura provoca

una desviació en la conductivitat més gran que no pas en les peces anteriors. Per tant, el

fet que el manual digui que una experimentació no sigui vàlida a partir d’una diferència

superior del 20% entre els seus gradients, no pot ser generalitzable, ja que dependria de

les peces mostra.

Si s’intenta cercar la conductivitat a la peça 2, a partir de Q1 i Q3:

Q=(Q1+Q3)/2 = 32566.98 W/m2 ⇒ λ2=Q·d/∆T = 57.14 W/mK

El resultat esperat era de 60.12 W/mK, per tant no està tant malament. Això ratifica el fet

que encara que els cabals difereixin molt, es pot trobar (per sort?) un bon resultat,

mentres que no es pot assegurar que trobant una bona similitud entre cabals el resultat

sigui òptim.

Si apliquem la taula de referenciació als resultats de 6.1, obtenim:

Q1=28734.7037 W/m2 Q2=33776.5587 W/m2 Q3=40417.8144 W/m2

diferenciant-se aquests valors un 40,65 %, pitjor encara que sense referenciació.

El resultat de conductivitat cercat és similar al trobat sense referenciar.

El muntatge de les experiències 7 és similar al 6, però ara l’ordre de les Electrolytic ha

variat, posant les peces en l’ordre 2,3,1 cap avall. L’objectiu és veure si els cabals

continuent tenint l’ordre QI < QII < QIII com a l’experiència anterior.

A l’experiència 7.1 les temperatures de control són 240ºC i 190 ºC. Els resultats són:

TC1: 9772 240.68 ºC

TC2: 9385 231.04 ºC

∆T1= 9.6401 ºC

Tm1=235.85985 ºC

λ1=58.5312 W/mK

Q1=29619.25 W/m2

TC3: 8938 219.87 ºC

TC4: 8471 208.19 ºC

∆T2= 11.6818 ºC

Tm2=214.0334 ºC

λ2=60.0580 W/mK

Q2=36828.63 W/m2

TC5: 8153 200.24 ºC

TC6: 7665 188.04 ºC

∆T3= 12.197 ºC

Tm3=194.1385 ºC

λ3=61.4517 W/mK

Q3=39345.21 W/m2


180

Ara, Q1=QII, Q2=QIII, Q3=QI. Es compleix que els cabals són més grans quan més avall,

però no ha estat en funció de les peces: ara QII < QIII < QI.

La primera sospita rau en el Forn de Guarda, que treu flux de calor per la part superior i

n’injecta per la part inferior (veure gràfic). Però el que es creu la causa més probable, és

que els termoparells, que han estat posicionats en el mateix ordre que anteriorment,

provoquen sempre aquesta desigualtat.

Fig. 8.16 Resultats en l’experiment 7.1

La diferència entre cabals màxima és del 32.84%.

Si cerquem la conductivitat per la peça 2=III, trobem λobtinguda=56.2316 que correspon a la

T=272ºC (uns 60º C més del que toca).

Per tal d’eliminar la posibilitat abans esmentada que el forn de guarda sigui el causant de

la diferència de cabals entre peces, es realitza l’experiència 7.2, similar a l’anterior, però

consistent en regular el forn de guarda per tal que linealment sigui més semblant a la pila

central, i no tingui tanta desviació en els extrems. Per a aquest ajust, es pren com a

referència la peça central de la pila, i el seu gradient (T3-T4)/d. Si es perllonga aquest

gradient fins a les alçades del MAIN GUARD i AUX GUARD, s’obtenen les temperatures

de control 235 ºC i 193 ºC. Els resultats obtinguts a 7.2, en temperatura, són pràcticament

iguals que a 7.1, la qual cosa ens elimina la possibilitat que el forn de guarda sigui un

causant directe important d’anomalies a la pila central, que sembla sigui un avantatge.

180

190

200

210

220

230

240

40 60 80 100 120

ALÇADA (m m)

TEM

P. (º

C)

PILA CENTRAL

FORN GUARDA


181

Experiència 7.1 Experiència 7.2 TC1: 9772 240.68 ºC TC1: 9770 240.63 ºC

TC2: 9385 231.04 ºC TC2: 9387 231.09 ºC

TC3: 8938 219.87 ºC TC3: 8936 219.82 ºC

TC4: 8471 208.19 ºC TC4: 8473 208.24 ºC

TC5: 8153 200.24 ºC TC5: 8145 200.04 ºC

TC6: 7665 188.04 ºC TC6: 7660 187.92 ºC

Els resultats de 7.2 referents a fluxos són 29313 W/m2, 36513 W/m2 i 39108 W/m2

respectivament, essent la diferència màxima del 33%.

Es fan experiències similars 7.3. i 7.4 que no aporten cap novetat ni millora substancial

(veure els resultats experimentals en els annexos).

Un cop eliminades les possibilitats que el forn de guarda sigui l’actuant i causant que la

relació de fluxos es mantingui tant diferent i alhora ordenada tal que QII < QIII < QI, ja que

les peces tampoc sembla que siguin diferents i provoquin aquesta desigualtat, es prepara

l’experiment 8 que consta de:

- tenir el mateix ordre de peces que l’exp. 7: és a dir, de dalt a baix les peces són la 2, 3

i 1.

- canviar l’ordre de termoparells: en aquest ordre TC5,TC6 per a la peça superior 2,

mantenir TC3 i TC4 per la peça central 3 i posar els TC1 i TC2 a la peça inferior 1.

- Mantenir el gradient de temperatures que en 7.1: 240 i 190 ºC per els MAIN i els AUX.

Notem que en aquestes experiències s’estan cercant causes d’error, i no s’està experimentant ni ajustant

temperatures per tal d’obtenir la màxima precisió.

Els resultats a l’experiment 8.1 són els següents:

Experiència 8.1

TC5: 9766 240.53 ºC

TC6: 9212 226.72 ºC

∆T1= 13.8092 ºC

Tm1=233.6261 ºC

λ1=58.6824 W/mK

Q2=42538.71 W/m2

TC3: 8784 216.02 ºC

TC4: 8323 204.49 ºC

∆T2= 11.5335 ºC

Tm2=210.2563 ºC

λ2=60.2846 W/mK

Q3=36498.30 W/m2

TC1: 8166 200.56 ºC

TC2: 7742 189.96 ºC

∆T3= 10.5991 ºC

Tm3=195.2626 ºC

λ3=61.3790 W/mK

Q1=34150.24 W/m2


182

Ens trobem que la diferència és del 24.5%, però el que és més important, és que l’ordre

de fluxos ara pertany a: Q2 > Q3 > Q1, totalment a l’inrevés que abans. En termes de

termoparells, equival a dir que Qtc56 > Qtc34 > Qtc12, i aquesta desigualtat si que s’ha

mantingut en les tres experiències 6.1, 7.1 i 8.1.

Es pot concloure que els termoparells són els causants principals de desigualtats de

fluxos, sense desestimar però, altres causants. S’haurà de tendir a fer experiments de

manera que després d’una correcció de temperatures, el resultat s’avingui millor per tenir

més precisió, i un dels pocs (únic?) indicadors que tenim fins el moment és el càlcul de

fluxos de peces conegudes.

Un dels mètodes que poden ajudar és el Mètode In Situ comentat anteriorment. Unaltre

que pretén fer el mateix: trobar les desviacions aproximades de cada termoparell per

cercar les temperatures més exactament, s’aconsegueix mitjançant la permutació dels

termoparells.

Fig. 8.17 Permutació dels termoparells en les peces

En els punts 1 i 2 de la peça es tenen les temperatures reals T1 i T2 respectivament.

Quan es posen els termoparells TC1 i TC2 en la posició A, aquests dónen com a lectures

TC1 = T1 + dTC1 TC2 = T2 + dTC2 ∆TA= TC1-TC2=T1-T2+dTC1-dTC2

essent dTC1 i dTC2 els errors sistemàtics dels termoparells 1 i 2 respectivament.

Quan intercanviem els termoparells, les lectures que es perceben i el gradient trobat

correspon a:

TC1 = T2 + dTC1 TC2 = T1 + dTC2 ∆TB= TC2-TC1=T1-T2+dTC2-dTC1


183

i si busquem la mitjana dels dos gradients trobats en les dues posicions:

∆T = (∆TA + ∆TB) / 2 = (T1-T2+dTC1-dTC2 + T1-T2+dTC2-dTC1)/2 = (2·T1 – 2·T2)/2 = T1 – T2.

Per tant, trobariem el gradient real de temperatures. Aquest mètode, però, implica mig

desmuntar l’experiment, sense desmuntar la pila central, però intercanviant els

termoparells de lloc. Aquest fet topa amb la repetitivitat d’experiències. El segon

posicionament potser no repeteix de la mateixa manera el camp de temperatures, i per

tant les condicions de mesura queden alterades. A més, al tocar els termoparells poden

quedar de diferent manera fent que la seva desviació sistemàtica hagi variat.

Per comprovar unaltra vegada la repetitivitat d’experiments, es fa l’experiment 8.2, on es

troben petites desviacions respecte l’experiment 8.1 respecte temperatura (la màxima

correspon a 0.7 ºC en el termoparell núm. 6). Els cabals, però, si que difereixen bastant,

degut bàsicament a que com que l’Electrolytic Iron té una conductivitat amb una

dependència lineal respecte la temperatura molt elevada, una petita desviació en el càlcul

de la temperatura mitjana, fa que la conductivitat a aquesta temperatura varii en ambdós

casos, provocant diferències en els fluxos.

Malgrat tot, fem l’experiment 8.3 consistent en permutar dos a dos els termoparells de

cada peça. Per tant l’ordre de dalt a baix serà de 6 a 1 decreixent.

Experiència 8.3

TC6: 9702 238.94 ºC

TC5: 9300 228.92 ºC

∆T1= 10.0201 ºC

Tm1=233.9286 ºC

λ1=58.6642 W/mK

Q2=30856.80 W/m2

TC4: 8885 218.55 ºC

TC3: 8443 207.49 ºC

∆T2= 11.0572 ºC

Tm2=213.0205 ºC

λ2=60.1188 W/mK

Q3=34894.76 W/m2

TC2: 8217 201.84 ºC

TC1: 7711 189.19 ºC

∆T3= 12.6491 ºC

Tm3=195.5133 ºC

λ3=61.3589 W/mK

Q1=40742.01 W/m2

Es pot observar, com només fent aquesta permutació, els fluxos varien l’un a l’altre fent

que ara tornem a tenir QII < QIII < QI. La relació entre fluxos extrems representa una

variació entre ells del 32%.


184

Si apliquem la pràctica abans comentada, fent les mitjanes de temperatures, i també per

sobre de les conductivitats es troben els següents resultats:

∆T2= 11.565 ºC λ2=58.6613 W/mK Q2=35612.49 W/m2

∆T3= 11.058 ºC λ3=60.2035 W/mK Q3=34945.54 W/m2

∆T1= 11.699 ºC λ1=61.3828 W/mK Q1=37695.82 W/m2

Els fluxos s’assemblen ara molt més, ja que existeix només una diferència màxima del

7.87% entre ells.

Si es simulés que es cerca la conductivitat de la peça central 3, tenim

Qmig= (Q2+Q1) / 2 = 36654.1528 W/m2. λtrobada= Q·d/∆T= 63.14 W/mK.

I la conductivitat esperada a la temperatura de 211,6 ºC és 60.20 W/mK, per tant s’ha

produït un error del 4.88%.

Si ho féssim a l’experiment 8.3 tal cual, la λtrobada= Q·d/∆T= 61.68 W/mK, mentres que la

conductivitat esperada a la temperatura de 213.02ºC és de 60.12 W/mK, obtenint per tant

un error de només 2.60%. Tornem a tenir casos on tenint càlculs de fluxos de calor molt

diferent entre les peces, la seva mitjana no s’allunya tant (per casualitat de desviacions

de termoparells) del flux esperat en la peça incògnita.

El conjunt d’experiències 9 serveix per comprovar l’efectivitat del Mètode In Situ versus la

Taula Referenciació realitzada independentment. S’utilitza la Peça Única, posant els

termoparells seguits i en ordre. L’experiment 9.1 es realitza amb un gradient petit (180 a

160 ºC), i la 9.2 serveix per a la correcció amb el mètode In Situ. Com que no es coneix el

material de la peça ni la seva conductivitat, s’estudien les diferències de temperatura que

haurien de ser molt semblants.

L’exp. 9.1 dóna com a diferències:

TC1-TC2= 2.0928 ºC TC3-TC4= 3.0085 ºC TC5-TC6= 2.6817 ºC


185

Entre els valors de 2.0928ºC i 3.0085ºC existeix una diferència del 43.75% molt elevada.

Si s’aplica la correcció a partir de l’exp. 92 el resultat és:


Ara la diferència maximal correspon a un 27.03%: molt millor però encara excessiu.

Si s’aplica la correcció a partir de les dades de Referenciació de termoparells:


Tornem a tenir una diferència del 40.69%, que és excessivament alta. Donem per supost

que el sistema de referenciació de termoparells previ no és el millor mètode per calcular

les desviacions sistemàtiques dels termoparells, i s’opta per fer servir el Mètode In Situ

com el millor per a la correcció i millorament de les experiències. Aquest mètode ajuda

sensiblement al càlcul dels gradients en les peces, però no em diu res sobre la

temperatura mitjana real, que pot influir negativament en les peces de conductivitat amb

forta dependència lineal amb la temperatura. Per millorar aquest aspecte, només cal tenir

gradients elevats, i per aconseguir-ho es fa necessari tenir distàncies intertermopàriques

elevades i quan més diferencial de temperatura millor.

La resta d’experiències constaten el mateix que el trobat fins el moment i no aporten res

de nou. Per a la millora de l’experimentació, que en teoria hauria de permetre calcular

valors de conductivitat més propers, sense dependre de la sort d’escollir termoparells,

s’han trobat el mètode, així com les circumstàncies més òptimes que poden ajudar a

assolir l’objectiu.

En aquest capítol s’han trobat les conclusions d’una manera totalment experimental,

malgrat els recursos de que es disponien. En altres capítols s’estudien els diferents

paràmetres a partir de l’ajuda del càlcul numèric, o bé s’analitza d’una manera més

paramètrica (amb les suposicions pertinents) els factors que intervenen en el procés de

funcionament del conductivímetre.


186

També en els annexos es pot trobar l’experimentació realitzada amb una bomba d’aigua,

reciclada per a l’ocasió. Aquesta iniciativa partí del Departament, ja que la primera sospita

d’aquest era que no circulava prou aigua pel conductivímetre, no refrigerant-se prou

aquest, impedint tenir un flux uniforme. Els resultats amb o sense bomba són

pràcticament constants, ja que quan s’imposen temperatures amb els PID i les

resistències, l’efecte refrigerant queda anul·lat. Senzillament, si s’anul·la la resistència

inferior (posant 0ºC per exemple en el PID AUX HEATER), el flux que aconseguirà tenir la

pila central serà el màxim amb les condicions de contorn establertes, i augmentant el flux

d’aigua pràcticament no s’aprecia cap millora substancial. Seria necessari aplicar a

l’aigua una mescla de refrigerant i connectar-ho tot a una màquina refredadora. En els

annexos es troben alguna proposta.


187

Capítol 9 Anàlisi dels paràmetres de disseny i de les variables de mesura

9.1 Introducció 9.2 Anàlisi modal d’efectes 9.3 Anàlisi de paràmetres fonamentals en el càlcul de la conductivitat

tèrmica 9.4 Ordres de magnitud en l’error del càlcul de la conductivitat


188

9. ANÀLISI DELS PARÀMETRES DE DISSENY I DE LES

VARIABLES DE MESURA

9.1 INTRODUCCIÓ

Després de les nombroses experiències realitzades i comentades algunes d’elles en el

capítol anterior, s’han extret unes conclusions preliminars que han format la base que

conformarien les millores oportunes tant en el mètode de realització de les pràctiques,

com d’alguns dels paràmetres que conformen el mecanisme. S’han dut a terme canvis

que milloren el càlcul de la conductivitat, i es proposen d’altres canvis que, malgrat no

tenir la certesa que milloraríen, s’haurien d’experimentar. Per a això, caldria incorporar

nous elements i adquirir noves peces.

L’objectiu d’aquest nou capítol és comprovar d’una manera més analítica les relacions

entre paràmetres, i la seva optimització versus el càlcul final de la conductivitat. És una

manera de comprovar algunes de les conclusions percebudes durant l’experimentació.

No vol dir això que tota l’experimentació realitzada hagi estat supèrflua i innecessària.

L’experimentació ha estat útil per comprovar algunes causes que eren evidents a primer

cop d’ull, com que el gradient sotmés a les peces ha de ser el major possible, ja que

numéricament, l’error produit pels termoparells que evoluciona d’una manera més o

menys constant en un rang de temperatures, influeix molt menys. També l’experimentació

ha ajudat a copsar el funcionament real del conductivímetre, i la seva comparació amb el

funcionament teòric. Ha assegurat que el forn de guarda té una distribució tèrmica

aproximadament igual a la teòrica, i que el funcionament electrònic de termoparells i

lectures és correcte. En l’experimentació han sortit dubtes d’alguns paràmetres, com per

exemple el diàmetre de les peces, i que per falta de medis no s’han provat. Per subsanar

aquesta mancança, s’ha aprofitat la teoria del càlcul numèric a partir d’elements finits

simulant els efectes i cercant els valors òptims. Es troba doncs que el diàmetre aconsellat

pel proveidor del conductivímetre és prou òptim.

Fem en primer terme un anàlisi intuitiu de les possibles causes, i recerca de tots els

paràmetres que poden afectar en el càlcul final de la mesura de la conductivitat. Més

endavant, podem establir un rang en els errors que hi intervenen, ja que en


189

l’experimentació hem obtingut una idea clara de la magnitud dels errors en les mesures,

així com en els mètodes que es fan servir per al càlcul.

9.2 ANÀLISI MODAL D’EFECTES

De la teoria a la pràctica hi ha un munt de desviacions i de no homogeneitats que alteren

el nostre procés. De l’eliminació de les possibles variabilitats es trobarà un mètode o

procés d’experimentació, si bé no òptim, millor que el que sense cap control de les

entrades de valors ni correccions posteriors tindríem.

Si bé és cert que el nucli important del procés del conductivímetre es troba en la pila

central, el seu entorn més proper (forn de guarda i aïllament) pot afectar molt

sensiblement en el resultat. El sistema de refrigeració, així com tots els útils de mesura hi

estan abocats a l’error. La simple introducció d’elements de mesura dins el sistema ja

altera aquest, essent imposible la seva medició.

Com en qualsevol altre procés en la indústria, podem dividir les possibles causes d’error

en el resultat final a factors com: Factor humà, mètodes, materials i maquinària. I dintre

d’aquests grans grups, podem intuir alguns aspectes més concrets per al nostre cas.

En la figura següent es mostra alguns d’aquests factors classificats en cada grup, i també

queden marcats en vermell algunes de les seves causes. A grans trets, però, són els que

afecten al mètode de càlcul de la conductivitat.

Fig. 9.1 Anàlisi modal de fallades i efectes


190

Comentem per sobre cada grup de factors:

a) El factor humà: Hem vist que la repetitivitat de les experiències, agafant els

mateixos termoparells i les mateixes peces mostra no estava garantida. No hi havia

grans diferències, però els resultats no eren el mateixos. Podem donar com a causes

directes d’aquest fenòmen l’habilitat de l’operari en fer el muntatge de les peces

centrals. L’arrenglerament de les peces pot influir en que el flux circuli més o menys

bé, ja que hi haurà una resistència tèrmica o unaltra. En general, però, serà prou

òptima i el seu efecte en el resultat final serà inapreciable. També pot afectar la

pressió amb que l’operari munta el conjunt, provocant major contacte directe entre les

peces. D’altres seria el bon posicionament dels termoparells dins les peces, la

col·locació d’olis de contacte, etc...Com a punt final, l’operari que ha de llegir les

dades pot adonar-se o no de la variació en el temps de les temperatures, per una

mala selecció dels paràmetres PID, obtenint una lectura errònia.

b) Les peces mostra intervenen en el procès, i el coneixement de la seva

conductivitat tèrmica en el càlcul. Paràmetres geomètrics poden alterar tant una cosa

com unaltra: el diàmetre o bé la distància intertermopàrica. La seva conducció (si es

homogènia o no) influirà en el procés, mentres que el coneixement per part nostra del

valor mig d’aquesta influirà en el càlcul. Si la seva conductivitat depén de la

temperatura en ordres de segon terme de manera important, aleshores les

suposicions de conductivitat lineal i simplificació dels càlculs serà falsa. La rugositat

en les seves superfícies de contacte permetrà un millor contacte, o bé la mecanització

dels forats que allotgen els termopars pot determinar alteracions en el flux o no.

c) El mètode de càlcul també influeix. Com s’ha comentat anteriorment, les

simplificacions per conductivitats lineals pot ser a voltes inapropiada, així com el

coneixement de la conductivitat del material. La utilització d’equacions regressores o

taules per interpolar poden variar el resultat. El refiament, segons el mètode

estàndard, de si tenim fluxos iguals a les dues peces mostres l’experiment ( i per tant

el resultat final) ha estat un èxit i el resultat gaudeix d’una garantia impecable, pot

portar-nos a errors importants.


191

d) El funcionament teòric de flux constant al llarg d’una pila central, amb un aïllant

perfecte en tot el seu contorn, ha de ser l’objectiu a assolir amb tot el conjunt

d’elements que conformen el conductivímetre. Com se sap que això no és cert en

el 100%, ja que l’aïllant no és perfecte, les temperatures poden variar de forma

temporalment i mínima fins i tot en el seu estat transitori, degut als paràmetres PID i a

la pròpia idiosincràcia de l’aparell, i com elements més importants en el càlcul estan

les lectures facilitades pels termoparells que tenen les desviacions pròpies d’aquests

instruments, és interesant conèixer, i si es pot fitar, l’error que poden provocar

aquestes causes.

Algunes d’aquestes possibles causes ja s’han tractat en altres capítols d’aquesta

memòria, i fins i tot s’han descartat els seus possibles efectes negatius sobre el càlcul

final en un cert ordre de magnitud. Destaquem en el següent apartat aquells paràmetres

que afecten bàsicament el càlcul, dins del funcionament teòric del conductivímetre.

9.3 ANÀLISI DE PARÀMETRES FONAMENTALS EN EL CÀLCUL DE LA CONDUCTIVITAT TÈRMICA.

Una de les característiques que més sobten en aquest tipus de conductivímetres, és la

necessitat imperiosa de contrastar la nostra peça desconeguda amb dues peces mostra

de conductivitat coneguda. Aquest fet, en teoria, està pensat per saber amb un cert criteri

de qualitat, si l’experimentació s’ha realitzat satisfactòriament. Seria una espècie de

control, per saber si el flux circulant per la primera mostra es manté, dins d’una variabilitat

raonable, constant fins passar per la segona mostra després d’atravessar la peça posada

a prova.

Aquesta comprovació, però, no pot ser igual per a tots els possibles tipus de peça mostra,

ja que hi hauran algunes que degut a la seva conductivitat variable amb la temperatura,

farà trontollar el càlcul del seu flux de calor de manera diferent. Com s’ha vist amb els dos

tipus diferents de materials, Inconel718 i Electrolytic Iron, la desviació de fluxos era en

principi diferent en un cas i unaltre. No es pot deduir que el comportament del

conductivímetre sigui sensible a la peça mostra introduïda, sino que hi ha una

dependència amb el factor lineal de la conductivitat versus la temperatura. Aquest


192

projecte intenta demostrar, si bé amb matissos, que és preferible prescindir d’aquesta

comprovació, si a la vegada això permet obtenir major precisió.

En comptes de tres peces, es poden muntar dues de manera que la coneguda serveix

per conèixer el flux circulant, que substituint en l’equació permet trobar la conductivitat de

la segona. El fet de necessitar només dues peces, permet que aquestes siguin de major

longitud, fent aplicables gradients més grans a cada peça, i disminuint l’error en el càlcul.

De fet, si en teoria el flux circulant és el mateix, o a la pràctica molt poc diferent, degut al

bon aïllament, no es creu necessària aquesta comprovació ni cap amitjanament entre dos

fluxos.

Per l’anàlisi dels diferents paràmetres, s’utilitza l’equació que iguala el flux circulant per la

peça coneguda (c) a la desconeguda (d), com si de dues peces es tractessin.

El cabal calorífic circulant es pot expresar com segueix:

(9.1)

És clar que en cada d’aquestes magnituds que cal mesurar, tindrem una desviació o error

respecte la mesura correcta, que em comportarà un error en la magnitud que vull

calcular: λd.

Si aïllem λd respecte les altres variables, i diferenciem respecte cadascuna d’elles, ens

queda:

(9.2)

(9.3)

d

dd

c

c

dT

dT ∆

=∆

= λλcQ

∂

∆−∆∂

∆∆

−∂∆+∆∂+∂∆

∆

=∂ cc

dccd

d

dccdcccdccdc

cdd d

ddTT

TdTdTTddT

dT····

·······

1 λλλλλλ

cd

dccd dT

dT∆∆

= λλ


193

Si volem que ∂λd ↓↓ per tal de tenir un error baix, caldria tenir en primer terme, segons

l’equació, ∆Td ↑↑ i dc ↑↑. Per tant, peça coneguda el més gran posible, i tenir una

diferència de temperatura elevada a la peça desconeguda. Fins aquí segueix bàsicament

el que l’experimentació demostrava amb la peça única: a més distanciament entre

termoparells per calcular el gradient menys variabilitat existia entre les diferents dades.

També en experimentacions on el gradient aplicat era molt baix, l’error entre fluxos

calculats era superior que en d’altres on els gradients eren més elevats. De moment,

però, dóna aquestes condicions per una peça i per l’altra, però de fet, són les mateixes

condicions: si necessito tenir un gradient elevat a la peça desconeguda, una de les

maneres és tenint una peça llarga, i com més distància tingui en la peça coneguda, més

gradient tindré per a un mateix flux de calor.

També ens diu, segons els factors que acompanyen les diferents derivades parcials, que

en principi:

-La conductivitat coneguda hauria de ser baixa: λc ↓↓

-La diferència de temperatura en peça coneguda també baixa: ∆T c ↓↓

-La grandària de la peça desconeguda petita: dd ↓↓

Aquestes condicions son incompatibles si s’analitzen d’aquesta manera: no em poden

demanar tenir una gran diferència de temperatura en la peça desconeguda, si aquesta a

la vegada ha de ser el més petita posible. Això només es posible tenint un cabal molt

elevat, condició que es contraposa amb conductivitat coneguda petita.

Si arreglem l’equació, però, substituint λc per

(9.4)

aleshores ens queda una funció, on hi ha una magnitud que ens afecta molt, la

conductivitat desconeguda, però que no ens la podem triar, ja que és la que volem.

(9.5)

cdc

cdd dT

dTλλ =

∆∆

··

∂−∆∂

∆−∂+∆∂

∆+∂=∂ c

cd

dd

dc

cc

cdd d

dT

Td

dT

T11111

λλ

λλ


194

Aquí s’observa que preferentment, la conductivitat desconeguda hauria de ser petita

(però és una cosa que no es pot escollir). Clarament, l’error en el càlcul de la conductivitat

depén d’aquesta. Si és molt elevada, els fluxos seràn elevats, i l’error també serà

superior.

De fet, es pot trobar l’error relatiu de la conductivitat a cercar:

(9.6)

No és nova la informació que facilita aquesta equació: el que interessa és diferencies

grans de temperatura i distàncies grans (peces grans, o el que és el mateix termoparells

allunyats). El primer terme on apareix la conductivitat de la mostra coneguda, no ens

indica que la conductivitat hagi de ser elevada, sino que el seu error respecte aquesta ha

de ser el mínim possible. Si la conductivitat és elevada, però el seu coneixement és

menys exacte, ens trobem amb un error similar.

Per tant, tenim acotat l’error que produirem si coneixem cadascun d’aquests paràmetres, i

si prenem la hipòtesis que el cabal calorífic circulant és constant en tota la pila (que no

tenim pèrdues laterals=conductivitat pols aïllant=0). En el cas real, això no és així, i per

tant hauríem d’afegir unaltre paràmetre que ens afegiria error al càlcul de la conductivitat

desconeguda.

Per a determinar quin grau d’imprecisió em dóna la no constància del cabal al llarg de la

pila, fem servir el càlcul numèric per a simular diverses situacions, i així optimitzar la

situació on tenim mínimes pèrdues laterals.

Fixem-nos, però, en els paràmetres inicials abans esmentats, suposant en principi cabal

de calor constant:

• El coneixement de la conductivitat ha d’esser el màxim exacte possible. Sembla

evident, però encara podem fer servir algun aspecte que millorarà aquest factor. Si

cc

dd

dd

cc

ccd

d dd

TT

dd

TT

∂−∆∂∆

−∂+∆∂∆

+∂=∂ 11111

λλλ

λ


195

desenvolupem en funció de la temperatura la conductivitat dels materials, tenim una

funció λc = a + b·T + c·T2 + ... que si diferenciem respecte la temperatura obtenim

(9.7)

la qual cosa implica que , implicant el coneixement exacte de la temperatura

en l’error de la conductivitat tèrmica de la mostra, però en funció del factor b. Amb peces

de conductivitat creixent / decreixent fortament relacionada amb la temperatura (b

elevades en valor absolut), un petit error en l’estimació de la temperatura mitjana

comportarà un greu error en la conductivitat, provocant una falsa valoració del flux. Per

tant, escollirem mostres de conductivitat força constant amb la temperatura (factor de

correlació b petit). Aquest fenòmen s’ha pogut comprovar en l’experimentació realitzada

entre les peces d’Inconel 718 i les d’Electrolytic Iron. Per altra banda, al tenir la

conductivitat coneguda en el denominador, sembla que aquesta hagi de ser el més

elevada possible, però estarà condicionada als altres factors, com ja es veurà.

• Si ens fixem en els termes que acompanyen els diferencials de gradient de

temperatura, aquests es poden comparar entre ells, ja que depenen de la casuística dels

termoparells: ∂∆Tc ≈ ∂∆Td ≈ ∂∆T. Aquest terme té una sèrie d’errors, però s’ha trobat una

manera de disminuir-los, eliminant aquest error sistemàtic que diferencia un termoparell

d’unaltre, mitjançant el Mètode In Situ. Si agrupem aquests factors:

i volem fer mínima aquesta expressió, i tenint en compte que els diferencials de

temperatura son equivalents (varien segons una llei probabilística normal),

(9.8)

equival a dir que

(9.9)

bTTc =∂∂ /λ

TbTc ∂=∂ ·λ

dd

cc

TT

TT

∆∂∆

−∆∂∆

11

011=∆∂

∆−∆∂

∆T

TT

T dc

011=

∆−

∆ dc TT


196

o el que és el mateix, que els gradients han de ser aproximadament iguals, i a la vegada,

el més grans possibles.

• De forma anàloga a l’anterior, si agrupem els factors que acompanyen els diferencials

de distàncies, i els fem equiparables, trobem que les distàncies intertermopàriques han

de ser aproximadament iguals, i a la vegada, el més grans possibles.

• D’aquestes dues últimes afirmacions, tenim que les peces han d’esser de dimensions

aproximadament iguals, ja que si no, en una tindríem un error petit de distanciament, però

en l’altre descompensaria al tenir-ne un de gran. Igualment, amb els gradients de

temperatura. Tenint en compte això, si el flux circulant ha de ser el mateix segons l’eq. 9.1

i reunifiquem els paràmetres estudiats, trobem

(9.10)

és a dir, que les peces desconeguda i mostra han de ser aproximadament de la mateixa

conductivitat, a la temperatura mitjana d’estudi. Més endavant ho justificarem

tèrmicament, mitjançant el model numèric. Evidentment comporta un mètode iteratiu

d’experimentació, on a base d’anar provant peces mostra s’anirà trobant cada cop amb

més exactitud el valor de la conductivitat del material d’estudi.

L’espai en el nostre conductivímetre el tenim limitat, per tant les peces no les podrem

agafar tant grans com voldrem (però si més grans que en disseny actual, si passem de

tres peces a dues). Degut a que s’ha augmentat la distància entre termoparells, la

diferència de temperatura entre ells ha augmentat per un mateix cabal de calor. Però

encara hi caben d’altres aspectes que apunten en aquesta direcció i que provoquen

millores. Senzillament, al passar de tres a dues peces, hem eliminat una interfície de

contacte, amb la seva corresponent resistència tèrmica, fet que hem provoca un major

flux de calor.

d

dd

c

c

dT

dT ∆

=∆

= λλcQ

1c ≈∆∆

=dc

cd

d dTdT

λλ


197

Les actuacions següents serien:

1.- Intentar incrementar el cabal de calor, per tal de tenir diferències de temperatura

superiors. Aquí es tractaria d’intentar eliminar la resistència amb l’aigua (la resistència

inferior n’és una). S’hauria d’incrementar el coeficient de convecció amb l’aigua freda

(n’és prou freda?). El fet que refredessim l’aigua uns pocs graus la seva temperatura (fet

costós) no incrementaria fortament el cabal de calor. S’han d’aplicar altres actuacions que

provoquen millores més notables.

2.- No limitar les resistències, sinó sotmetre les peces a uns gradients forts. Posar una

temperatura elevada en el Main, i tancar la resistència AUX (a ambient). Que la peça

estigui sotmesa al seu gradient màxim (a menys que refredessim més l’aigua). No tenen

sentit, doncs, les experimentacions on s’apliquen gradients molt petits, ja que s’ha

comrpovat que aquest aspecte és el que queda afectat principalment pels errors

sistemàtics dels termoparells, que son per altra banda, un dels més importants a priori.

9.4 ORDRES DE MAGNITUD EN L’ERROR DEL CÀLCUL DE LA CONDUCTIVITAT

Mitjançant l’equació s’ha trobat la relació dels paràmetres i les seves desviacions

respecte l’error en el càlcul de la conductivitat. Però no hem vist cap valor numèric, per

donar una orientació en quins termes treballa el conductivímetre.

Si prenem tal qual l’equació 9.6, i substituíssim els valors dels paràmetres i de les seves

desviacions per unes valoracions aproximades, cauríem en un error estadístic. Cal tenir

en compte que aquestes desviacions dels paràmetres segueixen una llei aproximadament

natural, i que pot ser perfectament comparable amb una normal, per tant no podem

sumar aritmèticament els factors (ni restar-los ja que s’anularien gran part dels errors),

sino que s’ha d’aplicar la suma estadística de variabilitats normals.

Suposarem que el valor mig de la desviació o error és zero. Aleshores, que el valor

màxim i mínim de la desviació queda comprés pel 99,73% dels casos, és a dir, un interval

de ±3σ.


198

Fig. 9.2 Llei probabilística normal mostrant el 99.73% de la distribució

Aplicant la suma estadística, s’obté que la desviació estàndard de la suma és:

Calculem per a l’experimentació que s’ha fet amb l’Inconel718, els valors que

contribueixen en l’error final: La conductivitat de l’Inconel718 té un factor de correlació b amb la temperatura igual a

2.853·10-2, que suposa que per a un error en la determinació de la temperatura de ±2 K

aproximadament (cal recordar la teoria dels termoparells tipus K), una variabilitat igual a

±2 x 2.853·10-2 = 0.0576 W/mK. Aproximadament el valor mig de la conductivitat estava

voltant els 20 W/mK, representant en total una variabilitat de ± 0,002853.

Els gradients de temperatura poden estar alterats per cada un dels dos termoparells que

s’utilitzen per calcular el gradient. Si cada termoparell pot tenir una variabilitat de ±2 K, la

variabilitat de la diferència de temperatures no serà la suma aritmètica d’aquests dos,

sinó una suma estadística, de valor igual a (22+22)1/2 = 2.82 K aproximadament. Els

gradients, degut a aquesta variabilitat eren molt diferents, però estaven de l’ordre de

12_K. Veiem que aquesta variabilitat relativa és molt important: ±2.82/12= 0.235.

La variabilitat en les distàncies tampoc no és greu aparentment, però ja es va veure que

amb gradients elevats, un error en la distància pot repercutir seriosament. Hi poden

intervenir 2 factors: a) que els dos forats estiguin més o menys a prop entre ells, degut a

la mecanització. b) que el forat de 1.7 mm, al ser més gran que el termoparell de 1.6 mm

de gruix, permeti que aquest balli o quedi posicionat amb una certa llibertat.

∑= isuma σσ


199

En quant al primer factor, les 4 peces d’Inconel presenten unes distàncies entre

termoparells de 19, 19.075, 19.05 i 19.075 mm respectivament. Aquesta mesura s’ha fet

a partir de les mides màxima i mínima entre forats. Si la distància teòrica pertany al valor

de 19.05 mm, podríem estar parlant de una variabilitat màxima de ±0.1 mm en aquest

aspecte.

Respecte el segon factor, queda un joc entre el termoparell i el forat de 0.1 mm, que

representa una desviació possible de ±0.05 mm, que per als dos termoparells, i no cal ser

tant estricte de caure en la suma estadística, representa un joc total de ±0.1 mm.

En conjunt podríem estar parlant del voltant de ±0.15 mm de desviació de distància

intertermopàrica, que representaria respecte la d teòrica, una desviació relativa de

±0.008.

Fig. 9.3 Simulació estadística maximal de les desviacions dels paràmetres afectats

d

d

λλ∂

c

c

λλ∂

c

c

TT

∆∆∂

d

d

dd∂

d

d

TT

∆∆∂

c

c

dd∂


200

Si sumen estadísticament aquests valors, trobarem l’ordre de magnitud, molt

aproximadament, de l’error relatiu de la conductivitat de la mostra desconeguda d’estudi.

D’una manera gràfica, tenim un arbre o piràmide que representa els valors de cada

desviació relativa en cadascun dels nodes inferiors, i la suma total queda reflectida en el

node superior (Fig. 9.3). (Per a aquest grafisme s’ha utilitzat un software que realitza

simulacions de tolerancies, anomenat 1-Dcs, utilitzat en el disseny i desenvolupament de

peces)

Aquesta variabilitat relativa de ±0.3325 (un 33% maximal d’error), representa per a la

conductivitat aproximada en l’experimentació de 12 W/mK, un error absolut de ±4 W/mK.

Recordem que aquesta seria la màxima desviació que comprendria quasi el 100% de les

experimentacions. En l’experimentació realitzada s’han trobat casos de ±2 W/mK, que

representaria un 15% aproximadament.

La pregunta inmediata és com variaria aquest rati de desviació, si implementem les

millores que proposa el present estudi:

-Peces més llargues (veure annexos) que permeterien tenir unes separacions entre

termoparells de fins 37 ÷ 40 mm.

-Aplicar el mètode In Situ que permeteria rebaixar notòriament la variabilitat normal dels

termoparells, ajustant els seus nominals. És difícil afitar l’error en el gradient, ja que en

teoria, aquest seria zero, però degut a que el mètode pot tenir petitíssimes variacions de

temperatura en fer l’experimentació isoterma, i el propi sistema de conversió per

taules/equacions, continuaria provocant un error aproximat de fins 0.5 K.

Aquestes actuacions farien variar el gradients llegits en les peces. En el mateix supòsit

que tinguéssim Inconel718, aleshores estariem sobre uns gradients de 23 K. L’error

relatiu de temperatures seria ara de ±0.5 K/23K = 0.022.

L’error relatiu de les distàncies correspondria ara a : ±0.15 mm/37 mm = 0.004.

Aplicant aquests valors a la piràmide de toleràncies establerta anteriorment, trobem una

millora en la variabilitat final.


201

Aquesta millora considerable consisteix en reduir l’error maximal possible al 3% en

aquest cas, tenint en compte que, a l’igual que en el cas anterior, només s’ha tingut en

compte els paràmetres bàsics del càlcul. Quan el resultat queda millorat notablement,

quedant el seu error maximal possible tant petit, els altres factors que no s’han tingut en

compte adquireixen major importància: en la suma estadística, quan un valor és molt petit

comparablement amb l’altre sumant, pràcticament no afecta gaire en el resultat de la

suma.

Fig. 9.4 Simulació estadística amb les millores aplicades

d

d

λλ∂

c

c

λλ∂

c

c

TT

∆∆∂

d

d

dd∂

d

d

TT

∆∆∂

c

c

dd∂


Capítol 10 Aplicació de mètode numèric en el Conductivímetre per comparació

10.1. Introducció 10.2. Introducció a les diferències finites 10.2.1. Aproximació a les derivades en diferències finites 10.2.2. Discretització del continu 10.3. Característiques del model 10.4. Discretització 10.5. Els 4 models 10.6. Ressolució pel mètode directe 10.7. Precissió d’avaluació de la conductivitat tèrmica 10.8. Anàlisi de la potència 10.9. Conclusions


10 MÈTODE NUMÈRIC APLICAT EN EL CONDUCTIVÍMETRE PER COMPARACIÓ 10.1 INTRODUCCIÓ Una de les principals eines que s'ha fet servir en aquest projecte ha estat la simulació

numèrica.

Aquesta ha estat una eina decisiva per a valorar quins són els paràmetres fonamentals a

tenir en compte en un conductivímetre per a obtenir uns bons resultats en l'estimació de

la conductivitat tèrmica.

L'objectiu principal de la utilització de la simulació numèrica ha estat determinar quin

comportament i distribució real segueixen les temperatures en l'interior del nucli del

conductivímetre (Fig.10.1) en estat estacionari per certes condicions de contorn.

Un cop determinat el comportament de les

temperatures en el nucli del conductivímetre

es podrà valorar el grau de fiabilitat que hi

ha realment al suposar les hipòtesis

simplificatives (flux axial, geometria constant

sense forats ...) que es prenen per a calcular

la conductivitat. Així mateix, les diferents

condicions de contorn que es poden imposar

al conductivímetre numèric determinarà quin

o quins són els dissenys que ajuden a

obtenir un millor resultat de la conductivitat

tèrmica.

Fig. 10.1 (disseny amb forn de guarda)

NUCLI


La simulació numèrica permet determinar quin és l'estat que assoleix la pila en condicions

properes a les reals i contrastar amb les hipòtesis simplificatives.

Si el model numèric dona resultats allunyats dels resultats esperats , caldrà fer una

rectificació dels valors donats pel conductivímetre real, o en el pitjor dels casos renunciar

a obtenir el valor de la conductivitat tèrmica amb l'expressió simplificada (6.2) ja que la

desviació dels resultats (teòrics/reals) seria massa gran, invalidant l'expressió simplificada

aplicada al conductivímetre.

Si els resultats que caldria esperar amb l'expressió simplificada (6.2) coincideixen amb els

del model numèric, llavors es té certesa que les hipòtesis simplificatives es compleixen i

l'expressió simplificada és vàlida.

En definitiva, la simulació numèrica ajuda a determinar si l'expressió que es fa servir per

trobar la conductivitat :

λ λ1 2

21

= .∆∆

TT

s'ajusta a la realitat del conductivímetre per comparació.

De l'estudi numèric s'extreuran les variables (diàmetre de les peces,conductivitat de la

pols aillant, lloc on es pren la lectura amb els termopars...) que afecten més directament

al càlcul de la conductivitat i que efecten directament a les hipòtesis simplificatives.

Un cop obtinguts els resultats de la simulació es poden emprar aquests per a millorar el

conductivímetre, redissenyar les peces, o per a reajustar el valor de les dades

obtingudes.


10.2 INTRODUCCIÓ A LES DIFERÈNCIES FINITES

Els mètodes de resolució analítica no poden abordar la majoria de geometries i

condicions de contorn que es plantegen en els problemes habituals d’enginyeria.

La dificultat que representa voler determinar per un sistema donat una distribució

contínua (infinits valors) de temperatura, es redueix dràsticament si ens conformem a

obtenir tan sols una distribució discreta. (nombre finit).

Aquest mètode consisteix en el fet d’aproximar les derivades pel quocient incremental

que s’obté emprant les temperatures d’un nombre finit de punts convenientment escollits,

l’anomenada distribució discreta de temperatures.

Plantejant en diferències a cada punt l’equació diferencial que governa la conducció de la

calor, la 2ª de Fourier, obtenim un sistema d’equacions algebraiques, que un cop resolt

ens permet trobar l’esmentada distribució.

10.2.1 APROXIMACIÓ DE LES DERIVADES EN DIFERÈNCIES FINITES

EMPRANT EL DESENVOLUPAMENT DE TAYLOR

• Primera derivada en diferències

En la resolució numèrica d’un problema de conducció de calor emprant computadores

digitals, el primer pas és transformar l’equació diferencial que governa el fenomen

substituint les derivades parcials per diferències. Per aquest procediment obtenim un

sistema d’equacions algebraiques que resolem emprant les quatre operacions

aritmètiques bàsiques; l’anomenat càlcul numèric, que les computadores realitzen tan

eficaçment.


Sigui T(x) una funció que es pot desenvolupar en sèrie de Taylor. Aleshores el

desenvolupament de Taylor de les funcions T(x+h) i T(x-h) en el punt x resulta,

Aïllant T’(x) de l’equació (10.1),

Anomenem primera diferència endavant a l’expressió que aproxima T’(x) amb un error de

l’ordre de l’increment considerat.

Aïllant T’(x) de l’equació (10.2) obtenim la primera diferència enrera,

Sumant les equacions (10.3) i (10.4) resulta la primera diferència central,

• Notació

Introduïm la notació següent:

x = i h ; x + h = ( i + 1 ) h ; x - h = ( i - 1 ) h

T (x) = Ti ; T (x + h) = Ti+1 ; T(x – h) = Ti-1

...)('''!3

)(''!2

)(')()(32

++++=+ xThxThxhTxThxT

...)('''!3

)(''!2

)(')()(32

+−+−=− xThxThxhTxThxT

)()()()...('''6

)(''2

)()()('2

hOh

xThxTxThxThh

xThxTxT +−+

=−−−+

=

hxThxT )()( −+

)()()()(' hOh

hxTxTxT +−−

=

)(2

)()()(' 2hOh

hxThxTxT +−−+

=

(10.1)

(10.2)

(10.3)

(10.4)


; ;

Primera derivada:

Amb la notació establerta escrivim les diferències anteriors,

Primera diferència endavant (FD)

Primera diferència enrera (BD)

Primera diferència central (CD)

Podem veure gràficament que la diferència central representa una aproximació millor.

Desenvolupant T(x+h) en el punt x+h/2 obtenim una altra expressió que ens serà útil per

aproximar la T’’(x)

•Segona derivada en diferències

Desenvolupem per Taylor la funció T(x+2h) i T(x-2h) en el punt x:

')(' ii

TdxdTxT ≡

= '')('' 2

2

ii

Tdx

TdxT ≡

=

21)

2(

+≡+

iThxT

)(' 1 hOh

TTT iii +

−= +

)(' 1 hOhTTT ii

i +−

= −

)(2

' 211 hOhTTT ii

i +−

= −+

)()()(' 2

)2

(hO

hxThxTT hx

+−+

=+

)( 21

21 hO

hTTT ii

i+

−= +

+

...)('''34)(''2)('2)()2( 32 ++++=+ xThxThxhTxThxT (10.5)


Eliminant T’(x) entre les equacions (10.1) i (10.3) obtenim la segona diferència endavant

(FD):

Eliminant T’(x) entre les equacions (10.2) i (10.4) obtenim la segona diferència enrera

(BD):

Eliminant T’(x) entre les equacions (1) i (2) obtenim la segona diferència central (CD):

• Resum de primeres i segones diferències

Emprant la notació establerta anteriorment, exposem en forma de resum algunes

aproximacions en diferències de la primera i segona derivada.

Derivades de 1er ordre:

a) Fórmules de 2 punts


...)('''34)(''2)('2)()2( 32 +−+−=− xThxThxhTxThxT

...)(''')2()(2)()('' 2 +−+++−

= xhTh

hxThxTxTxT

...)(''')()(2)2()('' 2 −++−−−

= xhTh

xThxThxTxT

...)('''121)()(2)()('' 2

2 +−++−−

= xThh

hxTxThxTxT

)(' 1 hOh

TTT iii +

−= +

(10.6)

(10.7)



b) Fórmules de 3 punts

Primera diferència central (CD)



Derivades de 2on ordre

a) Fórmules de 3 punts

Segona diferència endavant (FD)

Segona diferència enrera (BD)

Segona diferència central (CD)

)(' 1 hOhTTT ii

i +−

= −

)(2

' 211 hOhTTT ii

i +−

= −+

)(243

' 221 hOh

TTTT iiii +

−+−= ++

)(2

34' 212 hO

hTTTT iii

i ++−

= −−

)(2

'' 221 hO

hTTTT iii

i ++−

= ++

)(2

'' 212 hO

hTTTT iii

i ++−

= −−

)(2

'' 22

11 hOh

TTTT iiii +

+−= +−


b) Fórmules de 4 punts

Segona diferència endavant (FD)

Segona diferència enrera (BD)

Substituint en una equació diferencial les derivades per les seves aproximacions en

diferències, convertim un problema inabordable en la resolució d’un sistema de equacions

algebraic, en general amb un nombre considerable de incògnites.

• Representació en diferències finites d’un problema de conducció bidimensional en estat

estacionari

En un punt (x,y) interior del sòlid es verifica la segona equació de Fourier, que en règim

estacionari resulta,

Siguin (x,y) les coordenades del node A, representatiu del domini ombrejat a la figura.

D’acord amb la notació escollida prèviament,

)(452

'' 22

321 hOh

TTTTT iiiii +

−+−= +++

)(254

'' 22

123 hOh

TTTTT iiiii +

+−+−= −−−

0),(2

2

2

2

=+∂∂

+∂∂

λyxg

yT

xT &

ji

ji

gyjxigyxgTyjxiTyxT

yjyxix

,

,

),(),(),(),(

&&& ≡∆∆=

≡∆∆=∆=

∆=

2,1,,1

,2

2

)(2

xTTT

xT jijiji

ji ∆

+−=

∂∂ +−

21,,1,

,2

2

)(2

yTTT

yT jijiji

ji ∆

+−=

∂∂ +−


Substituint a l’equació segona de Fourier, arribem a l’expressió algebraica,

Si i resulta,

O bé

10.2.2 DISCRETITZACIÓ DEL CONTINU

• Domini, node i malla

Anomenem discretitzar el fet de substituir el model continu de la matèria per una partició

o mosaic d’aquesta.

Anomenem domini a cada element discret d’aquest mosaic, i node el seu centre on

considerem concentrada tota la seva massa. Quan més fina és la discretització, més

s’aproxima la temperatura del node al valor mitjà de la temperatura del domini. El mateix

succeeix a la resta de propietats assignades al node.

Enllacem els nodes amb línies o conductes ficticis per on suposarem que es transfereix la

calor, la qual cosa constitueix l’anomenada malla o retícula.

Dos nodes i i j estaran connectats o enllaçats, si la línia o el conducte que els uneix és

normal a la superfície comuna entre els dos dominis respectius.

0)(

2)(

2 ,2

1,,1,2

,1,,1 =+∆

+−+

∆

+− +−+−

λjijijijijijiji g

yTTT

xTTT &

yx ∆=∆ 0, =jig&

04 ,1,1,,1,1 =−+++ −+−+ jijijijiji TTTTT

aritmèticaMitjanainodeelenvoltenqueesTemperatur

T ji == ∑4

"",


•Discretització del temps

En règim transitori algunes temperatures canvien al llarg del temps. Determinar l’evolució

de les temperatures en qualsevol instant representa en la majoria dels problemes reals

d’enginyeria tèrmica una dificultat inabordable.

Si ens conformem a conèixer la distribució de temperatures en cada interval de temps, el

problema es torna més fàcilment resoluble.

Per tant, subdividim o discretitzem el temps en intervals ∆t i els numerem de forma que a

l’interval n li correspon l’instant de temps t=n·∆t.

Tin representa la temperatura del node i en l’instant tn=n·∆t.

10.2.3 EQUACIÓ EN DIFERÈNCIES MITJANÇANT EL MÈTODE DEL BALANÇ

• Equació general del balanç d’energia

Suposem un domini i com el de la figura

Representem per Kji la conductància entre el node j i el node i. (Conductància de la paret

plana).

Essent s un punt de la frontera entre els dos dominis

iji

si

ijj

jssijsijji

AARR

KK

λδ

λ

δ+

=+

==11

δsi

δjs

i

j


Considerem l’instant t comprès entre tn i tn+1

0 1 2 ... n n+1 interval

to t1 t2 ... tn < t < tn+1 temps

Temps en funció de l’interval:

tn = n·∆t < t < tn+1 = (n+1)·∆t

El balanç d’energia amitjanat del node i en l’instant de temps t tal que tn < t < tn+1, i

prenent com a volum de control el domini del node i resulta,

representa tota la potència que s’aporta al node i en l’instant t.

és la variació en el temps de l’energia continguda en el node i a l’instant t.

Representem per qtj→i la potència que el node j cedeix al node i en l’instant t, que d’acord

amb el conveni establert, serà positiva quan el node guanya potència,

( > 0 si Tj > Ti )

Per tant

Essent la potència generada en l’instant t en el node i de volum Vi.

0+=

∂t

i

t

i dtdE

dtQ σ

t

idtQ

∂

t

idtdE

σ

)( ti

tj

tji

tij TTKq −=→

tijq →

∑=

+−=∂ N

ji

ti

ti

tj

tji

t

i

VgTTKdtQ

1)( &

tig&

tTTcV

tTcV

dtdE n

in

itiii

t

i

tiii

t

i ∆−

=

∂∂

= +1

)()( ρρσ


Si igualem, resulta l’equació general del balanç d’energia per al node i en l’instant tn < t <

tn+1,

, capacitat calorífica del node i en l’instant t

Partim d’unes condicions inicials (variables conegudes) per trobar el valor de les variables

en l’interval següent.

Interval n → variables conegudes

Interval n+1 → variables desconegudes

• Mètode explícit

Es calcula la potència aportada al node i en funció de les variables conegudes en l’instant

de temps tn que correspon a l’interval n (tn=n·∆t).

Considerant per tant t = tn en l’equació general del balanç d’energia i posant el supraindex

n per representar el temps tn = n·∆t resulta,

N= nombre de nodes en contacte amb el node i.

Aquesta equació determina la temperatura del node i en un instant tn+1 a partir de les

temperatures del sistema en un instant anterior tn.

tTTCVgTTK

ni

nit

it

ii

N

j

ti

tj

tji ∆

−=+−

+

=∑

1

1

)()( &

tiii

ti cVC )(ρ=

tTTCVgTTK

ni

nin

in

ii

N

j

ni

nj

nji ∆

−=+−

+

=∑

1

1

)()( &

ni

N

j

njin

i

nii

N

j

nj

njin

i

ni TK

CtVgTK

CtT

∆−+

+

∆= ∑∑

==

+

11

1 1)( &


Si escollim un interval de temps ∆t de manera que el segon claudàtor resulti positiu, la

solució és estable.

Condició d’estabilitat

•Mètode implícit

Es calcula la potència aportada al node i en funció del valor de les variables a l’instant de

temps tn+1 en el qual totes les temperatures són desconegudes.

Considerant per tant t=tn+1 i posant el supraíndex n+1 a les temperatures per identificar-ne

l’instant, resulta:

Cada equació conté n+1 incògnites essent N el nombre de nodes en contacte amb el

node i.

Essent NT el nombre de nodes de temperatura desconeguda del sistema, haurem de

resoldre un sistema de NT equacions amb NT incògnites. Aquest mètode és intrinsicament

estable per qualsevol valor de l’interval ∆t.

Quan més fina sigui la discretització en l’espai i en el temps, la solució obtinguda

s’aproximarà millor a la distribució real de temperatures.

Quan el nombre d’incògnites és gran resulta pràctic resoldre el sistema d’equacions, per

un mètode iteratiu com per exemple el de Gauss-Seidel, ja que el procés d’acumulació

d’errors d’arrodoniment és molt més reduït que en els mètodes directes.

Per emprar aquest mètode aïllem de l’equació del node i la temperatura Tin+1,

niK

Ct N

j

nji

ni ∀∀≤∆

∑=

,

1

∑=

++++++

∆−

=+−N

j

ni

nin

in

iin

inj

nji t

TTCVgTTK1

111111 )()( &

∑

∑

=

++

+

=

+++

+

∆+

+

∆+

= N

j

njin

i

nii

N

j

nj

njin

i

ni

ni

KC

t

VgTKC

tTT

1

11

1

1

111

1

1

)( &


Si n → ∞ , Tin+1 → Ti (estacionari) com es pot comprovar fàcilment.

• Mètode mixt o de mitjana ponderada: Crank-Nicolson (F=0.5)

Sigui F un factor de ponderació inferior a la unitat. En aquest mètode calculem la potència

que rep el node i com la suma ponderada amb els factors F i 1-F de les potències

tèrmiques calculades en funció de les temperatures de l’instant n i n+1 respectivament.

A l’instant n totes les variables són conegudes, i per tant el primer claudàtor resultarà ser

una constant en l’equació del node corresponent.

L’equació del balanç per al node i resulta,

Si anomenem

Obtenim una expressió més compacta del mètode mixt o de la mitjana ponderada ,

Si aïllem la temperatura del node i en l’instant tn+1 resulta,

+−+

+=

∂ +

=

+→

=→ ∑∑ 1

1

1

1)()1()( n

ii

N

j

nij

N

j

nii

nij

i

VgqFVgqFdtQ

&&

tTTCFFC

VgTTKFVgTTKF

ni

nin

ini

N

j

nii

ni

nj

nji

N

j

nii

ni

nj

nji

∆−

−+=

=

+−−+

+−

++

=

++++

=∑∑

11

1

1111

1

))1((

)()()1()()( &&

11 )1())(1()( ++ −+=−+= ni

ni

Fi

nii

nii

Fi CFFCCVgFVgFq &&

∑ ∑= =

++++

∆−

=+−−+−N

j

N

j

ni

niF

iFi

ni

nj

nji

ni

nj

nji t

TTCqTTKFTTKF1 1

1111 )()1()(

∑

∑ ∑ ∑

=

+

= = =

++

+

−+∆

+

−

∆+−+

=N

j

nji

Fi

N

j

N

j

Fi

ni

N

j

nji

Fin

jnji

nj

nji

ni

KFt

C

qTKFt

CTKFTKFT

1

1

1 1 1

11

1

)1(

)1(


Condició d’estabilitat

Si assignem al paràmetre F el valor 0.5 el mètode mixt o de mitjana ponderada

s’anomena de Crank Nicolson. En aquest mètode, el càlcul de la potència aportada al

node en l’interval de temps comprès entre tn i tn+1 es realitza de la manera següent:

- 50% emprant les temperatures de l’instant tn (explícit)

- 50% emprant les temperatures de l’instant tn+1 (implícit)

En cas de ser acceptable considera que la capacitat calorífica del node és independent

de la seva temperatura (almenys en l’interval de treball), aleshores la condició d’estabilitat

es converteix en la següent,

Condició d’estabilitat (F=0.5 ; Cin=Ci

n+1):

niKF

Ct N

j

nji

Fi ∀∀≤∆

∑=

,

1

nitK

C

K

CCt EXPLICITN

j

nji

ni

N

j

nji

ni

ni ∀∀∆==

+≤∆

∑∑==

+

22

5.0

5.05.0

11

1


10.3 CARACTERÍSTIQUES DEL MODEL

En el model numèric no cal tenir en compte les simplificacions a que sotmet evaluar la

conductivitat amb les hipòtesis de flux uniforme, i per tant, es pot abordar un model més

complex i proper a la realitat, un model que incorpora forats en la geometria de les peces,

conductivitats variables, salts tèrmics elevats a les interfícies de contacte i on les

condicions de contorn a aplicar poden ser variades (perfil de temperatures de forn de

guarda, aillament total, aillament parcial, pols amb conductivitat variable, aïllaments

superiors...). Aquesta diversitat de possibilitats poden ser valorades mitjançant models

numèrics amb la finalitat d'observar com es comporten les temperatures en el nucli del

conductivímetre per a diferents condicions.

El model numèric del nucli del conductivímetre presenta les següents característiques:

• Gran nombre de nodes

• El model contempla dues peces en la pila

• Cada peça té practicats dos orificis

• Interfícies

• Pols Aïllant

• Simetria

• Les condicions de contorn

A continuació s'especifica detalladament cadascuna de les anteriors característiques.


• Gran quantitat de nodes

El nombre de nodes utilitzats varen ser 6006, aquesta va ser la màxima quantitat de

nodes que permetia el programa en que es va realitzar la simulació. Tot i que el nombre

pot semblar molt gran, per a tenir una precissió prou acurada de la temperatura en un cert

punt (±1mm.) fa falta una discretització d'aquest ordre. Cal afegir la gran influència sobre

el nombre de nodes totals que té la petita dimensió dels forats que travessen la peces fins

els eixos geomètrics de les

peces. No ha estat un

inconvenient triar un

nombre gran de nodes, ja

que la característica

geomètrica de cadascun

d'ells, així com la

conductivitat depenen tant

sols de la seva posició en

l'espai, aquest fet fa que la

implementació informàtica

que s'ha utilitzat sigui

senzilla i la dificultat de

programació sigui la

mateixa per un nombre alt

com baix de nodes. La

discretització que s’ha

utilitzat ha esta la que

millor s’adaptava

geomètricament, en aquest

cas evidentment la

discretització ha estat

cil.líndrica (Fig.10.2).

Semisecció transversal

Fig. 10.2


L'efecte més important que comporta l'elecció d'un gran nombre de nodes és la

determinació de temperatura en un punt concret del nucli, aportant una major precissió en

els resultats obtinguts.

En darrer terme cal anotar que les representacions gràfiques 3-D amb una gran quantitat

de nodes ens donen una informació visual molt millor, progressiva i sense discontinuitats,

afavorint una millor interpretació de la distribució interna de temperatures.

L’exemple superior (Fig.10.3) és una mostra dels resultats visuals que s’obtenen gràcies a

una elevada densitat de nodes, en aquest gràfic estan representats 924 nodes d’una

secció característica. Com es pot comprobar, l’efecte visual és considerablement bo, i la

interpretació de el qué està passant en l’interior de la peça té una interpretació intuitiva

senzilla.

Fig.10.3 Exemple de resultat numèric


• El model contempla dues peces en la pila

En el model real TCFCM se'n tenen tres, a fi i efecte d'obtenir una simetria tèrmica.

Aquesta reducció d’una peça és deguda a que amb la simulació ja es consideren les

condicions de contorn i no és necesari disposar de tres peces amb la finalitat

d'aconseguir una simetria de perfils tèrmics determinats. El principal avantatge de

disposar de dues peces està en la determinació del gradient de temperatures (dada

fonamental per al càlcul de la conductivitat), ja que en l'espai en que s'alotjaven tres

peces, ara se n'alotgen dues, per tant els punts de mesura s'allunyen i ens permeten

obtenir amb més precissió el gradient tèrmic.

Els dos gràfics superiors (Fig.10.4) denoten la millora de distància que s’obté al considerar

dues peces en lloc de dues per a una mateixa alçada determinada. Com s’ha fet menció

anteriorment, aquest augment de la distància permetrà determinar el gradient tèrmic amb

més precissió.

Fig.10.4 Diferents disposicions de peces

d

d

d

d’

d’


• Orificis en les peces

Cada peça té practicats dos orificis fins al seu centre, els quals permetran determinar les

temperatures en l'interior de les peces mitjançant termopars. aquests taladres en el model

són aproximats per uns forats de geometria en forma de falca i se'ls associa una baixa

conductivitat. La petita dimensió d'aquests orificis repercutirà evidentment en el nombre

de nodes que tindra el model numèric ja que implica un afinament més gran de la

discretització en aquella zona.

El tenir en compte fins i tot els petits forats en el model numèric Fig.10.5(b) repercutirà en

una millora i fiabilitat dels resultats finals, ja que el model contempla petits detalls com

aquests forats practicats que comportan a una distorsió de la geometria completament

cil.índrica que en un principi es considera en primera aproximació Com es podrà

Forat simulat (b) Forat real (a)

Fig.10.5


comprobar més endavant, el taladres practicats quasi bé no provoquen distorsions sobre

els resultats previstos, peró en aquest estudi no s'han volgut obviar cap possibilitat de

introducció d'errors en la determinació de la conductivitat i per tant s'han tingut en compte

possibilitats que a priori podríen ser considerades irrellevants.

• Interfícies.

Entre peça i peça (en el model numèric) n'existeix una altra de baixíssima conductivitat

(Fig. 10.6.b), aquesta simularà la interficie entre peces. Ja s'ha vist en la part teòrica, que

l'existència d'una interfície suposa un salt tèrmic important, aquest salt tèrmic es simula

amb un conjunt de nodes de molt baixa conductivitat, que ofereixin una resistència

tèrmica igual a la que provocaria la interfície real (Fig. 10.6.b).

La imatge superior mostra com la interfíce (Fig.10.6.a), encara que allisada, si es mostra

amb prous augments presenta realment la superfície contactada per a un reduït grup de

punts, pels quals es transmet part de la potència, però perdent una gran rellevància, ja

que en la interfície es troben majoritariament discontinuitats, per tant, la transferència de

potència deixa un paper important al medi gasós, pel qual es tindran fenòmens de

Fig.10.6.a

detall microcóspic.

Fig.10.6.b


conducció gasosa i convecció. Degut a la petita distància que separa les dues cares, la

conducció gasosa pren protagonisme en la tranferència energètica sobre la convecció.

Globalment, el més important a afectes pràctics per la simulació, és que en les interfícies

es produeixen augments de resistències tèrmiques, fet que es considerat en els diversos

models de conductivímetres, aportant així un comportament molt més realista a la

simulació.


• Pols Aïllant.

Les peces estan envoltades de material de baixa conductivitat: la pols de diatomees

(Fig.10.7), responsable en gran part de disminuir les perdues de calor en sentit radial. La

pols estarà representada per un conjunt de nodes també de baixa conductivitat.

Fig.10.7 Nucli de conductivímetre


Simetria.

Es considera en la pila un pla de simetria (Fig.10.8), tant tèrmic com geomètric, si és un

pla de simetria tèrmica, evidentment, a través d'aquest no hi pot fluir calor i les pendents

de temperatures en aquest pla han de ser forçosament zero. Aquesta simetrització de la

pila facilita la implementació del programa numèric, ja que només es té en compte la

meitat de nodes que en una peça sencera , paralelament s'augmenta la velocitat de

execució del programa i es necessita menys memòria RAM, fet que permet escollir un

nombre de nodes (6006) el doble de gran que sense tenir en compte l'efecte de la

simetria tèrmica.

Fig.10.8 simetria tèrmica i geomètrica


• Les condicions de contorn .

Diferentment a l'equacio (10.8) que només és vàlida per a condicions molt determinades,

s'han creat quatre models numèrics amb diferentes condicions de contorn per a poder

valorar la resposta tèrmica de cada opció. Els resultats numèrics d'aquests quatre models

seran posteriorment analitzats per a extreure'n conclusions respecte al millor model, i

sobretot, quines discrepàncies presenta cada model respecte a un anàlisis simplificat. Els

quatre models representen quatre possibilitats de conductivímetres, desde el més senzill,

amb aïllament lateral, fins al més complex que incorpora forn de guarda. Posteriorment

en el present capítol es tractaran individualment cadascun d’aquests quatre models per

aprofundir sobre el seu comportament.

12.21 T

T∆∆

= λλ (10.8)


10.4.Discretització

La discretització que s'ha utilitzat en els quatre models ha estat la cil.líndrica, ja que

aquesta és la configuració geomètrica del nucli. La part discretitzada del nucli comprèn:

-dues peces centrals que conformen la pila

-interficie entre ambdues peces, -pols aillant al voltant de les peces

-orificis practicats a les dues peces per alotjar els termopars.

Els quatre models que s'han elaborat numèricament tenen condicions de contorn

diferents, fet que suposa canviar certes parts de la implementació dels programes que

simulen l’estat estacionari dels quatre nuclis.

La simulació es limita a estudiar el nucli del conductivímetre i es pren com a límit el forn

de guarda, ja que en aquest punt es coneixen les condicions i aquest és un fet que fa

d’aquest un bon límit per indicar-hi les condicions de contorn.

La discretització que s’ha portat a terme ha estat molt afinada i s’han utilitzat més de 6000

nodes per a modelitzar el nucli. En aquells llocs on es requeria una precisió més gran

s’han utilitzat nodes més petits per poder adaptar-los a la geometria requerida. Aquesta

gran quantitat de nodes per a la simulació no és un fet gaire usual, ja que es tracta d’un

nombre elevadíssim de nodes, però la geometria del problema a afavorit el poder

desenvolupar una programació basada en la parametrització del problema. Gràcies a

aquests dos fets s’ha pogut escollir aquest gran nombre de nodes, resultant-ne com a

consequència més important la precisió dels resultats obtinguts amb el model numèric.

Com avantatge indirecta però no menys important, és la gran facilitat que ofereix el

programa numèric per poder variar multitut de paràmetres com són: geometries de les

peces, forats, conductivitats de les peces, conductivitat de la pols ... resultant-ne doncs

un programa altament rentable a nivell de flexivilitat de programació. Aquesta gran

flexibilitat que permet el programa numèric a permés fer multiples avaluacions sobre els

efectes que comporta en fer variacions de conductivitats, diàmetres de les peces,

interfícies i així poder valorar en últim terme quins són els paràmetres fonamentals a tenir


en compte en un conductivímetre per comparació. La única desaventatge que presenta

un programa com aquest és el temps d’execució, sobretot el mètode directe (Ap.10.6), el

qual pot tardar vàries hore a donar l’estat estacionari.

A continuació es presenta esquemàticament on queda localitzada la zona discretizada en

el programa de simulació numèrica.


NUCLI

discretització

CONDUCTIVÍMETRE

Fig.10.9


La discretització nodal que s’ha utilitzat en als quatre models ha estat la mateixa.

Cada node de la discretització pot ser localitzat espaialment pels tres paràmetres (i,j,k).

Aquests tres paràmetres prenen una gran importància en el desenvolupament del

programa de simulació ja que són l'eix vertebral de tota la implementació numèrica.

El significat de cadascun d'ells és el següent :

i: El paràmetre i indica en quin nivell en direcció axial es troba el node (i,,j,k). Es té

un total de 33 nivells enumerats del 0 al 32. Cada nivell pot tenir assignat una alçada

diferent, aquesta ve donada per l'expressió ALT(i). Els nivells 0 i 32 donen les condicions

de contorn superior i inferior.

j: Aquest paràmetre indica quina és la posició en sentit radial d'un node (i,j,k). El

nombre de nivells en aquesta direcció és de 14 i estan enumerats de l'1 al 14. En el nivell

14 (direcció j) estan implicites les condicions de contorn. AMP(j) és l'expressió que dona

Fig.10.10


el gruix del node en la direcció radial. El nivell 14 dona les condicions de contorns

laterals.

k: Marca quin nivell en direcció a l'angle k es troba el node. ANG(k) és l'expressió

que determina quin angle li pertany a un node situat en una posició (i,j,k). es té un total de

13 divisions en aquesta parametrització , enumerades de l'1 al 13.

La discretizació en aquest cas s’ha reduït a la meitat ja que es tracta d’un problema

simètric, per tant la solució queda reduïda a solucionar mitja peça. Qualsevol configuració

del conductivímetre ha de cumplir:

En la figura següent es representa la discreització en sentit j i k. la part sombrejada

correspon a una secció transversal de les peces i la part més clara corrrespon a la pols.

Es interessant obsevar com la discretització és més acurada a mesura que s’aproxima a

la zona on estan practicats els forats, amb la finalitat de poder aproximar més el valor en

aquesta zona on la geometria requereix d’una discretització més acurada,i a més, és la

zona on es prenen els inputs per calcular la conductivitat i per tant s’hi ha de destinar un

esforç suplementari per obtenir un afinament millor en la discretització.

18013

1=∑

=

=

n

nnk

Fig.10.11 Discretització cil.líndrica


És interessant el fet que ALT(i), AM(j) i ANG(k) , les tres expressions que donen l'alçada,

amplada i angle d'un cert nivell, siguin tres vectors, ja que faciliten la discretització, que

pot efectuar-se d'una manera personalitzada i permet afinar més en punts com els forats,

o variar les dimensions de les peces per a fer diferents experimentacions amb geometries

diverses.

En resum, la parametrització del nucli del conductivímetre permet flexivilitzar qualsevol

modificació sobre aquest (dimensions, conductivitats diferents...) amb la finalitat de

comprobar diferents configuracions que es vulguin probar.

El fet de situar qualsevol punt del nucli del conductivímetre amb els paràmetres (i,j,k)

permet fer una implementació fàcil del programa numèric. Així doncs, per exemple, la

conductivitat d'un node situat en un punt (i,j,k) pot ser coneguda tant sols per la posició

d'aquest node. De la mateixa manera també pot ser coneguda la superfíce de contacte

entre dos nodes amb la seva posició (i,j,k) .

Aquesta parametrització del problema numèric facilita enormement el seguiment i

ressolució del problema , ja que una ressolució "clàssica " del problema necessitaria una

matriu (6006x6006) i amb les eines disponibles és un objectiu impossible , tant per a la

memòria necessaria com per al temps de construcció de la matriu.

Cadascun dels quatre models ha necessitat atenció especial en les condicions de

contorn, ja que per a unes mateixes posicions (i,j,k) de dos models diferents, les

situacions termodinàmiques poden ser molt diferents (isotermia, aïllament...), és per aixó

que en l’annex 2 es detalla exhaustivament com s’ha procedit per a definir l’àmbit de

veinatge per als nodes de cadascun dels quatre models estudiats.

En quan a les mesures relatives de les peces utilitzades en el model numèric està detallat

exhaustivament a l’annex 3, en aquest annex es donen les mides emprades en aquest

estudi. La implementació del programa permet fer modificacions sobre la geometria de les

peces, fet que pot ser utilitzat per altres laboratoris que utilitzin peces de mides diferents.


Equació fonamental

El mètode escollit per a trobar la solució en estat estacionari a esta el mètode explicit. En

l'expressió que s'arribava en l'episodi (10.2.3) s'obtenia :

K T T g V CT T

tjin

j

N

jn

in

i in

in i

nin

=

+

∑ − + =−

1

1

( ) ( & . ) .∆

Tenint en compte que l'aportació de potència interna &gi és nul.la, i que es busca la

sol.lució en estat estacionari (Tin+1 = Ti

n ) l'expressió anterior (10.9) queda simplificada a :

K T Tjin

j

N

jn

in

=∑ − =

10( )

Si s'ailla la temperatura del node i, s'obté :

TK T

Kin

jin

jn

j

N

jin

j

N==

=

∑

∑

.1

1

com la solució no depèn del temps, podem eliminar el supraíndex n, ja que la solució en

l'estacionari no es funció del temps, finalment l'expressió anterior queda reduïda a :

TK T

Ki

ji jj

N

jij

N==

=

∑

∑

.1

1

Aquesta ha estat l’equació emprada per obtenir la solució en el model numèric.

(10.9)

(10.10)

(10.11)

(10.12)


Determinació de la conductància.

En la determinació de les temperatures en estat estacionari, cal determinar la

conductància entre dos nodes conectats i-j tal i com expressa l'equació (10.12). Aquest

valor serà calculat en funció de la posició espaial de cada parell de nodes i de la

conductivitat en aquella regió de l'espai. Per avaluar el valor de la conductància entre dos

nodes utilitzant la parametrització tant sols cal disposar de la localització del node i, i la

direcció espaial del segon node j. (No confondre nodes i,,j o k amb paràmetres i,,j o k).

Les direccions en que pot estar conectat un node poden ser 6, aquestes han estat

nombrades com es pot veure en la figura ( Fig. 10.12). Es té un node central (i,j,k), el qual

està envoltat per sis nodes, aixó és el cas general, ja que en particular, depenent de la

posició del node en questió pot tenir també 5,4 ó 3 nodes veins .Així per exemple, per a

indicar un node inmediatament superior al (i,j,k) tant sols s’ha de pujar un pis , és a dir el

node (i,j,k+1). Aixó resulta ser una gran avantatge ja que les característiques de qualsevol

node queden establertes sabent la seva adreça (i,j,k).

Fig.10.12 Veinatge d’un node


Per a poder evaluar la conductància, és necessari disposar dels valors anteriorment

citats: (i,j,k) amb els quals el programa numèric determinarà la seva posició, contactes

amb nodes veïns i conductivitats. És per aquest motiu que s'han creat una sèrie de

funcions que ens donen aquests valors donat un valor del la situació espaial d'un node

(i,j,k). Aquestes han estat les següents.

-CONDUCT(i,j,k) : expressió que evalua el valor de la conductivitat d'un node

situat en un ninxol (i,j,k). Aquesta expressió s'evalua en una funció específica del

programa que localitza quina conductivitat està associada en aquell lloc ocupat pel

ninxol(i,j,k). Els valors que pot retornar poden ser: conductivitat de la peça superior

CONDA, conductivitat de la peça inferior CONDB, conductivitat de la interfície CONDS,

conductivitat dels forats CONDF o conductivitat de la pols CONDP.

-SUMAMP(j) : expressió que evalua el radi exterior d'un node situat a un nivell de

profunditat radial j.

El seu valor en expressió matemàtica és :

SUMAMP j AMP jn

n j

( ) ( )==

=

∑1

-AMP(j) : expressió que dona el valor d'amplada en direcció radial d'un node (i,j,k).

Aquests valors son introduits previament per l'usuari per definir la geometria de la peça.

-ALT(i) : expressió que dona el valor de l'alçada d'un node situat en un ninxol

(i,j,k).

-ANG(k) : expressió que dona el valor de l'angle o sector ocupar per a un node

(i,j,k).

Aquests últims tres valors són introduïts previament per l'usuari per a definir la geometria

de la peça i concretar la localització dels forats.

(10.13)


Un cop definides les funcions anteriors, ja es pot donar el valor de les conductàncies que

estableix un node genèric i amb els nodes que l'envolten, aquestes són : Ki1, Ki2, Ki3,

Ki4, Ki5, i Ki6:

i les seves expressions desenvolupades són :

Ki1

Ki6

Ki3

Ki5

Ki4

Ki2

)().().().,1,(2

)1(

)().().().,,(2

)(1

3

iALTkANGjSUMAMPkjiCONDUCT

jAMP


jAMPKi

+

−+

=

)().().1().,1,(2

)1(

)().().1().,,(2

)(1

1


jAMP


jAMPKi

−−

−

−+

=


)(.2)()1().,,1().(

2)1(

)(.2)()1().,,().(

2)(

15

kANGjAMPjSUMAMPkjiCONDUCTjAMP

iALT


iALTKi

+−−

−

+−

+

=

( ) ( ))()()1,,(

2)1(

2)()1(

)()(),,(2

)(2

)()1(

14

iALTjAMPkjiCONDUCT

kANGjAMPjSUMAMP

iALTjAMPkjiCONDUCT

kANGjAMPjSUMAMPKi

⋅⋅−

−+−

⋅⋅

+− ⋅+

⋅=

( ) ( )iALTjAMPkjiCONDUCT

kANGjAMPjSUMAMP

iALTjAMPkjiCONDUCT

kANGjAMPjSUMAMPKi

()()1,,(2

)1(2

)()1(

)()(),,(2

)(2

)()1(

12

⋅⋅+

++−

⋅⋅

+− ⋅+

⋅=

)(.2)()1().,,1().(

2)1(

)(.2)()1().,,().(

2)(

16


iALT


iALTKi

+−+

+

+−

+

=


10.5 ELS QUATRE MODELS Per a complementar la investigació d’aquest treball s’ha recurrit a la simulació mitjançant

el mètode numèric. S’ha creat un programa base, el qual permet simular la distribució de

temperatures assolides en el nucli del conductivímetre. Aquest programa base té quatre

variants, cadascuna d’elles respon a quatre diferents condicions de contorn. Les quatre

condicions de contorn simulen desde un conductivímetre senzill amb només aïllament

fins a un conductivímetre amb forn de guarda com el que s’ha utilitzat per a realitzar les

diferents experiencies. Aquests quatre models han estat creats per poder comparar quin

disseny és millor i extreure conclusions per a cada conductivímetre en particular.

La investigació mitjançant simulació ha estat realitzada desde dues òptiques, la

comparació i la determinació directa.

El mètode de comparació, consisteix en proveir de totes les dades necessaries al

programa de càlcul (conductivitats de peces, conductivitat de la pols, resistència

interficial, condicions de contorn...) per a determinar quines son les temperatures que

s’assoleixen en els nodes on estarien ubicats els termopars en el conductivimetre, amb la

finalitat de determinar quina és la relació de gradients entre ambdues peces. Un cop

determinada la relació de gradients es compara amb la relació de conductivitats reals

coneguda, conductivitats ja escullides a priori introduïdes al programa. Comparant

ambdós resultats se’n extreu quina és la valoració de la lambda real per a un determinat

valor de tots el paràmetres que conformen el model. Un cop fetes multituts de simulacions

variant diferents paràmetres (diàmetre de les peces, conductivitat de la pols ...) es

procedirà a analitzar quins factors influeixen més en el conductivímetre i quines

correccions es poden fer per millorar els resultats. Tot aquest procés es fa per cadascún

dels quatre models numèrics amb la finalitat de poder comparar a més a més quines són

les diferències existents per als quatre conductivímetres sota les mateixes condicions.

La gran qualitat de les imatges se simulació s’ha obtingut gràcies al refinat nivell de

discretització. Les imatges visualitzades en els quatre models representen una secció

longitudinal amb quasi un miler de punts.


En el gràfic següent (Fig.10.13) es representa la logística seguida en la metodolgia per

comparació, la finalitat de la qual es poder comparar la relació de conductivitats coneguda

a priori amb la relació de conductivitats calculada a partir del model numèric:

-λ(peça A) -λ(peça B) -λ(pols) -Tsup -Tinf -....

Valors introduits

+-[_]----------------------------- SIMUL60 ¦#include <stdio.h> ¦#include <stdlib.h> ¦#include <math.h> ¦#include <graphics.h> ¦#include <conio.h> ¦FILE * f1; ¦void main (void) ¦{ ¦ float conduct(int i,int j,int k); ¦ float sumamp(int j,double *AMP); ¦ int m,n,o,i,j,k,b,t; ¦ float ***TV; ¦ double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[ ¦ double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6;

Simulació Resultats

T1 T2 T3 T4

)4,3,2,1( TTTTfcalcB

A =λλ

%kcalc

real

B

A

B

A

=

λλλλ

realB

A

λλ

VALORACIÓ

Fig. 10.13 Valoració d’eficiència del conductivímetre


La segona metodologia que s’ha emprat en el càlcul numèric ha estat la determinació

directa de la conductivitat. Aquest mètode ha requerit modificacions del programa base.

S’ha introduït un petit algoritme, el qual a partir de les dades de les lectures dels quatre

termopars i de la conductivitat coneguda d’una de les peces calcula quina és la

conductivitat de la peça incògnita. Aquest segon mètode és explicat amb deteniment en

l’apartat 10.6 i a l’annex 1.

A continuació es presentaran els quatre programes utilitzats pel mètode de comparació.

Els quatre programes han estat provats amb diferents variables, amb la finalitat de

determinar com varia la precisió de determinació de lambda al moure els diferents

paràmetres. El programa base es fàcilment modificable per a poder simular altres

condicions de contorn a més a més dels quatre models aquí indicats.

A continuació es presenten individualment cadascun dels quatre models :


1-Conductivímetre-70 (11).

Aquest conductivímetre té la totalitat de la part superior del nucli (arena i peça) a la

mateixa temperatura (Tsup) i tota la part inferior (arena i peça a una determinada

temperatura (Tinf). Aquesta consideració físicament és traduible a que superiorment i

inferiorment es disposaria de dues peces d’alta conductivitat que forçarien ambdós

extrems de la pila a estar a una determinada temperatura constant. Aquest cas no és

exactament el que es presenta en el conductivímetre amb el qual s’ha treballat a

laboratori, però introduint dues peces s’obtindria fàcilment aquest nou prototipus de

conductivímetre.

Com es pot apreciar en la (Fig.10.14) les peces que conformen part del nucli estan

envoltades primerament per pols que actua com aïllant, que limita aquesta amb el forn de

guarda, el qual es capaç de presentar una distribució lineal de temperatures. D’altra

banda , les dues peces estan limitades superior i inferiorment per les dues plaques

metàl.liques d’alta conductivitat, plaques que hauran d’assegurar la constancia de les

temperatures en els nivells més superior i inferior.

Pols

Peça B

Peça A

Peces metàl.liques d’alta conductivitat Forn de

Guarda

Fig. 10.14


La principal característica d’aquest és que lateralment presenta un forn de guarda que

proporciona una distribució lineal de temperatures.

A continuació es presenta esquemàticament les temperatures perifèriques en el nucli en

el cas present.

El gràfic superior (Fig10.14a) representa les temperatures perifèriques que assoleix el

conductivimetre i que són la base de partida per determinar les temperatures internes. La

temperatura al llarg del cilindre que forma part del forn de guarda, la temperatura descèn

de forma lineal, aminorant així perdues laterals, les dues plaques suerior i inferior estan

cadascuna a una deterninada tempertura constant.

Aquest conductivímetre físicament estaria construït com el conductivímetre de laboratori

TCFCM peró estaria provist de dues peces metàl.liques d'alta conductivitat, una a cada

extrem de la pila

T inf

T

T T sup

Tsup

Tinf

Fig 10.14a


La simulació numèrica per a aquest cas dona distribucions de temperatures en l’interior

del nucli com les següents:

Aquesta primera representació gràfica dona informació visual prou bona per a poder

interpretar qué esta succeint a l’interior del nucli del conductivímetre. En primer lloc les

condicions de contorn forçades pel forn de guarda que força a mantenir un gradient de

temperatures lineals s’observa amb tot detall en la perifèria del gràfic. En segon lloc, la

part central està constituïda per un seguit de tres canvis de superfícies, començant desde

Zona 1 Zona 2

Zona 3

Nucli

Material A Material B

Pols

Fig. 10.14 b


la part superior (zona 1) amb una pendent lleu (material A) fins arribar a una gran pendent

(zona 2) en un petit espai (interfície) per a continuar amb una superfície (zona 3,material

B) de pendent superior a la del material A. La relació de les pendents de la zona 1 i la

zona 2 són les relacions de conductivitats entre ambdós materials. La pols està envoltant

les peces i confinada dins del forn de guarda, així, les condicions de contorn per a la pols

perifèrica és la que en dona el forn de guarda i superiorment i inferiorment a temperatura

constant gràcies a les peces que es disposen d’alta conductivitat. Es pot apreciar

perfectament com la pols actua com un amortidor tèrmic entre la distribució de

temperatures del forn de guarda i les temperatures assolides a la pila.

Per a crear el programa ha estat necessari fer una implementació a priori de les diferents

zones on les característiques de contacte són diferents per a cada zona. Aquesta

implementació s’explica amb detall a l’annex 2.


2- Conductivímetre-61 (60).

Aquest conductivímetre no té guard furnace, però lateralment té un aïllament elevat.

Aquest és un conductivímetre més senzill de disseny ja que no disposa de forn de

guarda, peró ja es preveu que si l'aillament lateral no és molt bo, els resultats poden ser

molt allunyats d'una situació ideal amb flux teòricament únicament axial. Per a la

implementació del programa s’ha soposat que en la part superior i inferior de la pols no

existeix flux de calor.

En els resultats extrets per el model numèric, donen a aquest model de conductivímetre

els pitjors resultats d’avaluació de la conductivitat. Només s’obtenen resultats bons si es

disposa d’un excelent aïllament lateral.

Peça A

Fig. 10.15

pols

Peça metàl.lica d’alta conductivitat


Aïllant

Aïllant total

Peça B

Peça A


La simulació numèrica per a aquest cas dona distribucions de temperatures en l’interior

del nucli com les següents:

Com es pot observar en aquest cas, diferentment a l’anterior, al no disposar de forn de

guarda, les altes temperatures assolides a les peces centrals es veuen bruscament

disminuides quan es surt dels límits de les peces. Es pot observar també que les

distribucions de temperatures dins del nucli són lineals, donant encara validesa a aquest

senzill conductivímetre. La bondat dels resultats d’un conductivímetre que no disposi de

forn de guarda serà funció bàsicament de la conductivitat de la pols.

Per a crear el programa ha estat necessari fer una implementació a priori de les diferents

zones on les característiques de contacte són diferents per a cada zona. Aquesta

implementació s’explica amb detall a l’annex 2.

Nucli


Pols

Fig.10.16



Aquest model està provist de forn de guarda. La pols a la part superior i inferior forma una

aillament perfecte. Aquest model de conductivímetre és el que més s'acosta al

conductivímetre TCFCM que s’ha utilitzat a laboratori. Físicament és molt semblant al

model Conductivímetre-70 , i la única diferencia existent entre els dos està en que en el

conductivímetre-50 es continua tenint aïllant tèrmic per la part superior de la pila, i no es

força a la pols a tenir una determinada temperatura en els nivells superior i inferior de la

pila, semblantment com succeix en el model numèric conductivímetre-70. Per a la

implementació del programa s’ha soposat que en la part superior i inferior de la pols no

existeix flux de calor,

En la ilustració superior s’observa esquemàticament la disposició dels diferents elements

que constitueixen el nucli.


Aïllant total

Forn de guarda

pols

Peça A

Peça B

Fig. 10.17


Per a crear el programa per obtenir la simulació ha estat necessari fer una implementació

a priori de les diferents zones on les característiques de contacte són diferents per a cada

zona. Aquesta implementació s’explica amb detall a l’annex 2.

Els resultats gràfics que presenta aquest model a partir del càlcul numèric són com els

següents :

Zona 1

Zona 2

Zona 3

Nucli


Pols

Fig. 10.18


Gràficament s’observa el forçament lineal de temperatures a que sotmet el forn de guarda

en la perifèria del nucli. Les peces estan també forçades a mantenir una certa

temperatura en els seus extrems. En aquest cas, diferentment al cas 1, no es té la pols

superior forçada a mantenir la mateixa temperatura que les peces en els seus extrems,

formant-se ara unes valls en el que abans era una distribució lineal forçada. Així mateix

es denota una transició de tempertaures suaus desde el nucli fins al forn de guarda , fet

que fa suposar que els resultats en aquest model seran satisfactoris. Al igual que els

demés models, les superfícies que representen les temperatures de les peces (zona1 i

Zona 3) presenten un comportament fortament lineal. La relació de pendents entre

ambdues serà quasi exactament la relació de conductivitats.



Aquest model de conductívimetre no té forn de guarda però està totalment aillat

(lateralment i axialment) Aquest seria en principi el conductivímetre més ideal de els

quatre modelitzats, ja que força al flux de calor a entrar per la cara superior de la peça

superior i a sortir per la cara inferior de la peça inferior. Aquesta afirmació es podrà

comparar posteriorment amb els resultats obtinguts.

En la ilustració superior (Fig.10.19) s’observa esquemàticament la disposició dels diferents

elements que constitueixen el nucli d’aquest model en concret.

Per a crear el programa per obtenir la simulació ha estat necessari fer una implementació

a priori de les diferents zones on les característiques de contacte són diferents per a cada

zona. Aquesta implementació s’explica amb detall a l’annex 2.


Peça A

Peça B

Pols

Aïll

ant t

otal

Fig. 10.19


Els resultats gràfics que presenta aquest model a partir del càlcul numèric són com el

següents

En el gràfic 10.20 es pot observar la suavitat de transició que presenten les temperatures

desde les peces fins a l’extrem de la pols. La pols externa també presenta una distribució

de temperatures molt amortida. Aquest fet és degut al aillament perfecte que presenta la

part externa. A priori es preveuen grans resultats per aquest model de conductivímetre.

Nucli


Pols

Fig.10.20


10.6 RESSOLUCIÓ PER MÈTODE DIRECTE El programa base que resol els quatre estats estacionaris dels models corresponents se li

ha introduït una modificació per aconseguir un programa que dongui una solució directa.

Els quatre programes realitzats pels quatre models consisteixen en donar tots els

paràmetres necessaris (conductivitats, geometria, consicions de contorn...) amb la finalitat

de trobar un estat estacionari final, és a dir que a partir de totes les dades

predeterminades s’obté un valor final de les temperatures del nucli. (10.13).

El que s’aconsegueix amb aquest nou programa és que a partir de les lectures de quatre

termopars i la conductivitat de la peça coneguda (dades que s’obtenen a laboratori) el

programa calcula quina a de ser la conductivitat de la peça incògnita per què realment es

tinguin les condicions de temperatura que donen els quatre termopars.

A continuació es presenta gràficament el procés directe :

El programa directe té la seva màxima utilitat per afinar directament el resultat donat per

la lectura dels quatre termopars.

La implementació del programa ha estat més laboriosa que els quatre programes de

models, sobretot perquè s’han de moure varies variables a la vegada fins aconseguir la

convergència de les dades cap als valors predeterminats de temperatures als quatre

termopars. El mètode que s’ha emprat per solucionar el sistema multivariable és

totalment propi, i el funcionament d’aquest s’explica amb tot detall a l’annex1.

-Termopar 1 -Termopar 2 -Termopar 3 -Termopar 4 -Conductivitat A

CONDUCTIVITAT B

Dades d’entrada Resultat

+-[_]------------------------ ¦#include <stdio.h> ¦#include <stdlib.h> ¦#include <math.h> ¦#include <graphics.h> ¦#include <conio.h> ¦FILE * f1; ¦void main (void)

Programa


Les aplicacions d’aquest programa són de màxima importància en el laboratori, ja que el

programa treballa amb les dades obtingudes pels termopars i la conductivitat coneguda

d’una de les peces.. La seva màxima utilitat en serà el servei a laboratoris per valorar

amb més precissió la conductivitat obtinguda a partir de la lectura dels termopars.


10.7 PRECISSIÓ D’AVALUACIÓ DE LA CONDUCTIVITAT TÈRMICA La precissió d’avaluació de la conductivitat tèrmica depèn del model de conductivímetre

utilitzat i de les condicions experimentals a que es veu sotmesa l’experiència en la

determinació de la conductivitat. Els conductivímetres provistos de forn de guarda es

perfilen com els millors candidats a donar un bon resultat de la conductivitat tèrmica. La

precissió d’avaluació de la conductivitat tèrmica depèn també de variables diferents al

disseny del propi conductivímetre, variables com la conductivitat de la pols, conductivitat

relativa de les peces, diàmetres de les peces, distribució de temperatures en els extrems

de la pila... Així doncs, aquest capítol pretén determinar quins són els paràmetres

fonamentals que prenen lloc en la determinació de la conductivitat a fi i efecte de poder

valorar quina és la seva implicació i com efecte a l’error de mesura de la conductivitat.

Per a aconseguir aquest propòsit s’ha recorrregut a fer 160 simulacions en les quals s'han

modificat les variables de les quals es volia valorar el seu efecte en el càlcul de la

conductivitat.

En primer lloc s’ha escollit una geometria genèrica com la que s’estableix a l’annex 3,

geometria realista de les condicions que es donen en peces per a conductivímetres.

En segon lloc, un cop establert el valor de cadascuna de les variables, s’ha executat el

programa corresponent i s’ha extret el valor de les temperatures on estarien situats els

quatre termopars:

T[28][1][1]

T[20][1][1]

T[12][1][1]

T[4][1][1]

Fig.10.21


A continuació s’ha determinat la relació entre el quocient d’increment de temperatures de cada

peça amb el cocient de conductivitats tèrmiques que ja són conegudes a priori:

Relació que permet saber amb quin grau de precissió es determina una conductivitat tèrmica d’una

peça desconeguda per a un determinat model sota determinades condicions geomètriques i de

contorn. Fent aquest procés amb el resultat de 160 proves s’obtenen valors d’un alt valor qualitatiu

per poder determinar quines són les principals variables que afecten al valor de estimació de la

conductivitat tèrmica.

A continuació es presenten els diferents resultats graficats obtinguts en les 160 simulacions

(annex 6) sota diferents condicions en els quatre models de conductivímetre per a cadascun dels

paràmetres que influeix en la precissió d’avaluació de la conductivitat tèrmica. S’han escullit 5

paràmetres que es perfilen com a candidats a ser variables d’alta dependència en l’estimació de la

conductivitat tèrmica, aquests han estat:

a- Apreciació de la conductivitat vs. Conductivitat de la pols. b- Apreciació de la conductivitat vs. Conductivitat de la interfície.

c- Apreciació de la conductivitat vs. diàmetre de les peces.

d- Apreciació de la conductivitat vs. relació de conductivitats. e- Apreciació de la conductivitat vs. dispersió de temperatures als extrems de les peces.

En els següents apartats es presenten el resultats obtinguts de la precissió dels quatre

conductivímetres versus les 5 variables proposades mitjançant la simulació numèrica.

100

)()(

412

2028

∗−−

ACONDBCOND

TTTT


a- Apreciació de la conductivitat vs. Conductivitat de la pols.

A priori s’intueix que la conductivitat de la pols juga un paper decisiu en la determinació

de la conductivitat tèrmica. Quan més petita sigui la conductivitat de la pols millor serà el

resultat de la valoració de la conductivitat ja que menys flux de calor escaparà de forma

radial cap a fora del nucli, fent que la majoria de flux vagi en la direcció axial i així el

procés s’acosti més al teòric de flux perfectament axial.

El gràfic obtingut a partir de les simulacions és el següent :

En el gràfic superior es confirma que quan menys conductora és la pols, més bons

resultats s’extreuen en la valoració de la conductivitat tèrmica. El model que dona millor

resultat és el model SIMUL22 , model que presentaba una aïllament total més enllà de la

pols. Els dos models que poseeixen forn de guarda (SIMUL40 i SIMUL11) també

presenten un bon comportament comparat amb el model SIMUL22 però d’inferior qualitat.

Realment per aquest tres models anteriors , fins a una conductivitat de la pols unes 20

vegades inferior a la conductivitat de les peces presenta uns resultats prou bons

d’aproximadament un 80 a 90 % de precissió. Evidentment a aquest error de

configuració termica, posteriorment s’hi haurà de sumar els errors de termopar. En quan

al model 60 que es troba desprovist de forn de guarda i el seu aillament lateral depèn

0

20

40

60

80

100

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

conductivitat pols (W/mK)

prec

issi

ó (%

)

SIM UL40

SIM UL60

SIM UL11

SIM UL22

Fig.10.22


exclusivament de la qualitat de la pols, es veu greumet afectat per un augment de la

conductivitat de la pols.

D’aquest primer apartat se n’extreu la necessitat de precisar d’una bona pols aïllant per a

la mesura de la conductivitat tèrmica , sobretot per a mesurar la conductivitat de peces

amb conductivitat molt baixa.


b- Apreciació de la conductivitat vs. Conductivitat de la interfície.

Un altre dels paràmetres que s’ha volgut estudiar ha estat la conductivitat tèrmica que

s’associa a la interfície, on existeix un fort gradient de temperatures degut al trencament

de conducció per sòlid. En principi es preveu que una disminució de la conductivitat

interficial efecti negativament al resultat de la precissió d’avaluació de la conductivitat

tèrmica, ja que suposa una resistència adicional per el flux axial, afavorint una dissipació

radial del flux de calor. D’altre banda però, com que la resistència tèrmica també depèn

del gruix associat a la interfície, i aquesta és molt petita en relació a les magnituts de les

peces, es preveu que aquest no sigui un paràmetre molt rellevant. Els resultats aportats

per als programes de simulació han estat els següents:

En els tres models (SIMUL22,SIMUL11 i SIMUL40) no existeix quasi bé cap tipus de

dependència entre el valor de la precissió de la determinació de la conductivitat tèrmica i

la conductivitat interficial. Només en el model SIMUL60 es comproba que existeix una

dependència per a conductivitats baixes de conductivitat interficial, però aquest model ja

presenta greus distorsions de la precissió a qualsevol rang, empitjorant encara més per a

conductivitats molt petites de la interfície.

Fig.10.23

82

84

86

88

90

92

94

96

98

100

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2conductivitat interficial(W/mK)

prec

isió

(%)

SIMUL40SIMUL60SIMUL11SIMUL22


c- Apreciació de la conductivitat vs. diàmetre de les peces. La grandària de les peces és un dels paràmetres importants per aconseguir una bona

apreciació de la conductivitat tèrmica, ja que és important que s’aconsegueixi un gran flux

de calor axial respecte al flux que es dissipa radialment. El flux axial flueix a través d’una

secció que és proporcional al quadrat del diámetre de la peça,en canvi el flux dissipat

radialmet creix linealment amb el diàmetre per a unes mateixes condicions, per tant un

diàmetre gran afavoreix una bona determinació de la conductivitat tèrmica.

En el gràfic superior s’observa clarament com un radi petit implica una pitjor precissió de

la conductivitat tèrmica, tot i que els conductivímetres provistos de forn de guarda i

aïllament total més enllà de la pols presenten un comportament molt millor que el

conductivímetre sense forn de guarda (SIMUL60) el qual és molt sensible a una

disminució dels diàmetres de les peces.

0102030405060708090

100

0 10 20 30 40 50 60diàm etre de la peça (mm )

Prec

issi

ó(%

)

SIM UL40SIM UL60SIM UL11SIM UL22

Fig.10.24


d- Apreciació de la conductivitat vs. relació de conductivitats.

Una de les recomanacions que es fan per l’ús del conductivímetre en els manuals és que

s’usin peces amb conductivitats tèrmiques el més semblant possibles, és a dir que per a

obtenir una bona mesura de la conductivitat tèrmica s’haurien de tenir diferents patrons

de mesura que cubrissin diferents rangs de conductivitat tèrmica, en una primera mesura

es determinaria de quin ordre és la conductivitat tèrmica d’una determinada peça i un cop

determinada la conductivitat no s'hauria de donar encara aquesta per bona, sobretot si

surt que la conductivitat de la peça incógnita és molt diferent de la peça patró. El que s’ha

de fer en un segon pas és posar novament la peça incògnita amb una peça patró de

conductivitat el més semblant a la conductivitat donada en el primer assaig, i agafar el

resultat del nou assaig com a bó. Aquesta consideració es veu reflexada en el gràfic

següent, obtingut a partir de dades de diverses simulacions :

75

80

85

90

95

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

conductivitat A(W/mK)

prec

isió

(%) SIM UL40

SIM UL60SIM UL11SIM UL22

Fig.10.25

Zona 2

Zona 1


El gràfic anterior (Fig.10.25) es veu com varia la precissió d’avaluació de la conductivitat

tèrmica de la conductivitat tèrmica quan es varia la conductivitat tèrmica d’una de les

peces. S’ha fixat la conductivitat de la peça inferior (peça B) amb un valor de 10 W/mK i

s’ha variat el valor de la conductivitat de la peça A. El resultat de la precissió es veu

efectat per dos fenòmens:

• Resistència tèrmica de la peça A.

El primer dels fenòmens afavoreix a una bona precissió de la conductivitat tèrmica quan

més gran sigui el valor de la conductivitat tèrmica, ja que quan més gran sigui aquest

menys resistència tèrmica efectuen ambdues peces i per tant afavoreixen un flux axial en

detriment d’un flux radial que és sinònim de divergència amb la hipòtesis de flux totalment

axial.

D’aquest primer punt és important tenir en compte que al actuar ambdues peces en sèrie,

la resistencia tèrmica total és la suma directa de les resistències tèrmiques parcials, i per

tant si s’augmenta molt la conductivitat tèrmica de la peça B (λB) (disminuir la resistència

tèrmica) només passa a tenir efecte global la resistència de la peça A, per tant es preveu

que per a grans conductivitats de la peça A (zona2) no es tinguin grans variacions de

precissió en la conductivitat, ja que la resistència total passa a ser funció exclusivament

de la resistència fixada (resistència B).

Restotal = Res(peça A) + Res(peça B)

Si Res(peça A) → 0 llavors: Restotal ≅ Res(peça B)

Peça

Peça B RES A

RES B

Fig.10.26


En canvi si la conductivitat de la peça A (λA) passa a ser molt més petita que la de B (λB),

és a dir s’augmenta molt la resistència tèrmica de la peça A (zona 1), es passa a tenir la

situació següent :

Restotal = Res(peça A) + Res(peça B)

Si Res(peça A) → ∝ llavors: Restotal ≅ Res(peça A)

És a dir, passa a jugar un paper important la conductivitat de la peça A, per tant es

preveuen fortes variacions de la precissió de la conductivitat en la zona de conductivitat

baixa de la peça A. (zona 2).

Aquests fets queden palesos perfectament en el (Fig.10.25) on en la zona de conductivitat

alta de A (zona 1) la variació de precissió de λ és mínima , en canvi a la zona de baixa

conductivitat (zona 2), la precissió de λ passa a ser funció fortament depenent de λA.

•Diferència de conductivitats entre les dues peces.

El segon fenomen és degut a la diferència de conductivitats entre les dues mostres. Quan

més semblants siguin ambdues mostres més precissió s’obtindrà en l’apreciació de la

conductivitat tèrmica. Aixó és degut a la simetria que s’obté en el perfil de temperatures i

en segon lloc per questió de sensibilitat, el qual té efecte si la peça patró té una

conductivitat molt més elevada que la peça mostra.

Es determina la conductivitat de la peça desconeguda A com :

λ A

λ B

A

BBA T

TTT

∆∆

= ).()( λλ

Fig. 10.27

(10.14)


La sensibilitat de la determinació de λA pot ser associada al quocient de temperatures de

l’equació anterior (10.14) Si l’increment de temperatures superior és molt més gran que

l’inferior, es tindrà que per un petit error d’avaluació de l’increment inferior existirà un error

gran en la determinació de λA.

També repercuteix en la determinació de la conductivitat una diferència elevada de

conductivitats de la següent manera :

Si es tenen conductivitats semblants es tindrà un perfil de temperatures com ara:

I si es tenen conductivitats molt diferents s’obtenen perfils com els següents :

La diferència entre els dos és clara, mentre en la (Fig.10.28) el forn de guarda fa

perfectament la seva funció intentant aconseguir una distribució de temperatures el més

semblant possibles a la pila, en el segon (Fig.10.29) cas la el forn de guarda no fa la seva

funció, i fins i tot pot agreujar la precissió de determinació de la conductivitat ja que la

temperatura del forn s’allunya notablement de la distribució de temperatures de la pila,

per tant quan es té una diferència elevada de conductivitats entre ambdues peces es

poden assolir errors importants.

λ A

λ B

Temperatura columna

Temperatura forn de guarda

λ A

λ B

Temperatura columna

Temperatura forn de guarda

Fig.10.29

Fig. 10.28


e- Apreciació de la conductivitat vs. dispersió de temperatures als extrems de les peces.

Una de les conseqüencies de la imposició de flux perfectament axial, és que la distribució

de temperatures al llarg de les peces han de formar plans isotèrmics. En un principi en la

experimentació les peces es veuen calentades per resistències elèctriques les quals

s’encarreguen de’aportar el gradient necesari per aconseguir un flux de calor a través de

les peces. Se suposa que la temperatura d’ambdues peces en els extrems amb contacte

amb les resistències són a temperatura constant.

Evidentment les temperatures als extrems de les peces no seran perfectament

isotèrmiques sinó que tindran variacions respecte als plans isotèrmics teòrics:

Superfície a temperatura constant

Fig.10.30

Fig.10.31


Mitjançant els models numèrics es pot evaluar quina és la influencia d’una distribució de

temperatures no uniforme sobre l’apreciació de la conductivitat tèrmica. A continuació es

presenta un dels resultats gràfics obtinguts per simulació (diver50), en el qual s’ha forçat

tant a la peça superior com inferior en els seus extrems a mantenir temperatures

diferents:

distorsions

distorsions

Nucli


Pols

Fig.10.32


Per a considerar aquesta influencia

sobre la precisió de determinació de la

conductivitat tèrmica, en els programes

numèrics corresponents als quatre

models s’ha optat per modificar les

temperatures als nodes superiors i

inferiors i obligar a un sector de la

superficie a tenir una temperatura i la

resta a una altre (Fig.10.33) així

s’estableix una distribució no uniforme

de temperatures i el model divergeix de

les condicions d’idealitat. S’han probat

diferents increments de temperatures

per a aquestes distribucions no

uniformes en els extrems de les peces.

En el gràfic adjunt s’observa quina distribució de temperatures s’ha utilitzat per a

estimar aquest efecte (Fig.10.33).

Els resultats obtinguts per als quatre diferents models variant el salt de temperatura

del gràfic anterior han estat els següents :

70

75

80

85

90

95

100

0 2 4 6 8 10

diferencia de Tª

Prec

issi

ó(%

)

Precissió M 40Precissió M 60Precissió M 11Precissió M 22

peces

2xDifer

Distribucions De Tª als extrems de les peces

Fig.10.33

Fig.10.34


S’observa que, evidentment quan més gran és el salt de temperatura en els extrems de

les peces, la precissió dels conductivímetres decau. Tots els models presenten una

caiguda fortament lineal fins a salts de ± 10º. La variació de precissió deguda a la

variació de distribució uniforme de temperatures en els extrems de la pila són

considerablement petits, ja que per a diferències de temperatures de ±5ºC =(10º) es

tenen variacions de precissió respecte a una superfície amb distribució uniforme de

temperatura de només un 90 ÷95 %.

Dels quatre models presentats aquí, el que té la precissió que devalla amb menys

rapidesa, és el model 40, model provist de forn de guarda .

Els valors de precissió han estat obtinguts amb els programes lleugerament modificats

dels originals. Aquests són DIVER50, DIVER61,DIVER70 i DIVER80 que corresponen al

model 40,60,11 i 22 respectivament.


10.8 ANÀLISI DE LA POTÈNCIA En aquest apartat s’analitza com varia la potència al llarg de la columna central per poder

comparar els quatre models entre si i amb la situació teòrica de flux perfectament axial

que s’hauria de donar en el cas ideal.

Per tractar la potència s’ha calculat per cada altura (i) de cada ninxol quina potència es

transmet al ninxol inmediatament inferior, i quina potència es transmet cap a la pols,

l’estudi i comparació de les potències entre els quatre models són significatives de la

qualitat de disseny de cadascun d’ells.

Discretització

Q sortida axial

AVALUACIÓ DE POTÈNCIES PER NIVELL

Q entrada axial

Q Sortida lateral

i

i+1

i-1

Fig.10.35


En el gràfic anterior (Fig.10.35) s’observen les potències que a continuació seran

analitzades. Per a un pis (i) de una de les dues peces com les del gràfic es té que per la

part superior (i+1) hi entra una potència Qentrada axial i part d’aquesta és transmesa a la

peça inferior (i-1) com a Qsortida axial. L’energia que flueix radialment per el pis (i) de la peça

s’anomena Qsortida lateral.

En estat estacionari i sense generació interna de calor, per a cada volum de control intern

que s’esculli la potència entrant ha de ser forçosament igual a la potència de sortida, per

tant s’ha de cumplir la següent igualtat :

Amb la igualtat anterior s’arriba una igualtat que lliga la potència axial amb la radial al

llarg de l’eix geomètric de les peces:

En primer lloc es defineix per a un diferencial de llesca de peça les magnituts que

intervenen en el flux de calor :

eralsortidalatalsortidaaxialentradaaxi QQQ &&& +=

dx

Qax(x+dx)

Qax(x)

Qrad(x)

x

(10.15)

Fig.10.36


D’on es pot escriure: Q x Q x dx Q xRad Ax Ax( ) ( ) ( )= + − Multiplicant i dividint per les superfícies:

AxAx

Ax

Ax

Ax

Rad

RadRad S

SxQ

SdxxQ

SxQS ⋅

−

+=⋅

)()()(

Reordenant : QS

xS

R dxQS

x dxQS

xRad

A

ax ax

( ). . .

( ) ( )= ⋅ + −

2 π

d'on :

⋅

⋅= )(

..2)(

2

xSQ

dxd

RRx

SQ

axRad ππ

s'obté que la potència dissipada per unitat de superfície radialment és proporcional a la

derivada de la potència dissipada per unitat de superfície axialment al llarg de la peça.

Si es té en compte que la direcció de la “x” és en sentit contrari al gradient establert per

fer aquesta correspondència, per definir correctament l’equació anterior, s’ha de canviar

de signe, arribant finalment a:

⋅−= )(

2)( x

SQ

dxdRx

SQ

axRad

Per al cas teòric de flux axial la potència lateral Qsortida lateral és zero. En el cas real es

tindran transferències energètiques radials. A continuació es presenten els resultats

obtinguts mitjançant la simulació numèrica per a diferents situacions de contorn i

s’analitzarà quin comportament general assoleixen cadascun dels quatre models

proposats. Per seguir les següents anàlisis, s’ha de tenir en compte que es presentaran

dos tipus de resultats, la potència axial per unitat de superficie que entra per la cara

(10.16)

(10.17)

(10.18)

(10.19)

(10.20)


superior de cada nivell i la potència radial que entra lateralment per cada node de cada

nivell, ambdós escullits en signe positiu si els fluxes entren cap l’interior de les peces.

NOTA: La distribució de temperatures s’ha accentuat respecte a la realitat, ja que el que s’intenta reflectir en el fenomen és el fet conceptual i no valors numèrics, per tant s’ha optat per la visualtzaciódels processos que tenen lloc en cada model.

Q entrada axial

Q sortida axial

Q Sortida lateral

i i+1

i-1

Definit positiu

Definit positiu

Fig.10.37 definició de signe


•MODEL 40 (SI51) El model 40 es el model numèric que simula un nucli de conductivímetre provist de forn

de guarda i aïllament tèrmic superiorment i inferiorment.

Per fer un estudi de la potència que flueix al llarg de la peça o que s’escapa per les seves

parets, s’ha procedit a evaluar aquesta mitjançant una modificació del programa SIMUL40

i creant-ne un de nou (SI51) que evalua nivell a nivell de cada peça la potència que entra

superiorment, la que surt inferiorment i la que flueix per les parets (Fig.10.35) Tant el

programa com els valors de les conductivitats com geometría de la peça surten a

l’annex 5.

Per a un model com el (10.38) provist de forn de guarda i aïllat superiorment i inferiorment

s’ha analitzat com es comporten el flux de calor al llarg de la peça, i el comportament de

aquestes és analitzat en els subapartats següents.

MODEL 40

C

B A

Fig.10.38


Potència axial en el model 40 En la gràfica (Fig.10.39) es pot obsevar un decreixement progressiu inicial de la potència

que passa per un mínim per passar a pujar seguidament. La zona A és la que correspon

a la peça superior, la potència és decreixent, aixó és degut a que les temperatures de la

peça A són superiors a les temperatures de la pols que l’envolta i per tant una part del

flux surt per les parets de la peça fet que es tradueix amb una disminució de la potència

axial a mesura que es progressa cap a la interfície. A la zona B es produeix un mínim en

la potència axial, a partir d’aquest punt es passa a la peça B on la potència passa a ser

una funció creixent degut a que a la zona C, la temperatura del voltant de les peces és

superior a la de les parets de la peça B. En consequència s’estableix un flux de calor

entrant a la peça B fet que es reflexa en la funció creixent en aquesta zona.

Potència axial

3660

3680

3700

3720

3740

3760

3780

3800

-191929 nodes

Potè

ncia

(W/m

2)

Zona A

Zona B

Zona C

Fig.10.39 Potència axial


Potència radial o lateral en el model 40 La potència lateral és aquella que surt o entra radialment per la superfície de les peces.

Quan més gran sigui aquesta, major serà la discrepància amb el model teòric de flux axial

constant. Un valor negatiu de la potència radial indica un flux de calor surtint de la peça

en direcció a la pols.

Respecte la potència lateral, aquesta pot ser evaluada de dues maneres, directament

amb els resultats del programa numèric o indirectament a partir de la potència axial, ja

que si es coneixen les potències d’entrada i sortida per cada pis,es pot mitjançant la

igualtat (10.15) obtenir el valor de la potència radial.

Així com es pot observar en la gràfica (10.40) de la potència lateral o radial es reflecteix

clarament la relació que existeix entre la derivada de la gràfica (10.39) y la gràfica (10.40).

El valor 0 s’assoleix en el punt de la gràfica de la potència axial on es troba el mínim.

En la primera part de la gràfica (10.40) presenta un valor negatiu, aixó significa que

existeix un flux de calor cap a l’exterior de la peça A, aquesta afirmació pot ser

contrastada amb la (Fig. 10.38) on efectivament les temperatures de la peça A són

Potència Lateral

-300

-200

-100

0

100

200

300

-191929nodes

Potè

ncia

(W/m

2)

Zona B

Zona C

Zona A

Fig.10.40 Potència lateral


superiors a la pols que l’envolta. A l’inrevés succeix a la zona C on les temperatures de la

peça són inferiors a la pols que l’envolta. La potència (W/m2) dissipada radialment pel

cas aquí tractat és unes 36 vegades inferior en mitjana a la potència que flueix axialment.

A continuació (Fig.10.41) es reflecteix la correspondència entre la derivada de la potència

axial y la potència radial que ja s’expresava en la identitat (10.20).

3660

3680

3700

3720

3740

3760

3780

3800

-1 9 19 29nodes

Potè

ncia

(W/m

2)

-300

-200

-100

0

100

200

300

-1 9 19 29nodes

Potè

ncia

(W/m

2)

f’’=0

f’=0

f’’=0 Potència Axial

g’=0

g=0

g’=0

Potència Radial

Fig.10.41 Relació potències axial i radial


•MODEL 60 (SI62) Aquest model és el més senzill i no està provist de forn de guarda .




superiorment, la que surt inferiorment i la que flueix per les parets (Fig.10.36) Tant els

programa com els valors de les conductivitats com geometría de la peça surten a

l’annex 5.

Per al model 60 es tenia una distribució de temperatures com la de la figura superior , el

primer fet important a és que la columna sempre està perdent calor radialment i no es té

cap punt on hi hagi una entrada de potència, aquest fet es veu clarament representat en

les gràfiques que analitzen les potències axials i radials al llarg de l’eix de la columna.

MODEL 60

Fig. 10.42 Model sense forn de guarda


Potència axial en el model 60

En primer lloc a la gràfica (10.43) es reflecteix clarament la afirmació anterior ja que la

potència axial al llarg de la peça decreix continuament, desde els nodes superiors (30)

fins a nodes inferiors (1). La pendent sempre és negativa (tenint en compte la situació

decreixent dels nodes), amb el clar significat que en cap zona de la geometria de la

columna hi ha una aportació de calor “cap dins d’ella”.

La potència axial manté sempre el mateix signe, fet evidencial que corrobora el fet que el

flux de calor de la columna central sempre flueix cap a l’exterior, no havent-hi cap punt de

la perifèria de la columna central que tingui la temperatura inferior a la pols que l’envolta

fet que es comprova en la distribució de temperatures tridimensional (Fig.10.42).

Potència Axial

340035003600370038003900400041004200

0102030

nodes

Potè

ncia

(W/m

2)

Fig.10.43 potència axial del model sense forn de guarda.


Potència radial o lateral en el model 60

La potència (W/m2) dissipada radialment (absolutament) pel cas aquí tractat és unes 14

vegades inferior en mitjana a la potència que flueix axialment (absolutament), clarament

molt inferior al model anteriorment analitzat, fet que demostra la inferior qualitat d’aquest

conductivímetre.

A l’inici del gráfic es té un decrement continuat de la potència que surt lateralment per la

columna. Aquest fet és degut evidentment al increment de diferències de temperatura

entre la peça i la pols que l’envolta. En la zona de la interfície hi ha un salt qualitatiu de

canvi substancial del flux dissipat lateralment, existeix un fort salt cap a una pèrdua

d’energia lateral més petita, fenomen degut al decrement de la temperatura entre la

columna i la pols a partir de la interfície.

Potència Lateral

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

0102030

nodes

Potè

ncia

(W/m

2)Fig.10.44 potència radial del model sense forn de guarda.


•MODEL 11 (SI70) Aquest model estava provist de forn de guarda i forçava tant als extrems com a la pols

extremes a mantenir una temperatura constant.





programa com els valors de les conductivitats com geometría de la peça es poden

consultar a l’annex 5.

La distribució de temperatures donades per aquest model era com la següent :

Per a aquesta distribució de temperatures s’ha obtingut la següent distribució de

potències com les que es presentaran en l’apartat següent.

MODEL 11

Fig.10.45 potència radial del model amb forn de guarda


Potència axial en el model 11 En quan a la potència axial s’observa un comportament similar al del model 40,

únicament destacar que el rang de potència al llarg de la columna és més petit, degut

principalment al forçament a la pols a mantenir superiorment i inferiorment una

temperatura igual a la columna en els seus extrems.

Potència radial o lateral en el model 11 En quan al comportament de la potència radial, aquest és també similar al comportament

del model 40.

Potència Axial

3660

3680

3700

3720

3740

3760

3780

0102030

nodes

Potè

ncia

(W/m

2)

Fig.10.46

Fig.10.47

Potència Lateral

-300

-200

-100

0

100

200

300

0102030

nodes

Potè

ncia

(W/m

2)

Potència Lateral


• MODEL 22 (SI81) Aquest model estava provist d’aïllament total més enllà de la pols que recubreix la

columna central així com als extrems superiors i inferiors.





programa com els valors de les conductivitats com geometría de la peça es poden

consultar a l’annex 5.

La distribució de temperatures donades per aquest model era com la següent :

A continuació es presenta el comportament de les potències axials i radials al llarg de la peça.

MODEL 22

Fig. 10.48


Potència axial en el model 22 El comportament de la potència axial en aquest model també presenta un comportament

similar als models 11 i 40, on a la part superior de la peça existeix una diferencia de

temperatura entre la peça i la pols que va disminuint progressivament cap a les parts

inferiors, arribant a un mínim en la zona de la interfície per tornar a crèixer a continuació,

fenomen que es compren perfectament si s’observa el gràfic 3D de la distribució de

temperatures (Fig.10.48).

Potència Axial

364036603680370037203740376037803800

0102030

nodes

Potè

ncia

(W/m

2)

Fig. 10.49


Potència radial en el model 22 La potència axial evidentment també té un comportament semblat als models 11 i 40 on

la peça superior está perdent flux lateral de calor i la inferior n’ está rebent.

Potencia lateral

-300

-200

-100

0

100

200

300

0102030

nodes

Potè

ncia

(W/m

2)

Fig. 10.50


Una vegada ja analitzats els quatre models de conductivímetre, si es comparan els fluxes

mitjans de potència axial amb els fluxes mitjans de potència radial, s’obté un coeficient

estimatiu de la relació entre les dues transferències.

∑

∑=

=

=

== 30

1

30

1

_/_

_/_

n

n

n

n

radialÀrearadialPotència

axialÀreaaxialPotènciaCoef

Quan més gran sigui aquest coeficient, millor serà en principi la qualitat del disseny del

conductivímetre, ja que serà indicatiu de que la potència majoritariament flueix en sentit

axial i les pèrdues laterals són mínimes.

Per a cadascun dels quatre conductivímetres s’han valorat aquests coeficients, els valors

dels quals són :

Per al model 40 Coef =36,82




Per tant, a priori es pot preveure que els models 22 y 40 tenen un disseny amb el que

s’aconsegueix una apreciació de la conductivitat tèrmica similar. El model 11 dona el

millor resultat , per tant sembla ser que aquest serà el model candidat a donar els millors

resultats d’avaluació de conductivitat tèrmica. Els coeficient del model 60 dona a aquest

el pitjor coeficient, evidenciant el que ja se suposava a priori, ja que aquest model és el

més senzill.

(10.21)


Comparativa gràfica dels diferents coeficients per als diferents models.

SI51 SI62 SI71 SI81S1

0

20

40

60

MODEL 40 MODEL 22

MODEL 60 MODEL 11


10.9 CONCLUSIONS Un cop analitzat el comportament de la precissió de la determinació de la conductivitat

enfront de diferents variables i del comportament de les potències per als diferents

models, es poden treure conclusions respecte als efectes de les variables i a la qualitat

dels diferents models de conductivímetres. A continuació es presenten resumits els

resultats gràfics del capítol 9.7.1.

En quan a la precissió d’avaluació s’havien obtingut les següents gràfiques:

0

20

40

60

80

100

0 0,5 1 1,5conductivitat pols

prec

issi

ó

828486889092949698

100

0 0,5 1 1,5 2 2,5conductivitat interficial

prec

issi

ó

0

20

40

60

80

100

0 20 40 60diàmetre de la peça (mm)

Prec

issi

ó

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

1 0 0

0 1 0 2 0 3 0 40 50 6 0 7 0 8 0 9 0 1 00c o n d u c ti v it a t A

prec

issi

ó

70

75

80

85

90

95

100

0 2 4 6 8 10

diferencia de Tª

Prec

issi

ó

SIM UL40SIM UL60SIM UL11SIM UL22

Fig.10.51 Fig.10.52

Fig.10.53 Fig.10.54

Fig.10.55


Les conclusions a que s’arriba després d’analitzar els gràfics anteriors són:

1- L’ aíllament de la pols garanteix una bona apreciació de la conductivitat de la peça

sempre que la conductivitat de la pols sigui d’un ordre de unes 20 vegades inferior a

la de les peces de la columna. Fig.10.51.

2- El diàmetre de les peces de la columna ha de ser el més gran possible a fi i efecte de

donar protagonisme al flux que flueix axialment enfront del flux lateral de calor. Fig.10.52.

3- El salt de temperatura que es produeix en la interfície es irrellevant per al càlcul de la

conductivitat tèrmica Fig.10.53.

4- Les conductivitats de la peça mostra i de la peça incógnita han de ser el més

semblant possibles per aconseguir un resultat òptim. Aquest fet influirà en la

metodologia per a l’obtenció de la conductivitat tèrmica .Fig.10.54.

5- Un distribució de temperatures no uniforme en els extrems de la pila no agreuja

notablament el resultat de la apreciació de la conductivitat tèrmica. Fig.10.55.

6- El millor model és el que presenta aïllament total a partir de la pols que envolta la pila,

aquest és però un cas teòric per referenciar la bondat dels resultats dels altres models

de conductivímetre.

7- Els millors models reals són els que estan provistos de forn de guarda, amb resultats

molt allunyats del model sense forn de guarda el qual difícilment sobrepassa el 80%

d’efectivitat en la mesura de la conductivitat en el millor dels casos.

Aquest resultats donen el camí per a obtenir una millor precissió de la conductivitat

tèrmica. Existeixen però altres variables que no poden ser valorades numèricament i que

afecten d’una manera molt important a la determinació de la conductivitat com és per

exemple la precissió dels termopars o la posició exacte dels termopars. Posteriorment

s’analitzara en el capítol 4 la influència de tots els paràmetres que influeixen en la

valoració de la conductivitat a part dels aquí estudiats per tenir en compte tots els efectes

possibles.


289

Capítol 11 Crítica i proposta de millores

11.1 Crítica a la metodologia actual 11.2 Proposta de millors 11.2.1 Referenciació In situ 11.2.2 Canvi de dimensions de les mostres 11.2.3 Aplicacions de factors de correcció 11.3 Altres millores secundàries 11.4 Estructura final en el procediment


290

11. CRÍTICA I PROPOSTA DE MILLORES

11.1 CRÍTICA A LA METODOLOGIA ACTUAL

L’experimentació realitzada fa constatable el fet que el criteri establert pel fabricant del

Conductivímetre per a donar com a bona una mesura és erroni, i no proporcional. Aquest

criteri consisteix en que si els dos fluxos calculats en les peces mostres conegudes no

difereixen més d’un 20% podem donar com a satisfactòria l’experimentació realitzada.

Aquest fet, a més de ser incorrecte, ja que s’han donat els dos casos inversos, no és ni

proporcional per les dues causes següents:

• Una experimentació A en que els fluxos difereixin menys que una experimentació B

no significa que el valor estimat per a la conductivitat en l’experimentació A tingui major

índex de confiança que el trobat en l’experimentació B.

• El fet que dos fluxos siguin més o menys iguals depén dels errors que provoquen els

termoparells, que si bé són sempre del mateix ordre, afecten relativament més o menys

depenent dels tamany dels gradients que mesuren. I que els gradients siguin més o

menys grans depén (si sempre tendim a fer experimentacions amb el major gradient

possible) de les difusivitats dels materials que conformen la pila central. Per tant,

depenent d’aquesta propietat tèrmica tindrem experimentacions més o menys

satisfactòries, que aleatòriament podran donar resultats correctes, però no fiables. Però

la qualitat de l’experimentació no haurà depengut només de la traça de

l’experimentador, ni de la correcta alineació de les mostres.

La manca de fiabilitat demostrada en el procés actual, fa que sigui necessària l’aplicació

de millores. Les directrius marcades en aquest Projecte fan que el procés sigui més

fiable, però elimina degut a les limitacions geomètriques el criteri d’èxit en

l’experimentació realitzada, essent necessari el control i manteniment eventual dels

elements que conformen el dispositiu de mesura: termoparells, forn de guarda,

resistències.

El procediment proposat no dificulta excesivament l’experimentació, ja que el muntatge

del dispositiu es manté igual, i només cal corregir les temperatures de control per fer la


291

referenciació In Situ. I si l’experimentador vol, pot aplicar la simulació numèrica via

computadora introduïnt les temperatures corregides per a obtenir el valor de la

conductivitat cercada, o bé aplicar els factors de correcció facilitats per les taules segons

especificacions de diàmetres de peces, diferència entre conductivitats i d’altres

paràmetres de disseny.

Fig. 11.1 Esquema del procediment actual

Antic procediment

1- Experimentació

2- Aplicació teoria placa plana

3- Resultats

Lectures Conductivímetre

2

222

1

111 ....

xTA

xTA

∆∆

=∆∆

λλ

Flux unidireccional Equació simplificada

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

-400 -200 0 200 400 600 800 1000 1200

Temperature(C)


292

Es detalla a continuació la sèrie de millores proposades en el nou procediment de treball

per al conductivímetre TCFCM - N20, i que poden ser aplicables a d’altres

conductivímetres de tipologia semblant.

11.2 PROPOSTA DE MILLORES

Les millores bàsiques que proposa aquest Projecte es fonamenten en 3 canvis; dos de

metodologia, i un de caràcter geomètric:

a) Referenciació In Situ

b) Canvi de dimensions de mostres

c) Aplicacions de factors de correcció facilitats per la simulació numèrica

11.2.1 REFERENCIACIÓ IN SITU

Tal i com en l’experimentació (Capítol 8) s’ha demostrat que la causa fonamental de

dispersió en els resultats vé donada pels termoparells, el comportament del qual (error

sistemàtic) varia en diferentes condicions: al doblar-se, a l’estar en un camp de

temperatures diferents, i altres factors no controlables com expliquen els manuals dels

proveïdors de termoparells.

Els errors que presentaven parells de termopars en diferents experiències eren prou

grans com per no prendre les característiques de cada termopar com a constants per a

diferents situacions.

Com exemple es presenten aquests dos gràfics (Fig. 11.2), representatius dels resultat

obtinguts que ens mostren com per a mateixes condicions, s'obtenen resultats diferents :


293

Característica en exper. 1

150170190210230250270290310

1 2

term opar

tem

pera

tura

(ter

mop

ar)

Característica en exper. 2

150

170

190

210

230

250

270

290

310

1 2

term opar

tem

pera

tura

(ter

mop

ar)

Fig. 11.2 Comportament dels termoparells en dues experiències diferents

La solució aportada a aquesta mancança de constancia de les característiques de cada

termopar va ser la referenciació in situ. aquesta solució proposa prendre nota de les

lectures dels termopars a una mateixa temperatura cada uns 100 º C durant

l'enregistrament de dades.


294

Com exemple , suposem que volem conèixer la conductivitat de un material entre 75 ºC i

400 ºC. La operativa a seguir és la següent.

1- Posem el controlador PID main i el PID aux a 50 ºC. un cop estabilitzats prenem nota

de tots els termopars de la columna.

2- Posem el PID main a 100 ºC , un cop estabilitzats els termopars prenem dades de tots

els termopars de la columna.

3- Anem incrementant al la vegada en 10 ºC els dos PID fins que el PID aux arriba a

100 ºC.

4- Posem el PID main a 100 º C, prenem nota de totes les lectures.

5- Posem el PID main a 160 ºC i l'aux a 110 , un cop estabilitzat prenem nota.

6- S'incrementa cada PID en 10 ºC i es va prenen nota dels resultats fins que el PID aux

arriba a 200 ºC.

7- Col.loquem tots els PID a 200 ºC

8- ...

0

50

100

150

200

250

300

350

0 10 20 30estats

tem

pera

tura PID aux

PID main

Fig. 11.3 Evolució de les dades a introduir en els PID


295

(cal tenir en compte que els PID del forn de guarda també han d'evolucionar

paral·lelament amb el PID Main i PID Aux).

Evidentment, cadascuna de les mesures dels termopars en cada fase sense increment de

temperatura (els dos termopars a la mateixa temperatura) servirà posteriorment per al

tractament de les dades obtingudes.

Suposem que en la mesura de temperatures a 200 ºC (sense increment) i els resultats

per a cada termopar han estat els següents:

TC1 = 199 ºC TC4 = 203 ºC

TC2 = 200 ºC TC5 = 202 ºC

TC3 = 198 ºC TC6 = 198 ºC

gràficament,

195

196

197

198

199

200

201

202

203

1 2 3 4 5 6term opar nº

Tem

pera

tura

Fig. 11.4 Apariència gràfica dels resultats obtinguts en els termoparells

A partir d'aquestes dades es calcula les diferències de lectura enfront d'un termopar

qualsevol, en el nostre cas triem el termopar 1. Ens interessen doncs les diferències de

temperatura envers el primer termopar, aquestes diferències corregiran posteriors

lectures que es faran en el mateix muntatge.

TC1


296

Les diferències de temperatura referides al termoparell 1,

195

196

197

198

199

200

201

202

203

1 2 3 4 5 6term opar nº

Tem

pera

tura

Fig. 11.5 Referenciació de temperatures amb el mètode In Situ

Posteriorment es fa una altre referenciació a temperatures més elevades, suposem que

les dades obtingudes són les següents :

TC1 = 300 ºC TC4 = 300 ºC

TC2 = 302 ºC TC5 = 304 ºC

TC3 = 298 ºC TC6 = 296 ºC

Fent també una referenciació in situ dels resultats s'obté la següent gràfica :

e3

e2 e1 e4 e5

e6


297

294

295

296

297

298

299

300

301

302

303

304

1 2 3 4 5 6

termopar nº

Tem

pera

tura

Fig. 11.5 Referenciació seguint el mètode In Situ dels termoparells

En una representació gràfica de les diferències de temperatura :

t1 t2 t3 t4 t5 t6-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Incr

emen

t T

t1 t2 t3 t4 t5 t6

termopar nº

Serie1Serie2

Fig. 11.7 Desviacions dels termoparells en dues situacions isotermes diferents

e1'

e2'

e3'

e4'

e5'

e6'


298

On la sèrie 1 son les diferències de temperatura referent al termopar 1 a 200 ºC i la sèrie

2 a 300 º C. Com es pot comprovar en aquest exemple explicatiu, les diferències relatives

dels termopars no es mantenen constants, per tant caldrà interpolar per a modificar els

valors de les experiències fetes. Una regressió lineal és més que suficient per aquest

propòsit, ja que realment les diferències varien molt lentament amb la temperatura.

Un cop es tenen els valors de diferències de temperatura a dues temperatures donades

es poden utilitzar aquestes per a determinar el valor de la conductivitat a qualsevol

temperatura entre aquestes.

Siguin e1,e2,e3,e4,e5 i s6 les diferències de temperatures (ei=Ti-T1) referents al

termopar 1 a temperatura T1 és a dir, i siguin e1',e2'e3',e4',e5' i e6' les diferències de

temperatures (ei'=Ti'-T2) referents al termopar 1 a temperatura T2. Llavors, per a

qualsevol temperatura entre T1 i T2 podem modificar la lectura de quasevol termopar per

ternir una precisió més elevada dels increments.

11.2.2 CANVI DE DIMENSIONS DE LES MOSTRES

L’estudi encaminava al principi a l’engrandiment de les peces, per tal de poder obtenir

gradients més grans en les peces i disminuir l’error relatiu que provocaven els

termoparells. Això representava el condicionant de tenir dues peces, que com hem vist,

elimina el criteri d’èxit de l’experimentació, però que degut a la seva poca fiabilitat és

admissible. Per unaltra banda, s’elimina una interfície de contacte entre les mostres, fet

que elimina resistència tèrmica i afavoreix un flux lineal per la pila central encara més

gran.

Primerament es va pensar en eliminar dràsticament la resistència inferior, per tal de

guanyar aquests 35 milímetres de gruix que tenen, però això provocava la limitació en les

temperatures d’experimentació, ja que no es podien escalfar les mostres a la temperatura

que volguèssim. A més, el mètode In Situ que necessita d’una experimentació isoterma

no seria viable si s’eliminés aquesta resistència inferior. Una solució de compromís, és


299

doncs, mantenir aquesta resistència inferior i tenir limitada la pila central per la geometria

del conductivímetre actual (és a dir, entre el TC7 i el TC15 del forn de guarda). És podrien

adquirir resistències més primes de característiques eléctriques similars, però no es

guanyaria molta més longitud en les mostres.

La longitud a vegades pot venir determinada, ja que en la nostra recerca de barres de

diversos materials per a experimentar, sovint no era disponible tenir-les de diàmetres i

longituds desitjats. De totes maneres, i seguint amb el criteri per a obtenir el millor resultat

en les experimentacions, tot i les limitacions geomètriques de que disposem, facilitem el

tamany ideal de les mostres:

Fig. 11.8 Dimensions ideals de les mostres

3,75

50

1,7

44,5


300

11.2.3 APLICACIONS DE FACTORS DE CORRECCIÓ

En el Capítol 10, s’han vist les dispersions que existeixen en els fluxos, depenent dels

diàmetres de les mostres, així com la relació entre les conductivitats de les peces, entre

d’altres. Aquestes variacions en els fluxos determinen factors de relació, que si

s’implementen en els resultats experimentals, han de corregir el valor estimat per a la

conductivitat.

Els resultats obtinguts en les 160 simulacions han permés elaborar un seguit de taules

que mostren les desviaciones dels diferents conductivímetres simultats respecte el

conductivímetre ideal de flux perfectament axial. Per tant, a priori ja es pot observar en

quina zona de les gràfiques queda ubicat el nostre experiment, tant sols cal triar el tipus

de conductivímetre més adient.

Un ús d’aquestes taules està destinat a rectificar els valors de la conductivitat una vegada

ja ha estat aquesta filtrada pel Mètode In Situ.

Per a obtenir un resultat el més acurat possible s’ha desenvolupat el programa LUMIS2.C

el qual, a partir de la tipologia del conductivímetre, dades extretes en les lectures dels

termoparells, geometria i dimensions de les peces, és capaç de trobar quina ha de ser la

conductivitat de la peça incògnita per a que es donguin les condicions de contorn que ens

donen les temperatures dels termoparells. Aquest programa és de gran utilitat ja que

permet fer directament les correccions sense necessitat d’acudir a les taules, és a dir,

permet una ressolució totalment personalitzada per a cada tipus de conductivímetre i

característiques geomètriques de les peces.

11.3 ALTRES MILLORES SECUNDÀRIES

S’han cercat dues millores addicionals, que no s’encaminen en l’objectiu propi del

Projecte de millora en la precisió de resultats experimentals. Una té caràcter merament

mediambiental, i l’altra si que pot afavorir el mètode actual de mesura experimental, però

amb la referenciació In Situ perd efectivitat.


301

Instal·lació de refrigedadora d’aigua industrial

La primera millora consisteix en la instal·lació d’una refrigedadora d’aigua industrial. Si el

usuari responsable del conductivímetre ha de fer un ús intensiu de l’aparell, la quantitat

d’aigua que es perd és considerable, ja que actualment s’agafa aigua de la xarxa, es fa

passar pel conductivímetre per afavorir el flux i posteriorment s’evacua l’aigua sense cap

mena de contaminació. Si una experimentació (per trobar només la conductivitat a una

temperatura concreta) dura al voltant de 2 hores, amb un cabal mesurat de 6 l/min s’obté

un consum de 720 litres per experiment. Si s’analitza un material a diferents

temperatures, fent les referenciacions corresponents, la quantitat d’aigua llençada és

excesiva.

Per a esmenar aquest problema, es proposa la instal·lació d’una refrigedadora d’aigua

industrial, que amb una recirculació de l’aigua, i evitant que la temperatura del refrigerant

vagi augmentant, s’obté un estalvi en el consum de l’aigua. Aquestes refrigedadores

permeten a més, aconseguir temperatures un xic més fredes que les que es poden

obtenir directament de la xarxa, afavorint tenir un flux més lineal al llarg de la pila central, i

fent crèixer els gradients de temperatura a mesurar.

Un dels fets que també serveixen per a la crítica pròpia del conductivímetre, és que el

refrigerant d’entrada (aigua) és conduit primerament cap al Forn de Guarda, per a

mantenir en aquest dispositiu el gradient desitjat. El refrigerant passa posteriorment per la

zona inferior del nucli central (mostres), quan aquest refrigerant ja ha estat escalfat,

encara que mínimament, ja que la temperatura de sortida del refrigerant i la d’entrada són

pràcticament constants, degut al cabal important d’aigua que hi circula. Malgrat tot, es

troba més lógic que el refrigerant passés primerament per la zona inferior de la pila

central, per tal d’afavorir el gradient maximal en aquest nucli, i posteriorment passés al

Forn de Guarda. Això és pot aconseguir canviant els tubs d’entrada i sortida en el

conductivímetre.


302

Ús de termoparells de lectura doble

Un dels fabricants més importants a nivell mundial d’elements de mesura i control de

variables termofísiques (OMEGA) mostra en un dels seus catàlegs sol·licitats, un tipus de

termoparell amb camisa, semblant als d’us actual, que tenen dos connectors de lectura,

ja que en la punta hi han dues unions termopàriques diferents. És a dir, que en un punt

local hi tenim dues unions, dos termoparells, obtenint dues lectures, a partir de les quals

es pot obtenir una mitjana, que estadísticament parlant , dóna una dispersió menor que

cadascuna de les lectures per separat.

Aquesta millora perd efectivitat quan apliquem la referenciació In Situ, ja que de dues

lectures s’aplicarien factors de referenciació diferents i obtindríem dues lectures

referenciades iguals en el mateix punt.

Només té sentit aquesta aplicació si no es vol aplicar la referenciació proposada en el

Projecte, que per altra banda, es demostra necessària per a l’obtenció de resultats més

fiables.


303

11.4 ESTRUCTURA FINAL EN EL PROCEDIMENT

1-Referenciació in situ

2- Experimentació

Lectures Conductivímetre

3- Aplicació mètodes numèrics

4- Resultats

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

-400 -200 0 200 400 600 800 1000 1200

Temperature(C)

Simulació 1 5 9

13S1

S11

S21

S31

340

350

360

370

380

390

400

Correcció

Nou procediment


305

Annexes

1. Càlcul directe 2. Els quatre models 3. Geometria bàsica utilitzada 4. Demostració potència 5. Càlcul de potències 6. Resultats 7. Importància de la conducció, convecció i radiació en les interfícies 8. Tipologies d’aïllament 9. Gràfiques de conductivitats 10. Fulles de control d’experimentació 11. Fotografies


306


ANNEX 1. CÀLCUL DIRECTE. En aquest annex es detalla com ha estat confeccionat el programa que resol per mètode

directe la conductivitat d’una peça mitjançant la simulació numèrica. La base del

programa és la mateixa que la dels quatre programes que resolen cadascún dels models,

s’ha introduït però una petita rutina interna que calcula certes variables (conductivitat,

resistencia interficial i temperatures extremes) per a que es donguin quatre temperatures

donades a cadascun dels quatre termopars. Aquest programa requereix una metodologia

de treball diferent al programa base, ja que a part de que el programa a de trobar la

solució per a un estat estacionari, a la vegada a de recalcular quatre paràmetres per què

es donguin certes condicions que s’exigeixen a priori (quatre temperatures + conductivitat

de la peça coneguda). El nom del programa és LUMIS2.C.

Els inputs de referència del programa, a part evidentment de les condicions de contorn

per a aquest programa, són els següents :

T1- Temperatura assolida al termopar 1




Els inputs fixats del programa són:

CONDA- Conductivitat de la peça coneguda

Inputs modificables dins del programa per assolir condicions predeterminades :

CONDB- Conductivitat de la peça incògnita

CONDS- Conductivitat interficial

TSUP- Temperatura de la part superior de la peça A.

TINF- Temperatura de la part inferior de la peça B.

L’objectiu és determinar quina conductivitat de la peça B farà que es compleixin les

condicions T1,T2,T3 i T4 en els punts del model numèric on es capten en el

conductivímetre de laboratori les quatre lectures de termopar.. A més encara falten tres


variables per a fixar i tenir un sistema determinat, aquestes són: la conductivitat interficial,

la temperatura superior de la peça A i la temperatura inferior de la peça B, que realment,

el que s’aconsegueix és donar les condicions de contorn al limit de les peces i tancar

l’àrea de control i. En el capítol 10 es representa la implementació bàsica del programa

LUMIS2 on primerament s’introdueixen els valor sabut a priori de la peça amb

conductivitat coneguda i els valors de referència de temperatura a quatre punts del model

numèric, els quals són la referència per establir com de proper es troba el programa per

determinar les condicions que fan possibles aquestes quatre temperatures. S’introdueixen

també al programa les variables que seran modificades al llarg del programa per assolir

les condicions predeterminades, aquestes variables s’introdueixen amb un valor estimatiu

el més proper possible al real, aquest valors estimats a priori es troben analitzant quins

valors tindrien en cas de tenir el cas de flux perfectament axial amb geometria cil.líndrica.

Aquests valors són: CONDB, CONDS, TSUP i TINF.

amb aquestes dades es procedeix a fer una estimació dels quatre paràmetres i a

continuació es calcula l’estat estacionari per aquests valors. En el resultat de l’estacionari

es comparen les temperatures assolides en les quatre posicions del model numèric on es

captaria en realitat la temperatura dels quatre termopars amb les temperatures reals que

s’han obtingut a laboratori, si coincideixen, ja s’ha trobat la solució de la conductivitat

buscada, si no coincideixen els valors, s’ha de procedir a recalcular els valors dels quatre

paràmetres paràmetres, i així succesivament fins a la convergència final. Per assegurar la

convergència d’una forma més ràpida s’ha seccionat el programa en tres parts, la primera

part no canvia el valor de cap de les quatre variables, i es limita a cercar l’estat

estacionari per a les condicions inicials. Per aquesta primera part es destinen 1400

iteracions. La segona part del programa ja entra en acció el mètode convergent per trobar

quins valors de TSUP, TINF,CONDS i CONDB donen els valors buscats a priori. En

aquesta fase s’hi accedeix quan ja han trsnscorregut 1440 iteracions, però només es té

accés a modificar els valors de TSUP, TINF,CONDS i CONDB una vegada de cada 100

iteracions per assegurar la convergència, ja que del contrari el sistema es pot tornar

inestable. En aquesta segona fase la rapidesa de convergència és rapida, i les

temperatures de Tdup i Tinf es varien 0.02º cada vegada mentre que les conductivitats es

varien un 0.05 %. Aquesta fase està continguda desde la iteració 1400 fins a la 30000, i

els paràmetres son variats una de cada cent iteracions, el que suposa que hauran estat

modificades 286 vegades cadascuna de les qutre variables. El el tercer i últim pas el que


es fa és afinar el valor d’aquestes quatre variables, per tant es baixa el valor d’increment

a cadascun dels passos. Les temperatures TSUP i TINF es veuen variades 0.0005º i les

conductivitats CONDS i CONDB es varien a cada iteració un 0.01 %. Aquesta tercera

fase es realitza desde la iteració 30000 fins a la 60000. Les quatre variables en aquesta

fase només son variades una de cada 200 iteracions, el que suposa 150 variacions en

total de les quatre variables en aquest darrer pas. La variació de les variables cada 200

iteracions es fa així per què es garanteix la estabilitat al programa,. El nombre d’iteracions

per a cada fase han estat escollits a través de l’experiència adquirida a través de l’us del

programa .


Estructuració del programa LUMIS2 Per accelerar la convergència s’ha procedit a fer una estimació de quins serien els valors

de les variables buscades en el cas teòric de tenir una distribució lineal de temperatures a

Tsup- Temp. sup. pila Tinf - Temp. Inf pila Cond B- Conduc. Peça desconeguda Cond S- Conduc. Interf.

Variables a establir





Condicions a complir

Valoració de Tsup, Tinf, CondB,CondS

Càlcul de l’estat ESTACIONARI

CondB- conductivitat peça desconeguda

CondS- conductivitat interficial

Tinf- T inferior peça B

Tsup – T superior peça A

Comparar T1,T2,T3,T4

Rec

alcu

lar


la columna. Es presenta a continuació una gràfica per identificar cadascuna de les

variables introduïdes fins aquí.

Geometria de la peça :

Els inputs són : T1,T2,T3,T4 i CONDA i les variables a determinar són Tsup, Tinf,CONDS

i CONDB. Les variables a determinar poden ser primerament precalculades per alleugir

iteracions al programa, el valor que es donarà a cada variable serà el que tindria si es

donés flux perfectament axial.

T1

T2

T3

T4

Peça A

Interfície

Peça B

T1

T4

T3

T2

T

d d

f

X

s

d


El càlcul dona que per la geometria i temperatures donades, el valors de Tsup,

Tinf,CONDS i CONDB serien en el cas de flux perfectament axial :

Amb aquest quatre valors s’inicialitzaran les quatre variables en el programa LUMIS2, a

partir d’aquí s’aniran ajustant fins aconseguir els valors predeterminats de temperatura en

els quatre termopars, la metodologia per aconseguir aquesta convergència cap al valor

real de les quatre variables a estat pròpia i a consistint en la següent metodologia:

)43()21(

TTTTCONDACONDB

−−

⋅=

dsdd

TTsd

TTTT

fTTCONDACONDS⋅

+⋅

−

−⋅−

+−

⋅−=

)(213431

)21(.

sd

TTTTSUP ⋅

−

+=211

sd

TTTTINF ⋅

−

−=434


La distribució real de temperatures que s’assoleix en qualsevol de les iteracions, fa que

per cada peça, les possibilitats de distribució de temperatures respecte a les exigides

puguin ser quatre:

Per a la peça A

CAS 1)

CAS 2)

T

T1

T2

T

T1

T2


CAS 3)

CAS 4)

T1 i t2 en qualsevol del quatre casos anetriors representen les temperatures a que es

desitja que es trobin dos punts determinats del model numèric. Per exemple en el cas 1

es troba la temperatura en el model numèric per sota del valor exigit T1 i per sobre en el

cas del valor T2 exigit. Per tant, quan es dona aquest cas s’han de modificar els

paràmetres TSUP, TINF CONDS i CONDB perqué la distribució de temperatures en el

model numèric baixi cap a T1 i pugi cap a T2.

T T1

T2

T

T1

T2


Els quatre casos que s’acaben de representar són les quatre possibilitats de distribució

de temperatures dels dos termopars:

Valor

requerit

Valor

numèric

Valor

requerit

Valor

numèric

Condició cas Efecte

sobre

LUMIS2

(T1) TV[28][1][1] (T2) TV[20][1][1] TV[28][1][1]>T1

TV[20][1][1]<T2

CAS1 Tsup↓

CONDS↓

(T1) TV[28][1][1] (T2) TV[20][1][1] TV[28][1][1]<T1

TV[20][1][1]>T2

CAS2 Tsup↑

CONDS↑

(T1) TV[28][1][1] (T2) TV[20][1][1] TV[28][1][1]>T1

TV[20][1][1]>T2

CAS3 Tsup↓

CONDS↓

(T1) TV[28][1][1] (T2) TV[20][1][1] TV[28][1][1]<T1

TV[20][1][1]<T2

CAS4 Tsup↑

CONDS↓

La taula anterior dona les possibles combinacións de temperatures que es poden donar

entre la temperatura exigida i la temperatura assolida a l’estat estacionari. La temperatura

calculada en cadascuna de les posicions que ocuparien els dos termopars poden ser en

principi majors o menors a les exigides per l’usuari, per tant s’ha de prendre una decisió i

moure les variables per aconseguir una convergencia dels paràmetres calculats amb els

paràmetres exigits.

En el cas 1, les variables que principalment efecten a la distribució de temperatures són

la TSUP i la condS, cadascuna d’elles efecte a la distribució de temperatures d’una forma

diferent :

Si s’apuja Tsup i es mantenen totes les variables constants, aixó té un efecte de pujada

general de totes les temperatures de la columna, ponderat evidentment, quan més aprop

dels nodes superiors, més notoris seran aquests increments de temperatura.

Si s’apuja el valor de CONDS, l’efecte inmediat, és baixar el salt de temperatura entre

ambdues peces, com a consequència d’una pujada de la conductivitat de CONDS

s’obtindrà una disminucuó general de les temperatures de la peça superior (peça A) i un

augment general de les temperatures de la peça inferior (peça B).


Gràficament :

Efecte si s’apuja Tsup

Com es pot apreciar visualment, la variació de temperatura queda ponderada de manera

que els punts que es veuen més afectats són els més propers a la zona superior de la

peça A.

T

Tsu

Tinf

T

Tsu

Tinf


Efecte si s'apuja la conductivitat interficial CONDS:

Efecte si s’augmenta la conductivitat de la peça B CONDB:

Efecte si s’apuja TINF :

T

Tsup

Tinf

T

Tsup

Tinf

T

Tsup

Tinf


Així doncs, si el programa es troba per exemple en el cas 1 en la peça A:

Es tractatà d’aconseguir el següent

Procés que s’aconsegueix baixant TSUP i baixant CONDS així com queda indicat al

quadre següent. Per a qualsevol dels altres quatre casos s’actuarà en relació com indica

el quadre indicat. Per a la peça B s’actua de forma paralela modificant els valor de la

conductivitat de la peça desconeguda CONDB i la temperatura inferior TINF.

T T2: temperatura a assolir

T1:Temperatura a assolir

Distribució real al model

T


Per a T3 i T4 el procediment és paral.lel al de T1 i T2 , però les variables que s’han de

modificar en aquest cas són TINF i CONDB. La taula de modificacions per a la peça B és

la següent

Valor

requerit

Valor

numèric

Valor

requerit

Valor

numèric

Condició cas Efecte

sobre

LUMIS2

(T3) TV[12][1][1] (T4) TV[4][1][1] TV[12][1][1]>T3

TV[4][1][1]<T4

CAS1 CONDB↑

TINF↑

(T3) TV[12][1][1] (T4) TV[4][1][1] TV[12][1][1]<T3

TV[4][1][1]>T4

CAS2 CONB↓

TINF↓

(T3) TV[12][1][1] (T4) TV[4][1][1] TV[12][1][1]>T3

TV[4][1][1]>T4

CAS3 CONDB↑

TINF↓

(T3) TV[12][1][1] (T4) TV[4][1][1] TV[12][1][1]<T3

TV[4][1][1]<T4

CAS4 CONB↓

TINF↑


A continuació es presenta el llistat del programa LUMIS2.C que resol de manera directa

l’evaluació de la conductivitat. LUMIS2 està fet sobre la base de SIMUL70.

LUMIS2.C

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k,float CONDB,float CONDS); float sumamp(int j,double *AMP),t; int m,n,o,i,j,k,b; float ***TV,CONDB,CONDS,T1,T2,T3,T4,conA,s,d; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; t=4000; f1=fopen("a:llum3","w"); /*---------------------------------------------------------- ---------- Temperatures dels termopars --i definici¢ de la-- ------- conductivitat de A ------------------- ----------------------------------------------------------*/ T1= 398.998444; T2= 397.004456; T3= 368.944702; T4= 362.985657; conA=30; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2");


exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr;


ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/ ALT[0]= 0.001; ALT[1]= 0.001; ALT[2]= 0.001; ALT[3]= 0.001; ALT[4]= 0.001; ALT[5]= 0.001; ALT[6]= 0.001; ALT[7]= 0.001; ALT[8]= 0.001; ALT[9]= 0.001; ALT[10]= 0.001; ALT[11]= 0.001; ALT[12]= 0.001; ALT[13]= 0.001; ALT[14]= 0.001; ALT[15]= 0.001; ALT[16]= 0.001; ALT[17]= 0.001; ALT[18]= 0.001; ALT[19]= 0.001; ALT[20]= 0.001; ALT[21]= 0.001; ALT[22]= 0.001; ALT[23]= 0.001; ALT[24]= 0.001; ALT[25]= 0.001; ALT[26]= 0.001; ALT[27]= 0.001; ALT[28]= 0.001; ALT[29]= 0.001; ALT[30]= 0.001; ALT[31]= 0.001; ALT[32]= 0.001; /*--------------------------------------------------------- ---estimacio de les variables CONDB, CONDS, Tsup, Tinf----- ---------------------------------------------------------*/ s=ALT[29]+ALT[30]+ALT[31]; d=ALT[21]+ALT[22]+ALT[23]+ALT[24]+ALT[25]+ALT[26]+ALT[27]; CONDB=conA*((T1-T2)/(T3-T4)); CONDS=conA*(T1-T2)*ALT[16]/((T1-T3+((T4-T3)*s)/d-((T1-T2)*(d+s))/d)*d); Tsup=T1+((T1-T2)*s)/d; Tinf=T4-((T3-T4)*s)/d; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques-----------


-------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ for(t=1;t<=60000;t++) { printf("%f ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*AL


T[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6);


} if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-


1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o,CONDB,CONDS)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1,CONDB,CONDS)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));


Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o,CONDB,CONDS)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } } } } /* --------------- modificacions de CONDB, CONDS Tsup, Tinf -----------------------------------*/ if(t>1400 && t<=30000) { if(floor(t/100)==t/100) { if(TV[28][1][1]>T1 && TV[20][1][1]<T2) { Tsup=Tsup-0.02; CONDS=CONDS*(1-0.0005); } if(TV[28][1][1]<T1 && TV[20][1][1]>T2) { Tsup=Tsup+0.02; CONDS=CONDS*(1+0.0005); } if(TV[28][1][1]>T1 && TV[20][1][1]>T2) { Tsup=Tsup-0.02; CONDS=CONDS*(1+0.0005); } if(TV[28][1][1]<T1 && TV[20][1][1]<T2) { Tsup=Tsup+0.02; CONDS=CONDS*(1-0.0005); } if(TV[12][1][1]>T3 && TV[4][1][1]<T4) { CONDB=CONDB*(1+0.0005); Tinf=Tinf+0.02; } if(TV[12][1][1]<T3 && TV[4][1][1]>T4) { CONDB=CONDB*(1-0.0005); Tinf=Tinf-0.02; } if(TV[12][1][1]>T3 && TV[4][1][1]>T4)


{ CONDB=CONDB*(1+0.0005); Tinf=Tinf-0.02; } if(TV[12][1][1]<T3 && TV[4][1][1]<T4) { CONDB=CONDB*(1-0.0005); Tinf=Tinf+0.02; } fprintf(f1," %f %f %f %f \n",CONDB,CONDS,Tinf,Tsup); } } if(t>30000) { if(floor(t/200)==t/200) { if(TV[28][1][1]>T1 && TV[20][1][1]<T2) { Tsup=Tsup-0.0005; CONDS=CONDS*(1-0.0001); } if(TV[28][1][1]<T1 && TV[20][1][1]>T2) { Tsup=Tsup+0.0005; CONDS=CONDS*(1+0.0001); } if(TV[28][1][1]>T1 && TV[20][1][1]>T2) { Tsup=Tsup-0.0005; CONDS=CONDS*(1+0.0001); } if(TV[28][1][1]<T1 && TV[20][1][1]<T2) { Tsup=Tsup+0.0005; CONDS=CONDS*(1-0.0001); } if(TV[12][1][1]>T3 && TV[4][1][1]<T4) { CONDB=CONDB*(1+0.0001); Tinf=Tinf+0.0005; } if(TV[12][1][1]<T3 && TV[4][1][1]>T4) { CONDB=CONDB*(1-0.0001); Tinf=Tinf-0.0005; } if(TV[12][1][1]>T3 && TV[4][1][1]>T4) { CONDB=CONDB*(1+0.0001); Tinf=Tinf-0.0005; } if(TV[12][1][1]<T3 && TV[4][1][1]<T4) { CONDB=CONDB*(1-0.0001);


Tinf=Tinf+0.0005; } fprintf(f1," %f %f %f %f \n",CONDB,CONDS,Tinf,Tsup); } } /* -----------reinicialitzo altre vegada les T de dalt i de baix */ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } printf("conductivitat de B, Tinf: %f %f\n",CONDB,Tinf); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/ fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV); } float conduct(int i,int j,int k,float CONDB,float CONDS) { float condaux,CONDA,CONDF,CONDP;


/*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s];


} return sum; }

Finalment, es presenta com exemple numèric i gràfic la convergència de les quatre

variables cap a un valor que conferirà a quatre punts determinats del model els valors

requerits a priori. Les quatre variables que són corregides per assolir els quatre valors

són CONB,CONDS, Tsup i Tinf. Per provar la fiabilitat del programa s’ha procedit

primerament a fer una simulació amb SIMUL70, llavors s’han extret les temperatures que

es donaven en els llocs on anirien situats els termopars i s’han introduït aquests valors de

les quatre temperatures a LUMIS2, i els valors que ens haurien de retornar aquest

programa serien : CONDB=39,TSUP=400,TINF=360,CONDS=0,3.


RESULTATS GRÀFICS

C OND B

9 ,6

9 ,8

1 0

1 0 ,2

1 0 ,4

1 0 ,6

1 0 ,8

1 5 1 1 0 1 15 1 2 0 1 2 51 3 0 1 3 51 40 1

C OND S

0 ,2 7

0 ,2 8

0 ,2 9

0 ,3

0 ,3 1

0 ,3 2

0 ,3 3

0 ,3 4

0 ,3 5

1 51 1 0 1 1 5 1 20 1 2 5 1 30 1 35 1 4 01

iteració

iteració


TINF

35 9 ,4

35 9 ,6

35 9 ,8

36 0

36 0 ,2

36 0 ,4

36 0 ,6

1 5 1 10 1 1 5 1 2 0 1 2 51 3 01 35 1 40 1

TS UP

399 ,75

399 ,8

399 ,85

399 ,9

399 ,95

4 00

400 ,05

400 ,1

400 ,15

1 51 101 1 51 201 251 301 351 4 01

iteració

iteració


VALORS NUMÈRICS CONDB CONDS TINF TSUP 10.043480 0.346488 360.411780 399.873010 10.048502 0.346315 360.391780 399.893010 10.053526 0.346142 360.371780 399.913010 10.058553 0.345969 360.351780 399.933010 10.063582 0.345796 360.331780 399.953010 10.068614 0.345623 360.311780 399.973010 10.073648 0.345450 360.291780 399.993010 10.078685 0.345277 360.271780 400.013010 10.083724 0.345105 360.251780 400.033010 10.088766 0.344932 360.231780 400.053010 10.093810 0.344760 360.211780 400.073010 10.098857 0.344587 360.191780 400.093010 10.103907 0.344415 360.171780 400.113010 10.108958 0.344243 360.151780 400.093010 10.114013 0.344071 360.131780 400.073010 10.119070 0.343899 360.111780 400.093010 10.124129 0.343727 360.091780 400.073010 10.129191 0.343555 360.071780 400.093010 10.134256 0.343383 360.051780 400.073010 10.139323 0.343211 360.031780 400.093010 10.144393 0.343040 360.011780 400.073010 10.149466 0.342868 359.991780 400.093010 10.154540 0.342697 359.971780 400.073010 10.159617 0.342526 359.951780 400.093010 10.164698 0.342354 359.931780 400.113010 10.169780 0.342183 359.911780 400.093010 10.174865 0.342012 359.891780 400.073010 10.179953 0.341841 359.871780 400.093010 10.185042 0.341670 359.851780 400.073010 10.190135 0.341499 359.831780 400.093010 10.195230 0.341329 359.811780 400.113010 10.200328 0.341158 359.791780 400.093010 10.205428 0.340987 359.771780 400.073010 10.210531 0.340817 359.751780 400.093010 10.215636 0.340646 359.771780 400.113010 10.220744 0.340476 359.791780 400.093010 10.225855 0.340306 359.811780 400.073010 10.230968 0.340136 359.791780 400.093010 10.236083 0.339966 359.771780 400.113010 10.241201 0.339796 359.791780 400.093010 10.246322 0.339626 359.811780 400.073010 10.251445 0.339456 359.791780 400.093010 10.256571 0.339286 359.811780 400.113010 10.261699 0.339116 359.791780 400.093010 10.266829 0.338947 359.811780 400.073010 10.271963 0.338777 359.791780 400.093010 10.277099 0.338608 359.811780 400.113010 10.282237 0.338439 359.831780 400.093010 10.287378 0.338270 359.811780 400.073010 10.292522 0.338100 359.791780 400.093010 10.297668 0.337931 359.811780 400.073010 10.302817 0.337762 359.831780 400.093010

Valors precalculats (flux perfectament axial)


10.307969 0.337593 359.811780 400.113010 10.313123 0.337425 359.831780 400.093010 10.318279 0.337256 359.851780 400.073010 10.323439 0.337087 359.831780 400.093010 10.328600 0.336919 359.811780 400.073010 10.333764 0.336750 359.831780 400.093010 10.338931 0.336582 359.851780 400.073010 10.344101 0.336414 359.831780 400.093010 10.349273 0.336245 359.851780 400.073010 10.354447 0.336077 359.831780 400.093010 10.359625 0.335909 359.851780 400.073010 10.364804 0.335741 359.871780 400.093010 10.369987 0.335573 359.851780 400.073010 10.375172 0.335406 359.831780 400.093010 10.380360 0.335238 359.851780 400.073010 10.385550 0.335070 359.871780 400.093010 10.390742 0.334903 359.851780 400.073010 10.395938 0.334735 359.871780 400.093010 10.401135 0.334568 359.851780 400.073010 10.406336 0.334401 359.871780 400.093010 10.411539 0.334234 359.891780 400.073010 10.416745 0.334066 359.871780 400.093010 10.421953 0.333899 359.851780 400.073010 10.427164 0.333732 359.871780 400.093010 10.432378 0.333566 359.891780 400.073010 10.437594 0.333399 359.871780 400.093010 10.442813 0.333232 359.891780 400.073010 10.448034 0.333065 359.871780 400.093010 10.453259 0.332899 359.891780 400.073010 10.458486 0.332732 359.871780 400.093010 10.463715 0.332566 359.891780 400.073010 10.468946 0.332400 359.911780 400.093010 10.474181 0.332234 359.891780 400.073010 10.479418 0.332067 359.871780 400.093010 10.484657 0.331901 359.891780 400.073010 10.489900 0.331736 359.911780 400.093010 10.495145 0.331570 359.891780 400.073010 10.500392 0.331404 359.911780 400.093010 10.505642 0.331238 359.891780 400.073010 10.510895 0.331073 359.911780 400.093010 10.516150 0.330907 359.931780 400.073010 10.521408 0.330742 359.911780 400.093010 10.526669 0.330576 359.891780 400.073010 10.531932 0.330576 359.911780 400.073010 10.537198 0.330411 359.931780 400.093010 10.542467 0.330246 359.911780 400.073010 10.547738 0.330081 359.931780 400.093010 10.553012 0.329916 359.911780 400.073010 10.558289 0.329751 359.931780 400.053010 10.563568 0.329586 359.951780 400.073010 10.568850 0.329421 359.931780 400.093010 10.574134 0.329256 359.911780 400.073010 10.579421 0.329092 359.931780 400.093010 10.584711 0.328927 359.951780 400.073010 10.590003 0.328763 359.931780 400.053010


10.595298 0.328598 359.951780 400.073010 10.600595 0.328434 359.931780 400.093010 10.605896 0.328270 359.951780 400.073010 10.611199 0.328106 359.971780 400.053010 10.616505 0.327941 359.951780 400.073010 10.621813 0.327778 359.931780 400.093010 10.627124 0.327614 359.951780 400.073010 10.632438 0.327450 359.971780 400.053010 10.637753 0.327286 359.951780 400.073010 10.643072 0.327122 359.971780 400.093010 10.648394 0.326959 359.951780 400.073010 10.653718 0.326795 359.971780 400.053010 10.659045 0.326632 359.991780 400.073010 10.664374 0.326469 359.971780 400.093010 10.669706 0.326305 359.951780 400.073010 10.675041 0.326142 359.971780 400.053010 10.680379 0.325979 359.991780 400.073010 10.685719 0.325816 359.971780 400.093010 10.691062 0.325653 359.991780 400.073010 10.696407 0.325491 359.971780 400.053010 10.701756 0.325328 359.991780 400.073010 10.707107 0.325165 360.011780 400.093010 10.712461 0.325003 359.991780 400.073010 10.717816 0.324840 359.971780 400.053010 10.723175 0.324678 359.991780 400.073010 10.728537 0.324515 360.011780 400.093010 10.723172 0.324353 359.991780 400.073010 10.728534 0.324191 360.011780 400.053010 10.723169 0.324029 359.991780 400.073010 10.717808 0.323867 360.011780 400.093010 10.712449 0.323705 359.991780 400.073010 10.707093 0.323543 360.011780 400.053010 10.701739 0.323381 359.991780 400.073010 10.696388 0.323220 360.011780 400.053010 10.691040 0.323058 359.991780 400.073010 10.685695 0.322896 360.011780 400.053010 10.680352 0.322735 359.991780 400.073010 10.675012 0.322574 360.011780 400.053010 10.669674 0.322412 359.991780 400.073010 10.664339 0.322251 360.011780 400.053010 10.659007 0.322090 359.991780 400.073010 10.653678 0.321929 360.011780 400.053010 10.648351 0.321768 359.991780 400.073010 10.643026 0.321607 360.011780 400.053010 10.637705 0.321446 359.991780 400.073010 10.632386 0.321286 360.011780 400.053010 10.637702 0.321125 359.991780 400.073010 10.632383 0.320964 360.011780 400.053010 10.627068 0.320804 359.991780 400.073010 10.621754 0.320643 360.011780 400.053010 10.616443 0.320483 359.991780 400.073010 10.611135 0.320323 360.011780 400.053010 10.605829 0.320163 359.991780 400.073010 10.600526 0.320003 360.011780 400.053010 10.595225 0.319843 359.991780 400.033010


10.589928 0.319683 360.011780 400.053010 10.584633 0.319523 359.991780 400.073010 10.579341 0.319363 360.011780 400.053010 10.574051 0.319203 359.991780 400.033010 10.568764 0.319044 360.011780 400.053010 10.563479 0.318884 359.991780 400.073010 10.558198 0.318725 360.011780 400.053010 10.552918 0.318565 359.991780 400.033010 10.558195 0.318406 360.011780 400.053010 10.552916 0.318247 359.991780 400.073010 10.547639 0.318088 360.011780 400.053010 10.542365 0.317929 359.991780 400.033010 10.537094 0.317770 360.011780 400.053010 10.531826 0.317611 359.991780 400.073010 10.526560 0.317452 360.011780 400.053010 10.521297 0.317293 359.991780 400.033010 10.516036 0.317135 360.011780 400.053010 10.510778 0.316976 359.991780 400.073010 10.505523 0.316818 360.011780 400.053010 10.500270 0.316659 359.991780 400.033010 10.495020 0.316501 360.011780 400.053010 10.489773 0.316343 359.991780 400.033010 10.484528 0.316185 360.011780 400.053010 10.479285 0.316026 359.991780 400.033010 10.474046 0.315868 360.011780 400.053010 10.468809 0.315711 359.991780 400.033010 10.463574 0.315553 360.011780 400.053010 10.458343 0.315395 359.991780 400.033010 10.463572 0.315237 360.011780 400.053010 10.458340 0.315080 359.991780 400.033010 10.453111 0.314922 360.011780 400.053010 10.447885 0.314765 359.991780 400.033010 10.442660 0.314607 360.011780 400.053010 10.437439 0.314450 359.991780 400.033010 10.432220 0.314293 360.011780 400.053010 10.427005 0.314136 359.991780 400.033010 10.421791 0.313978 360.011780 400.053010 10.416580 0.313821 359.991780 400.033010 10.411372 0.313665 360.011780 400.053010 10.406166 0.313508 359.991780 400.033010 10.400963 0.313351 360.011780 400.053010 10.406163 0.313194 359.991780 400.033010 10.400960 0.313038 360.011780 400.013010 10.395760 0.312881 359.991780 400.033010 10.390562 0.312725 360.011780 400.053010 10.385366 0.312568 359.991780 400.033010 10.380174 0.312412 360.011780 400.013010 10.374984 0.312256 359.991780 400.033010 10.369797 0.312100 360.011780 400.053010 10.364612 0.311944 359.991780 400.033010 10.359429 0.311788 360.011780 400.013010 10.354250 0.311632 359.991780 400.033010 10.349072 0.311476 360.011780 400.053010 10.343898 0.311320 359.991780 400.033010 10.338726 0.311165 360.011780 400.013010


10.333557 0.311009 359.991780 400.033010 10.328390 0.310854 360.011780 400.053010 10.323226 0.310698 359.991780 400.033010 10.318065 0.310543 360.011780 400.013010 10.323224 0.310387 359.991780 400.033010 10.318063 0.310232 360.011780 400.053010 10.312903 0.310077 359.991780 400.033010 10.307747 0.309922 360.011780 400.013010 10.302593 0.309767 359.991780 400.033010 10.297441 0.309612 360.011780 400.013010 10.292293 0.309458 359.991780 400.033010 10.287147 0.309303 360.011780 400.013010 10.282003 0.309148 359.991780 400.033010 10.276862 0.308994 360.011780 400.013010 10.271724 0.308839 359.991780 400.033010 10.266588 0.308685 360.011780 400.013010 10.261455 0.308530 359.991780 400.033010 10.256324 0.308376 360.011780 400.013010 10.251196 0.308222 359.991780 400.033010 10.246070 0.308068 360.011780 400.013010 10.240947 0.307914 359.991780 400.033010 10.235826 0.307760 360.011780 400.013010 10.230708 0.307606 359.991780 400.033010 10.225593 0.307452 360.011780 400.013010 10.230705 0.307298 359.991780 400.033010 10.225590 0.307145 360.011780 400.013010 10.220477 0.306991 359.991780 400.033010 10.215367 0.306838 360.011780 400.013010 10.210259 0.306684 359.991780 400.033010 10.205154 0.306531 360.011780 400.013010 10.200052 0.306378 359.991780 399.993010 10.194952 0.306224 360.011780 400.013010 10.189855 0.306071 359.991780 400.033010 10.184760 0.305918 360.011780 400.013010 10.179667 0.305765 359.991780 399.993010 10.174578 0.305612 360.011780 400.013010 10.169491 0.305460 359.991780 400.033010 10.164406 0.305307 360.011780 400.013010 10.159324 0.305154 359.991780 399.993010 10.154244 0.305002 360.011780 400.013010 10.149167 0.304849 359.991780 400.033010 10.144093 0.304697 360.011780 400.013010 10.149164 0.304544 359.991780 399.993010 10.144090 0.304392 360.011780 400.013010 10.139018 0.304240 359.991780 400.033010 10.133948 0.304088 360.011780 400.013010 10.128881 0.303936 359.991780 399.993010 10.123817 0.303784 360.011780 400.013010 10.118755 0.303632 359.991780 400.033010 10.113696 0.303480 360.011780 400.013010 10.108640 0.303328 359.991780 399.993010 10.103585 0.303177 360.011780 400.013010 10.098534 0.303025 359.991780 399.993010 10.093484 0.302874 360.011780 400.013010 10.088437 0.302722 359.991780 400.033010


10.083393 0.302571 360.011780 400.013010 10.078351 0.302419 359.991780 399.993010 10.083390 0.302268 360.011780 400.013010 10.078348 0.302117 359.991780 399.993010 10.073309 0.301966 360.011780 400.013010 10.068273 0.301815 359.991780 399.993010 10.063238 0.301664 360.011780 400.013010 10.058207 0.301513 359.991780 399.993010 10.053178 0.301363 360.011780 400.013010 10.048151 0.301212 359.991780 399.993010 10.043127 0.301061 360.011780 400.013010 10.038106 0.300911 359.991780 399.993010 10.033087 0.300760 360.011780 400.013010 10.028070 0.300610 359.991780 399.993010 10.027067 0.300580 359.992280 399.993510 10.026065 0.300550 359.992780 399.994010 10.025063 0.300520 359.993280 399.994510 10.024060 0.300490 359.993780 399.995010 10.023058 0.300460 359.994280 399.995510 10.022056 0.300430 359.994780 399.996010 10.021053 0.300400 359.995280 399.996510 10.020051 0.300370 359.995780 399.997010 10.019049 0.300340 359.996280 399.997510 10.018046 0.300309 359.996780 399.998010 10.017045 0.300279 359.997280 399.998510 10.016044 0.300249 359.997780 399.999010 10.015042 0.300219 359.998280 399.999510 10.014041 0.300189 359.998780 400.000010 10.013040 0.300159 359.999280 400.000510 10.012038 0.300129 359.999780 400.001010 10.011037 0.300099 360.000280 400.000510 10.010036 0.300069 360.000780 400.000010 10.009034 0.300039 360.001280 399.999510 10.008033 0.300009 360.001780 399.999010 10.007032 0.299979 360.001280 399.998510 10.006032 0.299949 360.000780 399.998010 10.005032 0.299919 360.000280 399.997510 10.004031 0.299919 359.999780 399.997510 10.003031 0.299919 360.000280 399.997510 10.002030 0.299919 360.000780 399.997510 10.001030 0.299949 360.001280 399.998010 10.000030 0.299979 360.000780 399.998510 10.001030 0.300009 360.000280 399.999010 10.002030 0.300039 359.999780 399.999510 10.003031 0.300069 359.999280 400.000010 10.004031 0.300099 359.998780 399.999510 10.005032 0.300129 359.998280 399.999010 10.006032 0.300159 359.997780 399.998510 10.006032 0.300189 359.997780 399.998010 10.006032 0.300219 359.997780 399.997510 10.006032 0.300249 359.997780 399.998010 10.006032 0.300279 359.997780 399.998510 10.006032 0.300309 359.997780 399.999010 10.006032 0.300339 359.997780 399.999510 10.006032 0.300370 359.997780 400.000010


10.006032 0.300339 359.997780 399.999510 10.006032 0.300309 359.997780 399.999010 10.006032 0.300279 359.997780 399.998510 10.006032 0.300249 359.997780 399.998010 10.006032 0.300219 359.997780 399.998510 10.006032 0.300189 359.997780 399.999010 10.006032 0.300159 359.997780 399.999510 10.006032 0.300129 359.997780 400.000010 10.007032 0.300099 359.998280 399.999510 10.008033 0.300069 359.998780 399.999010 10.007032 0.300039 359.999280 399.998510 10.006032 0.300009 359.999780 399.998010 10.005032 0.300009 360.000280 399.998010 10.004031 0.300009 360.000780 399.998010 10.003031 0.300009 360.000280 399.998010 10.002030 0.300009 359.999780 399.998010 10.001030 0.300009 359.999280 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010

CONVERGÈNCIA


10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010 10.000030 0.300009 359.998780 399.998010


ANNEX 2. ELS QUATRE MODELS. En el present annex es presenten els llistats de programes del quatre models numèrcis emprats

per a la realitzazió d’aquest projecte. Conjuntament també s’inclou per a cada programa quines

son les conexions internodals per a facilitar la comprensió dels programes. La base de la

discretització ha estat la mateixa per als quatre models, només varien les condicions de contorn, i

per tant les conexions dels nodes amb la perifèria. Les variables del programa són les

conductivitats de les peces, conductivitat de la pols i les temperatures als extrems de les peces. La

implementació dels programes s’ha fet pensant en modificacions posteriors de la geometria inicial.


Conjunt de programes SIMUL501 i SIMUL40

Simulen un nucli de conductivímetre amb dues peces, ambdues estan

forçades en els seus extrems a mantenir una determinada temperatura

constant, la peça superior manté els nodes del nivell superiors a Tsup i

els nodes extrems inferiors de la peça inferior a Tinf. Les peces estan

envoltades de pols i confinada per una paret, el Guard Furnace. Per la

part superior i inferior, la pols està confinada per una superfície

totalment aïllada. Aquest és el model de conductivímetre que més

s'acosta al conductivímetre estudiat al laboratori.

Les regions que configuren els diversos tipus de nodes segons les seves conexions han estat

desglosades per a poder implementar el programa numèric. A continuació es presenten les

resticcions corresponents a cada zona, entenent-se restricció, la direcció en que un node no

presenta cap conexió.


ZONES RESTRICCIONS o≠1 o≠13 n≠1 → o≠1 o≠13 n≠1 m=1 n≤13 n≥8 → Ki5=0 o≠1 o≠13 n≠1 m=31 n≤13 n≥8 → Ki6=0 o=1 n≠1 → Ki4=0 o=1 n≠1 m=1 n≤13 n≥8 → Ki4=0 Ki5=0 o=1 n≠1 m=31 n≤13 n≥8 → Ki4=0 Ki6=0 o=13 n≠1 → Ki2=0 o=13 n≠1 m=1 n≤13 n≥8 → Ki2=0 Ki5=0 o=13 n≠1 m=31 n≤13 n≥8 → Ki2=0 Ki6=0 n=1 o≠1 o≠13 → Ki1=0 n=1 o≠1 o≠13 m=1 n≤13 n≥8 → Ki1=0 Ki5=0 n=1 o≠1 o≠13 m=31 n≤13 n≥8 → Ki1=0 Ki6=0 n=1 o=1 → Ki1=0 ki4=0 n=1 o=1 m=1 n≤13 n≥8 → Ki1=0 ki4=0 Ki5=0 n=1 o=1 m=31 n≤13 n≥8 → Ki1=0 ki4=0 Ki6=0 n=1 o=13 → Ki1=0 ki2=0 n=1 o=13 m=1 n≤13 n≥8 → Ki1=0 ki2=0 Ki5=0 n=1 o=13 m=31 n≤13 n≥8 → Ki1=0 ki2=0 Ki6=0 On:

Zona 6

Zona 4 Zona 1

Zona 5

Zona 3 Zona 2

Ki1

Ki6 Ki3

Ki5

Ki4

Ki2


Llistat de SIMUL50 :

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*---------------------------------------------------------- ---------- Tsup = temperatura superior --------------------- ----------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3");


exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/ ALT[0]= 0.0001; ALT[1]= 0.0017073; ALT[2]= 0.0017073; ALT[3]= 0.0017073;


ALT[4]= 0.0017073; ALT[5]= 0.0017073; ALT[6]= 0.0025609; ALT[7]= 0.0042682; ALT[8]= 0.0042682; ALT[9]= 0.0042682; ALT[10]= 0.0025609; ALT[11]= 0.0017073; ALT[12]= 0.0017073; ALT[13]= 0.0017073; ALT[14]= 0.0017073; ALT[15]= 0.0017073; ALT[16]= 0.0001; ALT[17]= 0.0017073; ALT[18]= 0.0017073; ALT[19]= 0.0017073; ALT[20]= 0.0017073; ALT[21]= 0.0017073; ALT[22]= 0.0025609; ALT[23]= 0.0042682; ALT[24]= 0.0042682; ALT[25]= 0.0042682; ALT[26]= 0.0025609; ALT[27]= 0.0017073; ALT[28]= 0.0017073; ALT[29]= 0.0017073; ALT[30]= 0.0017073; ALT[31]= 0.0017073; ALT[32]= 0.0001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques----------- -------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; }


acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8)


{ Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0;


Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) {


Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m]));


Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } printf("%f \n",difer); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/ f1=fopen("a:arx40","w"); for(o=1;o<=13;o++) { fprintf(f1,"angle %d\n",o); for(m=1;m<=31;m++) { fprintf(f1,"%f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f \n",TV[m][14][o],TV[m][13][o],TV[m][12][o],TV[m][11][o],TV[m][10][o],TV[m][9][o],TV[m][8][o],TV[m][7][o],TV[m][6][o],TV[m][5][o],TV[m][4][o],TV[m][3][o],TV[m][2][o],TV[m][1][o]); }


} fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV); } float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=10; CONDB=20; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; }


} if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; }


Conjunt de programes SIMUL 61 i SIMUL60

Simulen un nucli de conductivímetre amb dues peces, ambdues

estan forçades en els seus extrems a mantenir una determinada

temperatura constant, la peça superior manté els nodes del nivell

superiors a Tsup i els nodes extrems inferiors de la peça inferior a

Tinf. Les peces estan envoltades de pols i confinada per una paret

de conductivitat molt baixa. Per la part superior i inferior de la pols

(nivells i=32 i i=0) l'aillament és total..

Aquest model de conducticímetre no té Guard-Furnace, ja que es pretén simular un

conductivímetre tant sols aïllat del medi exterior amb un seguit de nodes amb una baixa

conductivitat.

El que es fa per simular un aïllament alt, es considera un seguit de nodes amb un gruix gran

(j=13), i es força al conjunt de nodes (j=14) a tenit una temperatura determinada. Les iteracions

van de j=13 fins j=1.

A continuació es presenten les resticcions corresponents a cada zona, entenent-se restricció, la

direcció en que un node no presenta cap conexió.


ZONES RESTRICCIONS o≠1 o≠13 n≠1 → o≠1 o≠13 n≠1 m=1 n≤13 n≥8 → Ki5=0 o≠1 o≠13 n≠1 m=31 n≤13 n≥8 → Ki6=0 o=1 n≠1 → Ki4=0 o=1 n≠1 m=1 n≤13 n≥8 → Ki4=0 Ki5=0 o=1 n≠1 m=31 n≤13 n≥8 → Ki4=0 Ki6=0 o=13 n≠1 → Ki2=0 o=13 n≠1 m=1 n≤13 n≥8 → Ki2=0 Ki5=0 o=13 n≠1 m=31 n≤13 n≥8 → Ki2=0 Ki6=0 n=1 o≠1 o≠13 → Ki1=0 n=1 o≠1 o≠13 m=1 n≤13 n≥8 → Ki1=0 Ki5=0 n=1 o≠1 o≠13 m=31 n≤13 n≥8 → Ki1=0 Ki6=0 n=1 o=1 → Ki1=0 ki4=0 n=1 o=1 m=1 n≤13 n≥8 → Ki1=0 ki4=0 Ki5=0 n=1 o=1 m=31 n≤13 n≥8 → Ki1=0 ki4=0 Ki6=0 n=1 o=13 → Ki1=0 ki2=0 n=1 o=13 m=1 n≤13 n≥8 → Ki1=0 ki2=0 Ki5=0 n=1 o=13 m=31 n≤13 n≥8 → Ki1=0 ki2=0 Ki6=0 On:

Zona 6

Zona 4 Zona 1

Zona 5

Zona 3 Zona 2

Ki1

Ki6 Ki3

Ki5

Ki4

Ki2



#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*---------------------------------------------------------- ---------- Tsup = temperatura superior --------------------- ----------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) {


TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.1; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/


ALT[0]= 0.0001; ALT[1]= 0.0017073; ALT[2]= 0.0017073; ALT[3]= 0.0017073; ALT[4]= 0.0017073; ALT[5]= 0.0017073; ALT[6]= 0.0025609; ALT[7]= 0.0042682; ALT[8]= 0.0042682; ALT[9]= 0.0042682; ALT[10]= 0.0025609; ALT[11]= 0.0017073; ALT[12]= 0.0017073; ALT[13]= 0.0017073; ALT[14]= 0.0017073; ALT[15]= 0.0017073; ALT[16]= 0.0001; ALT[17]= 0.0017073; ALT[18]= 0.0017073; ALT[19]= 0.0017073; ALT[20]= 0.0017073; ALT[21]= 0.0017073; ALT[22]= 0.0025609; ALT[23]= 0.0042682; ALT[24]= 0.0042682; ALT[25]= 0.0042682; ALT[26]= 0.0025609; ALT[27]= 0.0017073; ALT[28]= 0.0017073; ALT[29]= 0.0017073; ALT[30]= 0.0017073; ALT[31]= 0.0017073; ALT[32]= 0.0001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques----------- -------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2;


for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } for(m=1;m<=32;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][14][o]=100; } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-


1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6);


} if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));


Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); }


if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } printf("%f \n",difer); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/ f1=fopen("a:arx43","w");


for(m=1;m<=31;m++) { fprintf(f1,"%f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f \n",TV[m][14][1],TV[m][13][1],TV[m][12][1],TV[m][11][1],TV[m][10][1],TV[m][9][1],TV[m][8][1],TV[m][7][1],TV[m][6][1],TV[m][5][1],TV[m][4][1],TV[m][3][1],TV[m][2][1],TV[m][1][1]); } fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV); } float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.4; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } }


if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; }


Conjunt de programes SIMUL70 i SIMUL11

Simulen 2 peces , una a temperatura constant a la part superior

(m=32) i a una temperatura inferior constant ala part inferior (m=0).

Lateralment el nucli està forçat a mantenir un gradient de

temperatura lineal desde Tsup al nivell m=32 i Tinf al nivell m=0. Cal

diferenciar 6 tipus de nodes diferents en el nucli, depenent de la

seva posició en aquests (nodes exteriors,interiors,nodes extrems ...).

Les 6 regions queden definides per 6 tipus de conexió que assoleix

cada node amb els seus veins. Així per exemple, un node que

estiguien un nivell radial (n=1) no te possibilitat de conectar-se amb un nivell radial més interior,

per tant seria (Ki1=0).

figura on queden representats les 6 regions possibles en SIMUL70 Definides Ki1,Ki2,...Ki6 i la posició d'un node qualsevol per les coordenades (i,j,k)=(m,n,o) es té: Si o≠1 i o≠13 i n≠1 totes les conductàncies tenen assignat un valor diferent de zero. Si o=1 i n≠1 → Ki4=0 Si o=13 i n≠1 → Ki2=0 Si n=1 i o≠1 i o≠13 → Ki1=0 Si n=1 i o=1 → Ki1=0;Ki4=0 Si n=1 i o=13 → Ki1=0 Ki2=0

On:

Ki1

Ki6

Ki3

Ki5

Ki4

Ki2



#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*---------------------------------------------------------- ---------- Tsup = temperatura superior --------------------- ----------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL)


{ puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/ ALT[0]= 0.0001; ALT[1]= 0.0017073;


ALT[2]= 0.0017073; ALT[3]= 0.0017073; ALT[4]= 0.0017073; ALT[5]= 0.0017073; ALT[6]= 0.0025609; ALT[7]= 0.0042682; ALT[8]= 0.0042682; ALT[9]= 0.0042682; ALT[10]= 0.0025609; ALT[11]= 0.0017073; ALT[12]= 0.0017073; ALT[13]= 0.0017073; ALT[14]= 0.0017073; ALT[15]= 0.0017073; ALT[16]= 0.0001; ALT[17]= 0.0017073; ALT[18]= 0.0017073; ALT[19]= 0.0017073; ALT[20]= 0.0017073; ALT[21]= 0.0017073; ALT[22]= 0.0025609; ALT[23]= 0.0042682; ALT[24]= 0.0042682; ALT[25]= 0.0042682; ALT[26]= 0.0025609; ALT[27]= 0.0017073; ALT[28]= 0.0017073; ALT[29]= 0.0017073; ALT[30]= 0.0017073; ALT[31]= 0.0017073; ALT[32]= 0.0001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques----------- -------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++)


{ acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));


TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));


TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));


TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } printf("%f \n",difer); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/ f1=fopen("a:arx9","w"); for(m=0;m<=32;m++) { fprintf(f1,"%f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f \n",TV[m][14][1],TV[m][13][1],TV[m][12][1],TV[m][11][1],TV[m][10][1],TV[m][9][1],TV[m][8][1],TV[m][7][1],TV[m][6][1],TV[m][5][1],TV[m][4][1],TV[m][3][1],TV[m][2][1],TV[m][1][1]);


} fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV); } float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; }


} if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; }


Conjunt de programes SIMUL 80 i SIMUL 22

Simulen 2 peces aillades lateralment de manera total, els límits de

la pols amb les parets del conductivímetre estan aillats totalment ,

tant per la perifèria com superior i inferiorment. Els extrems de les

dues peces, extrem superior de la peça A a Tsup= ctant i extrem

inferior de la peça B a Tinf= ctant.

En aquest model numèric queden definides en un primer terme 3

divisions que representen 3 regions de conexió diferet, dins

d'aquestes es troben 9 subdivisions més, també definides pel tipus

de conexió que estableix cada tipus de node.

Aquestes divisions han estat fetes per a facilitar la implementació del programa i poder modificar el

programa amb més faciliten si es vol variar algun tipus de condició de contorn.

Les 3 primeres divisions corresponen a:

1) nivell superior (i=32)

2) nivell inferior (i=0)

3) nivells intermitjos

Aquesta primera diferenciació en tres regions segons la seva posició en i's ve donada per la

conexió en aquest sentit, és a dir, per exemple els nodes superiors (i=32) no establiran cap

conexió amb cap nivell inmediatament superior, ja que la condició de aillament total comporta a

una conductancia en aquest sentit igual a zero, per tant per a tots els nodes superiors (i=32) es

compleix Ki6=0. Així mateix els nodes que composen la part inferior (i=0) no tindran conexió amb

cap node inferior, per tant Ki5=0.

Per a cadascun d'aquests 3 grups que separen tres nivell en direcció i es tindra una nova

subdivisió en el pla definit per les variables j i k . Aquesta regió que subdivida en 9 regions que es

conformen depenen de la conexió dels diferents tipus de nodes. Els nodes que es conecten d'igual

forma generen una regió


TIPUS 1 TIPUS 2 TIPUS 3

i=32 i≠0 i i≠32 i=0


A continuació es presenten les zones on les conductivitats es defineixen amb el valor zero.

TIPUS 3 i≠0 i≠32 k≠1 k≠13 j≠1 j≠14 → i≠0 i≠32 k=1 j≠1 j≠14 → K4=0 i≠0 i≠32 k=1 j=1 → K4=0 K1=0 i≠0 i≠32 k=1 j=14 → K3=0 K4=0 i≠0 i≠32 k=13 j=1 → K1=0 K2=0 i≠0 i≠32 k=13 j=14 → K3=0 K2=0 i≠0 i≠32 k=13 j≠1 j≠14 → K2=0 i≠0 i≠32 k≠1 k≠13 j=1 → K1=0 i≠0 i≠32 k≠1 k≠13 j=14 → K3=0 TIPUS 1 i=32 k≠1 k≠13 j≠14 j≠1 → K6=0 i=32 k=1 j≠14 j≠1 → K6=0 K4=0 i=32 k=1 j=14 → K3=0 K4=0 K6=0 i=32 k=1 j=1 → K1=0 K4=0 K6=0 i=32 k=13 j=14 → K2=0 K6=0 K3=0 i=32 k=13 j=1 → K1=0 K2=0 K6=0 i=32 k=13 j≠1 j≠14 → K2=0 K6=0 i=32 k≠1 k≠13 j=14 → K3=0 K6=0 i=32 k≠1 k≠13 j=1 → K1=0 K6=0 TIPUS 2 i=0 k≠1 k≠13 j≠14 j≠1 → K5=0 i=0 k=1 j≠14 j≠1 → K5=0 K4=0 i=0 k=1 j=14 → K5=0 K4=0 K3=0 i=0 k=1 j=1 → K5=0 K4=0 K1=0 i=0 k=13 j=14 → K5=0 K3=0 K2=0 i=0 k=13 j=1 → K5=0 K2=0 K1=0 i=0 k=13 j≠1 j≠14 → K5=0 K2=0 i=0 k≠1 k≠13 j=14 → K5=0 K3=0 i=0 k≠1 k≠13 j=1 → K5=0 K1=0



#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { void calcula(int m,int n, int o,double *AMP,double *ALT,double *ANG, float ***TV); float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*---------------------------------------------------------- ---------- Tsup = temperatura superior --------------------- ----------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float));


if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/ ALT[0]= 0.0001;


ALT[1]= 0.0017073; ALT[2]= 0.0017073; ALT[3]= 0.0017073; ALT[4]= 0.0017073; ALT[5]= 0.0017073; ALT[6]= 0.0025609; ALT[7]= 0.0042682; ALT[8]= 0.0042682; ALT[9]= 0.0042682; ALT[10]= 0.0025609; ALT[11]= 0.0017073; ALT[12]= 0.0017073; ALT[13]= 0.0017073; ALT[14]= 0.0017073; ALT[15]= 0.0017073; ALT[16]= 0.0001; ALT[17]= 0.0017073; ALT[18]= 0.0017073; ALT[19]= 0.0017073; ALT[20]= 0.0017073; ALT[21]= 0.0017073; ALT[22]= 0.0025609; ALT[23]= 0.0042682; ALT[24]= 0.0042682; ALT[25]= 0.0042682; ALT[26]= 0.0025609; ALT[27]= 0.0017073; ALT[28]= 0.0017073; ALT[29]= 0.0017073; ALT[30]= 0.0017073; ALT[31]= 0.0017073; ALT[32]= 0.0001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques----------- -------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2;


for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); m=32; for(n=8;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } for(m=31;m>=1;m=m-1) { for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } m=0; for(n=8;n<=14;n++)


{ for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } printf("%f \n",difer); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/ f1=fopen("a:sim22","w"); for(m=0;m<=32;m++) { fprintf(f1," %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f \n",TV[m][14][1],TV[m][13][1],TV[m][12][1],TV[m][11][1],TV[m][10][1],TV[m][9][1],TV[m][8][1],TV[m][7][1],TV[m][6][1],TV[m][5][1],TV[m][4][1],TV[m][3][1],TV[m][2][1],TV[m][1][1]); } fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV); } float conduct(int i,int j,int k) {


float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0;


for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; } void calcula(int m,int n,int o,double *AMP,double *ALT,double *ANG,float ***TV) { double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; Ki1=1; Ki2=1; Ki3=1; Ki4=1; Ki5=1; Ki6=1; if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n==1) { Ki1=0; Ki2=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n!=1 && n!=14) { Ki2=0; }


if(m!=0 && m!=32 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; } if(m !=0 && m!=32 && o!=1 && o!=13 && n==14) { Ki3=0; } /* ------------------------ 2 part---------------------- */ if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n!=14 && n!=1) { Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==13 && n==1) { Ki1=0; Ki2=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==13 && n!=1 && n!=14) {


Ki2=0; Ki6=0; } if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n==14) { Ki3=0; Ki6=0; } if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; Ki6=0; } /*----------------- 3 part --------------------------*/ if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n!=14 && n!=1) { Ki5=0; } if(m==0 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n==1)


{ Ki1=0; Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n!=1 && n!=14) { Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n==14) { Ki3=0; Ki5=0; } if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; Ki5=0; } /*------------------------------------------------*/ if(Ki1==1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); } if(Ki2==1) { Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); } if(Ki3==1) { Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); } if(Ki4==1) { Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); } if(Ki5==1) { Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-


1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); } if(Ki6==1) { Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); }


ANNEX 3. GEOMETRIA DE LES PECES UTILITZADES.

La geometria i mesures utilitzades en els nodes de les peces dels diferents quatre models

ha estat la següent :


I l’altura de cada node ha estat :

ALTURES DELS DIFERENTS NODES

NODE proporció ALTURA (mm) ALTURA(m)

32 2 0,1 0,0001 3231 2 1,707317073 0,001707317 3130 2 1,707317073 0,001707317 3029 2 1,707317073 0,001707317 2928 2 1,707317073 0,001707317 2827 2 1,707317073 0,001707317 2726 3 2,56097561 0,002560976 2625 5 4,268292683 0,004268293 2524 5 4,268292683 0,004268293 2423 5 4,268292683 0,004268293 2322 3 2,56097561 0,002560976 2221 2 1,707317073 0,001707317 2120 2 1,707317073 0,001707317 2019 2 1,707317073 0,001707317 1918 2 1,707317073 0,001707317 1817 2 1,707317073 0,001707317 1716 0,1 0,0001 1615 2 1,707317073 0,001707317 1514 2 1,707317073 0,001707317 1413 2 1,707317073 0,001707317 1312 2 1,707317073 0,001707317 1211 2 1,707317073 0,001707317 1110 3 2,56097561 0,002560976 109 5 4,268292683 0,004268293 98 5 4,268292683 0,004268293 87 5 4,268292683 0,004268293 76 3 2,56097561 0,002560976 65 2 1,707317073 0,001707317 54 2 1,707317073 0,001707317 43 2 1,707317073 0,001707317 32 2 1,707317073 0,001707317 21 2 1,707317073 0,001707317 10 2 0,1 0,0001 0

peça

extrems

interfície

35 mm

35 mm


Els angles per a la discretització han estat els següents :

ANG[1]=2º ANG[8]= 18º

ANG[2]=7º ANG[9]= 18º

ANG[3]=9º ANG[10]= 18º

ANG[4]=9º ANG[11]= 18º

ANG[5]=9º ANG[12]= 18º

ANG[6]=18º ANG[13]= 18º

ANG[7]=18º

Per l’amplada de tots els nodes (AMP[ ]) s’ha escollit 0.00357 m. el que fa que la peça

mesuri 5 cm de diàmetre.


ANNEX 4. DEMOSTRACIÓ POTENCIA. Aquest apartat demostra que la simplificació d'escullir la conductivitat representativa de

la peça per als càlculs com la conductivitat de la peça a la temperatura mitjana, no és

una simplificació, sinó una igualtat.

Per a un interval de temperatures no molt gran (60-80) ºC, la conductivitat tèrmica pot

ser donada perfectament per una funció lineal de la temperatura. Així doncs, la

conductivitat pren la forma :

λ= a+b.T

L'equació de tranferència de calor de Fourier ens diu :

&qA

dTdx

= −λ

Si hi substituïm la conductivitat :

( )&qA

dTdx

= − a + b.T

Reordenant :

( )&qA

dx dT⋅ = − ⋅a + b.T

Integrant :

( )&qA

dx dTx

x

T

Tf

x

f

⋅ = − ⋅∫ ∫ a + b.T0

Si prescindim del signe - , que ens indica tant sols la direcció del flux de calor i

integrem les dues funcions a banda i banda :

&

( ) ( )qA

d a Tf To b Tf To⋅ = − + ⋅ ⋅ −12

2 2


Si considerem ara quina és la potència que atravessa la peça considerant

la conductivitat a la temperatura mitjana, tenim :

&qA

dTdx

= −λ

Si λ= a+b.T llavors la conductivitat presa a la temperatura mitjana és la

següent:

λ = + ⋅+

a bTo Tf

2

Aplicant ara l'equació de Fourier i substituint l'expressió anterior, sense tenir en compte

el signe :

&qA

a bTo Tf Tf To

d= + ⋅

+

−2

Reordenant :

&

( )qA

d a bTo Tf

Tf To⋅ = + ⋅+

⋅ −

2

I operant:

&

( ) ( )qA

d a Tf To b Tf To⋅ = − + ⋅ ⋅ −12

2 2

Expressió que concorda amb la de la pàgina anterior.


ANNEX 5. CÀLCUL DE POTÈNCIES. En el present annex s’inclouen els llistats dels programes amb els quals s’ha calculat el

flux de potències al llarg de les peces per a cadascun dels quatre models , també s’han

inclosos els resultats donats per a cada programa. La geometria i conductivitats utilitzada

per a cadascun dels quatre models ha estat la mateixa amb la finalitat evident de poder

comparar els resultats.

•Model 40 Llistat del programa: #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant,P1,P2,P4; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*---------------------------------------------------------- ---------- Tsup = temperatura superior --------------------- ----------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++)


{ TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/ ALT[0]= 0.001;


ALT[1]= 0.001; ALT[2]= 0.001; ALT[3]= 0.001; ALT[4]= 0.001; ALT[5]= 0.001; ALT[6]= 0.001; ALT[7]= 0.001; ALT[8]= 0.001; ALT[9]= 0.001; ALT[10]= 0.001; ALT[11]= 0.001; ALT[12]= 0.001; ALT[13]= 0.001; ALT[14]= 0.001; ALT[15]= 0.001; ALT[16]= 0.001; ALT[17]= 0.001; ALT[18]= 0.001; ALT[19]= 0.001; ALT[20]= 0.001; ALT[21]= 0.001; ALT[22]= 0.001; ALT[23]= 0.001; ALT[24]= 0.001; ALT[25]= 0.001; ALT[26]= 0.001; ALT[27]= 0.001; ALT[28]= 0.001; ALT[29]= 0.001; ALT[30]= 0.001; ALT[31]= 0.001; ALT[32]= 0.001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques----------- -------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } }


/*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));


if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) {


Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) {


Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } printf("%f %d %d %d\n",difer,m,n,o); } f1=fopen("a:si51","w"); clrscr(); for(t=29;t>=1;t=t-1) { P1=0; P2=0; P4=0; m=t; for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P1=P1+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t+1][n][o]-TV[t][n][o]); } } for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P4=P4+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t-1][n][o]-TV[t][n][o]); } } n=7; for(m=t;m<=t;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { P2=P2+(1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])))*(TV[m][8][o]-TV[m][7][o]); } } fprintf(f1,"nivell %d \n pot superior %f\n pot inferior %f\n potencia lateral %f \n potencia total %f\n\n",t,P1,P4,P2,P1+P4+P2); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/


fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV); } float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s;


float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; } •Resultats : nivell 29 pot superior 7,439146 pot inferior -7,428342 potencia lateral -0,010500 potencia total 0,000303 nivell 28 pot superior 7,428342 pot inferior -7,417572 potencia lateral -0,010322 potencia total 0,000448 nivell 27 pot superior 7,417572 pot inferior -7,406713 potencia lateral -0,010433 potencia total 0,000426 nivell 26 pot superior 7,406713 pot inferior -7,395705 potencia lateral -0,010761 potencia total 0,000247 nivell 25 pot superior 7,395705 pot inferior -7,383965 potencia lateral -0,011333 potencia total 0,000407 nivell 24 pot superior 7,383965 pot inferior -7,371263 potencia lateral -0,012188 potencia total 0,000515 nivell 23 pot superior 7,371263 pot inferior -7,357471 potencia lateral -0,013398 potencia total 0,000394 nivell 22 pot superior 7,357471 pot inferior -7,341932 potencia lateral -0,015083 potencia total 0,000456 nivell 21 pot superior 7,341932 pot inferior -7,324113 potencia lateral -0,017425 potencia total 0,000394


nivell 20 pot superior 7,324113 pot inferior -7,302963 potencia lateral -0,020634 potencia total 0,000516 nivell 19 pot superior 7,302963 pot inferior -7,277190 potencia lateral -0,025352 potencia total 0,000421 nivell 18 pot superior 7,277190 pot inferior -7,244491 potencia lateral -0,032150 potencia total 0,000549 nivell 17 pot superior 7,244491 pot inferior -7,202140 potencia lateral -0,042207 potencia total 0,000143 nivell 16 pot superior 7,202140 pot inferior -7,198769 potencia lateral -0,003370 potencia total 0,000002 nivell 15 pot superior 7,198769 pot inferior -7,232548 potencia lateral 0,033849 potencia total 0,000070 nivell 14 pot superior 7,232548 pot inferior -7,257734 potencia lateral 0,025318 potencia total 0,000133 nivell 13 pot superior 7,257734 pot inferior -7,277265 potencia lateral 0,019692 potencia total 0,000161 nivell 12 pot superior 7,277265 pot inferior -7,293092 potencia lateral 0,015967 potencia total 0,000139 nivell 11 pot superior 7,293092 pot inferior -7,306527 potencia lateral 0,013575 potencia total 0,000140 nivell 10 pot superior 7,306527 pot inferior -7,318289 potencia lateral 0,011933 potencia total 0,000171 nivell 9 pot superior 7,318289


pot inferior -7,329026 potencia lateral 0,010897 potencia total 0,000160 nivell 8 pot superior 7,329026 pot inferior -7,339235 potencia lateral 0,010311 potencia total 0,000102 nivell 7 pot superior 7,339235 pot inferior -7,349183 potencia lateral 0,010085 potencia total 0,000138 nivell 6 pot superior 7,349183 pot inferior -7,359210 potencia lateral 0,010172 potencia total 0,000144 nivell 5 pot superior 7,359210 pot inferior -7,369631 potencia lateral 0,010562 potencia total 0,000141 nivell 4 pot superior 7,369631 pot inferior -7,380827 potencia lateral 0,011310 potencia total 0,000115 nivell 3 pot superior 7,380827 pot inferior -7,393203 potencia lateral 0,012515 potencia total 0,000139 nivell 2 pot superior 7,393203 pot inferior -7,407213 potencia lateral 0,014143 potencia total 0,000132 nivell 1 pot superior 7,407213 pot inferior -7,423563 potencia lateral 0,016480 potencia total 0,000130


•Model 60 Llistat del programa: #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant,P1,P2,P4; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*---------------------------------------------------------- ---------- Tsup = temperatura superior --------------------- ----------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL)


{ puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.1; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/ ALT[0]= 0.001; ALT[1]= 0.001; ALT[2]= 0.001; ALT[3]= 0.001; ALT[4]= 0.001; ALT[5]= 0.001; ALT[6]= 0.001; ALT[7]= 0.001; ALT[8]= 0.001; ALT[9]= 0.001; ALT[10]= 0.001; ALT[11]= 0.001; ALT[12]= 0.001; ALT[13]= 0.001; ALT[14]= 0.001; ALT[15]= 0.001;


ALT[16]= 0.001; ALT[17]= 0.001; ALT[18]= 0.001; ALT[19]= 0.001; ALT[20]= 0.001; ALT[21]= 0.001; ALT[22]= 0.001; ALT[23]= 0.001; ALT[24]= 0.001; ALT[25]= 0.001; ALT[26]= 0.001; ALT[27]= 0.001; ALT[28]= 0.001; ALT[29]= 0.001; ALT[30]= 0.001; ALT[31]= 0.001; ALT[32]= 0.001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques----------- -------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } for(m=1;m<=32;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][14][o]=100; } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t);


for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; }


TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; }


TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); if(m==1 && n<=13 && n>=8) { Ki5=0; } if(m==31 && n<=13 && n>=8) { Ki6=0; } TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6);


} if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } printf("%f \n",difer); } f1=fopen("a:si62","w"); clrscr(); for(t=29;t>=1;t=t-1) { P1=0; P2=0; P4=0; m=t; for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P1=P1+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t+1][n][o]-TV[t][n][o]); } } for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P4=P4+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t-1][n][o]-TV[t][n][o]); } } n=7; for(m=t;m<=t;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { P2=P2+(1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])))*(TV[m][8][o]-TV[m][7][o]); } } fprintf(f1,"nivell %d \n pot superior %f\n pot inferior %f\n potencia lateral %f \n potencia total %f\n\n",t,P1,P4,P2,P1+P4+P2); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/ fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV);


} float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; }


return sum; } •Resultats : nivell 29 pot superior 8,073672 pot inferior -8,019251 potencia lateral -0,054849 potencia total -0,000428 nivell 28 pot superior 8,019251 pot inferior -7,965212 potencia lateral -0,054423 potencia total -0,000384 nivell 27 pot superior 7,965212 pot inferior -7,911136 potencia lateral -0,054521 potencia total -0,000445 nivell 26 pot superior 7,911136 pot inferior -7,856734 potencia lateral -0,054712 potencia total -0,000310 nivell 25 pot superior 7,856734 pot inferior -7,802024 potencia lateral -0,055141 potencia total -0,000431 nivell 24 pot superior 7,802024 pot inferior -7,746608 potencia lateral -0,055854 potencia total -0,000438 nivell 23 pot superior 7,746608 pot inferior -7,690064 potencia lateral -0,056926 potencia total -0,000382 nivell 22 pot superior 7,690064 pot inferior -7,632110 potencia lateral -0,058484 potencia total -0,000529 nivell 21 pot superior 7,632110 pot inferior -7,571784 potencia lateral -0,060724 potencia total -0,000399 nivell 20 pot superior 7,571784 pot inferior -7,508303 potencia lateral -0,063750 potencia total -0,000269 nivell 19


pot superior 7,508303 pot inferior -7,440288 potencia lateral -0,068588 potencia total -0,000573 nivell 18 pot superior 7,440288 pot inferior -7,365297 potencia lateral -0,075501 potencia total -0,000510 nivell 17 pot superior 7,365297 pot inferior -7,279610 potencia lateral -0,085859 potencia total -0,000172 nivell 16 pot superior 7,279610 pot inferior -7,243804 potencia lateral -0,035807 potencia total -0,000001 nivell 15 pot superior 7,243804 pot inferior -7,235805 potencia lateral -0,008070 potencia total -0,000071 nivell 14 pot superior 7,235805 pot inferior -7,219842 potencia lateral -0,016127 potencia total -0,000164 nivell 13 pot superior 7,219842 pot inferior -7,198623 potencia lateral -0,021383 potencia total -0,000163 nivell 12 pot superior 7,198623 pot inferior -7,174052 potencia lateral -0,024695 potencia total -0,000124 nivell 11 pot superior 7,174052 pot inferior -7,147269 potencia lateral -0,026941 potencia total -0,000158 nivell 10 pot superior 7,147269 pot inferior -7,119040 potencia lateral -0,028362 potencia total -0,000132 nivell 9 pot superior 7,119040 pot inferior -7,089983 potencia lateral -0,029213 potencia total -0,000157 nivell 8 pot superior 7,089983 pot inferior -7,060466 potencia lateral -0,029647


potencia total -0,000130 nivell 7 pot superior 7,060466 pot inferior -7,030886 potencia lateral -0,029756 potencia total -0,000176 nivell 6 pot superior 7,030886 pot inferior -7,001431 potencia lateral -0,029589 potencia total -0,000134 nivell 5 pot superior 7,001431 pot inferior -6,972371 potencia lateral -0,029161 potencia total -0,000101 nivell 4 pot superior 6,972371 pot inferior -6,944218 potencia lateral -0,028322 potencia total -0,000169 nivell 3 pot superior 6,944218 pot inferior -6,917052 potencia lateral -0,027300 potencia total -0,000135 nivell 2 pot superior 6,917052 pot inferior -6,891315 potencia lateral -0,025823 potencia total -0,000086 nivell 1 pot superior 6,891315 pot inferior -6,867694 potencia lateral -0,023752 potencia total -0,000132


•Model 11 Llistat del programa: #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant,P1,P2,P4; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*---------------------------------------------------------- ---------- Tsup = temperatura superior --------------------- ----------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) { for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float));


if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/ ALT[0]= 0.001; ALT[1]= 0.001; ALT[2]= 0.001; ALT[3]= 0.001; ALT[4]= 0.001; ALT[5]= 0.001; ALT[6]= 0.001; ALT[7]= 0.001; ALT[8]= 0.001; ALT[9]= 0.001; ALT[10]= 0.001; ALT[11]= 0.001; ALT[12]= 0.001; ALT[13]= 0.001; ALT[14]= 0.001;


ALT[15]= 0.001; ALT[16]= 0.001; ALT[17]= 0.001; ALT[18]= 0.001; ALT[19]= 0.001; ALT[20]= 0.001; ALT[21]= 0.001; ALT[22]= 0.001; ALT[23]= 0.001; ALT[24]= 0.001; ALT[25]= 0.001; ALT[26]= 0.001; ALT[27]= 0.001; ALT[28]= 0.001; ALT[29]= 0.001; ALT[30]= 0.001; ALT[31]= 0.001; ALT[32]= 0.001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques----------- -------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); for(m=1;m<=31;m++) { for(n=13;n>=1;n=n-1) { for(o=1;o<=13;o++)


{ Tant=TV[m][n][o]; if(o!=1 && o!=13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(o==1 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(o==13 && n!=1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n]));


TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o!=1 && o!=13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==1) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); Ki4=0; Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki2+Ki3+Ki5+Ki6); } if(n==1 && o==13) { Ki1=0; Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); Ki2=0; Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m]));


Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); TV[m][n][o]=(Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); } if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } printf("%f \n",difer); } f1=fopen("a:si71","w"); clrscr(); for(t=29;t>=1;t=t-1) { P1=0; P2=0; P4=0; m=t; for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P1=P1+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t+1][n][o]-TV[t][n][o]); } } for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P4=P4+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t-1][n][o]-TV[t][n][o]); } } n=7; for(m=t;m<=t;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { P2=P2+(1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])))*(TV[m][8][o]-TV[m][7][o]); } } fprintf(f1,"nivell %d \n pot superior %f\n pot inferior %f\n potencia lateral %f \n potencia total %f\n\n",t,P1,P4,P2,P1+P4+P2); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/


fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV); } float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA; } if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum;


/*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; }

•Resultats : nivell 29 pot superior 7,406289 pot inferior -7,403197 potencia lateral -0,002707 potencia total 0,000385 nivell 28 pot superior 7,403197 pot inferior -7,399146 potencia lateral -0,003654 potencia total 0,000397 nivell 27 pot superior 7,399146 pot inferior -7,393975 potencia lateral -0,004695 potencia total 0,000475 nivell 26 pot superior 7,393975 pot inferior -7,387764 potencia lateral -0,005851 potencia total 0,000359 nivell 25 pot superior 7,387764 pot inferior -7,380243 potencia lateral -0,007153 potencia total 0,000368 nivell 24 pot superior 7,380243 pot inferior -7,371137 potencia lateral -0,008662 potencia total 0,000444 nivell 23 pot superior 7,371137 pot inferior -7,360087 potencia lateral -0,010465 potencia total 0,000585 nivell 22 pot superior 7,360087 pot inferior -7,347051 potencia lateral -0,012692 potencia total 0,000343 nivell 21 pot superior 7,347051 pot inferior -7,331084 potencia lateral -0,015539 potencia total 0,000428 nivell 20


pot superior 7,331084 pot inferior -7,311463 potencia lateral -0,019228 potencia total 0,000393 nivell 19 pot superior 7,311463 pot inferior -7,286579 potencia lateral -0,024399 potencia total 0,000486 nivell 18 pot superior 7,286579 pot inferior -7,254505 potencia lateral -0,031643 potencia total 0,000430 nivell 17 pot superior 7,254505 pot inferior -7,212097 potencia lateral -0,042146 potencia total 0,000262 nivell 16 pot superior 7,212097 pot inferior -7,208503 potencia lateral -0,003589 potencia total 0,000004 nivell 15 pot superior 7,208503 pot inferior -7,241643 potencia lateral 0,033206 potencia total 0,000066 nivell 14 pot superior 7,241643 pot inferior -7,265716 potencia lateral 0,024219 potencia total 0,000145 nivell 13 pot superior 7,265716 pot inferior -7,283649 potencia lateral 0,018118 potencia total 0,000186 nivell 12 pot superior 7,283649 pot inferior -7,297404 potencia lateral 0,013898 potencia total 0,000143 nivell 11 pot superior 7,297404 pot inferior -7,308201 potencia lateral 0,010960 potencia total 0,000163 nivell 10 pot superior 7,308201 pot inferior -7,316770 potencia lateral 0,008726 potencia total 0,000158 nivell 9 pot superior 7,316770 pot inferior -7,323685 potencia lateral 0,007032


potencia total 0,000117 nivell 8 pot superior 7,323685 pot inferior -7,329240 potencia lateral 0,005702 potencia total 0,000147 nivell 7 pot superior 7,329240 pot inferior -7,333711 potencia lateral 0,004624 potencia total 0,000154 nivell 6 pot superior 7,333711 pot inferior -7,337313 potencia lateral 0,003720 potencia total 0,000118 nivell 5 pot superior 7,337313 pot inferior -7,340127 potencia lateral 0,002936 potencia total 0,000122 nivell 4 pot superior 7,340127 pot inferior -7,342305 potencia lateral 0,002290 potencia total 0,000112 nivell 3 pot superior 7,342305 pot inferior -7,343885 potencia lateral 0,001716 potencia total 0,000136 nivell 2 pot superior 7,343885 pot inferior -7,344882 potencia lateral 0,001121 potencia total 0,000124 nivell 1 pot superior 7,344882 pot inferior -7,345330 potencia lateral 0,000553 potencia total 0,000105


•Model 22 Llistat del programa: #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <graphics.h> #include <conio.h> FILE * f1; void main (void) { void calcula(int m,int n, int o,double *AMP,double *ALT,double *ANG, float ***TV); float conduct(int i,int j,int k); float sumamp(int j,double *AMP); int m,n,o,i,j,k,b,t; float ***TV,difer,Tant,P1,P2,P4; double cangr,ALT[33],AMP[15],ANG[14],Tsup,Tinf,acum1,acum2; clrscr(); i=31; j=13; k=13; /*---------------------------------------------------------- ---------- Tsup = temperatura superior --------------------- ----------------------------------------------------------*/ Tsup=400; Tinf=360; /* --------------------------------------------------------- ------ GUARDEM MEMORIA PER LES TEMPERATURES ------------ ------------------------------------------------------- */ TV=(float***)malloc((i+2)*sizeof(float**)); if (TV==NULL) { puts("error memoria 1"); exit(1); } for(m=0;m<=(i+2);m++) { TV[m]=(float**)malloc((j+2)*sizeof(float*)); if (TV[m]==NULL) { puts("error memoria2"); exit(1); } } for(m=0;m<=(i+2);m++) {


for(n=0;n<=(j+2);n++) { TV[m][n]=(float*)calloc((k+2),sizeof(float)); if (TV[m][n]==NULL) { puts("error memoria 3"); exit(1); } } } /* -------------------------------------------------- -----------------finalitza emmagatzament------------- ----------------------------------------------------- */ /* -------------------------------------------------- -----------------omplo vectors----------------------- ----------------------------------------------------- */ /* distancies en metres, angles en radians */ /*-------------omplo amplades (j)-------------------- */ AMP[1]=0.00357; AMP[2]=0.00357; AMP[3]=0.00357; AMP[4]=0.00357; AMP[5]=0.00357; AMP[6]=0.00357; AMP[7]=0.00357; AMP[8]=0.00357; AMP[9]=0.00357; AMP[10]=0.00357; AMP[11]=0.00357; AMP[12]=0.00357; AMP[13]=0.00357; AMP[14]=0.00357; /*--------------omplo angles (k)--------------------- */ cangr=3.1415926/180; ANG[1]=2*cangr; ANG[2]=7*cangr; ANG[3]=9*cangr; ANG[4]=9*cangr; ANG[5]=9*cangr; ANG[6]=18*cangr; ANG[7]=18*cangr; ANG[8]=18*cangr; ANG[9]=18*cangr; ANG[10]=18*cangr; ANG[11]=18*cangr; ANG[12]=18*cangr; ANG[13]=18*cangr; /* ----------omplo altures (i) ---------------------*/ ALT[0]= 0.001; ALT[1]= 0.001; ALT[2]= 0.001; ALT[3]= 0.001; ALT[4]= 0.001; ALT[5]= 0.001; ALT[6]= 0.001; ALT[7]= 0.001; ALT[8]= 0.001; ALT[9]= 0.001; ALT[10]= 0.001; ALT[11]= 0.001;


ALT[12]= 0.001; ALT[13]= 0.001; ALT[14]= 0.001; ALT[15]= 0.001; ALT[16]= 0.001; ALT[17]= 0.001; ALT[18]= 0.001; ALT[19]= 0.001; ALT[20]= 0.001; ALT[21]= 0.001; ALT[22]= 0.001; ALT[23]= 0.001; ALT[24]= 0.001; ALT[25]= 0.001; ALT[26]= 0.001; ALT[27]= 0.001; ALT[28]= 0.001; ALT[29]= 0.001; ALT[30]= 0.001; ALT[31]= 0.001; ALT[32]= 0.001; /*-----------Omplo temperatures-perifŠriques----------- -------------i inicialitzo temperatures internes-----*/ for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[32][n][o]=Tsup; TV[0][n][o]=Tinf; } } acum2=0; for(b=1;b<=31;b++) { acum2=acum2+ALT[b]; } acum2=acum2+(ALT[0]+ALT[32])/2; for(m=1;m<=31;m++) { acum1=ALT[0]/2; for(b=1;b<=m-1;b++) { acum1=acum1+ALT[b]; } acum1=acum1+ALT[b]/2; for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { TV[m][n][o]=Tinf+(Tsup-Tinf)*(acum1/acum2); } } } /*------------------comencen les iteracions---------------*/ difer=1; t=0; while(difer != 0) { t=t+1; difer=0; printf("%d ",t); m=32;


for(n=8;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } for(m=31;m>=1;m=m-1) { for(n=1;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } } m=0; for(n=8;n<=14;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { Tant=TV[m][n][o]; calcula(m,n,o,AMP,ALT,ANG,TV); if(fabs(TV[m][n][o]-Tant)>difer) { difer=fabs(TV[m][n][o]-Tant); } } } printf("%f \n",difer); } f1=fopen("a:si812","w"); clrscr(); for(t=29;t>=1;t=t-1) { P1=0; P2=0; P4=0; m=t; for(n=1;n<=7;n++) { for(o=1;o<=13;o++) { P1=P1+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t+1][n][o]-TV[t][n][o]); } } for(n=1;n<=7;n++)


{ for(o=1;o<=13;o++) { P4=P4+(1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])))*(TV[t-1][n][o]-TV[t][n][o]); } } n=7; for(m=t;m<=t;m++) { for(o=1;o<=13;o++) { P2=P2+(1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])))*(TV[m][8][o]-TV[m][7][o]); } } fprintf(f1,"nivell %d \n pot superior %f\n pot inferior %f\n potencia lateral %f \n potencia total %f\n\n",t,P1,P4,P2,P1+P4+P2); } /*--------------------------------------------------------- --------------------comprovacions-------------------------- ---------------------------------------------------------*/ fclose(f1); /*--------------------------------------------------------*/ free(TV); } float conduct(int i,int j,int k) { float condaux,CONDA,CONDB,CONDS,CONDF,CONDP; /*-------------- variables---------------------------------- CONDA = conductivitat pe‡a superior CONDB = conductivitat pe‡a inferior CONDS = conductivitat interf¡cie CONDF = conductivitat del forat CONDP = conductivitat de la pols ----------------------------------------------------------*/ CONDA=30; CONDB=10; CONDS=0.3; CONDF=0.3; CONDP=0.1; /*--------------------------------------------------------- -----aquesta subrutina assigna un valor de la conductivitat -----depenen de la situaci¢ del node----------------------- ---------------------------------------------------------*/ if(j<=7) { if(i>16) { condaux=CONDA;


} if(i<16) { condaux=CONDB; } } if (i==4 || i==12 || i==20 || i==28) { if (k==1) { condaux=CONDF; } } if (i==16) { condaux=CONDS; } if(j>7) { condaux=CONDP; } return condaux; } float sumamp(int j,double AMP[]) { int s; float sum; /*------------ Aquesta subrutina em dona la distancia fins----- al radi exterior d'un node a partir de l'eix-----------------------*/ sum=0; for(s=1;s<=j;s++) { sum=sum+AMP[s]; } return sum; } void calcula(int m,int n,int o,double *AMP,double *ALT,double *ANG,float ***TV) { double Ki1,Ki2,Ki3,Ki4,Ki5,Ki6; Ki1=1; Ki2=1; Ki3=1; Ki4=1; Ki5=1; Ki6=1; if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; }


if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n==1) { Ki1=0; Ki2=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; } if(m !=0 && m!=32 && o==13 && n!=1 && n!=14) { Ki2=0; } if(m!=0 && m!=32 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; } if(m !=0 && m!=32 && o!=1 && o!=13 && n==14) { Ki3=0; } /* ------------------------ 2 part---------------------- */ if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n!=14 && n!=1) { Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; Ki6=0; } if(m==32 && o==13 && n==1) { Ki1=0; Ki2=0; Ki6=0; }


if(m==32 && o==13 && n!=1 && n!=14) { Ki2=0; Ki6=0; } if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n==14) { Ki3=0; Ki6=0; } if(m==32 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; Ki6=0; } /*----------------- 3 part --------------------------*/ if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n!=14 && n!=1) { Ki5=0; } if(m==0 && o==1 && n!=1 && n!=14) { Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==1 && n==14) { Ki3=0; Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==1 && n==1) { Ki1=0; Ki4=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n==14) { Ki3=0; Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n==1) { Ki1=0; Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o==13 && n!=1 && n!=14) { Ki2=0; Ki5=0; } if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n==14)


{ Ki3=0; Ki5=0; } if(m==0 && o!=1 && o!=13 && n==1) { Ki1=0; Ki5=0; } /*------------------------------------------------*/ if(Ki1==1) { Ki1=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n-1]/(2*conduct(m,n-1,o)*sumamp(n-1,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); } if(Ki2==1) { Ki2=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o+1])/(2*conduct(m,n,o+1)*AMP[n]*ALT[m])); } if(Ki3==1) { Ki3=1/(AMP[n]/(2*conduct(m,n,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])+AMP[n+1]/(2*conduct(m,n+1,o)*sumamp(n,AMP)*ANG[o]*ALT[m])); } if(Ki4==1) { Ki4=1/(((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])/(2*conduct(m,n,o)*AMP[n]*ALT[m])+((sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o-1])/(2*conduct(m,n,o-1)*AMP[n]*ALT[m])); } if(Ki5==1) { Ki5=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m-1]/(2*conduct(m-1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); } if(Ki6==1) { Ki6=1/(ALT[m]/(2*AMP[n]*conduct(m,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o])+ALT[m+1]/(2*conduct(m+1,n,o)*(sumamp(n-1,AMP)+AMP[n]/2)*ANG[o]*AMP[n])); } TV[m][n][o]=(Ki1*TV[m][n-1][o]+Ki2*TV[m][n][o+1]+Ki3*TV[m][n+1][o]+Ki4*TV[m][n][o-1]+Ki5*TV[m-1][n][o]+Ki6*TV[m+1][n][o])/(Ki1+Ki2+Ki3+Ki4+Ki5+Ki6); }


•Resultats : nivell 29 pot superior 7,440492 pot inferior -7,428580 potencia lateral -0,011568 potencia total 0,000343 nivell 28 pot superior 7,428580 pot inferior -7,416713 potencia lateral -0,011435 potencia total 0,000433 nivell 27 pot superior 7,416713 pot inferior -7,404710 potencia lateral -0,011535 potencia total 0,000468 nivell 26 pot superior 7,404710 pot inferior -7,392416 potencia lateral -0,011803 potencia total 0,000491 nivell 25 pot superior 7,392416 pot inferior -7,379853 potencia lateral -0,012274 potencia total 0,000289 nivell 24 pot superior 7,379853 pot inferior -7,366485 potencia lateral -0,012995 potencia total 0,000373 nivell 23 pot superior 7,366485 pot inferior -7,351979 potencia lateral -0,014045 potencia total 0,000462 nivell 22 pot superior 7,351979 pot inferior -7,336162 potencia lateral -0,015544 potencia total 0,000273 nivell 21 pot superior 7,336162 pot inferior -7,317968 potencia lateral -0,017681 potencia total 0,000513 nivell 20 pot superior 7,317968 pot inferior -7,296774 potencia lateral -0,020668 potencia total 0,000526 nivell 19 pot superior 7,296774 pot inferior -7,271184 potencia lateral -0,025150 potencia total 0,000440


nivell 18 pot superior 7,271184 pot inferior -7,239004 potencia lateral -0,031699 potencia total 0,000481 nivell 17 pot superior 7,239004 pot inferior -7,197248 potencia lateral -0,041496 potencia total 0,000260 nivell 16 pot superior 7,197248 pot inferior -7,194574 potencia lateral -0,002674 potencia total 0,000001 nivell 15 pot superior 7,194574 pot inferior -7,229475 potencia lateral 0,034971 potencia total 0,000070 nivell 14 pot superior 7,229475 pot inferior -7,255982 potencia lateral 0,026678 potencia total 0,000170 nivell 13 pot superior 7,255982 pot inferior -7,277123 potencia lateral 0,021281 potencia total 0,000139 nivell 12 pot superior 7,277123 pot inferior -7,294756 potencia lateral 0,017769 potencia total 0,000137 nivell 11 pot superior 7,294756 pot inferior -7,310166 potencia lateral 0,015585 potencia total 0,000175 nivell 10 pot superior 7,310166 pot inferior -7,324166 potencia lateral 0,014127 potencia total 0,000126 nivell 9 pot superior 7,324166 pot inferior -7,337254 potencia lateral 0,013249 potencia total 0,000162 nivell 8 pot superior 7,337254 pot inferior -7,349879 potencia lateral 0,012792 potencia total 0,000166 nivell 7 pot superior 7,349879 pot inferior -7,362410


potencia lateral 0,012656 potencia total 0,000125 nivell 6 pot superior 7,362410 pot inferior -7,375031 potencia lateral 0,012784 potencia total 0,000163 nivell 5 pot superior 7,375031 pot inferior -7,388017 potencia lateral 0,013154 potencia total 0,000168 nivell 4 pot superior 7,388017 pot inferior -7,401721 potencia lateral 0,013793 potencia total 0,000090 nivell 3 pot superior 7,401721 pot inferior -7,416391 potencia lateral 0,014790 potencia total 0,000120 nivell 2 pot superior 7,416391 pot inferior -7,432313 potencia lateral 0,016046 potencia total 0,000124 nivell 1 pot superior 7,432313 pot inferior -7,450006 potencia lateral 0,017784 potencia total 0,000091

ANNEX 6.RESULTATS En aquest annex es presenta la precissió que s’aconsegueix en cada model de conductivímetre per a diferets valors de les variables principals (conductivitat de la pols, conductivitats de les peces, diámetres ...). La precissió s’expresa com :

En el cas de tenir el cas teòric de flux perfectament axial, s’otindria un valor de l’expressió anterior igual a 100. ARXIUS DE RESULTATS DE SIMUL

Nom PROGRAM Tsup Tinf CONDA CONDB CONDS CONDF CONDP AMP[1] AMP[2] AMP[3] AMP[4] AMP[5] AMP[6] AMP[7] AMP[8] AMP[9] AMP[10] AMP[11] AMP[12] AMP[13] AMP[14] Precisió nº

ARX__

1 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,52887 1 2 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,19619 2 3 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 94,71233 3 4 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 88,54094 4 5 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 71,90351 5 6 SIMUL50 400 360 10 30 0,3 0,3 4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 71,90351 6 7 SIMUL50 400 360 10 30 0,3 0,3 1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 88,54094 7 8 SIMUL50 400 360 10 30 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 94,71233 8 9 SIMUL50 400 360 10 30 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,19619 9

10 SIMUL50 400 360 10 30 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,52887 10 11 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0029 0,00285 0,0029 0,0029 0,0029 0,0029 0,0029 0,0043 0,0043 0,00428 0,00428 0,00428 0,00428 0,00428 98,1105 11 12 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0021 0,00214 0,0021 0,0021 0,0021 0,0021 0,0021 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 97,32399 12 13 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0014 0,00142 0,0014 0,0014 0,0014 0,0014 0,0014 0,0057 0,0057 0,00571 0,00571 0,00571 0,00571 0,00571 95,47029 13 14 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0007 0,00071 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0064 0,0064 0,00642 0,00642 0,00642 0,00642 0,00642 88,99225 14 15 SIMUL50 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0004 0,00035 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0068 0,0068 0,00678 0,00678 0,00678 0,00678 0,00678 75,61144 15

100

)()(

412

2028

∗−−

ACONDBCOND

TTTT

16 SIMUL50 400 360 30 10 0,2 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,52781 16 17 SIMUL50 400 360 30 10 0,05 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,50187 17 18 SIMUL50 400 360 30 10 1 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,52959 18 19 SIMUL50 400 360 30 10 2 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,52701 19 20 SIMUL51 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 20 21 SIMUL51 400 360 30 10 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 21 22 SIMUL51 400 360 30 10 0,3 0,3 0,01 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 22 23 SIMUL51 400 360 30 10 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 23 24 SIMUL51 400 360 30 10 0,3 0,3 0,001 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 24 25 SIMUL50 400 360 20 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,88985 25 26 SIMUL50 400 360 10 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,97982 26 27 SIMUL50 400 360 5 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,88462 27 28 SIMUL50 400 360 1 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 84,26427 28 29 SIMUL50 400 360 100 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,97068 29 30 SIMUL50 400 360 50 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,21729 30 31 SIMUL50 400 395 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,17209 31 32 SIMUL50 400 380 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,46559 32 33 SIMUL50 400 370 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,50521 33 34 SIMUL50 400 340 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,54392 34 35 SIMUL50 400 300 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,55463 35 36 SIMUL50 400 250 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,56251 36 37 SIMUL50 400 360 10 30 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,52887 37 38 SIMUL50 400 360 10 50 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,21729 38 39 SIMUL50 400 360 10 100 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,97068 39 40 SIMUL50 400 360 10 20 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,88985 40 41 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 84,05477 41 42 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 71,64802 42 43 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 53,63336 43 44 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 25,12667 44 45 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 45 46 SIMUL61 400 360 10 30 0,3 0,3 4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 46 47 SIMUL61 400 360 10 30 0,3 0,3 1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 NEG 47 48 SIMUL61 400 360 10 30 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 222,9428 48 49 SIMUL61 400 360 10 30 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 143,215 49 50 SIMUL61 400 360 10 30 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 118,7796 50 51 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0029 0,00285 0,0029 0,0029 0,0029 0,0029 0,0029 0,0043 0,0043 0,00428 0,00428 0,00428 0,00428 0,00428 71,8945 51 52 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0021 0,00214 0,0021 0,0021 0,0021 0,0021 0,0021 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 67,77055 52 53 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0014 0,00142 0,0014 0,0014 0,0014 0,0014 0,0014 0,0057 0,0057 0,00571 0,00571 0,00571 0,00571 0,00571 48,85959 53 54 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0007 0,00071 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0064 0,0064 0,00642 0,00642 0,00642 0,00642 0,00642 12,44626 54 55 SIMUL61 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0004 0,00035 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0068 0,0068 0,00678 0,00678 0,00678 0,00678 0,00678 55 56 SIMUL61 400 360 30 10 0,2 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 83,60315 56 57 SIMUL61 400 360 30 10 0,05 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 79,62152 57 58 SIMUL61 400 360 30 10 1 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 84,70051 58 59 SIMUL61 400 360 30 10 2 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 84,83938 59 60 SIMUL62 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 60 61 SIMUL62 400 360 30 10 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 61 62 SIMUL62 400 360 30 10 0,3 0,3 0,01 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 62 63 SIMUL62 400 360 30 10 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 63

64 SIMUL62 400 360 30 10 0,3 0,3 0,001 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 64 65 SIMUL61 400 360 20 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 82,444 65 66 SIMUL61 400 360 10 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 77,61729 66 67 SIMUL61 400 360 5 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 147,0726 67 68 SIMUL61 400 360 1 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 NEG 68 69 SIMUL61 400 360 100 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 86,3565 69 70 SIMUL61 400 360 50 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 85,35744 70 71 SIMUL61 400 395 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 29,33476 71 72 SIMUL61 400 380 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 71,18754 72 73 SIMUL61 400 370 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 79,43768 73 74 SIMUL61 400 340 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 89,06396 74 75 SIMUL61 400 300 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 93,38349 75 76 SIMUL61 400 250 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 95,65687 76 77 SIMUL61 400 360 10 30 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 118,7796 77 78 SIMUL61 400 360 10 50 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 116,7464 78 79 SIMUL61 400 360 10 100 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 115,18 79 80 SIMUL61 400 360 10 20 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 121,305 80 81 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,47116 81 82 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,08506 82 83 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 94,52722 83 84 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 88,22993 84 85 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 71,71327 85 86 SIMUL70 400 360 10 30 0,3 0,3 4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 71,71327 86 87 SIMUL70 400 360 10 30 0,3 0,3 1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 88,22993 87 88 SIMUL70 400 360 10 30 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 94,52722 88 89 SIMUL70 400 360 10 30 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,98506 89 90 SIMUL70 400 360 10 30 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,47116 90 91 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0029 0,00285 0,0029 0,0029 0,0029 0,0029 0,0029 0,0043 0,0043 0,00428 0,00428 0,00428 0,00428 0,00428 98,01237 91 92 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0021 0,00214 0,0021 0,0021 0,0021 0,0021 0,0021 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 97,16113 92 93 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0014 0,00142 0,0014 0,0014 0,0014 0,0014 0,0014 0,0057 0,0057 0,00571 0,00571 0,00571 0,00571 0,00571 95,19336 93 94 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0007 0,00071 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0064 0,0064 0,00642 0,00642 0,00642 0,00642 0,00642 88,53514 94 95 SIMUL70 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0004 0,00035 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0068 0,0068 0,00678 0,00678 0,00678 0,00678 0,00678 95 96 SIMUL70 400 360 30 10 0,2 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,47147 96 97 SIMUL70 400 360 30 10 0,05 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,44578 97 98 SIMUL70 400 360 30 10 1 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,47108 98 99 SIMUL70 400 360 30 10 2 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,46762 99

100 SIMUL71 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 100 101 SIMUL71 400 360 30 10 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 101 102 SIMUL71 400 360 30 10 0,3 0,3 0,01 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 102 103 SIMUL71 400 360 30 10 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 103 104 SIMUL71 400 360 30 10 0,3 0,3 0,001 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 104 105 SIMUL70 400 360 20 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,84846 105 106 SIMUL70 400 360 10 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,97787 106 107 SIMUL70 400 360 5 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,80736 107 108 SIMUL70 400 360 1 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 83,81236 108 109 SIMUL70 400 360 100 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,89321 109 110 SIMUL70 400 360 50 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,1505 110 111 SIMUL70 400 395 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,47116 111

112 SIMUL70 400 380 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,41063 112 113 SIMUL70 400 370 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,44794 113 114 SIMUL70 400 340 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,485 114 115 SIMUL70 400 300 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,49645 115 116 SIMUL70 400 250 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,50498 116 117 SIMUL70 400 360 10 30 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,47116 117 118 SIMUL70 400 360 10 50 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,1505 118 119 SIMUL70 400 360 10 100 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 97,89321 119 120 SIMUL70 400 360 10 20 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,84846 120 121 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,43961 121 122 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,9472 122 123 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,00421 123 124 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 95,4433 124 125 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 86,69147 125 126 SIMUL80 400 360 10 30 0,3 0,3 4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 86,69147 126 127 SIMUL80 400 360 10 30 0,3 0,3 1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 95,4433 127 128 SIMUL80 400 360 10 30 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,00421 128 129 SIMUL80 400 360 10 30 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 98,9472 129 130 SIMUL80 400 360 10 30 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,43961 130 131 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0029 0,00285 0,0029 0,0029 0,0029 0,0029 0,0029 0,0043 0,0043 0,00428 0,00428 0,00428 0,00428 0,00428 99,19754 131 132 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0021 0,00214 0,0021 0,0021 0,0021 0,0021 0,0021 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 98,7855 132 133 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0014 0,00142 0,0014 0,0014 0,0014 0,0014 0,0014 0,0057 0,0057 0,00571 0,00571 0,00571 0,00571 0,00571 97,83875 133 134 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0007 0,00071 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0064 0,0064 0,00642 0,00642 0,00642 0,00642 0,00642 94,44785 134 135 SIMUL80 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0004 0,00035 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0068 0,0068 0,00678 0,00678 0,00678 0,00678 0,00678 135 136 SIMUL80 400 360 30 10 0,2 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,43721 136 137 SIMUL80 400 360 30 10 0,05 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,41673 137 138 SIMUL80 400 360 30 10 1 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,43219 138 139 SIMUL80 400 360 30 10 2 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,43155 139 140 SIMUL81 400 360 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 140 141 SIMUL81 400 360 30 10 0,3 0,3 0,2 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 141 142 SIMUL81 400 360 30 10 0,3 0,3 0,01 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 142 143 SIMUL81 400 360 30 10 0,3 0,3 0,4 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 143 144 SIMUL81 400 360 30 10 0,3 0,3 0,001 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 144 145 SIMUL80 400 360 20 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,57132 145 146 SIMUL80 400 360 10 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,99003 146 147 SIMUL80 400 360 5 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,19898 147 148 SIMUL80 400 360 1 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 93,66766 148 149 SIMUL80 400 360 100 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,18986 149 150 SIMUL80 400 360 50 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,31259 150 151 SIMUL80 400 395 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,10269 151 152 SIMUL80 400 380 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,3752 152 153 SIMUL80 400 370 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,41783 153 154 SIMUL80 400 340 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,45059 154 155 SIMUL80 400 300 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,46528 155 156 SIMUL80 400 250 30 10 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,47228 156 157 SIMUL80 400 360 10 30 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,43961 157 158 SIMUL80 400 360 10 50 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,31259 158 159 SIMUL80 400 360 10 100 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,18986 159

160 SIMUL80 400 360 10 20 0,3 0,3 0,1 0,0036 0,00357 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,0036 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 0,00357 99,57132 160


ANNEX 7. Importància de la concucció convecció i radiació en les interficies.

Aquest annex pretèn valorar a grans trets quina és la importància que té cadascuna d’aquestes

transferencies energètiques (conducció, convecció i radiació) en les interfícies entre dues peces.

Es prendrà el següent model com a referencia :

•Potència transmesa per conducció gasosa :

Substituint valors representatius :

•Potència transmesa per convecció gasosa :

On substituint valors representatius :

0,1 mm=0,0001 m

700 K 695 K

Q

xT

AQ

∆∆

= .λ

2400001,02.02,0 m

Wm

KmK

WAQ

==

ThAQ

∆= .

2022.20 2 == K

KmW

AQ


•Potència transmesa per radiació :

Substituint valors orientatius :

•Potència transmesa per conducció sòlida:

Substituint valors representatius :

Tenint en compte el percentatge d’ àrees que realment travessa cada tipus de transferència :

W.m-2 % de superficie W

Conducció gasosa 400 99 396

Convecció 20 99 19.8

Radiació 8 1 8

Conducció sòlida 40000 1 400

111).(

21

42

41

−+

−=

εε

σ TTAQ

2

448

16411,0

11,0

1)698700.(10.67,5

mW

AQ

=−+

−=

−

xT

AQ

∆∆

= .λ

240000001,02.20 m

Wm

KmK

WAQ

==


ANNEX 8. TIPOLOGIES D’AILLAMENTS. Els paràmetres utilitzats per a la comparació dels diversos models han estat : D1 =0.05 m D2= 0.1 m D3= 0.12 m D4= 0.14 m D5= 0.16 m D6= 0.18 m D7= 0.20 m D8=0.30 m λaill = 0.02 Wm-1K-1 T1= 773 K Tinf=293 K Sigma=5.7E-8 haire=1 Wm-2K-1 ealum=0.15 evidr=0,95 Les equacions emprades en cada model han estat : CAS I: E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 CAS II: E1 E23 E9 E45 E10 E67 E7 E8 CAS III: E1 E2 E9 E4 E10 E6 E7 E8 CAS IV: E1 E27 E7 E8 CAS V: E1 E30 E7 E8 CAS VII: E1 E25 E10 E6 E7 E8 CAS VIII: E32(sense aillaments)


On cadascuna d’elles té la següent expressió desenvolupada : •E1 •E2 •E3 •E4 •E5 •E6 •E7 •E8 •E23

)1(11)(

21

42

41

a

a

DD

TTLq

ε

πσε

−+

−=

)1(11)(

32

43

42

a

a

DD

TTLq

ε

πσε

−+

−=

3

4

43 )(2

DDLn

TTLq aill −

=πλ

)1(11)(

54

45

44

a

a

DD

TTLq

ε

πσε

−+

−=

5

6

65 )(2

DDLn

TTLq aill −

=πλ

)1(11)(

76

47

46

a

a

DD

TTLq

ε

πσε

−+

−=

)11(1)(

8

7

48

477

−+

−=

va DD

TTDLq

εε

πσ

)()( inf884

inf4

88 TTDhTTDLq

v −+−= πσπε

2

3

32 )(2

DDLn

TTLq aill −

=πλ


•E9

•E45

•E10

•E67

•E27 •E30

•E25

•E32

)1(11)(

43

44

43

a

a

DD

TTLq

ε

πσε

−+

−=

4

5

54 )(2

DDLn

TTLq aill −

=πλ

)1(11)(

65

46

45

a

a

DD

TTLq

ε

πσε

−+

−=

6

7

76 )(2

DDLn

TTLq aill −

=πλ

)1(11)(

72

47

42

a

a

DD

TTLq

ε

πσε

−+

−=

2

7

72 )(2

DDLn

TTLq aill −

=πλ

2

5

52 )(2

DDLn

TTLq aill −

=πλ

)()( inf184

inf4

18 TTDhTTDLq

v −+−= πσπε


Els sistemes d’equacions no lineals de fins a 8 equacions han estat resolts mitjançant un programa iteratiu amb la calculadora HP 48 S, els resultats obtinguts han estat els següents :

CAS1 CAS2 CAS3 CAS4 CAS5 CAS7 CAS8

T1 773 773 773 773 773 773 773T2 724,2 728,7 711,3 622 732,8 735,3T3 689,6 626,8 665T4 595,5 584,1 616,6T5 547,6 509,5 562,9 508,6T6 475,7 443,04 498 452,7T7 389,8 384,11 404,5 465,8 378,5 375,1T8 305 304 307,7 321,3 303,1 302,6Tinf 293 293 293 293 293 293 293Potència(W/m) 76,72 70,28 94,66 193 64,24 60,61 224

rati 0,3425 0,31375 0,42259 0,861607 0,286786 0,27058 1


Potència dissipada per radiació amb plaques a diferents distàncies (cas 3). CAS III: E1 E2 E9 E4 E10 E6 E7 E8 T1= 773 K Tinf=293 K Sigma=5.7E-8 Wm-2K-4 haire=1 Wm-2K-1 ealum=0.15 evidr=0,95

D8=0.30 m separació cada 0,5 mm 0,001 potència(W/m)D1 =0.05 m 72,53D2= 0.1 m D3 0,101T1= 773 K D4 0,102Tinf=293 K D5 0,103Sigma=5.7E-8 D6 0,104haire=1 Wm-2K-1 D7 0,105ealum=0.15evidr=0,95 separació cada 1mm 0,002 potència(W/m)

73,97D3 0,102D4 0,104D5 0,106D6 0,108D7 0,11

separació cada 2 mm 0,004 potència(W/m)76,7

D3 0,104D4 0,108D5 0,112D6 0,116D7 0,12

separacio cada 4 mm 0,008 potència(W/m)81,8

D3 0,108D4 0,116D5 0,124D6 0,132D7 0,14

separacio cada 8 mm 0,016 potència(W/m)90,7

D3 0,116D4 0,132D5 0,148D6 0,164D7 0,18


Gràfica de les dades anteriors :

Excel :conductivimetres aïllament

70

75

80

85

90

95

0 2 4 6 8 10distància entre làmines [m m]

potè

ncia

per

duda

[w/m

]


ANNEX 9. CONDUCTIVITATS DE DIVERSOS MATERIALS.

A continuació es presenten les conductivitats tèrmiques vs. temperatura d’ alguns dels

material emprats a laboratori .

Thermal conductity of Pyrex 7740(W/mK)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

-200 -100 0 100 200 300 400 500 600

Temperature(C)

Thermal conductity of Pyroceram 9606 (W/mk)

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

-400 -200 0 200 400 600 800 1000 1200

Temperature(C)


Thermal conductity of inconel 718 (W/mK)

5

10

15

20

25

30

-200 0 200 400 600 800 1000 1200

Temperature(C)

Thermal conductity Electrolytic Iron (w/mK)

20

30

40

50

60

70

80

90

-200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Temperature(C)


10. FULLES DE CONTROL D’EXPERIMENTACIÓ

Es presenten en aquest annex les fulles de control d’experimentació. En elles queden

reflexades les lectures realitzades en els termoparells, la conversió segons taules o

equacions de regressió a lectures de temperatura, i el càlcul del cabals en cada peça. En

l’apartat inferior, hi han els comentaris de cada experiment, i l’objectiu que es pretenia

cercar amb cada prova diferent.

Les experimentacions estan agrupades per muntatges: en cada muntatge es podien

realitzar diverses experimentacions a partir de la introducció en els PID de diferents

gradients tèrmics a les peces. Els muntatges queden reflexats per la primera xifra de

l’experimentació (exp. 5), mentres que cada lectura diferent queda reflexada per la

segona xifra (exp. 5.1, exp. 5.2, etc)...


11. FOTOGRAFIES

projecte final de carrera. salvador serra, moisès morató

Documents