EJEMPLO (PROGRAMACIN ENTERA BINARIA)

La CALIFORNIA MANUFACTURING COMPANY analiza la posibilidad de una expansin mediante la construccin de una nueva fbrica ya sea en Los ngeles o en San Francisco, o tal vez en ambas ciudades. Tambin piensa en construir, a lo sumo, un nuevo almacn, pero la decisin sobre el lugar en donde lo instalar est restringida a la ciudad donde se construya la nueva fbrica. En la cuarta columna de la tabla 11.1 se muestra el valor presente neto rendimiento total que toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo de cada alternativa. En la ltima columna se proporciona el capital requerido incluido en el valor presente neto para las respectivas inversiones, donde el capital total disponible es de 10 millones de dlares. El objetivo es encontrar la combinacin factible de alternativas que maximice el valor presente neto total.

SOLUCIN: El modelo PEB

Aun cuando este problema es tan pequeo que se puede resolver con rapidez por inspeccin construir fbricas en ambas ciudades, pero ningn almacn, se formular el modelo de programacin entera con propsitos ilustrativos. Todas las variables de decisin tienen la forma binaria.

(j =1, 2, 3,4)Sea Z = valor presente neto de estas decisiones.Si se hace la inversin para construir una instalacin dada de manera decisin correspondiente tenga valor de 1, el valor presente neto estimado de estas inversiones aparece en la cuarta columna de la tabla 11.1. Si la inversin no tanto, la variable de decisin es igual a 0, el valor presente neto es 0. Entonces con unidades de millones de dlares.Z = 9X1 + 5X2 + 6X3 + 4 X4La ltima columna de la tabla 11.1 indica que la cantidad que se gastara en las cuatro instalaciones no puede exceder a 10 millones de dlares. En consecuencia, si se sigue con el uso de estas unidades de millones de dlares, una restriccin del modelo es6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 10Como las ltimas dos decisiones representan alternativas mutuamente excluyentes la compaa quiere construir cuando mucho un almacn nuevo, se necesita la restriccin

X3 + X4 1

TABLA 11.1 Datos del ejemplo de la California Manufacturing Co.

An ms, las decisiones 3 y 4 son contingentes o condicionales porque dependen de las decisiones 1 y 2, respectivamente la compaa considerara la construccin de un almacn en determinada ciudad slo si la nueva fbrica va a estar ah. Por lo tanto, en caso de tomar la decisin 3, se requiere que X3 = 0 si Xj = 0. Esta restriccin sobre X3 (cuando X1 = 0) se impone al agregar la restriccinX3 X1De manera similar, el requerimiento de que X4 = 0 si X2 = 0 se impone con la restriccin

X4 X2

Por lo tanto, despus de escribir de nuevo estas dos restricciones para que todas las variables queden en el lado izquierdo, el modelo completo de PEB es

Maximizar Z=9X1 + 5X2 + 6X3 + 4X4sujeta a 6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 10 X3 + X4 1 -X1 + X3 0 -X2 + X4 0 Xj 1 Xj 0Y Xj es entera, para j=1, 2, 3,4.

De manera equivalente, las tres ltimas lneas de este modelo se pueden sustituir por una sola restriccin

Xj es binaria, para j=1, 2, 3,4.

Excepto por su tamao pequeo, este ejemplo representa muchas aplicaciones reales de programacin entera en las que las decisiones bsicas que se toman son del tipo s o no. Al igual que el segundo par de decisiones de este ejemplo, muchos grupos de decisiones s o no constituyen grupos de alternativas mutuamente excluyentes, tales que slo una decisin de ese grupo puede ser s. Cada grupo requiere una restriccin que obligue a la suma de las variables binarias correspondientes a ser igual a 1 si exactamente una decisin de ese grupo debe ser s o menor o igual a 1 si cuando mucho una decisin de ese grupo puede ser s. En ocasiones, las decisiones del tipo s o no son decisiones contingentes, es decir, dependen de decisiones anteriores. Por ejemplo, se dice que una decisin es contingente respecto a otra si se permite que sea si slo si la otra es s. Esta situacin ocurre cuando una decisin contingente implica una accin que sigue a otra y que se vuelve irrelevante, o imposible, si la otra decisin es no. La forma de la restriccin obtenida se ilustra en la cuarta y quinta restricciones del ejemplo.