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Pamplona

Centro de Educación Virtual y a Distancia

Programas de Educación a Distancia

Juan Carlos López Carreño Jairo Alonso Mendoza Suárez

43 Años Formando Colombianos de Bien Álvaro González Joves Rector María Eugenia Velasco Espitia Decana Facultad de Estudios Avanzados, Virtuales, a Distancia y Semiescolarizados Luis Armando Portilla Granados Director Centro de Educación Virtual y a Distancia

Universidad de

Matemática Aplicada (Fundamentación Matemática II)

Tabla de Contenido Presentación Introducción UNIDAD 1: Funciones

Descripción Temática Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 1.1 TRATAMIENTO INTUITIVO 1.2 TRATAMIENTO FORMAL

1.2.1 Propiedades Importantes de las Funciones 1.2.2 Composición de las Funciones 1.2.3 Función Inversa

Proceso de Comprensión y Análisis UNIDAD 2: Polinomios

Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 2.1 GENERALIDADES 2.2 POLINOMIOS Y SUS FACTORES

2.2.1 Multiplicación de Polinomios 2.2.2 Factorizacion de Polinomios

Proceso de Comprensión y Análisis UNIDAD 3: Función Lineal

Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 3.1 GENERALIDES 3.2 PENDIENTE DE UNA RECTA 3.3 ECUACIÓN DE UNA RECTA Proceso de Comprensión y Análisis

UNIDAD 4: Función Cuadrática Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 4.1 FUNCION CUADRATICA 4.2 APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS Proceso de Comprensión y Análisis

UNIDAD 5: Desigualdades

Núcleo Temático y Problemático Proceso de Información 5.1 INECUACIONES

5.1.2 Propiedad de Orden de la Suma Proceso de Comprensión y Análisis

UNIDAD 6: Función Exponencial y Función Logaritmo

Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 6.1 FUNCION EXPONENCIAL 6.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA

6.2.1 Funciones de los Logaritmos 6.3 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS NATURALES

6.3 1 Función Exponencial Natural 6.3.2 Función Logaritmo Natural

Proceso de Comprensión y Análisis ANEXO: Concepto de Función Hasta la Primera Mitad del Siglo XIX

Fundamentación Matemática II

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA – Centro de Educación Virtual y a Distancia

1

Presentación La educación superior se ha convertido hoy día en prioridad para el gobierno Nacional y para las universidades públicas, brindando oportunidades de superación y desarrollo personal y social, sin que la población tenga que abandonar su región para merecer de este servicio educativo; prueba de ello es el espíritu de las actuales políticas educativas que se refleja en el proyecto de decreto Estándares de Calidad en Programas Académicos de Educación Superior a Distancia de la Presidencia de la República, el cual define: Que la Educación Superior a Distancia es aquella que se caracteriza por diseñar ambientes de aprendizaje en los cuales se hace uso de mediaciones pedagógicas que permiten crear una ruptura espacio temporal en las relaciones inmediatas entre la institución de Educación Superior y el estudiante, el profesor y el estudiante, y los estudiantes entre sí. La Educación Superior a Distancia ofrece esta cobertura y oportunidad educativa ya que su modelo está pensado para satisfacer las necesidades de toda nuestra población, en especial de los sectores menos favorecidos y para quienes las oportunidades se ven disminuidas por su situación económica y social, con actividades flexibles acordes a las posibilidades de los estudiantes. La Universidad de Pamplona gestora de la educación y promotora de llevar servicios con calidad a las diferentes regiones, y el Centro de Educación Virtual y a Distancia de la Universidad de Pamplona, presentan los siguientes materiales de apoyo con los contenidos esperados para cada programa y les saluda como parte integral de nuestra comunidad universitaria e invita a su participación activa para trabajar en equipo en pro del aseguramiento de la calidad de la educación superior y el fortalecimiento permanente de nuestra Universidad, para contribuir colectivamente a la construcción del país que queremos; apuntando siempre hacia el cumplimiento de nuestra visión y misión como reza en el nuevo Estatuto Orgánico: Misión: Formar profesionales integrales que sean agentes generadores de cambios, promotores de la paz, la dignidad humana y el desarrollo nacional. Visión: La Universidad de Pamplona al finalizar la primera década del siglo XXI, deberá ser el primer centro de Educación Superior del Oriente Colombiano.

Luis Armando Portilla Granados - Director CEVDUP



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Introducción La Matemática es una de las herramientas básicas que ha construido la mente humana para facilitar su entendimiento de las ciencias, es aplicable en todas las disciplinas que se han desarrollado a través de la historia del conocimiento humano. Pero el estudio de esta ciencia es gradual, asimilar los diferentes razonamientos lógicos que ella conlleva precisa comenzar estudiando los conceptos básicos. Para tal efecto se escribió este módulo el cual pretende de una manera accesible a cualquier estudiante, conocer algunos de los elementos básicos en las matemáticas Universitarias, se ha dividido el modulo en 6 capítulos ( Funciones, Polinomios, Función Lineal, Función Cuadrática, Inecuaciones, Función Exponencial y Logarítmica). Básicamente de acuerdo a este contenido se pretende que el estudiante se familiarice con las funciones lineal Cuadrática y exponencial además de realizar algunas aplicaciones a problemas prácticos. La efectividad de este módulo esta en que el estudiante a conciencia pueda desarrollar los ejercicios y los talleres que aparecen al final de cada unidad, de otra forma se estará perdiendo el tiempo y no se asimilaran los contenidos de la manera deseada.



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UNIDAD 1 Funciones

Descripción Temática

Uno de los conceptos fundamentales en el estudio de las matemáticas, lo constituye sin lugar a dudas el de función. Se podría afirmar sin temor a equivocarnos que en todas las ramas de las matemática moderna, de una u otra forma se ve involucrado este concepto. Este concepto desempeña un papel importante en el desarrollo de muchos otros conceptos matemáticos así como en el modelamiento matemático de diversos fenómenos naturales, fenómenos sociales, etc. En las primeras secciones de esta unidad se presentará de una manera, tal vez demasiado informal, la noción de función y algunos aspectos relacionados con ella, esto con el fin de lograr una aproximación al concepto de función como lo entienden los matemáticos en la actualidad. Posteriormente se formalizará un poco este punto de vista. Al final de la unidad se presentará una lectura básica sobre lo que podría considerarse una evolución histórica del concepto de función. Núcleos Temáticos y Problemáticos Tratamiento Intuitivo Tratamiento Formal



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Proceso de Información 1.1 TRATAMIENTO INTUITIVO Desde esta óptica, puede decirse que una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A un único elemento de un conjunto B. Así por ejemplo si { }2,1,0,1,2 −−=A , { }4,3,2,1,0=B , y la función ƒ asigna a cada elemento de A su cuadrado, se tendría Las funciones son fundamentalmente denotadas por letras, tales como ƒ, g, h, ...Si la función esta definida por la regla y = x2 se llama ƒ, también se usa la notación de flechas para definir la función: Como se ha podido observar, una función es una clase especial de relación en la que no existen dos parejas ordenadas distintas con la misma primera componente, de esta manera lo dicho en el modulo de matemáticas básica I referente a las relaciones se cumplen en particular para las funciones. Así, por ejemplo: A; se llama dominio de ƒ B; se llama codominio de ƒ. La representación gráfica de la función f del ejemplo anterior seria

Diagrama Sagital Naturalmente, cuando se define una función debe especificarse su dominio. No obstante, es costumbre que cuando ello no se hace, el dominio se supone como el conjunto de todos los números reales para los cuales la regla, mediante la cual se define la función produce también números reales.

-2 -1 0 1 2

0 1 2 3 4

A Bƒ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4,2,1,1,0,0,1,1,4,2 −−=f

BAf →:2)( xxfx =→



5

Ejemplo Establecer el dominio de la función f definida por

Notar que la expresión 12

2 −+

xx

produce un único número real para cada Rx ∈ con

excepción de x = 1, ó x = -1 así:

Dominio { }1,1−−= Rf Es también muy común dar la notación )(xfy = para representar una función, la expresión )(xfy = se puede leer “y es igual a ƒ de x” e indica que la regla ƒ asigna al elemento x del dominio el elemento y del codominio de la función Ejemplo

Si 154)( 2 +

+=

xxxf determinar cada uno de los siguientes valores: )1(),1(),0( −fff

• 515

1)0(5)0(4)0( 2 ==

++

=f

• 29

1)1(5)1(4)1( 2 =

++

=f

• 21

254

1)1(5)1(4)1( 2 −=

+−=

+−+−

=−f

Ejemplo

Si bababaf

++

=32

),( y 3)( += xxg , calcular ))0(,1(),2,1(),3( gffg −

• 033)3( =+−=−g

• 339

381

21))0((1)2,1(

32

==+

=+

+=

gf

• 7428

31271

)30(1)30(1

)0(1))0((1))0(,1(

332

==+

+=

++++

=+

+=

gggf

12: 2 −

+→

xxxf



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En algunas circunstancias, bajo ciertas restricciones, dos funciones dadas se pueden “combinar” con el ánimo de obtener una nueva función, mediante la composición de funciones; la cual se obtiene aplicando una función después de la otra: la compuesta de f con g se escribe ƒ o g se define por:

Ejemplo

Si 3)( 2 += xxf y x

xxg 1)( += determinar el valor de )1)(0(),1)(0( fggf

• 732)2(1

11)19(()1)(0( 2 =+==

+

== ffgfgf

• 45

414)4()31())1(()1)(0( 2 =

+==+== ggfgfg

En el ejemplo anterior se puede apreciar que la composición de funciones no es conmutativa esto es, en general ))(0())(0( xfgxgf ≠ 1.2 TRATAMIENTO FORMAL El objeto central de esta sección es definir la notación de funciones mediante la teoría de conjuntos. Primera Definición Sea A, B dos conjuntos dados, decimos que: BAf →: es una función ó aplicación de A en B si cumple las siguientes condiciones.

• Condición a: BAf *⊆

• Condición b: Para cada AX ∈ existe un By ∈ tal que fyx ∈),(

• Condición c: Si fyx ∈),( y fwx ∈).( entonces wy =

Notar que la condición a; indica que una función de A en B es un conjunto de pares ordenados elegidos en AxB. La condición b; establece que todo elemento del conjunto de partida A figura como primer elemento de por lo menos alguna pareja ordenada de la función; finalmente la condición c, garantiza que no existen en ƒ dos parejas ordenadas distintas con la misma primera componente.1 1 Para indicar que (x, y) ∈ ƒ, es costumbre escribir y = ƒ(x) y decir que y es el valor que ƒ toma en x, o que y es la imagen de x bajo ƒ, o que ƒ envía x a y.

))(())(0( xgfxgf =



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Ejemplo Una aplicación BAf →: que envía a todo elemento de Ax ∈ , a un mismo punto,

Bb∈ , se llama una Aplicación Constante. Notar que el diagrama sagital de una tal función se vera: Observar además que una función no necesita enviar elementos distintos de B, no necesita tampoco tomar todos los elementos del codominio Ejemplo La aplicación xx → de A en A, se llama la Aplicación Identidad de A se escribe:

AAA →:1 Ejemplo Para los conjuntos A, B las aplicaciones

Si llaman "la proyección sobre la primera componente" y "la proyección sobre la segunda componente" respectivamente. Segunda Definición Sea Entonces:

• Para cada { } BXxxfXfAx ⊆∈=⊆ /)()(, . Se llama la imagen de X bajo ƒ

A Bƒ

xx →

xyxABAP

→→=

),(*1

yyxBBAP

→→=

),(*2

BAf →:



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• Para cada { } AYxfAxYfBY ⊆∈∈=⊆ − )(/)(, 1 , se llama la imagen inversa ó imagen recíproca de Y bajo ƒ

Observar la gráfica: Ejemplo Sea la función BAf →: cuyo representación sagital es: ƒ -1 (1,2) = a, b ƒ -1( 1, 3, 4 ) = c, b, d ƒ( b, c ) = 1, 3 ƒ(ƒ -1( 2, 4 )) = ƒ ( a ) = 2 El siguiente resultado resume algunas de las propiedades que goza la imagen directa inversa. Teorema 1 Si ƒ: A → B es una función y C, D son subconjuntos de B, entonces:

• parte a: ƒ -1(C ∩ D) = ƒ-1(C) ∩ ƒ -1(D)

• parte b: ƒ -1(C ∪ D) = ƒ -1(C) ∪ ƒ -1(D)

ƒ

abc d

1234

A B

ƒ A B



9

Demostración Se presentará la demostración de la parte (a), la prueba de la parte (b) se realiza de manera similar motivo por el cual se le propone como ejercicio. Supongamos que x ∈ ƒ -1(C ∩ D) entonces por definición de imagen recíproca, debe existir y ∈ (C ∩ D), entonces por definición de intersección y ∈ C ∧ y ∈ D luego: x ∈ ƒ-1(C) ∧ x ∈ ƒ -1(D), así x ∈ ƒ -1(C) ∩ ƒ -1(D) luego se ha establecido que: ƒ -1(C ∩ D) ⊆ ƒ -1(C) ∩ ƒ -1(D) (*) Análogamente, si ƒ -1(C) ∩ ƒ -1(D) entonces x ∈ ƒ -1(C) ∧ x ∈ ƒ -1(D), por lo tanto ƒ (x) ∈ C ∧ ƒ (x) ∈ D, de donde ƒ (x) ∈ (C ∩ D)y así x ∈ ƒ -1(C ∩ D). Por lo cual ƒ -1(C) ∩ ƒ -1(D) ⊆ ƒ -1(C ∩ D) (**) De (*) y (**) se puede concluir que: ƒ -1(C ∩ D) = ƒ -1(C ∩ D) Ejemplo Si ƒ: A → B es una función, M1 y M2 son subconjuntos de A. Demuestrar que: ƒ (M1 ∪ M2) = ƒ (M1) ∪ (M2)

Si y ∈ ƒ (M1 ∪ M2) ⇔ (∃x /x ∈ (M1 ∪ M2) ∧ y = ƒ (x))

⇔ (∃x) / (x ∈ M1 ∪ x ∈ M2) ∧ y = ƒ (x)

⇔ (∃x)(x ∈ M1 ∧ y = ƒ (x) ∨ x ∈ M2 ∧ y = ƒ (x) Notar que se ha usado la tautología

(p ∨ q) ∧ r ↔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)

⇔ (y ∈ f(M1) ∨ y ∈ f(M2)

⇔ y ∈ [ f(M1) ∪ f(M2) ] En la sección de ejercicios correspondientes a esta sección se le pedirá que establezca otras propiedades tanto de la imagen directa como la imagen recíproca. 1.2.1 Propiedades Importantes de las Funciones Se desea ahora destacar ciertas clases especiales de funciones. En primer lugar se tienen aquellas funciones que toman como valor todos los elementos de su codominio. En segundo lugar se encuentran las funciones en las que no se repita ninguno de sus valores.



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Tercera Definición Sea ƒ: A → B una función, decimos que:

• Parte a: ƒ es sobreyectiva (ó sobre) si para cada y ∈ B existe un x ∈ A tal que y ∈ ƒ (x)

• Parte B: ƒ es inyectiva (ƒ es uno a uno) si ƒ (x1) = ƒ (x2) entonces x1 = x2.2 Ejemplo f3 f4

• A: ƒ1 es inyectiva pero no sobreyectiva.

• B: ƒ2 es sobre pero no es inyectiva.

• C: ƒ3, es inyectiva y sobreyectiva.

• D: ƒ4, no es inyectiva y tampoco sobre. 2 Teniendo en cuenta la equivalencia entre un condicional y su recíproco (p→q ⇔ ~ q = ⇒ ~ p) La condición dada en la parte b puede también enunciarse diciendo ƒ es inyectiva ⇔ x1 ≠ x2 ⇒ ƒ (x1) ≠ ƒ (x2)

A B

C D



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Ejemplo (función inyectiva, sobre): Sean ƒ: A → B, g: C → D dos funciones dadas a partir de ellas se puede formar una nueva función: ƒxg: AxC → BxD

(x, y)→( ƒ (x), g(y)) Mostrar que:

• Si ƒ, g son inyectivas, entonces ƒ x g también lo es.

• Si ƒ, g son sobreyectivas, entonces ƒ x g también es sobre. Solución. (Tratar de resolver este ejercicio) Finalmente, aquellas funciones que reúnen en sí las dos propiedades anteriores (inyectiva y sobre) tienen nombre especifico. Cuarta Definición Una función ƒ: A → B se llama biyectiva si ƒ es sobreyectiva e inyectiva. Ejemplo

La función ƒ es biyectiva.

La función g no es biyectiva. ¿Porque?. 1.2.2 Composición de las Funciones En esta sección se define la operación de composición de funciones, se retoma la función identidad sobre un conjunto y finalmente se obtienen algunos resultados sobre la función inversa.

a

b

a

b

A B

A

ƒ

1 2 3

a b c

A B

B

ƒ



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Quinta Definición Dadas las funciones ƒ: A → B y g: B → C, se define su función compuesta g o ƒ: A → C mediante (g o ƒ)(x) = g(ƒ(x)), para todo x ∈ A. El diagrama anterior muestra como se encadenan las funciones ƒ, g para obtener su composición g o ƒ.3

Ejemplo: Sean ƒ: R→R, dada por ƒ (x) = x2 + 1 y g(x): R → R, dada por:

g(x) = -2x+2 Entonces (g o ƒ)(x) = g(ƒ (x)) = -2(ƒ (x))+2 = -2(x2 + 1)+2 = -2x2 de otro lado: (ƒ o g)(x) = ƒ (g(x)) = [g(x)]2+1 = (-2x+2)2+1 = 4x2 - 8x + 5. De esta manera se observa que ƒ o g ≠ g o ƒ, es decir la composición de funciones en general no es conmutativa. Sin embargo, la composición de funciones si es asociativa. Además, la composición de funciones preserva el carácter inyectivo o sobreyectivo de las funciones componentes, como lo indica el siguiente resultado. Proposición 1: Sean ƒ: A → B g: B →C funciones dadas

• Parte a: Si ƒ, g son inyectivas entonces g o f es también inyectiva.

• Parte b: Si ƒ, g son sobreyectivas entonces g o f es también sobreyectiva. Demostración: Se hará la prueba de la parte b y se propone como ejercicio la parte a. Por la definición de función compuesta. g o ƒ: A → C, sea z ∈ C. Como g es sobre, existe un y ∈ B tal que g(y) = z a su vez como ƒ es sobreyectiva, para este y ∈ B existe un x ∈ A tal que ƒ (x) = y.

3 Observar que en la composición g o ƒ, la primera función en actuar es ƒ.

A B

C

g

ƒ

g o ƒ



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Así pues, dado z ∈ C, existe un x ∈ A tal que (g o ƒ)(x) = g(ƒ (x)) = g(y) = z, por lo que g o ƒ es una función sobreyectiva. Se desprende a manera de corolario de la proposición anterior que: Si ƒ: A → B, g: B → C, son ambas funcione biyectivas, entonces g o ƒ: A → C es también biyectiva. 1.2.3 Función Inversa En relación con la composición de funciones surge de manera natural la siguiente pregunta: Dada la función ƒ: A → B, ¿Cuándo existe otra función g: A → B tal que:

g o ƒ = IA, g → ƒ = IB? Decir que g o ƒ = IA significa (ver diagrama) que cualquiera sea x ∈ A, se debe tener que (g o ƒ)(x) = IA(x), esto es g(ƒ (x)) = x Análogamente ƒ o g = IB, significa que ∀ y ∈ B, (ƒ o g)(y) = ƒ (g(y)) = y Así el efecto producido por una de las funciones es anulada por la otra. Es decir, si y = ƒ (x), entonces g(x) = xy recíprocamente, de esta manera si la pareja (x, y)∈ ƒ, entonces (x, y) ∈ g. Así que necesariamente g = ƒ -1 la relación inversa de ƒ. ¿Pero es ƒ -1, la relación inversa de ƒ una función? Observar el diagrama sagital de la función ƒ.

A B

C

ƒ

I A= g O ƒ

ƒ

a

b

1

2

3

B A



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Como un conjunto de parejas ordenadas. ƒ = (α, 1), (b, 1), (c, 2) De donde la relación inversa ƒ -1 vendría dada por: ƒ -1=(1, α), (1, b), (2, c) Que obviamente no es una función, ¿porqué? Por lo tanto, una primera condición que se debe poner sobre la función ƒ es que ella sea inyectiva: Teorema 2 Si ƒ: A → B es una función inyectiva, entonces la relación ƒ -1 es una función y además es inyectiva. Demostración: Para la primera parte razonemos por contradicción; Sean pues (α, x) ∈ ƒ -1 ∧ (α, b) ∈ ƒ -1, x ≠ y (1) Así (α, b) ∈ ƒ ∧ (y, α) ∈ ƒ, esto es α = ƒ (x) ∧ α = ƒ (y) de donde ƒ (x) = ƒ (y) como ƒ es inyectiva se debe tener que x = y, este resultado claramente contradice lo expuesto en (1) De esta manera ƒ -1 debe ser función ya que no existen dos parejas ordenadas diferentes con la misma primera componente. ¿Puede usted comprobar que ƒ -1 es inyectiva?4 Proposición 2: Si ƒ: A → B es biyectiva, entonces existe una función g: B → A tal que ƒ o g = IB ∧ g o ƒ = IA, además ƒ -1 = g. Sexta Definición La función g de la que habla la proposición anterior se llama la función inversa de ƒ, o también se dice que ƒ es la función inversa de g. El resultado de la proposición 2 se puede formular: Si f: A → B es una función biyectiva, entonces ƒ admite una función inversa. El objetivo de la siguiente proposición es mostrar que el recíproco del anterior resultado también es válido; esto es, si una función ƒ tiene inversa ƒ debe ser biyectiva. Proposición 3; Si ƒ: A → B admite una función inversa g, entonces ƒ es biyectiva.

4 La pregunta formulada al inicio de este parágrafo ya casi está resuelta, pero el dominio de la función ƒ -1 debe corresponder al recorrido de ƒ, para poder garantizar que en efecto ƒ -1 es una función de B en A, lo anterior se logra sólo si ƒ es sobreyectiva.



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Demostración Como por hipótesis ƒ admite inversa, se tiene que existe una función g: B → A, para la cual cada uno de los siguientes diagramas conmutan: • Sean x1, x2 dos elementos del conjunto A, tales que ƒ (x1) = ƒ (x2) aplicando g

a ambos miembros de esta igualdad se tiene g(ƒ (x1)) = g(ƒ (x2)) de donde (g o ƒ)(x1) = (g o ƒ)(x2) entonces 1A (x1) = 1A (x2) entonces x1 = x2, luego ƒ es inyectiva.

• Sean y ∈ B y = 1B(y) = (ƒ o g)(y) = f(g(y)). De esta manera, y es imagen

mediante f del elemento g(y) ∈ A, luego f es sobreyectiva De lo anterior se concluye que ƒ es biyectiva Los resultados de las dos proposiciones anteriores los podemos resumir en lo siguiente: ƒ: A → B: tiene inversa si y sólo si f es biyectiva Proceso de Comprensión y Análisis • Graficar usando diagrama sagital y un sistema coordenado cartesiano las

siguientes funciones:

- (-1,4); (1,6); (2,-1); (4,5); (3,-2)

- (-2,-2); (-1,-1); (0,0); (2,-2)

• Sobre el dominio A = -3, 2,-1, 0, 1, 2, 3 considerar las siguientes relaciones y determinar cuales de ellas representan funciones.

- 14 −= xy

ƒ A B

g

A

g o ƒ = 1A

ƒ A B

B

g

ƒ o g = 1B



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- 2

yxy +=

- 24 xy +=

- 3=+ yx • Si ƒ (x) = x2 + 3 y g (x) = x+5. Hallar las siguientes expresiones

- f(-3)

- g(4)

- (ƒ o g) (-2)

- (g o ƒ) (-2)

- g (ƒ(3))

- ƒ(g(2)) • Si R es el conjunto de los números reales y ƒ: R R, una función tal que

ƒ (x+3) = ƒ (x) + ƒ (3). Demostrar que:

- ƒ (0) = 0

- ƒ (-3) = - ƒ (3) • Sea S = R-{0,1}. Sean ƒ0, ƒ 1,... ƒ 5 funciones con dominio S definidas por:

- xxf =)(0

- x

xf 1)(1 =

- xxf −=1)(2

- x

xf−

=1

1)(3

- x

xxf 1)(4−

=

- 1

)(5 −=

xxxf

• Completar el siguiente cuadro, que contiene todos los productos posibles de

elementos del conjunto G = { ƒ0, ƒ1, ƒ2, ƒ3, ƒ4, ƒ5}



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0 ƒ0 ƒ 1 ƒ 2 ƒ 3 ƒ 4 ƒ 5

ƒ0 ƒ0 ƒ 2 ƒ4 ƒ5

ƒ1 ƒ1

ƒ2

ƒ3 ƒ 3

ƒ4

ƒ5 ƒ5

Por ejemplo para completar el cuadro se puede proceder de la siguiente manera: Así ƒ3 o ƒ4 = ƒ0. De esta forma en esta casilla se coloca ƒ0

• Si IA: A→A, IB: B→B son las funciones identidad sobre A y B respectivamente

y ƒ: A→B es cualquier función, verificar que:

- IB o ƒ = ƒ

- ƒ o IA = ƒ

- Hacer un diagrama para mostrar las funciones que intervienen en a y b • Sean A y B dos conjuntos.

- Si A = ∅ ¿Existe alguna función de A en B?

- Si A = ∅ y B = ∅ ¿Existe alguna función de A en B

• Si M1, M2 son subconjuntos de A, decir si en el caso de la intersección se da que: ƒ (M1 ∩ M2) = ƒ (M1) ∩ ƒ (M2)

• Si R es el conjunto de los números reales y ƒ: R → R una función tal que ƒ (x + 3)= ƒ (x)+f(3), demostrar que:

- ƒ (0) = 0

- ƒ (-3) = - ƒ (3)

x

xxx

xxx

xfxffxoff =+−

=−−

=

−

== 11

11

11))(())(( 34343



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• Sean ƒ: A→B, g: B→C, h: C→D funciones dadas. Mostrar que:

(h o (g o f)) = ((h o g) o f) • Si ƒ: A→B, g: B→A son funciones biyectivas. Demostrar que la inversa de g

o ƒ viene dada por ƒ -1 o g-1



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UNIDAD 2 Polinomios Núcleos Temáticos y Problemáticos Generalidades

Polinomios y sus Factores Proceso de Información

P (x) = x3-3x2+2x+1 2.1 GENERALIDADES Un monomio es un numeral, una variable, o un producto de un numeral y una o varias variables (indeterminadas). Son ejemplos de monomios las expresiones: • 4

5

• 4x

• 23

21 yx



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En el monomio αxn, donde α ∈ R, n ∈ N.

El número que representa α se llama el coeficiente;

El símbolo xn representa la parte literal del monomio, y representa una potencia de x, de una manera más concreta n exponente X base En este caso se puede decir que el exponente n indica las veces que se debe multiplicar la base x consigo misma, así:

x1 = x x2 = xx, (se lee: “x –cuadrado” ó “el cuadrado de x”) x3 = xxx, (se lee: “x-cubo” ó “el cubo de x”) En la expresión axn, el exponente n se suele llamar el grado del monomio5. Así por ejemplo:

4 es el coeficiente de 4x3: monomio de grado 3 Dos monomios se llaman semejantes o similares, si ellos tienen la misma parte literal y difieren, posiblemente, sólo en sus coeficientes. Así:

• 43x

• 4

32 x−

• 45x

Son monomios semejantes. Mientras que:

• ba2

21

• 24ab No se consideran semejantes, pues tienen distinta parte literal, pese a que ella contenga las mismas variables. Primera Definición

Un polinomio en la indeterminada x con coeficientes reales es una expresión de la forma:

5 El grado de un monomio que contiene varias variables, es la suma de los exponentes de cada una de las variables que figuren en la expresión. Por ejemplo: 3/2 = a2b2c, grado = 3+ 2+1 = 6



21

α0xn+ α1xn-1+.....+ αn-1x+αn

• Si α0 ≠ 0, se dice que el polinomio es de grado n.

• Cada monomio aixj se llama un término del polinomio.

• Los números α0, α1,...... αn-1, αn son los coeficientes del polinomio. Ejemplo

• 123 2 +− xx polinomio de grado 2, los coeficientes son 3, -2, 1.

• 3234 23 −+ xx polinomio de grado 3, los coeficientes son 4/3, 2, 0, -3

• 15 +x Polinomio de grado 1, los coeficientes son 5, 1. Dependiendo del número de términos que tenga un polinomio, este recibe ciertos nombres especiales: Binomio: es un polinomio que tiene dos términos. Son ejemplos de binomios

• 3x2-5

• 4x3 + 2x

• 2y4 + 3y

• α + 1

Trinomio: es un polinomio que consta de tres términos. Son ejemplos de trinomios:

• x2+x+1

• α3+2α-3 En la primera definición se ha hablado de polinomios en una sola indeterminada; sin embargo, también tiene sentido hablar de polinomios en varias indeterminadas, en este caso el grado del polinomio corresponde al mayor del grado de sus términos. Así:

• 12213 232 +−+ xyyxyx es un polinomio en dos indeterminadas, de grado 5,

• 324353 4223 +−+− cabccabcba polinomio tres indeterminadas, de grado 6.

• 343 xyyx + , es un binomio de grado 7.



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Segunda Definición Suma de polinomios: dados los polinomios:

p (x) = α0xn + α1xn-1+...+ αn-1x + αn, q(x) = b0xm + b1xm-1+...bn-1x + bm La suma de los polinomios p(x) y q(x) se define como el polinomio

s (x) = c0xk + c1xk-1 + ... + ck-1 + ck. Donde: k = max n, m , ci = αi + bi

Ejemplo

• Si p(x) = 4x 3- 2x2 + x - 3, q(x) = 4x2 - 3x + 4:

p(x) + q(x) = 4x3 + (-2+4) x2 + (1 + (-3)) x + (-3 + 4) = 4x3 + 2x2 - 2x + 1 • Si p(x) = 4x2 + 2x - 3, q(x) = 3x2 + x + 7:

p(x) + q(x) = (4 + 3)x2 + (2 + 1)x + (-3 + 7) = 7x2 + 3x + 46 Tercera Definición Dado el polinomio p(x) = α0xn + α1xn-1+...+ αn-1x + αn se define el inverso aditivo de p(x), como el polinomio (-p)(x) donde: (-p)(x) = (-α0)xn + (-α1)xn-1 + ....... + (-αn-1)x + (-αn). Ejemplo Dados los polinomios p(x) = 3x3 - 2x2 - 4x + 3, q(y) = -2y2 + 3y - 2, entonces:

(-p)(x) = -3x3 + 2x2 + 4x - 3

(-q)(y) = 2y2 - 3y + 2 Cuarta Definición Dados los polinomios p(x), q(x) se define la diferencia p(x) - q(x) como p(x) - q(x) = p(x) + (-q)(x) 6 Recuerde que para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de términos semejantes



23

Ejemplo Si p(x) = 3x2 - 4x +1; q(x) = x2 + 3x – 2 p(x) - q(x) = p(x) + (-q)(x) = (3x2 - 4x + 1) + (-x2 - 3x + 2)

= (3 + -1)x2 + (-4 + -3)x + (1 + 2)

= 2x2 – 7x + 3 2.2 POLINOMIOS Y SUS FACTORES Recuerde que αn, donde n es un entero positivo, significa que se debe multiplicar α consigo mismo n veces; esto es,

αn = (α × α × α ×...×α) n veces

Las leyes para trabajar con exponentes enteros positivos quedan resumidas en la siguiente tabla y que enunciamos como un teorema. Teorema Si α, b ∈ R, m, n ∈ N, entonces:

• αn × αm = αn + m

• (αn)m = αn × m

• (αb)n = αn × bn

• Si m>n, b ≠ 0. n

m

bb

= bm - n

• Sí m<n, b ≠ 0. n

m

bb

= nmb −

1

• Sí b ∉ -1, 0, 1 bm= bn ⇔ m = n Con ayuda de la definición que se ha dado de potencia y haciendo uso de las propiedades de los números reales, se puede demostrar cada una de las afirmaciones hechas en el teorema anterior. A manera de ilustración se establece la primera propiedad. La verificación de las demás propiedades se deja como ejercicio.



24

Ejemplo Simplificar cada uno de los siguientes productos:

• (4x3y2)(-3x4y3)

= 4(-3)(x3x4)(y2y3) = -12x7y5

• (-2x6y3z2)3

= (-2)3 (x6)3 (y3)3 (z2)3 = (-8x18y9z6)

• (-2m4n3)2 (mn2)3

= (-2)2 (m4)2 (n3)2 (m)3 (n2)3 = 4m8n6m3n6 = 4m11n12 Para establecer la demostración del teorema anterior con mayor rigor, usando para ello inducción matemática, era necesario haber dado la definición de potencia de una manera más precisa, de una forma inductiva. Este tratamiento formal se verá en un módulo posterior. Con el ánimo de entender los procesos que se seguirán el algunos ejemplos posteriores, es bueno que recordemos la siguiente propiedad básica de los cocientes: α Si α, b, c, d ∈ R, c ≠ 0, d ≠ 0. Entonces: . = Ejemplo Simplificar cada cociente, suponiendo que ninguna indeterminada es igual a cero. • = = 5x3-2 = -

RELACIÓN

• αnαm = (α×α×α×...×α) × (α×α×α×...×α) n-veces m-veces

• (a.a.a....a)

(n+m) veces

• = an+m

• an..a m = an+m

RAZÓN

• Definición de Potencia

• Asociatividad de la Multiplicación

• Definición de Potencia

• Propiedad Transitiva de la Igualdad

A B A.B C D C.D

-20x3y4 -20 x3 y4 1 5x 4x2y6 4 x2 y6 y6-4 y2



25

• = = - 15 a = • = = p 8-5 = Hasta el momento tan solo hemos hecho uso de exponentes enteros positivos; sin embargo, las propiedades consignadas en el teorema siguen siendo válidas para cualquier exponente entero, si se tiene en cuenta la quinta definición: Quinta Definición Para todo entero α ∈ R, α ≠ 0 y todo entero positivo n se tiene:

10 =a α0

Ejemplo Simplificar la expresión dada usando solamente exponentes positivos. • (3α4b-7)(2α-2b5) = 6(α4 α-2)(b-7b5) = 6 α4 b5 = 6(α4-2)( ) = Teniendo en cuenta que lo afirmado en el teorema se cumple para exponentes negativos, el ejemplo anterior también se hubiera podido resolver de la siguiente manera: (3α4b-7)(2α-2b5) = 6(α4 - 2)(b-7 + 5) = 6α2b-2 = • = = 31-(-3)m-5-(6)n3-(-3) = 34mn6 = 81mn6 2.2.1 Multiplicación de Polinomios Para encontrar el producto de dos polinomios se usan los axiomas de la adición y multiplicación de números reales así como las propiedades de los exponentes. Por ejemplo, para hallar el producto de (4x + 3) y (x2 - 4x + 5), se puede proceder de la siguiente manera:

30α2b3c4d - 30 α2 b3 c4 d 1 1 -15 ad -2ab6c5 2 α b6 c5 1 b6-3 c5-4 b3c

(3p4q3)2 9(p4)2 (q3)2 9p8q6 9 1 9p3

4p5q12 4p5q12 4p5q12 4 q12-6 4q6

1a2

1 b7

1 b7-5

6a2

b7

6a2

b7 3m-5n-3 3m-5n3 (3m2n)-3 3-3m-6n-3

nn

aa 1

=−



26

(4x+3) (x2-4x+5) = 4x(x2 – 4x + 5)+3(x2 – 4x + 5)

= 4x3 – 16x2 + 20x + 3x2 – 12x + 15

= 4x3 – 13x2 + 8x + 15 Ejemplo Expresar cada uno de los siguientes productos en su forma más simple. • (x + y)2 =

= (x + y)(x + y) = x(x + y) + y(x + y)

= x2 + xy + yx + y2 = x2 + 2xy + y2 • (α – 3b)(α + 4b) =

= α(α + 4b) - 3b(α + 4b)

= α2 + 4αb - 3bα - 12b2

= α2 + αb - 12b2 • (2x - 3)(2x + 3) =

= 2x(2x + 3) - 3(2x + 3)

= 4x2 + 6x - 6x - 32

= 4x2 - 9 2.2.2 Factorización de Polinomios

En la sección anterior, al realizar el producto de dos polinomios, se utilizó la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición de los números reales: a(b + c) = ab + ac, esta propiedad que viene a justificar en gran parte el proceso seguido para la multiplicación de polinomios. Por ejemplo: (3y + 1)(4y - 3) = 3y(4y - 3) + 1(4y - 3) (Propiedad distributiva)

= 12y2 - 9y + 4y-3 (Propiedad distributiva) = 12y2 - 5y - 3 (Reducción términos similares)

En esta sección se trata del problema inverso; esto es, dado un polinomio por ejemplo 12y2 - 5y - 3 el objetivo es expresar este polinomio como un producto de dos o más factores, así en el ejemplo que estamos considerando: 12y2 – 5y – 3 = (3y + 1)(4y – 3) (*)



27

Cada uno de los polinomios (factores) de grado 1, que aparecen en (*) no se pueden seguir expresando como un producto de polinomios de grado menor o igual (con coeficientes enteros), en este caso se dice que la descomposición que aparece en (*) es la Factorización de 12y2 - 5y - 3 en factores irreducibles. En general, factorizar un polinomio es una tarea bastante compleja, en algunos casos se requiere de cierta “malicia” e “ingenio” de la persona que está enfrentada al problema. No obstante, se pueden dar algunas sugerencias que pueden en un momento dado ayudarnos a factorizar muchos de los polinomios que encontraremos en nuestro curso. Factor Común Se trata de buscar un número, el más grande posible, que divida a cada uno de los coeficientes del polinomio dado y la parte literal que aparezca común en cada uno de los términos del polinomio. Ejemplo • 4x3y2 + 8x2y3 - 12xy4

Se puede observar que el máximo común divisor de los coeficientes es 4 y además que la parte literal xy2 está contenida en cada uno de los términos, así la factorización es:

4x3y2 + 8x2y3 - 12xy4 = 4xy2(x2 - 2xy – 3y2). • αx + αy + bx + by

Al agrupar los dos primeros términos y los dos últimos términos respectivamente, se obtiene:

(αx + αy) + (bx + by),

En cada uno de los binomios obtenidos de esta manera se puede sacar un factor común:

α(x + y) + b(x + y)

Finalmente, nótese que el binomio (x + y) es común a los dos binomios anteriores así,

αx + αy + bx + by = (x + y)(α + b) • x3 + x2 + x + 1 =

=(x3 + x2) + (x + 1)



28

= x2(x + 1) + 1(x + 1)

= (x2 + 1)(x + 1) Diferencia de Cuadrados Si se efectúa el producto (α + b)(α - b), se obtiene:

(α + b)(a - b) = α(α – b) + b(α – b) =α2 - αb + bα - b2 = α2 - b2, luego:

α2 – b2 = (α + b)( α – b) De esta manera, la diferencia de dos cuadrados se puede expresar como el producto de la suma por la diferencia. Ejemplo

• 9α2 - 4 = (3α)2 - 22 = (3α + 2)(3α - 2).

• x4 - 49 = (x2)2 - 72 = (x2 + 7)(x2 - 7). Observar que el factor (x2 - 7) aun se puede factorizar dentro del conjunto de los números reales:

x2 - 7 = x2 - (√7)2 = (x + √7)(x - √7) De manera análoga el factor (x2 + 7) se puede factorizar dentro de los números complejos:

x2 + 7 = x2 - (√7i)2 = (x + i√7)(x - i√7) Donde i, es el número complejo que tiene la propiedad de que i2 = -1, no obstante, se supondrá que los factores que se están buscando deben tener coeficiente enteros.

• 64α2 – 144b2 = (8α)2 - (12b)2 = (8α + 12b)(8α – 12b) = 4(2α + 3b)4(2a – 3b)

• x8 – y8 = (x4 – y4)(x4 + y4) = (x2 – y2)(x2 + y2)(x4 + y4)

= (x – y)(x + y)(x2 + y2)(x4 + y4) Trinomio Cuadrado Perfecto Un trinomio de estos se caracteriza por tener tres términos, dos de los cuales son positivos y tienen raíces cuadradas exactas, el término restante es el producto de dos veces las raíces cuadradas de los otros dos términos. Así para factorizar un



29

trinomio cuadrado perfecto tan solo se necesita de una aplicación cuidadosa de alguna de las siguientes identidades:

• α2 + 2αb + b2 (1)

• α2 - 2αb + b2 (2) Ejemplo • Factorizar el polinomio 81x2 - 18x + 1, las raíces cuadradas de 81x2 y 1 son

respectivamente 9x y 1, el término restante 18x es el doble del producto de dichas raíces: 18x = 2(9x)(1), de esta manera haciendo uso de la identidad (2) se tiene:

81x2 - 18x + 1 = (9x - 1)2 • Para factorizar el trinomio 4α2 + 12αb + 9b2 se observa que las raíces

cuadradas de 4α 2 y 9b2, son respectivamente 2α y 3b, y que el término restante 12αb es igual al doble del producto de estas raíces: 12αb = 2(2α)(3b), luego usando la identidad (1) la factorización del trinomio dado queda:

4α2 + 12αb + 9b2 = (2α + 3b)2 Trinomio de la Forma x2 + bx + c. Observar que: (x + n)(x + m) = x2 + (n + m)x + nm (3) Si el trinomio dado x2 + bx + c, se caracteriza porque el coeficiente b de x es la suma de dos números y el término independiente c es el producto de esos mismos números, la identidad (3) nos proporciona una manera de factorizar un tal polinomio, como se puede apreciar en el siguiente ejemplo: Ejemplo • Factorizar el polinomio x2 – 8x + 7 Suponemos que x2 – 8x + 7 = (x + n)(x + m) (*) Según la identidad (3) se están buscando dos números n, m tales que: n + m = -8 y m - n = 7 (1) (2) De la condición (2) se deduce que n, m deben ser del mismo signo y como 7 es un número primo, los únicos posibles valores de n, m son 1, 7 ó -1, -7. Pero la



30

condición (1) nos indica que m y n deben ser negativos, así la única posibilidad es que m = -1 y n = -7, (o lo que es equivalente m = -1 y n = -1 ) .Por lo tanto, sustituyendo estos valores en nuestra hipótesis (*) se recibe: X2 – 8x + 7 = (x – 1)(x – 7) • Factorizar x2 + x – 12 Suponemos nuevamente que: x2 +x - 12 = (x + m)(x + n) (*) Haciendo uso de la identidad (3), los números n, m que satisfacen (*) deben también cumplir las condiciones:

n + m = 1 y m × n = -12

(1) (2) De la condición (2) de deduce que m y n son divisores de 12 y además de signos contrarios, podemos suponer, sin perdida de generalidad, (¿porqué ?) que n sea negativo, los posibles valores para m y n los podemos resumir en la siguiente tabla

m n m + n

1 -12 -11

2 -6 -4

4 -3 1

Nótese que en virtud de la propiedad conmutativa del producto de números reales, no es necesario considerar los casos duales, esto es n = -1, m = 12,... Si se observa la tabla nos damos cuenta que la tercera posibilidad es la única que satisface las dos condiciones (1) y (2). Así m = 4, n = -3, reemplazando estos valores en (*), se tiene que la factorización pedida es: x2 + x – 12 = (x + )(x – 3) Trinomios de la Forma ax2 + bx + c Estos polinomios se factorizan, en caso de ser posible, reduciéndolos al caso anterior amplificando por el coeficiente α, teniendo la precaución de dejar indicado el mismo b. Ejemplo Factorizar el trinomio 12x2 + 5x – 3



31

Amplificando por 12, que es el coeficiente principal: 12x2 + 5x – 3 = Si llamamos y = 12x, el polinomio del numerador de la fracción anterior queda: y2 + 5y - 36, El cual es un trinomio que tiene la forma de los considerados en la sección anterior, factorizando éste siguiendo el procedimiento dado allí se tiene: y2 + 5y – 36 = (y + 9)(y - 4), luego 12x2 + 5x – 3 = = =

= (4x + 3)(3x - 1) Proceso de Comprensión y Análisis • Simplificar las expresiones dadas, usando solamente exponentes positivos

-

- 32

123

23

cabcba −−−

- 31

2

36

−−

−

baab

-

- 11

11 )(−−

−−

++

yxyx

• Escribir cada producto como un polinomio en su forma más simple

- (a – 2b) (2ª + 3b)

- (3 + 4x2) 2

- (a – b) (a3 + ab + b2)

- (a + b) 2

- (a2 – 4b2) (a2 +4b2)

(12x)2 + 5(12x) – 36 12x2 + 5x – 3

(y + 9)(y – 4) (12x + 9)(12x – 4) 3(4x + 3)4(3x – 1) 12 12 12

2

32

)2(4

−

−

xyyx



32

- (4x2y – 3x2y3) • Demostrar que: (α + b)2 = α2 + 2αb + b2

El resultado anterior se pudiera leer como: “el cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer término más dos veces el primero por el segundo más el cuadrado del segundo término”. Utilizando este resultado, calcular los siguientes productos:

- (x + 3y2)2

- (3α – 2b)2 - (4xy3 + 3x3y)2

Se puede ofrecer una “demostración sin palabras” del resultado anterior, con lo cual basta observar la siguiente figura:

Si el diagrama anterior se interpreta en términos de áreas, es claro que de ahí se deduce que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Podría hacer lo mismo con los siguientes productos que aparecen con bastante frecuencias en el estudio del álgebra?

- (α- b)2 = α2 - 2αb +b2 - (α – b)(α + b) = α2 – b2

• Factorizar en el conjunto de los números enteros los siguientes polinomios

- ax - ay + bx - by

- x2y2 - 4y2 - x2 + 4

- a2 + 2 a + 1 –b2

- 4m - 16m3 + 7m2n - 28m4n

- z4 - 5z2 – 6

- am2 + 3a2m - a3m2 – am

- a2 + 4αb - 21b2

a b

a

b

a2 ab

ab b2



33

• Si b y c son constantes y (x + 2)(x + b) = x2 + cx + 6, encontrar el valor de c • Si c es un número entero tal que x2 - -x - 1 es un factor de x3 + cx2 + 1,

determinar el valor de la constante c. • ¿Qué polinomio debe sumarse a 4x3 - 2x2 + 7x - 3 para obtener el polinomio:

x – 3?. • Si se sabe que 3x – 3x-1 = 234. Encontrar el valor de x. Si se sabe que xy = simplificar la expresión • Dados los siguientes polinomios,

p(x) = -x2 + 4x - 3; q(x) = x2 + 7; r(x) = -4x2 - 5x; s(x) = 4x+3

Encontrar:

- p(x) + q(x)

- (r(x) + p(x)) - q(x)

- (q(x) – r(x)) + (p(x) – s(x))

- (r(x) + s(x)) – p(x) • Simplificar la expresión bx(a2x2 +2a2y + b2y2) + ay(a2x2 + 2b2x2 + b2y2 )

bx + ay Factorizar la respuesta.

1 2

2(x+y)2

2(x-y)2



34

UNIDAD 3 Función Lineal Núcleos Temáticos y Problemáticos Generalidades

Pendiente de una Recta

Ecuación de una Recta Proceso de Información



35

3.1 GENERALIDADES Recordar que una relación de la forma: define una función, pues para cada elemento x del dominio R existe un único valor para y. El conjunto solución de la relación { }),(/),( yxpyxR = es verdadera. También es costumbre decir que el conjunto solución de la relación Ax + By = C es el conjunto de parejas ordenadas que satisfacen la ecuación. Cuando se desea representar gráficamente la relación CByAx =+ obviamente no se puede representar en el plano cartesiano todas las parejas (x, y) que satisfacen esta ecuación; no obstante, si se representan algunas parejas que la satisfacen, entonces a partir de ello nos podemos dar una idea de cómo es la naturaleza de la gráfica. Ejemplo Graficar la relación ( )432 yx + Notar que los puntos (0,4); (1,2); (2,0) satisfacen la ecuación dada. Estos puntos graficados en la figura nos sugieren que los demás puntos que pertenecen al conjunto solución de la relación dada están sobre una línea recta.

Fig. 3.1 Gráfica de la Ecuación 2x + 3y = 4 Lo anterior nos sugiere que todos los puntos (x, y) que están sobre dicha recta satisfacen también la ecuación. Se dice que esta recta es la gráfica de la ecuación 42 =+ yx

{ }RcbaCbyaxyxpyxR ∈=+= ,,;:),(/),(



36

La situación presentada en el ejemplo anterior, ocurre en general así: la gráfica de la ecuación CbyAx =+ donde RCBA ∈,, , BA, no son simultáneamente iguales a cero, es una línea recta. El recíproco también es cierto: Cada línea recta en el plano es la gráfica de una ecuación lineal en dos variables, de la forma cbyax =+ , donde a y b no son ambas Ejemplo

Graficar la ecuación 32

=y

Observar que la gráfica de esta ecuación debe consistir de todos los puntos de la forma(x, 2/3), para cualquier x. Algunos ejemplos de ellos son (0,2/3), (-1,2/3), (1,2/3). La grafica de y = 2/3 es la recta horizontal que se indica en la siguiente figura: 3.2 PENDIENTE DE UNA RECTA

Fig. 3.3

Fig. 3.2 Gráfica de la Ecuación y=2/3



37

Notar que la dificultad de la persona que camina a lo largo de la trayectoria que se describe en la figura va aumentando en la medida que el camino se hace más pendiente, esto es, en la medida en que segmentos de recta se van inclinando con respecto al suelo. Este grado de inclinación de la recta es una propiedad de la misma que se conoce como su pendiente. Formalizando un poco, considere la recta que pasa por los puntos A, B que se indican en la siguiente figura:

Fig. 3.4 La pendiente de esta recta se define por la siguiente razón: Ejemplo Determinar la pendiente de cada una de las rectas dadas y representar gráficamente estas ecuaciones

• 1=− xy

• 3=− xy Encontramos dos parejas de puntos que satisfagan cada una de estas ecuaciones, y luego usamos la fórmula de la pendiente • (0,1) y (1,2) satisfacen y - x = 1

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6X

Y

• (X1, Y1)

• (X1, Y1)

xxxxyy

m12

12

12 , ≠−

−=

111

0112

==−−

=m



38

• (0,3), (1.4), satisfacen y - x = 3

Fig. 3.5 Gráfica de las Ecuaciones y - x = 3, y - x = 1 Observar que si se despeja la variable y en cada una de las ecuaciones dadas, nos queda:

• 31 += xy

• 11 += xy Se puede apreciar que el coeficiente de x es la pendiente de la recta. Esto realmente se cumple en general y es precisamente lo que se afirma en el siguiente teorema. Teorema

Si RBA ∈, , 0, ≠BR , la pendiente m de la recta Ax + By = C viene dada por BA

− ,

Demostración Como se ha supuesto que B ≠ O se puede despejar y de la ecuación CByAx =+

para obtener BCx

BAy +−= sean ),(

11 yxA = y ),(22 yxB = dos puntos

cualesquiera que estén sobre la recta, por lo tanto sus coordenadas deben satisfacer la ecuación, así:

X

6

5

4

3

2

1

1 2

Y

-2 -1

-1

111

0134

==−−

=m



39

(1)

(2) Recordando la fórmula de pendiente:

(3) Reemplazando en la ecuación las expresiones dadas en (1) y (2) para y1, y2, respectivamente, se recibe: Ejemplo Determinar la pendiente m de la recta 834 =− xy

Despejando la variable y de la ecuación dada, tenemos que 243

+= xy por el cual

en el teorema se concluye que 43

=m

3.3 ECUACIÓN DE UNA RECTA Teniendo en cuenta el hecho de que dos puntos distintos )1,4(=A y )3,1(−=B determinan una única recta, se puede usar la fórmula de pendiente, para encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A, B. Como se ilustra en los siguientes ejemplos. Ejemplo Determinar la ecuación de la recta que contiene los puntos

• A = (4, 1) y

• B = (-1, 3)

BC

BA

BC

BA

xy

xy

+−=

+−=

22

11

xxyy

m12

12

−

−=

BAB

ABC

BA

DC

BA

mxx

xxxx

xx−=

−

−−=

−

+−−

+−

=12

12

12

22 )(



40

La ecuación general de una recta no vertical, CByAx =+ , se puede escribir como

BCx

BAy +−= puesto que

BAm −= , la ecuación anterior se puede simplificar y

escribir en la forma bmxy += donde b es el término constante BC

Con los puntos dados A, B se puede calcular la pendiente m de la recta: Sustituyendo las coordenadas de cualquiera de los puntos dados en la ecuación ,

bmxy += se puede encontrar el valor de la constante b.

En este caso vamos a sustituir (4, 1) en bxy +−

=52

se obtiene b+−= )4(521 de

donde 5

13=b . Luego la ecuación de la recta que pasa por los puntos: )1,4(=A y

)3,1(−=B es 5

1352

+−= xy

Siguiendo un procedimiento similar al del ejemplo anterior se puede fácilmente mostrar que la ecuación de la recta que pasa por los puntos: ),(

11 yxA = y

),22( yxB = xx 21

≠ es

)(1

12

121 xxx

yyy xy −−

−=− (*)

Si la expresión dada para la pendiente xxyym

12

12

−

−= se reemplaza en (*) se obtiene

La cual se conoce como la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta. Si el punto P(x1, y1) de la recta L está sobre el eje y como muestra la figura 3.6, esto es el punto P(x1, y1) es el punto donde la recta L intercepta al eje y, entonces x1 = 0 y la ordenada y1 de P se llama el y-intercepto de L.

52

4113

12

12 −=−−−

=−

−=

xxyy

m

)( 11 xy xmy −=−



41

Fig. 3.6 Usando la forma punto-pendiente de L tendríamos

De donde la ecuación de una recta con pendiente m e y-intercepto b es:

Esta se conoce como la forma pendiente y-intercepto de la ecuación de la recta. La abscisa del punto de intersección de la recta L con el eje X se llama x-intercepto Ejemplo Hallar la ecuación de la recta con y-intercepto 3 y x-intercepto -2

Usando la forma pendiente y-intercepto, se concluye que: 323

+= xy es

la ecuación perdida. Proceso de Comprensión y Análisis • Graficar cada una de las siguientes ecuaciones:

- 2x + 3y = 4

- y = 3

- y - 2 = 2(x + 1)

- y + 2x - 3 = 0

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7

L

P(x1,y1)

)0(1

−=− xmy ybmxy +=

bmxy +=

23

)2(003

=−−

−=m

bmxy +=



42

• Determinar en cada caso de a que hace que el punto dado esté sobre la gráfica de la ecuación dada

- αx + 3y = -5; (4, 9)

- 2x + αy = -3; (1, -5)

- αy + (α - 2)x = 8; (-3,7) • Determinar y graficar la pendiente de cada una de las rectas dadas:

-

-

- • Usando el punto dado A y la pendiente m dada. Encontrar un segundo punto B,

luego trazar la recta que pasa por los puntos A y B.

- );1,2(−=A 41

=m

- );2,6(=A 3−=m - );0,4(=A 2=m

• Encontrar el valor de la constante k, si se sabe que la recta que pasa por los

puntos (7,2k - 5) y (3, -2) es paralela a la recta que pasa por los puntos (-9, 5) y (-6,k + 4). ( Dos rectas se dicen paralelas si sus pendientes son iguales).

• Determinar el valor de k tal que la recta que pasa por los puntos (-2, 3) y (6,k)

tiene y-intercepto 4. • Determinar la ecuación en la forma bmxy += de la recta que pasa por el

punto dado y satisface la condición dada.

- (2, 6) y es paralela a la recta 3x - 4y = 7

- (-2, 9) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (2, 8) y (-1, 11). • Determinar el valor de la constante k para el cual los puntos (k -1,2), (k, 4) y

(3,11) están todos sobre la misma recta.

1223 =− xy

131

21

=− yx

423

=+ yx



43

UNIDAD 4 Función Cuadrática Núcleos Temáticos y Problemáticos Formula Cuadrática

Aplicaciones de las Funciones Cuadráticas Proceso de Información

Fig. 4.1: Gráfica de la Ecuación y = x2-2x-3 Una función definida por una expresión polinomial de grado 2 se llama función cuadrática en x. Son ejemplos de funciones cuadráticas en x:

• ƒ 375)( 2 −+= xx x

• xxg x 65)( 2 +=

• xxh 2)( =

La forma más general de una ecuación cuadrática es: ƒ cbxax x ++= 2)(



44

En la cual a , b y c representan constantes (Es importante notar que b y c pueden ser cero pero α no, ya que si α = 0 quedará una ecuación lineal). La función cuadrática, más simple es f(x) = x2 y la gráfica de esta función es:

Fig. 4.1 Gráfica de la Función y = x2 La curva aquí obtenida se denomina Parábola, y toda ecuación de la forma:

cbxay x ++= 2 tiene una parábola como gráfica. El dominio de esta función es el

conjunto de todos los números reales y el rango depende de las constantes a, b, y c (En el ejemplo el rango corresponde a todas las y ≥ 0). Fig. 4.2. Funciones y = (x – 1)2 y = (x - 1)2 y = x2 + 2 y = x2 - 2

Una de las propiedades interesantes de la función cuadrática es que es simétrica respecto a una recta vertical, que se llama eje de simetría. La gráfica de y = x2 es simétrica respecto al eje y (en consecuencia es una función par). La parábola tiene un punto de retorno llamado vértice y se encuentra en la intersección de la parábola con el eje de simetría. La gráfica de la función ƒ xx 2)( = sirve como base para hallar las gráficas de otras

funciones cuadráticas (Es interesante observar como al agregarle un término las gráficas se desplazan ya sea vertical u horizontalmente, como se muestra en la figura (4.2)).



45

Con el fin de conocer mejor el comportamiento de la función cuadrática es conveniente como ejercicio graficar las siguientes funciones: • • • Un caso interesante es la gráfica de la ecuación cuadrática cbxayx ++= 2 la cual es una parábola que se abre hacia la derecha cuando α > 0 o hacia la izquierda cuando α < 0. Estas parábolas se trazan con procedimientos semejantes a los de las parábolas verticales.

Fig. 4.3 Gráfica de la Función x = y2 4.1 FORMULA CUADRÁTICA Cuando una función cuadrática esta expresada en la forma cbxaxxf ++= 2)( , es conveniente para su graficación darla en forma estándar: khxaxf +−= 2)()( La técnica para encontrar la ecuación anterior es la denominada Completar cuadrados, la cual busca encontrar un trinomio cuadrado perfecto en x. Ejemplo Escribir la función 34)( 2 ++= xxxf de la forma estándar:

xy 2

21

=

xy 23=

22 +−= xy

3(?))4( 2 +++= xxy



46

Evidentemente si se reemplaza el interrogante por 4, se obtiene un trinomio cuadrado perfecto entre paréntesis (Se debe restar 4 para no alterar la ecuación).

342 ++= xxy 43)44( 2 −++++ xx

1)2( 2 −+= xy Si el término cuadrático tiene coeficiente se desarrolla en forma análoga como se muestra en el siguiente ejemplo

11(?))6(211122 22 −−−−=−+−= xxxxy 762)3(21811)96(2 2 +−−=+−+−−= xxxy

Ejemplo Escribir 243 2 −−= xxy en la forma khxay +−= 2)( , localizar el vértice y el eje de simetría, graficar la curva y decir en que intervalo la función es creciente o decreciente, cual es su concavidad.

243 2 −−= xxy

342

94

343 2 −−

+−= xxy

342

94

343 2 −−

+−= xxy

310

323

2

−

−= xy

El vértice es el punto,3

10323

2

−

−= xy . El eje de Simetría x = 2/3

Fig. 4.4 Grafica de la Función y = 3x2 – 4x - 2



47

De acuerdo a la gráfica se puede observar que es decreciente en el

intervalo:

∞−

32, y creciente en

∞,22

. La curva es cóncava hacia arriba.

Otra característica de la parábola es que puede intersectar al eje x o no. (como se muestra en las figuras siguientes)

Fig. 4.5 Gráfica de Funciones Cuadráticas las cuales Intersectan o no al Eje X En las figuras se aclara que si hay abscisas al origen estos valores de x son las soluciones de la ecuación 02 =++ cbxax , si no hay abscisa al origen la ecuación no tiene solución en el campo de los números reales. Ejemplo Determinar las abscisas al origen de la función 6)( 2 −−= xxxf De acuerdo a este enunciado se deben determinar los valores de x para los cuales 062 =−− xx , por simple factorización se obtiene: Luego se hace cero en los valores 02 =+x ; 2−=x y 3−=x ; 3=x Las abscisas al origen son -2 y 3. A estas abscisas al origen de la parábola se les denomina raíces de la ecuación 0)( =xf ; también se denomina ceros de la función

)(xf Se desarrollará ahora una fórmula general para hallar las raíces de una ecuación cuadrática:

02 =++ cbxax 0=a cbxax −=+2 Dividendo entre a

)3)(2(062 −+==−− xxxx



48

ac

abx −=+2 Sumando a cada lado

ab4

2

ab

ac

abx

abx

44

222 +−=++ Factorizando el lado izquierdo

2

22

44

aacb

bax −

=

+

2

2

44

aacb

abx −

±=+

aacbbx

242 −±−

=

Es denominada Formula Cuadrática, luego obtenemos de allí las dos raíces de la ecuación una con el valor positivo de la raíz y otra con el negativo. Al término acb 42 − se le denomina Discriminante ya que por medio de el se puede obtener la siguiente información:

042 >− acb Se hallan dos raíces (dos abscisas)

042 <− acb No hay abscisa (La curva no toca el eje x luego no hay soluciones reales)

042 =− acb Una abscisa al origen (La curva solo toca el eje x en un punto) 4.2 APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS Las funciones cuadráticas se usan para resolver una gran diversidad de problemas, la clave esta en plantear correctamente el sistema en el que intervine la ecuación cuadrática y solucionarla de acuerdo a los métodos estudiados Ejemplo La longitud de una pieza rectangular de cartón es 2 cm mayor que su ancho. Se forma una caja abierta como se muestra en la figura, cortando cuadrados de 4 cm



49

cada esquina y doblando los lados hacia arriba. El volumen de la caja debe ser de 672 cm3. Calcular las dimensiones del cartón original. Sea x el ancho de la pieza de cartón. Entonces x + 2 es su longitud. Después de haber cortado los cuadrados y de haber doblado los lados, las dimensiones de la caja son: Longitud: 682 −=−+= xxl Ancho: 8−= xw Altura: 4=h Ya que el volumen debe ser 672 cm3, y como whV 1= , se tiene que:

O bien 6−=x Luego las dimensiones del cartón original son: Ancho: cmw 20=

Longitud: cml 22220 =+= Ejemplo Determinar dos enteros positivos consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 113. Sea x el primer entero. Entonces x + 1 es el siguiente entero consecutivo. La suma de sus cuadrados se puede representar mediante: 22 )1( ++ xx así:

11312113)1(

22

22

=+++

=++

xxxxx

200)6)(20(012014

168)8)(6(6724)8)(6(

2

==+−=−−

=−−=−−

xxx

xxxxxx



50

0)8)(7(056

0112220122

2

2

2

=+−=−+

=−+

=++

xxxx

xxxx

7=x o bien 8−=x Como el ejercicio pide que los enteros sean positivos se debe rechazar el valor de.

8−=x . Por consiguiente, 7=x y 81 =+x . Los dos enteros positivos son 7 y 8. Una de las aplicaciones interesantes de la ecuación cuadrática es en Física, a continuación se presenta un ejercicio modelo. Ejemplo Una bola se arroja directo hacia arriba, desde el nivel del suelo, con una velocidad inicial igual a 32 m/s. La altura de la bola h a los t segundos después, está expresada por 21632 ttx −=

• Cuál es la altura máxima que alcanza la bola?

• Cuándo regresa la bola al suelo? Primero se resuelve completando cuadrados: Esta es una parábola cuyo vértice esta en (1, 16). Como el coeficiente de 2t es negativo, la curva se abre hacia abajo. La máxima altura que es de 16m se alcanza en 1 segundo.

Fig. 4.6 Gráfica de la Función X=32t-16t2

16)1(1616)12(16

)2(163216

2

2

2

2

+−−=

++−−=

+−=

+−=

tt

tttt

21632 ttx −=

16 14 12 10 8 6 4 2



51

La bola llega al suelo cuando la distancia mx 0= . Así

00)2(1601632 2

==−==−=

tttxttx

o bien 2=t . Ya que en 0=t es el momento inicial, la bola regresa al piso 2 segundos después, cuando 2=t Proceso de Comprensión y Análisis • ¿Qué quiere decir Función cuadrática? • Bajo que condiciones se dice que la gráfica de la función f(x) es simétrica con

respecto al eje y? • Trazar las gráficas de las siguientes funciones:

- 2xy = - 2)2( += xy - 3)2( 2 −+= xy

• Para cada una de las siguientes funciones decir si es creciente o decreciente. ¿Cuál es su concavidad?. Determinar las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría.

- 1)2(4)( 2 +−= xxf - 3)2(3)( 2 +−−= xxf - 3)1(5)( 2 −−= xxf

• Escribir en la forma estándar:

- 342 −+= xxy - 11122 2 +−−= xxy

- 3321 2 −+= xxy

• Hallar el valor de X usando la fórmula cuadrática:

- 01072 =++ xx



52

- 025102 =+− xx

- 033 2 =++ xx • La suma de dos números es 40. Determinar los dos números, si su producto

debe ser máximo. • Suponer que se disponen de 120 metros de cerca para encerrar un jardín

rectangular. Qué dimensiones se deben usar para que el jardín tenga un área máxima, sí uno de sus lados lo forma una pared.

• La fórmula 803216 2 ++−= tth expresa la altura h, en metros, sobre el piso, a la

que llega un objeto en t segundos si es arrojado directo hacia arriba desde la azotea de un edificio de 80 metros de altura.

- ¿Cuál es la altura máxima que llega el objeto?

- ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la máxima altura?

- ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo?



53

UNIDAD 5 Desigualdades

Núcleos Temáticos y Problemáticos Inecuaciones Proceso de Información 5.1 INECUACIONES En matemáticas no solo contamos con las igualdades (Ecuaciones) sino también tenemos las desigualdades. Para tal efecto comenzaremos por recordar como se ubican los números en la Recta Real. En tal recta un número α es menor que otro b si α se encuentra a la izquierda de b. Esto es α < b. También es fácil ver que b es mayor que α o b > α.



54

Definición de ba < Para dos números reales cualesquiera, α y b, ba < (o ab > ) si y solo si ab − es un número positivo; esto es, si y solo si 0>− ab 5.1.1 Propiedad de Tricotonomía Para dos números reales cualesquiera, α y b, es válido exactamente uno de los siguientes casos: • ba <

• ba =

• ba >

5.1.2 Propiedad de Orden de la Suma El mismo número se puede sumar, o restar de cada lado de una desigualdad, y el sentido de la nueva desigualdad no cambia. Por ejemplo: • 105 <

• 31035 +<+

• 138 < La anterior propiedad se denomina Propiedad de orden de la suma y se enuncia así: Para todos los números reales a, b y c:

Si ba < entonces cbca +<+

Si ba > entonces cbca +>+ Ejemplo Determinar el conjunto solución de la desigualdad 1273 −≤+ xx ; donde el símbolo ≤ significa "menor o igual que".

1273 −≤+ xx

)7(12)7(73 −+−≤−++ xx

823 −≤ xx



55

)2(82)2(3 xxxx −+−≤−+

8−≤x El conjunto de soluciones consiste de todos los números reales que son menores que, o iguales a -8, esto es { }8/ −≤xx Cuando se realizan multiplicaciones a ambos lados de una desigualdad se debe tener especial cuidado por que no siempre se conserva el sentido de la desigualdad, por tanto se debe tener en cuenta la siguiente propiedad de orden en la multiplicación: Para todos los números reales; α, b, y c:

Si ba < y c es positivo, entonces bcac <

Si ba < y c es negativo,entonces bcac > Ejemplo Resolver la siguiente desigualdad 10)23(5 ≥− x Dividiendo por 5 a cada lado:

1051)23(5

51

≥− x

Sumando –3 a cada lado Dividiendo entre (-2)

)1(21)2(

21

−−≤−− x

Luego el conjunto solución es }{ 4/ −<xx A veces se puede resolver la desigualdad conociendo las propiedades de los números. Así en el ejemplo que se presenta a continuación se llega a la solución por que se sabe que si la fracción es negativa, los signos del numerador y del denominador son diferentes.

223 ≥− x

)3(2)3(23 −+≥−+− x12 −≥− x

21

≤x



56

Ejemplo

Resolver la desigualdad 04

1<

+x

Como el numerador de la fracción es positivo, esa fracción será menor que cero si el denominador es negativo. Entonces: El conjunto Solución es { }4/ −<xx Las Desigualdades se pueden graficar como intervalos, esto permite tener una visión de la forma como se comporta la solución en la recta real. Los casos que se presentan son los siguientes:

Fig. 5.1 Representación en Forma de Intervalos de los Diferentes Casos de Desigualdades Proceso de Comprensión y Análisis • Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades:

- 213 ≥X

- xx 6572 −≥+

- 523 +≤− xx

- 1)1(2 −<+ xx

- 3415

21

+>−x

- 05

2≤

− x

- 7526

53

+−<−− xx

04 <+x4−<x



57

- 01

2>

+−

x

- 853 =+x

- 3)1(3 ≤+− x • La suma de un entero más cinco, menos tres veces ese entero está entre 34 y

54. Determinar todos los posibles pares enteros que satisfagan lo anterior. • Para obtener una calificación de B+ en álgebra, un estudiante debe pasar un

examen con promedio mínimo de 86, pero menos de 90. Si la calificación en sus tres primeros exámenes fueron 85, 86, 93. Qué calificación en la cuarta prueba le garantizarán una B+.



58

UNIDAD 6 Función Exponencial y Función Logaritmo Núcleos Temáticos y Problemáticos Función Exponencial

Función Logarítmica

Funciones Exponenciales y Logarítmicas Naturales Proceso de Información

6 1 FUNCIÓN EXPONENCIAL Cuando se duplican las cantidades en forma repetida, su número aumenta drásticamente, por ejemplo si colocamos una hoja de papel en el piso después otra sobre ella, después otras dos más en la columna, después 4, después 8 y así sucesivamente. En otras palabras, en cada paso se duplica la cantidad de hojas en la pila. Se pueden emplear potencias de 2 para tener un registro del crecimiento del papel. De acuerdo con el comportamiento de ese crecimiento cuando se

X

Y

X

Y



59

tengan 50 duplicaciones, se tendrán 250 hojas de papel, lo cual crea una columna que rebasaría fácilmente la altura de cualquier habitación. La tabla de potencias de 2 se puede expresar mediante la función (6.1) Esta función con una variable en el exponente se denomina función exponencial: Para toda constante b > 0, b = 1, la ecuación

(6.2) Define la Función Exponencial, con base b y dominio de todos los números reales x. Veamos a continuación el comportamiento de la función xy 2=

FIG 6.1 Función y = 2X Es interesante recordar las propiedades que cumplen los exponentes

• srsr bbb +=

• rrr abba )(=

• srs

r

bbb −=

• 10 =b

• rssr bb =)(

• rr

bb 1

=−

Las gráficas de todas las funciones exponenciales de la forma xby = tienen la misma estructura de la figura (6.1). Como se muestra a continuación.

nnfy 2)( ==

Xby =



60

FIG. 6.2 Gráficas de Funciones Exponenciales Todas son crecientes, cóncavas hacia arriba y pasan por el punto (0,1). Procediendo de izquierda a derecha, las curvas crecen con mayor rapidez a medida que se hace más grande la base b. En el ejemplo que se presenta a continuación se muestra la forma como se pueden transladar las gráficas de las funciones exponenciales: Ejemplo Usando la gráfica de la función xy 2= trazar las curvas 32 −= xy y 12 −= xy

Fig. 6.3. Gráficas de las Funciones 2x; y=2x-3; y=2x-1

Las funciones exponenciales no tienen en cuenta la base 1 ya que se convierte en una constante, es interesante ahora explorar el caso para el cual 0 < b < 1 en especial el caso si b = 1/2 osea se tiene la función

xx

x

g −==

= 2

21

21



61

FIG. 6.4 Gráfica de la Función 2-x

Como puede observarse las ordenadas de g son iguales a las de f del lado opuesto del eje y. En otras palabras, la gráfica de g es la reflexión de la de f en el eje y. Otra función interesante de analizar en la función exponencial es la gráfica de la función xxh −−= 3)(

Fig. 6.5 Gráfica de la Función h(x) = -3 -x La función exponencial xbxfy == )( cumple las siguientes propiedades:

• El dominio consiste en todos los números reales x.

• El rango consiste en todos los números positivos y.

• La función es creciente (La curva sube) cuando b > 1 y es decreciente cuando 0 < b < 1

• La curva es cóncava hacia arriba cuando b > 1 y cuando 0 < b < 1

• Es una función biunívoca

• El punto (0,1) pertenece a la curva. No hay abscisa en el origen.

• El eje x es una asíntota horizontal a la curva, hacia la izquierda cuando b > 1 y hacia la derecha cuando 0 < b < 1



62

La propiedad biunivoca se puede expresar del siguiente modo: entonces 21 xx = (6.3) Se puede emplear esta propiedad para resolver ciertas ecuaciones exponenciales como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplo Hallar el valor de x que satisface 5x2 = 625

42 55 =x

42 =x

2±=x Ejemplo Despejar x de la ecuación

8131

1 =+x

4)1( 33 =−− x

4)1( =−− x

3−=x 6.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA Una de las propiedades de la función exponencial xbxfy == )( es que es una función biunivoca. Esto quiere decir que tiene una función inversa cuya gráfica se puede obtener reflejando la gráfica de 2by = en la recta xy = . Se puede observar esto en la figura (6.6), primero para el caso b > 1 y luego 0 < b < 1

Fig. 6.6 Gráfica de las funciones y(x) = 0.5x y y(x) = 2x

)()( 21 xfxf ==

6255 2 =x



63

Se puede obtener una función g(x), La función inversa, intercambiando como sigue los papeles de las variables. FUNCION

xbxfyf == )(:

FUNCION INVERSAybygxg == )(:

Así ybx = es una ecuación para g. Desafortunadamente no se tiene manera de resolver ybx = , para obtener y en forma explícita en función de x. Para superar esta dificultad se emplea una nueva terminología. La ecuación xby = dice que: y es el exponente de b que produce x. En casos como este se usa el término logaritmo en lugar de exponente. Ahora se puede decir que: y es el logaritmo de b que produce x. Esta descripción se puede abreviar con y = logaritmobx, la cual se escribe de la siguiente forma: Luego para toda constante b > 0, b = 1, la ecuación: Define una Función Logarítmica con base b y dominio en toda x > 0 El dominio de la función logaritmo consiste en todos los números positivos, y el rango consiste en todos los números reales. En la figura (6.7) se muestra el comportamiento de las funciones exponencial y logarítmica repetir grafica

FIG. 6.7 Gráfica de las funciones y(x) – logx y y(x) = bx

Ejemplo Determinar el dominio de la función )3(log2 −= xy y graficar la función.

xLogy b=

xLogy b=



64

En )3(log2 −= xy , la cantidad x - 3 desempeña el papel de x en xy 2log= , Así: 03 >−x . Luego el dominio consiste en toda x>3. Por consiguiente para encontrar

la gráfica se desplaza tres unidades a la derecha la gráfica de xy 2log= , como se muestra en la figura (6.8).

Fig. 6.8 Gráfica de la Función y(x)=Log2(x - 3) En los ejemplos que se presentan a continuación se muestra como se debe despejar x, y o b de la forma xy blog= Ejemplo Calcular: 642Log

62642

646

2

===

=

y

Logyy

calcular: 2431

3Log

5

3313

2431

55

3

=

==

=

−

y

Logy

y

Ejemplo

Despejar la variable indicada:

• 273Logy =

279 =y



65

32 3)3( =y

32 =y

23

=y

• 438 =bLog

438 =bLog

843

=b

34

344

3

8)( =b

162)8(8 44334

===

16=b 6.2.1 Funciones de los Logaritmos Si M y N son positivos, b>0 y b=1, entonces:

NLogMLogMNLog bbb +=

NLogMLogNMLog bbb −=

NKLogNLog bk

b =)( Como los logaritmos son exponentes, estas leyes se pueden demostrar empleando las leyes de los exponentes. A continuación se demuestra la primera ley, las otras dos se dejan como un ejercicio académico:

rMLogb = y sNLogb =

rbM = y NLogMLog bb −

srbMN +=

srMNLogb +=

NLogMLogMNLog bbb +=



66

En la mayoría de las aplicaciones científicas y técnicas se escriben los números en notación científica, y por consiguiente, se usan logaritmos base 10. Estos logaritmos se llaman logaritmos comunes o logaritmos decimales. Además, cuando no se indica la base, siempre se considera el logaritmo como base

)(10 10 LogNNLog = Ejemplo Calcular 12Log con los datos 3010,02 =Log y 477,03 =Log

12211212 2

1 LogLogLog ==

Con frecuencia se encuentran logaritmos en cualquier base diferente a base 10, pero las calculadoras vienen programadas para trabajar en base 10 por lo tanto se hace necesario cambiar de base, para lo cual se utiliza la siguiente ecuación: La demostración es sencilla:

NbNLogy

yb

=

=

[ ]

[ ]

[ ]

5396.0

3010.0)4771.0(21

2321

22321

2321

4321)43log(

21

2

=

+=

+=

+=

+=

+=⋅=

LogLog

LogLog

LogLog

LogLog

bLogNLogLogN

a

a=

bLogNLogy

a

a=

NLogbyLogNLogbLog

aa

ay

a

==



67

Los logaritmos intervienen en diversidad de fórmulas que se aplican a fenómenos naturales. Por ejemplo, la intensidad del sonido se mide en decibelios, nombre dado en honor de Alexander Graham Bell, y se pueden determinar con la siguiente fórmula: D: cantidad de decibelios.

I: intensidad del sonido, medida en Watts por centímetro cuadrado.

Io: intensidad del sonido más débil que se puede oír, que se acepta universalmente, como 10-16 watts por centímetro cuadrado.

Ejemplo Calcular la intensidad de un sonido de 120 decibelios:

=

=

=

0

12

0

0

12

12

10120

II

IILog

IILog

410−−= La intensidad es 10-4 watts por centímetro cuadrado, lo cual se considera que es el umbral del dolor a causa de lo fuerte del sonido. Las leyes de los logaritmos se aplican para resolver las ecuaciones logarítmicas como se muestra en el ejemplo siguiente: Ejemplo

Despejar x de ( ) 26)6( 88 =++− xLogxLog

2)6()6( =++− xxLog

2)36( 28 =−xLog

22 836 =−x

=

0

10IILogD

( )( ) ( )( )1216120 101010 −== II



68

01002 =−x

0)10)(10( =−+ xx Luego los valores de x son 10−=x y 10=x . Pero observando inicialmente el enunciado queda descartada la solución x = -10 ya que de acuerdo al enunciado del problema se debe cumplir que x > 6. De todas maneras al reemplazar los valores de 10=x y 10−=x se descarta la segunda respuesta por no cumplir la igualdad. 6.3 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS NATURALES

La expresiónn

n

+

11 en la cual n representa un entero positivo, desempeña un

papel importante en el estudio del cálculo infinitesimal, en problemas de interés compuesto etc. Cuando se hace crecer el número ( )∞→nn esta expresión tiende a un número llamado e; se atribuye al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) el descubrimiento del número e. Euler fue uno de los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos, escribió uno de los primeros textos de cálculo infinitesimal, al igual que más de 60 volúmenes de trabajos originales. Se le acredita una fórmula que relaciona algunos de los números más importantes en matemáticas 01 =+ie donde 1−=i

en

n

→

+

11 cuando ∞→n ...590457182818284.2=e

℮ es la base más importante de la funciones exponenciales y logarítmicas. 6.3.1 Función Exponencial Natural La función exponencial natural, para todos los números reales x se define:

xey = Como 2 < ℮< 3, la gráfica de la función exponencial natural xey = tiene la misma forma que las curvas xby = para b > 1, y queda entre las gráficas de xy 2= y

xy 3=



69

Fig. 6.9 Gráfica de la Función y(x) = ℮x a gráfica de ℮-x presenta la gráfica simétrica de ℮x respecto del eje y como se muestra en la figura (6.10):

Fig. 6.10 Gráfica de la Función y(x) = ℮-x La función inversa de xey = es xLogy e= . En lugar de se escribe Ln x el cual se llama logaritmo natural de x, así las ecuaciones x = ℮y y y = Lnx son equivalentes. En forma análoga como se estudian las funciones inversas, es interesante comparar las gráficas de las dos funciones.

Fig. 6.11 Gráfica de la función f(x) = ℮x y g(x) = Lnx



70

Como xexf =)( y xxg ln)( = son funciones inversas entonces: xexfxgfx ln)(ln))(( === para toda x

xexe

x

x

=

=

ln

ln

Propiedades de y = ex

• Dominio: todos los números reales.

• Rango: toda y > 0

• La función es creciente.

• La curva es cóncava hacia arriba.

• Es función biunivoca: si ℮X1 = ℮X2, entonces x1 = x2

• 10 << xe cuando 1;0 >< xex cuando 0>x

•

• xe x =ln

• Asíntota Horizontal y = 0 6.2.2 Función Logaritmo Natural Como se vio anteriormente, la función Logaritmo natural es opuesta a la función exponencial natural. Propiedades de y = Lnx

• Dominio: toda x > 0

• Rango: todos los números reales

• La función es creciente.

• La curva es cóncava hacia abajo.

• Es función biunivoca: si 21 LnxLnx = , entonces 21 xx =

• 01=Lnx cuando 0;01;10 >=<< LnxLnx cuando 1>x

• 2121 LnxLnxxLnx +=

2121

21

2

1

2121

)(xxxx

xxx

x

xxxx

ee

eee

eee

=

=

=

−

+



71

1212)( LnxxLnx x =

• xLnex =

• Asíntota vertical 0=x Es interesante observar la combinación de funciones como la gráfica 2Lnxy = Donde el dominio consiste en toda 0=x

Fig. 6.12 Gráfica de la Función y(x) = Lnx2 Ejemplos

• Convertir ( ) )1()2(121 22 ++−−−+ xLnxxLnxLn en el logaritmo natural de una

sola expresión en x

( ) )1()2(121 22 ++−−−+ xLnxxLnxLn

( ) ( ) ( )

)1)(2()1(1

)1)(2()1(1

211

2

2

22 21

−−−+

=

+−−−−+=

−−−−−+=

xxxx

xxLnxLnxLn

xxLnxLnxLn

• Despejar t de 512 =−te

512 =−te

512 Lnt =−

512 Lnt −=

)5ln1(21

−=t



72

• Despejar a x de: ( ) LnxxLn −=− 11

1)1( =−− LnxxLn

11=

−x

xLn

ex

x=

+1

1+= xex

1=− xex

1)1( =− xe

11−

=e

x

Proceso de Comprensión y Análisis • Convertir cada una de estas expresiones en el logaritmo de una sola expresión.

- )5(21 2 ++ xLnLnx

- )1(3)1(3 −++ xLnxLn

- )1(31)1(2

21 2 +−−− xLnxLnLnx

- )1(2 −−+ xLnLnxLn

- )11()1( 22 ++−− xLnxLn • Simplificar:

- )( 3xeLn

- xLne

- )( 32exLn

- Lnxe 2−

- 2)( Lnxe

- 1−x

x

eeLn



73

• Despejar X

- 10053 =+xe

- 2701.0 =− xe

- 43

eee xx =

- xe x 2)1ln( =−

- 12 =+ LnLnx

- 0)1( =+xLn

- 0)2()4( 2 =+−− xLnxLn

- 0)21()1( 2 =−−+ xLnex

- 8324

21 LnLnLnx +=

• Demostrar que: 4)()( 22 =−+ −− xxxx eeee • Despejar x en términos de y, si:

(Sugerencia: sea u = ℮x y resuelva la ecuación cuadrática en u que resulta)

x

x

eey

21

2−=



74

ANEXO Concepto de Función Hasta la Primera Mitad del Siglo XIX Lea detenidamente el siguiente texto el cual es un fragmento tomado del artículo "el concepto de función hasta la primera mitad del siglo XIX" del autor A. P. Youschkevitech, Arch. Hist. Exact. Sci. Nº 16. Pp. 37-85. Observaciones preliminares. Hasta ahora, la historia de las funciones no ha sido estudiada con debida suficiencia. En realidad, este importante tema lo esquiva incluso C. Boyer, de cuyo libro [1] sobre la historia de los conceptos más importantes del cálculo se efectuaron en tres ediciones. Resulta innecesario decir que en este trabajo, así como en otros que existen sobre la historia de las matemáticas, se hacen algunas referencias a características aisladas de la evolución del concepto de dependencia funcional, así como las interpretaciones que diversos eruditos han dado a esta dependencia aun cuando son indudablemente valiosas, tales enunciados no nos proporcionan el panorama global de la cuestión, ni siquiera cuando se les considera en su conjunto. Además, las opiniones de diversos autores con frecuencia difieren entre sí; en particular, no se ponen de acuerdo con respecto a la época en que realmente se originó el concepto de función. Tal vez el punto de vista que más comúnmente se expresa es el que apareció en el en el famoso libro de D. E. Smith ([2], Pág. 376), quien hace unos cincuenta años afirmaba: “...después de todo, el primero en expresar claras y públicamente la idea de la relación funcional, según lo demuestra la utilización de coordenadas, fue Descartes...” Sin embargo, la opinión que externa Boyer ([1],Pág. 156) hablando de las obras de Fermat, hombre erudito contemporáneo de Descartes, es el siguiente: “...el concepto de funciones y la idea de que ciertos símbolos representen variables, no parecen figurar en el trabajo de ninguno de los matemáticos de la época...”



75

Por otro lado, W. Hartner y M. Schramm ([3], Pág. 215) suponen que: “La cuestión del origen y del desarrollo (del concepto de función) por lo común se trata con sorprendente unilateralidad; se la trata casi exclusivamente en relación con el análisis cartesiano, el cual, a su vez, se afirma (erróneamente, a nuestro entender) que es un rebote tardío de las latitudines formarum con que trabajaban los eruditos del Medievo” Y además: “...La operación con funciones había ya alcanzado un alto grado de perfección en la época en que se hicieron los primeros intentos por conformar un concepto general de las mismas...” Estos autores aducen que las operaciones con funciones se pueden encontrar en los cálculos astronómicos de los sabios de la antigüedad (como, por ejemplo, en los de Ptolomeo), posteriormente en la ciencia árabe y, desde luego, en los trabajos de Al-biruní (a quien se refiere el articulo de los autores). En un libro (4) publicado después del citado anteriormente (1) y dedicado a la historia de la geometría analítica, Boyer señala otros prototipos de funciones entre los matemáticos griegos. Así, considerando el uso de las proporciones, dice (Pág.5 ): Esto era en cierta medida, equivalente al uso moderno de las ecuaciones como expresión de relaciones funcionales, aun cuando muchos mas restringido El mismo autor ([4], Pág. 46), así como J. E. Hofman ([5], Pág. 80-81), A. C. Crombie ([6], Vol. II, Pág. 88-89) y otros, establecen una relación entre las expresiones geométricas de las funciones y el cálculo de sus valores, por un lado y, por el otro, la teoría de cálculo y la teoría de las latitudes de las formas que aparecieron en el siglo XIV. Sin embargo H. ([7], Pág. 145) suponía que la idea de función en la ultima de las teorías mencionadas, (no): contenía. “(...ni el mas mínimo concepto de la dependencia de una magnitud con respecto a otra) En tanto que para E. T. Bell ([8], Pág. 32), hasta los matemáticos babilonios poseían el instinto de la relación de función. Y finalmente, la opinión de la existencia de una idea de funciones entre los matemáticos antiguos han sido expresados recientemente por O. Pedercen [9].



76

No voy ha ser más extensa esta lista de opiniones, alguna de las cuales concuerdan, mientras que otras se oponen entre sí; a veces son correctas y otras incorrectas o, cuando menos, incompletas. Únicamente agregaré que, por lo que toca al siglo XIX, la definición clásica que aparece en casi todos los trabajos de la época sobre análisis matemático, por lo común es atribuida o bien a Dirichlet o a Lobachevski (1837 a 1834, respectivamente). Sin embargo, históricamente hablando esta opinión generalizada es inexacta, ya que el concepto general de función como la relación arbitraria entre pares de elementos, cada uno tomado de su propio conjunto, fue formulada mucho antes, a mediados del siglo XVIII.

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