Computadora

Programacin en C Ing. Leonel Antonio Quijano Acua

Unidad II

m,jx. INTRODUCCIN

La computadora no solamente es una mquina que puede realizar procesos para darnos resultados, sin que tengamos la nocin exacta de las operaciones que realiza para llegar a esos resultados. Con la computadora, adems de lo anterior, tambin podemos disear soluciones a la medida de problemas especficos que se nos presenten. Mas an, si estos involucran operaciones matemticas complejas y/o repetitivas, o requieren del manejo de un volumen muy grande de datos.

El diseo de soluciones a la medida de nuestros problemas, requiere como en otras disciplinas una metodologa que nos ensee de manera gradual, la forma de llegar a estas soluciones.

A las soluciones creadas por computadora se les conoce como programas y no son mas que una serie de operaciones que realiza la computadora para llegar a un resultado, con un grupo de datos especficos. Lo anterior nos lleva al razonamiento de que un programa nos sirve para solucionar un problema especifico.

Para poder realizar programas, adems de conocer la metodologa mencionada, tambin debemos de conocer, de manera especifica las funciones que puede realizar la computadora y las formas en que se pueden manejar los elementos que hay en la misma.

Conceptos de Programacin

Computadora: Es un dispositivo electrnico utilizado para procesar informacin y obtener resultados. Los datos y la informacin se pueden introducir en la computadora como entrada (input) y a continuacin se procesan para producir una salida (output).

Proceso de informacin en la computadora

Datos de

Proceso

Datos de

entrada

salida

Programa: Es el conjunto de instrucciones escritas de algn lenguaje de programacin y que ejecutadas secuencialmente resuelven un problema especifico.Lenguaje: Es una serie de smbolos que sirven para transmitir uno o mas mensajes (ideas) entre dos entidades diferentes. A la transmisin de mensajes se le conoce comnmente como comunicacin.

La comunicacin es un proceso complejo que requiere una serie de reglas simples, pero indispensables para poderse llevar a cabo. Las dos principales son las siguientes:

* Los mensajes deben correr en un sentido a la vez.

* Debe forzosamente existir 4 elementos: Emisor, Receptor, Medio de Comunicacin y Mensaje.

Lenguajes de Programacin

Es un conjunto de smbolos, caracteres y reglas (programas) que le permiten a las personas comunicarse con la computadora.

Los lenguajes de programacin tienen un conjunto de instrucciones que nos permiten realizar operaciones de entrada/salida, calculo, manipulacin de textos, lgica/comparacin y almacenamiento/recuperacin.

Los lenguajes de programacin se clasifican en:

Lenguaje Maquina: Son aquellos cuyas instrucciones son directamente entendibles por la computadora y no necesitan traduccin posterior para que la CPU pueda comprender y ejecutar el programa. Las instrucciones en lenguaje maquina se expresan en trminos de la unidad de memoria mas pequea el bit (dgito binario 0 o 1).

Lenguaje de Bajo Nivel (Ensamblador): En este lenguaje las instrucciones se escriben en cdigos alfabticos conocidos como mnemotcnicos para las operaciones y direcciones simblicas.

Lenguaje de Alto Nivel: Los lenguajes de programacin de alto nivel (BASIC, pascal, cobol, frotran, etc.) son aquellos en los que las instrucciones o sentencias a la computadora son escritas con palabras similares a los lenguajes humanos (en general en ingles), lo que facilita la escritura y comprensin del programa.

Definicin de Algoritmo

La palabra algoritmo se deriva de la traduccin al latn de la palabra rabe alkhowarizmi, nombre de un matemtico y astrnomo rabe que escribi un tratado sobre manipulacin de nmeros y ecuaciones en el siglo IX.

Un algoritmo es una serie de pasos organizados que describe el proceso que se debe seguir, para dar solucin a un problema especifico.

Lenguajes algortmicos

Es una serie de smbolos y reglas que se utilizan para describir de manera explcita un proceso.

Tipos de Lenguajes Algoritmicos Grficos: Es la representacin grfica de las operaciones que realiza un algoritmo (diagrama de flujo). No Grficos: Representa en forma descriptiva las operaciones que debe realizar un algoritmo (pseudocodigo).

Grficos :

Diagrama de Flujo

Un diagrama de flujo es la representacin grfica de un algoritmo. Tambin se puede decir que es la representacin detallada en forma grfica de como deben realizarse los pasos en la computadora para producir resultados.

Esta representacin grfica se da cuando varios smbolos (que indican diferentes procesos en la computadora), se relacionan entre si mediante lneas que indican el orden en que se deben ejecutar los procesos.

Los smbolos utilizados han sido normalizados por el instituto norteamericano de normalizacin (ANSI).Recomendaciones para el diseo de Diagramas de Flujo Se deben se usar solamente lneas de flujo horizontales y/o verticales.

Se debe evitar el cruce de lneas utilizando los conectores.

Se deben usar conectores solo cuando sea necesario.

No deben quedar lneas de flujo son conectar.

Se deben trazar los smbolos de manera que se puedan leer de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha.

Todo texto escrito dentro de un smbolo deber ser escrito claramente, evitando el uso de muchas palabras.

Diagramas estructurados (Nassi-Schneiderman)

El diagrama estructurado N-S tambin conocido como diagrama de chapin es como un diagrama de flujo en el que se omiten las flechas de unin y las cajas son contiguas. Las acciones sucesivas se pueden escribir en cajas sucesivas y como en los diagramas de flujo, se pueden escribir diferentes acciones en una caja. Un algoritmo se represente en la sig. forma:

Modelo:

Inicio

Accion1

Accion2

. . .

Fin

No Grgicos: PseudocodigoMezcla de lenguaje de programacin y espaol (o ingles o cualquier otro idioma) que se emplea, dentro de la programacin estructurada, para realizar el diseo de un programa. En esencial, el pseudocodigo se puede definir como un lenguaje de especificaciones de algoritmos.

Es la representacin narrativa de los pasos que debe seguir un algoritmo para dar solucin a un problema determinado. El pseudocodigo utiliza palabras que indican el proceso a realizar.

Ventajas de utilizar un Pseudocodigo a un Diagrama de Flujo

Ocupa menos espacio en una hoja de papel

Permite representar en forma fcil operaciones repetitivas complejas

Es muy fcil pasar de pseudocodigo a un programa en algn lenguaje de programacin.

Si se siguen las reglas se puede observar claramente los niveles que tiene cada operacin.

Modelo:

Accion1

Accion2

.

.

AccionN

Fin

Ejemplos de Algoritmos

Identificador:Es el carcter alfabtico o grupo de caracteres alfabticos o alfanumricos que se emplean para representar algo en la solucin de un problema.

Ejemplo: Dada la figura del triangulo ABC, el coseno de ngulo A puede calcularse mediante la formula dada posteriormente. Redactar un algoritmo para calcular el coseno para cada uno de los ngulos, si se proporciona como nico dato el valor de los lados.

1. Inicio.

2. leer a.

3. leer b.

4. leer c

5. Cos_A = b2 + c2 + a2/2bc

6. Cos_B = a2 + c2 b2/2ac

7. Cos_C = b2 + a2 c2/2ab

8. Imprimir el coseno del ngulo que es : cos_A

9. Imprimir el coseno del ngulo que es : cos_B

10. imprimir el coseno del ngulo que es : cos_C

11. Fin.

Estructuras Algoritmicas

Las estructuras de operacin de programas son un grupo de formas de trabajo, que permiten, mediante la manipulacin de variables, realizar ciertos procesos especficos que nos lleven a la solucin de problemas. Estas estructuras se clasifican de acuerdo con su complejidad en:

- Asignacin

Secuenciales

- Entrada

- Salida

- Simples

EstructurasCondicionales

Algoritmicas

- Mltiples

- Hacer para

Cclicas

- Hacer mientras

- Repetir hasta

Estructuras Secuenciales

La estructura secuencial es aquella en la que una accin (instruccin) sigue a otra en secuencia. Las tareas se suceden de tal modo que la salida de una es la entrada de la siguiente y as sucesivamente hasta el fin del proceso. Una estructura secuencial se representa de la siguiente forma:

Inicio

Accion1

Accion2

.

.

AccionN

Fin

- Asignacin: La asignacin consiste, en el paso de valores o resultados a una zona de la memoria. Dicha zona ser reconocida con el nombre de la variable que recibe el valor. La asignacin se puede clasificar de la siguiente forma:

Simples: Consiste en pasar un valor constate a una variable (a=15)

Contador: Consiste en usarla como un verificador del numero de veces que se realiza un proceso (a=a+1)

Acumulador: Consiste en usarla como un sumador en un proceso (a=a+b)

De trabajo: Donde puede recibir el resultado de una operacin matemtica que involucre muchas variables (a=c+b*2/4).

- Lectura: La lectura consiste en recibir desde un dispositivo de entrada (p.ej. el teclado) un valor. Esta operacin se representa en un pseudocodigo como sigue:

Leer a, b

Donde a y b son las variables que recibirn los valores

-Escritura: Consiste en mandar por un dispositivo de salida (p.ej. monitor o impresora) un resultado o mensaje. Este proceso se representa en un pseudocodigo como sigue:

Escribe El resultado es:, R

Donde El resultado es: es un mensaje que se desea aparezca y R es una variable que contiene un valor.

Estructuras de Condicionales

Las estructuras condicionales comparan una variable contra otro(s) valor(es), para que en base al resultado de esta comparacin, se siga un curso de accin dentro del programa. Cabe mencionar que la comparacin se puede hacer contra otra variable o contra una constante, segn se necesite. Existen dos tipos bsicos, las simples y las mltiples.

Simples: Las estructuras condicionales simples se les conoce como Tomas de decisin. Estas tomas de decisin tienen la siguiente forma:

Si entonces

Accin(es)

Fin-si

Decisin: Es una comparacin o relacin existente entre 2 identificadores y un valor. Es decir, dados los valores A y B se puede tener de ellas la siguiente relacin:

A>B A es mayor que B.

A=B A es igual que B.

A= 70 entoncesImprimir alumno aprobado si noImprimir alumno reprobado Fin-siFin3) En un almacn se hace un 20% de descuento a los clientes cuya compra supere los $1000 Cual ser la cantidad que pagara una persona por su compra?Inicio Leer compra Si compra > 1000 entonces desc = compra * 0.20 si nodesc = 0 fin-si tot_pag = compra - desc imprimir tot_pagfin.Problemas Selectivos Compuestos para diagramar1) Leer 2 nmeros; si son iguales que los multiplique, si el primero es mayor que el segundo que los reste y si no que los sume. Inicio Leer num1, num2 *si num1 = num2 entoncesresul = num1 * num2 si no-si num1 > num2 entoncesresul = num1 - num2 si noresul = num1 + num2-fin-si * fin-si fin2) Leer tres nmeros diferentes e imprimir el numero mayor de los tres.Inicio Leer num1, num2, num3 Si (num1 > num2) and (num1 > num3) entoncesmayor = num1 si noSi (num2 > num1) and (num2 > num3) entoncesmayor = num2 si nomayor = num3fin-si fin-si Imprimir mayorfin3) Determinar la cantidad de dinero que recibir un trabajador por concepto de las horas extras trabajadas en una empresa, sabiendo que cuando las horas de trabajo exceden de 40, el resto se consideran horas extras y que estas se pagan al doble de una hora normal cuando no exceden de 8; si las horas extras exceden de 8 se pagan las primeras 8 al doble de lo que se pagan las horas normales y el resto al triple.Inicio Leer ht, pph Si ht < = 40 entoncestp = ht * pph si nohe = ht - 40Si he < = 8 entoncespe = he * pph * 2 si nopd = 8 * pph * 2pt = (he - 8) * pph * 3pe = pd + ptfin-sitp = 40 * pph + pe fin-si Imprimir tpfin4) Calcular la utilidad que un trabajador recibe en el reparto anual de utilidades si este se le asigna como un porcentaje de su salario mensual que depende de su antigedad en la empresa de acuerdo con la sig. tabla:TiempoUtilidadMenos de 1 ao5 % del salario1 ao o mas y menos de 2 aos7% del salario2 aos o mas y menos de 5 aos10% del salario5 aos o mas y menos de 10 aos15% del salario10 aos o mas20% del salarioInicio Leer sm, antig Si antig < 1 entoncesutil = sm * 0.05 si noSi (antig > = 1) and (antig < 2) entoncesutil = sm * 0.07 si noSi (antig > = 2) and (antig < 5) entoncesutil = sm * 0.10 si noSi (antig > = 5) and (antig < 10) entoncesutil = sm * 0.15 si noutil = sm * 0.20fin-sifin-sifin-si fin-si Imprimir utilfin5) En una tienda de descuento se efecta una promocin en la cual se hace un descuento sobre el valor de la compra total segn el color de la bolita que el cliente saque al pagar en caja. Si la bolita es de color blanco no se le har descuento alguno, si es verde se le har un 10% de descuento, si es amarilla un 25%, si es azul un 50% y si es roja un 100%. Determinar la cantidad final que el cliente deber pagar por su compra. se sabe que solo hay bolitas de los colores mencionados. Inicio leer tc, b$ si b$ = blanca entonces d=0 si no si b$ = verde entonces d=tc*0.10 si no si b$ = amarilla entonces d=tc*0.25 si no si b$ = azul entonces d=tc*0.50 si no d=tc fin-si fin-si fin-si fin-si finEstructuras CclicasHasta el momento las instrucciones vistas, sirven para realizar todo el proceso una sola vez. Si se quisiera repetir estas sentencias, deber ejecutarse de nuevo el programa. Para evitar este problema surge un mecanismo iterativo llamado instrucciones repetitivas. Estas instrucciones cclicas, son controladas (abortadas, canceladas o terminadas) mediante el cumplimiento de una condicin o a travs de un contador automtico.Por lo tanto, Se llaman problemas repetitivos o cclicos a aquellos en cuya solucin es necesario utilizar un mismo conjunto de acciones que se puedan ejecutar una cantidad especifica de veces. Esta cantidad puede ser fija (previamente determinada por el programador) o puede ser variable (estar en funcin de algn dato dentro del programa).Los ciclos se clasifican en: a) Mientras-hacer-fin de mientras b) Repetir-hasta c) Desde-hasta-hacer-fin desde a) Mientras-hacer- fin de mientras (Do while).Realiza repetitivamente un proceso mientras la condicin dada sea verdadera, salindose del ciclo en el momento que la condicin sea falsa. Simbologa General : Simbologa ejemplo:Ejercicio.- Diagrama de flujo para leer un nmero entero que debe ser no negativo. Calcular el factorial de dicho nmero. (Ejemplo: Factorial 5! =5x4x3x2x1 =120)Observacin importante. Si al iniciar el ciclo repetitivo, la concicin no se cumple, se sale del proceso sin que se realice alguna vez el bloque de instrucciones repetitivas.b) Repetir-Hasta (repet-until)Realizar repetitivamente un proceso mientras la condicin es falsa. Es necesario que un componente de la condicin se altere para evitar caer en un ciclo repetitivo infinito. Simbologa General Simbologa de ejemplo: N tiene que ser mayor que cero.Ejercicio - Realizar un D.F. para calcular la suma de los primeros 10 nmeros impares.C)Desde-hasta-hacer-fin desde (For)Realiza repetitivamente un ciclo de instruccin(es) hasta cumplir con el nmero de veces previamente conocido. Existen dos variantes de este ciclo de control. ToFor Downto El For to: El For Downto(forma inversa):El identificador I (pudo ser cualquiera). Es un auxiliar que se utiliza para llevar el control cclico automtico. Caso for to; el identificador variable I, tendr el valor numrico uno (1) cuando el flujo lgico pase la primera vez. Mientras no salga de la primera vuelta I siempre tendr el valor nurico uno (1). El ciclo lgico terminar cuando I alcance el valor de N (nmero mximo de vueltas previamente conocido). Caso for downto; el identificador variable I, tendr el valor numrico N (nmero mximo de vueltas previamente conocido) y cada vez que pase por el flujo lgico decrementar de manera automtica, por lo tanto, antes de entrar de nuevo al ciclo repetitivo de instrucciones (en la parte alta del ciclo) se comparar el valor de I con el valor nmerico de uno ( pasa por ltima vez), de tal forma que cuando I tenga como valor numrico cero (0), el flujo saldr del ciclo.Ejemplo: Problemas ( Hacer para )1) Calcular el promedio de un alumno que tiene 7 calificaciones en la materia de Diseo Estructurado de AlgoritmosInicio Sum=0 Leer Nom Hacer para c = 1 a 7 Leer califSum = sum + calif Fin-para prom = sum /7 Imprimir promFin.2) Leer 10 nmeros y obtener su cubo y su cuarta.Inicio Hacer para n = 1 a 10Leer numcubo = num * num * numcuarta = cubo * numImprimir cubo, cuarta Fin-paraEjercicio. Realizar un Diagrama de Flujo para calcular hasta el n-simo termino (al menos uno ) de la siguiente serie.El valor de X, tendr que estar en un intervalo cerrado de 1 a 20 ArreglosArreglo:Es un conjunto o coleccin de variables del mismo tipo, donde cada elemento ocupa una posicin determinada, nica y que se referencian utilizando un nmbre comn.Los arreglos se caracterizan por: Almacenan los elementos en posiciones contiguas de memoria Tienen un mismo nombre de variable que representa a todos los elementos. Para hacer referencia a esos elementos es necesario utilizar un ndice que especifica el lugar que ocupa cada elemento dentro del archivo.Notacin del arreglo: Identificador ( [subndice]Los subndices indican la posicin del elemento dentro del arreglo y son variables ordinales (enteros o caracteres).Tipos de arreglos de acuerdo a su dimensin: Unidimensionales O VECTORES Bidimensionales O MATRICES Tridimensionales O MATRICES Arreglo de una dimensin: Numeros Nombre del Arreglo Dato de las posiciones251853412560 1 2 3 4 5 6 7Posicin de los elementos Acceso al quinto elemento: Numero[5] = 34VectoresEs un arreglo de N elementos organizados en una dimensin donde N recibe el nombre de longitud o tamao del vector. Para hacer referencia a un elemento del vector se usa el nombre del mismo, seguido del ndice (entre corchetes), el cual indica una posicin en particular del vector. Por ejemplo:Vec[x]Donde:VecNombre del arregloxNumero de datos que constituyen el arregloRepresentacin grfica de un vector78910Llenado de un Vector Hacer para I = 1 a 10 Leer vec[I]Fin-para Hacer mientras I 10Ejemplo: Se Proporciona un arreglo unidimensional de orden N. Dibujar un Diagrama de Flujo para leer dicho arreglo y determinar todos los elementos pares e impares. Formar dos vectores uno de pares y otro de impares y guardar los valores anteriores correspondientes en dichos vectores. MatrizEs un arreglo de M * N elementos organizados en dos dimensiones donde M es el numero de filas o reglones y N el numero de columnas.Para representar una matriz se necesita un nombre de matriz se necesita un nombre de matriz acompaado de dos ndices. Mat [R,C]Donde R indica el rengln y C indica la columna, donde se encuentra almacenado el dato.Representacin grfica de una matrizMat [R,C]1,11,21,31,42,12,22,32.43,13,23,33,44,14,24,34,4Acceso a la matriz Matriz_letras Acceso a la letra C: Matriz_letras[2,2]123 APF1hCu2LzH3Llenado de una matriz Por renglonesHacer para R = 1 a 5 Hacer para C = 1 a 5Leer Mat [R,C] Fin-paraFin-para Por columnasHacer para C = 1 a 5 Hacer para R = 1 a 5Leer Mat [R,C] Fin-paraFin-paraNota: Para hacer el llenado de una matriz se deben de usar dos variables para los ndices y se utilizan 2 ciclos uno para los renglones y otro para las columnas; a estos ciclos se les llama ciclos anidados (un ciclo dentro de otro ciclo).Ejemplo: Dada la matrz cuadrada de MxN, desarrollar la lgica en D.F., para leer dicha matrz. M255367884346-90110832-6Ejercicios de la unidad Ejercicio 1: Redactar un algoritmo para ir a la escuela. Ejercicio 2: Disear un diagrama de flujo para calcular el promedio de las tres calificaciones de un alumno. Ejercicio 3: Disear un diagrama de flujo para calcular la suma de los 10 primeros nmeros impares. Ejercicio 4: Dado dos nmeros cualesquiera, disear un diagrama de flujo para leer y calcular el producto de ambos, si el primer valor es menor que el segundo, en caso contrario, efectuar la suma. Ejercicio 5: Leer N nmeros enteros y calcular el promedio de los pares, contar la cantidad de impares y calcular el promedio de los nmeros proporcionados. Ejercicio 6: Se tiene las calificaciones de un grupo de 10 alumnos, se necesita saber, cuntos alumnos tienen una calificacin superior al promedio del grupo?. Realizar un D. F., (No utilice arreglos). Ejercicio 7: Hacer un D.F., para generar y sumar los N primeros nmeros de la secuencia de la serie de Leonardo Fibonacci. La secuencia de Fibonacci es: 1,2,3,5,8,13,21,..., es decir, dados los primeros dos nmeros (1 y 2) la generacin de cada nuevo trmino se pueden encontrar sumando los dos trminos predecentes. Ejercicio 8: Realizar D.F. para simular una calculadora que realice las operaciones bsicas (+,-,*,-).Mientras el usuario, no presione el smbolo de =, se introducirn valores y estos se acumularan aritmticamente segn corresponda, de otro modo, si el usuario desea dar una slo valor y luego presiona el =, se entiende que el programa tendr que terminar, en caso contrario, se preguntar por el siguiente valor y se ejercer la operacin deseada. (Valor = Valor1 Oper_Arit Valor2) Ejercicio 9: Se proporciona un grupo de N nmeros, redactar el D.F. para sumar los cuadrados de los negativos y contarlos, el producto de los positivos y contarlos e indicar en que momento se proporciona l numero cero como dato. Debe imprimirse todo lo solicitado. Ejercicio 10: Se proporciona un grupo de N nmeros que deben ser enteros. Realizar un D.F. para determinar el menor de todos, calcular el producto de los impares y determinar el mayor y la posicin en la cual se proporcion. Ejercicio 11: Realizar la siguientes series, hasta el N-simo trmino. Ejercicio 12: Grafique, como se representara un arreglo tridimensional y etiquete indicando qu es? y Para qu se utiliza? (Todo lo que grafique). Ejercicio 13:Calcular el promedio de 50 valores almacenados en un vector. Determinar adems cuntos son mayores que el promedio, imprimir el promedio, el numero de datos mayores que el promedio y una lista de valores mayores que el promedio . Ejercicio 14: Llenar dos vectores A y B de 45 elementos cada uno, sumar el elemento uno del vector A con el elemento uno del vector B y as sucesivamente hasta 45, almacenar el resultado en un vector C, e imprimir el vector resultante. Ejercicio 15: Llenar un vector de 20 elementos, imprimir la posicin y el valor del elemento mayor almacenado en el vector. Suponga que todos los elementos del vector son diferentes. Ejercicio 16: Almacenar 500 nmeros en un vector, elevar al cuadrado cada valor almacenado en el vector, almacenar el resultado en otro vector. Imprimir el vector original y el vector resultante Ejercicio 17: Se tiene las calificaciones de un grupo de 10 alumnos, se necesita saber, cuntos alumnos tienen una calificacin superior al promedio del grupo?. Utilizar arreglos. Ejercicio 18: Se proporciona un arreglo unidimensional de orden N. Representar el D.F., para leer dicho vector y determinar cual es el elemento menor y la posicin que ocupa; y formar un vector con los elementos que sean mayores al promedio del arreglo ledo. En el vector resultante, analizar si existen elementos pares y sumarlos, excepto los terminados en dos y en cuatro. Ejercicio 19: Hacer un algoritmo que almacene nmeros en una matriz de 5 * 6. Imprimir la suma de los nmeros almacenados en la matriz. Ejercicio 20: Hacer un algoritmo que llene una matriz de 10 * 10 y determine la posicin [renglon,columna] del numero mayor almacenado en la matriz. Los nmeros son diferentes. Ejercicio 21: Hacer un algoritmo que llene una matriz de 7 * 7. Calcular la suma de cada rengln y almacenarla en un vector, la suma de cada columna y almacenarla en otro vector. SUMA = B + 3 IDENTIFICADOR OPERADOR IDENTIFICADOR OPERADOR CONSTANTECalcular el rea de envoltura de papel de una lata cilndrica que tiene una altura H y un dimetro D. Redactar el algoritmo para leer la H y el dimetro D y calcular el rea solicitada.Paso 1. inicioPaso 2. leer D IDENTIFICADORPaso 3. leer HPaso 4. PC = 3.1416 * (D/2)Paso 5. Area = PC*HPaso 6. FinRedactar el algoritmo para leer 2 nmeros cualesquiera y calcular la suma de ambos.Paso 1. inicioPaso 2. leer N1 IDENTIFICADORPaso 3. leer N2Paso 4. total = N1 + N2Paso 5. fin.Figura: Tringulo ABCFormula:Cos A = b2 + c2 + a2/2bcCos B = a2 + c2 b2/2acCos C = b2 + a2 c2/2ab C a b A c BT R A Z AComentarioValoresLeemos a:a