programación no linealf

PROGRAMACIÓN NO LINEALBIBLIOGRAFÍA DE PRESENTACIÓN

HILLER

En casi todos los aspectos, un modelo de programación nolineal es indistinguible de un modelo de programación lineal.En ambos modelos se deben tomar decisiones respecto a losniveles de diversas actividades, cuando estos niveles deactividades pueden tener cualquier valor (incluyendo un valorfraccionario) que satisfaga diversas restricciones.

La programación no lineal se usa para modelar las relacionesno proporcionales entre los niveles de actividad y la medidaglobal de desempeño, mientras que la programación linealsupone una relación proporcional. • La construcción de la(s)fórmula(s) no lineal(es) requerida(s) en un modelo deprogramación no lineal es considerablemente más difícil que eldesarrollo de las fórmulas lineales usadas en programaciónlineal. • Resolver un modelo de programación no lineal es confrecuencia mucho más difícil (si es posible) que resolver unmodelo de programación lineal. Como indican estascomparaciones, el uso de programación no lineal en lugar deprogramación lineal plantea nuevos retos. Examinemos estosretos con más detalle.

CASO DE ESTUDIO DE WYNDOR GLASS CO.

CONTINUACIÓN DEL CASO DE ESTUDIO DE WYNDOR GLASS CO.

CASO DE ESTUDIO DE WYNDOR GLASS CO.

Las relaciones no proporcionales

la programación no lineal usa una relación más compleja entre los niveles de actividad y la medida global de desempeño, que la programación lineal. En el caso de programación lineal, se supone que esta relación es particularmente simple.

Las actividades para este problema son la producción de las nuevas puertas y ventanas especiales, donde los niveles de estas actividades son P = número de puertas que se producirán por semana V = número de ventanas que se producirán por semana.

La medida global de desempeño es la ganancia semanal total que se obtiene de la producción y venta de estas puertas y ventanas.

La ganancia unitaria se ha estimado en $300 por cada puerta y $500 por cada ventana.

Se muestran la relación resultante entre el nivel de cada actividad (P y V) y la contribución de esa actividad a la medida global de desempeño. La línea recta en cada diagrama muestra una relación proporcional porque la ganancia semanal de cada producto es proporcional a la tasa de producción de ese producto.

SUPOSICIÓN DE PROPORCIONALIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL

La contribución de cada actividad al valor de la función objetivo esproporcional al nivel de la actividad.1

El término en la función objetivo que se refiere a esta actividad, consiste enun coeficiente multiplicado por una variable de decisión, donde elcoeficiente es la contribución por unidad de esta actividad, y la variable dedecisión es el nivel de esta actividad.

Por ejemplo, para cada producto en el problema de Wyndor Glass Co., elcoeficiente es la ganancia unitaria del producto y la variable de decisión es latasa de producción del producto.

Los problemas de programación no lineal surgen cuando se viola estasuposición. Esto ocurre siempre que alguna actividad tiene una relación noproporcional con la medida global de desempeño, porque la contribución deesta actividad a esta medida de desempeño no es proporcional al nivel de laactividad.

PROGRAMACIÓN NO LINEAL : RELACIONES NO PROPORCIONALES

a) Rendimientos marginales decrecientes

b) Lineal por partes con rendimientos marginales decrecientes

c) Rendimientos marginales decrecientes, excepto que tiene discontinuidades

d) Rendimientos marginales crecientes

El primer caso, ilustra una gráfica de ganancia con rendimientos marginales decrecientes. Considere una actividad en que se traza la gráfica de su ganancia contra el nivel de la actividad. Suponga que la pendiente (inclinación de la recta) nunca aumenta, pero algunas veces disminuye conforme el nivel de la actividad aumenta. Entonces se dice que la actividad tiene rendimientos marginales decrecientes.

De manera similar, en problemas en que el objetivo es minimizar el costo total de las actividades, se dice que una actividad tiene rendimientos marginales decrecientes si la pendiente de su gráfica de costo nunca disminuye, pero algunas veces aumenta mientras el nivel de la actividad crece.


• Debido a que a menudo es difícil seguir incrementando la ganancia a la misma tasa cuando el nivel de una actividad es cada vez más alto, resulta que las actividades con rendimientos marginales decrecientes son bastante comunes.

• Podría ser necesario reducir el precio de un producto para elevar su nivel de ventas.

• Por otra parte, si el precio se mantiene constante, es posible que los costos de comercialización tengan que subir más que proporcionalmente para alcanzar los incrementos en el nivel de ventas.

• Los rendimientos marginales decrecientes también ocurren cuando se tienen que usar instalaciones y personal menos eficientes para incrementar el nivel de una actividad.


• En la gráfica de ganancia lineal por partes porque consiste en una sucesión de segmentos de recta conectados.

• Cuando aumenta el nivel de la actividad, la pendiente de la gráfica de ganancia sigue siendo la misma dentro de cada segmento recta, pero luego se reduce en el punto en que comienza el siguiente segmento.

• Puesto que la pendiente nunca aumenta cuando el nivel de la actividad crece, pero si disminuye en los puntos de cambio, esta gráfica de ganancia también se ajusta a la definición de rendimientos marginales decrecientes.

• Esta clase de gráfica podría ocurrir, por ejemplo, porque se requiere pagar tiempo extra para incrementar el nivel de la actividad más allá del primer punto de cambio, y luego se necesita el todavía más costoso tiempo extra de fin de semana para incrementar el nivel más allá del segundo punto de cambio.


• La gráfica es una relación no proporcional que no tiene rendimientos marginales decrecientes.

• La razón es que hay puntos llamados discontinuidades, en donde la gráfica de ganancia se desconecta porque salta de repente hacia arriba o hacia abajo.

• Tales discontinuidades podrían ocurrir, por ejemplo, porque se pueden aprovechar descuentos por volumen en la compra de un componente del producto cuando el nivel de producción rebasa ciertos umbrales.



• Se puede tener actividades con rendimientos marginales crecientes en este caso, la pendiente de la gráfica de ganancia nunca decrece, pero algunas veces crece al aumentar el nivel de la actividad. De manera similar, una gráfica de costo muestra rendimientos marginales crecientes si su pendiente nunca aumenta, pero algunas veces disminuye conforme el nivel de la actividad aumenta.

• Esto puede ocurrir porque es posible alcanzar mayores eficiencias a niveles más altos de una actividad


• Las gráficas de ganancia se usan cuando el objetivo global es maximizar la ganancia total de todas las actividades. Sin embargo, se necesitan gráficas de costo cuando el objetivo global es minimizar el costo total de todas las actividades.

• Una actividad puede violar la suposición de proporcionalidad si su gráfica de costos tiene alguna de las formas que se muestran.

• Ver cómo las gráficas de costos se inclinan en sentido opuesto al de la gráfica de ganancia.

• Una pendiente creciente en la gráfica de costo refleja rendimientos marginales decrecientes.

• Una pendiente decreciente refleja rendimientos marginales crecientes. La misma conclusión es válida en las gráficas donde el objetivo es minimizar algunas medidas globales de desempeño distintas al costo total.

Suponga que se requiere una gran campaña publicitaria, para vender uno de dos nuevos productos aislados, pero esa única campaña se puede usar para promover ambos, si es que los dos se fabrican. Como hay un gran ahorro para el segundo producto, su ganancia conjunta es algo más que la suma de sus ganancias individuales cuando cada uno se produce solo. En particular, la función objetivo apropiada es:


PV denota el producto de P y V. Por ser un producto cruzado, $100PV, esta función objetivo es no lineal aun cuando, si P o V están fijos en algún valor, la suposición de proporcionalidad todavía se cumple para el otro producto.

Cuando hay interacciones entre actividades, la ganancia total de todas las actividades todavía tendrá rendimientos marginales decrecientes. (El término técnico común para esto es que la función objetivo es cóncava.) Aquí se sigue aplicando la interpretación intuitiva de los rendimientos marginales decrecientes (una gráfica de ganancia que nunca desvía hacia arriba, pero cambia hacia abajo). No se dará la compleja definición técnica que se requiere en este caso.

• Wyndor Glass Co. fabrica productos de vidrio de alta calidad, donde diferentes partes de la producción se realizan en tres plantas.

• Ahora está lanzando dos nuevos productos (una clase especial de puerta y una clase especial de ventana), cuya ganancia pronosticada se estima en $300 por puerta y $500 por ventana.

• El modelo de programación lineal inicial cuya función objetivo, se maximizó fue….ganancia = $300P + $500V, donde P y V son el número de puertas y ventanas que deben producirse por semana.


Este modelo supone que la ganancia de cualquiera de estos nuevos productos sería proporcional a su tasa de producción. Sin embargo, esta suposición es cuestionable. Por lo tanto, antes de tomar una decisión definitiva sobre las tasas de producción, las autoridades de Wyndor quieren que se haga un análisis más preciso, como lo describe la siguiente conversación entre dos miembros de la alta administración.

• Después de recibir sus estimaciones, el equipo deoptimización, graficó los costos semanales de marketing contralas tasas de producción.

• Cada una de estas gráficas mostró que el costo de marketingaumenta aproximadamente con el cuadrado de la tasa deproducción cuando esta tasa crece.

• Por lo tanto, se adoptó una forma cuadrática para aplicar elprocedimiento de ajuste de curvas a cada una de estas gráficas.

• Este procedimiento de ajuste de curvas estimó que los costossemanales de marketing requeridos para apoyar una tasa deproducción de P puertas por semana serían:


• Si se excluyen los costos de marketing, la ganancia bruta por puerta vendida es de unos $375. Por tanto, la ganancia neta semanal de forma burda sería :

Las nuevas estimaciones de costos de marketing hacen que tanto las puertas como las ventanas tengan rendimientos marginales decrecientes


Las estimaciones correspondientes por semana para las ventanas son :

Las curvas suaves son las gráficas de ganancia para puertas y ventanas de Wyndor para la versión del problema en que se deben incluir los costos no lineales de marketing.


Las curvas muestran rendimientosmarginales decrecientes.

Si se combina la ganancia neta de las puertas y las ventanas, la nueva función objetivo que se debe maximizar para este problema e

Por tanto, el problema global es un problema de programación no lineal. Todavía más, como esta función objetivo tiene forma cuadrática (y el problema tiene las tres características del principio de esta sección), el problema global es un tipo especial de problema de programación no lineal llamado problema de programación cuadrática.

Un problema de programación cuadrática tiene restricciones lineales y una función objetivo que tiene tanto una forma cuadrática como rendimientos marginales decrecientes.


Formulación de programación no lineal del problema de Wyndor con costos no lineales de marketing. Las curvas son curvas de la función objetivo para algunos valores de muestra de la ganancia y la única que pasa (ganancia = $2 708) por la solución óptima (P, V) = (33∕14, 45∕28).


Las curvas suaves son las gráficas de ganancia para puertas y ventanas de Wyndor para la versión del problema en que se deben incluir los costos no lineales de marketing.


Si se combina la ganancia neta de las puertas y las ventanas, la nueva función objetivo que se debe maximizar para este problema e

PROGRAMACIÓN LINEAL SIN RESTRICCIONES

Una empresa produce una variedad de productosquímicos que incluyen aditivo para combustible yuna base para solvente. En la formulación delmodelo de programación lineal suponemos que sepodía vender todo el aditivo para combustible y labase para solvente producidos. Sin embargo,dependiendo del precio del aditivo paracombustible y de la base para solvente, estesupuesto tal vez no sea válido. Existe, por logeneral, una relación inversa entre el precio y lademanda. Conforme el precio aumenta, la cantidaddemandada disminuye. Sea PF el precio que laempresa cobra por cada tonelada de aditivo paracombustible, y PS el precio por cada tonelada debase para solvente. Suponga que la demanda paralas toneladas de aditivo para combustible F y lademanda para las toneladas de base para solventeS son:

PROGRAMACIÓN LINEAL SIN RESTRICCIONES

Una empresa produce una variedad de productos químicos que incluyen aditivo para combustible y una basepara solvente. En la formulación del modelo de programación lineal suponemos que se podía vender todo eladitivo para combustible y la base para solvente producidos. Sin embargo, dependiendo del precio del aditivopara combustible y de la base para solvente, este supuesto tal vez no sea válido. Existe, por lo general, unarelación inversa entre el precio y la demanda. Conforme el precio aumenta, la cantidad demandada disminuye.Sea PF el precio que la empresa cobra por cada tonelada de aditivo para combustible, y PS el precio por cadatonelada de base para solvente. Suponga que la demanda para las toneladas de aditivo para combustible F y lademanda para las toneladas de base para solvente S son:

AB

Los ingresos generados por la venta del aditivo para combustible son el precio por tonelada PF multiplicado porel número de toneladas de aditivo para combustible vendidas, F. Si el costo de producir una tonelada deaditivo para combustible es $250, el costo de producir F toneladas de aditivo para combustible es 250F. Portanto, la contribución a las utilidades para la producción y venta de F toneladas de aditivo para combustible(ingresos - costo) es:

Podemos calcular PF a partir de la ecuación A para mostrar que el precio de una tonelada de aditivo paracombustible está relacionado con el número de toneladas de aditivo para combustible vendidas.Si PF =290 - 1 /2F. Al sustituir 290 -1 /2F por PF en la ecuación C, la contribución a las utilidades para eladitivo para combustible es

C

D

Suponga que el costo de producir cada tonelada de base para solvente es $300. Usando la misma lógica que aplicamos para desarrollar la ecuación (12.4), la contribución a las utilidades para la base para solvente es :

(Observar que hemos escrito 1/2.5 0.4.) La contribución total a las utilidades es la suma de la contribución a las utilidades del aditivo para combustible y la contribución a las utilidades de la base para solvente. Por tanto, la contribución a las utilidades se escribe como

E

Las dos funciones de la demanda lineal, las ecuaciones A y B, dan una función de la contribución total a las utilidades no lineal, la ecuación E. Esta función es un ejemplo de una función cuadrática debido a que los términos no lineales tienen una potencia de 2. Utilizando LINGO, encontramos que los valores de F y S que maximizan la función de la contribución a las utilidades son F =40 y S =45. Los precios correspondientes son $270 para una tonelada de aditivo para combustible y $318 la base para solvente, y la contribución a las utilidades es $1610. Estos valores proporcionan la solución óptima para la empresa si se cumplen todas las restricciones que limitan el material.

AB E

PROGRAMACIÓN LINEAL CON RESTRICCIONES

En otro contexto, se puedeapreciar que la empresa nopuede asociar lacontribución a las utilidadescon la solución óptima parael problema sinrestricciones, debido a quese violan las restriccionesque define la regiónfactible. Por ejemplo, larestricción del material 1 es0.4F + 0.5S <=20.

Una cantidad de producción de 40 toneladasde aditivo para combustible y base parasolvente requerirá 0.4(40) + 0.5(45) = 38.5ton, lo cual rebasa el límite de 20 ton por18.5. La región factible para el problemaoriginal de la empresa, junto con el punto desolución óptima sin restricciones (40, 45), semuestran en la figura. El óptimo sinrestricciones de (40, 45) obviamente estáfuera de la región factible. Desde luego elproblema que la empresa debe resolver esmaximizar la contribución total a lasutilidades


El modelo matemático completo para el problema de maximización no lineal con restricciones de la empresa es:


Este problema de maximización es exactamente el mismo que el problema lineal, excepto por la función objetivo es no lineal. La solución de LINGO a este problema de maximización no lineal con restricciones se muestra en su reporte.


Este problema demaximización esexactamente el mismoque el problema lineal,excepto por la funciónobjetivo es no lineal.La solución de LINGO aeste problema demaximización no linealcon restricciones semuestra en su reporte.


La primera líneamuestra que se haencontrado unasolución óptima local.Este óptimo localtambién es un óptimoglobal. El valor óptimode la función objetivoes $1247.83. Lasección Variablemuestra que lasolución óptima esproducir 24.33862toneladas de aditivopara combustible y20.5291 toneladas debase para solvente.


En la parte Row, la fila 1corresponde a la funciónobjetivo y las filas 2 a 4corresponden a las tresrestricciones de tonelaje.En la columna Slack oSurplus (Holgura oexcedente), el valor de 0 enla fila 2 indica que lasolución óptima utilizatodo el material 1 que estádisponible; pero los valoresdiferentes de cero de las filas 3 y 4 indican que hay unexcedente de tonelaje delos materiales 2 y 3.

Una gráfica de la solución óptima de 24.33862 toneladas de aditivo para combustible y 20.5291 toneladas de base para solvente se muestra:


Observar que la solución óptimaya no está en un punto extremode la región factible. La soluciónóptima se basa en la línea derestricción del material 1 perono en el punto extremo formadopor la intersección de larestricción del material 1 y larestricción del material 2, ni enel punto extremo formado por laintersección del material 1 y elmaterial 3.


En la figura vemos tres líneas de contorno de la contribución a las utilidades. Cada punto de la misma línea de contorno es un punto de utilidades iguales. Aquí, las líneas de contorno muestran contribuciones a las utilidades de $1 200, $1 247.831 y $1 500. En el problema de original, la función objetivo es lineal y por tanto los contornos de las utilidades son líneas rectas. Sin embargo, para el problema no lineal con una función objetivo cuadrática, los contornos de las utilidades son elipses.

Dado que parte de la línea de contorno de las utilidades de $1200 cruza la región factible, conocemos un número infinitode combinaciones de tonelajes de aditivo para combustible y base para solvente que producirá una utilidad de $1200. Asimismo, un número infinito de combinaciones de tonelajes de aditivo para combustible y base para solvente proporciona una utilidad de $1500. Sin embargo, ninguno de los puntos en la línea de contorno de las utilidades de $1500 se encuentran dentro de la región factible


A medida que las líneas de contorno se alejan del óptimo sin restricciones de (40, 45), la contribución a las utilidades asociada con cada línea de contorno disminuye. Esta línea que representa una utilidad de $1247.831 intercepta la región factible en un solo punto. Esta solución proporciona la utilidad máxima posible. Ninguna línea de contorno que tiene una contribución a las utilidades mayor que 1247.831 interceptará la región factible. Como las líneas de contorno son no lineales, la línea de contorno con las utilidades más altas puede tocar el límite de la región factible en cualquier punto, no sólo en un punto extremo. En el caso de la empresa, la solución óptima está en la línea de restricción del material 1 con una parte entre dos puntos extremos.


También es posible que la solución óptima para un problema de optimización no lineal se encuentre en el interior de la región factible. Por ejemplo, si todos los lados derechos de las restricciones en el problema de la empresa aumentaran por una cantidad suficiente, la región factible se expandiría de modo que el punto de solución óptima sin restricciones de (40, 45) se encontrará en el interior de la región factible. Numerosos algoritmos de programación lineal (por ejemplo, el método simplex) se optimizan al examinar sólo los puntos extremos y seleccionar el punto extremo que proporciona el mejor valor de solución.

Los algoritmos de programación no lineal son más complejos que los algoritmos de programación lineal.

Óptimos locales y globales

La primera línea de la solución de LINGO al problema no linealdice, “Local optimal solution found” (Solución óptima localencontrada). Una solución factible es un óptimo local si en el sectorinmediato no se encuentran otras soluciones óptimas factibles conun valor de la función objetivo mejor. Por ejemplo, para elproblema con restricciones, el óptimo local corresponde a un valormáximo local; un punto es un máximo local si no hay otrassoluciones factibles con un valor de la función objetivo mayor en elsector inmediato. Del mismo modo, para un problema deminimización, un punto es un mínimo local si en el sector inmediatono hay otras soluciones factibles con un valor de la función objetivomenor.


Los problemas de optimización no lineales pueden tenermúltiples soluciones óptimas, lo cual significa que nos interesaencontrar la mejor de las soluciones óptimas locales. Unasolución factible es un óptimo global si en la región factible nose encuentran otros puntos factibles con un mejor valor de lafunción objetivo. En el caso de un problema de maximización,el óptimo global corresponde a un máximo global. Un punto esun máximo global si ningún otro punto en la región factible daun valor de la función objetivo estrictamente mayor. Para unproblema de minimización, un punto es un mínimo global siningún otro punto con un valor de la función objetivoestrictamente menor está en la región factible. Un máximoglobal es también un máximo local, y un mínimo global estambién un mínimo local.


Los problemas no lineales con múltiples óptimos locales sondifíciles de resolver. Pero en muchas otras aplicaciones nolineales, una solución óptima local es también la soluciónóptima global. Para este tipo de problemas sólo necesitamosencontrar una solución óptima local.

Clases más comunes de problemas no lineales

Considerar la función f(X, Y) = - X^2 – Y^2. Una función que tiene forma de tazón boca abajo se llama función cóncava. El valor máximo para esta función en particular es 0, y el punto (0,0) da el valor óptimo de 0. El punto (0,0) es un máximo local, pero también es un máximo global debido a que ningún punto da un valor de función mayor. En otras palabras, ningún valor de X o Y da como resultado un valor de la función objetivo mayor que 0. Las funciones que son cóncavas, tienen un solo máximo local que también es un máximo global. Este tipo de problema no lineal es relativamente fácil de maximizar.

La función objetivo para el problema de RMC no lineal es otro ejemplo de una función cóncava:

En general, si todos los términos cuadráticos en una función cuadrada tienen un coeficiente negativo y no hay términos de

productos cruzados, como xy, entonces la función es una

función cuadrática cóncava.


Consideremos ahora otro tipo de función con un solo óptimo local que también es un óptimo global. Considerar la función f(X, Y)= X^2 +Y^2. Tiene forma de tazón boca arriba y se llama función convexa. El valor mínimo para esta función en particular es 0, y el punto (0, 0) proporciona el valor mínimo de 0. El punto (0, 0) es un mínimo local y un mínimo global debido a que ningún valor de X o Y da un valor de la función objetivo menor que 0. Las funciones que son convexas,, tienen un solo mínimo local y son relativamente fáciles de minimizar.


Para una función cóncava, podemos asegurar que si encontramos un máximo local, es un máximo global. De modo parecido, para una función convexa, sabemos que si el software encuentra un mínimo local, es un mínimo global. Las funciones cóncava y convexa tienen un comportamiento adecuado

Clases más comunes de problemas no linealesFunciones con múltiples óptimos locales

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