PROGRAMACION DE REDES

IntroduccinDentro de esta investigacin se plante el objetivo de definir cada uno de los modelos de redes, empezando desde los conceptos ms bsicos como la definicin de lo que sera un nodo que son las vrtices utilizadas dentro de un modelo de red, un arco que podra ser la flecha o el conector de cada nodo dentro de la red, tambin las consideraciones a tomar para entender la estructura de una red, tales podran ser como las direcciones que toman los arcos, pueden ser directas o indirectas.Una vez entendidas las terminologas de las partes que conforman las redes, proseguimos con lo que sera cada uno de los modelos, el primero podra ser matriz de incidencia nodo-arco que sera una tabla que representa un modelo en la red, la tcnica de rbol de expansin mnima, los pasos que hay que seguir para realizarlo, la tcnica de flujo mximo, los pasos de la tcnica, la tcnica de la ruta ms corta y los otros modelos de redes que seran, problemas de transporte, problemas del caminos ms corto, camino critico en la planificacin de proyectos de redes, problema de flujo de costo mnimo, anlisis de sensibilidad para los modelos de redes, el problema de viaje del vendedor, tambin utilizando unos ejemplos para que los temas puedan quedar ms claros.Todos estos temas se explican ms a detalle y con mejor entendimiento dentro del documento.Modelos de redesUn modelo de red es un modelo de transbordo con capacidades, el cual puede adoptar diversas formas, como el modelo de la ruta ms corta y el modelo del flujo mximo y mnimo, el problema de rbol de alcance mnimo, mtodo de camino crtico, entre otras aplicaciones de la planeacin financiera y de produccin.La principal caracterstica de un modelo de transbordo con capacidades es que es una red donde las ofertas estn en los puntos de origen especficos, las demandas en los puntos de destino especficos y las alternativas de embarque se ofrecen por medio de los nodos intermedios, de manera que siguen rutas con capacidades definidas desde los orgenes hasta los destinos.Terminologa de redesUna red se compone de un conjunto de nodos unidos por arcos (o ramas). La notacin para describir una red es (N, A), donde N es el conjunto de nodos, y A es el conjunto de arcos.N = {1, 2, 3, 4, 5}A = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 5)}A continuacin se presenta un diagrama de red y sus principales componentes.Modelos de redes tecnolgicasModelos de redes tecnolgicasQu es un Nodo?Es usualmente llamado vrtice, o punto. Es usualmente representado por un crculo. En las redes de transporte, estos deberan ser las localidades o las ciudades en un mapa.Qu es un Arco?Es usualmente llamado borde o flecha. Este podra ser directo o indirecto. La cabeza es el destino, y la cola el origen. La cabeza y la cola son nodos que pueden estar tanto al origen como al final. En las redes de transporte, los arcos podran ser los caminos, los canales de navegacin en un ro, o los patrones de vuelo de un avin. Los arcos proporcionan la conectividad entre los nodos. Una calle de una sola direccin podra ser representada por un arco, mientras que una calle de dos direcciones podra representada por un arco sin direccin o por dos arcos que apuntan a direcciones opuestas. Una red con n nodos podra tener tantos arcos como n! /[(n-2)! 2!] = n(n-1)/2. Si estn dirigidos, este nmero pudiese ser doble. Este enorme nmero de arcos posibles es una de las razones del porque existen soluciones de algoritmos especiales para problemas de redes particulares.En el nodo de la red comnmente encontrars un nmero con un signo positivo o negativo, el cual denota la oferta (+) y la demanda o requerimientos (-) del nodo.Una ruta es un conjunto de arcos que unen dos nodos distintos, y que pasan a travs de otros nodos en la red. Por ejemplo, en la Ilustracin 1, los arcos (1,2), (2,3), (3,4) y (4,5) forman una ruta entre los nodos 1 y 5. Una ruta forma un ciclo o un bucle si conecta unnodo de vuelta a s mismo a travs de otros nodos. En la figura 6.1, los arcos (2,3), (3,4) y (4,2) forman un ciclo.Consideraciones importantes:Las flechas/lneas de una sola direccin son arcos directos.

Las lneas con flujo para ambas direcciones son arcos indirectos.

Una red que tiene solamente arcos directos es una red directa.

Una red que tiene arcos en ambas direcciones es una red indirecta. Una ruta directa del nodo i a la j es una secuencia de arcos conectados, por lo que es factible un flujo que pase a travs de esa ruta.

Una ruta indirecta de un nodo i a j es una secuencia de arcos conectados, cuyo sentido es de i a j o viceversa.

Una ruta que empieza y termina en el mismo nodo es un ciclo.

Si la red contiene como mnimo una ruta directa entre 2 nodos, se dice que estn conectados. Para determinar cul de las rutas de la red ser elegida debemos considerar los costos y las capacidades a lo largo del recorrido de las rutas.

Modelos de redes versin 1Matriz de incidencia nodo arcoEs una tabla para representar los datos de las restricciones en un modelo de red. Cada arco de la red corresponde a una columna de la tabla. Cada nodo de la red corresponde a una fila de la tabla. Las columnas solo tienen dos entradas diferentes a cero: +1 y -1.Modelos de redes tecnolgicasModelos de redes tecnolgicasUna vez que hemos planteado el modelo de programacin lineal, debemos encontrar la solucin que programacin lineal, debemos encontrar la solucin que optimice la funcin objetivo.Podemos utilizar algn software de programacin lineal como SOLVER o LINDO para encontrar la solucin ptima.

CierreLa terminologa y procedimiento para dibujar una red te servirn para aplicar los modelos de optimizacin, ya que al observar la Ilustracin 3 es mucho ms fcil identificar la ruta ms corta o ms larga, etc.

Modelo de redes versin 2Tcnica de rbol de expansin mnimaEste rbol vincula los nodos de una red valindose de la longitud mnima total de las ramas de conexin. Una aplicacin comn se presenta en la pavimentacin de carreteras que unen poblaciones, o de forma directa, o que pasan por otras poblaciones. La solucin del rbol de mnima expansin proporciona el diseo del sistema de carreteras.Pasos Tcnica de rbol de expansin mnimaSeleccionar cualquier nodo de la red.

Conectar este nodo al nodo ms cercano que minimice la distancia total.

Considerando todos los nodos que ahora estn conectados, encontrar y conectar el nodo ms cercano que no est conectado.

Si hay empate para el nodo ms cercano, seleccionar uno arbitrariamente. Un empate sugiere que puede haber ms de una solucin ptima.

Repetir el tercer paso hasta que todos los nodos estn conectados.

EjemploRoxie LaMothe propietaria de una gran granja criadora de caballos cerca de Orlando planea instalar un sistema de agua que conecte todos los establos y graneros. La ubicacin de las instalaciones y las distancias entre ellas se muestran en la siguiente figura. Roxie debe determinar la forma ms barata de suministrar agua a cada instalacin.Modelos de redes tecnolgicasModelos de redes tecnolgicasLa tcnica del flujo mximoLa tcnica del flujo mximo determina lo ms que puede fluir a travs de una red.

4 pasos de la tcnica del flujo mximoElija cualquier trayectoria del inicio (original) a la terminacin (destino) con algo de flujo. Si no existe alguna trayectoria con flujo, entonces se lleg a la solucin ptima.

Localice el arco el arco de la trayectoria con la capacidad de flujo ms pequea disponible.

Llame C a esta capacidad. sta representa la capacidad mxima adicional que puede ser asignada a esta ruta.

Por cada nodo que haya en esta trayectoria, disminuya la capacidad de flujo en la direccin del flujo en la cantidad C. Por cada nodo que haya en esta trayectoria, incremente la capacidad de flujo en la direccin inversa en la cantidad C.

Repita estos pasos hasta que ya no sea posible incrementar el flujo.EjemploPetroChem, una refinera de petrleo localizada sobre el ro Mississippi al sur de Baton Rouge, Luisiana est diseando una nueva planta para producir combustible diesel. La Ilustracin 5 muestra la red de los centros de procesamiento principales junto con la velocidad de flujo existente. A la administracin le gustara determinar la cantidad mxima de combustible que puede fluir a travs de la planta, del nodo 1 al nodo 7.Modelos de redes tecnolgicasModelos de redes tecnolgicasTcnica de la ruta ms cortaEste problema determina la ruta ms corta entre un origen y un destino en una red de transporte.Pasos de la tcnica de la ruta ms cortaEncuentre el nodo ms cercano al origen. Coloque la distancia en una casilla junto al nodo.

Encuentre el siguiente nodo ms cercano al origen (planta) y coloque la distancia en una casilla junto al nodo. En algunos casos, se tendrn que revisar varias trayectorias para encontrar el nodo ms cercano.

Repita el proceso hasta que haya recorrido toda la red. La ltima distancia en el nodo final ser la distancia de la ruta ms corta. Es de notar que la distancia colocada en la casilla junto a cada nodo es la ruta ms corta a este nodo. Seutilizan estas distancias como resultados intermedios para encontrar el siguiente nodo ms cercano.

Ejemplo:RentCar est desarrollando una poltica de reemplazo para su flotilla de automviles en un horizonte de planeacin de 4 aos. Al inicio de cada ao, un automvil se reemplaza o se conserva en operacin durante un ao ms. Un automvil debe estar en servicio de 1 a 3 aos. La siguiente tabla proporciona el costo de reemplazo como una funcin del ao en que se adquiere un automvil y los aos en operacin.Modelos de redes tecnolgicasModelos de redes tecnolgicasEl problema puede formularse como una red en la que los nodos 1 a 5 representan el inicio de los aos 1 a 5. Los arcos a partir del nodo 1 (ao 1) pueden llegar a los nodos 2, 3 y 4 porque un automvil puede estar en operacin de 1 a 3 aos. Los arcos a partir de los dems nodos pueden interpretarse del mismo modo. La longitud de cada arco es igual al costo de reemplazo. La solucin del problema es equivalente a determinar la ruta ms corta entre los nodos 1 y 5.La Ilustracin 6 muestra la red resultante. Utilizando TORA, 2 la ruta ms corta es 1 S3 S5.La solucin indica que un automvil adquirido al inicio del ao 1 (nodo 1) debe reemplazarse despus de 2 aos al inicio del ao 3 (nodo 3). El automvil de reemplazo se mantendr entonces en servicio hasta finales del ao 4. El costo total de esta poltica de reemplazo es de $12,500(= $5400 + $7100).Modelos de redes tecnolgicasModelos de redes tecnolgicasModelo de redes versin 3Tipos de Modelo de RedesLa familia de redes de los problemas de optimizacin incluye los siguientes prototipos de modelos: Problemas de asignacin, camino crtico, flujo mximo, camino ms corto, transporte y costo mnimo de flujos. Los problemas son establecidos fcilmente mediante el uso de arcos de redes y de los nodos.Problemas de TransporteLos modelos de transporten juegan un papel importante en la gerencia logstica y en la cadena de insumos para reducir costos y mejorar servicios. Por lo tanto, el objetivo es encontrar la manera ms efectiva en trmino de costos para transportar bienes. Un distribuidor que tiene m depsitos con un abastecimiento de productos a iith en ellos, debe enviar dichos productos a n centros minoristas geogrficamente dispersos, cada uno con una demanda de clientes dada e j, la cual debe ser cubierta. El objetivo es determinar el mnimo costo posible de transporte dados los costos por unidad de transportar entre el ith depsito y el j Th centro minorista, el cual es Cij.Problemas del Camino Ms CortoEl problema es determinar la mejor manera de cruzar una red para encontrar la forma ms econmica posible desde un origen a un destino dado. Suponga que en una red dada existen m nodos y n arcos (bordes) y un costo Cij asociado con cada arco (i a j) en la red. Formalmente, el problema del camino ms corto (CC) es encontrar el camino ms corto (menor costo) desde el nodo de comienzo 1 hasta el nodo final m. El costo del camino es la suma de los costos de cada arco recorrido. Defina las variables binarias Xij, donde Xij=1 si el arco (i a j)es sobre el CC y Xij= 0 de lo contrario. Existen dos nodos especiales llamados origen y destino. El objetivo es encontrar el camino ms corto entre el origen y el destino.Camino Crtico en la Planificacin de Proyectos de RedesLa gerencia exitosa de un proyecto ambicioso, ya sea de construccin, de transporte o financiero, descansan en una coordinacin y planificacin minuciosa de varias tareas. ElMtodo de Camino (o trayectoria) Crtico (MCC) intenta analizar la planificacin de proyectos. Esto posibilita un mejor control y evaluacin del proyecto. Por ejemplo, queremos saber Cunto tiempo durar el proyecto?, Cundo se estar listo para comenzar una tarea en particular?, si la tarea no es completada a tiempo,El resto del proyecto se retrasar?,Qu tareas deben ser aceleradas (efectivas) de forma tal de terminar el proyecto antes?Problema de Flujo de Costo MnimoTodos los problemas de red anteriores son casos especiales del problema de flujo de costos mnimo. Al igual que el problema de flujo mximo, este considera flujos en las redes con capacidades. Al igual que el problema del camino ms corto, este considera un costo por flujo hacia un arco. Al igual que el problema de transporte, este permite mltiples orgenes y destinos. Por lo tanto, todos estos problemas pueden ser vistos como casos especiales del problema de flujo de costos mnimo. El problema es minimizar el costo total sujeto a la disponibilidad y la demanda de algunos nodos, y de la conexin superior de flujo a travs de cada arco.Anlisis de Sensibilidad para los Modelos de RedesLa familia de un clsico problema de optimizacin de redes incluye los siguientes prototipos de modelos: asignacin, camino crtico, flujo mximo, camino ms corto, y transporte. A pesar de que es bien conocido que este tipo de problemas se pueden modelar como programacin lineal, normalmente nunca se hace. Debido a la ineficiencia y complejidad relativa del mtodo simplex (primal, dual y otras variaciones) para modelos de redes, este problema es tratado por uno de ms de 400 algoritmos especiales. Esto conlleva a muchas dificultades. Las soluciones de los algoritmos no estn unificadas y cada algoritmo usa una estrategia diferente para explorar la estructura especial de un problema especfico. Adicionalmente, pequeas variaciones en el problema tales como la adicin de una restriccin aparte, o ndices mltiples, destruye la estructura especial y obliga a re comenzar el algoritmo. Adems, estos algoritmos obtienen soluciones eficientes al costo de la astucia gerencial, como la solucin final de estos algoritmos que no tienen la informacin suficiente para realizar un anlisis de sensibilidad.El Problema de Viaje del VendedorUn vendedor debe visitar las ciudades 1, 2,..N, y su viaje comienza y debe finalizar en Ciudad Hogar. Dejemos que Cij sea el costo de viajar de la ciudad y la ciudad j, el cual es dado. El problema es determinar una orden ptima para viajar las ciudades de tal forma que el costo sea mnimo. La maximizacin de flujos es un problema tpico de la Investigacin de Operaciones, el cual tiene muchas aplicaciones, por ejemplo el flujo vial en una ciudad, una red de aguas negras, una red informtica, etcConclusinPara concluir podemos decir que los arcos son los conectores de nodos dentro de cada red, estos modelos pueden tener una direccin directa o indirecta, que dentro de cadared puede haber mltiples conectores que sirven para unir varios nodos y asi crear rutas, dentro de cada red hay ciclos que unen nodos fuera de la ruta original.Los modelos pueden ser representados mediante programas de la red, los de la segunda versin como la tcnica de rbol de expansin mnima se utiliza para casos que son de distancias cortas o rutas pequeas, la tcnica de flujo mximo determina cuanto es lo ms que puede fluir dentro de una red, la tcnica de la ruta ms corta nos sirve para determinar la ruta ms corta desde nuestro nodo de origen y nuestra ruta de transporte.Los modelos de redes tienen un uso comn en ciertos aspectos laborales y que gracias a ellos podemos resolver problemas, y se pueden desenvolver en diferentes mbitos facilitando las rutas que mejor convengan.Esperemos que este artculo sea de gran utilidad y que los conceptos contenidos queden explicados de manera clara.ReferenciasHillier, F., Lieberman, G. (2006). Introduccin a la Investigacin de Operaciones. (8 Ed.) Mxico. McGraw Hill. ISBN 970-10-5621-3

Oc,F, (2010), Modelos de redes-Investigacin de Operaciones, recuperado dehttp://www.slideshare.net/FreddOc/modelos-de-redes-investigacin-de-operaciones

Taha, H. A. (2012), Investigacin de Operaciones, (9 Ed.), Mxico, Pearson Educacin. ISBN: 978-607-32-0796-6

Raffo, E. (1990), Investigacin de Operaciones, Lima, Raffo Lecca Editores, Cdigo de Biblioteca: 658.4034/T16