programa para el trazado de cables

PROGRAMA PARA EL TRAZADO DE CABLES EN VIGAS PREESFORZADAS CONTINUAS PARA PUENTES

JULIO CÉSAR PRIETO CAICEDO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AGRÍCOLA BOGOTÁ D.C.

2014


JULIO CÉSAR PRIETO CAICEDO Ingeniero Civil

Trabajo final de maestría para optar al título de Magíster en Ingeniería - Estructuras

Director CARLOS RAMIRO VALLECILLA BAHENA

Ingeniero Civil, M.Sc

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AGRÍCOLA BOGOTÁ D.C.

2014

Nota de aceptación:

_____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________

_____________________________________ ING. CARLOS R. VALLECILLA BAHENA

Director del proyecto

_____________________________________ ING. MARITZABEL MOLINA HERRERA

Jurado

_____________________________________ ING. DIEGO E. DUEÑAS PUENTES

Jurado Bogotá D.C., Enero 20 de 2014.

Agradecimientos

El autor expresa su agradecimiento a: Carlos Ramiro Vallecilla Bahena, Ingeniero Civil M.Sc director del proyecto, por todos sus valiosos conocimientos sin los cuales no hubiera sido posible la realización de este trabajo y también por su permanente actitud de colaboración. Dorian Luis Linero Segrera, Ingeniero Civil Ph.D. en análisis estructural, profesor asociado de la Unidad de Estructuras de la Universidad Nacional, por todas sus enseñanzas en análisis estructural, las cuales fueron de vital importancia en la ejecución de este trabajo. A todos los demás profesores de la maestría en estructuras, con quien tuve el gusto de recibir clase y aprender de sus valiosísimos conocimientos y experiencia.

I

Contenido

Pág.

Capítulo 1 Introducción..................................................................................................... 1 Antecedentes..................................................................................................................5 Justificación................................................................................................................... 8 Objetivos....................................................................................................................... 9 1. Objetivo General.................................................................................................... 9 2. Objetivos Específicos............................................................................................. 9 Capítulo 2 Generalidades Concreto Preesforzado.......................................................... 10

2.1. Historia........................................................................................................... 10 2.2. Tipos de preesforzado .................................................................................... 11

2.2.1. Concreto pretensado............................................................................. 11 2.2.2. Concreto postensado ............................................................................ 13

2.3. Pérdidas de la fuerza de preesfuerzo.............................................................. 15 2.3.1. Pérdidas por corrimiento en el anclaje ................................................. 15 2.3.2. Pérdidas por fricción y curvatura involuntaria..................................... 16 2.3.3. Acortamiento elástico del concreto...................................................... 18 2.3.4. Retracción de fraguado del concreto.................................................... 19 2.3.5. Flujo plástico del concreto ................................................................... 19 2.3.6. Relajación del acero de preesfuerzo..................................................... 20

2.4. Fundamentos del preesforzado....................................................................... 20 2.4.1. Secciones empleadas............................................................................ 23 2.4.2. Cable concordante y no concordante ................................................... 24 2.4.3. Concepto de carga equivalente............................................................. 26

Capítulo 3 Aspectos Importantes CCDSP-95................................................................. 30 3.1. Cargas............................................................................................................. 30

3.1.1. Carga muerta ........................................................................................ 30 3.1.2. Carga viva ............................................................................................ 30 3.1.3. Impacto................................................................................................. 32

3.2. Concreto Preesforzado ................................................................................... 33 3.2.1. Materiales............................................................................................. 33 3.2.2. Detalles del refuerzo ............................................................................ 33

II

3.2.3. Ductos .................................................................................................. 33 3.2.4. Análisis................................................................................................. 34 3.2.5. Esfuerzos admisibles............................................................................ 34

3.2.5.1. Acero de preesfuerzo .......................................................................... 34 3.2.5.2. Concreto.............................................................................................. 34

3.3. Pérdidas .......................................................................................................... 35 3.3.1. Retracción de fraguado del concreto.................................................... 36 3.3.2. Acortamiento elástico .......................................................................... 36 3.3.3. Flujo plástico del concreto ................................................................... 37 3.3.4. Relajación del acero de preesfuerzo..................................................... 37

Capítulo 4 Manual del Usuario 38 4.1. Conociendo CAVIP ....................................................................................... 38

4.1.1. Ambiente de CAVIP ............................................................................ 39 4.2. Formularios CAVIP ....................................................................................... 40

4.2.1. Formulario materiales .......................................................................... 41 4.2.2. Formulario tipo de sección transversal ................................................ 43 4.2.3. Formulario propiedades de la sección en la transferencia ................... 43 4.2.4. Formulario propiedades de la sección en la etapa de servicio ............. 45 4.2.5. Formulario características del puente................................................... 45 4.2.6. Formulario longitudes vanos................................................................ 46 4.2.7. Formularios diafragmas ....................................................................... 47 4.2.8. Formulario avalúo de cargas ................................................................ 48 4.2.9. Formulario trazado cable...................................................................... 48 4.2.10. Formulario ejecución de procesos........................................................ 50 4.2.11. Formularios de análisis inicial de esfuerzos......................................... 53 4.2.12. Formulario diseño cables ..................................................................... 54 4.2.13. Formulario resumen cables escogidos ................................................. 56 4.2.14. Formulario resumen de pérdidas.......................................................... 56 4.2.15. Formularios de análisis final de esfuerzos ........................................... 57

4.3. Procedimientos CAVIP.................................................................................. 59 4.3.1. Evaluación de las reacciones en los apoyos......................................... 59 4.3.2. Determinación del trazado del cable .................................................... 61

4.3.2.1. Trazado del cable en la luz exterior .................................................... 61 4.3.2.2. Trazado del cable en las luces interiores ............................................ 62

4.3.3. Evaluación de las pérdidas en la transferencia..................................... 63 4.3.3.1. Pérdidas por corrimiento en el anclaje................................................ 63 4.3.3.2. Pérdidas por fricción y curvatura involuntaria cable de preesfuerzo.. 64 4.3.3.3. Pérdidas por acortamiento elástico del concreto................................. 64

4.3.4. Líneas de influencia (caso puente vehicular) ....................................... 64

III

4.3.5. Momentos flectores máximos y mínimos ............................................ 64 4.3.6. Cálculo del momento debido a carga de preesfuerzo Mp.................... 66 4.3.7. Evaluación del número de tramos de cables ........................................ 68 4.3.8. Evaluación de la fuerza de preesfuerzo necesaria................................ 69 4.3.9. Cantidad de torones y cables necesarios .............................................. 71 4.3.10. Controladores de error.......................................................................... 71

4.4. Resultados CAVIP ......................................................................................... 72 4.4.1. Hoja datos de entrada ........................................................................... 72 4.4.2. Hoja M_V ............................................................................................ 73 4.4.3. Hoja GRAF_M_V................................................................................ 74 4.4.4. Hoja CUADRO_LI .............................................................................. 75 4.4.5. Hoja GRAF_LI .................................................................................... 76 4.4.6. Hoja Mp_INICIAL .............................................................................. 78 4.4.7. Hoja GRAF_Mp_INICIAL.................................................................. 79 4.4.8. Hoja Mp_FINAL.................................................................................. 80 4.4.9. Hoja GRAF_Mp_FINAL..................................................................... 80 4.4.10. Hoja RESULTADOS........................................................................... 80

4.5. Diagrama de flujo de primer nivel ................................................................. 82 Capítulo 5 Ejemplos de Aplicación 85

5.1. Puente peatonal continuo de tres luces........................................................... 85 5.1.1. Materiales empleados........................................................................... 85 5.1.2. Propiedades de la sección bruta de concreto........................................ 86 5.1.3. Avalúo de cargas .................................................................................. 86 5.1.4. Reacciones en los apoyos..................................................................... 86 5.1.5. Diagramas de momento flector ............................................................ 91 5.1.6. Trayectoria del cable de preesfuerzo.................................................... 93

5.1.6.1. Trayectoria cable en la luz exterior .................................................... 93 5.1.6.2. Trayectoria cable en la luz interior ..................................................... 95

5.1.7. Cálculo del momento flector debido al preesfuerzo ............................ 97 5.1.8. Evaluación de la fuerza de preesfuerzo necesaria.............................. 104 5.1.9. Estado inicial de esfuerzos en el concreto.......................................... 105

5.1.9.1. Estado de esfuerzos en la etapa de servicio ...................................... 105 5.1.9.2. Estado de esfuerzos en la transferencia ............................................ 107

5.1.10. Diseño de los cables de preesfuerzo necesarios................................. 108 5.1.11. Pérdidas de la fuerza de preesfuerzo.................................................. 110 5.1.12. Momentos estático, hiperestático y de preesfuerzo definitivos ......... 110 5.1.13. Estado final de esfuerzos en el concreto ............................................ 114

5.1.13.1. Estado de esfuerzos en la etapa de servicio .................................... 114 5.1.13.2. Estado de esfuerzos en la transferencia .......................................... 115

IV

5.2. Puente vehicular continuo de dos luces ....................................................... 118 5.2.1. Materiales empleados......................................................................... 118 5.2.2. Propiedades de la sección bruta de concreto...................................... 119 5.2.3. Avalúo de cargas ................................................................................ 119 5.2.4. Reacciones en los apoyos................................................................... 119 5.2.5. Diagramas de momento flector .......................................................... 123 5.2.6. Factores de impacto ........................................................................... 124 5.2.7. Diagramas de líneas de influencia...................................................... 124

5.2.7.1. Líneas de influencia de las reacciones en los apoyos ....................... 124 5.2.7.2. Líneas de influencia de momentos flectores..................................... 125

5.2.8. Trayectoria del cable de preesfuerzo.................................................. 126 5.2.8.1. Trayectoria cable en la primera luz................................................... 126

5.2.9. Cálculo del momento flector debido al preesfuerzo .......................... 128 5.2.10. Evaluación de la fuerza de preesfuerzo necesaria.............................. 133 5.2.11. Estado inicial de esfuerzos en el concreto.......................................... 135


5.2.12. Diseño de los cables de preesfuerzo necesarios................................. 137 5.2.13. Pérdidas de la fuerza de preesfuerzo.................................................. 138 5.2.14. Momentos estático, hiperestático y de preesfuerzo definitivos ......... 139 5.2.15. Estado final de esfuerzos en el concreto ............................................ 139


Capítulo 6 Conclusiones................................................................................................ 144 Recomendaciones.......................................................................................................... 146 Futuras Investigaciones................................................................................................. 148 Anexo 1 – Regla de Simpson........................................................................................ 149 Anexo 2 – Propiedades Geométricas Vigas I AASHTO.............................................. 150 Anexo 3 – Propiedades Geométricas Vigas de Sección Cajón AASHTO.................... 152 Referencias Bibliográficas.............................................................................................153

V

Lista de Figuras

Pág.

Figura 1.1. Puente continuo de 2 luces. ................................................................................. 2 Figura 2.1. Fotografía anclaje. ............................................................................................. 11 Figura 2.2. Esquema del funcionamiento del concreto pretensado...................................... 12 Figura 2.3. Métodos de pretensionamiento. ......................................................................... 12 Figura 2.4. Fotografía de planta de fabricación de concreto pretensado. ............................ 13 Figura 2.5. Métodos de postensionamiento.......................................................................... 14 Figura 2.6. Esquema de pérdidas por corrimiento en el anclaje. ......................................... 15 Figura 2.7. Esquema de fuerzas actuantes en tramo de cable postensado. .......................... 17 Figura 2.8. Componentes de la fuerza de preesfuerzo P. ..................................................... 21 Figura 2.9. Curva carga – deformación típica en una viga preesforzada............................. 21 Figura 2.10. Esfuerzos presentes en concreto preesforzado. ............................................... 22 Figura 2.11. Algunas secciones utilizadas en concreto preesforzado. ................................. 23 Figura 2.12. Resultante de compresiones en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. .................................................................................................................... 24 Figura 2.13. Viga indeterminada con trazado de cable concordante. .................................. 25 Figura 2.14. Concepto de carga equivalente para cable en “V”........................................... 27 Figura 2.15. Concepto de carga equivalente para cable parabólico. .................................... 28 Figura 2.16. Cargas equivalentes en el caso general............................................................ 29 Figura 3.1. Camiones estándar. ............................................................................................ 31 Figura 3.2. Carga de carril.................................................................................................... 32 Figura 4.1. Formulario de inicio del programa. ................................................................... 38 Figura 4.2. Botones en la hoja MAIN. ................................................................................. 39 Figura 4.3. Formulario de impresión de datos. .................................................................... 39 Figura 4.4. Despliegue de información referente al programa CAVIP................................ 40 Figura 4.5. Aviso de advertencia antes de iniciar el nuevo proyecto................................... 40 Figura 4.6. Formulario con datos del proyecto a ejecutar.................................................... 41 Figura 4.7. Formulario materiales........................................................................................ 41 Figura 4.8. Formulario materiales, área de torones a emplear. ............................................ 42 Figura 4.9. Formulario tipo de sección transversal. ............................................................. 43 Figura 4.10. Formulario propiedades de la sección transversal en la transferencia............ 43 Figura 4.11. Formulario sección T....................................................................................... 44

VI

Figura 4.12. Formulario sección cajón................................................................................. 44 Figura 4.13. Formulario sección I. ....................................................................................... 44 Figura 4.14. Formulario propiedades de la sección transversal en la etapa de servicio. .... 45 Figura 4.15. Formulario características del puente. ............................................................. 46 Figura 4.16. Aviso informativo sobre longitudes de vanos. ................................................ 46 Figura 4.17. Formulario longitudes vanos. .......................................................................... 47 Figura 4.18. Formularios de cálculo de diafragmas............................................................. 47 Figura 4.19. Formulario avalúo de cargas............................................................................ 48 Figura 4.20. Formulario de coeficientes pérdidas y trazado de cable.................................. 49 Figura 4.21. Formulario de configuración de los cables...................................................... 49 Figura 4.22. Formulario de ejecución de procesos del programa. ....................................... 51 Figura 4.23. Tipos de carga viva para puente peatonal........................................................ 52 Figura 4.24. Formulario resumen de análisis preliminar de esfuerzos. ............................... 53 Figura 4.25. Avisos informativos del programa................................................................... 53 Figura 4.26. Formulario detallado análisis inicial de esfuerzos en puntos de mayor demanda. .............................................................................................................................. 54 Figura 4.27. Formulario diseño de cables. ........................................................................... 55 Figura 4.28. Formulario diseño de cables, opción "hacer combinación propia". ................ 55 Figura 4.29. Formulario resumen cables escogidos. ............................................................ 56 Figura 4.30. Formulario resumen de pérdidas. .................................................................... 56 Figura 4.31. Formulario resumen de análisis final de esfuerzos.......................................... 57 Figura 4.32. Formulario detallado de análisis final de esfuerzos en puntos de mayor demanda. .............................................................................................................................. 58 Figura 4.33. Formularios de análisis final de esfuerzos en puntos ubicados a 1/8 de vano. 58 Figura 4.34. Equilibrio en elemento de viga. ....................................................................... 59 Figura 4.35. Acciones fijas de viga con carga distribuida. .................................................. 60 Figura 4.36. Convención de V y M positivos. ..................................................................... 61 Figura 4.37. Trayectoria cable en la luz exterior. ................................................................ 61 Figura 4.38. Trayectoria cable en luz interior. ..................................................................... 62 Figura 4.39. Esquema de variación de fuerza de preesfuerzo al anclar. .............................. 63 Figura 4.40. Aplicación de carga viva en puente vehicular de 4 luces, para momento flector máximo en el apoyo 1. ......................................................................................................... 65 Figura 4.41. Aplicación de carga viva en puente vehicular de 4 luces, para momento flector mínimo en el apoyo 1........................................................................................................... 65 Figura 4.42. Rotaciones debidas a la fuerza de preesfuerzo y a momentos unitarios en viga de 5 luces.............................................................................................................................. 66 Figura 4.43. Tramos de cables según número de vanos del puente. .................................... 68 Figura 4.44. Puntos de evaluación de P en cada tramo de cables en viga de 5 luces. ......... 70 Figura 4.45. Despliegue de aviso informativo en presencia de falta de información. ......... 71

VII

Figura 4.46. Hoja datos de entrada....................................................................................... 72 Figura 4.47. Hoja M_V (momento flector y fuerza cortante). ............................................. 73 Figura 4.48. Hoja M_V, cuadros con valores de Mmax y Vmax. ............................................ 74 Figura 4.49. Hoja GRAF_M_V. .......................................................................................... 75 Figura 4.50. Hoja CUADRO_LI.......................................................................................... 76 Figura 4.51. Hoja GRAF_LI, líneas de influencia de reacciones en apoyos. ...................... 77 Figura 4.52. Hoja GRAF_LI, líneas de influencia de momento flector en apoyos.............. 77 Figura 4.53. Hoja GRAF_LI, líneas de influencia de momento flector vanos. ................... 78 Figura 4.54. Hoja Mp_INICIAL. ......................................................................................... 78 Figura 4.55. Hoja GRAF_Mp_INICIAL. ............................................................................ 79 Figura 4.56. Hoja Mp_FINAL. ............................................................................................ 80 Figura 4.57. Hoja GRAF_Mp_FINAL................................................................................. 81 Figura 4.58. Hoja RESULTADOS, caso puente vehicular.................................................. 81 Figura 4.59. Hoja RESULTADOS, caso puente peatonal. .................................................. 82 Figura 4.60. Diagrama de flujo del programa. ..................................................................... 83 Figura 5.1. Puente peatonal continuo de tres luces. ............................................................. 85 Figura 5.2. Numeración de los grados de libertad del ejemplo 5.1...................................... 86 Figura 5.3. Diagramas de momento para peso propio del ejemplo 5.1................................ 92 Figura 5.4. Diagramas de momento para cargas sobreimpuestas del ejemplo 5.1............... 92 Figura 5.5. Diagramas de momento para carga viva del ejemplo 5.1. ................................. 92 Figura 5.6. Trayectoria cable en la luz exterior del puente del ejemplo 5.1. ....................... 93 Figura 5.7. Trayectoria cable en la luz interior del puente del ejemplo 5.1......................... 95 Figura 5.8. Trayectoria del preesfuerzo en la viga del ejemplo 5.1. ................................... 96 Figura 5.9. Rotaciones debidas a la fuerza de preesfuerzo y a momentos unitarios en viga del ejemplo 5.1. .................................................................................................................... 97 Figura 5.10. Diagrama de momento estático Me/P de la viga del ejemplo 5.1. ................. 103 Figura 5.11. Diagrama de momento hiperestático Mh/P de la viga del ejemplo 5.1.......... 104 Figura 5.12. Diagrama de momento de preesfuerzo Mp/P de la viga del ejemplo 5.1....... 104 Figura 5.13. Opciones de torones por cable desplegadas por CAVIP para el ejemplo 5.1.109 Figura 5.14. Puente vehicular continuo de dos luces. ........................................................ 118 Figura 5.15. Numeración de los grados de libertad del ejemplo 5.2.................................. 120 Figura 5.16. Diagramas de momento para peso propio del ejemplo 5.2............................ 123 Figura 5.17. Diagramas de momento para cargas sobreimpuestas del ejemplo 5.2........... 123 Figura 5.18. Línea de influencia de la reacción en el apoyo 0 del ejemplo 5.2. ................ 124 Figura 5.19. Línea de influencia de la reacción en el apoyo 1 del ejemplo 5.2. ................ 124 Figura 5.20. Línea de influencia del momento flector en el apoyo 1 y carga para momento flector máximo negativo en la viga del ejemplo 5.2. ......................................................... 125 Figura 5.21. Línea de influencia del momento flector en x = 15m y carga para momento flector máximo positivo en la viga del ejemplo 5.2. .......................................................... 125

VIII

Figura 5.22. Línea de influencia del momento flector en x = 65m y carga para momento flector máximo positivo en la viga del ejemplo 5.2. .......................................................... 126 Figura 5.23. Trayectoria cable en la primera luz exterior del puente del ejemplo 5.2....... 126 Figura 5.24. Trayectoria del preesfuerzo en la viga del ejemplo 5.2. ............................... 128 Figura 5.25. Rotaciones debidas a la fuerza de preesfuerzo y a momento unitario en viga del ejemplo 5.2. .................................................................................................................. 129 Figura 5.26. Diagrama de momento estático Me/P de la viga del ejemplo 5.2. ................. 133 Figura 5.27. Diagrama de momento hiperestático Mh/P de la viga del ejemplo 5.2.......... 133 Figura 5.28. Diagrama de momento de preesfuerzo Mp/P de la viga del ejemplo 5.2....... 133 Figura 5.29. Opciones de torones por cable desplegadas por CAVIP para el ejemplo 5.2.137 Figura A1.1. Empleo Regla de Simpson............................................................................ 149 Figura A2.1. Dimensiones de las vigas I AASHTO. ......................................................... 150 Figura A3.1. Dimensiones (mm) de las vigas cajón AASHTO. ........................................ 152

IX

Lista de Tablas

Pág.

Tabla 3.1. Porcentajes de carga viva según número de carriles cargados simultáneamente.31 Tabla 3.2. Valores de k y . ................................................................................................. 35 Tabla 4.1. Propiedades de torones comerciales. .................................................................. 42 Tabla 4.2. Valores coeficiente K.......................................................................................... 50 Tabla 5.1. Reacciones en los apoyos en t, para el puente del ejemplo 5.1........................... 91 Tabla 5.2. Abscisas para momentos máximos absolutos por peso propio en ejemplo 5.1. . 91 Tabla 5.3. Momentos flectores en t*m, para la viga del ejemplo 5.1. ................................. 93 Tabla 5.4. Excentricidades del cable de preesfuerzo en la luz exterior. .............................. 95 Tabla 5.5. Excentricidades del cable de preesfuerzo en la luz interior. ............................... 96 Tabla 5.6. Integración numérica en la luz 1 del ejemplo 5.1. .............................................. 99 Tabla 5.7. Integración numérica en la luz 2 del ejemplo 5.1. ............................................ 100 Tabla 5.8. Integración numérica en la luz 3 del ejemplo 5.1. ............................................ 101 Tabla 5.9. Momentos estático, hiperestático y de preesfuerzo, divididos por P en la etapa de servicio, para la viga del ejemplo 5.1................................................................................. 103 Tabla 5.10. Fuerza de preesfuerzo necesaria en t=0, para la viga del ejemplo 5.1........... 105 Tabla 5.11. Resumen de esfuerzos iniciales en etapa de servicio para la viga del ejemplo 5.1....................................................................................................................................... 106 Tabla 5.12. Resumen de esfuerzos iniciales en la transferencia para la viga del ejemplo 5.1............................................................................................................................................. 108 Tabla 5.13. Información cable escogido para la viga del ejemplo 5.1.............................. 109 Tabla 5.14. Pérdidas en la fuerza de preesfuerzo para la viga del ejemplo 5.1. ............... 110 Tabla 5.15. Integración numérica final en la luz 1 del ejemplo 5.1................................... 111 Tabla 5.16. Integración numérica final en la luz 2 del ejemplo 5.1................................... 112 Tabla 5.17. Integración numérica final en la luz 3 del ejemplo 5.1................................... 113 Tabla 5.18. Resumen de esfuerzos finales en etapa de servicio para la viga del ejemplo 5.1............................................................................................................................................. 115 Tabla 5.19. Resumen de esfuerzos finales en la transferencia para la viga del ejemplo 5.1............................................................................................................................................. 117 Tabla 5.20. Reacciones en los apoyos en t, para el puente del ejemplo 5.2....................... 122 Tabla 5.21. Abscisas para momentos máximos absolutos por peso propio en la viga del ejemplo 5.2......................................................................................................................... 123

X

Tabla 5.22. Momentos flectores máximos y mínimos en t*m para la viga del ejemplo 5.2............................................................................................................................................. 123 Tabla 5.23. Excentricidades del cable de preesfuerzo en la primera luz. .......................... 128 Tabla 5.24. Integración numérica en la luz 1 del ejemplo 5.2. .......................................... 130 Tabla 5.25. Integración numérica en la luz 2 del ejemplo 5.2. .......................................... 131 Tabla 5.26. Momentos estático, hiperestático y de preesfuerzo, divididos por P en la etapa de servicio, para la viga del ejemplo 5.2............................................................................ 132 Tabla 5.27. Fuerza de preesfuerzo necesaria en t=0 para la viga del ejemplo 5.2. ........... 134 Tabla 5.28. Resumen de esfuerzos iniciales en etapa de servicio para la viga del ejemplo 5.2....................................................................................................................................... 135 Tabla 5.29. Resumen de esfuerzos iniciales en la transferencia para la viga del ejemplo 5.2............................................................................................................................................. 137 Tabla 5.30. Información cable escogido para la viga del ejemplo 5.2.............................. 138 Tabla 5.31. Pérdidas en la fuerza de preesfuerzo para la viga del ejemplo 5.2. ............... 139 Tabla 5.32. Integración numérica final en la luz 1 del ejemplo 5.2................................... 140 Tabla 5.33. Integración numérica final en la luz 2 del ejemplo 5.2................................... 141 Tabla 5.34. Resumen de esfuerzos finales en etapa de servicio para la viga del ejemplo 5.2............................................................................................................................................. 142 Tabla 5.35. Resumen de esfuerzos finales en la transferencia para la viga del ejemplo 5.2............................................................................................................................................. 143 Tabla A2.1. Dimensiones de las vigas I AASHTO (pulgadas).......................................... 150 Tabla A2.2. Dimensiones de las vigas I AASHTO (mm).................................................. 151 Tabla A2.3. Propiedades de las vigas I AASHTO (pulgadas) ........................................... 151 Tabla A2.4. Propiedades de las vigas I AASHTO (mm - m)............................................. 151 Tabla A3.1. Propiedades de las vigas cajón AASHTO...................................................... 152

XI

Resumen

Este documento presenta el desarrollo de un software en el lenguaje de programación Visual Basic for Applications (integrado a Microsoft Office Excel) para análisis de esfuerzos debidos a los cables preesforzados, las cargas muertas y las cargas vivas, en vigas preesforzadas postensadas de puentes continuos de concreto tanto peatonales como vehiculares, de luces indefinidas, bajo los lineamientos del Código Colombiano de Diseño Sísmico de Puentes CCDSP-95. Este se constituye en una aplicación amigable que mediante formularios secuenciales indica al usuario de una manera clara y sencilla el ingreso de los datos relacionados con el puente como son las características de los materiales a emplear, los datos de la sección transversal, los valores de las cargas, el número y longitud de las luces, así como información concerniente a las pérdidas tanto en la transferencia como en la etapa de servicio. Al final, el programa arroja como resultado principal el análisis de esfuerzos y su respectivo cumplimiento en los puntos de mayor demanda y en puntos ubicados cada 1/8 de vano; adicionalmente, como resultado secundario deja registrados todos los procesos realizados para la obtención de estos esfuerzos, lo que se convierte en una herramienta didáctica para aquellas personas que no están familiarizadas con el análisis de este tipo de estructuras. Con este software es posible lograr de una manera rápida mediante tanteos, la obtención de una sección trasversal eficiente para las características del puente, lo cual se traduce en ahorro de recursos económicos en materiales de construcción. En conclusión este programa tiene las siguientes ventajas: analiza puentes de indefinido número de luces; registra en hojas de cálculo todos los procesos ejecutados permitiendo la realización de verificaciones y cálculos propios; genera gráficas de fuerza cortante y momento flector; y en el caso de puentes vehiculares, dibuja las líneas de influencia de las reacciones y de los momentos flectores en los apoyos, y momentos flectores en los puntos de mayor demanda por peso propio en cada luz. A pesar de todas las bondades mencionadas anteriormente este programa presenta en contraposición las siguientes limitaciones: genera únicamente el trazado del centroide de los cables de preesfuerzo, por tratarse de un software de análisis no calcula el refuerzo pasivo, fue desarrollado para una sección transversal constante, no realiza cálculos con asentamientos diferenciales ni cambios de temperatura y no aplica en puentes con trazado curvo en planta.

Palabras Claves

Puentes continuos, concreto preesforzado, software, CCDSP-95, análisis de esfuerzos.

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Abstract

This document presents the software development in the language programming Visual Basic for Applications (integrated to Microsoft Office Excel), for assessing stresses caused by prestressed wires, dead loads and live loads in post-tensioned prestressed beams of continuous concrete bridges for both cases pedestrian and vehicle, of undefined number of spans, follow the parameters and guidance of the Colombian Code for Seismic Design of Bridges CCDSP-95. This constitutes a friendly application that in a clear and ease way indicates to the user the data entry regarding to the bridge such as characteristics of the materials to be used, transversal section data, loads values, number and length of spans and information related to the losses in the transfer step as well as in service stage. All this is carried out by mean of sequential forms. At the end, the program yields as a main result stresses analysis and its respective fulfilling in points of major demand as well as in points located each 1/8 of span; in addition when obtaining these stresses the program keeps a record -as a secondary result- of every process performed, this it leads to a didactic tool useful for these people who are not familiar with analysis of this structures’ type. Using this software there is the possibility of calculating by mean of trial and error and in a fast way as well an efficient transversal section that fits with the bridge properties, which brings about saving of economical resources related to construction materials. In conclusion, this program has the following advantages: it analyses bridges of undefined number of spans; it records in spreadsheets all the processes executed providing the opportunity of performing verifications as well as own calculations; it generates shear and bending moment graphs; and in the case of vehicular bridges yields reactions’ influence lines and supports’ bending moment, and in each span gives the influence line for the bending moments in major demand points due to its own weight. Despite all the benefits previously mentioned, this program presents in contraposition the following limitations: it provides only the centroid layout of prestressed cables, because of it is an analysis software it does not calculate passive reinforcement, executed calculations are applicable only for a constant section, it does not make calculations taking into account differential settlements nor temperature changes and finally it does not have application in bridges with curve in plant layout.

Keywords

Continuous bridges, prestressed concrete, software, CCDSP-95, stress analysis.

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Capítulo 1 Introducción

Los puentes pueden ser estáticamente determinados (isostáticos) o estáticamente indeterminados (hiperestáticos). Los sistemas isostáticos son aquellos en los cuales las reacciones se pueden encontrar mediante la utilización de las tres condiciones de equilibrio: Fx, Fy y Mz; mientras que en los sistemas hiperestáticos, el número de incógnitas supera el número de ecuaciones disponibles para resolverlos y se necesita hacer uso de métodos de fuerzas o métodos de deformaciones1. Los puentes isostáticos presentan ventajas como: diseño estructural y construcción más simple, y mejor adaptabilidad a suelos de mala calidad2 (aunque un suelo de mala calidad puede ocasionar fallas de funcionamiento); mientras que en los puentes hiperestáticos se pueden emplear luces mayores, tienen mejor comportamiento estructural, son más económicos, presentan mayor estabilidad ante fallas de un elemento portante por la redistribución de momentos; sin embargo en contraposición a estas ventajas de los puentes hiperestáticos, están desventajas como: su análisis es más complejo, requieren de una sistematización por computador para resolverlos de manera eficiente, se ven afectados por asentamientos diferenciales y dilataciones por temperatura, estas últimas en mayor medida cuando son puentes muy largos3. Los puentes continuos (ver figura 1.1), pertenecientes a los sistemas hiperestáticos, son aquellos que están conformados por dos o más luces sin juntas de dilatación internas, que pueden estar colocadas sobre apoyos simples sin que exista continuidad con los soportes o pueden ser parte de una estructura monolítica junto con los mismos. Pueden tener sección transversal como: losa maciza, viga T, viga cajón, etc. Dependiendo de las características del proyecto, la sección longitudinal puede ser constante o variable con acartelamientos parabólicos o rectos, dando una mayor altura en los apoyos con lo cual se logran luces mayores4. Por cuestiones económicas se recomienda que las luces exteriores tengan 0.8

1 Hsieh, Yuan Yu (1970) Teoría elemental de estructuras, México D.F., Prentice Hall, 16-20. 2 Suelos con baja capacidad portante y que se deforman fácilmente con la aplicación de la carga. Corresponden a suelos arenosos, limosos y arcillosos. 3 Nilson, Arthur H (1999) Diseño de estructuras de concreto, Bogotá, Mc Graw Hill. 4 Tomado de: Lin, T. Y. & Burns, Ned H. (1981) Design of prestressed concrete structures, 3 ed, New York, John Wiley & Sons; 218, 219, 315-317.


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veces la dimensión de las luces internas, de esta manera los momentos flectores son más o menos del mismo orden de magnitud.

Figura 1.1. Puente continuo de 2 luces.

Fuente: Precast/Prestressed Concrete Institute PCI (2009) The state of the art of precast/prestressed adjacent box beam bridges, 3.

Existen dos formas de concreto preesforzado: pretensado y postensado. El concreto pretensado se produce tensando los cables entre anclajes externos, luego se vacía el concreto y éste al fraguar, se adhiere al acero; cuando el concreto alcanza la resistencia requerida, se retira lentamente la fuerza de preesfuerzo aplicada por los gatos, y esa misma fuerza es transmitida por adherencia al concreto. En el concreto postensado se dejan embebidos ductos dentro de los cuales se colocan los cables de preesfuerzo, a éstos cables se les aplica tensión por medio de gatos luego de que ha endurecido el concreto y éste ha alcanzado suficiente resistencia5. El software generado en este trabajo de grado, permite analizar para puentes peatonales o vehiculares conformados por vigas continuas de concreto postensado de indefinido número de luces, los esfuerzos y verificar su respectivo cumplimiento con los lineamientos del CCDSP-95, en cuatro etapas constructivas que son: durante la transferencia sobre sección simple, tomando únicamente el peso propio de la sección simple; en etapa intermedia sobre sección simple, tomando el peso propio de la sección simple, de la losa y los diafragmas, y

5 Tomado de: Escobar López, Germán; González Cuenca, Alberto y Salgado Farías, Eduardo (2010) Concreto preesforzado - diseño y construcción, 2 ed, Bogotá, ASOCRETO, 67-68.


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una carga viva de 80 kg/m2 que representa la maquinaria y obreros; en etapa de servicio sobre sección compuesta, tomando el peso propio de la sección, la losa y los diafragmas; y finalmente en etapa de servicio sobre sección compuesta, tomando el peso propio de la sección, la losa y los diafragmas, y la carga viva. Este programa tiene como limitaciones que únicamente genera el trazado del centroide de los cables de preesfuerzo, no calcula el refuerzo pasivo, solo permite sección transversal constante, no analiza asentamientos diferenciales, ni puentes con trazado curvo en planta. Por lo anterior se hace necesario que el usuario del programa evalúe el trazado real constructivo de cada uno de los cables de preesfuerzo haciendo coincidir el valor de la fuerza de preesfuerzo por la excentricidad generada por el programa para la totalidad de los cables, con la sumatoria de la fuerza de preesfuerzo por la excentricidad de cada cable. Por todas las razones expuestas anteriormente, este trabajo de grado permite al diseñador establecer si la sección transversal tomada, el tamaño de las luces y los cables establecidos, son los óptimos para cumplir con los requisitos de esfuerzos admisibles del CCDSP-95, bajo determinadas condiciones de carga, de una manera ágil, ya que haciendo este proceso de manera manual requeriría gran cantidad de tiempo solo para evaluar una sección transversal que a la final podría no ser la indicada. Este documento está organizado de la siguiente manera: en el capítulo 1 se presenta una breve introducción a los puentes continuos, sus características, ventajas y desventajas, y se muestra el alcance del software realizado. Además se relacionan los antecedentes que incluyen trabajos de grado en programación de software ejecutados en el Área de Estructuras de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Sede Bogotá, y algunos estudios realizados a nivel internacional; se menciona la justificación del por qué se realizó este trabajo y se mencionan los objetivos que se debieron cumplir. En el capítulo 2 se tratan generalidades del concreto preesforzado como son: su historia, tipos de preesforzado, concepto de carga equivalente, concepto de cable concordante y nociones importantes acerca de las pérdidas de la fuerza de preesfuerzo. En el capítulo 3 se resume lo contenido en el CCDSP-95 relacionado con el análisis de puentes preesforzados en concreto como: las cargas involucradas, materiales empleados y sus características, los esfuerzos admisibles en la trasferencia y en servicio, y las formulaciones para el cálculo de las pérdidas de la fuerza de preesfuerzo tanto para concreto pretensado como para concreto postensado. En el capítulo 4 se muestra el ambiente del software realizado, sus respectivos formularios de ingreso de datos, los procedimientos empleados en el desarrollo del programa, la forma como despliega los resultados y su correcta interpretación, y al final se muestra un diagrama de flujo general de la forma como fue programado este software. En el capítulo 5 hay dos ejemplos de aplicación, uno para puente peatonal de 3 luces y otro para puente vehicular de dos luces, con los cuales el usuario del programa puede entender la forma como el software CAVIP ejecuta los respectivos procesos para hallar los esfuerzos respectivos en la viga. En el capítulo 6 están las conclusiones y recomendaciones de este


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trabajo de grado; igualmente están descritos los futuros trabajos de programación complementarios a realizar en la Universidad Nacional esta línea de software de puentes continuos en concreto preesforzado. Es importante aclarar que aunque el concreto preesforzado comprende el pretensado y el postensado, hasta el momento en Colombia no se han construido puentes con vigas continuas en concreto pretensado, este tipo de concreto se emplea más que todo en placas de vivienda y edificios, razón por la cual se consideró únicamente la realización de un software para concreto postensado con el fin de evitar la realización de un trabajo que posiblemente no se utilizaría en la vida práctica y que si requeriría gran cantidad de horas de trabajo y esfuerzo de programación.


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Antecedentes

Para optimizar el proceso de enseñanza y el ejercicio profesional, es indispensable crear una herramienta eficiente de análisis de vigas preesforzadas postensadas continuas para puentes como lo es un programa, que permita al estudiante o ingeniero diseñador involucrar las diferentes condiciones del análisis, de tal forma que pueda explorar distintas alternativas de solución de la estructura. Debido a que este trabajo de maestría es una ayuda didáctica para las asignaturas de Análisis Estructural y Puentes, se evidencia que forma parte de la línea “Elaboración de Modelos Didácticos”. Dentro de esta línea, en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional, se ha desarrollado software y algunos trabajos de grado que incluyen programas computacionales que sirven de ayuda didáctica en la enseñanza de las estructuras como: Takeuchi Tan, Caori Patricia y Lyons Barrera, Liliana (1989) Ayudas de computador

para el diseño de elementos en lamina delgada, Tesis de pregrado ingeniería civil, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Ardila Roa, Edgar y Monroy Camacho, Luis Daniel (1992) Diseño de columnas en concreto reforzado - Software UNCOL, Tesis de pregrado ingeniería civil, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

González Rodríguez, José Mauricio y Pachón Afanador, Alberto (1993) Análisis de pórticos planos rectangulares, Tesis de pregrado ingeniería civil, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Martin Reyes, Miguel Leonardo y González García, Gerardo Augusto (1994) Diseño de vigas de acuerdo con el Decreto 1400 de 1984, Tesis de pregrado ingeniería civil, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Takeuchi Tan, Caori Patricia (1994) Elaboración de un método practico que permita calcular la rigidez de un muro con huecos, Tesis de maestría en estructuras, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Rojas Chacón, Julio Cesar y Mejía Mosquera, Alejandro (1995) Análisis de columnas de sección no rectangular en concreto reforzado - Software ANARCOL, Tesis de pregrado ingeniería civil, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Guiot Rubiano, Nelson Alejandro y Cárdenas Ramírez, Jair Antonio (1996) Programa para analizar la estabilidad de elementos lineales sometidos a flexocompresión, Tesis de pregrado ingeniería civil, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.


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Gutiérrez Montoya , Juan Bernardo y Linero Segrera, Dorian Luis (1996) Programa didáctico de estructuras - Estr-Un, Tesis de pregrado ingeniería civil, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Sánchez Vargas, Consuelo Mercedes y Sandoval Leal , Juan Manuel (1998) Diagrama de iteración de columnas rectangulares, preesforzadas, reforzadas externamente, Tesis de pregrado ingeniería civil, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Linero Segrera, Dorian Luis (1999) Programa didáctico interactivo para el análisis de estructuras - EULER, Tesis de maestría en estructuras, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Vargas Fajardo, Yury Valentina (2001) Desarrollo de nuevos comandos para el programa didáctico de elementos finitos - EULER - Parte I, Tesis de pregrado ingeniería civil, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Lota, Luis Felipe (2002) Desarrollo de un modulo gráfico de análisis de problemas de elasticidad plana para el programa didáctico de elementos finitos - EULER, Tesis de pregrado ingeniería civil, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Zamora Pacheco, Niny Johana (2004) Programa didáctico para el diseño de estribos para puentes y muros de contención, Tesis de pregrado ingeniería civil, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Medina Petro, Pedro Julio (2008) Programa de diseño de elementos de concreto reforzado y sección transversal poligonal sometidos a flexocompresión biaxial mediante métodos numéricos, Tesis de pregrado ingeniería civil, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Linero Segrera, Dorian Luis (2010) Programa de elementos finitos a código abierto - PEFiCA, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Caicedo Silva, Manuel Alejandro (2010) Modelación numérica con elementos finitos del concreto reforzado con fibras cortas mediante un modelo constitutivo de daño – plasticidad, Tesis de maestría en estructuras, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Matiz Chica, Jorge Iván (2011) Método simplificado para el análisis y diseño de tranques rectangulares en concreto reforzado a partir de la formulación de los elementos finitos (2011), Tesis de maestría en estructuras, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Así mismo, en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional, se ha desarrollado otros trabajos de grado teóricos y experimentales relacionados con los puentes y elementos preesforzados, como son:


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Castro Gómez, Luis Carlos y Pachón Espitia, Jorge Arnulfo (1989) Ayudas de computador para el diseño de elementos preesforzado, Tesis de pregrado en ingeniería civil, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Pardo Vargas, Zulma Stella (1993) Propuesta de una carga colombiana para diseño de puentes, Tesis de pregrado en ingeniería civil, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Acosta Pérez, Ricardo y Bohórquez Gutiérrez, César Augusto (1998) Elaboración de modelos didácticos de elementos preesforzados

Dueñas Puentes, Diego Ernesto (2006) Coeficiente de fricción por curvatura no intencional en concreto postensado, Tesis de Magíster en Estructuras, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Torres Salazar, Juan Ricardo (2006) Comparación económica de diseños de puentes en concreto reforzado con superestructura en sistema de losa y vigas de dos y tres luces: vigas continuas contra vigas simplemente apoyadas, Trabajo de grado de especialización en estructuras, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Mora Daza, Javier Alfonso (2009) Análisis y diseño de puentes preesforzados de luz continua, Trabajo de grado de especialización en estructuras, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

Igualmente, a nivel internacional se han llevado a cabo numerosos estudios sobre puentes preesforzados de viga continua, los cuales se ven reflejados en la publicación de importantes artículos, entre los cuales se destacan los siguientes: . American Society of Civil Engineers (1999) Continuously prestressed concrete bridge

system is developed. Civil Engineering, vol. 69, 22. Loh, Chin-Hsiung; Wan, Shiuan y Chang, Yi-Wen (2001) Evaluation of Seismic

Demands in a Continuous Bridge. International Journal of Structural Stability & Dynamics, vol. 1, 235.

Xiedong, Zhang , et al. (2007) Evaluation of a concrete continuous beam bridge using load test. AIP Conference Proceedings, vol. 894, 1421-1428.

Ruiz Teran, A y M. Aparicio, A. C. (2008) Structural behaviour and design criteria of under-deck cable-stayed bridges and combined cable-stayed bridges. Part 1: Single-span bridges. Canadian Journal of Civil Engineering, vol. 35, 938-950.

Shmerling, Robert Z.; Catbas, F. Necati (2010) Visualisation, modelling and parametric analysis of an elevated guideway structure for condition assessment. Structure & Infrastructure Engineering: Maintenance, Life-Cycle Design & Performance, vol. 6, 447- 465.

Wang, Z.-C. y Ren, W.-X. (2011) Dynamic analysis of prestressed concrete box-girder bridges by using the beam segment finite element method. International Journal of Structural Stability & Dynamics, vol. 11, 379-399.


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Justificación

El proceso de trazado de cables y análisis de esfuerzos para fuerza de preesfuerzo, carga muerta y carga viva en vigas preesforzadas continuas para puentes tanto vehiculares como peatonales es un poco complejo y a la vez extenso, razón por la cual el proceso de enseñanza del análisis de estos elementos como de su aplicación en el ejercicio profesional se vuelve dispendioso y la sistematización de este proceso se convierte en una necesidad. Aunque existen actualmente en el mercado programas de computador para análisis y diseño de puentes en concreto preesforzado, estos muchas veces son difíciles de manejar y entender, debiendo primero el usuario de los mismos adquirir mucha experiencia en su utilización para poder emplear los resultados que arroja de manera confiable, mientras que el software ejecutado en este trabajo de grado es muy sencillo de manejar, va presentando de manera secuencial los formularios con la información necesaria para el proceso, evitando la generación de errores por omisión de información y presenta los cálculos del proceso mediante tablas en hojas de cálculo, lo que lo convierte en una herramienta valiosa tanto para la enseñanza como en la vida profesional.


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Objetivos

1. Objetivo General Elaborar un programa didáctico para realizar el análisis y trazado de cables en vigas de sección constante preesforzadas6 continuas para puentes de máximo 3 luces7, de acuerdo con el Código Colombiano de Diseño Sísmico de Puentes CCDSP-95, a través del lenguaje de programación Visual Basic for Applications (integrado a Microsoft Office Excel).

2. Objetivos Específicos Determinar una metodología para el análisis y trazado de cables en vigas de sección

constante preesforzadas continuas para puentes de máximo 3 luces, posadas sobre apoyos rígidos.

Desarrollar un programa didáctico que especifique las diferentes condiciones del

análisis y trazado de cables en vigas de sección constante preesforzadas continuas para puentes de máximo 3 luces, posadas sobre apoyos rígidos. .

6 Se realizó software para vigas preesforzadas postensadas, debido a que en Colombia no existen puentes continuos de concreto construidos de vigas pretensadas. 7 El software se desarrollo para número indefinido de luces, convirtiéndose en un aporte importante a este trabajo de grado.


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Capítulo 2 Generalidades Concreto Preesforzado

2.1. Historia8

El concepto de preesforzado comienza en 1872 cuando el ingeniero de San Francisco, California P.H. Jackson patenta un sistema que utiliza varillas de acero atadas a piedras artificiales para construir vigas o arcos de bloques individuales; posteriormente se realizaron otros intentos de concreto preesforzado como son: en 1888 el alemán C.W. Doehring obtiene una patente de losas preesforzadas con cables metálicos; en 1908 C. R. Steiner de Estados Unidos mostró la posibilidad de recuperar algunas de las pérdidas al reajustar las barras de refuerzo después de que hubiera tenido lugar cierta contracción y fluencia del concreto; en 1925 R. E. Dill de Nebraska, trabajó con barras de acero de alta resistencia cubiertas para evitar la adherencia con el concreto. Se considera al francés Eugene Freyssinet como el padre del concreto preesforzado moderno con el empleo de acero de alta resistencia, cuando en 1928 logró conseguir una patente de un sistema básico de pretensado que describe a la perfección el sistema de pretensión y el sistema de cables adherentes. Hacia 1945, la escasez de acero en Europa durante la segunda guerra mundial le dio ímpetu al desarrollo del hormigón pretensado, puesto que se necesitaba mucho menos acero para este tipo de construcción con respecto a las estructuras convencionales en hormigón armado. Luego Mangel en Bélgica y Hoyer en Alemania continuaron manejando esta técnica, y fueron los ingenieros europeos quienes encabezaron el nuevo método de construcción que llamó la atención del mundo entero. Pero no fue hasta 1951 que realmente se utilizó el verdadero concreto preesforzado al hacer el primer puente vehicular de este material en la ciudad de Monterrey en México; la construcción del puente "Zaragoza" que cuenta con 5 tramos de 34 m cada uno y cuya finalidad es la de proporcionar la circulación a través del río Santa Catarina.

8 Tomado de: Hewson, Nigel R. (2003) Prestressed concrete bridges: design and construction, London, Thomas Telford Limited, 9-15.


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2.2. Tipos de preesforzado

El concreto es un material que tiene muy alta resistencia a la compresión, pero su capacidad a la tensión es solamente el 10% de esta; por esta razón el preesforzado se utiliza para asegurar que los esfuerzos en el material no sobrepasen la resistencia tanto a la tracción como a la compresión bajo la aplicación de carga. Para ello se aplica una fuerza externa de compresión al concreto mediante el uso de alambres, torones o barras, lo que mejora el comportamiento del concreto dando la posibilidad de tener luces más amplias que las logradas con concreto convencional y con una sección más esbelta, mejorando de esta manera la estética y proporcionando economía en la construcción9. El concreto preesforzado se clasifica en pretensado y postensado. 2.2.1. Concreto pretensado

En el concreto pretensado, los cables de acero se tensan entre anclajes antes de vaciarse el concreto y éste al fraguar, se adhiere al acero (figuras 2.1 y 2.2); el cable puede estar en línea recta o darle cierta curvatura a través de soportes (figuras 2.3a y 2.3b). Éste sistema permite la producción de elementos en forma masiva debido a que se pueden fabricar en camas de vaciado en las cuales se tensan con gatos los cables en sus extremos, se coloca el concreto y posteriormente, una vez éste adquiera suficiente resistencia se cortan los cables en las áreas libres, como se puede observar en la figura 2.3c; dado que la cama puede ser varios cientos de metros de largo, varios elementos prefabricados pretensados pueden ser producidos en una sola operación. Los cables se pueden someter a esfuerzos de manera individual o utilizar gatos de gran capacidad para tensionar los cables de manera simultánea10.

Figura 2.1. Fotografía anclaje.

Fuente: Tecsa, Mexico.

9 Tomado de: Nilson, Arthur H (1995) Diseño de estructuras de concreto preesforzado, Madrid, Noriega editores. 10 Tomado de: Nilson, Arthur H (1999) Diseño de estructuras de concreto, Bogotá, Mc Graw Hill.


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Figura 2.2. Esquema del funcionamiento del concreto pretensado.

Figura 2.3. Métodos de pretensionamiento.

Fuente: Nilson, Arthur H (1995) Diseño de estructuras de concreto preesforzado, 15

a) Viga con cable recto

b) Viga con cable de excentricidad variable

c) Vaciado en línea de varias vigas


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Figura 2.4. Fotografía de planta de fabricación de concreto pretensado.

Fuente: Universidad Politécnica de Valencia.

En el concreto pretensado los cables se encuentran adheridos al concreto y su comportamiento es similar al concreto reforzado en estado fisurado. El concreto pretensado se crea generalmente en prefabricación en planta (figura 2.4), presentando limitaciones con respecto al tamaño y peso de los elementos estructurales construidos, pero con la ventaja de que como el proceso es controlado, la calidad de los materiales empleados, la mano de obra y los equipos aseguran productos de buena calidad; sin embargo también el concreto pretensado se puede ejecutar en obra. Éste método tiene como ventajas que es sencillo y económico, debido a la ausencia de anclajes permanentes, ductos y mortero de inyección; presenta como desventajas que no es posible colocar gran concentración de acero pues se necesitaría un recubrimiento importante para transmitir la fuerza de preesforzado por adherencia y no es posible realizar trazados de cables curvilíneos, los cuales son mejores para balancear las cargas por gravedad. Éste método es más sensible a las pérdidas por acortamiento elástico instantáneo del concreto y no permite retensionamiento de los torones11. 2.2.2. Concreto postensado En el concreto postensado unos cables de acero son colocados dentro de unos ductos, posteriormente es vaciado el concreto y una vez éste ha alcanzado una resistencia especificada, son tensionados los cables por medio de gatos colocados contra el miembro de concreto y posteriormente se fija el cable por medio de anclajes en sus extremos (figura 2.5a. Los cables se pueden colocar en los ductos antes de vaciado el concreto o después halándolos o empujándolos dentro del mismo. Durante el vaciado existe la posibilidad de que el ducto se deforme o se rompa y entre mortero en el conducto; si el cable ya estaba en

11 Tomado de: Escobar López, Germán; González Cuenca, Alberto y Salgado Farías, Eduardo (2010) Concreto preesforzado - diseño y construcción, 2 ed, Bogotá, ASOCRETO, 68


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el ducto, va a aumentar la pérdida por fricción y si no estaba, es casi imposible introducirlo dentro del mismo. Éste método se puede realizar en obra o prefabricado, y tiene como ventajas que ofrece cualquier posibilidad de trazado de cables, concentración de acero y continuidad del mismo. En el concreto postensado se pueden presentar dos casos: el ducto es llenado con mortero luego de colocado el cable, caso en el cual, se presenta adherencia entre el cable, el ducto y el concreto, y el comportamiento es similar al del concreto reforzado en estado fisurado; también puede ocurrir que el ducto no se llene con mortero, caso en el cual no hay adherencia presentándose grietas donde se acumula la deformación de los torones12. En la figura 2.5b se tiene una viga celular hueca en la cual se hacen pasar los cables a través de tabiques y en la figura 2.5c se tiene el caso de una losa delgada en la cual se coloca el cable con un recubrimiento de papel con asfalto o recubierto con plástico, lo que evita la adherencia al concreto.

Figura 2.5. Métodos de postensionamiento.

Fuente: Nilson, Arthur H (1995) Diseño de estructuras de concreto preesforzado, 18

12 Tomado de: Escobar López, Germán; González Cuenca, Alberto y Salgado Farías, Eduardo (2010) Concreto preesforzado - diseño y construcción, 2 ed, Bogotá, ASOCRETO, 68

a) Viga con ducto embebido en el concreto

b) Viga celular hueca con diafragmas intermedios

c) Losa continua con cables recubiertos


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2.3. Pérdidas de la fuerza de preesfuerzo

Las pérdidas en la fuerza de preesfuerzo se clasifican en instantáneas y diferidas. Las pérdidas instantáneas que se presentan durante la transferencia de la fuerza de preesfuerzo son: corrimiento en el anclaje para sistemas de anclaje con cuñas, fricción y curvatura involuntaria del cable de preesfuerzo (en concreto postensado), y acortamiento elástico del concreto. Las pérdidas diferidas que se presentan durante la vida útil de la estructura son: retracción de fraguado del concreto, flujo plástico del concreto y relajación del acero de preesfuerzo. Las pérdidas instantáneas se pueden disminuir con la lubricación de los cables no adheridos, sobretensionando momentáneamente con el objeto de tener una tensión más grande en zonas donde los esfuerzos lo requieran, además, dependiendo del tipo de anclaje, se pueden retensionar los cables para compensar los acortamientos producidos por el tensionamiento de cables vecinos13. 2.3.1. Pérdidas por corrimiento en el anclaje14

Cuando se sueltan los gatos y las fuerzas de preesfuerzo se transfieren al extremo del sistema de anclaje, ocurre un pequeño deslizamiento de los cables. La cuña se desliza antes de que los tendones queden amordazados firmemente por el anclaje y la magnitud de este corrimiento depende del tipo de cuña y del esfuerzo en los cables, con un valor promedio de 2.5 mm y en cables pesados de 5 mm. Al correrse la cuña la fricción actúa en sentido contrario y se supone para estimar este efecto que el diagrama de tensionamiento se modifica en forma simétrica con respecto a la horizontal.

Figura 2.6. Esquema de pérdidas por corrimiento en el anclaje.

Fuente: Rivera Vásquez, José & Cajiao Valdivieso, Rodrigo (1991) Concreto preesforzado.

13 Tomado de: Escobar López, Germán; González Cuenca, Alberto y Salgado Farías, Eduardo (2010) Concreto preesforzado - diseño y construcción, 2 ed, Bogotá, ASOCRETO, 44 14 Tomado de: Rivera Vásquez, José & Cajiao Valdivieso, Rodrigo (1991) Concreto preesforzado, 2 ed, Popayán, Universidad del Cauca


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En la figura 2.6, se tiene: (2.1) (2.2)

Donde: Lc = Distancia desde el anclaje hasta donde el corrimiento del anclaje afecta el diagrama

de tensionamiento. Es = Módulo de elasticidad del acero = 2*106 kg/cm2 Aps = Área del acero de preesfuerzo ΔLcuña es un dato que suministra el fabricante y generalmente el manejo de la ecuación (2.2) es por tanteos suponiendo valores para Lc hasta que el área ACB resulte igual al término de la izquierda de la ecuación. Es importante aclarar que éstas pérdidas son más grandes a medida que el cable es más corto. 2.3.2. Pérdidas por fricción y curvatura involuntaria15

La fricción entre los cables y los ductos que los contienen producen pérdidas en los esfuerzos de los cables que disminuyen conforme aumenta la distancia desde el punto de tensado; éstas pérdidas se deben a los efectos de longitud y de curvatura. Si la configuración del cable fuera recta, teóricamente no habría ninguna disminución de tensión por fricción, sin embargo es imposible que haya un ducto totalmente recto en la construcción postensada, en consecuencia se da una fricción llamada efecto de longitud y también efecto por balanceo. En la figura 2.7, considerando un segmento de cable de longitud ds con un radio de curvatura r en una abscisa s y dα el ángulo central correspondiente, por equilibrio se tiene: (2.3)

(2.4) Como ds/dα = r, la ecuación (2.3) se convierte en: (2.5) Reemplazando en la ecuación (2.4) se obtiene la ecuación diferencial:

(2.6)

15 Tomado de: Escobar López, Germán; González Cuenca, Alberto y Salgado Farías, Eduardo (2010) Concreto preesforzado - diseño y construcción, 2 ed, Bogotá, ASOCRETO, 45-47

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dPP


17

Figura 2.7. Esquema de fuerzas actuantes en tramo de cable postensado.

Fuente: Escobar López, Germán; González Cuenca, Alberto y Salgado Farías, Eduardo (2010) Concreto preesforzado - diseño y construcción, ASOCRETO, 44

Integrando la ecuación anterior resulta la distribución de tensión a lo largo del cable:

(2.7)

Donde: P0 = Fuerza de preesfuerzo inicial en el origen P = Fuerza de preesfuerzo a la distancia ds del origen = Coeficiente de fricción, resultado de ensayos α = Integral de los valores absolutos de las desviaciones Para tener en cuenta el hecho de que existen ligeras sinuosidades en un cable recto y por lo tanto fricción, se agrega una desviación adicional dα' definida por:

(2.8) Δα = Desviación parasitaria por unidad de longitud. Los efectos parasitarios se expresan por el coeficiente de pérdida en línea k:

(2.9)

La tensión en cualquier punto del cable estará dada por: (2.10)

Donde: s = Longitud desde el origen hasta el punto considerado del cable. k = coeficiente de curvatura involuntaria, resultado de ensayos.

ePP *0

dsd *'

*k

)(0 * ksePP


18

2.3.3. Acortamiento elástico del concreto16

Se produce un acortamiento elástico en el concreto debido a la transferencia del preesfuerzo, lo que produce una disminución de la fuerza transferida. Este efecto puede o no corregirse dependiendo del sistema de tensionamiento. En miembros pretensados como el tendón se encuentra adherido al concreto, el cambio en la deformación del acero es igual al acortamiento del concreto a nivel del acero: (2.11) En término de esfuerzos queda: (2.12) (2.13) Donde: Δfs = Pérdida de preesfuerzo por acortamiento elástico del concreto fc = Esfuerzo en el concreto a nivel del centroide del cable después de la transferencia de esfuerzos por los cables. fsi = Esfuerzo inicial en el cable fs = Esfuerzo en el cable después de la transferencia Ec = Módulo de elasticidad del concreto Es = Módulo de elasticidad del acero de preesfuerzo n= Relación modular = Es / Ec Si Po es el esfuerzo total inicial en el cable y Pf es el esfuerzo después de la transferencia, se tiene:

(2.14) (2.15)

Entonces: (2.16) (2.17) Donde: Ac = Área de concreto Aps = Área de acero de preesfuerzo Ag = Área total = Ac + Aps

16 Tomado de: McCormac, Jack C.(2002) Diseño de concreto reforzado, 4 ed., México, Alfaomega, 570-571

sc

sc EEsc ff

cc

ssis nff

fff c

s

E

E

psf

fo AP

nPPcA

cccc

AA

1AA

ps

fpsffps

fo nA

PnAPPA

PnP

g

o

ps

oc A

P

A

Pf

cA

gAo

cs

nPnff


19

En los miembros postensados ocurre el acortamiento elástico del concreto cuando se tensan simultáneamente todos los cables aplicando la fuerza en el gato, pero ésta pérdida no necesita calcularse puesto que se corrige con el aumento de tensión en el gato. Cuando los cables se tensan siguiendo una secuencia, si es necesario calcular las pérdidas; el primer cable que se ancle sufrirá pérdida de esfuerzo por el tensionamiento del segundo; el primero y el segundo sufrirán pérdidas de esfuerzo por el tensionamiento del tercero y así sucesivamente hasta el último cable que no sufrirá pérdida. En la práctica se calcula la pérdida del primer cable y se supone que la mitad de este valor es la pérdida promedio para todos los cables, incluidos el primero y el ultimo17.

2.3.4. Retracción de fraguado del concreto18

La retracción por secado del concreto provoca una reducción en la deformación del acero de preesfuerzo con la respectiva caída de la tensión. La deformación por retracción de fraguado εsh puede variar aproximadamente entre 0.0004 y 0.0008. La pérdida de preesfuerzo en el acero resultante de la retracción de fraguado es: (2.18) Donde: Es = Módulo de elasticidad del acero de preesfuerzo Solo es necesario tener en cuenta la parte de la retracción de fraguado que ocurre después de la transferencia de la fuerza de preesfuerzo al concreto. Para elementos pretensados, la transferencia se realiza generalmente 24 horas después de vaciar el concreto y casi toda la retracción ocurre después de ese momento. Las vigas postensadas rara vez se someten a esfuerzos antes de 7 días y con frecuencia tardan mucho más; en condiciones usuales y de manera aproximada, el 15% de la retracción de fraguado total ocurre a la edad de 7 días y aproximadamente el 40% a la edad de 28 días.

2.3.5. Flujo plástico del concreto19

Para estimar las pérdidas de preesfuerzo en los cables, debido al acortamiento por flujo plástico del concreto, es necesario calcular la deformación plástica del concreto a nivel de los aceros producida por el preesfuerzo, la carga muerta y la porción de carga viva que se considere sostenida. (2.19)

17 Tomado de: Rivera Vásquez, José & Cajiao Valdivieso, Rodrigo (1991) Concreto preesforzado, 2 ed, Popayán, Universidad del Cauca 18 Tomado de: Nilson, Arthur H (1999) Diseño de estructuras de concreto, Bogotá, Mc Graw Hill, 627 19 Tomado de: Rivera Vásquez, José & Cajiao Valdivieso, Rodrigo (1991) Concreto preesforzado, 2 ed, Popayán, Universidad del Cauca

sshretraccións Ef ,

c

celásticac E

f,


20

(2.20) (2.21)

Donde: Δfs = Pérdida de preesfuerzo por flujo plástico del concreto Cu = Coeficiente de flujo plástico del concreto. fc = Esfuerzo en el concreto a nivel del centroide del cable Ec = Módulo de elasticidad del concreto Es = Módulo de elasticidad del acero de preesfuerzo n = Relación modular = Es / Ec Δεs = Cambio en la deformación del acero por flujo plástico del concreto

2.3.6. Relajación del acero de preesfuerzo20 Los cables de preesfuerzo se mantienen tensados con longitud constante durante la vida del elemento, aunque se presenta alguna reducción de longitud debido al flujo plástico y a la retracción de fraguado del concreto. Existe una reducción gradual del esfuerzo en el acero aunque la longitud se mantenga casi constante que depende de la intensidad del esfuerzo en el acero, de la naturaleza del acero, de la temperatura y del tiempo. La relajación en los cables es mayor a medida que aumentan los esfuerzos, en general, las pérdidas estimadas varían entre 2 y 3% de los esfuerzos iníciales, y deben calcularse de acuerdo a los datos proporcionados por el fabricante del acero.

2.4. Fundamentos del preesforzado

Los elementos de concreto preesforzado se dimensionan de tal manera que los esfuerzos en el concreto y en el acero bajo las cargas de servicio (según A.8.6.1 del CCDSP-95) se encuentren dentro de límites permitidos por el CCDSP-9521; sin embargo se recomienda hacer un análisis de revisión con resistencia última. Los requisitos para cargas de servicio controlan a menudo la cantidad de fuerza de preesfuerzo que se utiliza y la trayectoria de los cables; el análisis basado en cargas de servicio se lleva a cabo suponiendo un comportamiento elástico. La fuerza de preesfuerzo P se divide en sus componentes horizontal y vertical (ver figura 2.8): Componente horizontal: H = P*cos (2.22) Componente vertical: V = H*tan = P*sen (2.23)

20 Tomado de: Rivera Vásquez, José & Cajiao Valdivieso, Rodrigo (1991) Concreto preesforzado, 2 ed, Popayán, Universidad del Cauca 21 En la sección 6.2.4. se encuentran estos límites permitidos.

sc

cuplásticac E

fC ,

cusc

cus nfCE

E

fCf


21

Figura 2.8. Componentes de la fuerza de preesfuerzo P.

Fuente: Nilson, Arthur H (1999) Diseño de estructuras de concreto.

Figura 2.9. Curva carga – deformación típica en una viga preesforzada.

Fuente: Nawy, Edward G (2006) Prestressed concrete: a fundamental approach, 109.


22

El gato produce una fuerza de preesfuerzo la cual se reduce luego de la transferencia debido al acortamiento elástico del concreto, al deslizamiento del cable a medida que la fuerza se transfiere del gato a los extremos de la viga y por pérdidas por fricción entre el cable y el concreto (postensado) o entre el cable y dispositivos de alineamiento del cable (pretensado). Se producen otras reducciones de la fuerza, las cuales ocurren a lo largo del tiempo y a una tasa decreciente producto del flujo plástico del concreto bajo la acción de la fuerza sostenida de preesfuerzo (creep del concreto) y la relajación de esfuerzos en el acero22. La fuerza externa de compresión que se aplica al concreto, contrarresta las fuerzas de tracción generadas por los momentos flectores presentes bajo la acción de la carga externa (figura 2.10). Como resultado de la superposición de los efectos de la fuerza de preesfuerzo y las cargas externas, se debe obtener en la sección de concreto esfuerzos de compresión y tracción menores a los admisibles. Cabe aclarar que en el desarrollo de este documento, las fuerzas de tracción son tomadas como positivas y las de compresión como negativas.

Figura 2.10. Esfuerzos presentes en concreto preesforzado.

(2.24) (2.25) Donde: i = Esfuerzo en la fibra inferior de la sección. s = Esfuerzo en la fibra superior de la sección. P = Fuerza de preesfuerzo. A = Área bruta de la sección transversal de concreto e = Excentricidad entre la aplicación de la carga P y el eje centroidal de la sección I = Inercia de la sección respecto al eje centroidal

22 Tomado de: Nilson, Arthur H (1999) Diseño de estructuras de concreto, Bogotá, Mc Graw Hill, 596-597.

I

YM

I

YeP

A

P iii

***

I

YM

I

YeP

A

P sss

***


23

Yi = Distancia entre la fibra inferior y el eje centroidal de la sección Ys = Distancia entre la fibra superior y el eje centroidal de la sección M = Momento generado por las cargas externas 2.4.1. Secciones empleadas23 En el diseño de concreto preesforzado se tiene la posibilidad de elegir el tipo y las dimensiones de la sección transversal para ajustarse a los requisitos de cada proyecto. Algunas de las formas más comunes que se utilizan aparecen en la figura 2.11. Desde el punto de vista de la cimbra, la sección rectangular es la más económica si los miembros se van a fabricar uno a la vez; pero si las cimbras van a usarse muchas veces para fabricar muchos miembros idénticos, se deben usar secciones T, I, cajón o canal, que requieren menos cantidad de concreto y acero de preesfuerzo para soportar las mismas cargas, debido a que entre mayor sea la cantidad de concreto colocado cerca de las fibras extremas, mayor será el brazo de palanca entre la fuerza de compresión y de tensión, así como el momento resistente, por lo que generalmente resultan en menores costos totales. Se debe tener cuidado de verificar que las almas de elementos T o I sean lo suficientemente resistentes para soportar la fuerza cortante y lo suficientemente gruesas para evitar el pandeo.

Figura 2.11. Algunas secciones utilizadas en concreto preesforzado.

Fuente: Lin, T. Y. & Burns, Ned H. (1981) Design of prestressed concrete structures.

23 Tomado de: McCormac, Jack C.(2002) Diseño de concreto reforzado, 4 ed., México, Alfaomega, 648-650.

Rectangular I simétrica I asimétricas

T y T invertidas Cajón


24

2.4.2. Cable concordante y no concordante En vigas estáticamente determinadas sometidas solo a la acción de la fuerza de preesfuerzo, la línea de compresión del concreto coincide con la trayectoria del cable y en este caso, el preesforzado no produce reacciones en los apoyos (figura 2.12a). Generalmente en las estructuras indeterminadas se producen reacciones en los apoyos debidas a la aplicación de la fuerza de preesfuerzo, estas reacciones generan momentos flectores y se produce un par tracción-compresión en toda la viga (figura 2.12b); en este caso el momento de preesfuerzo es24: (2.26) La distancia ec desde el eje centroidal de la sección de concreto hasta la línea de compresiones se encuentra como: (suma algebráica) (2.27)

Figura 2.12. Resultante de compresiones en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.

Fuente: Vallecilla Bahena, Carlos Ramiro (2009) Puentes en Concreto Postensado Teoría y Práctica, 271-272.

Un cable se denomina concordante cuando la fuerza de preesfuerzo actuando únicamente sobre el elemento de concreto, no produce reacciones en los apoyos ni momentos hiperestáticos o parásitos, es decir el centroide del acero de preesfuerzo coincide con la

24 Tomado de: Vallecilla Bahena, Carlos Ramiro (2009) Puentes en Concreto Postensado Teoría y Práctica, 2 ed., Colombia, Bauen, 271-272

a) En vigas estáticamente determinadas b) En vigas estáticamente indeterminadas

cHEP ePaPePMMM ***

aeP

M

P

eP

P

Me HP

c *


25

línea de compresiones producida por la fuerza de preesfuerzo en el concreto, como es el caso que se presenta para una viga estáticamente determinada de una luz simple.

Figura 2.13. Viga indeterminada con trazado de cable concordante.

Fuente: Nilson, Arthur H (1995) Diseño de estructuras de concreto preesforzado, 320.

a) Perfil de la viga

b) Diagrama momentos primarios M1

c) Reacciones debidas al preesfuerzo

d) Diagrama momentos secundarios M2

e) Suma de M1 y M2

f) Línea de compresiones debida al preesfuerzo


26

Existen un número infinito de posibilidades de cables concordantes para una viga continua determinada de concreto preesforzado, siendo el más obvio un perfil de acero que coincide en todas partes con el centroide del concreto; para este caso no se producen momentos flectores primarios por preesfuerzo y así por lo tanto no hay reacciones en los apoyos, ni hay momentos secundarios; sin embargo su uso en la vida práctica es limitado debido a que este tipo de vigas son generalmente muy antieconómicas. El perfil empleado en la figura 2.13, se escogió de tal manera que no se produjeran reacciones en los apoyos ni momentos secundarios debidos al preesfuerzo.

En los primeros días del preesforzado, cuando los ingenieros tuvieron problemas para entender y manipular los momentos parásitos, se consideró conveniente lograr perfiles con cables concordantes, sin embargo a pesar de que su análisis es simple, ofrece muy poca ventaja en cuanto a su comportamiento estructural. El trazado óptimo se logra teniendo lo más alto posible el centroide del acero en los apoyos y lo más bajo en la mitad de los vanos25. 2.4.3. Concepto de carga equivalente26 En la figura 2.14a se presenta un cable en tensión deflectado en forma de “V” debido a una fuerza concentrada W en su punto medio. Si la fuerza del cable es P y el cable se deflecta un ángulo α, entonces:

W = 2P*senα. (2.28) Al cable se está aplicando una fuerza hacia arriba que es igual y opuesta a la carga hacia abajo. Considerando ahora la viga de concreto preesforzado de sección rectangular que se muestra en la figura 2.14b de la longitud 2L, el cable de preesforzado con una fuerza P está anclado en el eje neutro en los extremos de la viga y se deflecta en forma de “V”, con un ángulo de deflexión α y una excentricidad en la mitad del tramo de ec; el efecto sobre la viga es (ver figura 2.14c): Fuerza de compresión en su eje neutro: F1 = P*cosα (2.29) Fuerza vertical hacia abajo en sus extremos: F2 = P*senα (2.30) Fuerza vertical ascendente en la mitad del tramo: F3 = 2*Psenα (2.31) Como en la mayoría de las vigas preesforzadas el ángulo de los cables con respecto al eje neutro es por lo general menor que 10°, se supone que cosα es igual a 1, y que senα es igual a tanα. Por lo tanto la fuerza de compresión en la viga ≈ P, y la fuerza hacia arriba en el centro del haz ≈ 2P*tanα. Las cargas equivalentes son la fuerza hacia arriba de

25 Tomado de: Nilson, Arthur H (1995) Diseño de estructuras de concreto preesforzado, Madrid, Noriega editores, 321-322. 26 Tomado de: Benaim, Robert (2008) The design of prestressed concrete bridges: concepts and principles, London, Taylor & Francis, 120-125.


27

preesforzado en la mitad del tramo junto con las fuerzas aplicadas en los extremos de la viga.

Figura 2.14. Concepto de carga equivalente para cable en “V”.

Fuente: Benaim, Robert (2008) The design of prestressed concrete bridges: concepts and principles.

El momento de flexión causado por el preesforzado en el centro de la viga (figura 2.14d), se puede calcular de tres maneras: Teniendo en cuenta el efecto de la carga equivalente en la mitad del tramo se tiene:

Mp = W × 2L / 4 = (2P*tanα) × 2L / 4. Como tanα = ec / L, el momento Mp = P*ec; Tomando momentos con respecto al punto A, que está en el centro de la viga y sobre el

eje neutro. El momento de flexión provocado por la pretensión por sí sola es L × P*tanα, que cuando ec / L se sustituye por tanα también viene a ser P*ec;

Considerando fuerza * excentricidad = P*ec. Si el cable de preesforzado no se ha anclado en los extremos de la viga sobre el eje neutro sino que hay una excentricidad e, además de las cargas equivalentes anteriores hay un momento final de P*e (ver figura 2.16). Un cable tensado que es cargado con una carga uniformemente distribuida w, adoptará una forma de deflexión parabólica (figura 2.15a); la componente horizontal de la fuerza en el cable es: P = wL2/8d (2.32)

a) Carga central colgando de un cable.

b) Cable preesforzado en forma de "V" anclado en el eje

c) Cargas equivalentes en la viga.

d) Momento flector en la viga.


28

Donde: d = amplitud del cable L = distancia entre los puntos de anclaje.

Figura 2.15. Concepto de carga equivalente para cable parabólico.


Por lo tanto un cable preesforzado parabólico ejercerá una carga uniformemente distribuida sobre una viga (figura 2.15c). La carga distribuida equivalente w está dada por:

w = 8Pd/L2 (2.33)

Si el cable está conectado en los extremos del haz en el plano del eje neutro, la amplitud d es igual a la excentricidad ec. Cualquier forma del cable de preesforzado puede ser dividida en una serie de desviaciones angulares, longitudes rectas y parábolas, y por lo tanto, cuando se combinan las cargas externas se puede convertir el efecto del cable en un conjunto de cargas equivalentes y el preesforzado puede ser tratado como cualquier otra carga (figura 2.16). La forma de un cable preesforzado debe ser referida al eje neutro de la viga; por lo tanto, si el cable es recto y el eje neutro es deflectado, el efecto es el mismo que para un eje neutro recto y un cable deflectado. La fuerza en un cable de preesforzado no es constante a lo largo de su longitud, debido a la fricción entre el cable y su ducto; así, para una traducción

c) Cargas equivalentes en la viga.

b) Cable preesforzado parabólico anclado en el eje neutro.

a) Carga uniforme colgando de un cable.

d) Momento flector en la viga.


29

exacta de un cable en cargas equivalentes, es necesario incluir las fuerzas tangenciales para el cable que corresponden a las fuerzas de fricción impartidas por el cable en la estructura. Aunque este efecto puede ser ignorado en los cálculos preliminares, debe ser considerado para un diseño detallado. En consecuencia, las fuerzas equivalentes no son fáciles de calcular a mano para una estructura de cualquier complejidad, además éste método supone como simplificación que la fuerza de preesfuerzo es constante en cada sección considerada, es por ello que en la realización del software CAVIP no se empleo el método de las cargas equivalentes o de las deformaciones sino que fue utilizado el método de las fuerzas, el cual si tiene en cuenta la variación de la fuerza de preesfuerzo en cada sección.

Figura 2.16. Cargas equivalentes en el caso general.



30

Capítulo 3 Aspectos Importantes CCDSP-95

El Código Colombiano de Diseño Sísmico de Puentes establece los requisitos mínimos que se deben cumplir para logar un diseño seguro y funcional de puentes y estructuras viales.

3.1. Cargas

Las estructuras para puentes deben diseñarse para que soporten las siguientes cargas: carga muerta, carga viva, impacto, carga de viento, fuerza longitudinal de la carga viva, fuerza centrífuga, fuerzas térmicas, empuje de tierras, flotación, retracción del fraguado, acortamiento de la estructura, fuerzas de montaje, fuerza de la corriente del agua y fuerzas sísmicas (A.3.2.1). Como este trabajo de grado involucra los análisis de cumplimiento de esfuerzos en vigas preesforzadas de la superestructura, solo se entrará en detalle con las cargas que intervienen en este análisis; para las otras cargas se puede consultar el capitulo A.3 del CCDSP-95.

3.1.1. Carga muerta Se considera como carga muerta el peso total de la estructura incluyendo capa de rodadura, andenes, tuberías, ductos, cables y cualquier otro elemento de servicio público (A3.3.1). 3.1.2. Carga viva27 La carga viva es el peso de las cargas móviles generadas por los vehículos y peatones. La carga viva para puentes está conformada por camiones estándar o líneas de carga, que equivalen a trenes de camiones; se supone que éstos ocupan un ancho de 3.05 m. Las cargas deben colocarse en un carril de diseño de 3.65m de ancho, espaciados a través de toda la calzada. Los camiones estándar son el C 40-95 y C 32-95, la carga de este último es el 80%

27 Tomado del Capítulo A.3.4 del CCDSP-95


31

de la carga del C 40-95; los puentes en vías de la red nacional de carreteras deben diseñarse para la carga C 40-95. La carga C 40 consiste en un camión de tres ejes o en la línea de carga correspondiente; la distancia variable entre los ejes posteriores da una carga más apropiada para luces continuas donde los ejes con cargas más pesadas pueden colocarse sobre luces adyacentes de tal manera que produzcan los momentos negativos máximos. La línea de carga está conformada por una carga uniforme por metro lineal y una carga concentrada (o 2 en el caso de luces continuas en la evaluación del momento máximo negativo), que se distribuyen sobre un ancho de 3.05m perpendicular al carril. En luces simples como continuas, el tipo de carga usado, ya sea camión o línea de carga, debe ser tal que produzca los esfuerzos máximos. Para luces continuas, la línea de carga puede ser continua o discontinua; solamente un camión estándar debe ser considerado por carril sobre la estructura. Cuando los esfuerzos máximos en cualquier miembro provienen de haber cargado un número de carriles simultáneamente, deben emplearse los porcentajes de carga viva que aparecen en la tabla 6.1; ésto se hace teniendo en cuenta la baja probabilidad de la coincidencia de cargas máximas. El número y posición de las líneas de carga o camiones deben especificarse y colocarse de tal forma que produzcan esfuerzos máximos sujetos a las reducciones por haber cargado un número de carriles simultáneamente.

Tabla 3.1. Porcentajes de carga viva según número de carriles cargados simultáneamente.

Número de carriles Porcentaje Uno o dos carriles 100

Tres carriles 90 Cuatro carriles o más 75

Fuente: CCDSP-95, A.3.4.7.1

Figura 3.1. Camiones estándar.

Fuente: CCDSP-95, figura A.3.4A


32

Figura 3.2. Carga de carril.

Fuente: CCDSP-95, figura A3.4.B

Los puentes peatonales o para bicicletas deben diseñarse para una carga viva de 400 kgf/m2 (A3.4.8.1.3).

3.1.3. Impacto28

La carga viva debe incrementarse en elementos estructurales de la superestructura, pilas y partes de pilotes que están encima del terreno y que soportan la superestructura. Este incremento tiene como finalidad tener en cuenta los efectos dinámicos, vibratorios y de

28 CCDSP-95, Capítulo A.3.4.3

C 32-95

C 40-95


33

impacto. El incremento permitido por efecto del impacto, se expresa como un porcentaje del esfuerzo de la carga viva, y se evalúa con la siguiente fórmula:

(3.1) Donde: I = Porcentaje de impacto L = Longitud en metros de la parte de la luz que está cargada para producir los esfuerzos

máximos en el elemento estructural. Para momentos positivos en luces continuas, el valor de L debe ser la longitud de la luz bajo consideración y para momentos negativos L debe ser la longitud promedio de dos luces consecutivas cargadas.

3.2. Concreto Preesforzado

3.2.1. Materiales

En el refuerzo preesforzado, los alambres, torones o barras deben cumplir con una de las siguientes especificaciones ICONTEC 159, ASTM A416, ASTM A421 y ASTM A722 (A.8.4.2.1). 3.2.2. Detalles del refuerzo El acero de preesfuerzo y el refuerzo pasivo deben tener un recubrimiento mínimo de 3.8 cm (A.8.5.2.1). El espaciamiento libre mínimo de los aceros de preesfuerzo en los extremos de las vigas debe ser en pretensado, 3 veces el diámetro del acero o 1.33 veces el tamaño máximo del agregado del concreto, el que sea mayor; y en ductos de postensado, 3.8 cm o 1.5 veces el tamaño máximo del agregado del concreto, el que sea mayor (A.8.5.2.2).

3.2.3. Ductos Para cables conformados por varios alambres, barras o torones, el área del ducto debe ser por lo menos dos veces el área neta del acero de preesfuerzo. Para cables conformados por un solo alambre, barra o torón, el diámetro del ducto debe ser por lo menos 7 mm mayor que el diámetro nominal del alambre, barra o torón (A.8.5.2.4).

30.040

16

LI


34

3.2.4. Análisis29 Los miembros deben dimensionarse para lograr la resistencia establecida usando como recomendaciones mínimas las especificaciones contenidas en el CCDSP-95. El comportamiento se debe determinar por medio de un análisis elástico, teniendo en cuenta las reacciones, momentos, cortantes y fuerzas axiales producidas por el preesfuerzo, los efectos de la temperatura, el flujo plástico, la retracción del fraguado, las deformaciones axiales, las restricciones impuestas por los elementos estructurales unidos o vecinos y el asentamiento de la fundación. 3.2.5. Esfuerzos admisibles30

3.2.5.1. Acero de preesfuerzo

Los esfuerzos en los anclajes después de anclar:

En miembros pretensados los esfuerzos inmediatamente antes de la transferencia:

0.70 fpu para tendones relevados de esfuerzos 0.75 fpu para tendones de baja relajación Pequeños sobreesfuerzos hasta de 0.85 fpu se permiten por periodos cortos para compensar las pérdidas por acomodamiento.

En miembros postensados los esfuerzos inmediatamente después de anclar: En el anclaje: 0.70 fpu

En el extremo de la zona de pérdidas del anclaje: 0.83 fpy Esfuerzos bajo cargas de servicio luego de las pérdidas deben ser máximo 0.8 fpy. Sobreesfuerzos antes de anclar hasta de 0.9 fpy se permiten por periodos cortos para compensar las pérdidas por acomodamiento. Donde: fpu = Resistencia a la tracción especificada de los tendones de preesfuerzo, en kg/cm2

fpy = Resistencia a la fluencia especificada de los tendones de preesfuerzo, en kg/cm2

3.2.5.2. Concreto

Los esfuerzos temporales antes de las pérdidas debidas al flujo plástico y retracción del fraguado son:

29 CCDSP-95, Capítulo A.8.6 30 CCDSP-95, Capítulo A.8.7.2


35

Compresión: 0.55 f’ci

Tensión: Para miembros con refuerzo adherido: cf '6.1 Para condiciones severas de exposición a la corrosión: cf '8.0 Los esfuerzos bajo cargas de servicio después de que ocurren las pérdidas dependientes del tiempo son: Compresión: 0.40 f’c

Tensión: Para miembros con refuerzo adherido: cf '6.1 Para condiciones severas de exposición a la corrosión: cf '8.0 Donde: f’ci = Resistencia a la compresión del concreto en el momento de la transferencia del

preesfuerzo, en kg/cm2

f’c = Resistencia a la compresión del concreto a los 28 días, en kg/cm2

3.3. Pérdidas31

Las pérdidas por fricción y curvatura involuntaria pueden calcularse de la siguiente manera: (3.2)

En ausencia de datos experimentales, se pueden emplear los siguientes valores de k y :

Tabla 3.2. Valores de k y .

Tipo de Acero Tipo de Ducto k (/m) Metal brillante 0.0066 0.3

Metal galvanizado 0.0049 0.25

Engrasado o recubierto con asfalto en una envoltura

0.0066 0.3 Alambreo tendón no galvanizado

Galvanizado rígido 0.00066 0.25

Metal brillante 0.00098 0.2 Varillas de alta resistencia

Metal galvanizado 0.00066 0.15

Fuente: CCDSP-95, A.8.8.1

Las pérdidas de preesfuerzo debidas a todas las causas excepto a fricción y deslizamiento de cuña, son las siguientes:

(3.3)

31 CCDSP-95, Capítulo A.8.8

)(* kxxs epp

scs CRCRESSHf


36

Donde: fs = pérdida total excluyendo fricción, en kg/cm2 SH = pérdidas debidas a la retracción del fraguado del concreto, en kg/cm2 ES = pérdidas debidas al acortamiento elástico del concreto, en kg/cm2 CRc = pérdidas debidas al flujo plástico del concreto, en kg/cm2 CRs = pérdidas debidas a la relajación del acero preesforzado, en kg/cm2

3.3.1. Retracción de fraguado del concreto

Miembros pretensados: (3.4) Miembros postensados: (3.5) Donde: RH = media anual de la humedad relativa del ambiente (%) 3.3.2. Acortamiento elástico

Miembros pretensados: (3.6) Miembros postensados: (3.7) Donde: Es = módulo de elasticidad del acero del tendón de preesfuerzo. Se puede suponer como

2*106 kg/cm2 Eci = módulo de elasticidad del concreto en el momento de la transferencia, en kg/cm2. Se

puede calcular así: (3.8)

donde: wc = peso unitario del concreto en kg/m3

fcir = esfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero de preesfuerzo debido a la

fuerza de preesfuerzo y a la carga muerta de la viga inmediatamente después de la transferencia. fcir debe calcularse en la sección o secciones de momento máximo (en esta etapa el esfuerzo inicial en el tendón se ha reducido por el acortamiento elástico del concreto y por la relajación del acero durante la colocación y curado del concreto en elementos pretensados, o por el acortamiento elástico del concreto y la fricción del tendón para miembros postensados. Las reducciones debidas a estos factores en el esfuerzo inicial del tendón pueden estimarse o puede tomarse un esfuerzo reducido en el tendón de 0.63fpu para torones relevados de esfuerzos o 0.69fpu para torones de baja relajación en miembros típicos pretensados.

RHSH 5.101190

ci

cirs

E

fEES

ci

cirs

E

fEES

5.0

cicci fwE ')(14.0 5.1

)5.101190(80.0 RHSH


37

3.3.3. Flujo plástico del concreto Miembros pretensados y postensados: (3.9) Donde: fcds = esfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero de preesfuerzo debido a

todas las cargas muertas exceptuando la carga muerta presente en el momento en que se aplica la fuerza de preesfuerzo.

3.3.4. Relajación del acero de preesfuerzo

Miembros pretensados: Torones G250 ksi y G270 ksi (3.10) Para torones relevados de esfuerzos

(3.11) Para torones de baja relajación Miembros postensados: Torones G250 ksi y G270 ksi

(3.12) Para torones relevados de esfuerzos

(3.13) Para torones de baja relajación Alambres de G240 ksi

(3.14) Varillas de G140 ksi - G165 ksi

(3.15) Donde: FR = reducción en el esfuerzo por la pérdida por fricción en kg/cm2 por debajo del nivel de

0.70 fpu en el punto bajo consideración, calculado de acuerdo con el numeral A.8.8.1. (ecuación 3.2 de este documento).

cdscirc ffCR 712

)(2.04.0400.1 cs CRSHESCR

)(05.01.0350 cs CRSHESCR

)(2.04.03.01400 cs CRSHESFRCR



210sCR


38

Capítulo 4 Manual del Usuario

El programa CAVIP fue diseñado para realizar el trazado parabólico de los cables de preesfuerzo y evaluar los esfuerzos resultantes debidos a la fuerza de preesfuerzo, la carga muerta y la carga viva, en vigas de puentes continuos de concreto preesforzado, bajo el CCDSP-9532.

4.1. Conociendo CAVIP

Figura 4.1. Formulario de inicio del programa.

32 Ministerio de Transporte, Instituto Nacional de Vías y Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica (1995) Código Colombiano de Diseño Sísmico de Puentes: CCDSP-95, Bogotá, INVIAS.


39

CAVIP fue diseñado en el lenguaje de programación Visual Basic for Applications (integrado a Microsoft Office Excel), empleando un sistema de formularios secuenciales para el ingreso de los datos del proyecto respectivo. Este programa se debe ejecutar en Microsoft Office Excel versión 2007 o superior, por lo cual, no necesita instalación; al emplear versiones anteriores de Excel se puede ver afectada la salida gráfica, por lo cual no se recomienda su uso; antes de ejecutar CAVIP, se debe establecer la configuración regional del computador de la siguiente manera: símbolo decimal como punto (.), tanto en la pestaña número como en la de moneda. 4.1.1. Ambiente de CAVIP

La figura 4.2 muestra la hoja MAIN, en donde el usuario empieza el nuevo proyecto, presionando el botón con el mismo nombre. El botón MODIFICAR PROYECTO se emplea para cargar los datos de entrada de un proyecto existente en los respectivos formularios y de esta manera el usuario puede modificarlos de acuerdo a sus necesidades. Con el botón IMPRIMIR el usuario puede seleccionar la información a imprimir y configurar las respectivas características de impresión (figura 4.3). Al presionar el botón ACERCA DE, se despliega información propia del software realizado (figura 4.4).

Figura 4.2. Botones en la hoja MAIN.

Figura 4.3. Formulario de impresión de datos.


40

Figura 4.4. Despliegue de información referente al programa CAVIP.

4.2. Formularios CAVIP

Al presionar el botón NUEVO PROYECTO, comienza la ejecución de la aplicación, desplegando un aviso de advertencia con el fin de que no sean eliminados por error los resultados de una anterior aplicación (figura 4.5).

Figura 4.5. Aviso de advertencia antes de iniciar el nuevo proyecto.

Como información adicional, que no debe necesariamente llenarse, fue creado un formulario donde se registran los datos del proyecto como se puede ver en la figura 4.6.


41

Figura 4.6. Formulario con datos del proyecto a ejecutar.

4.2.1. Formulario materiales

En este formulario el usuario ingresa las características del concreto a emplear, así como el acero de preesfuerzo de los cables, como se puede observar en la figura 4.7. Al activar la casilla de verificación “calcular módulo de elasticidad”, y si el peso unitario del concreto está entre 1440 y 2560 kg/m3, el programa evalúa el módulo de elasticidad según formulación del NSR-1033:

enMPacfwE cc '043.0*5.1 (4.1)

Figura 4.7. Formulario materiales.

33 Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica (2010), Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente – NSR-10, Título C, Bogotá, AIS, C-112.


42

Si el torón a emplear no se encuentra dentro de las opciones mencionadas en el formulario, se puede ingresar el área en cm2 mediante la elección del botón de opción “otro” (figura 4.8). Es importante aclarar que en el transcurso de ejecución del programa, las casillas de texto que aparezcan en color de fondo gris, son únicamente para despliegue de información calculada por el programa y el usuario no puede acceder a ellas para alterar su contenido. En la tabla 4.1 se presentan como guía las áreas de los torones empleados en Colombia.

Tabla 4.1. Propiedades de torones comerciales.

Fuente: Emcocables, Alambres y torones para concreto preesforzado, 4.

Figura 4.8. Formulario materiales, área de torones a emplear.


43

4.2.2. Formulario tipo de sección transversal

En este formulario se establece si el tipo de sección a emplear es fundida en una sola etapa o si es una losa fundida sobre vigas (figura 4.9).

Figura 4.9. Formulario tipo de sección transversal.

4.2.3. Formulario propiedades de la sección en la transferencia

En este formulario se especifican las propiedades de la sección transversal de análisis en la transferencia, como son: el área bruta de concreto, las distancias inferior y superior al eje centroidal, y la inercia respecto al eje centroidal. La altura es calculada automáticamente por el programa y por ello aparece en fondo de color gris (figura 4.10).

Figura 4.10. Formulario propiedades de la sección transversal en la transferencia.


44

Adicionalmente, el usuario puede elegir entre establecer las propiedades de la sección o definir las dimensiones de la misma y que el programa calcule las propiedades automáticamente (figuras 4.11, 4.12 y 4.13).

Figura 4.11. Formulario sección T.

Figura 4.12. Formulario sección cajón.

Figura 4.13. Formulario sección I.


45

4.2.4. Formulario propiedades de la sección en la etapa de servicio

Este formulario funciona de la misma manera que el formulario anterior de sección en la transferencia. Si el usuario eligió el método de establecer propiedades, se deben digitar en cada casilla cada una de ellas; si por el contrario se eligió el método de establecer dimensiones, el programa calcula las propiedades empleando las dimensiones establecidas. Cabe anotar que en la casilla correspondiente a ancho efectivo bef, el usuario debe calcularlo de acuerdo a A.7.6.7 del CCDSP-95 (figura 4.14).

Figura 4.14. Formulario propiedades de la sección transversal en la etapa de servicio.

4.2.5. Formulario características del puente

Este formulario está dividido en tres partes. la primera parte corresponde al tipo de puente (peatonal o vehicular), la segunda corresponde a la definición del número de vanos que va a tener el puente y la tercera se activa si el puente es de tipo vehicular; en esta última se establece el número de carriles cargados, la reducción por número de carriles cargados simultáneamente (la calcula automáticamente el software) y el factor de rueda, valores que son aplicados a todas las luces del puente. Es conveniente aclarar que si el factor de rueda establecido por el usuario es 1.0, el programa calcula el momento por carga viva sobre línea de ruedas (medio camión de diseño o media carga de carril, según sea el caso), y si es mayor a 1.0 lo calcula sobre línea de cargas. Si el usuario activa la casilla “vanos interiores de igual longitud”, lo que hace el programa es copiar en el siguiente formulario la longitud del segundo vano a los demás vanos interiores, con el fin de ahorrar tiempo en la digitación de los datos (figura 4.15).


46

Figura 4.15. Formulario características del puente.

4.2.6. Formulario longitudes vanos

Antes del despliegue de este formulario, aparece un aviso de recomendación sobre la relación de longitudes entre los vanos externos e internos, con el fin de que los momentos positivos y negativos tengan más o menos el mismo orden de magnitud (figura 4.16).

Figura 4.16. Aviso informativo sobre longitudes de vanos.

Las dimensiones de las luces del puente se establecen en este formulario. Si se activó en el anterior formulario la casilla “vanos interiores de igual longitud”, cuando el usuario digite en los cuadros de texto “longitud vano 1” y “longitud vano 2”, automáticamente el programa escribe estos valores en los demás cuadros de texto correspondientes a las otras luces faltantes, de manera que el puente sea simétrico (figura 4.17).


47

Figura 4.17. Formulario longitudes vanos.

4.2.7. Formularios diafragmas

El usuario en este formulario establece las dimensiones del diafragma o el peso del mismo. posteriormente al oprimir el botón aceptar, se define la cantidad de diafragmas igualmente espaciados que hay en cada uno de los vanos y es posible también editar el peso de cada uno si hay algún cambio en el peso en un vano en especial (figura 4.18).

Figura 4.18. Formularios de cálculo de diafragmas.


48

4.2.8. Formulario avalúo de cargas

En este formulario se establecen los valores respectivos para el cálculo de las cargas sobreimpuestas. Una vez digitados estos valores, el software calcula automáticamente la carga muerta, el peso de las cargas sobreimpuestas discriminado y total (figura 4.19).

Figura 4.19. Formulario avalúo de cargas.

4.2.9. Formulario trazado cable

Este formulario está dividido en cuatro partes: la primera corresponde a las pérdidas durante la transferencia con la definición del coeficiente de fricción, el coeficiente de curvatura involuntaria y la penetración de cuña; la segunda es para establecer el porcentaje de pérdidas supuestas en la etapa de servicio (correspondientes a flujo plástico, retracción de fraguado y relajación del acero) con el fin de determinar el orden de magnitud de la fuerza de preesfuerzo necesaria y para suministrar el valor de la media anual de humedad relativa del ambiente en el lugar donde se va a construir el puente; la tercera es para definir


49

la excentricidad del cable al inicio de la viga (tomada desde el eje centroidal de la sección y es positiva hacia abajo) y para establecer los respectivos recubrimientos del cable de preesfuerzo (figura 4.20); y finalmente la cuarta parte es para determinar el tipo de anclaje que tendrán los cables de preesforzado, si se selecciona la opción "Móvil-Móvil" se tendrán cables con anclajes móviles a ambos extremos y si se selecciona la opción "Fijo-Móvil" se tendrán cables con anclaje fijo a la izquierda y anclaje móvil a la derecha de cada luz (ver sección 4.3.7).

Figura 4.20. Formulario de coeficientes pérdidas y trazado de cable.

Es importante aclarar que si el usuario activa la casilla "existen tramos con configuración recta en el trazado del cable en la zona central de los vanos", al oprimir el botón aceptar se despliega otro formulario para definir en que vanos se presenta esta situación (figura 4.21).

Para el coeficiente de curvatura involuntaria K, se pueden tomar los valores de la tabla 4.2, procedentes de la tesis de maestría realizada en la Universidad Nacional en el año 2006, por el Ingeniero Diego Dueñas Puentes M.Sc, los cuales corresponden a los materiales y procesos constructivos en nuestro medio.


50

Figura 4.21. Formulario de configuración de los cables.

Tabla 4.2. Valores coeficiente K.

Fuente: Coeficiente de fricción por curvatura no intencional en concreto postensado, Tesis de Maestría en Estructuras 34.

4.2.10. Formulario ejecución de procesos

Luego de este formulario, se continúa con la primera fase de ejecución del programa. Para ello se despliega un formulario, el cual muestra por medio de una barra de progreso, el porcentaje de ejecución de las tareas y el proceso que se está ejecutando (figura 4.22). Los procesos que se ejecutan en su orden respectivo son: 1. Reacciones en los apoyos para: peso propio, cargas sobreimpuestas y carga viva. Si es

puente peatonal se ejecutan los 11 subtipos de carga viva (ver figura 4.23) y si es puente vehicular, se evalúa por medio de líneas de influencia.

34 Dueñas Puentes, Diego Ernesto (2006) Coeficiente de fricción por curvatura no intencional en concreto postensado, Tesis de Magíster en Estructuras, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería, 98.


51

2. Gráficas de momento flector (M) y fuerza cortante (V) para: peso propio, cargas sobreimpuestas y carga viva solo para puente peatonal (si el puente tiene 2 vanos, se ejecutan los subtipos de carga 0, 1 y 2. Si tiene más de 2 vanos, se ejecutan los 11 subtipos de carga viva).

3. Trazado parabólico cable. 4. Cálculo de las pérdidas en la transferencia, dividiendo cada vano en 30 subpartes. 5. Número de tramos de cables y su respectiva longitud (en proyección horizontal). 6. Evaluación preliminar de los momentos estáticos, hiperestáticos y de preesfuerzo. 7. Si es puente vehicular, calcula los factores de impacto y las líneas de influencia de:

momento flector en cada apoyo interior, reacciones en apoyos y momento flector en los puntos de máximo momento por peso propio en cada vano.

8. Valores de fuerza de preesfuerzo necesaria en puntos de mayor demanda empleando el criterio de esfuerzo máximo admisible a tracción del concreto, y revisión inicial de esfuerzos en las fibras inferior y superior de estos mismos puntos, en cuatro etapas constructivas: Durante la transferencia, sobre sección simple, tomando únicamente el peso propio

de la sección simple. En etapa intermedia, sobre sección simple, tomando el peso propio de la sección

simple, de la losa y los diafragmas, y una carga viva de 80 kg/m2 que representa la maquinaria y obreros.

En etapa de servicio, sobre sección compuesta, tomando el peso propio de la sección, la losa y los diafragmas.

En etapa de servicio sobre sección compuesta, tomando el peso propio de la sección, la losa y los diafragmas, y la carga viva.

Figura 4.22. Formulario de ejecución de procesos del programa.


52

Figura 4.23. Tipos de carga viva para puente peatonal.


53

4.2.11. Formularios de análisis inicial de esfuerzos

Tomando el mayor valor de fuerza de preesfuerzo necesaria en cada tramo de cables, el programa evalúa el cumplimiento de esfuerzos admisibles y despliega el formulario respectivo (figura 4.24). Si como resultado se obtienen esfuerzos que superan los admisibles según el CCDSP-95, el software da la posibilidad de volver a replantear las dimensiones de la sección transversal o de continuar de todos modos con la siguiente etapa del proceso (figura 4.25). Además el programa muestra un formulario con los resultados del análisis preliminar de esfuerzos en los puntos de mayor demanda (figura 4.26).

Figura 4.24. Formulario resumen de análisis preliminar de esfuerzos.

Figura 4.25. Avisos informativos del programa.

Formulario Sección

a) Con cumplimiento de esfuerzos admisibles.

b) Sin cumplimiento de esfuerzos admisibles.


54

Figura 4.26. Formulario detallado análisis inicial de esfuerzos en puntos de mayor demanda.

4.2.12. Formulario diseño cables

En este formulario, para cada tramo de cables (ver sección 4.3.7) el usuario tiene la posibilidad de evaluar diferentes opciones de número de torones por cable y número de cables que se despliegan en un cuadro y que puede seleccionar de manera sencilla con solo picar sobre la línea respectiva (figura 4.27). Si se desea una combinación que no se encuentra dentro de la lista, también puede realizar una propia marcando la casilla “hacer combinación propia de torones y cables”, acción que habilita las casillas de texto número de torones por cable y número de cables; al ingresar estos valores, automáticamente el software calcula la fuerza de preesfuerzo, el área mínima del ducto y el diámetro mínimo del ducto (figura 4.28). Para continuar con el siguiente tramo, basta con solo presionar el botón “siguiente tramo” (en puentes de menos de 4 luces con anclajes móviles en ambos extremos, este botón está inhabilitado debido a que solo hay un tramo de cables, caso en el cual se activa el botón “aceptar”).


55

Figura 4.27. Formulario diseño de cables.

Figura 4.28. Formulario diseño de cables, opción "hacer combinación propia".


56

4.2.13. Formulario resumen cables escogidos

Continuando con el proceso, el software muestra un cuadro resumen por tramos de cables con la siguiente información: numeración del tramo, punto de inicio del tramo, punto final del tramo, cantidad de cables seleccionados, número de torones por cable seleccionados, la fuerza de preesfuerzo por cable, el área mínima del ducto y el diámetro mínimo del ducto (figura 4.29).

Figura 4.29. Formulario resumen cables escogidos.

4.2.14. Formulario resumen de pérdidas

Con los datos suministrados en los formularios anteriores, el programa calcula las pérdidas por retracción de fraguado, por acortamiento elástico, por flujo plástico del concreto y por relajación del acero de preesforzado (figura 4.30).

Figura 4.30. Formulario resumen de pérdidas.


57

Al dar “aceptar”, se continúa con la segunda etapa de procesamiento, la cual realiza: 1. Evaluación final de los momentos estáticos, hiperestáticos y de preesfuerzo. 2. Valores de fuerza de preesfuerzo en puntos de mayor demanda y revisión final del

cumplimiento de esfuerzos admisibles de tracción y de compresión según CCDSP-95, para las cuatro etapas constructivas mencionadas en el capitulo 4.2.11 de este documento.

4.2.15. Formularios de análisis final de esfuerzos

El análisis final de cumplimiento de esfuerzos admisibles se realiza en los puntos de mayor demanda por carga peso propio (figura 4.31). Si como resultado se obtienen esfuerzos de tracción o de compresión que superan los admisibles (CCDSP-95), el software da la posibilidad de volver a replantear las dimensiones de la sección transversal o de mostrar de todos modos el siguiente formulario con el análisis detallado de estos esfuerzos en cada punto respectivo.

Figura 4.31. Formulario resumen de análisis final de esfuerzos.

El formulario de la figura 4.32 muestra detalladamente el punto de evaluación de los esfuerzos tanto en su fibra superior como inferior en puntos de mayor demanda (esfuerzos con signo negativo son de compresión y positivos de tensión), su valor numérico respectivo, el valor del esfuerzo admisible dependiendo de si la fibra esta en compresión o tensión (CCDSP-95) y una comparación de estos dos valores mostrando si hay cumplimiento o no con los esfuerzos admisibles. Cabe anotar que este análisis se realiza para las cuatro etapas constructivas mencionadas en el capitulo 4.2.10 de este documento. De manera opcional, el usuario puede elegir si necesita un análisis más detallado de esfuerzos en puntos ubicados a 1/8 de vano, para las cuatro etapas constructivas (figura 4.33).


58

Figura 4.32. Formulario detallado de análisis final de esfuerzos en puntos de mayor demanda.

Figura 4.33. Formularios de análisis final de esfuerzos en puntos ubicados a 1/8 de vano.


59

4.3. Procedimientos CAVIP

4.3.1. Evaluación de las reacciones en los apoyos El programa evalúa las reacciones en cada apoyo por el método matricial, para las siguientes cargas: peso propio, cargas sobreimpuestas y los 11 tipos de carga viva (esta última solo en el caso de puentes peatonales; puede verse en la figura 4.23). Se tomó este método, debido a que es fácil de programar; cabe anotar que no se tiene en cuenta el efecto de deformaciones por cortante, debido a que son elementos en los que predomina la flexión. La explicación de este método fue tomada de la referencia 1035, donde se puede encontrar el proceso más detallado. Para cada vano se tiene la siguiente ecuación matricial de equilibrio:

Figura 4.34. Equilibrio en elemento de viga.

)()( * vanovanoF uKFF (4.2)

(4.3)

35 Linero Segrera, Dorian Luis (2011) Apuntes de clase análisis matricial avanzado – Parte III, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

fz

fy

fx

iz

iy

ix

Ffz

Ffy

Ffx

Fiz

Fiy

Fix

fz

fy

fx

iz

iy

ix

u

u

u

u

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

M

f

f

M

f

f

M

f

f

M

f

f

,

,

,

,

,

,

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

*


60

Donde: F = Vector de fuerzas en los extremos del elemento FF = Vector de acciones fijas en los extremos del elemento K(vano) = Matriz de rigidez del elemento u(vano) = Vector de desplazamientos en las esquinas del elemento

(4.4)

Figura 4.35. Acciones fijas de viga con carga distribuida.

Como todos los elementos son horizontales, no existe matriz de transformación y el proceso siguiente es el ensamblaje en la matriz de rigidez general y en los vectores de desplazamientos, acciones fijas y fuerzas externas generales del puente. Para este proceso primero son numerados los desplazamientos desconocidos (U) y posteriormente los conocidos (U).

(4.5)

(4.6)

(4.7) Como U = 0, las ecuaciones anteriores quedan:

(4.8) (4.9)

fz

fy

fx

iz

iy

ix

Ffz

Ffy

Ffx

Fiz

Fiy

Fix

fz

fy

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iz

iy

ix

u

u

u

u

LEILEILEILEI

LEILEILEI

LEALEA

LEILEI

LEI

simLEA

M

f

f

M

f

f

M

f

f

M

f

f

,

,

,

,

,

,

22

323

2

3

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

*

/4/60/2/60

/120/6/120

/00/

/4/60

/120

/

U

U

KK

KK

F

F

F

FF

F

*

UKUKFF F **

UKUKFF F **

)(*1 FFFKU

UKFF F *


61

Empleando la ecuación (4.8) se encuentran los desplazamientos desconocidos (U). Una vez se tengan estos desplazamientos, mediante el empleo de la ecuación (4.9) se obtienen las reacciones en los apoyos del puente (F). Con estas reacciones obtenidas, el programa encuentra cada 0.1m desde el extremo izquierdo de la viga, el valor de la fuerza cortante y el momento flector para las cargas mencionadas anteriormente.

Figura 4.36. Convención de V y M positivos.

4.3.2. Determinación del trazado del cable

La trayectoria de la fuerza de preesfuerzo es descrita por parábolas de segundo grado36, tomando las excentricidades del eje centroidal de la sección hacia abajo como positivas. El trazado del cable no es concordante, se toma la máxima excentricidad posible en los apoyos y las luces, con el fin de maximizar la eficiencia del cable de preesfuerzo.

4.3.2.1. Trazado del cable en la luz exterior

Figura 4.37. Trayectoria cable en la luz exterior.

36 Tomadas del libro: Vallecilla Bahena, Carlos Ramiro (2009) Puentes en Concreto Postensado Teoría y Práctica, 2 ed., Colombia, Bauen, 497 a 500.


62

En el punto de inflexión C se tiene: (4.10) La ecuación para el tramo entre los puntos A y B (0 ≤ x ≤ αL) es:

(4.11)

Para el tramo entre los puntos B y C (αL ≤ x ≤ (L - α1L)) se tiene:

(4.12)

La ecuación para el tramo entre los puntos C y D ((L - α1L) ≤ x ≤ L) es:

(4.13)

4.3.2.2. Trazado del cable en las luces interiores

Figura 4.38. Trayectoria cable en luz interior.

En el punto de inflexión B o B’ se tiene:

(4.14)

La ecuación para el tramo entre los puntos D y B (o B’ y D’) es:

(4.15)

11

BDDc

eeee

AABAB

x exL

eex

L

eee

)(2

)(2

2

DBDBDBD

x eee

xL

eex

L

eee

)1(

)(

)1(

)(2

)1( 11

22

1

BBDBDBD

x eee

xL

eex

L

eee

)1)(1(

)(

)1)(1(

)(2

)1)(1( 1

2

1

22

1

)(2 2 CDDB eeee

DCDCDCD

x eee

xL

eex

L

eee

22

22

2 2

)()(2)(2


63

Para el tramo entre los puntos B y C (o C y B’) se tiene:

(4.16)

El software CAVIP toma α = 0.4, α1 = 0.2 y α2 = 0.2, con el propósito de que el trazado parabólico del cable sea lo más eficiente posible y de esta manera se presente la mayor excentricidad en los puntos de mayor demanda por peso propio. 4.3.3. Evaluación de las pérdidas en la transferencia

4.3.3.1. Pérdidas por corrimiento en el anclaje

Los anclajes empleados permiten cierto desplazamiento, valor que es suministrado por los proveedores de estos sistemas de anclaje. Para este software, estas pérdidas son calculadas empleando la formulación de la referencia 25, la cual dice que al bloquear los cables de preesfuerzo, se produce una fuerza de rozamiento que varia linealmente hasta cero, hasta una distancia Lc del anclaje móvil, como se puede observar en la figura 4.39:

Figura 4.39. Esquema de variación de fuerza de preesfuerzo al anclar.

Fuente: Instituto Nacional de Tecnología Industrial (2005) Pretensado en flexión - Ejemplos de aplicación del reglamento CIRSOC 201, 159.

(4.17)

Donde: Lc = Distancia desde el anclaje móvil hasta el punto en que la fuerza de rozamiento por

penetración de cuña es cero. ∆Lcuña = (área achurada en la figura 4.39) / (Aps*Es) ∆Pcorrimiento = Lc*2*p Es = Módulo de elasticidad del acero = 2*106 kg/cm2 Aps = Área del acero de preesfuerzo

CCD

x exL

eee

22

2 )5.0(

)(2

p

AELL psscuña

C

Lc


64

4.3.3.2. Pérdidas por fricción y curvatura involuntaria del cable de preesfuerzo

En este software, las pérdidas las pérdidas por fricción y curvatura involuntaria se calculan según A.8.8 del CCDSP-95:

(4.18) Donde: P0 = Fuerza de preesfuerzo en la transferencia en al anclaje móvil. Px= Fuerza de preesfuerzo en la transferencia en un punto a una distancia x del anclaje

móvil. = Coeficiente de fricción α = Suma de los ángulos hasta el punto x k = coeficiente de curvatura involuntaria. Lo que hace el programa es que para cada tramo de cables, encuentra mediante iteraciones, el punto del tramo para el cual la fuerza de preesfuerzo es igual en el extremo inicial y final del cable (anclajes móviles en ambos extremos), y este es el punto en el cual la fuerza de preesfuerzo llega a su valor mínimo por pérdidas por fricción y curvatura involuntaria.

4.3.3.3. Pérdidas por acortamiento elástico del concreto

Estas pérdidas son calculadas siguiendo el procedimiento descrito en la sección 3.3.2 de este documento.

4.3.4. Líneas de influencia (caso puente vehicular)

Este programa encuentra las líneas de influencia por el método cinemático, utilizando integración numérica por la Regla de Simpson (ver anexo A), de: las reacciones en los apoyos, momentos flectores en los apoyos, y momentos en los puntos de mayor demanda en cada vano por peso propio. Es importante aclarar que el software únicamente analiza para tráfico en una sola dirección, razón por la cual le corresponde al usuario del programa realizar un segundo análisis ingresando a CAVIP los datos en la dirección contraria. Por ser el tema de líneas de influencia muy extenso e inherente al ingeniero civil, no se trata en este documento, pero el lector puede observar la referencia 23 para una mejor comprensión del mismo. 4.3.5. Momentos flectores máximos y mínimos En el caso de puente peatonal, el programa calcula para los 11 tipos de carga viva (ver figura 4.23), el mayor y el menor momento flector ocasionado por esta carga cada 0.1m de puente (ver figura 4.47). Dependiendo de si momento flector por el peso propio es positivo o negativo, estos valores encontrados (máximo y mínimo por carga viva) serán sumados o

)(0 * kx

x epp


65

restados respectivamente para encontrar las acciones máximas y mínimas sobre determinando punto del puente. En el caso de puente vehicular, tomando como base las gráficas respectivas de líneas de influencia de momento flector37, se hace una sumatoria de los efectos producidos por la respectiva carga viva (camión o línea de carga) sobre las áreas positivas de la gráfica únicamente; posteriormente se hace lo mismo pero para las áreas negativas; ubicando siempre estas cargas vivas de tal manera que produzcan los mayores efectos como dicta el CCDSP-95 en el capítulo A.3.4.6. Si se necesita hallar los momentos flectores máximos en los apoyos, se toman las sumatorias negativas y si se necesitan los momentos flectores máximos en los vanos, se toman las sumatorias positivas de la gráfica respectiva de línea de influencia de M (ver figuras 4.40 y 4.41).

Figura 4.40. Aplicación de carga viva en puente vehicular de 4 luces, para momento flector máximo en el apoyo 1.

Figura 4.41. Aplicación de carga viva en puente vehicular de 4 luces, para momento flector mínimo en el apoyo 1.

37 Dependiendo de si la evaluación de momento máximo o mínimo se hace en los apoyos o en los puntos de mayor demanda por peso propio en los vanos.

LÍNEA DE INFLUENCIA DE M EN APOYO 1

LÍNEA DE INFLUENCIA DE M EN APOYO 1


66

4.3.6. Cálculo del momento debido a carga de preesfuerzo Mp38

La ecuación general del trabajo virtual para calcular desplazamientos, teniendo en cuenta solo las deformaciones por flexión es:

(4.19) Donde: i,k = Desplazamiento en el punto i producido por la aplicación de una fuerza en k. M = Función que representa el momento flector producido por las cargas reales sobre la

estructura. m = Función que representa el momento flector producido por la carga unitaria sobre la

estructura. E = Módulo de elasticidad del concreto. I = Inercia de la sección transversal respecto al eje centroidal. Si se tiene una viga continua de 5 luces, a la cual se le aplica la carga P*e:

Figura 4.42. Rotaciones debidas a la fuerza de preesfuerzo y a momentos unitarios en viga de 5 luces.

38 Fuente: propia

L

ki dxEI

Mm

0

,

38 Fuente: Propia


67

La viga tiene grado de indeterminación estática de 4. Para resolverla, se introducen articulaciones en los nudos B, C, D y E (estructura primaria) y luego se aplican momentos unitarios en cada uno de estos nudos. Los giros respectivos se encuentran de la siguiente manera:

(4.20) (4.21)

(4.22) (4.23) (4.24) (4.25)

(4.26) (4.27)

(4.28) (4.29)

(4.30) (4.31) (4.32) (4.33)

(4.34) (4.35) (4.36) (4.37)

(4.38) (4.39) (4.40) (4.41)

Las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones son las siguientes:

En el nudo B: (4.42)

En el nudo C: (4.43)

En el nudo D: (4.44)

En el nudo E: (4.45)

0)()()( ,, DBCCH

DBB

IBBBH

DBO

IBO MM

0)()()()( ,,, DCDDH

DCC

ICCCH

ICBBH

DCO

ICO MMM

0)()()()( ,,, DDEEH

DDD

IDDDH

IDCCH

DDO

IDO MMM

0)()()( ,, DEE

IEEEH

IEDDH

DEO

IEO MM

B

A

BIBO dxmePEI ))(*(

C

B

BDBO dxmePEI ))(*(

C

B

CI

CO dxmePEI ))(*( D

C

CD

CO dxmePEI ))(*(

D

C

DIDO dxmePEI ))(*(

E

D

DDDO dxmePEI ))(*(

E

D

EIEO dxmePEI ))(*(

F

E

EDEO dxmePEI ))(*(

B

A

BIBB dxmEI 2)(

C

B

BDBB dxmEI 2)(

C

B

CI

CC dxmEI 2)( D

C

CD

CC dxmEI 2)(

D

C

DIDD dxmEI 2)(

E

D

DDDD dxmEI 2)(

E

D

EIEE dxmEI 2)(

F

E

EDEE dxmEI 2)(

C

B

CBI

CB dxmmEI ))(( C

B

CBDBC dxmmEI ))((

D

C

DCIDC dxmmEI ))((

D

C

DCD

CD dxmmEI ))((

E

D

EDIED dxmmEI ))((

E

D

EDDDE dxmmEI ))((


68

Resolviendo estas 4 ecuaciones con 4 incógnitas se obtienen los momentos hiperestáticos MH,B, MH,C, MH,D y MH,E. El momento debido a carga de preesfuerzo (MP) en estructuras estáticamente indeterminadas es igual a la suma de los momentos estático (ME) e hiperestático (MH): (4.46)

(4.47) Donde: P = Fuerza de preesfuerzo e = Excentricidad de la fuerza de preesfuerzo. En este software, para la solución de las integrales (4.20) a (4.41), se empleó integración numérica por medio de la Regla de Simpson (ver anexo 1). 4.3.7. Evaluación del número de tramos de cables

Los tramos muy largos de cables no son eficientes debido a que las pérdidas por fricción y curvatura involuntaria reducen drásticamente la fuerza de preesfuerzo, por lo tanto este software reduce las longitudes muy largas de cables mediante la generación de tramos de acuerdo al tipo de anclajes seleccionado (ver sección 4.2.9) y al número de luces del puente de la siguiente manera: si el usuario estableció anclajes móviles en ambos extremos, para puentes menores de 4 luces el software genera un solo tramo de cables y para puentes mayores o iguales a 4 luces se generan tramos según el puente sea de número de vanos par o impar como se puede ver en la figura 4.43. Si por el contrario, el usuario estableció anclaje fijo en un extremo y móvil en el otro, el programa genera un tramo de cables en cada luz del puente. Cabe anotar que varios tramos de cables con anclajes móviles en ambos extremos no es posible constructivamente y únicamente el programa lo hace de manera didáctica para el entendimiento del comportamiento de este tipo de puentes.

Figura 4.43. Tramos de cables según número de vanos del puente.

HEP MMM ePM E *


69

En la figura 4.43, para número de vanos impar, los tramos de cables interiores resultantes pasan por dos puntos de momento negativo; cuando el número de vanos es par – caso 1, en el tramo central se presenta un cable que pasa por momento negativo en un solo apoyo (cable corto); y para el caso de número de vanos par – caso 2, se presenta un tramo central de cable que pasa por momento negativo en tres apoyos (cable largo). Tramos más cortos implicarían mayor costo y mano de obra por mayor número de anclajes; tramos más largos, como se había dicho anteriormente, no son eficientes debido a que las pérdidas por fricción y curvatura involuntaria disminuyen drásticamente la fuerza de preesfuerzo. 4.3.8. Evaluación de la fuerza de preesfuerzo necesaria

El programa evalúa la fuerza de preesfuerzo necesaria en cada punto de mayor demanda sobre las luces y en los apoyos, empleando el criterio de cumplimiento de esfuerzo máximo admisible de tracción en el concreto en la etapa de servicio para condición no severa de exposición a la corrosión (CCDSP-95), utilizando las siguientes ecuaciones: En los apoyos (fibra superior): (4.48) En los vanos (fibra inferior): (4.49) Donde: adm,trac = en kg/cm2 (ver sección 3.2.4.) P = Fuerza de preesfuerzo en la etapa de servicio. A = Área bruta de la sección transversal de concreto I = Inercia de la sección respecto al eje centroidal Yi = Distancia entre la fibra inferior y el eje centroidal de la sección Ys = Distancia entre la fibra superior y el eje centroidal de la sección Mp = Momento de preesfuerzo Mcm = Momento flector debido a carga muerta (peso propio más cargas sobreimpuestas) Mcv = Momento flector debido a la carga viva Posteriormente se revisa el cumplimiento de esfuerzos admisibles de compresión (CCDSP-95) en estos mismos puntos, para las fuerzas de preesfuerzo encontradas anteriormente: En los apoyos: (4.50) (fibra inferior)

En los vanos: (4.51) (fibra superior) Donde: (ver sección 3.2.4.)

I

YMM

I

YM

A

P sCVCMsptracadm

*)(*,

compadmiCVCMip

I

YMM

I

YM

A

P,inf

*)(*

I

YMM

I

YM

A

P iCVCMiptracadm

*)(*,

cf '6.1

cfcompadm '*4.0.

compadmsCVCMsp

I

YMM

I

YM

A

P,sup

*)(*


70

Para la revisión de esfuerzos durante la transferencia, se halla la fuerza de preesfuerzo en esta etapa con la siguiente ecuación 4.52:

(4.52) Donde: Pt=0 = Fuerza de preesfuerzo en la transferencia Pt=∞ = Fuerza de preesfuerzo en la etapa de servicio ∆P = Pérdidas de preesfuerzo en la etapa de servicio en porcentaje Es importante aclarar que en las ecuaciones 4.48 a 4.51, los valores de MP, MCM y MCV, se deben tomar con su signo respectivo. Para cada tramo de cables, el programa toma el mayor valor de estas fuerzas de preesfuerzo encontradas en las luces y en los apoyos, por ejemplo, para una viga de 5 luces como la que se observa en la figura 4.44, para el primer tramo de cables se toma el mayor valor entre P1, P2 y P3; para el tramo de cables 2, se toma el mayor valor entre P1, P2, P3, P4 y P5; y para el tramo de cables 3, se toma el mayor valor entre P1, P2 y P3. Posteriormente, con esta fuerza de preesfuerzo para cada tramo de cables, y teniendo en cuenta las pérdidas en la transferencia y en la etapa de servicio, por medio de iteraciones, se hace que sea igual la fuerza de preesfuerzo en la parte inicial como en la parte final del tramo de cables (anclajes móviles en ambos extremos).

Figura 4.44. Puntos de evaluación de P en cada tramo de cables en viga de 5 luces.

100/10 P

PP t

t


71

4.3.9. Cantidad de torones y cables necesarios

El programa evalúa la cantidad de cables necesarios para las fuerzas halladas en 4.3.8, y según los datos ingresados por el usuario como son las características del acero de preesfuerzo y el tipo de torones a emplear. Este software genera un listado de opciones de cables con diferentes combinaciones de número de cables por torón, para que el usuario elija la que más le convenga; el listado se ve limitado por la capacidad máxima de tracción del cable que tiene el gato, la cual generalmente es de 341 toneladas, valor que se tomo para los cálculos respectivos. Las ecuaciones que toma el software son: (4.53) (4.54) Donde: = Esfuerzo máximo admisible en el acero de preesfuerzo (ver sección 3.2.4.1)

= Esfuerzo de fluencia del acero de preesfuerzo Po,max = Fuerza máxima de preesfuerzo en la transferencia Asp = Área de la sección de los torones elegidos. El área mínima de los ductos (Amin,ducto) para los cables de preesfuerzo según el CCDSP-95 en su sección A.8.5.2.4 es 2 veces el área neta de los torones, sin embargo por experiencia constructiva se toma 2.5: (4.55) 4.3.10. Controladores de error

Este programa fue diseñado con controladores de error, de tal manera que en el momento de presentarse un problema técnico en la ejecución del mismo (falta de memoria, bloqueo en la ejecución, etc), automáticamente termina los procesos y solicita al usuario comenzar nuevamente el proyecto, con el fin de evitar resultados erróneos o incompletos. Además, cada formulario de ingreso de datos está programado de tal manera que si por accidente alguna casilla de datos queda vacía o no se ha definido algún dato, el programa no permite continuar la ejecución hasta que estén digitados todos los valores correspondientes.

Figura 4.45. Despliegue de aviso informativo en presencia de falta de información.

pyadmp ff *80.0, spadmp

o

Af

PdeToronesNo

*.

,

max,

admpf ,

pyf

torónducto AcableToronesNoA */.*5.2min,


72

4.4. Resultados CAVIP

El software a medida que se ejecuta, va generando automáticamente una serie de hojas de cálculo donde quedan registrados los datos correspondientes del proyecto y los resultados obtenidos, en una serie de tablas con formato, listas para imprimir, con el fin de evitar gastar tiempo en estas labores y para dar claridad a la información obtenida. 4.4.1. Hoja datos de entrada

En esta hoja quedan consignados todos los datos de entrada digitados por el usuario, correspondientes al proyecto actual, como se puede observar en la figura 4.46.

Figura 4.46. Hoja datos de entrada.


73

4.4.2. Hoja M_V

Esta hoja contiene los valores de fuerza cortante (V) y momento flector (M) en puntos tomados cada 0.1m desde el extremo izquierdo de la viga, para: peso propio, peso de losa más diafragmas, cargas sobreimpuestas y carga viva (en el caso de puente peatonal – ver figura 4.23). Cuando el puente es peatonal, en las 4 últimas columnas del cuadro (en color verde), se encuentran los momentos por carga viva máximo y mínimo, y los momentos máximo y mínimo por la suma de peso propio, peso losa más diafragmas, cargas sobreimpuestas y carga viva (figura 4.47).

Figura 4.47. Hoja M_V (momento flector y fuerza cortante).


74

Adicionalmente, luego del despliegue de los valores de momento flector y fuerza cortante, se generan otros cuadros con los momentos flectores y fuerzas cortantes máximas en cada vano, con su respectivo valor de x donde ocurren, para cada tipo de carga (peso propio, carga sobreimpuesta y carga viva en el caso de puente peatonal); como se puede observar en la figura 4.48.

Figura 4.48. Hoja M_V, cuadros con valores de Mmax y Vmax.

4.4.3. Hoja GRAF_M_V

Las gráficas de fuerza cortante y momento flector correspondientes a los datos presentados en la hoja anterior, son mostradas en esta hoja. En ellas se ve como referencia el dibujo de la viga con sus respectivos apoyos y los puntos con valores mínimos y máximos de V y M por vano. Cabe anotar que en el caso de puente peatonal con luces mayores a 2, como se deben graficar 11 subtipos de carga viva (ver figura 4.23), el programa se puede demorar unos minutos en este proceso, dependiendo de la velocidad del procesador del computador donde se esté ejecutando la aplicación (figura 4.49).


75

Figura 4.49. Hoja GRAF_M_V.

4.4.4. Hoja CUADRO_LI

En esta hoja se encuentran cuadros por vanos con los cálculos de las líneas de influencia para: las reacciones en los apoyos, los momentos flectores en los apoyos y los momentos flectores en los puntos de mayor demanda por peso propio en cada vano. En las columnas finales de los cuadros se encuentran las sumatorias para los cálculos de las áreas bajo las curvas de líneas de influencia por integración numérica empleando Regla de Simpson (ver anexo A).

(4.56)

)*(3

iMSx

Area


76

Figura 4.50. Hoja CUADRO_LI.

4.4.5. Hoja GRAF_LI En esta hoja se muestran las gráficas generadas con la información de las tablas de la hoja anterior, separadas por colores de fondo, para diferenciar las de reacciones y momentos. En estas gráficas aparece además la viga con sus respectivos apoyos y los valores máximos y mínimos para las gráficas de líneas de influencia de momento, por ser estas las que más importan en el desarrollo de este programa. Las gráficas de líneas de influencia de momento son dibujadas con la convención de tracciones abajo (ver figuras 4.51 a 4.53).


77

Figura 4.51. Hoja GRAF_LI, líneas de influencia de reacciones en apoyos.

Figura 4.52. Hoja GRAF_LI, líneas de influencia de momento flector en apoyos.


78

Figura 4.53. Hoja GRAF_LI, líneas de influencia de momento flector vanos.

4.4.6. Hoja Mp_INICIAL

Figura 4.54. Hoja Mp_INICIAL.


79

Esta hoja contiene, para cada uno de los vanos que conforman el puente, un cuadro en el que aparece el cálculo de: las pérdidas durante la transferencia (según capítulo 4.3.3), el momento estático, el momento hiperestático y el momento de preesfuerzo preliminar (ver cálculo en 4.3.6), tomando la fuerza de preesfuerzo igual a 1 tonelada en cada extremo del cable, en la etapa de servicio; todo esto se hace por medio de integración numérica por Regla de Simpson (ver anexo A). 4.4.7. Hoja GRAF_Mp_INICIAL

Las graficas correspondientes al trazado del cable, el momento estático, el momento hiperestático y el momento de preesfuerzo preliminar en la etapa de servicio, se muestran en esta hoja (figura 4.55).

Figura 4.55. Hoja GRAF_Mp_INICIAL.


80

4.4.8. Hoja Mp_FINAL

Esta hoja contiene, para cada uno de los vanos que conforman el puente, un cuadro en el que aparece el momento estático, el momento hiperestático y el momento de preesfuerzo final (ver cálculo en 4.3.6), tanto en la etapa de la transferencia como en la de servicio; esto se hace tomando la información de los cables elegidos por el usuario en el formulario respectivo y mediante integración numérica por Regla de Simpson (ver anexo A).

Figura 4.56. Hoja Mp_FINAL.

4.4.9. Hoja GRAF_Mp_FINAL

Los valores de excentricidad, momentos estático, hiperestático y de preesfuerzo que aparecen en la hoja Mp_FINAL son dibujados aquí. En la grafica de excentricidad aparecen por colores cada uno de los tramos de cables (ver figura 4.57).

4.4.10. Hoja RESULTADOS

Se presentan los resultados de manera tabular, correspondientes a: coordenadas de los apoyos; reacciones en los apoyos para cada tipo de carga (peso propio, carga sobreimpuesta y carga viva si el puente es peatonal); factores de impacto, tipo de carga viva en cada vano y cargas vivas aplicadas en cada vano, si el puente es vehicular; momentos máximos, momentos mínimos, fuerza de preesfuerzo necesaria, revisión inicial de esfuerzos en las cuatro etapas constructivas (ver sección 4.2.11), tramos de cables, fuerza de preesfuerzo máxima en cada tramo, información de los cables escogidos por el usuario y revisión final de esfuerzos en las cuatro etapas constructivas para esos cables elegidos (figuras 4.58 y 4.59).


81

Figura 4.57. Hoja GRAF_Mp_FINAL.

Figura 4.58. Hoja RESULTADOS, caso puente vehicular.


82

Figura 4.59. Hoja RESULTADOS, caso puente peatonal.

4.5. Diagrama de flujo de primer nivel

En la figura 4.60 se observa el diagrama de flujo de primer nivel del programa CAVIP. Las convenciones empleadas son las siguientes:


83

Figura 4.60. Diagrama de flujo del programa.


84


85

Capítulo 5 Ejemplos de Aplicación

5.1. Puente peatonal continuo de tres luces

Se desea revisar el cumplimiento de esfuerzos admisibles debido al peso propio, cargas sobreimpuestas y carga viva, del puente peatonal de la figura 5.1.

Figura 5.1. Puente peatonal continuo de tres luces.

5.1.1. Materiales empleados

Concreto: Resistencia del concreto durante la transferencia, f’ci = 280 kg/cm2 Resistencia del concreto en la etapa de servicio, f’c = 350 kg/cm2

Elevación

Sección transversal viga


86

Módulo de elasticidad del concreto, Ec: Acero de preesfuerzo: Esfuerzo de fluencia, fpy = 16000 kg/cm2

Esfuerzo de último, fpu = 18900 kg/cm2

5.1.2. Propiedades de la sección bruta de concreto

Área bruta de concreto, Ag = 0.6765 m2 Distancia de la fibra inferior al eje centroidal, Yi = 0.7888 m Distancia de la fibra superior al eje centroidal, Ys = 0.3112 m Inercia sección respecto al eje centroidal, Ig = 0.0709 m4 Ancho aferente viga, b = 2.40 m Altura, H = 1.10 m 5.1.3. Avalúo de cargas

Carga muerta: Peso propio de la sección 2.4 t/m3 * 0.6765 m2 1.624 t/m Peso barandas 0.08 t/m * 2 0.160 t/m Peso carpeta asfáltica 2.2 t/m3 * 0.05 m * 2.4 m 0.264 t/m Peso total cargas sobreimpuestas 0.424 t/m Carga muerta total 2.048 t/m

Carga viva: 0.400 t/m2 * 2.4 m = 0.960 t/m 5.1.4. Reacciones en los apoyos

Empleando el método matricial, en la figura 5.2 se observa la numeración de los grados de libertad de la estructura.

Figura 5.2. Numeración de los grados de libertad del ejemplo 5.1.

25.135.1 /cmkg 29910235043.0*)/2400('043.0* MPamkgcfwE cc


87

La matriz de rigidez K del elemento viga es:

(5.1) La matriz de rigidez K0,1 del elemento 0-1, en t/m es:

5 6 1 7 8 2 134895.0 0 0 -134895.0 0 0 5

0 754.0 5655.0 0 -754.0 5655.0 6

0 5655.0 56550.0 0 -5655.0 28275.1 1

-134895.0 0 0 134895 0 0 7

0 -754.0 -5655.0 0 754.0 -5655.0 8

0 5655.0 28275.1 0 -5655.0 56550.2 2

La matriz de rigidez K1,2 del elemento 1-2, en t/m es:

7 8 2 9 10 3 101171.3 0 0 -101171.3 0 0 7

0 318.1 3181.0 0 -318.1 3181.0 8

0 3181.0 42412.7 0 -3181.0 21206.3 2

-101171.3 0 0 101171.3 0 0 9

0 -318.1 -3181.0 0 318.1 -3181.0 10

0 3181.0 21206.3 0 -3181.0 42412.7 3


9 10 3 11 12 4 134895.0 0 0 -134895.0 0 0 9

0 754.0 5655.0 0 -754.0 5655.0 10

0 5655.0 56550.2 0 -5655.0 28275.1 3

-134895.0 0 0 134895.0 0 0 11

0 -754.0 -5655.0 0 754.0 -5655.0 12

0 5655.0 28275.1 0 -5655.0 56550.2 4

Ensamblando las matrices de rigidez de los 3 elementos, la matriz de rigidez general K de la estructura en t/m es:

LEILEILEILEI

LEILEILEI

LEALEA

LEILEI

LEI

simLEA

K vano

/4/60/2/60

/120/6/120

/00/

/4/60

/120

/

22

323

2

3

)(


88

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 56550 28275 0 0 0 5655 0 -5655 0 0 0 0 1

28275 98963 21206 0 0 5655 0 -2474 0 -3181 0 0 2

0 21206 98963 28275 0 0 0 3181 0 2474 0 -5655 3

0 0 28275 56550 0 0 0 0 0 5655 0 -5655 4

0 0 0 0 134895 0 -134895 0 0 0 0 0 5

5655 5655 0 0 0 754 0 -754 0 0 0 0 6

0 0 0 0 -134895 0 236066 0 -101171 0 0 0 7

-5655 -2474 3181 0 0 -754 0 1072 0 -318 0 0 8

0 0 0 0 0 0 -101171 0 236066 0 -134895 0 9

0 -3181 2474 5655 0 0 0 -318 0 1072 0 -754 10

0 0 0 0 0 0 0 0 -134895 0 134895 0 11

0 0 -5655 -5655 0 0 0 0 0 -754 0 754 12

Submatriz Kαα: Submatriz Kβα:

1 2 3 4 1 2 3 4 56550.2 28275.1 0 0 1 0 0 0 0 5

28275.1 98962.9 21206.3 0 2 5655.0 5655.0 0 0 6

0 21206.3 98962.9 28275.1 3 0 0 0 0 7

0 0 28275.1 56550.2 4 -5655.0 -2474.1 3181.0 0 8

0 0 0 0 9

0 -3181.0 2474.1 5655.0 10

0 0 0 0 11

0 0 -5655.0 -5655.0 12

Carga peso propio (D): Los vectores de acciones fijas FF en t son: Elemento 0-1 Elemento 1-2: Elemento 2-3: Vector ensamblado:

0 5 0 7 0 9 30.443 1

12.177 6 16.236 8 12.177 10 23.678 2

30.443 1 54.120 2 30.443 3 -23.678 3

0 7 0 9 0 11 -30.443 4

12.177 8 16.236 10 12.177 12 0 5

-30.443 2 -54.120 3 -30.443 4 12.177 6

0 7

28.413 8

0 9

28.413 10

0 11

12.177 12

(5.2) )(*1 FFFKU


89

Subvector FFα (t): Subvector FF

β (t): Subvector Fα (t): Subvector Uα (m):

30.443 1 0 5 0 1 -0.00047187 1

23.678 2 12.177 6 0 2 -0.00013292 2

-23.678 3 0 7 0 3 0.00013292 3

-30.443 4 28.413 8 0 4 0.00047187 4

0 9

28.413 10

0 11

12.177 12

Reacciones: (5.3) Subvector Fβ (t):

0 5

8.757 6

0 7

31.833 8

0 9

31.833 10

0 11

8.757 12

Cargas sobreimpuestas (DS): Los vectores de acciones fijas FF en t son: Elemento 0-1 Elemento 1-2: Elemento 2-3: Vector ensamblado:

0 5 0 7 0 9 7.950 1

3.180 6 4.240 8 3.180 10 6.183 2

7.950 1 14.133 2 7.950 3 -6.183 3

0 7 0 9 0 11 -7.950 4

3.180 8 4.240 10 3.180 12 0 5

-7.950 2 -14.133 3 -7.950 4 3.180 6

0 7

7.420 8

0 9

7.420 10

0 11 3.180 12

UKFF F *

)(*1 FFFKU


90

Subvector FF

α (t): Subvector FFβ (t): Subvector Fα (t): Subvector Uα (m):

7.950 1 0 5 0 1 -1.232E-04 1

6.183 2 3.180 6 0 2 -3.471E-05 2

-6.183 3 0 7 0 3 3.471E-05 3

-7.950 4 7.420 8 0 4 1.232E-04 4

0 9

7.420 10

0 11

3.180 12

Reacciones: Subvector Fβ (t):

0 5

2.287 6

0 7

8.313 8

0 9

8.313 10

0 11

2.287 12

Carga viva en todos los vanos - Tipo 0 (CV-0): Los vectores de acciones fijas FF en t son: Elemento 0-1 Elemento 1-2: Elemento 2-3: Vector ensamblado:

0 5 0 7 0 9 18.000 1 7.200 6 9.600 8 7.200 10 14.000 2 18.000 1 32.000 2 18.000 3 -14.000 3

0 7 0 9 0 11 -18.000 4 7.200 8 9.600 10 7.200 12 0 5

-18.000 2 -32.000 3 -18.000 4 7.200 6 0 7 16.800 8 0 9 16.800 10 0 11 7.200 12

UKFF F *

)(*1 FFFKU


91

Subvector FFα (t): Subvector FF

β (t): Subvector Fα (t): Subvector Uα (m): 18.000 1 0 5 0 1 -2.790E-04 1

14.000 2 7.200 6 0 2 -7.859E-05 2

-14.000 3 0 7 0 3 7.859E-05 3

-18.000 4 16.800 8 0 4 2.790E-04 4

0 9 16.800 10 0 11 7.200 12


0 5

5.178 6

0 7

18.822 8

0 9

18.822 10

0 11

5.178 12

Carga viva tipo 1 a 4, 7 y 10: Debido a lo extenso del proceso, se muestran únicamente los resultados de las reacciones en la tabla 5.1.

Tabla 5.1. Reacciones en los apoyos en t, para el puente del ejemplo 5.1.

Apoyo D DS CV-0 CV-1 CV-2 CV-3 CV-4 CV-7 CV-10

0 8.757 2.287 5.178 6.600 -1.422 4.938 0.240 6.360 -1.182

1 31.833 8.313 18.822 7.800 11.022 19.872 -1.050 8.850 9.972

2 31.833 8.313 18.822 7.800 11.022 9.972 8.850 -1.050 19.872

3 8.757 2.287 5.178 6.600 -1.422 -1.182 6.360 0.240 4.938

5.1.5. Diagramas de momento flector

En la figura 5.3, los momentos máximos positivos y negativos por peso propio se dan en las siguientes abscisas:

Tabla 5.2. Abscisas para momentos máximos absolutos por peso propio en ejemplo 5.1.

VANO X (m) M (t*m) APOYO X (m) M (t*m) 1 5.4 23.615 1 15 -51.301 2 25 29.878 2 35 -51.301 3 44.6 23.615

UKFF F *


92

Figura 5.3. Diagramas de momento para peso propio del ejemplo 5.1.

Figura 5.4. Diagramas de momento para cargas sobreimpuestas del ejemplo 5.1.

Figura 5.5. Diagramas de momento para carga viva del ejemplo 5.1.


93

Tabla 5.3. Momentos flectores en t*m, para la viga del ejemplo 5.1.

CARGA VIVA (L)* L D + DS + L x (m)

P.PROP (D)

C.SOBR. (DS) Tipo 0 Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 7 Tipo 10 Mmax Mmin Mmax Mmin

5.4 23.62 6.17 13.97 21.64 -7.68 12.67 1.30 20.35 -6.38 21.64 -7.68 51.43 22.1015.0 -51.30 -13.40 -30.33 -9.00 -21.33 -33.93 3.60 -12.60 -17.73 3.60 -33.93 -98.63 -61.1025.0 29.88 7.80 17.67 -9.00 26.67 22.17 -4.50 -4.50 22.17 26.67 -9.00 64.35 28.6835.0 -51.30 -13.40 -30.33 -9.00 -21.33 -17.73 -12.60 3.60 -33.93 3.60 -33.93 -98.63 -61.1044.6 23.62 6.17 13.96 21.64 -7.68 -6.38 20.35 1.30 12.67 21.64 -7.68 51.43 22.10

* Ver figura 4.23.

5.1.6. Trayectoria del cable de preesfuerzo

5.1.6.1. Trayectoria cable en la luz exterior

Tomando los tramos mostrados en la figura 4.37, se tiene: Recubrimiento superior cable = 0.05 m Recubrimiento inferior cable = 0.05 m eA = 0.10 m eB = Yi – Recub. inf = 0.7888 m – 0.05 m = 0.7388 m eD = -(Ys – Recub. Sup) = -(0.3112 m – 0.05 m) = -0.2612 m

Figura 5.6. Trayectoria cable en la luz exterior del puente del ejemplo 5.1.

En el punto de inflexión C se tiene:

mee

ee BDDc 072133.0

4.01

7388.02612.02.02612.0

11


94

Tramo AB: La ecuación para el tramo entre los puntos A y B (0 ≤ x ≤ 6m) es:

. La primera derivada de la ecuación anterior con respecto a x, dex/dx = tan α, y α ≈ tan α; por lo tanto la ecuación para hallar el ángulo α en el tramo AB es: Tramo BC: Para el tramo entre los puntos B y C (6m ≤ x ≤ 12m) se tiene:

La ecuación para el ángulo formado por el cable en el tramo BC es: Tramo CD: La ecuación para el tramo entre los puntos C y D (12m ≤ x ≤ 15m) es:

La ecuación para el ángulo formado por el cable en el tramo CD es:

1.015*4.0

)1.07388.0(2

)15*4.0(

1.07388.0)(2

)(2

22

2

xxex

L

eex

L

eee A

ABABx

DBDBDBD

x eee

xL

eex

L

eee

)1(

)(

)1(

)(2

)1( 11

22

1

BBDBDBD

x eee

xL

eex

L

eee

)1)(1(

)(

)1)(1(

)(2

)1)(1( 1

2

1

22

1

1.0212933.0017744.0 2 xxex

7388.0)2.04.01)(4.01(

)7388.02612.0(4.0

15*)2.04.01)(4.01(

)7388.02612.0(4.0*2

15*)2.04.01)(4.01(

7388.02612.0 22

2

xxex

072133.0222222.0018519.0 2 xxex

2612.0)4.01(2.0

)7388.02612.0(

15*)4.01(2.0

)7388.02612.0(2

15*)4.01(2.0

7388.02612.0 22

xxex

072133.8111111.1037037.0 2 xxex

212933.0035488.0 x

222222.00.037038 x

111111.10.074074 x


95

Tabla 5.4. Excentricidades del cable de preesfuerzo en la luz exterior.

Tramo AB X (m) 0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 e (m) 0.100 0.295 0.455 0.579 0.668 0.721 0.739 Tramo BC X (m) 6.000 7.000 8.000 9.000 10.000 11.000 12.000e (m) 0.739 0.720 0.665 0.572 0.443 0.276 0.072 Tramo CD X (m) 12.000 13.000 14.000 15.000 e (m) 0.072 -0.113 -0.224 -0.261

5.1.6.2. Trayectoria cable en la luz interior

Tomando los tramos mostrados en la figura 4.38, se tiene: Recubrimiento superior cable = 0.05 m Recubrimiento inferior cable = 0.05 m eD = -0.2612 m eC = 0.7388 m

Figura 5.7. Trayectoria cable en la luz interior del puente del ejemplo 5.1.

En el punto de inflexión B o B’ se tiene:

meeee CDDB 1388.0)7388.02612.0(2.0*22612.0)(2 2


96

Tramo DB: La ecuación para el tramo entre los puntos D y B (0m ≤ x ≤ 4m) es:

La ecuación para el ángulo formado por el cable en el tramo DB es: Tramo BC: Para el tramo entre los puntos B y C (4m ≤ x ≤ 10m) es:

La ecuación para el ángulo formado por el cable en el tramo BC es:

Tabla 5.5. Excentricidades del cable de preesfuerzo en la luz interior.

Tramo DB X (m) 0.000 1.334 2.668 e (m) -0.261 -0.217 -0.083 Tramo BC X (m) 4.002 5.336 6.670 8.004 9.338 e (m) 0.139 0.376 0.554 0.672 0.731

Figura 5.8. Trayectoria del preesfuerzo en la viga del ejemplo 5.1.

DCDCDCD

x eee

xL

eex

L

eee

22

22

2 2

)()(2)(2

7388.020*)2.05.0(

)7388.02612.0(2

)5.0(

)(2 22

22

2

xexL

eee C

CDx

2388.25.0025.0 2 xxex

7388.0016667.0 2 xex

2612.02.0*2

)7388.02612.0(

20*2.0

)7388.02612.0(2

20*2.0

)7388.02612.0(2 22

xxex

5.005.0 x

x033334.0


97

5.1.7. Cálculo del momento flector debido al preesfuerzo

La fuerza de preesfuerzo en los anclajes activos de ambos extremos del cable es igual a P, para este caso las pérdidas supuestas inicialmente en la etapa de servicio son iguales al 15% y para la determinación de las pérdidas en la transferencia se tiene: Coeficiente de fricción, μ = 0.25 Coeficiente de curvatura involuntaria, k = 0.0033 rad/m Penetración de cuña = 1 mm La viga tiene grado de indeterminación estática de 2. Para resolverla, se introducen articulaciones en los nudos B, C (estructura primaria) y luego se aplican momentos unitarios en cada uno de estos nudos, como se muestra en la figura 5.9.

Figura 5.9. Rotaciones debidas a la fuerza de preesfuerzo y a momentos unitarios en viga del ejemplo 5.1.

En la luz 1 se tiene: m

x

L

xm

ABB 15


98

En la luz 2: En la luz 3: Los resultados se encuentran en las tablas 5.6 a 5.8, tomando E*I igual a 1 y en la columna "P" se encuentra la fuerza de preesfuerzo tomada como 1.0 t en los anclajes con las pérdidas por fricción y curvatura involuntaria calculadas según 4.3.3.2. Para encontrar los giros respectivos, se emplea integración numérica por medio de la Regla de Simpson (ver anexo 1), así: (5.4) (5.5) (5.6) (5.7)

(5.8) (5.9)

(5.10) (5.11)

(5.12) (5.13)

m

x

L

xm

BCB 20

11 m

xL

xm

BCC 20

m

x

L

xm

CDC 15

11

B

AB

ABIBO mePS

XEI ))(*(*

3

C

BB

BCDBO mePS

XEI ))(*(*

3

C

BC

BCICO mePS

XEI ))(*(*

3

D

CC

CDDCO mePS

XEI ))(*(*

3

B

AB

ABIBB mS

XEI 2)(*

3

C

BB

BCDBB mS

XEI 2)(*

3

C

BC

BCICC mS

XEI 2)(*

3

D

CC

CDDCC mS

XEI 2)(*

3

C

BCB

BCICB mmS

XEI )(*)(*

3

C

BCB

BCDBC mmS

XEI **

3


99

Tabla 5.6. Integración numérica en la luz 1 del ejemplo 5.1.

Xvano (K*X) P e P*e mC mB S S*P*e SmC* S*P*e SmB* SmC*

(m) K*X) (t) (m) t*m t*m t*m *mC/EI mC/EI *mB/EI mB/EI mB/EI

0.00 0.0532 0.0000 0.0000 -1.00 0.10 -0.10 0 0.00 1 0 0 0.00 0.00 0

0.50 0.0488 0.0016 0.0061 -0.99 0.20 -0.20 0 0.03 4 0 0 -0.03 0.00 0

1.00 0.0444 0.0016 0.0061 -0.99 0.30 -0.29 0 0.07 2 0 0 -0.04 0.01 0

1.50 0.0399 0.0016 0.0061 -0.98 0.38 -0.37 0 0.10 4 0 0 -0.15 0.04 0

2.00 0.0355 0.0016 0.0061 -0.98 0.45 -0.44 0 0.13 2 0 0 -0.12 0.04 0

2.50 0.0311 0.0016 0.0061 -0.97 0.52 -0.51 0 0.17 4 0 0 -0.34 0.11 0

3.00 0.0266 0.0016 0.0061 -0.96 0.58 -0.56 0 0.20 2 0 0 -0.22 0.08 0

3.50 0.0222 0.0016 0.0061 -0.96 0.63 -0.60 0 0.23 4 0 0 -0.56 0.22 0

4.00 0.0177 0.0016 0.0061 -0.95 0.67 -0.64 0 0.27 2 0 0 -0.34 0.14 0

4.50 0.0133 0.0016 0.0061 -0.95 0.70 -0.66 0 0.30 4 0 0 -0.79 0.36 0

5.00 0.0089 0.0016 0.0061 -0.94 0.72 -0.68 0 0.33 2 0 0 -0.45 0.22 0

5.50 0.0044 0.0016 0.0061 -0.94 0.73 -0.69 0 0.37 4 0 0 -1.01 0.54 0

6.00 0.0000 0.0016 0.0061 -0.93 0.74 -0.69 0 0.40 2 0 0 -0.55 0.32 0

6.50 -0.0046 0.0016 0.0063 -0.92 0.73 -0.68 0 0.43 4 0 0 -1.18 0.75 0

7.00 -0.0093 0.0016 0.0063 -0.92 0.72 -0.66 0 0.47 2 0 0 -0.62 0.44 0

7.50 -0.0139 0.0016 0.0063 -0.91 0.70 -0.64 0 0.50 4 0 0 -1.27 1.00 0

8.00 -0.0185 0.0016 0.0063 -0.91 0.66 -0.60 0 0.53 2 0 0 -0.64 0.57 0

8.50 -0.0231 0.0016 0.0063 -0.9 0.62 -0.56 0 0.57 4 0 0 -1.27 1.28 0

9.00 -0.0278 0.0016 0.0063 -0.9 0.57 -0.51 0 0.60 2 0 0 -0.61 0.72 0

9.50 -0.0324 0.0016 0.0063 -0.89 0.51 -0.46 0 0.63 4 0 0 -1.15 1.60 0

10.00 -0.037 0.0016 0.0063 -0.88 0.44 -0.39 0 0.67 2 0 0 -0.52 0.89 0

10.50 -0.0417 0.0016 0.0063 -0.88 0.36 -0.32 0 0.70 4 0 0 -0.89 1.96 0

11.00 -0.0463 0.0016 0.0063 -0.87 0.28 -0.24 0 0.73 2 0 0 -0.35 1.08 0

11.50 -0.0509 0.0016 0.0063 -0.87 0.18 -0.15 0 0.77 4 0 0 -0.48 2.35 0

12.00 -0.0556 0.0016 0.0063 -0.86 0.07 -0.06 0 0.80 2 0 0 -0.10 1.28 0

12.50 -0.0463 0.0016 0.0109 -0.85 -0.03 0.03 0 0.83 4 0 0 0.08 2.78 0

13.00 -0.037 0.0016 0.0109 -0.84 -0.11 0.10 0 0.87 2 0 0 0.17 1.50 0

13.50 -0.0278 0.0016 0.0109 -0.83 -0.18 0.15 0 0.90 4 0 0 0.53 3.24 0

14.00 -0.0185 0.0016 0.0109 -0.83 -0.22 0.18 0 0.93 2 0 0 0.35 1.74 0

14.50 -0.0093 0.0016 0.0109 -0.82 -0.25 0.21 0 0.97 4 0 0 0.80 3.74 0

15.00 0 0.0016 0.0109 -0.81 -0.26 0.21 0 1.00 1 0 0 0.21 1.00 0

SUMA 0 0 -11.55 30.00 0


100


Xvano (K*X) P e P*e mB mC S SP*e SmB* S*P*e SmC* SmB*

(m) *X) (t) (m) t*m t*m t*m *mB/EI mB/EI *mC/EI mC/EI mC/EI

0.00 0.0000 0.0000 0.0000 -0.81 -0.26 0.21 1.00 0.00 1 0.21 1.00 0.00 0.00 0.00

0.67 0.0083 0.0022 0.0105 -0.80 -0.25 0.20 0.97 0.03 4 0.77 3.74 0.03 0.00 0.13

1.33 0.0167 0.0022 0.0105 -0.79 -0.22 0.17 0.93 0.07 2 0.32 1.74 0.02 0.01 0.12

2.00 0.0250 0.0022 0.0105 -0.78 -0.16 0.13 0.90 0.10 4 0.45 3.24 0.05 0.04 0.36

2.67 0.0334 0.0022 0.0105 -0.77 -0.08 0.06 0.87 0.13 2 0.11 1.50 0.02 0.04 0.23

3.34 0.0417 0.0022 0.0105 -0.77 0.02 -0.01 0.83 0.17 4 -0.04 2.78 -0.01 0.11 0.56

4.00 0.0500 0.0022 0.0105 -0.76 0.14 -0.11 0.80 0.20 2 -0.17 1.28 -0.04 0.08 0.32

4.67 0.0444 0.0022 0.0078 -0.75 0.27 -0.20 0.77 0.23 4 -0.61 2.35 -0.19 0.22 0.72

5.34 0.0389 0.0022 0.0078 -0.75 0.38 -0.28 0.73 0.27 2 -0.41 1.08 -0.15 0.14 0.39

6.00 0.0333 0.0022 0.0078 -0.74 0.47 -0.35 0.70 0.30 4 -0.98 1.96 -0.42 0.36 0.84

6.67 0.0278 0.0022 0.0078 -0.73 0.55 -0.41 0.67 0.33 2 -0.54 0.89 -0.27 0.22 0.44

7.34 0.0222 0.0022 0.0078 -0.73 0.62 -0.45 0.63 0.37 4 -1.15 1.60 -0.66 0.54 0.93

8.00 0.0166 0.0022 0.0078 -0.72 0.67 -0.49 0.60 0.40 2 -0.58 0.72 -0.39 0.32 0.48

8.67 0.0111 0.0022 0.0078 -0.72 0.71 -0.51 0.57 0.43 4 -1.15 1.28 -0.88 0.75 0.98

9.34 0.0055 0.0022 0.0078 -0.71 0.73 -0.52 0.53 0.47 2 -0.56 0.57 -0.49 0.44 0.50

10.01 0.0000 0.0022 0.0078 -0.71 0.74 -0.52 0.50 0.50 4 -1.04 1.00 -1.05 1.00 1.00

10.67 -0.0056 0.0022 0.0078 -0.71 0.73 -0.52 0.47 0.53 2 -0.49 0.44 -0.56 0.57 0.50

11.34 -0.0112 0.0022 0.0078 -0.72 0.71 -0.51 0.43 0.57 4 -0.88 0.75 -1.15 1.29 0.98

12.01 -0.0167 0.0022 0.0078 -0.72 0.67 -0.49 0.40 0.60 2 -0.39 0.32 -0.58 0.72 0.48

12.67 -0.0223 0.0022 0.0078 -0.73 0.62 -0.45 0.37 0.63 4 -0.66 0.54 -1.15 1.61 0.93

13.34 -0.0278 0.0022 0.0078 -0.73 0.55 -0.41 0.33 0.67 2 -0.27 0.22 -0.54 0.89 0.44

14.01 -0.0334 0.0022 0.0078 -0.74 0.47 -0.35 0.30 0.70 4 -0.42 0.36 -0.98 1.96 0.84

14.67 -0.0389 0.0022 0.0078 -0.75 0.37 -0.28 0.27 0.73 2 -0.15 0.14 -0.41 1.08 0.39

15.34 -0.0445 0.0022 0.0078 -0.75 0.26 -0.20 0.23 0.77 4 -0.18 0.22 -0.61 2.35 0.71

16.01 -0.0499 0.0022 0.0076 -0.76 0.14 -0.10 0.20 0.80 2 -0.04 0.08 -0.17 1.28 0.32

16.67 -0.0416 0.0022 0.0105 -0.77 0.02 -0.01 0.17 0.83 4 -0.01 0.11 -0.04 2.78 0.55

17.34 -0.0332 0.0022 0.0105 -0.77 -0.08 0.07 0.13 0.87 2 0.02 0.04 0.11 1.50 0.23

18.01 -0.0249 0.0022 0.0105 -0.78 -0.16 0.13 0.10 0.90 4 0.05 0.04 0.46 3.24 0.36

18.68 -0.0165 0.0022 0.0105 -0.79 -0.22 0.17 0.07 0.93 2 0.02 0.01 0.32 1.74 0.12

19.34 -0.0082 0.0022 0.0105 -0.80 -0.25 0.20 0.03 0.97 4 0.03 0.00 0.77 3.74 0.13

20.01 0.0001 0.0022 0.0105 -0.81 -0.26 0.21 0.00 1.00 1 0.00 0.00 0.21 1.00 0.00

SUMA -8.75 29.99 -8.74 30.03 14.99


101


Xvano (K*X) P e P*e mC mB S S*P*e SmC* S*P*e SmB* SmC*

(m) *X) (t) (m) t*m t*m t*m *mC/EI mC/EI *mB/EI mB/EI mB/EI

0.00 0.0000 0.0000 0.0000 -0.81 -0.26 0.21 1.00 0 1 0.21 1.00 0 0 0

0.50 -0.0093 0.0016 0.0109 -0.82 -0.25 0.21 0.97 0 4 0.80 3.74 0 0 0

1.00 -0.0185 0.0016 0.0109 -0.83 -0.22 0.18 0.93 0 2 0.35 1.74 0 0 0

1.50 -0.0278 0.0016 0.0109 -0.83 -0.18 0.15 0.90 0 4 0.53 3.24 0 0 0

2.00 -0.0370 0.0016 0.0109 -0.84 -0.11 0.10 0.87 0 2 0.17 1.50 0 0 0

2.50 -0.0463 0.0016 0.0109 -0.85 -0.03 0.03 0.83 0 4 0.08 2.78 0 0 0

3.00 -0.0556 0.0016 0.0109 -0.86 0.07 -0.06 0.80 0 2 -0.10 1.28 0 0 0

3.50 -0.0509 0.0016 0.0063 -0.87 0.18 -0.15 0.77 0 4 -0.48 2.35 0 0 0

4.00 -0.0463 0.0016 0.0063 -0.87 0.28 -0.24 0.73 0 2 -0.35 1.08 0 0 0

4.50 -0.0417 0.0016 0.0063 -0.88 0.36 -0.32 0.70 0 4 -0.89 1.96 0 0 0

5.00 -0.0370 0.0016 0.0063 -0.88 0.44 -0.39 0.67 0 2 -0.52 0.89 0 0 0

5.50 -0.0324 0.0016 0.0063 -0.89 0.51 -0.46 0.63 0 4 -1.15 1.60 0 0 0

6.00 -0.0278 0.0016 0.0063 -0.90 0.57 -0.51 0.60 0 2 -0.61 0.72 0 0 0

6.50 -0.0231 0.0016 0.0063 -0.90 0.62 -0.56 0.57 0 4 -1.27 1.28 0 0 0

7.00 -0.0185 0.0016 0.0063 -0.91 0.66 -0.60 0.53 0 2 -0.64 0.57 0 0 0

7.50 -0.0139 0.0016 0.0063 -0.91 0.70 -0.64 0.50 0 4 -1.27 1.00 0 0 0

8.00 -0.0093 0.0016 0.0063 -0.92 0.72 -0.66 0.47 0 2 -0.62 0.44 0 0 0

8.50 -0.0046 0.0016 0.0063 -0.92 0.73 -0.68 0.43 0 4 -1.18 0.75 0 0 0

9.00 0.0000 0.0016 0.0063 -0.93 0.74 -0.69 0.40 0 2 -0.55 0.32 0 0 0

9.50 0.0044 0.0016 0.0061 -0.94 0.73 -0.69 0.37 0 4 -1.01 0.54 0 0 0

10.00 0.0089 0.0016 0.0061 -0.94 0.72 -0.68 0.33 0 2 -0.45 0.22 0 0 0

10.50 0.0133 0.0016 0.0061 -0.95 0.70 -0.66 0.30 0 4 -0.79 0.36 0 0 0

11.00 0.0177 0.0016 0.0061 -0.95 0.67 -0.64 0.27 0 2 -0.34 0.14 0 0 0

11.50 0.0222 0.0016 0.0061 -0.96 0.63 -0.60 0.23 0 4 -0.56 0.22 0 0 0

12.00 0.0266 0.0016 0.0061 -0.96 0.58 -0.56 0.20 0 2 -0.22 0.08 0 0 0

12.50 0.0311 0.0016 0.0061 -0.97 0.52 -0.51 0.17 0 4 -0.34 0.11 0 0 0

13.00 0.0355 0.0016 0.0061 -0.98 0.45 -0.44 0.13 0 2 -0.12 0.04 0 0 0

13.50 0.0399 0.0016 0.0061 -0.98 0.38 -0.37 0.10 0 4 -0.15 0.04 0 0 0

14.00 0.0444 0.0016 0.0061 -0.99 0.30 -0.29 0.07 0 2 -0.04 0.01 0 0 0

14.50 0.0488 0.0016 0.0061 -0.99 0.20 -0.20 0.03 0 4 -0.03 0.00 0 0 0

15.00 0.0532 0.0016 0.0061 -1.00 0.10 -0.10 0.00 0 1 0.00 0.00 0 0 0

SUMA -11.55 30.00 0 0 0


102

Reemplazando los valores de las sumatorias de las tablas 5.6 a 5.8 en las ecuaciones 5.4 a 5.13: Las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones son las siguientes: En el nudo B: (5.14) En el nudo C: (5.15)

Resolviendo estas 2 ecuaciones con 2 incógnitas se obtienen los momentos hiperestáticos MH,B, MH,C:

MH,B = 0.258*P MH,C = 0.258*P

Como el momento debido a carga de preesfuerzo MP en estructuras estáticamente indeterminadas es igual a la suma de los momentos estático ME e hiperestático MH (ver ecuaciones 4.46 y 4.47), se pueden realizar las gráficas de las figuras 5.10 a 5.12, que corresponden a la etapa de servicio..

0)()()( ,, DBCCH

DBB

IBBBH

DBO

IBO MM

0)()()( ,, DCC

ICCCH

ICBBH

DCO

ICO MM

0)33167.3()66334.699999.4()94339.192569.1( ,, CHBH MM

86907.3*33167.3*66334.11 ,, CHBH MM

0)99999.467333.6()33167.3()92545.194131.1( ,, CHBH MM

86676.3*67333.11*33167.3 ,, CHBH MM

92569.1)55412.11(3

50.0EII

BO 94339.1)74524.8(3

67.0EID

BO

99999.4)00000.30(3

50.0EII

BB 66334.6)98501.29(3

67.0EID

BB

94131.1)73590.8(3

67.0EII

CO 92545.1)55268.11(3

50.0EID

CO

67333.6)03001.30(3

67.0EII

CC 99999.4)00000.30(3

50.0EID

CC

33167.3)99249.14(3

67.0EII

CB 33167.3)99249.14(3

67.0EID

BC


103

Tabla 5.9. Momentos estático, hiperestático y de preesfuerzo, divididos por P en la etapa de servicio, para la viga del ejemplo 5.1.

LUZ 1 LUZ 2 LUZ 3 Me Mh Mp Me Mh Mp Me Mh Mp

(t*m) (t*m) (t*m) (t*m) (t*m) (t*m) (t*m) (t*m) (t*m) -0.09 0.00 -0.09 0.18 0.22 0.40 0.18 0.22 0.40 -0.17 0.01 -0.16 0.17 0.22 0.39 0.17 0.21 0.39 -0.25 0.01 -0.23 0.15 0.22 0.36 0.16 0.20 0.36 -0.32 0.02 -0.29 0.11 0.22 0.33 0.13 0.20 0.32 -0.38 0.03 -0.35 0.05 0.22 0.27 0.08 0.19 0.27 -0.43 0.04 -0.39 -0.01 0.22 0.21 0.02 0.18 0.20 -0.47 0.04 -0.43 -0.09 0.22 0.13 -0.05 0.18 0.12 -0.51 0.05 -0.46 -0.17 0.22 0.05 -0.13 0.17 0.04 -0.54 0.06 -0.48 -0.24 0.22 -0.02 -0.20 0.16 -0.04 -0.56 0.07 -0.50 -0.30 0.22 -0.08 -0.27 0.15 -0.12 -0.58 0.07 -0.50 -0.35 0.22 -0.13 -0.33 0.15 -0.19 -0.58 0.08 -0.50 -0.38 0.22 -0.17 -0.39 0.14 -0.25 -0.58 0.09 -0.50 -0.41 0.22 -0.19 -0.44 0.13 -0.30 -0.58 0.10 -0.48 -0.43 0.22 -0.21 -0.48 0.12 -0.35 -0.56 0.10 -0.46 -0.44 0.22 -0.22 -0.51 0.12 -0.40 -0.54 0.11 -0.43 -0.44 0.22 -0.22 -0.54 0.11 -0.43 -0.51 0.12 -0.40 -0.44 0.22 -0.22 -0.56 0.10 -0.46 -0.48 0.12 -0.35 -0.43 0.22 -0.21 -0.58 0.10 -0.48 -0.44 0.13 -0.30 -0.41 0.22 -0.19 -0.58 0.09 -0.50 -0.39 0.14 -0.25 -0.38 0.22 -0.17 -0.58 0.08 -0.50 -0.33 0.15 -0.19 -0.35 0.22 -0.13 -0.58 0.07 -0.50 -0.27 0.15 -0.12 -0.30 0.22 -0.08 -0.56 0.07 -0.50 -0.20 0.16 -0.04 -0.24 0.22 -0.02 -0.54 0.06 -0.48 -0.13 0.17 0.04 -0.17 0.22 0.05 -0.51 0.05 -0.46 -0.05 0.18 0.12 -0.09 0.22 0.13 -0.47 0.04 -0.43 0.02 0.18 0.20 -0.01 0.22 0.21 -0.43 0.04 -0.39 0.08 0.19 0.27 0.05 0.22 0.27 -0.38 0.03 -0.35 0.13 0.20 0.32 0.11 0.22 0.33 -0.32 0.02 -0.29 0.16 0.20 0.36 0.15 0.22 0.36 -0.25 0.01 -0.23 0.17 0.21 0.39 0.17 0.22 0.39 -0.17 0.01 -0.16 0.18 0.22 0.40 0.18 0.22 0.40 -0.08 0.00 -0.08

Figura 5.10. Diagrama de momento estático Me/P de la viga del ejemplo 5.1.


104

Figura 5.11. Diagrama de momento hiperestático Mh/P de la viga del ejemplo 5.1.

Figura 5.12. Diagrama de momento de preesfuerzo Mp/P de la viga del ejemplo 5.1.

5.1.8. Evaluación de la fuerza de preesfuerzo necesaria

Como los puntos de mayor demanda para peso propio fueron encontrados en la sección 5.1.5 (ver tabla 5.2), se hallan las fuerzas de preesfuerzo necesarias en estos puntos por el criterio de cumplimiento de máximo esfuerzo admisible a tracción del concreto en la etapa de servicio, empleando para ello las ecuaciones de la sección 4.3.8. Los valores respectivos de momentos flectores por peso propio, cargas sobreimpuestas y carga viva, para estos puntos de mayor demanda se muestran en la tabla 5.3. Para los apoyos 1 y 2, empleando la ecuación 4.48, para la fibra superior se tiene: Donde: adm,trac = (ver sección 3.2.5) Mp = Momento de preesfuerzo (ver figura 5.12). Mcm = Momento flector debido a carga muerta (peso propio más cargas sobreimpuestas) Mcv = Momento flector debido a la carga viva (ver tabla 5.3).

4422

0709.0

3112.0*)933.33397.13301.51(

0709.0

3112.0**399.0

6765.0

686.0/33.299

m

mt

m

mP

m

Pmt

I

YMM

I

YM

A

P sCVCMsptracadm

*)(*,

22 /299333/3506.1'6.1 mkgcmkgcf


105

Resolviendo la ecuación anterior, P = 48.36 t (compresión) Para las luces 1 y 3, empleando la ecuación 4.49, para la fibra inferior se tiene:

Resolviendo la ecuación anterior, P = 40.27 t (compresión) Para la luz 2, empleando la ecuación 4.49, para la fibra inferior se tiene:

Resolviendo la ecuación anterior, P = 123.01 t (compresión) Se toma como fuerza de preesfuerzo necesaria el máximo de los tres valores: P = 123.01 t.

Tabla 5.10. Fuerza de preesfuerzo necesaria en t=0, para la viga del ejemplo 5.1.

Punto P ( t )

Apoyo1 48.36

Apoyo2 48.36

Vano1 40.27

Vano2 123.01

Vano3 40.27

5.1.9. Estado inicial de esfuerzos en el concreto

5.1.9.1. Estado de esfuerzos en la etapa de servicio

Con las fuerzas de preesfuerzo encontradas en la sección anterior, se realiza la revisión del cumplimiento de esfuerzos admisibles de compresión en la etapa de servicio. Para los apoyos 1 y 2, empleando la ecuación 4.50, la revisión de esfuerzos en la fibra

inferior es:

4422

0709.0

7888.0*)643.21167.6615.23(

0709.0

7888.0**503.0

6765.0

796.0/33.299

m

mt

m

mP

m

Pmt

4422

0709.0

7888.0*)667.26803.7879.29(

0709.0

7888.0**225.0

6765.0

601.0/33.299

m

mt

m

mP

m

Pmt

I

YMM

I

YM

A

P iCVCMiptracadm

*)(*,

I

YMM

I

YM

A

P iCVCMiptracadm

*)(*,


106

Donde: adm,comp = -0.4 * f’c = -0.4 * 350 kg/cm2 = -140 kg/cm2 = -1400000 kg/m2 (sección 3.2.5) Para las luces 1 y 3, empleando la ecuación 4.51, la revisión de esfuerzos en la fibra

superior es:

Tabla 5.11. Resumen de esfuerzos iniciales en etapa de servicio para la viga del ejemplo 5.1.

REVISIÓN INICIAL DE ESFUERZOS EN ETAPA DE SERVICIO

Punto X (m) Fibra act.(kg/cm2) adm.(kg/cm2) Cumple Apoyo 1 15.0 Superior 29.93 29.93 Si Apoyo 1 15.0 Inferior -93.22 -140.00 Si Apoyo 2 35.0 Superior 29.93 29.93 Si Apoyo 2 35.0 Inferior -93.22 -140.00 Si Vano 1 5.4 Superior -18.42 -140.00 Si Vano 1 5.4 Inferior 29.93 29.93 Si Vano 2 25.0 Superior -27.05 -140.00 Si Vano 2 25.0 Inferior 29.93 29.93 Si Vano 3 44.6 Superior -18.42 -140.00 Si Vano 3 44.6 Inferior 29.93 29.93 Si

Para la luz 2, empleando la ecuación 4.51, la revisión de esfuerzos en la fibra superior

es:

442inf 0709.0

7888.0*)933.33397.13301.51(

0709.0

7888.0*36.48*399.0

6765.0

36.48*686.0

m

mt

m

m

m

t

""/0.1400/ 932.2 22inf Cumplemtmt

compadmiCVCMip

I

YMM

I

YM

A

P,inf

*)(*

""/0.1400/2.184 22sup Cumplemtmt

442sup0709.0

3112.0*)643.21167.6615.23(

0709.0

3112.0*27.40*503.0

6765.0

27.40*796.0

m

mt

m

m

m

t

compadmsCVCMsp

I

YMM

I

YM

A

P,sup

*)(*


compadmsCVCMsp

I

YMM

I

YM

A

P,sup

*)(*

442sup 0709.0

3112.0*)667.26803.7879.29(

0709.0

3112.0*01.123*225.0

6765.0

01.123*601.0

m

mt

m

m

m

t


107

5.1.9.2. Estado de esfuerzos en la transferencia

Para los apoyos 1 y 2, empleando las ecuaciones 4.48 y 4.50 se tiene:

En la fibra superior a tracción:

En la fibra inferior a compresión:

Donde: (Sección 3.2.5.2)

Para las luces 1 y 3, empleando las ecuaciones 4.49 y 4.51 se tiene: En la fibra inferior a tracción:

En la fibra superior a compresión:

442sup 0709.0

3112.0*)301.51(

0709.0

3112.0*36.48*469.0

6765.0

36.48*807.0

m

mt

m

m

m

t

I

YM

I

YM

A

P sCMsp **sup


compadmiCMip

I

YM

I

YM

A

P,inf

**

442inf0709.0

7888.0*)301.51(

0709.0

7888.0*36.48*469.0

6765.0

36.48*807.0

m

mt

m

m

m

kg

""/0.1540/3.763 22inf Cumplemtmt

442inf0709.0

7888.0*)62.23(

0709.0

7888.0*27.40*592.0

6765.0

27.40*936.0

m

mt

m

m

m

t

I

YM

I

YM

A

P iCMip **inf

compadmsCMsp

I

YM

I

YM

A

P,sup

**

442sup0709.0

3112.0*)62.23(

0709.0

3112.0*27.40*592.0

6765.0

27.40*936.0

m

mt

m

m

m

t

""/0.1540/54.7t 22sup Cumplemtm

22, /1540000/280*55.0'*55.0 mkgcmkgf cicompadm



108

Tabla 5.12. Resumen de esfuerzos iniciales en la transferencia para la viga del ejemplo 5.1.

REVISIÓN INICIAL DE ESFUERZOS EN LA TRANSFERENCIA

Punto X (m) Fibra act.(kg/cm2) adm.(kg/cm2) Cumple Apoyo 1 15.0 Superior 6.79 29.93 Si Apoyo 1 15.0 Inferior -37.63 -154.00 Si Apoyo 2 35.0 Superior 6.79 29.93 Si Apoyo 2 35.0 Inferior -37.63 -154.00 Si vano 1 5.4 Superior -5.47 -154.00 Si vano 1 5.4 Inferior -5.83 -154.00 Si vano 2 25.0 Superior -11.70 -154.00 Si vano 2 25.0 Inferior -15.78 -154.00 Si vano 3 44.6 Superior -5.47 -154.00 Si vano 3 44.6 Inferior -5.83 -154.00 Si

Para la luz 2:

En la fibra inferior a tracción:

En la fibra superior a compresión:

5.1.10. Diseño de los cables de preesfuerzo necesarios

El esfuerzo máximo admisible en la etapa de servicio para el acero de preesfuerzo es (ver sección 3.2.5.1):

442inf0709.0

7888.0*88.29

0709.0

7888.0*01.123*264.0

6765.0

01.123*707.0

m

mt

m

m

m

t

I

YM

I

YM

A

P iCMip **inf

compadmsCMsp

I

YM

I

YM

A

P,sup

**


442sup0709.0

3112.0*)88.29(

0709.0

3112.0*01.123*264.0

6765.0

01.123*707.0

m

mt

m

m

m

t

22, /12800/16000*80.0*80.0 cmkgcmkgff pyadmp

""/0.1540/57.8t1 22inf Cumplemtm


109

La fuerza máxima de preesfuerzo en la transferencia se da en la luz 2 y es Po,max = 123.01 t. Tomando torones de ½” con un área Asp = 0.987 cm2, se tiene:

Figura 5.13. Opciones de torones por cable desplegadas por CAVIP para el ejemplo 5.1.

Se elige 1 cable de 10 torones, con la siguiente fuerza de preesfuerzo: Pt=0 = 12800kg/cm2 * 0.987cm2 * 1 cable * 10 torones/cable = 126336 kg = 126.34 t

Tabla 5.13. Información cable escogido para la viga del ejemplo 5.1.

No Tramos cables 1 Xinicial (m) 0.0 Xfinal (m) 50.0 No.Cables 1 No.Tor/Cab 10 Po/Cable ( t ) 126.34 Aducto (cm2) 24.7 ducto (cm) 5.6

Verificación de sobretensión en los anclajes móviles: El esfuerzo máximo admisible en el acero de preesfuerzo (ver sección 3.2.5.1) es:

107.9987.0*/12800

123010

*.

22,

max, cmcmkg

kg

Af

PdeToronesNo

spadmp

o

22max, /14400/16000*90.0*90.0 cmkgcmkgff pyp

tPPP tt 39.107)100/15(1*34.126)100/(1*0


110

El esfuerzo que actúa en el acero de preesfuerzo en los anclajes es:

El área mínima y el diámetro mínimo del ducto son:

5.1.11. Pérdidas de la fuerza de preesfuerzo

En la tabla 5.14 se observan las pérdidas calculadas siguiendo lo indicado en las sección 3.3. Se tomó como media anual de la humedad relativa del ambiente RH un 70%.

Tabla 5.14. Pérdidas en la fuerza de preesfuerzo para la viga del ejemplo 5.1.

RESULTADO PÉRDIDAS EN Kg/cm2 Punto X(m) SH ES CRc CRs Suma Pérdidas(%)

Apoyo 1 15.0 364.0 0.0 25.1 1288.5 1677.7 16.2 Apoyo 2 35.0 364.0 0.0 25.1 1289.7 1678.8 16.2 Vano 1 5.4 364.0 0.0 845.3 1136.3 2345.6 19.6 Vano 2 25.0 364.0 0.0 335.5 1239.1 1938.6 21.4 Vano 3 44.6 364.0 0.0 845.3 1136.3 2345.6 19.6

Se toma el valor de 21.4% como porcentaje de pérdidas diferidas para toda la viga. En las tablas 5.15 a 5.17 se tiene la columna "Po_cuña", la cual contiene la fuerza de preesfuerzo con las pérdidas por corrimiento en el anclaje calculadas según sección 4.3.3.

5.1.12. Momentos estático, hiperestático y de preesfuerzo definitivos

Realizando el mismo proceso de integración numérica ejecutado en la sección 5.1.7 para una fuerza de preesfuerzo P = 1 t, mediante el uso de las ecuaciones 5.4 a 5.13, pero ahora con P = 126.34 t y E*I = 212*103 t*m2, resultan los datos de las tablas 5.15 a 5.17, en las cuales se observan los valores de la fuerza de preesfuerzo en la transferencia (valores con t=0) y etapa de servicio (valores con t=∞), así como los valores del momento estático, hiperestático y de preesfuerzo en cada 1/30 de cada luz de la viga. Con estos valores se procede a verificar el cumplimiento de esfuerzos admisibles en los puntos de mayor demanda por peso propio de la viga.

""/14400/12800987.0*10

126336

*.22

2

max,, Cumplecmkgcmkg

cm

kg

AToronesNo

Pf

sp

oyp

22min, 67.24987.0*10*5.2*/.*5.2 cmcmAcableToronesNoA torónducto

cmcmA

D ductoducto 6.5

67.24*4*4 2min,

min,


111

Tabla 5.15. Integración numérica final en la luz 1 del ejemplo 5.1.


112



113



114

5.1.13. Estado final de esfuerzos en el concreto


Para los apoyos 1 y 2: En la fibra superior a tracción es: En la fibra inferior a compresión es:

Para las luces 1 y 3: En la fibra inferior a tracción es:

En la fibra superior a compresión es:


442sup0709.0

3112.0*)643.21167.6615.23(

0709.0

3112.0*808.58

6765.0

958.92

m

mt

m

m

m

t

compadmsCVCMsp

I

YMM

I

YM

A

P,sup

*)(*

442sup0709.0

3112.0*)933.33397.13301.51(

0709.0

3112.0*516.46

6765.0

160.80

m

mt

m

m

m

t

tracadmsCVCMsp

I

YMM

I

YM

A

P,sup

*)(*


compadmiCVCMip

I

YMM

I

YM

A

P,inf

*)(*

442inf0709.0

7888.0*)933.33397.13301.51(

0709.0

7888.0*516.46

6765.0

160.80

m

mt

m

m

m

kg

""/0.1400/ 3.986 22inf Cumplemtmt

442inf0709.0

7888.0*)643.21167.6615.23(

0709.0

7888.0*808.58

6765.0

958.92

m

mt

m

m

m

t

I

YMM

I

YM

A

P iCVCMip *)(*inf

""/0.1400/ 5.219 22inf Cumplemtmt


115

Para la luz 2: En la fibra inferior a tracción es: En la fibra superior a compresión es:

Tabla 5.18. Resumen de esfuerzos finales en etapa de servicio para la viga del ejemplo 5.1.

REVISIÓN FINAL DE ESFUERZOS EN ETAPA DE SERVICIO

Punto X (m) Fibra act.(kg/cm2) adm.(kg/cm2) Cumple Apoyo 1 15.0 Superior 11.03 29.93 Si Apoyo 1 15.0 Inferior -69.83 -140.00 Si Apoyo 2 35.0 Superior 11.03 29.93 Si Apoyo 2 35.0 Inferior -69.83 -140.00 Si Vano 1 5.4 Superior -10.50 -140.00 Si Vano 1 5.4 Inferior -21.95 -140.00 Si Vano 2 25.0 Superior -27.09 -140.00 Si Vano 2 25.0 Inferior 31.99 29.93 No Vano 3 44.6 Superior -10.50 -140.00 Si Vano 3 44.6 Inferior -21.95 -140.00 Si


Para los apoyos 1 y 2: En la fibra superior a tracción es:

compadmsCVCMsp

I

YMM

I

YM

A

P,sup

*)(*

I

YMM

I

YM

A

P iCVCMip *)(*inf

442inf0709.0

7888.0*)667.26803.7879.29(

0709.0

7888.0*269.26

6765.0

177.70

m

mt

m

m

m

t

442sup0709.0

3112.0*)26667780329879(

0709.0

3112.0*269.26

6765.0

177.70

m

mkg

m

m

m

t


""/3.299/9.319 22inf CumpleNomtmt

442sup0709.0

3112.0*)301.51(

0709.0

3112.0*199.59

6765.0

016.102

m

mt

m

m

m

t

I

YM

I

YM

A

P sCMsp **sup



116

En la fibra inferior a compresión es: Para las luces 1 y 3: En la fibra inferior a tracción es: En la fibra superior a compresión es: Para la luz 2: En la fibra inferior a tracción es: En la fibra superior a compresión es:

442inf0709.0

7888.0*)301.51(

0709.0

7888.0*199.59

6765.0

016.102

m

mt

m

m

m

t


compadmiCMip

I

YM

I

YM

A

P,inf

**


442sup0709.0

3112.0*)615.23(

0709.0

3112.0*842.74

6765.0

303.118

m

mt

m

m

m

t

compadmsCMsp

I

YM

I

YM

A

P,sup

**

442inf0709.0

7888.0*)615.23(

0709.0

7888.0*842.74

6765.0

303.118

m

mt

m

m

m

t

I

YM

I

YM

A

P iCMip **inf

compadmsCMsp

I

YM

I

YM

A

P,sup

**

I

YM

I

YM

A

P iCMip **inf

442inf0709.0

7888.0*)879.29(

0709.0

7888.0*431.33

6765.0

312.89

m

mt

m

m

m

t




117

Tabla 5.19. Resumen de esfuerzos finales en la transferencia para la viga del ejemplo 5.1.

REVISIÓN FINAL DE ESFUERZOS EN LA TRANSFERENCIA

Punto X (m) Fibra act.(kg/cm2) adm.(kg/cm2) Cumple Apoyo 1 15.0 Superior -18.55 -154.00 Si Apoyo 1 15.0 Inferior -6.29 -154.00 Si Apoyo 2 35.0 Superior -18.55 -154.00 Si Apoyo 2 35.0 Inferior -6.29 -154.00 Si vano 1 5.4 Superior 5.00 29.93 Si vano 1 5.4 Inferior -74.48 -154.00 Si vano 2 25.0 Superior -11.64 -154.00 Si vano 2 25.0 Inferior -17.15 -154.00 Si vano 3 44.6 Superior 5.00 29.93 Si vano 3 44.6 Inferior -74.48 -154.00 Si

Como la viga con el cable de preesfuerzo seleccionado (1 cable de 10 torones de ½”) cumple con los esfuerzos admisibles estipulados en el CCDSP-95 en la transferencia, pero en la etapa de servicio en la fibra inferior del vano 2 se presenta un sobreefuerzo del 7% respecto del admisible, se considera que no es satisfactoria la sección de la viga y el preesfuerzo seleccionado. Analizando nuevamente el ejemplo, pero esta vez tomando una fuerza de preesfuerzo de 151.6 t (3 cables con 4 torones cada uno), se cumplen los esfuerzos del CCDSP-95 tanto en la transferencia como en la etapa de servicio. Sin embargo, como se menciona en la sección 4.2.11, el proceso completo implica la revisión en cuatro etapas constructivas y faltaría la verificación de una etapa intermedia, sobre sección simple, tomando el peso propio de la sección simple y una carga viva de 80 kg/m2 que representa la maquinaria y obreros, y otra etapa de servicio, sobre sección compuesta, tomando el peso propio de la sección; el programa CAVIP ejecuta estos cálculos completos y además permite al usuario la revisión en estas mismas etapas de los esfuerzos en cada 1/8 de luz del puente.

442sup0709.0

3112.0*)879.29(

0709.0

3112.0*431.33

6765.0

312.89

m

mt

m

m

m

t



118

5.2. Puente vehicular continuo de dos luces

Se desea revisar el cumplimiento de esfuerzos admisibles debido al peso propio, cargas sobreimpuestas y carga viva, del puente vehicular de la figura 5.14.

Figura 5.14. Puente vehicular continuo de dos luces.

5.2.1. Materiales empleados

Concreto: Resistencia del concreto durante la transferencia, f’ci = 315 kg/cm2 Resistencia del concreto en la etapa de servicio, f’c = 385 kg/cm2 Módulo de elasticidad del concreto, Ec: Acero de preesfuerzo: Esfuerzo de fluencia, fpy = 16000 kg/cm2

Esfuerzo de último, fpu = 18900 kg/cm2

25.135.1 kg/cm 3137015.38043.0*)/2400('043.0* MPamkgcfwE cc

Sección transversal viga

Elevación


119

5.2.2. Propiedades de la sección bruta de concreto

Área bruta de concreto, Ag = 6.14 m2 Distancia de la fibra inferior al eje centroidal, Yi = 1.4102 m Distancia de la fibra superior al eje centroidal, Ys = 0.7898 m Inercia sección respecto al eje centroidal, Ig = 4.28 m4 Ancho sección transversal, b = 13.0 m Altura, H = 2.20 m

5.2.3. Avalúo de cargas

Carga muerta: Peso propio de la sección 2.4 t/m3 * 6.14 m2 14.736 t/m Peso barandas 0.08 t/m * 2 0.160 t/m Peso carpeta asfáltica 2.2t/m3*0.05m*3 car*3.65m 1.205 t/m Peso total cargas sobreimpuestas 1.365 t/m Carga muerta total 16.101 t/m

Carga viva: Número de carriles cargados = 3 Reducción por número de carriles cargados simultáneamente = 0.90 (CCDSP-95, A.3.4.7.1) Para momento según la figura A.3.4B del CCDSP-95, para luces mayores o iguales a 28m, la línea de carga equivalente es: P = 12.0 t * 3carriles * 0.90 = 32.4 t 5.2.4. Reacciones en los apoyos

Empleando el método matricial, en la figura 5.2 se observa la numeración de los grados de libertad de la estructura.

mtL

W /44.1200

28405.1

200

285.1

mtcarrilesmtW /89.390.0*3*/44.1


120

Figura 5.15. Numeración de los grados de libertad del ejemplo 5.2.

La matriz de rigidez K0,1 del elemento 0-1 en t/m, empleando la ecuación 5.1 es:

4 5 1 6 7 2 481530.8 0 0 -481530.8 0 0 4

0 2517.4 50349.0 0 -2517.4 50349.0 5

0 50349.0 1342639.6 0 -50349.0 671319.8 1

-481530.8 0 0 481530.8 0 0 6

0 -2517.4 -50349.0 0 2517.4 -50349.0 7

0 50349.0 671319.8 0 -50349.0 1342639.6 2


6 7 2 8 9 3 481530.8 0 0 -481530.8 0 0 6

0 2517.4 50349.0 0 -2517.4 50349.0 7

0 50349.0 1342639.6 0 -50349.0 671319.8 2

-481530.8 0 0 481530.791 0 0 8

0 -2517.4 -50349.0 0 2517.4 -50349.0 9

0 50349.0 671319.8 0 -50349.0 1342639.6 3

Ensamblando las matrices de rigidez de los 2 elementos, la matriz de rigidez general K de la estructura, en t/m es:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1342640 671320 0 0 50349 0 -50349 0 0 1

671320 2685279 671320 0 50349 0 0 0 -50349 2

0 671320 1342640 0 0 0 50349 0 -50349 3

0 0 0 481531 0 -481531 0 0 0 4

50349 50349 0 0 2517 0 -2517 0 0 5

0 0 0 -481531 0 963062 0 -481531 0 6

-50349 0 50349 0 -2517 0 5035 0 -2517 7

0 0 0 0 0 -481531 0 481531 0 8

0 -50349 -50349 0 0 0 -2517 0 2517 9


121

Submatriz Kαα: Submatriz Kβα: 1 2 3 1 2 3

1342640 671320 0 1 0 0 0 4

671320 2685279 671320 2 50349 50349 0 5

0 671320 1342640 3 0 0 0 6

-50349 0 50349 7

0 0 0 8

0 -50349 -50349 9

Carga peso propio (D): Los vectores de acciones fijas FF en t son: Elemento 0-1 Elemento 1-2: Vector ensamblado:

0 4 0 6 1964.800 1

294.720 5 294.720 7 0 2

1964.800 1 1964.800 2 -1964.800 3

0 6 0 8 0 4

294.720 7 294.720 9 294.720 5

-1964.800 2 -1964.800 3 0 6

589.440 7

0 8

294.720 9

Subvector FF


1964.800 1 0 4 0 1 -1.463E-03 1

0 2 294.720 5 0 2 -8.629E-21 2

-1964.800 3 0 6 0 3 1.463E-03 3

589.440 7 0 8 294.720 9


0 4

221.040 5

0 6

736.800 7

0 8

221.040 9

UKFF F *

)(*1 FFFKU


122

Cargas sobreimpuestas (DS): Los vectores de acciones fijas FF en t son: Elemento 0-1 Elemento 1-2: Vector ensamblado:

0 4 0 6 181.933 1

27.290 5 27.290 7 0 2

181.933 1 181.933 2 -181.933 3

0 6 0 8 0 4

27.290 7 27.290 9 27.290 5

-181.933 2 -181.933 3 0 6

54.580 7

0 8

27.290 9

Subvector FF


181.933 1 0 4 0 1 -1.355E-04 1

0 2 27.290 5 0 2 1.383E-21 2

-181.933 3 0 6 0 3 1.355E-04 3

54.580 7 0 8 27.290 9


0 4

20.468 5

0 6

68.225 7

0 8

20.468 9

Tabla 5.20. Reacciones en los apoyos en t, para el puente del ejemplo 5.2.

Apoyo Peso Propio (D) Carga Sobreimpuesta (DS)

0 221.040 20.468

1 736.800 68.225

2 221.040 20.468

UKFF F *

)(*1 FFFKU


123

5.2.5. Diagramas de momento flector

En la figura 5.16, los momentos máximos positivos y negativos por peso propio se dan en las siguientes abscisas:

Tabla 5.21. Abscisas para momentos máximos absolutos por peso propio en la viga del ejemplo 5.2.

VANO X (m) M (t*m) APOYO X (m) M (t*m) 1 15 1657.8 1 40 -2947.2 2 65 1657.8

Figura 5.16. Diagramas de momento para peso propio del ejemplo 5.2.

Figura 5.17. Diagramas de momento para cargas sobreimpuestas del ejemplo 5.2.

Tabla 5.22. Momentos flectores máximos y mínimos en t*m para la viga del ejemplo 5.2.

PUNTO X (m) Peso Propio (D) Carga Sobreimpuesta (DS)

Vano1 15.0 1657.80 153.51

Apoyo1 40.0 -2947.20 -272.90

Vano2 65.0 1657.80 153.51


124

5.2.6. Factores de impacto

Estos factores se hallan siguiendo el procedimiento que aparece descrito en la sección 3.1.3, empleando la ecuación 3.1. Para las luces: Para el apoyo 1: 5.2.7. Diagramas de líneas de influencia

No se describe el proceso de realización de las líneas de influencia por ser extenso e inherente al conocimiento del ingeniero civil. Si se desea profundizar en este tema se recomienda ver la referencia 23.

5.2.7.1. Líneas de influencia de las reacciones en los apoyos

Siguiendo la numeración de apoyos de la figura 5.15, las gráficas de líneas de influencia de las reacciones en los apoyos son las que aparecen en las figuras 5.18 y 5.19.

Figura 5.18. Línea de influencia de la reacción en el apoyo 0 del ejemplo 5.2.

Figura 5.19. Línea de influencia de la reacción en el apoyo 1 del ejemplo 5.2.

2.04040

16

40

16

LI

2.040]2/)4040[(

16

40]2/)[(

16

21

LL

I


125

5.2.7.2. Líneas de influencia de momentos flectores

Las cargas obtenidas en la sección 5.2.3 se aplican sobre la viga de tal manera que se produzcan los máximos efectos.

Figura 5.20. Línea de influencia del momento flector en el apoyo 1 y carga para momento flector máximo negativo en la viga del ejemplo 5.2.

M1,max (-) = 1.20 * {2* [(-100) * 3.89 + (-3.85) * 32.4] } = -1232.5 t*m

Figura 5.21. Línea de influencia del momento flector en x = 15m y carga para momento flector máximo positivo en la viga del ejemplo 5.2.

M1,max (+) = 1.2 * [150.1 * 3.89 + 7.97 * 32.4] = 1010.3 t*m

0 1 2

A=-100 t*m2 A=-100 t*m2

A=150.1 t*m2 A=-37.5 t*m2


126

Figura 5.22. Línea de influencia del momento flector en x = 65m y carga para momento flector máximo positivo en la viga del ejemplo 5.2.

M1,max (+) = 1.2 * [150.1 * 3.89 + 7.98 * 32.4] = 1010.3 t*m 5.2.8. Trayectoria del cable de preesfuerzo

5.2.8.1. Trayectoria cable en la primera luz

Tomando los tramos mostrados en la figura 4.37, se tiene: Recubrimiento superior cable = 0.05 m Recubrimiento inferior cable = 0.05 m eA = 0.15 m eB = Yi – Recub. inf = 1.4102 m – 0.05 m = 1.3602 m eD = -(Ys – Recub. Sup) = -(0.7898 m – 0.05 m) = - 0.7398 m

Figura 5.23. Trayectoria cable en la primera luz exterior del puente del ejemplo 5.2.

A=150.1 t*m2 A=-37.5 t*m2


127

En el punto de inflexión C se tiene:

Tramo AB: La ecuación para el tramo entre los puntos A y B (0 ≤ x ≤ 16m) es:

. La primera derivada de la ecuación anterior con respecto a x, dex/dx = tan α, y α ≈ tan α; por lo tanto la ecuación para hallar el ángulo α en el tramo AB es: Tramo BC: Para el tramo entre los puntos B y C (16m ≤ x ≤ 24m) se tiene:

La ecuación para el ángulo formado por el cable en el tramo BC es: Tramo CD: La ecuación para el tramo entre los puntos C y D (24m ≤ x ≤ 40m) es:

La ecuación para el ángulo formado por el cable en el tramo CD es:

mee

ee BDDc 0398.0

4.01

3602.17398.02.07398.0

11

15.040*4.0

)15.03602.1(2

)40*4.0(

15.03602.1)(2

)(2

22

2

xxex

L

eex

L

eee A

ABABx

DBDBDBD

x eee

xL

eex

L

eee

)1(

)(

)1(

)(2

)1( 11

22

1

BBDBDBD

x eee

xL

eex

L

eee

)1)(1(

)(

)1)(1(

)(2

)1)(1( 1

2

1

22

1

15.0151275.0004727.0 2 xxex

3602.1)2.04.01)(4.01(

)3602.17398.0(4.0

40*)2.04.01)(4.01(

)3602.17398.0(4.0*2

40*)2.04.01)(4.01(

3602.17398.0 22

2

xxex

0398.0175.0005469.0 2 xxex

7398.0)4.01(2.0

)3602.17398.0(

40*)4.01(2.0

)3602.17398.0(2

40*)4.01(2.0

3602.17398.0 22

xxex

7602.16875.0010938.0 2 xxex

151275.0009454.0 x

175.00.010938 x

875.00.021876 x


128

Tabla 5.23. Excentricidades del cable de preesfuerzo en la primera luz.

Tramo AB

X (m) 0.00 1.33 2.67 4.00 5.33 6.66 8.00 9.33 10.66 12.00 13.33 14.66 16.00

e (m) 0.150 0.343 0.520 0.679 0.822 0.948 1.057 1.150 1.226 1.284 1.326 1.352 1.360

Tramo BC

X (m) 16.00 17.33 18.66 20.00 21.33 22.66 24.00

e (m) 1.360 1.351 1.321 1.273 1.205 1.118 1.011

Tramo CD

X (m) 24.00 25.33 26.66 28.00 29.33 30.66 32.00 33.33 34.66 36.00 37.32 38.66 40.00

e (m) 1.011 0.884 0.739 0.574 0.389 0.185 -0.038 -0.252 -0.428 -0.564 -0.661 -0.720 -0.740

Figura 5.24. Trayectoria del preesfuerzo en la viga del ejemplo 5.2.

5.2.9. Cálculo del momento flector debido al preesfuerzo

La fuerza de preesfuerzo en los anclajes activos de ambos extremos del cable es igual a P, para este caso las pérdidas supuestas inicialmente en la etapa de servicio son iguales al 10% y para la determinación de las pérdidas en la transferencia se tiene: Coeficiente de fricción, μ = 0.20 Coeficiente de curvatura involuntaria, k = 0.003 rad/m Penetración de cuña = 1 mm La viga tiene grado de indeterminación estática de 1. Para resolverla, se introduce una articulación en el nudos B (estructura primaria) y luego se aplica un momento unitario en este nudo, como se muestra en la figura 5.25..


129

Figura 5.25. Rotaciones debidas a la fuerza de preesfuerzo y a momento unitario en viga del ejemplo 5.2.

En la luz 1 se tiene: En la luz 2: Los resultados se encuentran en las tablas 5.24 y 5.25, tomando E*I igual a 1 y en la columna "P" se encuentra la fuerza de preesfuerzo tomada como 1.0 t en los anclajes con las pérdidas por fricción y curvatura involuntaria calculadas según 4.3.3.2. Para encontrar los giros respectivos, se emplea integración numérica por medio de la Regla de Simpson (ver anexo 1), así: (5.16) (5.17)

(5.18) (5.19)

m

x

L

xm

BCB 40

11

B

AB

ABIBO mePS

XEI ))(*(*

3

C

BB

BCDBO mePS

XEI ))(*(*

3

B

AB

ABIBB mS

XEI 2)(*

3

C

BB

BCDBB mS

XEI 2)(*

3

m

x

L

xm

ABB 40


130


Xvano (K*X) X P e P*e mB S S*P*e SmB*

(m) (kg) (m) (kg*m) (kg*m) *mB/EI mB/EI

0.00 0.0303 0.0000 0.0000 -1.00 0.15 -0.15 0.00 1 0.00 0.00

1.33 0.0277 0.0040 0.0065 -0.99 0.34 -0.34 0.03 4 -0.05 0.00

2.67 0.0252 0.0040 0.0065 -0.99 0.52 -0.51 0.07 2 -0.07 0.01

4.00 0.0227 0.0040 0.0065 -0.98 0.68 -0.67 0.10 4 -0.27 0.04

5.33 0.0202 0.0040 0.0065 -0.97 0.82 -0.80 0.13 2 -0.21 0.04

6.66 0.0177 0.0040 0.0065 -0.97 0.95 -0.92 0.17 4 -0.61 0.11

8.00 0.0151 0.0040 0.0065 -0.96 1.06 -1.02 0.20 2 -0.41 0.08

9.33 0.0126 0.0040 0.0065 -0.96 1.15 -1.10 0.23 4 -1.03 0.22

10.66 0.0101 0.0040 0.0065 -0.95 1.23 -1.16 0.27 2 -0.62 0.14

12.00 0.0076 0.0040 0.0065 -0.94 1.28 -1.21 0.30 4 -1.45 0.36

13.33 0.0050 0.0040 0.0065 -0.94 1.33 -1.24 0.33 2 -0.83 0.22

14.66 0.0025 0.0040 0.0065 -0.93 1.35 -1.26 0.37 4 -1.84 0.54

16.00 0.0000 0.0040 0.0065 -0.92 1.36 -1.26 0.40 2 -1.01 0.32

17.33 -0.0029 0.0040 0.0069 -0.92 1.35 -1.24 0.43 4 -2.15 0.75

18.66 -0.0058 0.0040 0.0069 -0.91 1.32 -1.21 0.47 2 -1.12 0.44

20.00 -0.0087 0.0040 0.0069 -0.91 1.27 -1.15 0.50 4 -2.31 1.00

21.33 -0.0117 0.0040 0.0069 -0.90 1.20 -1.08 0.53 2 -1.16 0.57

22.66 -0.0146 0.0040 0.0069 -0.89 1.12 -1.00 0.57 4 -2.26 1.28

23.99 -0.0175 0.0040 0.0069 -0.89 1.01 -0.90 0.60 2 -1.08 0.72

25.33 -0.0204 0.0040 0.0069 -0.88 0.88 -0.78 0.63 4 -1.97 1.60

26.66 -0.0233 0.0040 0.0069 -0.87 0.74 -0.65 0.67 2 -0.86 0.89

27.99 -0.0262 0.0040 0.0069 -0.87 0.57 -0.50 0.70 4 -1.40 1.96

29.33 -0.0292 0.0040 0.0069 -0.86 0.39 -0.34 0.73 2 -0.49 1.08

30.66 -0.0321 0.0040 0.0069 -0.86 0.19 -0.16 0.77 4 -0.49 2.35

31.99 -0.0350 0.0040 0.0069 -0.85 -0.04 0.03 0.80 2 0.05 1.28

33.33 -0.0292 0.0040 0.0098 -0.84 -0.25 0.21 0.83 4 0.71 2.78

34.66 -0.0234 0.0040 0.0098 -0.83 -0.43 0.36 0.87 2 0.62 1.50

35.99 -0.0175 0.0040 0.0098 -0.83 -0.56 0.47 0.90 4 1.68 3.24

37.32 -0.0117 0.0040 0.0098 -0.82 -0.66 0.54 0.93 2 1.01 1.74

38.66 -0.0059 0.0040 0.0098 -0.81 -0.72 0.58 0.97 4 2.26 3.74

39.99 0.0000 0.0040 0.0098 -0.80 -0.74 0.59 1.00 1 0.59 1.00

SUMA -16.76 29.99


131


Xvano (K*X) X P e P*e mB S S*P*e SmB*

(m) (kg) (m) (kg*m) (kg*m) *mB/EI mB/EI

0.00 0.0000 0.0000 0.0000 -0.80 -0.74 0.59 1.00 1 0.59 1.00

1.33 -0.0058 0.0040 0.0098 -0.81 -0.72 0.58 0.97 4 2.26 3.74

2.67 -0.0117 0.0040 0.0098 -0.82 -0.66 0.54 0.93 2 1.01 1.74

4.00 -0.0175 0.0040 0.0098 -0.83 -0.56 0.47 0.90 4 1.68 3.24

5.33 -0.0233 0.0040 0.0098 -0.83 -0.43 0.36 0.87 2 0.62 1.50

6.66 -0.0292 0.0040 0.0098 -0.84 -0.25 0.21 0.83 4 0.71 2.78

8.00 -0.0350 0.0040 0.0098 -0.85 -0.04 0.03 0.80 2 0.05 1.28

9.33 -0.0321 0.0040 0.0069 -0.86 0.18 -0.16 0.77 4 -0.48 2.35

10.66 -0.0292 0.0040 0.0069 -0.86 0.39 -0.33 0.73 2 -0.49 1.08

12.00 -0.0263 0.0040 0.0069 -0.87 0.57 -0.50 0.70 4 -1.39 1.96

13.33 -0.0233 0.0040 0.0069 -0.87 0.74 -0.65 0.67 2 -0.86 0.89

14.66 -0.0204 0.0040 0.0069 -0.88 0.88 -0.78 0.63 4 -1.97 1.60

16.00 -0.0175 0.0040 0.0069 -0.89 1.01 -0.90 0.60 2 -1.08 0.72

17.33 -0.0146 0.0040 0.0069 -0.89 1.12 -1.00 0.57 4 -2.26 1.28

18.66 -0.0117 0.0040 0.0069 -0.90 1.20 -1.08 0.53 2 -1.16 0.57

20.00 -0.0088 0.0040 0.0069 -0.91 1.27 -1.15 0.50 4 -2.31 1.00

21.33 -0.0058 0.0040 0.0069 -0.91 1.32 -1.20 0.47 2 -1.12 0.44

22.66 -0.0029 0.0040 0.0069 -0.92 1.35 -1.24 0.43 4 -2.15 0.75

23.99 0.0000 0.0040 0.0069 -0.92 1.36 -1.26 0.40 2 -1.01 0.32

25.33 0.0025 0.0040 0.0065 -0.93 1.35 -1.26 0.37 4 -1.85 0.54

26.66 0.0050 0.0040 0.0065 -0.94 1.33 -1.24 0.33 2 -0.83 0.22

27.99 0.0076 0.0040 0.0065 -0.94 1.28 -1.21 0.30 4 -1.45 0.36

29.33 0.0101 0.0040 0.0065 -0.95 1.23 -1.16 0.27 2 -0.62 0.14

30.66 0.0126 0.0040 0.0065 -0.96 1.15 -1.10 0.23 4 -1.03 0.22

31.99 0.0151 0.0040 0.0065 -0.96 1.06 -1.02 0.20 2 -0.41 0.08

33.33 0.0176 0.0040 0.0065 -0.97 0.95 -0.92 0.17 4 -0.61 0.11

34.66 0.0202 0.0040 0.0065 -0.97 0.82 -0.80 0.13 2 -0.21 0.04

35.99 0.0227 0.0040 0.0065 -0.98 0.68 -0.67 0.10 4 -0.27 0.04

37.32 0.0252 0.0040 0.0065 -0.99 0.52 -0.51 0.07 2 -0.07 0.01

38.66 0.0277 0.0040 0.0065 -0.99 0.34 -0.34 0.03 4 -0.05 0.00

39.99 0.0302 0.0040 0.0065 -1.00 0.15 -0.15 0.00 1 0.00 0.00

SUMA -16.74 30.01

Reemplazando los valores de las sumatorias de las tablas 5.24 y 5.25 en las ecuaciones 5.16 a 5.19:

44.7)7.16(3

33.1EII

BO 44.7)7.16(3

33.1EID

BO


132

La ecuación de compatibilidad de deformaciones en el nudo B es la siguiente: (5.20) El momento hiperestático MH,B = 0.558*P

Tabla 5.26. Momentos estático, hiperestático y de preesfuerzo, divididos por P en la etapa de servicio, para la viga del ejemplo 5.2.

LUZ 1 LUZ 2 X Me Mh Mp X Me Mh Mp

(m) (t*m) (t*m) (t*m) (m) (t*m) (t*m) (t*m) 0.00 -0.14 0.00 -0.14 0.00 0.53 0.50 1.04 1.33 -0.31 0.02 -0.29 1.33 0.53 0.49 1.01 2.67 -0.46 0.03 -0.43 2.67 0.49 0.47 0.96 4.00 -0.60 0.05 -0.55 4.00 0.42 0.45 0.87 5.33 -0.72 0.07 -0.65 5.33 0.32 0.44 0.76 6.66 -0.83 0.08 -0.74 6.66 0.19 0.42 0.61 8.00 -0.92 0.10 -0.81 8.00 0.03 0.40 0.43 9.33 -0.99 0.12 -0.87 9.33 -0.14 0.39 0.24 10.66 -1.05 0.13 -0.91 10.66 -0.30 0.37 0.07 12.00 -1.09 0.15 -0.94 12.00 -0.45 0.35 -0.10 13.33 -1.12 0.17 -0.95 13.33 -0.58 0.33 -0.25 14.66 -1.13 0.18 -0.95 14.66 -0.70 0.32 -0.38 16.00 -1.13 0.20 -0.93 16.00 -0.81 0.30 -0.51 17.33 -1.12 0.22 -0.90 17.33 -0.90 0.28 -0.61 18.66 -1.08 0.23 -0.85 18.66 -0.98 0.27 -0.71 20.00 -1.04 0.25 -0.79 20.00 -1.04 0.25 -0.79 21.33 -0.98 0.27 -0.71 21.33 -1.08 0.23 -0.85 22.66 -0.90 0.28 -0.61 22.66 -1.12 0.22 -0.90 23.99 -0.81 0.30 -0.51 23.99 -1.13 0.20 -0.93 25.33 -0.70 0.32 -0.38 25.33 -1.13 0.18 -0.95 26.66 -0.58 0.33 -0.25 26.66 -1.12 0.17 -0.95 27.99 -0.45 0.35 -0.10 27.99 -1.09 0.15 -0.94 29.33 -0.30 0.37 0.07 29.33 -1.05 0.13 -0.91 30.66 -0.14 0.38 0.24 30.66 -0.99 0.12 -0.87 31.99 0.03 0.40 0.43 31.99 -0.92 0.10 -0.81 33.33 0.19 0.42 0.61 33.33 -0.83 0.08 -0.74 34.66 0.32 0.44 0.76 34.66 -0.72 0.07 -0.65 35.99 0.42 0.45 0.87 35.99 -0.60 0.05 -0.55 37.32 0.49 0.47 0.96 37.32 -0.46 0.03 -0.43 38.66 0.53 0.49 1.01 38.66 -0.31 0.02 -0.29 40.00 0.53 0.50 1.04 40.00 -0.14 0.00 -0.13

0)()( , DBB

IBBBH

DBO

IBO M

0)33.1333.13()44.744.7( , BHM

88.14*6.26 , BHM

33.13)30(3

33.1EII

BB 33.13)30(3

33.1EID

BB


133

Como el momento debido a carga de preesfuerzo MP en estructuras estáticamente indeterminadas es igual a la suma de los momentos estático ME e hiperestático MH (ver ecuaciones 4.46 y 4.47), se pueden realizar las gráficas de las figuras 5.26 a 5.28, que corresponden a la etapa de servicio.

Figura 5.26. Diagrama de momento estático Me/P de la viga del ejemplo 5.2.

Figura 5.27. Diagrama de momento hiperestático Mh/P de la viga del ejemplo 5.2.

Figura 5.28. Diagrama de momento de preesfuerzo Mp/P de la viga del ejemplo 5.2.

5.2.10. Evaluación de la fuerza de preesfuerzo necesaria

Como los puntos de mayor demanda para peso propio fueron encontrados en la sección 5.2.5 (ver tabla 5.21), se hallan las fuerzas de preesfuerzo necesarias en estos puntos por el criterio de cumplimiento de máximo esfuerzo admisible a tracción del concreto en la etapa


134

de servicio, empleando para ello las ecuaciones de la sección 4.3.8. Los valores respectivos de momentos flectores por peso propio y cargas sobreimpuestas, para estos puntos de mayor demanda se muestran en la tabla 5.22, y los momentos máximos para carga viva fueron calculados en la sección 5.2.7.2.

Para el apoyo 1, empleando la ecuación 4.48, para la fibra superior se tiene: Donde: adm,trac = (ver sección 3.2.5) Mp = Momento de preesfuerzo (ver figura 5.28). Mcm = Momento flector debido a carga muerta (peso propio más cargas sobreimpuestas) Mcv = Momento flector debido a la carga viva (ver sección 5.2.7.2).

Resolviendo la ecuación anterior, P = 1643.9 t (compresión) Para las luces 1 y 2, empleando la ecuación 4.49, para la fibra inferior se tiene:

Resolviendo la ecuación anterior, P = 1376.9 t (compresión) Se toma como fuerza de preesfuerzo necesaria el máximo de los dos valores: P = 1643.9 t.

Tabla 5.27. Fuerza de preesfuerzo necesaria en t=0 para la viga del ejemplo 5.2.

Punto P ( t )

Apoyo1 1643.9

Vano1 1376.9

Vano2 1376.9

4422

28.4

7898.0*)5.12329.2722.2947(

28.4

7898.0**036.1

14.6

722.0/94.313

m

t

m

P

m

Pmt

4422

28.4

4102.1*)3.10105.1538.1657(

28.4

4102.1**944.0

14.6

836.0/94.313

m

t

m

P

m

Pmt

I

YMM

I

YM

A

P sCVCMsptracadm

*)(*,

I

YMM

I

YM

A

P iCVCMiptracadm

*)(*,

22 /313943/3856.1'6.1 mkgcmkgcf


135

5.2.11. Estado inicial de esfuerzos en el concreto


Con las fuerzas de preesfuerzo encontradas en la sección anterior, se realiza la revisión del cumplimiento de esfuerzos admisibles de compresión en la etapa de servicio. Para el apoyo 1, empleando la ecuación 4.50, la revisión de esfuerzos en la fibra inferior

es: Donde: adm,comp = -0.4 * f’c = -0.4 * 385 kg/cm2 = -154 kg/cm2 = -1540000 kg/m2 (sección 3.2.5) Para las luces 1 y 2, empleando la ecuación 4.51, la revisión de esfuerzos en la fibra

superior es:

Tabla 5.28. Resumen de esfuerzos iniciales en etapa de servicio para la viga del ejemplo 5.2.

REVISIÓN INICIAL DE ESFUERZOS EN ETAPA DE SERVICIO

Punto X (m) Fibra act.(kg/cm2) adm.(kg/cm2) Cumple Apoyo 1 40.0 Superior 31.39 31.39 Si Apoyo 1 40.0 Inferior -109.91 -154.00 Si Vano 1 15.0 Superior -46.83 -154.00 Si Vano 1 15.0 Inferior 31.39 31.39 Si Vano 2 65.0 Superior -46.84 -154.00 Si Vano 2 65.0 Inferior 31.39 31.39 Si

442inf28.4

41402.1*)5.12329.2722.2947(

28.4

4102.1*9.1643*036.1

14.6

9.1643*722.0

m

t

mm

t

""/0.1540/1.0991 22inf Cumplemtmt

compadmiCVCMip

I

YMM

I

YM

A

P,inf

*)(*


442sup28.4

7898.0*)3.10105.1538.1657(

28.4

7898.0*9.1376*944.0

14.6

9.1376*836.0

m

t

mm

compadmsCVCMsp

I

YMM

I

YM

A

P,sup

*)(*


136


Para el apoyo 1, empleando las ecuaciones 4.48 y 4.50 se tiene:

En la fibra superior a tracción:

En la fibra inferior a compresión:

Donde: (Sección 3.2.5.2)

Para las luces 1 y 2, empleando las ecuaciones 4.49 y 4.51 se tiene: En la fibra inferior a tracción: En la fibra superior a compresión:

442sup28.4

7898.0*)2.2947(

28.4

7898.0*9.1643*151.1

14.6

9.1643*802.0

m

t

mm

t

I

YM

I

YM

A

P sCMsp **sup

compadmiCMip

I

YM

I

YM

A

P,inf

**

442inf28.4

41402.1*)2.2947(

28.4

4102.1*9.1643*151.1

14.6

9.1643*802.0

m

t

mm

t

""/1732.5t/562.2t 22inf Cumplemm

442inf28.4

4102.1*8.1657

28.4

4102.1*9.1376*049.1

14.6

9.1376*929.0

mmm

t

I

YM

I

YM

A

P iCMip **inf

compadmsCMsp

I

YM

I

YM

A

P,sup

**

442sup28.4

7898.0*8.1657

28.4

7898.0*9.1376*049.1

14.6

9.1376*929.0

mmm

t

""/1732.5t/247.7t 22sup Cumplemm

22, /1732500/315*55.0'*55.0 mkgcmkgf cicompadm

""/1732.5t/20.3 22sup Cumplemmt

""/1732.5t/138.0t 22inf Cumplemm


137

Tabla 5.29. Resumen de esfuerzos iniciales en la transferencia para la viga del ejemplo 5.2.

REVISIÓN INICIAL DE ESFUERZOS EN LA TRANSFERENCIA

Punto X (m) Fibra act.(kg/cm2) adm.(kg/cm2) Cumple Apoyo 1 40.0 Superior -2.03 -173.25 Si Apoyo 1 40.0 Inferior -56.22 -173.25 Si vano 1 15.0 Superior -24.77 -173.25 Si vano 1 15.0 Inferior -13.80 -173.25 Si vano 2 65.0 Superior -24.78 -173.25 Si vano 2 65.0 Inferior -13.80 -173.25 Si

5.2.12. Diseño de los cables de preesfuerzo necesarios

El esfuerzo máximo admisible en la etapa de servicio para el acero de preesfuerzo es (ver sección 3.2.5.1): La fuerza máxima de preesfuerzo en la transferencia se da en el apoyo 1 y es Po,max = 1643.90 t. Tomando torones de 5/8” con un área Asp = 1.4 cm2, se tiene:

Figura 5.29. Opciones de torones por cable desplegadas por CAVIP para el ejemplo 5.2.

22, /12800/16000*80.0*80.0 cmkgcmkgff pyadmp

927.914.1*/12800

1643900

*.

22,

max, cmcmkg

kg

Af

PdeToronesNo

spadmp

o


138

Se eligen 6 cables de 16 torones cada uno, con la siguiente fuerza de preesfuerzo: Pt=0 = 12800kg/cm2 * 1.4cm2 * 6 cable * 16 torones/cable = 1720320 kg = 1720.32 t

Tabla 5.30. Información cable escogido para la viga del ejemplo 5.2.

No Tramos cables 1 Xinicial (m) 0.0 Xfinal (m) 80.0 No.Cables 6 No.Tor/Cab 16 Po/Cable ( t ) 286.7 Aducto (cm2) 56 ducto (cm) 8.4

Verificación de sobretensión en los anclajes móviles: El esfuerzo máximo admisible en el acero de preesfuerzo (ver sección 3.2.5.1) es:

El esfuerzo que actúa en el acero de preesfuerzo en los anclajes es:

El área mínima y el diámetro mínimo del ducto son:

5.2.13. Pérdidas de la fuerza de preesfuerzo

En la tabla 5.31 se observan las pérdidas calculadas siguiendo lo indicado en las sección 3.3. Se tomó como media anual de la humedad relativa del ambiente RH un 80%. Se toma el valor de 19.4% como porcentaje de pérdidas diferidas para toda la viga. En las tablas 5.32 y 5.33 se tiene la columna "Po_cuña", la cual contiene la fuerza de preesfuerzo con las pérdidas por corrimiento en el anclaje calculadas según sección 4.3.3.

22max, /14400/16000*90.0*90.0 cmkgcmkgff pyp

""/14400/128004.1*96

1720320

*.22

2

max,, Cumplecmkgcmkg

cm

kg

AToronesNo

Pf

sp

oyp

22min, 564.1*16*5.2*/.*5.2 cmcmAcableToronesNoA torónducto

cmcmA

D ductoducto 4.8

56*4*4 2min,

min,

tPPP tt 29.1548)100/10(1*32.1720)100/(1*0


139

Tabla 5.31. Pérdidas en la fuerza de preesfuerzo para la viga del ejemplo 5.2.

RESULTADO PÉRDIDAS EN Kg/cm2 Punto X(m) SH ES CRc CRs Suma Pérdidas(%)

Apoyo 1 40.0 280.0 134.2 0.0 1260.2 1674.4 16.3 Vano 1 15.0 280.0 105.0 805.5 1117.7 2308.2 19.4 Vano 2 65.0 280.0 105.0 805.4 1117.4 2307.8 19.4

5.2.14. Momentos estático, hiperestático y de preesfuerzo definitivos

Realizando el mismo proceso de integración numérica ejecutado en la sección 5.2.9 para una fuerza de preesfuerzo P = 1 t, mediante el uso de las ecuaciones 5.16 a 5.19, pero ahora con P = 1720.3 t y E*I = 13426*103 t*m2, resultan los datos de las tablas 5.31 y 5.32, en las cuales se observan los valores de la fuerza de preesfuerzo en la transferencia (valores con t=0) y etapa de servicio (valores con t=∞), así como los valores del momento estático, hiperestático y de preesfuerzo en cada 1/30 de cada luz de la viga. Con estos valores se procede a verificar el cumplimiento de esfuerzos admisibles en los puntos de mayor demanda por peso propio de la viga. 5.2.15. Estado final de esfuerzos en el concreto


Para el apoyo 1: En la fibra superior a tracción es: En la fibra inferior a compresión es:

442sup28.4

7898.0*)5.12329.2722.2947(

28.4

7898.0*1596.1

14.6

1112.4t

m

m

m

m

m

tracadmsCVCMsp

I

YMM

I

YM

A

P,sup

*)(*

""/313.9t/345.9t 22sup CumpleNomm

442inf28.4

4102.1*)5.12329.2722.2947(

28.4

4102.1*1596.1

14.6

1112.4t

m

m

m

m

m

""/0.1540/1122.3t 22inf Cumplemtm

compadmiCVCMip

I

YMM

I

YM

A

P,inf

*)(*


140



141



142

Para las luces 1 y 2: En la fibra inferior a tracción es: En la fibra superior a compresión es:

Tabla 5.34. Resumen de esfuerzos finales en etapa de servicio para la viga del ejemplo 5.2.

REVISIÓN FINAL DE ESFUERZOS EN ETAPA DE SERVICIO

Punto X (m) Fibra act.(kg/cm2) adm.(kg/cm2) Cumple Apoyo 1 40.0 Superior 34.59 31.39 No Apoyo 1 40.0 Inferior -112.23 -154.00 Si Vano 1 15.0 Superior -46.21 -154.00 Si Vano 1 15.0 Inferior 24.06 31.39 Si Vano 2 65.0 Superior -46.22 -154.00 Si Vano 2 65.0 Inferior 24.07 31.39 Si


Para el apoyo 1: En la fibra superior a tracción es: En la fibra inferior a compresión es:


442sup28.4

7898.0*)3.10105.1538.1657(

28.4

7898.0*4.1454

14.6

4.1288

mmm

t

compadmsCVCMsp

I

YMM

I

YM

A

P,sup

*)(*

442inf28.4

4102.1*)3.10105.1538.1657(

28.4

4102.1*4.1454

14.6

4.1288

mmm

t

I

YMM

I

YM

A

P iCVCMip *)(*inf


compadmiCMip

I

YM

I

YM

A

P,inf

**

442sup28.4

7898.0*)2.2947(

28.4

7898.0*1980.4

14.6

1380.2t

m

mt

m

m

m

I

YM

I

YM

A

P sCMsp **sup



143

Para las luces 1 y 2: En la fibra inferior a tracción es: En la fibra superior a compresión es:

Tabla 5.35. Resumen de esfuerzos finales en la transferencia para la viga del ejemplo 5.2.

REVISIÓN FINAL DE ESFUERZOS EN LA TRANSFERENCIA

Punto X (m) Fibra act.(kg/cm2) adm.(kg/cm2) Cumple Apoyo 1 40.0 Superior -4.64 -173.25 Si Apoyo 1 40.0 Inferior -54.33 -173.25 Si vano 1 15.0 Superior -23.33 -173.25 Si vano 1 15.0 Inferior -30.87 -173.25 Si vano 2 65.0 Superior -23.33 -173.25 Si vano 2 65.0 Inferior -30.87 -173.25 Si

Como la viga con los cables de preesfuerzo seleccionados (6 cables de 16 torones de 5/8” cada uno) cumple con los esfuerzos admisibles estipulados en el CCDSP-95 en la transferencia, pero no en la etapa de servicio, se considera que no es satisfactoria la sección de la viga y el preesfuerzo seleccionado. Realizando nuevamente el proceso de análisis de esfuerzos con 10 cables de 10 torones de 5/8” cada uno, se cumple con los esfuerzos admisibles estipulados en el CCDSP-95 en la transferencia y en la etapa de servicio. .

442inf28.4

4102.1*)2.2947(

28.4

4102.1*1980.4

14.6

1380.2t

m

mt

m

m

m


""/5.1732/233.3t 22sup Cumplemtm

442sup28.4

7898.0*8.1657

28.4

7898.0*6.1804

14.6

6.1598

m

t

mm

t

compadmsCMsp

I

YM

I

YM

A

P,sup

**

442inf28.4

4102.1*8.1657

28.4

4102.1*6.1804

14.6

6.1598

m

t

mm

t

I

YM

I

YM

A

P iCMip **inf

""/5.1732/308.7t 22inf Cumplemtm


144

Capítulo 6 Conclusiones

1. Muchos procesos de cálculo en la ingeniería estructural son candidatos a ser programados lo cual conlleva un incalculable ahorro en tiempo y dinero. Adicionalmente, debido a la complejidad de dichos procesos, la utilidad de los potenciales algoritmos podrían prevenir errores humanos en el momento de los cálculos tal y como sucede con CAVIP.

2. La sistematización en el lenguaje de programación Visual Basic for Applications es muy práctica debido a que está integrada a Microsoft Office Excel, el cual es un software que está instalado en la mayoría de los equipos de cómputo. Esto representa una ventaja ya se evitan problemas como aquellos de incompatibilidad en el momento de instalación de programas elaborados en otros lenguajes de programación.

3. Los programas de cálculo de puentes que ofrece el mercado actualmente, muchas veces son difíciles de manejar y entender. En contraposición CAVIP es una herramienta valiosa y fácil de manejar para el análisis de esfuerzos en vigas de puentes preesforzados postensados continuos.

4. Un aspecto importante favorable de CAVIP frente a los programas comerciales que

actualmente se encuentran en el mercado es la manera como despliega la información concerniente al análisis y los resultados obtenidos lo cual permite al usuario la captura de la misma, así como también su complementación con otro tipo de procesos.

5. La duración en la ejecución de los procesos del software CAVIP depende de: las características de procesamiento del computador empleado para ello, de la cantidad y longitud de las luces del puente debido a que se toman subtramos de 0.1m para los cálculos, y de si se trata de puente peatonal o vehicular. El proceso del puente peatonal es más extenso debido a que se generan gráficas de momento flector y cortante para cada uno de los 10 tipos de carga viva ya explicados en la sección 4.2.10.

6. El sistema de formularios secuenciales que presenta el software CAVIP reduce la posibilidad de generación de errores debidos a la falta de ingreso de datos, ya que la información necesaria se va desplegando de manera ordenada en cada formulario y el software no ejecuta los procesos hasta que estén llenas todas las casillas de información requeridas.


145

7. En el software CAVIP la generación de controladores de error y la restricción de las cajas de texto de captura de información numérica para que solo reciban este tipo de información, evitan la presencia de errores humanos en la digitación, que fácilmente pueden pasarse por alto.

8. El análisis manual de esfuerzos en vigas preesforzadas postensadas de un puente

continuo de más de 3 luces implica una gran inversión en tiempo y dinero, además se incrementa la probabilidad de generación de errores debido a la complejidad y extensión de los cálculos desarrollados. CAVIP se constituye en una solución eficiente para el análisis de este tipo de esfuerzos.

9. Existe una diferencia considerable entre los valores recomendados por el CCDSP-95

para los coeficientes de fricción (y curvatura involuntaria (K), y los mismos valores resultado de estudios realizados en vigas preesforzadas en la Universidad Nacional como parte del desarrollo de tesis de maestría, razón por la cual se recomienda analizar con cuidado los valores a tomar, ya que de estos depende que los resultados de los esfuerzos en la viga sean satisfactorios.

10. En puentes preesforzados la tendencia actual es el empleo de anclajes móviles debido a

que permiten y facilitan la extracción de los elementos de preesfuerzo de la viga de concreto cuando alguno de los cables presenta falla por rotura, que de otra manera quedarían perdidos en el volumen de concreto.

11. Convertir el efecto de un cable de preesforzado de una viga en cargas equivalentes es

un proceso muy complicado, ya que se deben incluir las fuerzas tangenciales de fricción impartidas por el cable en la estructura. Por esta razón, para obtener un resultado más acorde a la realidad se recomienda el uso del método de las fuerzas y no el de las deformaciones (cargas equivalentes) para tener en cuenta los efectos de la fuerza de preesfuerzo, tal y como lo hace el programa CAVIP.

12. El software CAVIP permite al usuario probar diferentes tipos de secciones transversales de vigas para un mismo proyecto y verificar el cumplimiento de los requisitos de esfuerzos admisibles del CCDSP-95 bajo determinadas condiciones de carga, de una manera eficiente ya que el tiempo empleado así como los procesos necesarios son reducidos ostensiblemente. Este hecho hace posible definir una sección óptima para las cargas que la viga soporta, proceso que no es factible manualmente.

13. El análisis de esfuerzos de puentes hiperestáticos en concreto preesforzado presenta mayor complejidad que el de los isostáticos, lo cual requiere de sistematización por computador para resolverlos de manera eficiente, de ahí la importancia del software desarrollado en este trabajo de maestría.


146

Recomendaciones

1. Antes de iniciar el uso del programa se aconseja que el usuario estudie detenidamente este documento el cual contiene las bases con las que fue programado CAVIP, esto es recomendable con el fin de evitar errores en su utilización.

2. Antes de ejecutar CAVIP, se debe establecer la configuración regional del computador

de la siguiente manera: símbolo decimal como punto (.), tanto en la pestaña número como en la de moneda.

3. CAVIP se debe ejecutar en Microsoft Office Excel versión 2007 o superior, ya que al

emplear versiones anteriores de Excel se puede ver afectada la salida gráfica, por lo cual no se recomienda su uso bajo estas circunstancias.

4. Se recomienda el empleo de puentes hiperestáticos sobre los isostáticos, debido a que

pueden emplear luces mayores, son más económicos y presentan mejor comportamiento ante fallas de un elemento portante por la colaboración de los elementos adyacentes (redistribución de momentos a zonas con menor demanda). Sin embargo no se recomienda su uso en terrenos donde se esperen asentamientos diferenciales muy grandes (suelos con baja capacidad portante y que se deforman fácilmente con la aplicación de la carga, como son los suelos arenosos, limosos y arcillosos) debido a que se ven afectados de manera significativa con un aumento en los esfuerzos.

5. Por cuestiones económicas, se recomienda que en los puentes continuos las luces

exteriores tengan 0.8 veces la dimensión de las luces internas, de esta manera los momentos flectores máximos positivos y negativos son aproximadamente del mismo orden de magnitud.

6. Existen diferentes criterios para determinar la fuerza de preesfuerzo necesaria como

son: que la fuerza de preesfuerzo debe ser 1.3 veces el valor de la carga muerta, que debe ser la fuerza necesaria para anular las deflexiones por peso propio, que esta fuerza debe compensar el peso propio más el 75% de la carga viva, o que con esta fuerza la fibra a tensión de la sección de concreto debe ser sometida al esfuerzo máximo admisible a tracción en la etapa de servicio al actuar junto con la carga muerta y la viva.


147

Se recomienda el uso de esta última, debido a que se alcanza de manera más directa el cumplimiento de los esfuerzos admisibles. CAVIP emplea este criterio.

7. En estructuras simplemente apoyadas, los momentos flectores aumentan con rapidez

cuando se aumenta el tamaño de las luces debido al aumento de la distancia entre apoyos y al aumento de la sección transversal que debe resistir la nueva carga. Por esta razón, cuando se trate de cubrir grandes luces con estructuras de concreto preesforzado, se recomienda el empleo de estructuras continuas debido a los menores momentos resultantes con relación a las estructuras simplemente apoyadas. Dichos momentos reducen el tamaño de la sección transversal del elemento y por consiguiente representan un ahorro en materiales de construcción; además, la continuidad permite ya sea el uso de elementos de menor sección transversal para soportar las mismas cargas o una mayor separación entre apoyos para la misma sección transversal.


148

Futuras Investigaciones

Este trabajo de grado incentiva el desarrollo de rutinas de programación complementarias a CAVIP como son: evaluación de deflexiones, trazado de cada uno de los cables de preesfuerzo y su respectiva fase de tensionamiento, posibilidad de exportación de los datos del trazado definitivo de los cables a formato dxf, diseño del refuerzo pasivo, diseño a cortante, análisis de vigas de sección variable, análisis con asentamientos diferenciales de los apoyos, análisis con diferenciales de temperatura y puentes con trazado curvo en planta. Adicionalmente se recomienda la programación de un método alterno al del CCDSP-95 como es el AASHTO - LRFD39, el cual va con la tendencia actual mundial de análisis y diseño de puentes.

39 American Association of State Highway and Transportation Officials, AASHTO LRFD (Load and Resistance Factor Design) bridge design specifications.


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Anexo 1 – Regla de Simpson

Para la aplicación de la Regla de Simpson, se divide en un número par de tramos de longitud h, entre los 2 puntos donde se quiere hallar el área bajo la curva de f(x).

Figura A1.1. Empleo Regla de Simpson.

El área bajo la curva entre X1 y Xn es igual a:

(A1.1) Donde los valores multiplicadores de Yi son respectivamente 1, 4, 2, 4, …, 4 y 1; valores que corresponden a S en los cuadros de resultados del software CAVIP.

nn YYYYYYh

Area 14321 4...4243


150

Anexo 2 – Propiedades Geométricas

Vigas I AASHTO

Figura A2.1. Dimensiones de las vigas I AASHTO.

Tabla A2.1. Dimensiones de las vigas I AASHTO (pulgadas)

Tipo Dl D2 D3 D4 D5 D6 Bl B2 B3 B4 B5 B6

I 28.0 4.0 0.0 3.0 5.0 5.0 12.0 16.0 6.0 3.0 0.0 5.0

II 36.0 6.0 0.0 3.0 6.0 6.0 12.0 18.0 6.0 3.0 0.0 6.0

III 45.0 7.0 0.0 4.5 7.5 7.0 16.0 22.0 7.0 4.5 0.0 7.5

IV 54.0 8.0 0.0 6.0 9.0 8.0 20.0 26.0 8.0 6.0 0.0 9.0

V 63.0 5.0 3.0 4.0 10.0 8.0 42.0 28.0 8.0 4.0 13.0 10.0

VI 72.0 5.0 3.0 4.0 10.0 8.0 42.0 28.0 8.0 4.0 13.0 10.0

Tipo V - VI Tipo I - IV

Yi


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Tabla A2.2. Dimensiones de las vigas I AASHTO (mm)

Tipo Dl D2 D3 D4 D5 D6 Bl B2 B3 B4 B5 B6

I 711 102 0 76 127 127 305 406 152 76 0 127

II 914 152 0 76 152 152 305 457 152 76 0 152

III 1143 178 0 114 191 178 406 559 178 114 0 191

IV 1372 203 0 152 229 203 508 660 203 152 0 229

V 1600 127 76 102 254 203 1067 711 203 102 330 254

VI 1829 127 76 102 254 203 1067 711 203 102 330 254

Tabla A2.3. Propiedades de las vigas I AASHTO (pulgadas)

Tipo Área

( pg2 ) Yi

(pg) Inercia ( pg4 )

Peso ( kip/pie)

Luz recomendada (pies)

I 276 12.59 22750 0.287 30-45

II 369 15.83 50980 0.384 40-60

III 560 20.27 125390 0.583 55-80

IV 789 24.73 260730 0.822 70-100

V 1013 31.96 521180 1.055 90-120

VI 1085 36.38 733320 1.130 110-140

Tabla A2.4. Propiedades de las vigas I AASHTO (mm - m)

Tipo Área

( mm2 ) Yi

(mm) Inercia

( *106 mm4 ) Peso

( kg/m) Luz recomendada

( m )

I 178064 320 9469 427 9.1 - 13.7

II 238064 402 21219 571 12.2 - 18.3

III 361290 515 52191 868 16.8 - 24.4

IV 509031 628 108524 1223 21.3 - 30.5

V 653547 812 216931 1570 27.4 - 36.6

VI 699999 924 305231 1682 33.5 - 42.7

Fuente: Lin, T. Y. & Burns, Ned H. (1981) Design of prestressed concrete structures, 3 ed, New York, John Wiley & Sons, 223.


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Anexo 3 – Propiedades Geométricas Vigas de Sección Cajón AASHTO

Figura A3.1. Dimensiones (mm) de las vigas cajón AASHTO.

Tabla A3.1. Propiedades de las vigas cajón AASHTO

Vano recomendado máximo Tipo Área (*103 mm2 )

Inercia (*109 mm4 )

Yi (mm) Cable deflectado

(m) Cable recto

(m) BI-36 362 20.95 339 22.56 18.9 BI-48 447 27.45 340 22.25 19.2 BII-36 400 35.44 414 26.21 22.25 BII-48 485 45.99 415 26.21 22.56 BIII-36 439 54.59 489 29.57 25.3 BIII-48 524 70.08 490 29.26 25.3 BIV-36 458 66.03 527 31.39 26.52 BIV-48 544 84.53 528 31.39 26.82

Fuente: Lin, T. Y. & Burns, Ned H. (1981) Design of prestressed concrete structures, 3 ed, New York, John Wiley & Sons, 224-225.


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Referencias Bibliográficas

1. Al-Gahtani, A.S; Al-Saadoun, S.S. y Abul-Feilat, E.A. (1995) Design optimization of

continuous partially prestressed concrete beams. En: Computers & Structures, vol. 55, 365–370.

. 2. Benaim, Robert (2008) The design of prestressed concrete bridges: concepts and

principles, London, Taylor & Francis. . 3. Collins, Michael y Mitchell, Denis (1991) Prestressed concrete structures, New Jersey,

Pretince hall Englewood. 4. Dueñas Puentes, Diego Ernesto (2006) Coeficiente de fricción por curvatura no

intencional en concreto postensado, Tesis de Magíster en Estructuras, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

. 5. Ekedahl, Michael V. (2003) MCSD Guide to developing desktop applications using

Microsoft Visual Basic 6.0: advanced topics, 2 ed., Course Technology.

6. Escobar López, Germán; González Cuenca, Alberto y Salgado Farías, Eduardo (2010) Concreto preesforzado - diseño y construcción, 2 ed, Bogotá, ASOCRETO. .

7. Hewson, Nigel R. (2003) Prestressed concrete bridges: design and construction, London, Thomas Telford Limited.

. 8. Instituto Colombiano de Normas Técnicas y Certificación – ICONTEC (2008) NTC-

1486: Documentación. Presentación de tesis, trabajos de grado y otros trabajos de investigación, Sexta actualización, Bogotá, ICONTEC.

9. Lin, T. Y. & Burns, Ned H. (1981) Design of prestressed concrete structures, 3 ed, New

York, John Wiley & Sons.

10. Linero Segrera, Dorian Luis (2011) Apuntes de clase análisis matricial avanzado – Parte III, Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniería.

http://www.sciencedirect.com/science/journal/00457949�


154

11. McCormac, Jack C.(2002) Diseño de concreto reforzado, 4 ed., México, Alfaomega. . 12. Menn, Christian (1990) Prestressed concrete Bridges, Germany, Birkhaüser Verlag AG

Basel. . 13. Ministerio de Transporte, Instituto Nacional de Vías y Asociación Colombiana de

Ingeniería Sísmica (1995) Código Colombiano de Diseño Sísmico de Puentes: CCDSP-95, Bogotá, INVIAS.

. 14. Mohiuddin, A. Khan (2010) Bridge and highway structure rehabilitation and repair,

New York, Mc Graw Hill. 15. Narendra, Taly (1998) Desig of modern highway bridges, New York, Mc Graw Hill. 16. Nawy, Edward G (2006) Prestressed concrete: a fundamental approach, New Jersey,

Pearson Education Inc. 17. Nilson, Arthur H (1999) Diseño de estructuras de concreto, Bogotá, Mc Graw Hill. 18. Nilson, Arthur H (1995) Diseño de estructuras de concreto preesforzado, Madrid,

Noriega editores.

19. Rivera Vásquez, José & Cajiao Valdivieso, Rodrigo (1991) Concreto preesforzado, 2 ed, Popayán, Universidad del Cauca

. 20. Sandoval Sierra, Alejandro (1988) Puentes, Bogotá, Universidad Nacional de

Colombia. . 21. Tonias, Demetrios E. (1995) Bridge engineering: design, rehabilitation, and

maintenance of modern highway bridges, New York, Mc Graw Hill. .

22. Trujillo Orozco, José Eusebio (1993) Diseño de puente de concreto, Bucaramanga (Colombia), UIS. .

23. Vallecilla Bahena, Carlos Ramiro (2006) Construcción de líneas de influencia en vigas continuas y marcos indeterminados, 1 ed., Bogotá, Unidad de publicaciones facultad de ingeniería.

24. ____________________________(2006) Manual de puentes en concreto reforzado,

Colombia, Bauen.


155

25. ____________________________(2009) Puentes en Concreto Postensado Teoría y Práctica, 2 ed., Colombia, Bauen.

26. Washington State Department of Transportation (2012) Bridge design manual (LRFD),

Washington, Engineering and Regional Operations -Bridge and Structures Office. 27. Xanthakos, Petros P. (1993) Bridge strengthening and rehabilitation, New Jersey,

Prentice Hall.

programa para el trazado de cables

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