Lic. Ana María Reyna s egura

Univers idad Nac ional de l Callao

Julio 2011

Profesor de la Facultad de Ingeniería Química

Prólo go

Este texto que se presenta es fruto de la experiencia docente en la

enseñanza del curso de Matemática IV para ingeniería que se dicta en la

Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional del Callao y

está fundamentado en apuntes, y problemas desarrollados en clase.

Se busca ofrecer a los estudiantes universitarios de l diversas disciplinas

académicas, un enfoque motivado de los principios básicos del Algebra Lineal

y de las Ecuaciones Diferenciales; así como una variedad de problemas

aplicados a la ingeniería los cuales son resueltos con uso de las ecuaciones

diferenciales, y a la vez se presentan con sencillez y de tal manera que el

alumno logre entenderlos y manejarlos en forma adecuada.

Para cada capítulo se hace una descripción de las principales definiciones,

propiedades y métodos que se utilizan luego para la esolución de problemas

aplicados a la ingeniería; así presentándose problemas de varios tipos y niveles

de dificultad.

La utilidad de este trabajo se proyecta en la consecución de una

formación solida y el desarrollo del espíritu científico en los estudiantes,

absolutamente necesario para abordar sus futuros retos como profesionales.

INDICE

CAPITULO I:

1.- Es pacios Vectoriales

2. Trans formaciones Line al.

3. Valores y Vectore s Propios .- Diagonalización

1.1 Definición de espacio vectorial .............................................................2

1.2 Subespacio vectorial..............................................................................5

1.3 Combinaciones lineales ........................................................................7

1.4 Dependencia e independencia lineal de vectores ..................................8

1.5 Subespacio generado.............................................................................14

1.6 Base de un espacio vectorial.................................................................16

1.7 Dimensión de un espacio vectorial ........................................................22

1.8 Suma e intersección de subespacios ....................................................25

1.9 Ejercicios propuestos............................................................................28

2.1. Transformación lineal ............................................................................32

2.2. Núcleo e imagen de una transformación lineal......................................35

2.3. Teorema de la Dimensión de transformación lineal...............................37

2.4. Operaciones con transformación Lineales.............................................42

2.5. Transformaciones Lineales Inyectivas, Sobreyectivas,

Autoformismos.......................................................................................44

2.6. Transformaciones lineales y matrices....................................................51

2.7. Dimensión de transformación lineal.......................................................57

2.8. Cambio de Base en una Transformación Lineal...................................61

2.9. Ejercicios Propuestos ............................................................................70

........................73

3.1. Definición...............................................................................................74

3.2. Polinomio Característico........................................................................77

3.3. Matriz Diagonizable ...............................................................................79

3.4. Ejemplos................................................................................................83

3.5. Ejercicios Propuestos ............................................................................89

..........................99

2.1 Conceptos Básicos................................................................................100

2.2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Grado ...........................................104

2.2.1. Generalidades ....................................................................................104

2.2.2. Existencias y Unicidad de soluciones.................................................107

2.2.3. Campos de direcciones; Isóclinas ......................................................108

2.2.4. Ecuaciones Diferenciales con variables separables...........................111

2.2.5. Ecuaciones Diferenciales Ordinaria

reducibles a variables separables .......................................................114

2.2.6 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas ..............................................117

2.2.7 Ecuaciones Diferenciales reducibles a Homogéneas..........................121

2.2.8 Ecuaciones Diferenciales Exactas......................................................126

2.2.9 Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Exactas.................................131

2.2.10 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden ........................137

2.2.11 Ejercicios Propuestos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.........145

2.3 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden ...........149

2.3.1 Aplicaciones Geométricas.............................................................149

2.3.2 Trayectoria Ortogonales................................................................155

2.3.3 Enfriamiento de un Cuerpo ...........................................................156

CAPITULO II:

2.- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

2.3.4 Desintegración Radioactiva ..........................................................158

2.3.5 Poblaciones ..................................................................................160

2.3.6 Mezclas Químicas ........................................................................167

2.3.7 Ejercicios Propuestos ...................................................................174

2.4 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior 178

2.4.1 Operadores ...................................................................................178

2.4.2 Ecuación Diferencial Lineal de Orden n ......................................179

2.4.3 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Coeficientes

Constantes ...................................................................................180

2.4.4 Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas ....................191

2.4.4.1 Método de Coeficientes Indeterminados .........................192

2.4.4.2 Método de Variación de Parámetro ................................201

2.4.4.3 Método de Operadores ...................................................205

2.5 Sistema de Ecuaciones Diferenciales ...................................................211

2.5.1 Sistema normal de ecuaciones diferenciales ...............................215

2.5.2 Resolución de los sistemas lineales homogéneos de

ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes

por medio de matrices ..................................................................219

2.6 Solución de Ecuaciones Diferenciales mediante series

de potencias ...........................................................................................233

2.6.1 Resolución de Ecuaciones Diferenciales Lineales

por medios de desarrollo en Serie ...............................................244

2.6.1.1 Soluciones Analíticas ......................................................244

2.6.1.2 Método de Frobenius .....................................................247

CAPITULO III

3.- Trans formada de Laplac e

CAPITULO IV

4. Ecuac iones Diferenc iales Parciale s

.........................................................250

3.1Definición ................................................................................................250

3.2 Propiedades de la Transformada de Laplace ........................................251

3.3 Convolución ...........................................................................................258

3.4 Ejercicios de Transformada de Laplace..................................................260

3.5 Problemas para aplicar transformada de Laplace .................................264

4.1 Definición ...............................................................................................267

4.2 Ejemplos ................................................................................................267

4.3 Ecuación Diferencial de primer orden lineal con respecto a las

derivadas parciales ................................................................................271

4.4 Tipos de ecuaciones de segundo grado en derivadas parciales ...........274

4.4.1 Reducción a la forma cacónica ...................................................274

4.5 Ecuaciones en Derivadas Parciales Importantes ..................................282

4.5.1 Ecuación de conducción de calor para un caso

no estacionario .............................................................................282

4.5.2 Ecuación de conducción de calor para un caso

estacionario ..................................................................................290

4.5.3 Ecuación de difusión ....................................................................293

4.5.4 Ecuación de onda .........................................................................293

4.5.5 Ecuación de Laplace ....................................................................293

4.5.6 Ecuación de Poisson ....................................................................293