prof. lic. esp. blanca nieves castillo r. email ... · principio de sustitución: consiste en...
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GUIA MATEMATICA GRADO 11 TEMA : FUNCIONES LIMITES Y CONTINUDAD PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. EMAIL. [email protected]
TRABAJO DE CONSULTA NO. 1
Consultar que es una relación, que es una función, sus clases y sus respectivas graficas
COMPOSICION DE FUNCIONES:
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las Funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)]. La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».
Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x). Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos: 1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x). 2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente. Ejercicio: • Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x2. Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3. Resolución:
· La imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es:
TRABAJO EN GRUPO NO. 1 ‚ Dadas las funciones f(x) = x2 + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular: a) (g o f ) (x) b) (f o g ) (x) c) (g o f ) (1) y (f o g ) (-1) d ) El original de 49 para la función g o f.
VER SOLUCION EN http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcomp.htm
Funciones Clases de funciones Operaciones con funciones Composición de funciones Límites y continuidad Idea intuitiva de límite Definición formal de límite Limites laterales Calculo de límites aplicando
Propiedades Límites de funciones indeterminadas Límites de funciones trigonométricas Limites infinitos y limites en el infinito Limites exponenciales Asíntotas de una función Funciones continúas Continuidad de una función en punto Continuidad de una función en un intervalo Discontinuidad
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TALLER NO. 1 PARA LA CASA : Realizar los ejercicios 13 al 24 pag. 77 textos de Santillana Grado 11
Se l lama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:
Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a. Veamos un e jemplo a partir de la función f(x) = x + 4
Podemos observar que:
El dominio de f−1 es el recorrido de f .
E l recorrido de f−1 es el dominio de f . Si queremos hal lar el recorrido de una función tenemos que hal lar el dominio de su función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad .
(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = x
Las gráf icas de f y f -1 son s imétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función, . Cálculo de la función inversa 1.Se escribe la ecuación de la función con x e y. 2.Se despeja la variable x en función de la variable y. 3.Se intercambian las variables.
Ejemplos
Calcular la función inversa de:
1.
Vamos a comprobar el resultado para x = 2
2.
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3.
TRABAJO EN GRUPO NO. 2 Realizar los ejericios pares pag. 80 texto de santillana grado 11
TRABAJO EN CASA No. 2 Leer y responder las preguntas pag. 82 a 86 texto santillana grado 11
Límite matemático En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.
En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación,integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertosinducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.
El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.
Límite de una sucesión[editar]
La sucesión para converge al valor 0, como se puede prever en la ilustración.
Artículo principal: Límite de una sucesión
La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la
sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto , si existe, para valores grandes de . Esta
definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando tiende a .
Formalmente, se dice que la sucesión tiende hasta su límite , o que converge o es convergente (a ), y
se denota como:
si y solo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural tal que todos los términos de la
sucesión, a partir de un cierto valor natural mayor que converjan a cuando crezca ilimitadamente.
Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:
Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto
específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.
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Límite de una función[editar]
Visualización en un sistema decoordenadas cartesianas de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Artículo principal: Límite de una función
En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una
sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van
aproximando a un punto fijado c — punto de acumulación —, independientemente de que éste pertenezca al
dominio de la función1 . Esto se puede generalizar aún más afunciones de varias variables o funciones en
distintos espacios métricos.
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:
si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L
como se desee.
Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al
límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:
"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".
Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:
Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:
Límites laterales
Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir.
El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera
x a significa que x tiende a a tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.
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x a+ significa que x tiende a a tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha.
Límite lateral por izquierda
si dado > 0, > 0 tal que
si a < x < a
Límite lateral por derecha
si dado > 0, > 0 tal que
si a < x < a +
http://www.fca.unl.edu.ar/Limite/2.2%20L%EDmiteslaterales.htm Límite de una constante
Límite de una suma
Límite de un producto
Límite de un cociente
Límite de una potencia
Límite de una función
g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg , etc. Límite de una raíz
Límite de un logaritmo
https://www.youtube.com/watch?v=DfkxOOKs-nk
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Principio de sustitución: Consiste en sustituir x = a directamente en la función f(x) y así encontrar el limite TRABAJO EN GRUPO NO. 3 Desarrollar los ejercicios pares pag. 98 texto de Santillana No. 11 LIMITES DE FUNCIONES INDETERMINADAS
Forma indeterminada En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:
.
Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real
Interpretación[editar]
El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no
es información suficiente para evaluar el límite
Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las
funciones f y g.
Cociente indeterminado[editar] La forma 0/0[editar]
Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x3, x/x,
y x2/x se van a , 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del
denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando informalmente)
0/0 puede ser 0, o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier
valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada.
Ejemplos:
La forma ∞/∞[editar]
Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador,
tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se
está frente a una forma indeterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse
métodos tales comofactorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.
Ejemplos:
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Producto indeterminado[editar]
La forma indeterminada 0 • ∞
Diferencia indeterminada[editar]
En los casos en que el límite de una diferencia es , no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por
lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo . Para resolver esta
indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.
Potencia indeterminada[editar]
La forma 00
La forma ∞0
La forma 1∞
Ejemplo: el siguiente límite1
, es de la forma ; considerando
y tomando logaritmos en ambos miembros resulta
aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene
de manera que el límite sería
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TOMADO DE : https://es.wikipedia.org/wiki/Forma_indeterminada
TALLER EN GRUPO NO. 4
Desarrollar los ejercicios impars pag. 101 y 102 texto de Santillana no. 11
Consulta los limites de las funciones trigonométricas
LIMITES INFINITOS Y LIMITES AL INFINITO
Límites en el infinito
Analizaremos el comportamiento de las funciones definidas gráficamente cuando x crece indefinidamente y cuando x decrece indefinidamente
a) Si x crece indefinidamente la función f(x) se acerca a 0.
b) Si x decrece indefinidamente, los valores de la función se acercan a 0.
a) Si x crece indefinidamente la función f(x) se acerca a 2.
b) Si x decrece indefinidamente, los valores de la función se
acercan a 2.
La recta y 0 es asíntota horizontal de la función.
La recta y 2 es asíntota horizontal de la función.
a) Si x crece indefinidamente la función f(x) se acerca a 2.
b) Si x decrece indefinidamente, los
valores de la función se acercan a 2.
a) Si x crece indefinidamente la función f(x) se aproxima a 3.
b) Si x decrece indefinidamente, los valores de la función se
aproximan a 1.
Las rectas y 2 e y 2 son asíntotas horizontales de la función.
Las rectas y 3 e y 1 son asíntotas horizontales de la función.
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En el primer ejemplo anotamos .
Recordemos que no representa un número. La expresión anterior expresa que el límite de f(x) cuando x crece o decrece indefinidamente es cero.
El comportamiento de funciones que se aproximan a un número cuando la variable crece
o decrece indefinidamente (x + , x ) se indica de la siguiente manera:
Simbólicamente se escribe
Gráficamente:
para indicar que la función tiende a L cuando
los valores de x crecen indefinida- mente.
para indicar que la función tiende a L cuando los valores de x
decrecen indefinidamente.
Formalizando la definición de límite de una función que tiende a un número finito cuando la variable
independiente tiende a + ó a , resulta:
Definición.
Las propiedades referidas al álgebra de límites válidas si "x a" se cumplen también si
"x + " y "x –".
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Ejemplo. Calcule .
Cuando x toma valores grandes, es pequeño. Tomando x suficientemente grande, puede hacerse tan
pequeño como queramos. Por lo tanto .
Por otra parte
y como el límite de la diferencia es la diferencia de los límites resulta: 3 – 0 3
Problema. Se proyecta que dentro de t años, la población de cierto pueblo será p(t) miles de personas. ¿Qué se espera que suceda con la población a medida que el tiempo transcurre indefinidamente? Solución. Para determinar el comportamiento de la función cuando el tiempo transcurre indefinidamente se
debe calcular el límite .
Cuando t + , también t +1 + y, por lo tanto, 0.
En consecuencia 20. Esto expresa que a medida que el tiempo transcurre, la población tiende a estabilizarse en 20 000 personas. CONSULTAR : https://calculolimitesycontinuidad.wordpress.com/limites-infinitos-limites-al-infinito/
||LIMITES INFINITOS||
Decimos que lim f(x)= si para los valores de x proximos a a, x→ a los valores de f(x) pueden
hacerse tan grandes como queramos.
Con rigor, decimos que lim f(x)= si fijado a un valor k positivo y tan grande como se quisiera,
existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entoces f(x)>k.
Análogamente, lim f(x) = –
x→a
si para los valores de x cercanos a a, los valores de f(x) se pueden hacer tan pequeños como
queramos.
Diremos que lim f(x) = –
x→a
si fijado un valor de k positivo y tan grande como se quisiera, podemos encontrar un entorno
de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entonces f(x) < -k
•Ejemplo:
la función f(x)= 1/|x|
En el punto x=0 se tiene:
lim 1/|x| = –
x→ 0-
→ lim 1/|x| =
x→0
lim 1/|x| =
x→a’
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||LIMITES AL INFINITO||
Cuando el dominio de y= f(x) se extiende indefinidamente hacia la derecha o hacia la izquierda de la recta real
tienen sentido las expresiones:
• lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente grande”, los valores de f(x) se acercan a L.
x→
•lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente pequeña, los valores de f(x) se acercan a L.
x→
TRABAJO EN CASA NO. 3
Desarrolla 20 ejercicios de la pág. 108 textos de Santillana grado 11
Consulta ASINTOTAS EN UNA FUNCION, funciones continuas y funciones discontinuas, trata de realizar los ejercicios
pág. 113 y 123 texto de Santillana no. 11
NOTA: Recuerda leer las 10 siguientes páginas del hombre que calculaba,
anexar las 10 palabras del vocabulario y entregarlo al final de periodo en la
carpeta con las consultas del periodo y los trabajos en clase. Si estudias te
preparas bien para el Icfes y te puedes ganar una beca. “ANIMO” Debes traer todos los días los implementos de clase incluyendo las guías