TERCER GRADOSECUNDARIA

PRIMER BLOQUE

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES

• Transformen expresiones algebraicas en otras equivalentes al efectuar cálculos.

TEMA UNO

PRODUCTOS NOTABLES

Tanto en la multiplicación aritmética como en la algebraica se sigue un algoritmo (Un sistema en el que manipulamos símbolos) cuyos pasos nos lleva a un producto. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla que simplifica el lograr los resultados. Estos son los productos notables.

Ustedes deberán descubrir esas regla.

¿Qué es un producto notable? Los productos notables son aquellos

que se pueden hallar sin tener que efectuar paso a paso la multiplicación, sino por simple observación y empleando la fórmula debida.

¿cuáles son los principales productos notables? (binomio de suma al cuadrado, diferencia de suma al cuadrado, diferencia de cuadrados, producto de binomios con término común)

CUADRADO DE LA SUMA 0 DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES( a + b )2 = a2 + 2ab +b2

( a – b )2 = a2 – 2ab + b2

PRODUCTO DE LA SUMA POR SU DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES ( a + b) ( a – b ) = a2 – b2

PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN.(a + b)(a + c) = a2 + (+b +c)a + (b)(c)

Analizaremos geométricamente el cuadrado de un binomio .Consideremos que ( x + a) es el lado de un cuadrado

El área del cuadrado de lado (x +a) corresponde a las sumas de las áreas que se forman.

(x + a)2 = x2 + ax + ax + a2

= x2 + 2ax + a2 5 y 3

EJEMPLO 2( X + 6)2 =

(X + 6)2 = X2 + 6X + 6X + 36

= X2 + 12X + 36

6 y 3

3) (X + b)2 = (x + b)(x + b) (X + b)2 = (x + b)(x + b)

= x2 + b x + b x + b2

= x2 + 2bx + b2

5) (2m + 1)2 = 6) (a2 + 2) (a2 + 2) =

7) (3a + 2)2 = 8) (2x2 + 3) (2x2 + 3) =

9) (2b + 1)2 = 10) (3m3 + 2n2) (3m3 + 2n2) =

(4) (c + 5)2 = (c + 5)(c + 5) (c + 5)2 = (c + 5)(c + 5)

= c2 + 5c + 5c + 25 = c2 + 10c + 25

4 y 3

5 y 2

Núm. de cuadrado

Medida de un lado

Perímetro Área

1 x + 1 4(x+1)= 4x + 4 (x+1)2 = (x+1)(x+1)=x2+x+x+1=x2+2x+1

23456a x + a (x + a)2 = (x + a)(x + a) =

¿Qué sucede cuando tenemos signo menos?1) (a – b)2 = (a – b) (a – b)

(a – b)2 = (a – b) (a – b) = a2 – ab – ab + b2

= X2 – 2ab + b22) (m – n)2 = (m – n) (m – n)

(m – n)2 = (m – n) (m – n) = m2 – m n – m n + n2 = m2 – 2mn + n2

3) (2x – 3y)2 = (2x – 3y) (2x – 3y)

CUADRADO DE LA SUMA o RESTA DE DOS CANTIDADES

( a + b )2 = a2 +2ab + b2  ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2

El cuadrado de la suma y/o resta de dos términos es igual: Cuadrado del primer

término, más o menos el doble

producto de ambos términos, más el cuadrado del

segundo término.

(5x + 7)2 =El cuadrado del 1er término es:

(5x)(5x) = (25x2) El doble producto de ambos términos es:

2(5x)(7)=(10x)(7) = 70xEl cuadrado del 2do término es:

(7)(7) = 49Entonces:

( 5x + 7 )2 =25x2 +70x+49

APLICACIÓN. De manera mental, resolver la siguiente multiplicación (105) (105) =

Es decir: (100 + 5) (100 + 5)=

1. (100) (100) =2. 2(100) (5) =3. (5) (5) =

R = 11025

Ejercicios (1)Nombre:Grupo:N° L:Fecha:

Tema: productos notables, (binomios al cuadrado).

1)(x + 9)2 = (x)2 + 2(x)(9) + (9)2

x2 + 18x + 81

2) (x – 10)2 = (x)2 – 2(x)(10) + (10)2

3) (2x + 9y)2=

4) (2x + 5m)(2x + 5m)=

5) (3a3–8b4) (3a3–8b4)=

6) (x10 – 10y12) =

7) (am + an) =

8) (24)2 = (20 + 4)2 =

9) (1996)2 = (2000 – 4)2 =

10) (33)2 =

1) (7x + 11)2 =2) (x + y)2 = 3) (1 + 3x2)2 = 4) (2x + 3y)2 = 5) (a2x + by2)2 = 6) (3a3 + 8b4)2 = 7) (4m5 + 5n6)2 = 8) (7a2b3 + 5x4)2 =9) (4ab2 + 5xy3)2 = 10) (8x2y + 9m3) =

En binas los siguientes ejercicios pero cada quien entrega el suyo. Le agrega datos:Nombre iniciando con apellidos, grupo, n° de lista y fecha, al final la firma de Ud.

1) (9 – a)2 =2) (2a – 3b)2 = 3) (4ax – 1)2 = 4) (a3 – b3)2 = 5) (3a4 – 5b2)2 = 6) (x2 – 1)2 = 7) (4m5 + 5n6)2 = 8) (x5 – 3ay2)2 =9) (2m – 3n)2 = 10) (10x3 – 9xy5) =

En binas los siguientes ejercicios pero cada quien entrega el suyo. Le agrega datos:Nombre iniciando con apellidos, grupo, n° de lista y fecha, al final la firma de Ud.

a

a

b

(a – b) (a + b) = a2 – b2

a2

b2

BINOMIOS CONJUGADOS

= x2 + x y – x y – y2 = x2 – y2

1) (x + y) (x – y) = x2 + x y – x y – y2

2) (2m + 3n) (2m – 3n) =

(2m + 3n) (2m – 3n) = 4m2 + 6m n – 6m n – 9n2

= 4m2 – 9n2 3) ( – 2b3 + 5a2) (2b3 + 5a2) =

( 5a2 – 2b3) ( 5a2 + 2b3) = 25a2 + 10 a b – 10 a b – 4 b2

= 25a2 – 4b2

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

(binomios conjugados)

( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

  ( a - b ) ( a + b )= a2 - b2

La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual:

Cuadrado del primer término, Menos el cuadrado del segundo

término.

Por tanto podemos decir:

Que la suma por su diferencia (binomios conjugados) es igual al cuadrado de los términos que tienen el mismo signo, menos el cuadrado de los términos que tienen distinto signo.

(4x + 9y) (4x – 9y) =

El cuadrado del 1er término es: (4x)(4x) = 16x2

El cuadrado del 2do término es: (9y)(9y) = 81y2

Entonces: ( 4x + 9y )( 4x - 9y )= 16x2 – 81y2

binomios conjugados.

1) (2x + 5m)(2x – 5m)=2) (3a3– 8b4) (3a3– 8b4)=3) (4x3y – 1)(4x3y + 1) = 4) (3x4 – 4)(3x4 + 4) = 5) (2y5 – 5xz)(2y5 + 5xz) =6) (1 + 100ab5)(1 – 100ab5) =7) (20mn + 5)(– 5 + 20mn) =8) (– 7ax3 + 6by)(7ax3 + 6by) =9) (3m + 8n2)(3m – ___) =____ –

64n4

10)(3n3 – ___)(____ + 10) = 9n6 – ___

EjerciciosNombre:Grupo:N° L.Fecha:Tema: productos notables, binomios conjugados

1) (4xy – 2x)(4xy + 2x) = 2) ___ – 16y 2 = ( __ + 4y )(5x - __ )3)(y2 – 3y) (y2 + 3y)= 4)(1 – 8xy) (1 + 8xy)=5) (6x2 – m2x) (6x2 + m2x) =

6) (am – bn) (am – bn) =

7) (3xa + 5ym) (3xa – 5ym) =

8) (35)(25) = (30 + 5)(30 – 5)=

9) (52)(48) = (50 + 2) (50 – 2) =

10) (38)(42) =

Producto de binomios con término comúnEjemplo 1(x + 4)(x + 2) =

x

x

4

2

Ejemplo 2(m + 1)(m + 4) =

Ejemplo 3(x + 2)(x + 1) =

Ejemplo 4(a + 4)(a + 4) =

Ejemplo 5(b + 3)(b + 5) =

(x + 2)(x + 7 )= El cuadrado del término común es:

(x)(x) = x2

La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es:(2 + 7)x = 9x

El producto de los términos no comunes es: (2)(7) = 14(x + 2)(x + 7 )= x2 + (2 + 7)x + (2)(7)

= x2 + 9x+ 14

Analizaremos que sucede cuando los productos tienen diferentes signos.

1) (x + 5) (x – 2) =

2) (3y – 8) (3y – 3) =

3) (4b – 10) (2b + 7) =

4) (3m – 1) (2m + 6) =

5) (2a3 – 10) (2a3 – 4) =

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN

(x + a )(x + b )= x2 + (a+b) x + a bEl producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual:

Al cuadrado del término común, Más la suma algebraica de los

términos no comunes, multiplicado por el término común.

Más el producto de los términos no comunes.

Ejercicios en binas pero cada quien entrega su trabajo.Nombre:Grupo:N° L.Fecha:Tema: Binomios con término común

1) (a + 1) (a + 2) =

2) (x + 2) (x + 4) =

3) (x + 5) (x – 2) =

4) (m – 6) (m – 5) =

5) (x + 7) (x – 3) =

6) (x + 2) (x – 1) =

7) (x – 3)(x – 1) =

8) (x – 5) (x + 4) =

9) (a – 1) (a + 19) =

10) (n – 19) (n + 10) =

11) (a2 + 5) (a2 – 9) =

12) (x2 – 1) (x2 – 7) =

13) (2x3 + 8) (2x3 – 3) =

14) (7a2b3 – 6) (7a2b3 – 8) =

15) (3m3 + 9b) (3m3 -3b) =

Ejercicios en la libreta1) 3052 = (300 + 5)2 =

2) (1996)2 = (2000 – 4)2

3) (64)(56) = (60 + 4)(60 – 4)=

4) (34)(26) = (30 + 4) (30 – 4) =

5) (36)(44) =

6) (2a2 – 3b2) (2a2 – 3b2) =

7) (3x4 + 5y2) (3x4 – 5y2) =

8) (5ab + 5)(5ab – 5)=

9) (5x2 + 2) (5x2 – 8) =

10) (3m3 +9)(3m3 + 7) =

Nombre:Grupo:N° L. :Fecha:Tema: “Productos notables”

Por simple inspección resuelve los siguientes ejercicios y después realiza la multiplicación para comprobar.

1) (x – 3)(x – 3)= 2) (m – 12)2 =

3) (2x2 + 5)2 = 4) (7x – y3)(7x – y3) =

5) (5m5 + 1)(5m5 – 4)= 6) (4x + 13y)(4x – 13y)=

7) (7x – 4)(7x – 3)= 8) (a2b3 + 2c5)2 =

9) (–3+5mn2)(5mn2 + 3)= 10) (3b3 + 2) (3b3 + 6)=

APLICACIONES DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

EJERCICIOS

1) X + 6 = X + 4X + 2 X – 8

2) X + 6 = X + 2X + 2 X – 1

3) 2X + 6 = 2X + 22X + 1 2X – 4

4) 3X + 9 = 3X – 3 3X + 6 3X – 8

5) X – 1 = X – 2 X + 3 X +1

1) X + 3 = X + 1X – 2 X – 9

2) X + 8 = X + 12X + 9 X + 15

3) X – 1 = X + 2X + 3 X + 10

4) 3X + 9 = 3X – 3

3X + 6 3X – 8

5) X + 8 = X – 4 X – 4 X – 7

Nombre:Grupo:N° L. :Fecha:Tema: “Productos notables”

FACTORIZACION

En matemáticas, la factorización es la descomposición de un número, un termino, un polinomio, en factores, y que, al multiplicarlos, resulta a la expresión dada originalmente. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5

La Factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes.

Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra.

Proceso inverso de desarrollar una multiplicación es la factorización .

Factorizar quiere decir identificar los factores comunes de todos los términos y agruparlos.

Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.

Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras.

Así, factorizar un polinomio, es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre si se obtenga el polinomio original.

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

FACTOR COMUN, MONOMIO:

ESTE CASO SE DISTINGUE POR QUE EN TODOS LOS TERMINOS DEL POLINOMIO TENDREMOS COEFICIENTES Y LITERALES COMUNES, DE MANERA QUE TOMAREMOS LOS NUMEROS Y LITERALES COMUNES CON SU MENOR EXPONENTE.

EL RESULTADO SERÁ UNA EXPRESIÓN CON DOS FACTORES, EN UNO EL FACTOR COMUN Y EN EL OTRO FORMADO POR LOS TERMINOS NO COMUNES.

Ejemplo6X3 – 9X4 – 12X2 =

6x3 = 3*2 x*x*x9x4 = 3*3 x*x*x*x

12x2 = 3*4 x*x

6X3 – 9X4 -12X2 = 3*2 x*x*x – 3*3 x*x*x*x – 3*4x*x 6X3 – 9X4 – 12X2 = 3x*x (2x – 3x*x – 4)

6X3 – 9X4 – 12X2 = 3x2 (2x – 3x2 – 4)

Ejemplo 2

3X4y – 6X2y4 + 12X3y3 – 15X4y2

= 3x2y (x2 – 2y3 + 4xy2 – 5x2y)

Ejemplo 3

4x3y5z3 – 2x3y4z5 + 10x4y3z2 – 8x3y5z =

2x3y3z (2y2z2 – yz4 + 5xz – 2y2)

Ejercicios

1)10b – 30ab2 =

2) 3x4y – 6x2y4 + 12x3y3 – 15x4y2 =

3) 10a2 – 5a + 15a3 =

4) 6xy3 – 9nx2y3 + 12nx3y3 – 3n2x4y3 =

5) x – x2 + x3 – x4 =

6) a6 – 3a4 + 8a3 – 4a2=

7) 25x7 – 10x5 + 15x3 – 5x2=

8) 9a2 – 12ab + 15a3b2 – 24ab3 =

9) 16x3y2 – 8x2y – 24x4y2 – 40x2y3 =

10) 12m2n + 24m3n2 – 36m4n3 + 48m5n4=

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando tiene raíz exacta.

Completa correctamente los espacios que faltan en las siguientes expresiones. (en una hoja blanca o de color con tus datos)

(c + 5)(c + __ ) = ____ + 10c + _____

(__ + 7)( __ + 7) = ____ + 14 x + _____

(__ – 4)( __ – 4) = 9x2+ _____ + _____

(__ + 5)(2a + __ ) = ___ + 20a + _____

(__ + 3)( 2a + __ ) = ___ + 12a + _____

1) x2 – 4xy + 4y2 = Es un trinomio cuadrado

perfecto porque:

raíz cuadrada de x2 es ……. X

raíz cuadrada de 4y2 es …… 2y

Doble producto de estas raíces cuadrada, es decir: 2 ( x ) ( 2y ) es ……. 4xy

Y coincide con el segundo término del trinomio x2 – 4xy + 4y2 = (x – 2y)2

2) 36x2 – 18xy4 + 4y8 =

Será un trinomio cuadrado perfecto?raíz cuadrada de 36x2 es ……. 6x

raíz cuadrada de 4y8 es ……. 2y4

Doble producto de estas raíces cuadrada, es decir: 2 ( 6x ) ( 2y4 ) es ……. 24xy4

Y no coincide con el segundo término del trinomio

NO es t. c. p.

3) 4x2 + 12xz + 9z2 = Es un trinomio cuadrado

perfecto porque:

raíz cuadrada de 4x2 es ……. 2x

raíz cuadrada de 9z2 es ……. 3z

Doble producto de estas raíces cuadrada, es decir: 2 ( 2x ) ( 3z ) es ……. 12xz

Y coincide con el segundo término del trinomio

(2x + 3z)2

Procedimiento:

1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos,

los cuales no deben tener un signo negativo adelante, se les extrae raíz cuadrada.2° Paso:

A las raíces se les multiplica por (2); y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto en el segundo término del trinomio dado.3° Paso: Si coinciden, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego se factoriza como el cuadrado de un binomio.

1) a2 + ab + b2 =

2) x2 – 2x + 1 =

4) a2 – 10a + 25 =

3) y4 + 2y2 + 1 =

5) 9 – 6x + x2 =

EjerciciosEn una hoja blanca o de color con tus datos

6) 16 + 80x2 +25x4 =

7) 1 – 14a + 49a2 =8) 36 + 12m2 + m4 =9) 1 – 4a3 + a6 =

10) 9b2 – 30a2b + 25a4 =

Analicemos geométricamente la suma por su diferencia:

Consideremos que (x + a) es un lado del rectángulo y (x – a ) el otro lado.

x a

x2 - axx – a ax – a2

(x – a) (x + a) = x2 – a x + a x – a2 = x2 – a2

Ejemplo 2

x 3

x2 - 3xx – 3 3x – 9

(x – 3) (x + 3) = x2 – 3x + 3x – 9 = x2 – 9

NOTA:Al factorizar una diferencia de cuadrados se obtienen, “binomios conjugados”

Ejercicios: Encuentra el producto de las siguientes multiplicaciones geométricamente, utiliza hojas de colores en el trazo de rectángulos.

1) (x +7) (x – 7) =

2) (m – 4) (m + 4) =

3) (2a + 3) (2a – 3) =

4) (3b – 1) (3b + 1) =

5) (4n – 2) (4n + 2)

EjerciciosNombre:Grupo:N°L.:Fecha:Tema: factorización de una diferencia de cuadrados

1) x2 – y2 = 2) a2 – 1 =

3) a2 – 4 = 4) 9 – b2 =

5) 16x2 – 25n2 = 6) 49m2n2 – 169 =

7) 121 – 36x4y2z = 8) 144x10 – 100y12 =

9) 196b6c2 – a2 = 10) 9x2 – 225y2 =

11) ( x – y) (x + y) 12) (a + 1) (a – 1)

13) (a + 2) (a – 2) 14) (3 + b) (3 – b)

15) (4x+5n) (4x – 5n)

16) (7mn + 13)(7mn - 1)

17) (11 + 6x2yz)(11 – 6x2yz)

18) (12x5 + 10y6 ) (12x5 - 10y6 )

19) (14b3c + a) (14b3c – a)

20) (3x + 5y) (3x – 5y)

Son ejemplos de trinomios de la forma ax2 + bx + c.

x2 + 5x + 6

Primer términoElevado al cuadrado(término cuadrático)

Segundo términoLa misma letra y una cantidad cualquiera.(término lineal)

Tercer término(Término independiente)

Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c.1) Se descompone en dos factores (abrir dos

paréntesis) cuyo primer término en ambos será la raíz cuadrada del término cuadrático.

(x ) (x ) 2) En el primer factor, después de la raíz se

escribe el signo del término lineal y en el segundo paréntesis después de la raíz, el signo que resulte de la multiplicación del lineal con el término independiente.

(x + ) (x + ) 3) Se buscan dos números que multiplicados

den el término independiente pero que sumados o restados den el término lineal.

Ejemplo 1

X2 + 5x + 6 =

( X ) ( x ) + +3 2

X2 – 7x + 12 =

( X ) ( x ) – –3 4

Ejemplo 3

X2 + 2x – 15 =

( X ) ( x ) 5 3

X2 – 5x – 14 =

( X – 7 ) ( x + 2 )

– +

EjerciciosNombre:Grupo:N°L.:Fecha:Tema: factorización de la forma x2 + bx + c

1) m2 + 5m – 14 = 2) y2 – 9y + 20 =

3) x2 – x – 6 = 4) x2 – 9x + 8 =

5) c2 + 5c – 24 = 6) x2 – 3x + 2 =

7) a2 + 7a + 6 = 8) y2 – 4y + 3 =

9) n2 – 8n + 12 = 10) x2 + 10x + 21 =

EJERCICIOS EN BINAS PERO CADA QUIEN ENTREGA SU TRABAJONOMBRE:GRUPO:N°. L.:FECHA:TEMA: Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c

1) x2 – 13x + 40 =

2) X2 – 11x – 12 =

3) X4 – 5x2 – 50 =

4) X6 + 7x3 – 44 =

5) X4 + 5x2 + 4 =

6) x2 +7x + 10 =

7) X4 – 5x2 + 6 =

8) X2 + 3x – 10 =

9) X6 + x3 – 2 =

10) X4 + 4x2 + 3 =

Factorizar :

6x2 – 7x – 3 =

Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x2

6*6x2 – 7(6)x – (6) 3 = (6x)2 – 7(6)x – 18 =

Procedemos a factorizar como en los ejercicios anteriores

(6x)2 – 7(6)x – 18 =( ) ( ) 6

x6x

– +

9 2

Como al principio multiplicamos por 6, ahora tendremos que dividir entre 6, para no alterar el trinomio.

(6x – 9) (6x + 2) = 3 x 2

(2x – 3) (3x + 1)

6x2 – 7x – 3 = (2x – 3) (3x + 1)

EjerciciosNombres: Grupo: N°L.:__________________ ________ ____

Fecha:

Tema: factorización de la forma ax2 + bx + c

1) 2x2 + 3x – 2 = 2) 3x2 – 5x – 2 =

3) 6x2 + 7x +2 = 4) 5x2 + 13x – 6 =

5) 6x2 – 6 – 5x = 6) 12x2 – x – 6 =

7) 4a2 +15a + 9 = 8) 3 + 11a + 10a2 =

9) 12m2 – 13m - 35 = 10) 20y2 + y – 1 =

EJERCICIOS

• En hojas blancas o de colores .• Integrarse en tríos y entregar un solo

trabajo.Anotando los siguientes datos:Nombres Nº.

L.________________________ _____________________________ _____Grupo: _____ Fecha: ____________

Tema: Factorización: ax2 + bx + c

1) 4a2 + 15a + 9 =

2) 3 + 11a + 10a2 =

3) 12m2 – 13m – 35 =

4) 20y2 + y – 1 =

5) 8a2 – 14a – 15 =

6)7x2 – 44x – 35 =

7) 16m + 15m2 – 15 =

8) 2a2 + 5a + 2 =

9) 12x2 – 7x – 12 =

10) 9a2 + 10a + 1 =

11) 20n2 – 9n – 20 =

12) m – 6 + 15m2 =

13) 15a2 – 8a – 12 =

14) 9x2 + 37x + 4 =

14 a 1013 a 912 a 811 a 810 a 79 a 78 a 67 a 66 a 55 a 54 a 4

calif

icac

ió

n

APLICACIONES DE LA FACTORIZACIÒN DE TRINOMIOS DE LA FORMA:

AX + BX + CTrabajo 2ª parte

1) X2 – 3X + 2 = X – 1

2) 16X2 – 36 = 4X + 6

3) 2X2 – 7X – 4 =4X2 – 4x – 3

1) X2 – X – 56 = X – 8

2) 4X2 – 10X + 4 = 2X – 1

3) 4X2 + 6X – 18 = 2X – 3

4) 9X2 – 15x + 4 =3X2 + 5x – 2

5) 2X2 + 9x + 10 =2X2 – x – 15

Fin