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CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES
• Transformen expresiones algebraicas en otras equivalentes al efectuar cálculos.
TEMA UNO
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PRODUCTOS NOTABLES
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Tanto en la multiplicación aritmética como en la algebraica se sigue un algoritmo (Un sistema en el que manipulamos símbolos) cuyos pasos nos lleva a un producto. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla que simplifica el lograr los resultados. Estos son los productos notables.
Ustedes deberán descubrir esas regla.
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¿Qué es un producto notable? Los productos notables son aquellos
que se pueden hallar sin tener que efectuar paso a paso la multiplicación, sino por simple observación y empleando la fórmula debida.
¿cuáles son los principales productos notables? (binomio de suma al cuadrado, diferencia de suma al cuadrado, diferencia de cuadrados, producto de binomios con término común)
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CUADRADO DE LA SUMA 0 DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES( a + b )2 = a2 + 2ab +b2
( a – b )2 = a2 – 2ab + b2
PRODUCTO DE LA SUMA POR SU DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES ( a + b) ( a – b ) = a2 – b2
PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN.(a + b)(a + c) = a2 + (+b +c)a + (b)(c)
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Analizaremos geométricamente el cuadrado de un binomio .Consideremos que ( x + a) es el lado de un cuadrado
El área del cuadrado de lado (x +a) corresponde a las sumas de las áreas que se forman.
(x + a)2 = x2 + ax + ax + a2
= x2 + 2ax + a2 5 y 3
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EJEMPLO 2( X + 6)2 =
(X + 6)2 = X2 + 6X + 6X + 36
= X2 + 12X + 36
6 y 3
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3) (X + b)2 = (x + b)(x + b) (X + b)2 = (x + b)(x + b)
= x2 + b x + b x + b2
= x2 + 2bx + b2
5) (2m + 1)2 = 6) (a2 + 2) (a2 + 2) =
7) (3a + 2)2 = 8) (2x2 + 3) (2x2 + 3) =
9) (2b + 1)2 = 10) (3m3 + 2n2) (3m3 + 2n2) =
(4) (c + 5)2 = (c + 5)(c + 5) (c + 5)2 = (c + 5)(c + 5)
= c2 + 5c + 5c + 25 = c2 + 10c + 25
4 y 3
5 y 2
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Núm. de cuadrado
Medida de un lado
Perímetro Área
1 x + 1 4(x+1)= 4x + 4 (x+1)2 = (x+1)(x+1)=x2+x+x+1=x2+2x+1
23456a x + a (x + a)2 = (x + a)(x + a) =
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¿Qué sucede cuando tenemos signo menos?1) (a – b)2 = (a – b) (a – b)
(a – b)2 = (a – b) (a – b) = a2 – ab – ab + b2
= X2 – 2ab + b22) (m – n)2 = (m – n) (m – n)
(m – n)2 = (m – n) (m – n) = m2 – m n – m n + n2 = m2 – 2mn + n2
3) (2x – 3y)2 = (2x – 3y) (2x – 3y)
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CUADRADO DE LA SUMA o RESTA DE DOS CANTIDADES
( a + b )2 = a2 +2ab + b2 ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2
El cuadrado de la suma y/o resta de dos términos es igual: Cuadrado del primer
término, más o menos el doble
producto de ambos términos, más el cuadrado del
segundo término.
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(5x + 7)2 =El cuadrado del 1er término es:
(5x)(5x) = (25x2) El doble producto de ambos términos es:
2(5x)(7)=(10x)(7) = 70xEl cuadrado del 2do término es:
(7)(7) = 49Entonces:
( 5x + 7 )2 =25x2 +70x+49
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APLICACIÓN. De manera mental, resolver la siguiente multiplicación (105) (105) =
Es decir: (100 + 5) (100 + 5)=
1. (100) (100) =2. 2(100) (5) =3. (5) (5) =
R = 11025
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Ejercicios (1)Nombre:Grupo:N° L:Fecha:
Tema: productos notables, (binomios al cuadrado).
1)(x + 9)2 = (x)2 + 2(x)(9) + (9)2
x2 + 18x + 81
2) (x – 10)2 = (x)2 – 2(x)(10) + (10)2
3) (2x + 9y)2=
4) (2x + 5m)(2x + 5m)=
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5) (3a3–8b4) (3a3–8b4)=
6) (x10 – 10y12) =
7) (am + an) =
8) (24)2 = (20 + 4)2 =
9) (1996)2 = (2000 – 4)2 =
10) (33)2 =
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1) (7x + 11)2 =2) (x + y)2 = 3) (1 + 3x2)2 = 4) (2x + 3y)2 = 5) (a2x + by2)2 = 6) (3a3 + 8b4)2 = 7) (4m5 + 5n6)2 = 8) (7a2b3 + 5x4)2 =9) (4ab2 + 5xy3)2 = 10) (8x2y + 9m3) =
En binas los siguientes ejercicios pero cada quien entrega el suyo. Le agrega datos:Nombre iniciando con apellidos, grupo, n° de lista y fecha, al final la firma de Ud.
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1) (9 – a)2 =2) (2a – 3b)2 = 3) (4ax – 1)2 = 4) (a3 – b3)2 = 5) (3a4 – 5b2)2 = 6) (x2 – 1)2 = 7) (4m5 + 5n6)2 = 8) (x5 – 3ay2)2 =9) (2m – 3n)2 = 10) (10x3 – 9xy5) =
En binas los siguientes ejercicios pero cada quien entrega el suyo. Le agrega datos:Nombre iniciando con apellidos, grupo, n° de lista y fecha, al final la firma de Ud.
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a
a
b
(a – b) (a + b) = a2 – b2
a2
b2
BINOMIOS CONJUGADOS
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= x2 + x y – x y – y2 = x2 – y2
1) (x + y) (x – y) = x2 + x y – x y – y2
2) (2m + 3n) (2m – 3n) =
(2m + 3n) (2m – 3n) = 4m2 + 6m n – 6m n – 9n2
= 4m2 – 9n2 3) ( – 2b3 + 5a2) (2b3 + 5a2) =
( 5a2 – 2b3) ( 5a2 + 2b3) = 25a2 + 10 a b – 10 a b – 4 b2
= 25a2 – 4b2
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PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
(binomios conjugados)
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
( a - b ) ( a + b )= a2 - b2
La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual:
Cuadrado del primer término, Menos el cuadrado del segundo
término.
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Por tanto podemos decir:
Que la suma por su diferencia (binomios conjugados) es igual al cuadrado de los términos que tienen el mismo signo, menos el cuadrado de los términos que tienen distinto signo.
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(4x + 9y) (4x – 9y) =
El cuadrado del 1er término es: (4x)(4x) = 16x2
El cuadrado del 2do término es: (9y)(9y) = 81y2
Entonces: ( 4x + 9y )( 4x - 9y )= 16x2 – 81y2
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binomios conjugados.
1) (2x + 5m)(2x – 5m)=2) (3a3– 8b4) (3a3– 8b4)=3) (4x3y – 1)(4x3y + 1) = 4) (3x4 – 4)(3x4 + 4) = 5) (2y5 – 5xz)(2y5 + 5xz) =6) (1 + 100ab5)(1 – 100ab5) =7) (20mn + 5)(– 5 + 20mn) =8) (– 7ax3 + 6by)(7ax3 + 6by) =9) (3m + 8n2)(3m – ___) =____ –
64n4
10)(3n3 – ___)(____ + 10) = 9n6 – ___
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EjerciciosNombre:Grupo:N° L.Fecha:Tema: productos notables, binomios conjugados
1) (4xy – 2x)(4xy + 2x) = 2) ___ – 16y 2 = ( __ + 4y )(5x - __ )3)(y2 – 3y) (y2 + 3y)= 4)(1 – 8xy) (1 + 8xy)=5) (6x2 – m2x) (6x2 + m2x) =
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6) (am – bn) (am – bn) =
7) (3xa + 5ym) (3xa – 5ym) =
8) (35)(25) = (30 + 5)(30 – 5)=
9) (52)(48) = (50 + 2) (50 – 2) =
10) (38)(42) =
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Producto de binomios con término comúnEjemplo 1(x + 4)(x + 2) =
x
x
4
2
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Ejemplo 2(m + 1)(m + 4) =
Ejemplo 3(x + 2)(x + 1) =
Ejemplo 4(a + 4)(a + 4) =
Ejemplo 5(b + 3)(b + 5) =
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(x + 2)(x + 7 )= El cuadrado del término común es:
(x)(x) = x2
La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es:(2 + 7)x = 9x
El producto de los términos no comunes es: (2)(7) = 14(x + 2)(x + 7 )= x2 + (2 + 7)x + (2)(7)
= x2 + 9x+ 14
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Analizaremos que sucede cuando los productos tienen diferentes signos.
1) (x + 5) (x – 2) =
2) (3y – 8) (3y – 3) =
3) (4b – 10) (2b + 7) =
4) (3m – 1) (2m + 6) =
5) (2a3 – 10) (2a3 – 4) =
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PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN
(x + a )(x + b )= x2 + (a+b) x + a bEl producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual:
Al cuadrado del término común, Más la suma algebraica de los
términos no comunes, multiplicado por el término común.
Más el producto de los términos no comunes.
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Ejercicios en binas pero cada quien entrega su trabajo.Nombre:Grupo:N° L.Fecha:Tema: Binomios con término común
1) (a + 1) (a + 2) =
2) (x + 2) (x + 4) =
3) (x + 5) (x – 2) =
4) (m – 6) (m – 5) =
5) (x + 7) (x – 3) =
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6) (x + 2) (x – 1) =
7) (x – 3)(x – 1) =
8) (x – 5) (x + 4) =
9) (a – 1) (a + 19) =
10) (n – 19) (n + 10) =
11) (a2 + 5) (a2 – 9) =
12) (x2 – 1) (x2 – 7) =
13) (2x3 + 8) (2x3 – 3) =
14) (7a2b3 – 6) (7a2b3 – 8) =
15) (3m3 + 9b) (3m3 -3b) =
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Ejercicios en la libreta1) 3052 = (300 + 5)2 =
2) (1996)2 = (2000 – 4)2
3) (64)(56) = (60 + 4)(60 – 4)=
4) (34)(26) = (30 + 4) (30 – 4) =
5) (36)(44) =
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6) (2a2 – 3b2) (2a2 – 3b2) =
7) (3x4 + 5y2) (3x4 – 5y2) =
8) (5ab + 5)(5ab – 5)=
9) (5x2 + 2) (5x2 – 8) =
10) (3m3 +9)(3m3 + 7) =
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Nombre:Grupo:N° L. :Fecha:Tema: “Productos notables”
Por simple inspección resuelve los siguientes ejercicios y después realiza la multiplicación para comprobar.
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1) (x – 3)(x – 3)= 2) (m – 12)2 =
3) (2x2 + 5)2 = 4) (7x – y3)(7x – y3) =
5) (5m5 + 1)(5m5 – 4)= 6) (4x + 13y)(4x – 13y)=
7) (7x – 4)(7x – 3)= 8) (a2b3 + 2c5)2 =
9) (–3+5mn2)(5mn2 + 3)= 10) (3b3 + 2) (3b3 + 6)=
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APLICACIONES DE LOS PRODUCTOS NOTABLES
EJERCICIOS
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1) X + 6 = X + 4X + 2 X – 8
2) X + 6 = X + 2X + 2 X – 1
3) 2X + 6 = 2X + 22X + 1 2X – 4
4) 3X + 9 = 3X – 3 3X + 6 3X – 8
5) X – 1 = X – 2 X + 3 X +1
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1) X + 3 = X + 1X – 2 X – 9
2) X + 8 = X + 12X + 9 X + 15
3) X – 1 = X + 2X + 3 X + 10
4) 3X + 9 = 3X – 3
3X + 6 3X – 8
5) X + 8 = X – 4 X – 4 X – 7
Nombre:Grupo:N° L. :Fecha:Tema: “Productos notables”
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FACTORIZACION
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En matemáticas, la factorización es la descomposición de un número, un termino, un polinomio, en factores, y que, al multiplicarlos, resulta a la expresión dada originalmente. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5
La Factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes.
Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra.
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Proceso inverso de desarrollar una multiplicación es la factorización .
Factorizar quiere decir identificar los factores comunes de todos los términos y agruparlos.
Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.
Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras.
Así, factorizar un polinomio, es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre si se obtenga el polinomio original.
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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
FACTOR COMUN, MONOMIO:
ESTE CASO SE DISTINGUE POR QUE EN TODOS LOS TERMINOS DEL POLINOMIO TENDREMOS COEFICIENTES Y LITERALES COMUNES, DE MANERA QUE TOMAREMOS LOS NUMEROS Y LITERALES COMUNES CON SU MENOR EXPONENTE.
EL RESULTADO SERÁ UNA EXPRESIÓN CON DOS FACTORES, EN UNO EL FACTOR COMUN Y EN EL OTRO FORMADO POR LOS TERMINOS NO COMUNES.
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Ejemplo6X3 – 9X4 – 12X2 =
6x3 = 3*2 x*x*x9x4 = 3*3 x*x*x*x
12x2 = 3*4 x*x
6X3 – 9X4 -12X2 = 3*2 x*x*x – 3*3 x*x*x*x – 3*4x*x 6X3 – 9X4 – 12X2 = 3x*x (2x – 3x*x – 4)
6X3 – 9X4 – 12X2 = 3x2 (2x – 3x2 – 4)
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Ejemplo 2
3X4y – 6X2y4 + 12X3y3 – 15X4y2
= 3x2y (x2 – 2y3 + 4xy2 – 5x2y)
Ejemplo 3
4x3y5z3 – 2x3y4z5 + 10x4y3z2 – 8x3y5z =
2x3y3z (2y2z2 – yz4 + 5xz – 2y2)
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Ejercicios
1)10b – 30ab2 =
2) 3x4y – 6x2y4 + 12x3y3 – 15x4y2 =
3) 10a2 – 5a + 15a3 =
4) 6xy3 – 9nx2y3 + 12nx3y3 – 3n2x4y3 =
5) x – x2 + x3 – x4 =
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6) a6 – 3a4 + 8a3 – 4a2=
7) 25x7 – 10x5 + 15x3 – 5x2=
8) 9a2 – 12ab + 15a3b2 – 24ab3 =
9) 16x3y2 – 8x2y – 24x4y2 – 40x2y3 =
10) 12m2n + 24m3n2 – 36m4n3 + 48m5n4=
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Una cantidad es cuadrado perfecto cuando tiene raíz exacta.
Completa correctamente los espacios que faltan en las siguientes expresiones. (en una hoja blanca o de color con tus datos)
(c + 5)(c + __ ) = ____ + 10c + _____
(__ + 7)( __ + 7) = ____ + 14 x + _____
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(__ – 4)( __ – 4) = 9x2+ _____ + _____
(__ + 5)(2a + __ ) = ___ + 20a + _____
(__ + 3)( 2a + __ ) = ___ + 12a + _____
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1) x2 – 4xy + 4y2 = Es un trinomio cuadrado
perfecto porque:
raíz cuadrada de x2 es ……. X
raíz cuadrada de 4y2 es …… 2y
Doble producto de estas raíces cuadrada, es decir: 2 ( x ) ( 2y ) es ……. 4xy
Y coincide con el segundo término del trinomio x2 – 4xy + 4y2 = (x – 2y)2
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2) 36x2 – 18xy4 + 4y8 =
Será un trinomio cuadrado perfecto?raíz cuadrada de 36x2 es ……. 6x
raíz cuadrada de 4y8 es ……. 2y4
Doble producto de estas raíces cuadrada, es decir: 2 ( 6x ) ( 2y4 ) es ……. 24xy4
Y no coincide con el segundo término del trinomio
NO es t. c. p.
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3) 4x2 + 12xz + 9z2 = Es un trinomio cuadrado
perfecto porque:
raíz cuadrada de 4x2 es ……. 2x
raíz cuadrada de 9z2 es ……. 3z
Doble producto de estas raíces cuadrada, es decir: 2 ( 2x ) ( 3z ) es ……. 12xz
Y coincide con el segundo término del trinomio
(2x + 3z)2
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Procedimiento:
1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos,
los cuales no deben tener un signo negativo adelante, se les extrae raíz cuadrada.2° Paso:
A las raíces se les multiplica por (2); y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto en el segundo término del trinomio dado.3° Paso: Si coinciden, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego se factoriza como el cuadrado de un binomio.
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1) a2 + ab + b2 =
2) x2 – 2x + 1 =
4) a2 – 10a + 25 =
3) y4 + 2y2 + 1 =
5) 9 – 6x + x2 =
EjerciciosEn una hoja blanca o de color con tus datos
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6) 16 + 80x2 +25x4 =
7) 1 – 14a + 49a2 =8) 36 + 12m2 + m4 =9) 1 – 4a3 + a6 =
10) 9b2 – 30a2b + 25a4 =
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Analicemos geométricamente la suma por su diferencia:
Consideremos que (x + a) es un lado del rectángulo y (x – a ) el otro lado.
x a
x2 - axx – a ax – a2
(x – a) (x + a) = x2 – a x + a x – a2 = x2 – a2
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Ejemplo 2
x 3
x2 - 3xx – 3 3x – 9
(x – 3) (x + 3) = x2 – 3x + 3x – 9 = x2 – 9
NOTA:Al factorizar una diferencia de cuadrados se obtienen, “binomios conjugados”
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Ejercicios: Encuentra el producto de las siguientes multiplicaciones geométricamente, utiliza hojas de colores en el trazo de rectángulos.
1) (x +7) (x – 7) =
2) (m – 4) (m + 4) =
3) (2a + 3) (2a – 3) =
4) (3b – 1) (3b + 1) =
5) (4n – 2) (4n + 2)
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EjerciciosNombre:Grupo:N°L.:Fecha:Tema: factorización de una diferencia de cuadrados
1) x2 – y2 = 2) a2 – 1 =
3) a2 – 4 = 4) 9 – b2 =
5) 16x2 – 25n2 = 6) 49m2n2 – 169 =
7) 121 – 36x4y2z = 8) 144x10 – 100y12 =
9) 196b6c2 – a2 = 10) 9x2 – 225y2 =
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11) ( x – y) (x + y) 12) (a + 1) (a – 1)
13) (a + 2) (a – 2) 14) (3 + b) (3 – b)
15) (4x+5n) (4x – 5n)
16) (7mn + 13)(7mn - 1)
17) (11 + 6x2yz)(11 – 6x2yz)
18) (12x5 + 10y6 ) (12x5 - 10y6 )
19) (14b3c + a) (14b3c – a)
20) (3x + 5y) (3x – 5y)
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Son ejemplos de trinomios de la forma ax2 + bx + c.
x2 + 5x + 6
Primer términoElevado al cuadrado(término cuadrático)
Segundo términoLa misma letra y una cantidad cualquiera.(término lineal)
Tercer término(Término independiente)
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Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c.1) Se descompone en dos factores (abrir dos
paréntesis) cuyo primer término en ambos será la raíz cuadrada del término cuadrático.
(x ) (x ) 2) En el primer factor, después de la raíz se
escribe el signo del término lineal y en el segundo paréntesis después de la raíz, el signo que resulte de la multiplicación del lineal con el término independiente.
(x + ) (x + ) 3) Se buscan dos números que multiplicados
den el término independiente pero que sumados o restados den el término lineal.
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Ejemplo 1
X2 + 5x + 6 =
( X ) ( x ) + +3 2
X2 – 7x + 12 =
( X ) ( x ) – –3 4
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Ejemplo 3
X2 + 2x – 15 =
( X ) ( x ) 5 3
X2 – 5x – 14 =
( X – 7 ) ( x + 2 )
– +
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EjerciciosNombre:Grupo:N°L.:Fecha:Tema: factorización de la forma x2 + bx + c
1) m2 + 5m – 14 = 2) y2 – 9y + 20 =
3) x2 – x – 6 = 4) x2 – 9x + 8 =
5) c2 + 5c – 24 = 6) x2 – 3x + 2 =
7) a2 + 7a + 6 = 8) y2 – 4y + 3 =
9) n2 – 8n + 12 = 10) x2 + 10x + 21 =
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EJERCICIOS EN BINAS PERO CADA QUIEN ENTREGA SU TRABAJONOMBRE:GRUPO:N°. L.:FECHA:TEMA: Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c
1) x2 – 13x + 40 =
2) X2 – 11x – 12 =
3) X4 – 5x2 – 50 =
4) X6 + 7x3 – 44 =
5) X4 + 5x2 + 4 =
![Page 76: Productosnotables011](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062320/55d59dc3bb61eb76778b4585/html5/thumbnails/76.jpg)
6) x2 +7x + 10 =
7) X4 – 5x2 + 6 =
8) X2 + 3x – 10 =
9) X6 + x3 – 2 =
10) X4 + 4x2 + 3 =
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Factorizar :
6x2 – 7x – 3 =
Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x2
6*6x2 – 7(6)x – (6) 3 = (6x)2 – 7(6)x – 18 =
Procedemos a factorizar como en los ejercicios anteriores
(6x)2 – 7(6)x – 18 =( ) ( ) 6
x6x
– +
9 2
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Como al principio multiplicamos por 6, ahora tendremos que dividir entre 6, para no alterar el trinomio.
(6x – 9) (6x + 2) = 3 x 2
(2x – 3) (3x + 1)
6x2 – 7x – 3 = (2x – 3) (3x + 1)
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EjerciciosNombres: Grupo: N°L.:__________________ ________ ____
Fecha:
Tema: factorización de la forma ax2 + bx + c
1) 2x2 + 3x – 2 = 2) 3x2 – 5x – 2 =
3) 6x2 + 7x +2 = 4) 5x2 + 13x – 6 =
5) 6x2 – 6 – 5x = 6) 12x2 – x – 6 =
7) 4a2 +15a + 9 = 8) 3 + 11a + 10a2 =
9) 12m2 – 13m - 35 = 10) 20y2 + y – 1 =
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EJERCICIOS
• En hojas blancas o de colores .• Integrarse en tríos y entregar un solo
trabajo.Anotando los siguientes datos:Nombres Nº.
L.________________________ _____________________________ _____Grupo: _____ Fecha: ____________
Tema: Factorización: ax2 + bx + c
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1) 4a2 + 15a + 9 =
2) 3 + 11a + 10a2 =
3) 12m2 – 13m – 35 =
4) 20y2 + y – 1 =
5) 8a2 – 14a – 15 =
6)7x2 – 44x – 35 =
7) 16m + 15m2 – 15 =
![Page 83: Productosnotables011](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062320/55d59dc3bb61eb76778b4585/html5/thumbnails/83.jpg)
8) 2a2 + 5a + 2 =
9) 12x2 – 7x – 12 =
10) 9a2 + 10a + 1 =
11) 20n2 – 9n – 20 =
12) m – 6 + 15m2 =
13) 15a2 – 8a – 12 =
14) 9x2 + 37x + 4 =
![Page 84: Productosnotables011](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062320/55d59dc3bb61eb76778b4585/html5/thumbnails/84.jpg)
14 a 1013 a 912 a 811 a 810 a 79 a 78 a 67 a 66 a 55 a 54 a 4
calif
icac
ió
n
![Page 85: Productosnotables011](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062320/55d59dc3bb61eb76778b4585/html5/thumbnails/85.jpg)
APLICACIONES DE LA FACTORIZACIÒN DE TRINOMIOS DE LA FORMA:
AX + BX + CTrabajo 2ª parte
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1) X2 – 3X + 2 = X – 1
2) 16X2 – 36 = 4X + 6
3) 2X2 – 7X – 4 =4X2 – 4x – 3
![Page 87: Productosnotables011](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022062320/55d59dc3bb61eb76778b4585/html5/thumbnails/87.jpg)
1) X2 – X – 56 = X – 8
2) 4X2 – 10X + 4 = 2X – 1
3) 4X2 + 6X – 18 = 2X – 3
4) 9X2 – 15x + 4 =3X2 + 5x – 2
5) 2X2 + 9x + 10 =2X2 – x – 15
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Fin
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