productos notables

PRODUCTOS NOTABLES

MIGUEL REGALADO DAZ 5 C

I.E. P.N.P.

Jos Hctor

Rodrguez Trigoso

PRODUCTOS NOTABLES

CURSO : Matemtica.

ALUMNO : Miguel Regalado Daz GRADO : 5

SECCIN : C

2015

PRODUCTOS NOTABLES


PRODUCTOS NOTABLES Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que

cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspeccin, sin

verificar la multiplicacin.

Cada producto notable corresponde a una frmula de factorizacin. Por ejemplo, la

factorizacin de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomio

conjugados, y recprocamente.

Factor comn

El resultado de multiplicar un binomio por un trmino se obtiene aplicando

la propiedad distributiva:

En la figura adjunta se observa que rea del rectngulo es , es decir, el producto

de la base por la altura , y tambin puede obtenerse como la suma de las dos

reas coloreadas: y

Cuadrado de un binomio

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por s mismo), se suman los

cuadrados de cada trmino con el doble del producto de ellos. As:

PRODUCTOS NOTABLES


Producto de dos binomios conjugados Dos binomios conjugados se diferencian slo en el signo de la operacin. Para su multiplicacin

basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un trmino conserva el signo

negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

Ejemplo:

Agrupando trminos:

A este producto notable tambin se le conoce como suma por la

diferencia.

En el

caso

, aparecen polinomios.

PRODUCTOS NOTABLES


Cuadrado de un polinomio Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de trminos se suman los cuadrados de cada

trmino individual y luego se aade el doble de la suma de los productos de cada posible par de

trminos.

Ejemplo:

Multiplicando los monomios:

Agrupando trminos:

Luego:

Romper moldes

.

PRODUCTOS NOTABLES


Cubo de un binomio

Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:

El cubo del primer trmino con el triple producto del cuadrado del primero por el

segundo.

El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.

El cubo del segundo trmino.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo:

Agrupando trminos:

Si la operacin del binomio implica resta, el resultado es:

El cubo del primer trmino.

Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.

Ms el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.

Menos el cubo del segundo trmino.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo:

Agrupando trminos:

PRODUCTOS NOTABLES


BINOMIO AL CUADRADO

Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al

cuadrado del primer trmino, ms el doble producto del

primero por el segundo ms el cuadrado segundo.

(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2

(x + 3)2 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al

cuadrado del primer trmino, menos el doble producto del

primero por el segundo, ms el cuadrado segundo.

(a b)2 = a2 2 a b + b2

(2x 3)2 = (2x)2 2 2x 3 + 3 2 = 4x2 12 x + 9

PRODUCTOS NOTABLES


Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de

cuadrados .

(a + b) (a b) = a2 b2

(2x + 5) (2x - 5) = (2 x)2 52 = 4x2 25

BINOMIO AL CUBO

Binomio de suma al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del

primero, ms el triple del cuadrado del primero por el

segundo, ms el triple del primero por el cuadrado del

segundo, ms el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3

(x + 3)3 = x 3 + 3 x2 3 + 3 x 32 + 33 =

= x 3 + 9x2 + 27x + 27

Binomio de resta al cubo

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del

primero, menos el triple del cuadrado del primero por el

segundo, ms el triple del primero por el cuadrado del

segundo, menos el cubo del segundo.

PRODUCTOS NOTABLES


(a b)3 = a3 3 a2 b + 3 a b2 b3

(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 (2x)2 3 + 3 2x 32 - 33 =

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del

primero, ms el cuadrado del seguno, ms el cuadrado del

tercero, ms el doble del primero por el segundo, ms el

doble del primero por el tercero, ms el doble del segundo

por el tercero.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c

(x2 x + 1)2 =

= (x2)2 + (x)2 + 12 +2 x2 (x) + 2 x2 1 + 2 (x) 1 =

= x4 + x2 + 1 2x3 + 2x2 2x =

= x4 2x3 + 3x2 2x + 1

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2)

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x 2 - 6x + 9)

PRODUCTOS NOTABLES


Diferencia de cubos

a3 b3 = (a b) (a2 + ab + b2)

8x3 27 = (2x 3) (4x 2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un trmino comn

(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3)x + 2 3 =

= x2 + 5x + 6

Cocientes notables

PRODUCTOS NOTABLES


EJERCICIOS

DESARROLLAR LOS BINOMIOS AL CUADRADO.

1(x + 5)2 =

= x2 + 2 x 5 + 5 2 =

= x 2 + 10 x + 25

2(2x - 5)2 =

= (2x)2 - 2 2x 5 + 52 =

= 4x2 - 20 x + 25

3(2x - 5)2 =

= (2x)2 - 2 2x 5 + 52 =

= 4x2 - 20 x + 25

4

PRODUCTOS NOTABLES


DESARROLLA LOS BINOMIOS AL CUBO.

1 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 (2x)2 3 + 3 2x 32 - 33=

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

2(x + 2)3 = x 3 + 3 x2 2 + 3 x 2 2 + 23 =

= x3 + 6 x2 + 12 x + 8

3(3x - 2)3 = (3 x)3 3 (3x)2 2 + 3 3x 2 2 23 =

=27x 3 54 x2 + 36 x 8

4(2x + 5)3 = (2 x)3 + 3 (2x)2 5 + 3 2x 52 + 5 3 =

= 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125

DESARROLLA LAS SUMAS POR DIFERENCIAS

1(3x - 2) (3x + 2) =

= (3x)2 22 =

= 9x2 4

PRODUCTOS NOTABLES


2(x + 5) (x 5) =

= x2 25

3(3x - 2) (3x + 2) =

= (3x)2 22 =

= 9x4 4

4(3x - 5) (3x - 5) =

= (3x) 2 52 =

= 9x 2 25

productos notables

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