productos notables

Profesor Alfredo Pardo Gonzlez

Ped. Matemtica Mencin Computacin Magister en Evaluacin Educacin

Universidad de Valparaso. Universidad de Playa Ancha

Productos notables.

Los productos notables son multiplicaciones de expresiones algebraicas fcilmente reconocibles y que

para determinar su desarrollo basta con aplicar una frmula general conocida.

i) Cuadrado de binomio. Corresponde a la expresin (x + y) 2 (x y) 2 que representa el producto

(x + y)(x + y) (x y)(x y) respectivamente. Determinemos la frmula general de su desarrollo.

(x + y) 2 = (x + y)(x + y) aplicando distributividad

= (x + y)x + (x + y)y distribuyendo otra vez

= xx + xy + xy + y y reduciendo

= x2 + 2xy + y2 que es la frmula buscada.

Para el binomio (x y) 2, su frmula de desarrollo es x2 2xy + y2. Luego, en general podemos anotar

y+xyx=yx222 2

Ejemplos:

a) (3a + 4) 2 = (3a) 2 + 23a4 + 42

= 9a2 + 24a + 16

b) (a 3b) 2 = a2 2a3b + (3b) 2

= a2 6ab + 9b2

ii) Suma por su diferencia. Corresponde al producto de dos binomios con los mismos trminos, pero en

un caso se suman y en el otro se restan. Su expresin general es

(x + y)(x y)

Para determinar la frmula de desarrollo de este producto, aplicamos sucesivamente la propiedad

distributiva.

(x + y)(x y) = (x + y)x (x + y)y

= xx + yx (xy + yy)

= x2 + yx xy y2

= x2 + 0 y2

yx=yxy+x22

Ejemplos:

a) (3a + 2b)(3a 2b) = (3a) 2 (2b) 2

= 9a2 4b2

b) (a2 + 8)(a2 8) = (a2) 2 82

= a4 64

iii) binomios por trmino comn. Corresponde a la multiplicacin de dos binomios donde uno de los

trminos se repite en ambos. Su expresin general es

(x + a)(x + b)




Determinemos la frmula de desarrollo empleando el mismo procedimiento de los casos anteriores.

(x + a)(x + b) = (x + a)x + (x + a)b

= xx + ax + xb + ab

y reduciendo trminos semejantes se llega a

ab+xb+a+x=b+xa+x 2

Ejemplos:

a) (x + 4)(x + 9) = x2 + (4 + 9)x + 49 = x2 + 13x + 36

b) (2x + 5)(2x 2) = (2x) 2 + (5 2)2x + 5(-2)

= 4x2 + 32x + (-10)

= 4x2 + 6x 10

c) (x2 + 3)(x2 4) = (x2) 2 + (3 4)x2 + 3(-4) = x4 + (-x2) + (-12)

= x4 x2 12

iv) Cubo de binomio: Corresponde a la expresin (x + y) 3 (x y) 3 que representa el producto

(x + y)(x + y)(x + y) (x y)(x y)(x y) respectivamente. Encontremos su forma general:

(x + y) 3 = (x + y) 2(x + y)

= (x2 + 2xy + y2)( x + y)

= (x2 + 2xy + y2)x + (x2 + 2xy + y2)y

= x3 + 2x2y + xy2 + x2y + 2xy2 + y3

= x3 + 3 x2y + 3 xy2 + y3

Para el binomio (x y) 3, su frmula de desarrollo es x3 3x2y + 3xy2 y3. Luego, en general podemos anotar

yxy+yxxyx 23233

33

Ejemplos:

a) (a + 2)3 = a3 + 3a22 + 3a22 + 23

= a3 + 6a2 + 12a + 8

b) (b 2)3 = b3 3b22 + 3b22 23

= b3 6b2 + 12b 8

c) (2x 3y)3 = (2x)3 + 3(2x)2(3y) + 3(2x)(3y)2 + (3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3

ACTIVIDADES

Desarrolla los siguientes productos notables.

a) (x2 + 1) 2 b) (2 x) 2 c) (3a a2) 2

d) (9 + 9x) 2 e) (xy 1) 2 f) (x2 y + xy2) 2

g) (x 4) 2 h) (x 7)(x + 7) i)

2

1

2

1 - x + x




j) (3a + x)(3a x) k) (x + 1)(1 x) l) (a + 4)(a 4)

m) (x + x2)(x x2) n)

34

1

34

1 x -

x + o)

3

1

2

1 + x + x

Suma y diferencia de cubos

De donde se deducen las siguientes reglas:

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus

races cbicas, y el segundo se compone de l cuadrado de la primera raz menos el producto de

ambas races ms el cuadrado de la segunda raz.

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia

de sus races cbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raz ms el producto

de ambas races ms el cuadrado de la segunda raz.

Ejemplo explicativo:

Factorizacin de expresiones algebraicas.

Factorizar un nmero es expresarlo como una multiplicacin de dos o ms factores. Por ejemplo,

factorizar el 6 es expresarlo como 23, o como 61. Factorizar el 24 es expresarlo como 38, 243 122. Ahora bien, factorizar un trmino algebraico es expresar dicho trmino como una multiplicacin entre

diversos coeficientes y/o factores literales. Por ejemplo:

ax2 = 1 a x x

-3x2y3 = -1 3 x x y y y

8a2 = 2 4 a a

c

ab12 = 3 4 a b

c

1

y

x2

16 = 2 2 2 2 x

y

1

y

1




En general, el nmero de factores en que se descompone un trmino es arbitrario y su determinacin obedece

a razones prcticas. Por ejemplo, factoricemos de diferentes maneras el trmino -4a2x

i) -4 a2 x ii) -a2 4x iii) -x 4a2

iv) 4a2 x (-1) v) 2 (-2a2 x) vi) 2a (-2ax)

vii) -4x a2 viii) -a (4ax) etc.

Factorizar una expresin algebraica es escribirla como una multiplicacin entre un factor comn de

los trminos de dicha expresin por un multinomio de manera que, al desarrollar dicha multiplicacin se

obtenga la expresin original. Este procedimiento corresponde al procedimiento inverso de la

distributividad (tema 3.2.1, N 11).

Sea la expresin 4x2 6x. Esta expresin no se puede reducir, pero puede transformarse en una multiplicacin factorizndola. Para eso, factoricemos previamente cada trmino.

4x2 6x = 2 2 x x 2 3 x

Ahora, notamos que se repiten un 2 y una x en los trminos de este binomio, luego podemos escribir

4x2 6x = 2x 2x 2x 3

Ahora, sacamos el factor comn fuera del binomio de manera que quede multiplicando a los dos

trminos ya sin el factor comn

4x2 6x = 2x (2x 3)

Veamos otros Ejemplos:

a) 5a2 b 15ab + 20a2 b2 = 5ab a 5ab 3 + 5ab 4ab

= 5ab (a 3 + 4ab)

b) rr

2 + 2

2 = r

2

r + r 2

= r (2

r+ 2)

c) 6

5

2

3 y +

x =

3

5

2

13

2

1 y+x

=

3

53

2

1 y+x

d) -2x3 4x2 6x = -2xx2 2x2x 2x3

= -2x(x2 + 2x + 3)

e) (sacar factor comn 1)

ax2 b = 1(-ax2) 1b

= 1(-ax2 + b)

= (b ax2)

Sacar factor comn 1 es un procedimiento que permite cambiar los signos de una expresin algebraica.

f) 3x + 2y 5z = 1(3x) + (1)(2y) 15z

= 1(3x 2y + 5z)

= (5z 3x 2y)




Simplificacin de expresiones algebraicas.

Ahora aplicaremos este mismo concepto a una fraccin cuyos numerador y denominador son

expresiones algebraicas.

Sea la fraccin x

x

6

3 2. Esta fraccin puede simplificarse por 3x, porque es un divisor comn del

numerador y del denominador. Dividiendo nos queda

x

x

6

3 2 =

23

3

x

x x

=

23

3 x

x

x =

21

x =

2

x

es decir, factorizamos el numerador y el denominador de manera que tengamos el mismo factor. Luego se

expresa este factor comn como una fraccin equivalente a 1 y, como el 1 es el elemento neutro

multiplicativo, el factor comn "se va" o "desaparece" de la fraccin original.

Otro Ejemplo:

441

43

3

43

3

12

3 2 ab=

ab=

ab

ac

ac=

ac

abac=

ac

bca

Ms Ejemplos:

a) 4 4 5

5

20

5 333 x =

x =

x

b) ab=ab

=ab 2

22

33

3 3

3

9

c) ab

= ab a

a =

ba

a

2

1

29

19

18

92

d)

443

3

12

3 2 xy =

x

xy- x=

x

yx-

e)

a=

a a

-a=

a

a-

3

1

32

1 2

6

22

2

3

2

f) 4

25

4

25

4

25 b - =

a

)b - a( =

a

aab -

g) x

- x =

x x

) - x(x =

x

x - x223

2

3

4

35

45

15

205

h) 53

42

532

422

106

842

2

-a

b + =

) -a ab(

b) + ab( =

ab - ba

ab + ab

productos notables

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