PRODUCTOS NOTABLES

En múltiples situaciones aparecen ciertos productos que pueden ser calculados a través de formulas establecidas.

Es conveniente recordar dichos productos y formulas para realizar los cálculos o simplificar expresiones.

Estos productos se llaman “Productos Notables” y son los que veremos a continuación.

Elaborado por: Alma Evelia Romero1

Los productos notables son métodos para encontrar resultados de multiplicaciones sin necesidad de efectuar la multiplicación. Sólo se necesitan seguir algunas reglas.

Los productos notables son los siguientes:

Binomio al cuadrado Binomio al cubo Cuadrado de un Trinomio Binomio conjugado Binomio con término común

Productos Notables

2

2 2 2( ) 2a b a ab b

Binomio al cuadrado (cuadrado de una suma)

Desarrollando la multiplicación tenemos:

Agrupando términos semejantes tenemos:

3

De donde observamos que la regla para el cuadrado de una suma es:

El cuadrado del primer términomás el doble producto del primero por el

segundomás el cuadrado el segundo.

Como observaste no hay necesidad de multiplicar (a+b) (a+b), vemos que el resultado es:

2 2 2( ) 2a b a ab b

4

2 2 2( ) 2a b a ab b

(a - b)2 = a2 - [b2 + (ab – b2) + (ab – b2) ]

(a - b)2 = a2 – [2ab – b2]

(a – b2) = a2 – 2ab + b2

Ahora analicemos:

(cuadrado de una diferencia)

5

Solo debemos poner atención a los signos y aplicar

las leyes correspondientes.

Como observas las reglas son prácticamente las mismas porque también es un binomio al cuadrado.

2 2 2( ) 2a b a ab b De donde observamos que la regla para el cuadrado

de una diferencia es:El cuadrado del primer término

menos el doble producto del primero por el segundo

más el cuadrado el segundo. 6

Porque los dos términos son exactamente

iguales.

Ejemplos: 1.- (a+b)(a+b) = (a+b)² 2.- (a-b)(a-b)= (a-b)²

¿Cómo reconocemos un binomio al cuadrado?

7

Trinomio cuadrado perfecto

Y se le reconoce porque el primero y el último término tienen raíces cuadradas exactas.

Y porque al multiplicar estas raíces entre sí y luego por 2 nos da el término de en medio.

a + 2ab + b

Al resultado de un binomio al cuadrado se le llama:

2 2

8

1.- (m + n)² = (m)² + 2(m)(n) + (n)² = m² + 2mn + n²

2.- (5x – 7y)² = (5x)² + 2(5x)(-7y) + (-7y)² = 25x² – 70xy + 49y²

3.- (ab – 1)² = (ab)² + 2(ab)(-1) + (-1)² = a²b² – 2ab + 1

4.- (3a³ + 5ab)² = (3a³)² + 2(3a³)(5ab) + (5ab)² = 9a6 + 30 a4b + 25a²b²

5.-

Ejemplos

9

251

5422

51

5122

51 4)(22)2()2( xxxxx

Resuelve los siguientes problemas:

1.- (4x² – 7xy)² = 7.- (m – 1)² =

2.- (8a + 2ab)² = 8.- (5x + y)² =

3.- (9a – 7b)² = 9.- (5ab² + 6)² =

4.- (1 + ab)² = 10.- (5x³y² – x)² =

5.- (5x³y² – 3x)² = 11.- (7x + 7y)² =

6.- ( a + 2b)² =

Ejercicios

10

Resuelve los siguientes problemas:

1.- = 16x4 − 56x3 y + 49x²y² 7.- = m² – 2m + 1

2.- = 64a² + 32a²b + 4a²b² 8.- = 25x² + 10xy +y²

3.- = 81a² – 126ab +49b² 9.- = 25a²b4 + 60ab² + 36

4.- = 1 + 2ab + a²b² 10.- = 25 x6 y4 - 10x4y² + x²

5.- = 25 x6 y4 – 30 x4 y² + 9x² 11.- = 49x² + 98xy + 49y²

6.- a² + ab + 4b²

Respuestas

11

El cubo de una suma es igual a un polinomio de cuatro

términos:

Como se puede observar la Regla a seguir es:

1. El cubo del primer termino: a³2. Mas el triple del producto del cuadrado del primero

por el segundo: 3a²b3. Mas el triple del producto del primero por el cuadrado

del segundo: 3ab²4. Mas el cubo del segundo termino: b³

Cubo de un Binomio

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b

12

Ejemplo:

(2a+3b)3 = (2a)3 + 3(2a)2 (3b) + 3(2a)(3b)2 + (3b)3

Simplificando

= 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3

Cubo de un BinomioSuma

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b

13

Del mismo modo, el cubo de una diferencia es igual a un polinomio

de cuatro términos:

Como se observar la Regla es la misma puesto que se trata del cubo de un binomio pero ahora es necesario poner atención a los signos y aplicar las leyes correspondientes para tener:

1. El cubo del primer termino: a³2. Menos el triple del producto del cuadrado del primero por el

segundo: 3a²b3. Mas el triple del producto del primero por el cuadrado del

segundo: 3ab²4. Menos el cubo del segundo termino: b³

Cubo de un Binomio

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b

14

Ejemplo:

(6w+8z)3 = (6w)3 + 3(6w)2 (8z) + 3(6w)(8z)2 + (8z)3

Simplificando

= 216w3 + 864w2z + 1152wz2 + 512z3

Cubo de un BinomioDiferencia

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b

15

16

Mas ejemplos

3431472177373)7( 2332233 xxxxxxx

322332233 12522513527)5()5(335)3(3)3()53( babbaabbabaaba

Resolver los siguientes problemas:

1.- ( a + 2 )³ = 2.- ( m + 2) ³ =

3.- (2x + 1) ³ = 4.- (2x – 4) ³ =

5.- ( -5x – 4y) ³ = 6.- ( 2 + y²)³ =

7.- ( 4n + 3 ) ³ = 8.- ( 2x + 3y ) ³ =

9.- ( a² + 4 ) ³ =

Cubo de un BinomioEjercicios

17

1.- = a³ + 6a² +12a +8 2.- = m³ +6m² +12m + 8

3.- = 8x ³+ 12x² + 6x + 1 4.- = 8x³ - 48x² +96x - 64

5.- = -125x³ – 300x²y – 240xy² - 64y³ 6.- = 8 + 12y² + 6y4 + y6

7.- = 64n³ + 144n² + 108n + 27 8.- = 8x³ + 36x²y + 54xy²

+27y³

9.- = a6 + 12a4 + 48a² +64

Cubo de un BinomioRespuestas

18

Otro producto notable es el cuadrado de un

trinomio o trinomio elevado al cuadrado. Si se resolvieran las multiplicaciones correspondientes, se tuviera esto:

Cuadrado de un trinomio

(a + b + c)²

(a + b + c)² = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bcAl agrupar términos comunes y simplificar, se obtiene lo siguiente:

19

De donde se puede establecer la forma de

resolverlo directamente, la cual es muy sencilla, solo se deben sumar:

Los cuadrados de cada termino y los dobles productos que se pueden formar con los

tres términos: a, b y c.Como se indica a continuación:

Cuadrado de un trinomio

(a + b + c)²

(a + b + c)² = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

20

Desarrollar

Aplicando la regla tenemos:

Simplificando se tiene:

Ejemplos

(2x + 5y + 4z)² = (2x)2 + (5y)2 + (4z)2 + 2(2x)(5y) + 2(2x)(4z) + 2(5y)(4z)

(2x + 5y + 4z)² = 4x2 + 25y² + 16z² + 20xy + 16xz + 40yz

(2x + 5y + 4z)²

21

Desarrollar

Aplicando la regla tenemos:

Simplificando y aplicando Leyes de los signos se tiene:

Mas ejemplos

(6a – 7b + 8c)² = (6a)2 + (-7b)2 + (8c)2 + 2(6a)(-7b) + 2(6a)(8c) + 2(-7b)(8c)

(6a – 7b + 8c)² = 36a2 + 49b² + 64c² - 84ab + 96ac – 112bc

(6a – 7b + 8c)²

22

1. (x2 − x + 1)2 = 2. (2 + 5a - 4b)² =3. (4b – 5a - 2)² =4. (9r + s + )² =5. (² =6. (a² - 6b – 9)² =7. (5w – 9z + 6)² =8. (4x + 3y – 5z)² =

Ejercicios

23

1. = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 12. = 25a² + 16b² + 20a - 16b - 40ab + 43. = 25a² + 16b² + 20a – 16b - 40ab + 44. = 81r² + s² + 42rs + 12r + s + 5. = + 6. = a4 - 18a² + 36b² -12a²b + 108b + 817. = 25w² + 81z² - 90wz + 60w – 108z + 368. = 16x² +9y² + 25z² +24xy – 40xz – 30yz

Respuestas

24

Binomio conjugado

Diferencia de cuadrados

Producto de una suma por una diferencia

25

Porque tiene 2 términos comunes (iguales) y 2términos simétricos (iguales pero con signos

contrarios) (a+b)(a-b)Y la regla es:El cuadrado del común menos el cuadrado

del simétrico. (a+b)(a-b)= a² - b²

¿Cómo reconocemos un binomio conjugado?

26

El resultado de un binomio conjugado se

llama:

Diferencia de cuadrados

y se reconoce porque siempre tiene forma de una resta de cuadrados.

a - b2 2

27

Ejemplos

28

648)8)(8( 222 xxxx

2622333 94)3()2()32)(32( babababa

Binomio con término común

Multiplicación de binomios con un término común

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

(x + a) (x + b) =x2 + ax + bx + ab

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

29

Porque tienen un término común y el otro

totalmente diferente.(x+a)(x+b)

Y el resultado es:

(x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab

De donde obtenemos la siguiente regla:

¿Cómo reconocemos un binomio con término común?

2

30

El cuadrado del común

Más la suma de los no comunes por el comúnMás la multiplicación de los no comunes.

El resultado de un binomio con término común se llama Trinomio cuadrático o de segundo grado y para reconocerlo hay que encontrar dos números que sumados den el segundo término y multiplicados el tercero.

x² + (a+b)x + (ab)

Regla del binomio con término común:

31

Ejemplos

32

2411)38()38()3()8( 22 xxxxxx

65)16()16()1()6( 22 xxxxxx

4064)85(2)85()2()82)(52( 22 xxxxxx

Resuelve los siguientes productos notables,

aplicando las reglas correspondientes.

Ejercicios:

1.- (x+2)2 = 2.- (x+1)(x-1)=

3.- (x-5)2 = 4.- (n+3)(n-5)=

5.- (2+b)3 = 6.- (a2 + 8)(a2 -7)=

7.- (n-4)3 = 8.- (x-3)(x-1)=

33

1.- x2+4x+4

3.- x2-10x+25

5.- 8+12b+ 6b2+ b3

7.- n3-12n2+ 48n- 64

Respuestas

2.- x2 - 1

4.- n2- 2n -15

6.- a4+ a2 - 56

8.- x2- 4x+ 3

34

1. Binomio de Suma al

Cuadrado ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

2. Binomio Diferencia al Cuadrado

( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

3. Diferencia de Cuadrados ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

4. Binomio Suma al Cubo ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

= a3 + b3 + 3 ab (a + b)5. Binomio Diferencia al Cubo ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

6. Suma de dos Cubos ( a + b ) ( a2 – ab + b2) = a3 + b3 

7. Diferencia de Cubos ( a - b ) ( a2 + ab + b2) = a3 - b3 8. Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado

de un Trinomio ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)9. Producto de dos binomios que tienen

un término común ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab10.Trinomio Suma al Cubo ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c³ + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)11.Identidades de Legendre ( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2) ( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

Resumen

35