PRODUCTOS NOTABLESCRISTIAN MUÑOZ

QUE SON?

Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Éstos productos reciben el nombre de productos notables.

Se llama producto notable a un producto que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación.

CUADRADO DE UN BINOMIOUn binomio al cuadrado (suma) es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

Ejemplos:

• (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

• (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

Ejemplo

• (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DEL CUADRADO DEL BINOMIO

Con ellos se construye un trazo de longitud “a+ b“:

a b

ba y con él un cuadrado de la misma longitud:

ba

ba

a

a

b

b

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DEL CUADRADO DEL BINOMIO

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

CUBO DEL BINOMIO

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Ejemplos:

• (a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

• (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x3 + 9x2 + 27x + 27

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

• (a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3

• (2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 − 33 =

= 8x 3 − 36 x2 + 54 x − 27

CUBO DEL BINOMIO (a + b)3

a

b

CUBO DEL BINOMIO (a - b)3

a

a

bb a - b

a - bb

b

a - b

a

ab(a-b) b(a –b)2

b(a2 -2ab + b2)

a2 b – 2ab2 + b3 a2b – ab2

(a – b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3

a2b

MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS

Se multiplican aplicando la propiedad distributiva. Cada término del primer binomio debe multiplicar a cada término del segundo binomio.

(x+3)(x+5)= x2 +5x+3x+15= =x2 +8x+15

BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN

Es un PRODUCTO NOTABLE (ver explicación de producto notable más abajo) entre dos binomios que en ambos binomios se repiten un mismo término. El ejercicio (A+2) * (A+3) lo desarrollamos anteriormente utilizando la propiedad distributiva. Ahora lo desarrollaremos utilizando la fórmula de este producto notable:

El ejercicio siguiente será:

(A+B) * (A+C), El término común es (A), entonces la fórmula dice que:(A+B) * (A+C) = A^2 + (B+C)A + B*C

Ejemplo:

(3+Z) * (Z+2), El término común es (Z), entonces utilizando la fórmula:(3+Z) * (Z+2) = Z^2 + (3+2)Z + 3*2(3+Z) * (Z+2) = Z^2 + 5Z + 6

MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS CON TERMINO COMÚN

lo primero que tienes que saber es que los Binomios con un termino común son aquellos que tiene un termino(literal) común, es decir, que todos tienen aquel termino.( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab=“Cuadrado del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más el producto de los términos distintos”

(y+2) (y-1)

El termino común de estos binomios es yEl caso especial de la multiplicación de binomios con un termino común se puede realizar de manera abreviada. Considérese la multiplicación

(y+2) (y-1)

Primero se multiplica cada termino de (y + 2) por el otro binomio:(y+2) (y-1)= y ( y - 1) + 2 ( y - 1)Luego, se efectúa los productos indicados y se reducen terminaos semejantes:(y+2) (y-1)= y ( y - 1) + 2 ( y - 1)=y^2 - y + 2y - 2= y^2 - y - 2