productos notables
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Productos notables 1
Productos notables
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado
puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación
simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia
de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.
Factor común
Representación gráfica de la regla de factor
común
El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se
obtiene aplicando la propiedad distributiva:
Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es
(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas
coloreadas (ca) y (cb).
Ejemplo
Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio
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Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí
mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del
producto de ellos. Es decir:
un trinomio de la forma: , se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:
En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.
Ejemplo
simplificando:
Producto de dos binomios con un término común
Ilustración gráfica del producto de binomios con
un término común
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se
suma el cuadrado del término común con el producto el término común
por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los
términos diferentes.
Ejemplo
agrupando términos:
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luego:
Producto de dos binomios conjugados
Véase también: Conjugado (matemática)
Producto de binomios conjugados.
Dos binomios conjugados son aquellos que
sólo se diferencien en el signo de la
operación. Para multiplicar binomios
conjugados, basta elevar los monomios al
cuadrado y restarlos, obteniendo una
diferencia de cuadrados
Ejemplo
agrupando términos:
A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.
Polinomio al cuadrado
Elevando un trinomio al cuadrado de forma
gráfica
Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman
los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de
la suma de los productos de cada posible par de términos.
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Ejemplo
multiplicando los monomios:
agrupando términos:
luego:
Binomio al cubo o cubo de un binomio
Descomposición volumétrica del binomio al cubo
Para calcular el cubo de un binomio, se
suma: el cubo del primer término, con el
triple producto del cuadrado del primero por
el segundo, más el triple producto del
primero por el cuadrado del segundo, más el
cubo del segundo término.
Identidades de Cauchy:
Ejemplo
agrupando términos:
Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo
del segundo término.
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Identidades de Cauchy:
Ejemplo
agrupando términos:
Identidad de Argand
Identidades de Gauss
Identidades de Legendre
Identidades de Lagrange
Otras identidades
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique cuales
productos son los únicos que pueden llamarse notables y los demás no. Existen otras fórmulas, que aunque menos
usadas que las anteriores, pueden en cierto contexto ser consideradas productos notables. Entre ellas se destacan:
adicion de cubos
diferencia de cubos
Es más frecuente listar las dos fórmulas anteriores como fórmulas de factorización ya que los productos tienen una
forma particularmente simétrica pero el resultado sí (contrastar por ejemplo con la fórmula de binomio al cubo).
La suma y diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias n-ésimas:
Suma de potencias n-ésimas
Sí y sólo si "n" es impar,
Diferencia de potencias n-ésimas
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Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar con el teorema del binomio.
Existe una ingeniosa fórmula para representar un cubo como suma de dos cuadrados:
Véase también
• Binomio
• Trinomio
• Factorización
• Triángulo de Pascal
Bibliografía
• Wentworth, George; y Smith, David Eugene (1917). Ginn & Co.. ed. Elementos de Algebra (2a edición). Boston,
USA. pp. 456. ISBN.
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