PRODUCTOS NOTABLES DIVISIÓN ALGEBRAICA COCIENTES NOTABLES

SEMANA 4

EQUIPO DE CIENCIAS

ESQUEMA DE LA UNIDAD

PRODUCTOS NOTABLES, DIVISIÓN

ALGEBRAICA, COCIENTES NOTABLES

PRODUCTOS NOTABLES:DEFINICIÓN

TABLA DE IDENTIDADES

CASOS ESPECIALES

DIVISIÓN ALGEBRAICA:

ELEMENTOS

CASOS

MÉTODOS DE DIVISIÓN

TEOREMA DEL RESTO

COCIENTES NOTABLES:CONCEPTO

CASOS

TÉRMINO GENERAL

PRODUCTOS NOTABLES

APLICACIONES

22 12345671234568

¿Cómo calcularía el siguiente número?

Lo veremos al final de la clase…

PRODUCTOS NOTABLES

PRODUCTOS NOTABLES

SUMA Y DIFERENCIA DE UN BINOMIO AL

CUADRADO

SUMA Y DIFERENCIA DE UN BINOMIO AL

CUBO

IDENTIDADES DE LEGENDRE, STEVEN

Y ARGAND

IDENTIDADES CONDICIONALES

IDENTIDADES ADICIONALES

• Son productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado se puede obtener sin realizar la multiplicación.

¿Qué son los Productos Notables?

SUMA Y DIFERENCIA DE UN BINOMIO AL CUADRADO

(x + y)² = x² + 2xy + y² (x - y)² = x² - 2xy + y²

Por ejemplo:• (x + 3)² = • (a - 2)² = • (4y + 1)² = • (5n - m)² =• (3+(-2b))2 =

x² + 2(x)(3) + 3² = x² + 6x + 9

a² - 2(a)(2) + 2² = a² - 4a + 4

(4y)² + 2(4y)(1) + 1² = 16y² + 8y + 1

(5n)² - 2(5n)(m) + (m)² = 25n²-10nm+m²

3² + 2(3)(-2b) + (-2b)²= 9 -12b + 4b²

SUMA Y DIFERENCIA DE UN BINOMIO AL CUBO

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3

Por ejemplo:• (x+4)3 = • (x-1)3 =

= x3 + 3xy(x + y) + y3

= x3 - 3xy(x - y) - y3

x3 + 3(x)2(4) +3(x)(4)2 + 43 = x3 + 12x2+48x + 64

x3 - 3(x)2(1) +3(x)(1)2 - 13 = x3 - 3x2+3x - 1

IDENTIDADES DE LEGENDRE, STEVEN Y ARGAND

(x + y)² + (x – y)² = 2(x² + y²)(x + y)² – (x – y)² = 4xy

Identidad de Legendre

EJEMPLOS:

1) (x + 7)2 + (x - 7)2 = 2(x2 + 72) = 2(x2 + 49) = 2x2 + 98

2) (x + 5)2 - (x - 5)2 = 4(x)(5) = 20x

IDENTIDADES DE LEGENDRE, STEVEN Y ARGAND

Identidad de Steven

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab(x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ac)x + abc

EJEMPLOS:

1) (x + 2)(x - 9) = x2 + (2 - 9)x + (2)(-9)

2) (x + 1)(x + 3)(x + 5) = x3 + (1+3+5)x2 + [(1)(3)+(3)(5)+(1)(5)]x + (1)(3)(5)

= x3 + 9x2 + 23x + 15

= x2 - 7x - 18

IDENTIDADES DE LEGENDRE, STEVEN Y ARGAND

Identidad de Argand

(x² + xy + y²)(x² – xy + y²) = x4 + x²y² + y4

(x² + x + 1)(x² – x + 1) = x4 + x² + 1

EJEMPLO:

(x2 + 11x + 112) (x2 - 11x + 112) = x4 + (112) (x2) + 114

= x4 + 121x2 + 14641

IDENTIDADES CONDICIONALES

Si: a + b + c = 0

Se cumple:

a2 + b2 + c2 -2(ab + ac + bc)

a3 + b3 + c3 3abc

abcbcacabcbacbacba

bcacabcbacba

3))((3)(

)(2)(3333

2222

0 Si cba

Si: a2 + b2 + c2 ab + ac + bc

Donde: a, b, c R

Se demuestra que:

cba

IDENTIDADES ADICIONALES

Diferencia de cuadrados

(a + b)(a – b) = a2 – b2

Suma y diferencia de cubos

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3

(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

1) Reducir:

2) Si:

Hallar

4) Si:

Hallar: M = x3 + 3x + 8

3) Si: a + b = 5 ab = 2

Calcular: a3 + b3

22 )2332()2332( A

TRIÁNGULO DE PASCAL

El triángulo de Pascal mostrado es para un binomio de grado 10.

¡Ahora todos a practicar!

EVALUACIÓN

1) Reducir:

M = (x + 1)(x2 + x + 1)(x - 1)(x2 – x + 1) + 1

2) Si:

Calcular:

PIERRE DE FERMAT