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Universidad de Valparaíso – Facultad de Ciencias – Pedagogía en MatemáticasPR

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• Manipulación y transformación de representaciones mentales. Permite anticipar las consecuencias de la conducta sin realizarla.

Es una experiencia interna e intrasubjetiva. Dentro de los temas del pensamiento encontramos el razonamiento y la resolución de problemas

• Razonamiento

Usar la información para extraer una conclusión y tomar una decisión: una inferencia.

PENSAMIENTO


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• Problema: Diferencia entre el estado actual y estado deseado o meta.– Tiene 3 elementos fundamentales:

• Un estado inicial• Un estado final• Un conjunto de procesos (operadores) que pueden

transformar un estado en otro

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS


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• Tipos de problemas• Bien definidos: la meta del problema es clara y/o los

medios para resolverlo también lo son. • Por ejemplo: resolver una ecuación, el juego del gato, etc.

2x + 5 = 3



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• Mal definidos: la meta del problema es ambigua o múltiple y/o los medios para resolverlo son poco obvios.

• Por ejemplo: escribir una carta para convencer al profesor de cambiar la fecha de una prueba; reducir el desempleo; etc.



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• Modelo general de solución de problemas:

1. Identificar el problema

2. Representar el problema

3. Seleccionar una estrategia adecuada

4. Poner en práctica la estrategia

5. Evaluar las soluciones



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OS RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1. Identificar el Problema• Es difícil: se necesita creatividad, perseverancia y

reflexión.• Obstáculos para identificar los problemas

eficazmente:– “Falta de costumbre” en buscar el problema

del modo activo. Acostimbrados a que nos den los problemas (sistema escolar???)

– Falta de conocimiento previo relevante. El conocimiento previo facilita la percepción y la elaboración temporal de información nueva, facilita y guía la codificación.


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– Poco tiempo de reflexión sobre la naturaleza de un problema.

• Getzels y Czikszentmihalyi: En un estudio de creatividad artística concluyeron que mientras más tiempo dedicaban un grupo de artistas a la solución de un problema llegaban a soluciones más originales. Mayor tiempo antes predice la originalidad

– Baja perseverancia ante dificultades iniciales. (personas que suelen considerar que los problemas tienen tiempo limitado)

– Falta de pensamiento divergente, ya que éste, que se relaciona con la creatividad, hace que se exploren situaciones nuevas, facilita una identificación eficaz.



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2. Representar el problema• Interna: pensar sobre el

problema en abstracto• Externa:

– disminuye la cantidad de información que hay que recordar para identificar y solucionar el problema.

– Ayuda a razonar con más claridad. – Ejemplos de representación externa:

• Grafico• Dibujo• Historia del problema• Ecuación


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• Interna o externa: es más fácil resolver cuando se analizan los componentes del espacio problema.

• Espacio problema: todos los operadores y restricciones que les afectan e intervienen en el problema.

• Pueden ser pequeños cuando hay menos vías de solución, por ejemplo: comprar un regalo; o grandes cuando hay más vías de solución, por ejemplo buscar una vacuna contra el SIDA.



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• El espacio problema se compone de:– Estado de la meta: lo que queremos conseguir al resolver el

problema• A mayor claridad de la meta, menor dificultad en resolver el

problema.• Varía en especificidad y complejidad.

– Estado inicial: lo que se sabe del problema antes de tratar de resolverlo.

– Operadores: son los objetos o conceptos del problema que se manipulan para llegar a una solución. Por ejemplo:

• Piezas de ajedrez• Variables de ecuación algebraica• Tiempo y conocimientos del contenido en una prueba tradicional

– Restricciones de los operadores: Limitaciones que afectan el uso de uno o más operadores.

• La mejor distinción es entre operadores relevantes e irrelevantes para mejor resolución de un problema.


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3. Seleccionar una estrategia adecuada• Van de una baja estructuración (Heurísticos)

a alta estructuración (algoritmos)– Heurísticos: reglas generales, poco específica

para resolver rápidamente un problema.• Ejemplos: dominar el centro del tablero de ajedrez,

“donde fueres, haz lo que vieres”• Ensayo y error: método menos eficaz de todos. Es

común en novatos y en todas las personas al inicio de la solución de un problema.

• Análisis medios-fines: – Formular un estado de la meta– Dividir el problema en subproblemas– Evaluar el éxito del rendimeinto en cada paso antes de

pasar al siguiente


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– Algoritmos: reglas detalladas, paso-a-paso de cómo resolver un problema.

• Por ejemplo, una receta de cocina.

Novatos Expertos

•Ensayo y error•Análisis Medios-fines rudimentaria

•Análisis medios-fines:

clasifican el problema por el tipo de solución que necesitan

Planifican con más antelación y coordinan la secuencia completa de solución de un problema con más eficacia


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4. Poner en práctica la estrategia

• Se tiene éxito al poner en práctica la estrategia si:

– Se ha hecho bien la identificación y representación del problema

– Se ha escogido adecuadamente la estrategia


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Expertos

•Coordinan la fase de solución del problema con más eficacia

•Cambian de estrategia con más frecuencia•Tienen en cuenta más soluciones•Evalúan las soluciones con más detenimiento antes de descartarlas•Llegan a conclusiones más viables


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5. Evaluar las soluciones• No hacerlo es desaprovechar la

oportunidad de mejorar habilidades• Evaluar las estrategias utilizadas ayuda

a comprender mejor la utilidad y aplicabilidad de las mismas.

• Implica:– Análisis del producto– Análisis de los procesos


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Conocimiento experto en la solución de problemas:

• La capacidad de resolver problemas está influida por:

– La cantidad de conocimiento específico del dominio.

– La cantidad de experiencia que tenemos en tratar de resolver un tipo de problema concreto.



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• Conocimiento del dominio– Dominio del contenido y de la actividad:

• Conocimiento declarativo• Conocimiento procedimental• Conocimiento metacognitivo

– La meta de la enseñanza es construir estos 3 tipos de conocimiento.

– Un experto sabe que los problemas de su campo se solucionan con facilidad cuando se relacionan con otros similares.



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Novatos Expertos

•Usa estrategias menos productivas ya que tiene un menor conocimiento del dominio.

•Piensa antes de actuar•Usa esquemas y diagramas


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• Conocimiento General– Conocimiento amplio que no está vinculado a

un campo específico.– Complementa el conocimiento del dominio

• Conocimiento del dominio y la pericia– Tarda 5 a 10 años, y que parte importante del

conocimiento procedimental y declarativo que se necesita para dominar un determinado campo se adquiere de forma tácita durante un período de tiempo prolongado.


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• Siete características de los expertos:1. Los expertos destacan sólo en un dominio.

En otros dominios resuelven problemas con estrategias y rendimientos similares a las de los novatos

2. Los expertos procesan la información en unidades grandes• Chunking• La cantidad de información que analizan al

observar es mayor.


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3. Son más rápidos que los novatos al procesar información significativa• Buscan problemas y los representan de manera

más eficaz– Identifican la información relevante– Eligen la estrategia adecuada

4. Pensamiento y acciones muy automatizados– Emplean mejor su MCP


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5. Representan el problema a nivel más profundo• Prestan más atención a los rasgos subyacentes

que a los rasgos superficiales.• Utilizan análisis medios fines

6. Dedican más tiempo a analizar el problema• Dedican más tiempo a identificar y representar el

problema y menos a elegir una estrategia


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7. Supervisan mejor su rendimiento• Tienen mayores probabilidades de generara

hipótesis alternativas• Son más rápidos para rechazar soluciones

inadecuadas• Formulan preguntas más adecuadas en todos los

estadios del procesos de solución de problemas.


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• Los expertos son más rápidos, eficaces y reflexivos debido a la profundidad y amplitud de su conocimiento


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OS Tipología de resolución de

problemasTipología de Greeno: existen tres tipos de

problemas:

• Inducción de estructuras

• de transformación

• de ordenamiento


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OS Tipología de Greeno

•Problemas de Inducción de estructuras

Se dan algunos elementos y la tarea principal es identificar el patrón de relaciones presente entre los elementos.

– Un ejemplo prototípico es un problema de analogías donde se dan cuatro elementos y se le pide a la persona que decida si están relacionados en alguna forma que encaje con la estructura A:B :: C:D.

• Greeno plantea que la habilidad cognitiva principal requerida por los patrones de inducción de estructuras es alguna forma de comprensión.


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OS Tipología de Greeno/inducción de Estructuras

• Dos tipos de problemas de inducción han sido estudiados profusamente:

– problemas de analogías.• Ejemplo:

– mercader es a vendedor, como cliente es a comprar• Todos los modelos asumen que hay un proceso por el que

las relaciones entre los pares de términos son aprehendidas y organizadas en una estructura simple en que la relación entre A y B es la misma, o casi la misma, que la relación entre C y D.

– De extrapolación de series• Ejemplo:

– ABM CDM ___.• Los problemas de extrapolación de series también requieren

la inducción de patrones de relaciones.


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OS Tipología de Greeno/inducción de Estructuras

Proceso de comprensiónEl proceso psicológico para resolver problemas de analogías o extrapolación de series , comprende identificar relaciones entre los componentes y ajustar estas relaciones en un patrón conjunto. Estos procesos de aprehender relaciones y construir una representación integrada son los procesos principales comprometidos en la comprensión.

Habilidades para resolver problemas de inducción de estructuras.• La habilidad y el conocimiento requerido para tener habilidades superiores en estos problemas incluyen un proceso de aprehender las relaciones presentes entre los elementos del problema y el proceso de generar una representación integrada del patrón.


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•Problemas de transformación

La tarea es trabajar en una situación y transformarla en otra que es la meta del problema.

– En un problema de transformación existe una situación inicial, una meta y un conjunto de operaciones que produzca cambios en la situación.

– La tarea del solucionador es encontrar la secuencia de operaciones que transforme la situación inicial en la meta.


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OS Tipología de Greeno/transformación

– Las habilidades que se necesitan para los problemas simples de transformación comprenden habilidades para planificar basado en un método denominado análisis medio-fin.

• En una clase de problemas existen algunos objetos y algunas restricciones acerca de cómo deben moverse desde una parte de la situación a la otra.

• En otra clase de problemas los objetivos se cambian de acuerdo a un conjunto de reglas; los problemas de movimiento incluyen la torre de Hanoi, los problemas de cambio, la prueba de teoremas, otros.


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• Respuesta: VERDE1 VERDE 2 VERDE 3 CAFÉ 3 CAFÉ 2 CAFÉ 1

• V3/C3/C2/V3/V2/V1/C3/C2/C1/V3/V2/V1/C2/C3/V1


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OS Torre de Hanoi

• Problema matemático que se le atribuye al matemático francés Edouard Lucas (1842 - 1891).

• El problema consiste mover una torre, compuesta de discos de diferentes tamaños, de un extremo al otro. Sólo hay dos reglas: – Sólo se puede mover un disco a la vez – No está permitido mover un disco encima de otro más pequeño.


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•Planteamiento por análisis de medio-fin.– En cada etapa de trabajo en un problema transformacional, la

tarea de la persona es seleccionar una de las operaciones permitidas (movimiento o cambio).

– Si la selección se hace en forma azarosa, muchos problemas tomarán una cantidad de tiempo poco razonable para resolverlos.

– Así, la habilidad en los problemas transformacionales depende de tener una estrategia o plan que guíe la selección de las operaciones.

– Durante la tarea en un problema transformacional, el solucionador puede comparar la situación lograda con la situación de meta.

– Una estrategia general denominada análisis medio-fin, basa la selección de los operadores en la diferencia encontrada entre la situación actual y la meta.


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•Habilidades para analizar y planificar– Es razonable concluir que la estrategia general de análisis medio-

fin caracteriza la solución humana de muchos problemas transformacionales.

– Si esta conclusión es correcta, la habilidad de un individuo entonces para resolver problemas transformacionales comprende las habilidades cognoscitivas para llevar a cabo el análisis medio-fin efectivamente.

– Parece que existen tres componentes principales de esta habilidad. • Un tipo de habilidad comprende métodos para analizar situaciones en

relación a la meta del problema. • Un segundo tipo de habilidades comprende el uso de operaciones

composicionales, donde la situación debe ser modificada de una manera relativamente compleja en un solo paso, no requiriéndose atención detallada en cambios de los componentes incluidos .

• El tercer tipo de habilidad comprende el conocimiento de relaciones entre las situaciones y los operadores, permitiendo una selección eficiente de los operadores que probablemente conduzcan al progreso del problema.


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•Problemas de ordenamientoPresenta algunos elementos y exige al solucionador ordenarlos de un modo tal que satisfagan algún criterio.

– Un ejemplo prototípico es un anagrama (Letras que hay que ordenarlas de alguna forma para que resulte una frase con sentido. Generalmente se usa en el verso.)

– Las habilidades principales para resolver los problemas de ordenamiento como habilidades en la composición, un proceso de búsqueda constructiva, donde se requiere del solucionador que encuentre la solución en un espacio de búsqueda, pero que también debe saber cómo generar las posibilidades que constituyen dicho espacio.


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OS Tipología de Greeno/Ordenamiento

Se presentan algunos componentes y la tarea es encontrar una combinación de ellos que cumpla con algún criterio. •Un ejemplo prototípico es una anagrama y un tipo más complejo es el problema criptoaritmético:

Donald Gerald .

Robert

Clave: D=5


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OSTipología de Greeno/Ordenamiento

•Procesos de búsqueda constructiva– El proceso de resolver un problema de ordenamiento, comprende

generalmente una gran cantidad de ensayos y errores. – La persona que resuelve el problema genera una solución parcial

en base a ensayos. – La solución parcial restringe las posibilidades que siguen y

reflexiones posteriores pueden mostrar que el problema no puede resolverse dadas estas restricciones.

– Entonces la solución parcial que se generó debe rechazarse y debe intentarse una solución parcial diferente.

– El proceso de generar soluciones por ensayos parciales y comprobar sus consecuencias, es un tipo de búsqueda donde la meta de la búsqueda no se encuentra de un solo golpe, sino que más bien se encuentran algunos componentes y en seguida futuros elementos se agregan o separan combinándose para formar el patrón de solución.

– El proceso es una búsqueda, porque los elementos dados en el problema pueden ordenarse de muchas maneras distintas y sólo una o muy pocas de estas combinaciones son soluciones satisfactorias.


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•Habilidades para la búsqueda constructiva.– Para llevar a cabo una búsqueda constructiva

el solucionador del problema debe tener un proceso para generar soluciones de ensayos parciales y un proceso para evaluar los candidatos generados.

– La búsqueda puede hacerse mucho más eficiente si existen limitaciones que puedan utilizarse en la generación de soluciones de ensayo parcial que reduzcan el número de posibilidades que deban considerarse.


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Fluidez en la generación de posibilidadesUna exigencia es la flexibilidad en el proceso de generación de solución por ensayos parciales. Si una posibilidad que ha sido generada no conduce a la solución, es importante ser capaz de generar otra posibilidad.

Recuperación de patrones de soluciónCuando una solución por ensayo parcial es generada debe evaluarse para determinar si es posible que conduzca a una solución completa. En los anagramas una solución parcial conducirá a una solución completa si existe una palabra que contiene la solución parcial y usa las letras restantes del anagrama.

Principios que constriñen la búsquedaLos problemas de ordenamiento se caracterizan por muy amplios espacios de búsqueda. Así, la solución del problema se facilita enormemente, comprende los principios que pueden usarse para evitar comprobar amplias clases de posibilidades.

Algoritmos para transformar ordenamientos


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• Problemas de estructura + transformación.

– En muchos casos donde el problema requiere la transformación de la situación existen también importantes exigencias que dependen del proceso de comprensión.

– Existen dos aspectos de comprensión en los problemas de transformación. • Uno involucra una la comprensión inicial de un problema que

requiere la construcción de una representación cognoscitiva en una forma donde la solución del problema pueda realizarse.

• La otra involucra la comprensión de la solución lograda o comprender las operaciones y procedimientos que han sido usados.


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• Problemas de transformación + ordenamientos.

– Los problemas que requieren transformación de ordenamientos deben requerir una combinación de las habilidades necesarias en problemas de transformación ordinarios y en problemas de ordenamiento ordinarios.

– Esto significaría que los problemas de transformar ordenamientos requerirían habilidades en:• planificar del tipo encontrado en análisis medio- fin y • habilidades en la búsqueda constructiva incluyendo la habilidad para

identificar combinaciones relevantes de elementos y relacionar éstas a patrones de solución así como al uso de constricciones que limiten el espacio de búsqueda.

• Por ejemplo: el ajedrez, los rompecabezas de palitos de fósforo.


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• Problemas de inducción de estructuras + ordenamientos.– Existen problemas de ordenamiento en que la solución

depende de lograr una mejor comprensión del problema.

• Problemas de insight• Diseño e invención: Muchos problemas prácticos que

involucran el diseño ingenieril y la invención tienen las características de problemas de ordenamiento que requieren el logro de una nueva comprensión.

• Composición: Los Problemas intelectuales más exigentes son los problemas de composición. Para componer una pieza musical, un cuadro, una escultura, un poema, una novela o una teoría (o algunas veces un experimento) la persona debe crear un orden de ideas cuya estructura incorpora una nueva comprensión significativa.

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