proceso politrópico 2015

8/19/2019 Proceso Politrópico 2015

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PROCESOS POLITRÓPICOS

1. Proceso o transformación politrópica

Los procesos politrópicos son importantes porque a menudo, en las aplicaciones

técnicas, resulta que la trayectoria que representa la sucesión de estadostermodinámicos por los que pasa un fluido entre la entrada y la salida de un

sistema abierto (Volumen de control) o la trayectoria que representa la sucesión

de estado termodinámicos por los que pasa un sistema cerrado (Masa de

control), es justamente un proceso politrópico.

Los procesos politrópicos se utilizan para representar procesos reversibles,

internamente reversibles y irreversibles (reales).

Dado dos estados termodinámicos en el diagrama p v , entonces pasará por los

dos estados únicamente un proceso politrópico.

2. Ecuación del proceso politrópico

El diferencial de entropía se definen como:

internamentereversible

qds

T

/kJ kg (2.1)

Las ecuaciones de Gibbs o Tds se expresan como:

Tds dh vdp (2.2)

Tds du pdv (2.3)

Sustituyendo la (2.1) en la (2.2) y (2.3) se obtiene:

q dh vdp (2.3)q du pdv (2.4)

El diferencial del calor q se puede sustituir como el producto de un calor específico

c por el diferencial de temperatura absoluta dT como:

cdT dh vdp (2.5)

cdT du pdv (2.6)

Para el caso de un gas ideal v pdu c dT y dh c dT se tiene:

pcdT c dT vdp (2.7)

vcdT c dT pdv (2.8)Reordenando los términos se obtiene:

pvdp c dT cdT pvdp dT c c (2.9)

v pdv c dT cdT v pdv dT c c (2.10)

El exponente del proceso politrópico n se obtiene dividiendo la (2.9) entre la

(2.10) como:

p p

v v

dT c c c cvdpn

pdv dT c c c c


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Procesos politrópicos – 2015

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Material didáctico interno elaborado por el Dr. Ing. Rafael Saavedra Garcia Zabaleta 2

p

v

c cvdpn

pdv c c

(2.11)

Para la determinación de la ecuación de un proceso politrópico se obtiene de la (2.11)

como:

vdpn

pdv

npdv vdp

0vdp npdv

0dp dv

n p v

ln ln n p v cte

n pv cte ,n (Para sistemas abiertos o volúmenes de control) (2.12)

donden

es el exponente del proceso politrópico y es un número real.

En caso de sistemas cerrados o masas de control, la ecuación de la politrópica se define

como:

n pV cte ,n (Para sistemas cerrados o masas de control) (2.13)donde V es el volumen del sistema cerrado o masa de control.

3. Exponente del proceso politrópico

Sea 1 y 2 los estados termodinámicos inicial y final de un proceso politrópico. Por lo

tanto, el exponente del proceso politrópico se obtiene como:

1 1 2 2n n p v p v

1 1 2 2n nln p v ln p v 1 1 2 2lnp nlnv lnp nlnv

1 2 2 1lnp lnp n lnv lnv

1 2

2 1

/

/

ln p pn

ln v v (3.1)

El valor de la constante de la ecuación del proceso politrópico se puede determinar

como:

1 1 2 2n ncte p v p v (3.2)

4. Procesos politrópicos particulares

A continuación se demuestra que varios de los procesos termodinámicos comunes

son casos particulares del proceso politrópico.


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Proceso Descripción Demostración Proceso politrópicoIsobárico Proceso a presión

constante p cte pc c

0 p p

v p

c cn

c c

El proceso isobárico es un

proceso politrópico con

0n .

Isócoro Proceso a volumenconstante v cte

vc c

p v

v v

c cn

c c

El proceso isócoro es un proceso politrópico con

n .

Isotérmico Proceso a temperatura

constante T cte c

1 p

v

cn

c

El proceso isotérmico es un

proceso politrópico con

1n .

Isentrópico Proceso a entropía

constante s cte 0c

0

0

p p

v v

c cn k

c c

El proceso isentrópico es

un proceso politrópico con

n k .

En los diagramas p v , p T y T v se representan solo estados termodinámicos

en equilibrio de sustancias puras. Por lo tanto, si se desea trazar la trayectoria de un

proceso en dichos diagramas, el proceso se debe realizar necesariamente en

cuasiequilibrio o en forma cuasiestática. Los únicos procesos que se llevan a cabo en

cuasiequilibrio son los procesos reversibles e internamente reversibles. Por lo

consiguiente serán los únicos procesos que pueden trazarse directamente en dichos

diagramas.

En los diagramas T s y h s se pueden trazar trayectorias de procesos reversibles,

internamente reversibles y reales (procesos irreversibles). En los diagramas T s yh s , las trayectorias de los procesos isobáricos e isócoros son curvas divergentes en ladirección creciente de la entropía. En el diagrama T s o h s la trayectoria de unaisocora tiene mayor pendiente que la de una isóbara. Para demostrarlo, de las

ecuaciones de Gibbs o Tds se obtiene que:

Tds dh vdp (4.1)

Tds du pdv (4.2)

Para el caso de un gas ideal v pdu c dT y dh c dT se tiene:

pTds c dT vdp (4.3)

vTds c dT pdv (4.4)

Para el caso de un proceso isobárico, la (4.3) se expresa como:0

pTds c dT vdp

p cte p p cte

dT T m

ds c

(4.5)

Para el caso de un proceso isócoro, la (4.4) se expresa como:0

vTds c dT pdv

v ctevv cte

dT T m

ds c

(4.6)


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Puesto que el valor del calor específico a presión constante pc es siempre mayorque el de volumen constante vc , se puede observar de la (4.5) y la (4.6) que la

pendiente de una isóbara, en el diagrama T s o h s , es menor que la pendiente de la

isocora

p cte v ctem m .

5. Procesos de compresión

En las figuras 5.1 y 5.2 se muestran distintos procesos de compresión en los

diagramas p v y T s , respectivamente. Sea el número 1 y los números 2, los estados

termodinámicos inicial y finales de los distintos procesos de compresión.

Para poder comparar los distintos procesos de compresión deberán tener el mismo

estado termodinámico inicial y la presión estática de salida.

Proceso Descripción Exponente delproceso

politrópicoIsócoro

1 2V Proceso de incremento de presión a

volumen constante con adición de calor

v cte

n

Proceso politrópico

con adición de calor

1 2 P

Proceso de compresión politrópico con

adición de calorn k

Isentrópico

1 2S Proceso de compresión a entropía constante

s cte n k


con rechazo de calor

1 2 M

Proceso de compresión politrópico con

rechazo de calor1 n k

Isotérmico

1 2T Proceso de compresión a temperatura

constante con rechazo de calor T cte 1n

Es interesante notar que en un diagrama T s o h s , un proceso con adición de

calor avanza en la dirección de entropía creciente, uno con rechazo de calor avanza enla dirección de entropía decreciente y uno isentrópico (reversible, adiabático) avanza aentropía constante (Ver figura 5.2).

Durante un proceso de compresión la presión, temperatura y densidad aumentan

mientras que el volumen específico disminuye. En el caso de un proceso de compresión

isotérmico la temperatura permanece constante.

El proceso de incremento de presión a volumen constante con adición de calor

1 2V se debe realizar en un contenedor rígido para que su volumen no varíe durante

el proceso de incremento de presión. La presión aumentará gracias a la adición de caloral contenedor.


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Figura 5.1 Procesos de compresión en el diagrama p – v

Figura 5.2 Procesos de compresión en el diagrama T – s


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6. Procesos de expansión

En las figuras 6.1 y 6.2 se muestran distintos procesos de expansión en los diagramas

p v y T s , respectivamente. Sea el número 3 y los números 4, los estados

termodinámicos inicial y finales de los distintos procesos de expansión.

Para poder comparar los distintos procesos de expansión deberán tener el mismo

estado termodinámico inicial y la presión estática de salida.

Proceso Descripción Exponente delproceso

politrópicoIsócoro

3 4V Proceso de disminución de presión a

volumen constante con rechazo de calor

v cte

n

Proceso politrópicocon rechazo de calor

3 4 M

Proceso de expansión politrópico conrechazo de calor

n k

Isentrópico

3 4S Proceso de expansión a entropía constante

s cte n k


con adición de calor

3 4 P

Proceso de expansión politrópico con

adición de calor1 n k

Isotérmico

3 4T

Proceso de expansión a temperatura

constante con adición de calor T cte

1n

Es interesante notar que en un diagrama p v , un proceso con adición de calor avanza en la dirección de volumen específico creciente y se encontrará en el lado

derecho del proceso isentrópico n k , uno con rechazo de calor avanza en ladirección de volumen específico creciente y se encontrará en el lado izquierdo del

proceso isentrópico n k (Ver figura 6.1). Así mismo, en un diagrama T s o h s ,un proceso con adición de calor avanza en la dirección de entropía creciente hacia ellado derecho del proceso isentrópico n k , uno con rechazo de calor avanza en la

dirección de entropía decreciente hacia el lado izquierdo del proceso isentrópico n k y uno isentrópico n k (reversible, adiabático) avanza a entropía constante (Verfigura 6.2).

Durante un proceso de expansión la presión, temperatura y densidad disminuye

mientras que el volumen específico aumenta. En el caso de un proceso de expansión

isotérmico la temperatura permanece constante.

El proceso de disminución de presión a volumen constante con rechazo de calor

3 4V se debe realizar en un contenedor rígido para que su volumen no varíe durante


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el proceso de disminución de presión. La presión disminuirá gracias al rechazo de calor

del contenedor.

Figura 6.1 Procesos de expansión en el diagrama p – v

Figura 6.2 Procesos de expansión en el diagrama T – s


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7. Ecuaciones de Poisson

La combinación de la ecuación de estado de gas ideal y la ecuación de un proceso

politrópico dan origen a las ecuaciones de Poisson.

Aplicando la ecuación del proceso politrópico entre los estados termodinámicos 1 y 2 seobtiene:

1 1 2 2n n p v p v (7.1)

Las relaciones 2

1

v

v y 2

1

p

p se expresan, respectivamente, como:

1/

2 2

1 1

nv p

v p

(7.2)

2 1

1 2

n p v

p v

(7.3)

Aplicando la ecuación de estado de gas ideal se obtiene:

2 2 2

1 1 1

T p v

T p v (7.4)

Sustituyendo la (7.2) en la (7.4) se obtiene:1

1/

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

nn

nT p v p p p

T p v p p p

(7.5)

Sustituyendo la (7.3) en la (7.4) se obtiene:1 1

2 2 2 1 2 1 1 1

1 1 1 2 1 2 2 2

n n nT p v v v v v v

T p v v v v v v

(7.6)

Agrupando la (7.5) y la (7.6) se obtiene:1

1 1

2 2 1 2

1 1 2 1

nn n

nT p v

T p v

(Proceso politrópico y gas ideal o perfecto) (7.7)

8. Determinación de la integral2

1vdp para un proceso politrópico

8.1 Para un proceso politrópico cualquiera 1n y un gas en general

Sea 1 y 2 los estados termodinámicos inicial y final de un proceso politrópico. Por lo

tanto, la integral2

1vdp se puede determinar para el proceso politrópico de un gas en

general como:n pv const C


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1/

1/ 1/

n

n nC v C p

p

(8.1.1)

1/

1/ 1/n

n n nC pv p v 1/ 1/

1/1 1 2 2

n nnC p v p v (8.1.2)

Sustituyendo la (8.1.1) en la integral se obtiene:2 21/ 1/

1 1

n nvdp C p dp 1 1

2 1/2 11

1

n n

n n nn

vdp C p pn

(8.1.3)

Sustituyendo la (8.12) en la (8.1.3) se obtiene:11 1 1

2

2 1 12 2 11 1

n

n n

n n nn

vdp p v p p v pn

2

2 2 1 11

11

nvdp p v p v n

n

(Para un gas en general) (8.1.4)

En el diagrama p v , para un sistema abierto, el área bajo la curva de la trayectoria

de un proceso reversible o internamente reversible con respecto al eje de la presión

representa el valor absoluto de la integral2

1vdp . El valor absoluto de la integral se

debe a que el área será siempre una magnitud positiva mientras que el valor de la

integral puede ser positivo o negativo, es decir si se realiza un proceso de compresión

0dp , el valor de la integral será positivo mientras que durante un proceso de

expansión 0dp , el valor la integral será negativo.

En el diagrama p V , para un sistema cerrado, el área bajo la curva de la trayectoria

de un proceso reversible o internamente reversible respecto al eje del volumen

representa el valor absoluto de la integral2

1 pdV . El valor absoluto de la integral se

debe a que el área será siempre una magnitud positiva mientras que el valor de la

integral puede ser positivo o negativo, es decir si se realiza un proceso de compresión

0dV , el valor de la integral resultará negativa mientras que durante un proceso de

expansión 0dV , el valor de la integral será positiva.

8.2 Determinación de la integral2

1vdp para un proceso de compresión

Sea 1 y 2 los estados termodinámicos inicial y final de un proceso de compresión. De

la (8.1.4) el valor de la integral2

1vdp para un proceso politrópico cualquiera 1n

y un gas en general se expresa como:

2

2 2 1 11

11

nvdp p v p v n

n


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22 2

1 11

1 1

11

p vnvdp p v

n p v

(8.1.1)

De la ecuación de Poisson se deduce que:

1/ 1/

2 1 2

1 2 1

n nv p p

v p p

(8.2.2)

Sustituyendo la (8.2.2) en la (8.2.1) se obtiene:1/

22 2

1 11

1 1

11

n p pn

vdp p vn p p

1

22

1 111 11

n

n pn

vdp p vn p

(8.2.3)

En un compresor, la relación de compresión se define como:

2

1

c

p

p (8.2.4)

Sustituyendo la (8.2.4) en la (8.2.3) se obtiene:1

2

1 11

1 1

1

n

nc

nvdp p v n

n


Si el gas que se comprime se comporta como un gas ideal o perfecto, la (8.2.5) se puede

expresar como:1

2

11

1 11

n

nc

nvdp RT n

n

(Para un gas ideal o perfecto) (8.2.6)

8.3 Determinación de la integral4

3vdp para un proceso de expansión

Sea 3 y 4 los estados termodinámicos inicial y final de un proceso de expansión.

Aplicando la (8.1.4) a los estados termodinámicos 3 y 4 se obtiene:

4

4 4 3 33 1

nvdp p v p v

n

(8.3.1)

Cambiando el signo de la (8.3.1) , la integral4

3vdp para el caso de un proceso de

expansión de un gas en general se expresa como:

4

3 3 4 43 1

nvdp p v p v

n

(8.3.2)


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44 4

3 33

3 3

11

p vnvdp p v

n p v

4

3 33 3 3

4 4

11

1

nvdp p v

p vn p v

(8.3.3)

De la ecuación de Poisson se deduce que:1/ 1/

3 34

4 3 4

n nv p p

v p p

(8.3.4)

Sustituyendo la (8.3.3) en la (8.3.4) se obtiene:

4

3 3 1/3

3 3

4 4

11

1 nn

vdp p vn p p

p p

4

3 3 13

3

4

11

1 nn

nvdp p v

n p

p

(8.3.5)

Para una turbina, la relación de expansión se define como:

3

4

e

p

p (8.3.6)

Sustituyendo la (8.3.6) en la (8.3.5) se obtiene:

4

3 3 13

11 1

1 nn

e

nvdp p v n

n


Si el gas que se expande se comporta como un gas ideal o perfecto, la (8.3.8) se puede

expresar como:

4

3 13

11 1

1 nn

e

nvdp RT n

n

(Para un gas ideal o perfecto) (8.3.8)


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9. Proceso o transformación isotérmico

Para un proceso isotérmico, el exponente de la politrópica es igual a uno 1n . Porconsiguiente, la ecuación de la politrópica se reduce a:

1 1 2 2

C p v p v (9.1)

2 22

1 11

ln pC

vdp dp C p p

(9.2)

Sustituyendo la (9.1) en la (9.2) se obtiene:

22 2

1 1 2 21

1 1

ln ln p p

vdp p v p v p p

(9.3)

proceso politrópico 2015

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