procesamiento de señales basado en wavelets notas de clase...

Parte II

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LocalizacionTiempo-Frecuencia

Transformada deFourierEnventanada

Principio deIncertidumbre deHeisenberg

TransformadaWaveletContinua

Procesamiento de Senales basado en WaveletsNotas de Clase - Parte II

Juan Carlos Gomez 1

<[email protected]>

1Laboratorio de Sistemas Dinamicos y Procesamiento de la InformacionFCEIA, Universidad Nacional de Rosario, Argentina

Semestre 2, 2006

Parte II (Wavelets) Semestre 2, 2006 1 / 19

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1 Localizacion Tiempo-FrecuenciaTransformada de Fourier EnventanadaPrincipio de Incertidumbre de HeisenbergTransformada Wavelet Continua


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Localizacion Tiempo-FrecuenciaTransformada de Fourier Enventanada

Para una senal f(t), nuestro interes es conocer sucontenido frecuencial en funcion del tiempo.

La Transformada de Fourier de f(t)

F (ω) , F {f(t)} =∫ ∞

−∞f(t)e−jωtdt,

permite analizar el contenido frecuencial de la senal perola informacion de localizacion temporal se pierde.

La localizacion temporal se puede lograr pasando la senalf(t) a traves de una ventana y luego tomando laTransformada de Fourier. Se obtiene la denominadaTransformada de Fourier Enventanada (WFT:Windowed Fourier Transform)

FWIN (ω, t) , FWIN {f(t)} ,∫ ∞

−∞f(s)g(s− t)e−jωsds


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Fig. 1: Transformada de Fourier Enventanada.

La WFT tambien es conocida como Transformada deFourier de Tiempo Corto (STFT: Short Time FourierTransform)


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La STFT mapea una senal funcion del tiempo en unafuncion de las variables tiempo y frecuencia. Proveeinformacion de que componentes en frecuencia estanpresentes y en que momento. Sin embargo, la informacionde localizacion tiempo-frecuencia solo puede obtenerse conuna precision limitada que es determinada por el ancho dela ventana temporal utilizada.

Mas difundida es la version discreta de la STFT, definidacomo

FWIN (m,n) , FWIN (ω, t)∣∣ω=mω0,t=nt0

=∫ ∞

−∞f(s)g(s− nt0)e−jmω0sds


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Para un n dado, la FWIN (m,n) corresponde a laTransformada de Fourier de f(·)g(· − nt0). Si g tienesoporte compacto, la eleccion de un ω0 apropiadopermitira reconstruir f(·)g(· − nt0) con FWIN (·, n).Cambiando n permite tomar diferentes porciones de f ,permitiendo reconstruir f a partir de FWIN (m,n).Si la ventana g y su transformada de Fourier g estanconcentradas alrededor del cero, entonces FWIN (m,n)puede interpretarse como el contenido frecuencial de f enel tiempo t = nt0 alrededor de la frecuencia ω = mω0.


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Puede probarse que la senal f puede reconstruirse a partirde su WFT FWIN (ω, t). El siguiente Teorema da unaformula de reconstruccion y prueba la Identidad deParseval para el computo de la energıa.

Teorema: Si f ∈ L2(R) entonces

f(t) =12π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞FWIN (ξ, u)g(t− u)ejξtdξdu (1)

y ∫ ∞

−∞|f(t)|2 dt =

12π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∣∣FWIN (ξ, u)∣∣2 dξdu (2)


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La formula (1) de reconstruccion de f(t) a partir de suWFT puede escribirse como

f(t) =12π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞〈f, gu,ξ〉 gu,ξ(t)dξdu (3)

que se asemeja a la descomposicion de una senal en basesortonormales. Sin embargo no lo es, ya que las funciones{gu,ξ}u,ξ∈R son (muy) redundantes en L2(R). La ecuacion

(2) justifica la interpretacion de∣∣FWIN (ξ, u)

∣∣2 como unadensidad de energıa, ya que su suma en tiempo-frecuenciaiguala la energıa de la senal.


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Localizacion Tiempo-FrecuenciaPrincipio de Incertidumbre de Heisenberg

Se verifica que no existe una funcion de energıa finita (esdecir en L2(R)) que tenga soporte compactosimultaneamente en los dominios temporal y frecuencial.Esto es analogo al Principio de Incertidumbre deHeisenberg referido a la imposibilidad de conocer conexactitud simultaneamente la posicion y velocidad de unapartıcula.

Si f es no nula y tiene soporte compacto, entonces sutransformada de Fourier no puede ser cero en un intervalo.Similarmente, si la transformada de Fourier tiene soportecompacto entonces f no puede ser cero en un intervalo.

La localizacion tiempo-frecuencia puede medirse en mediacuadratica y esta representada por lo que se denomina unaHeisenberg Box.


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Para el caso de la STFT, al terminoguξ(t) , g(t− u)e−jξt se lo denomina atomo de Gabor,y su distribucion de energıa en el plano tiempo-frecuenciaesta representada por las Heisenberg Boxes de Fig. 2.

Fig. 2: Heisenberg Boxes para WFT.


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σω mide el intervalo en frecuencia en donde latransformada de Fourier de guξ(t) es no despreciable, entanto que σt mide el intervalo en donde esta concentradala energıa de guξ(t).Teorema de Incertidumbre de Heisenberg: Sif ∈ L2(R) y estan definidos σt y σω, entonces se verifica

σ2t σ

2ω ≥ 1

4o equivalentemente

σtσω ≥ 12

El area de la Heisenberg box para el caso de la STFT esmınima cuando g es Gaussiana y en este caso las funcionesguξ(t) se denominan funciones de Gabor.


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Localizacion Tiempo-FrecuenciaTransformada Wavelet Continua

La idea es representar una senal como una combinacionlineal de senales de duracion efectiva limitada que seobtienen por traslacion y escalado de una funcion originaldenominada mother Wavelet.La mother wavelet es una funcion ψ(t) que verifica lacondicion de admisibilidad∫ ∞

−∞ψ(t)dt = 0,

es decir tiene media cero, con la cual se genera unconjunto de funciones ψu,s(t) (atomos wavelets osimplemente wavelets) por dilatacion con un factor deescala s y translacion u, de la forma

ψu,s(t) =1√sψ

(t− u

s

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La Transformada Wavelet Continua (CWT:Continuous Wavelet Transform) de f en la escala s yen la posicion u se computa correlacionando (i.e., haciendoel producto interno de) f con el atomo wavelet, es decir:

Wf(u, s) =∫ ∞

−∞f(t)

1√sψ∗

(t− u

s

)dt

Recurriendo a la Identidad de Parseval puede escribirse

Wf(u, s) =∫ ∞

−∞f(t)ψ∗u,s (t) dt =

12π

∫ ∞

−∞f(ω)ψ∗u,s(ω)dω


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El coeficiente wavelet Wf(u, s) depende entonces de losvalores de f(t) y f(ω) en la region del planotiempo-frecuencia donde la energıa de ψu,s y de ψu,s estaconcentrada.

En el dominio temporal, la energıa de ψu,s estaconcentrada en un intervalo centrado en u con un anchoproporcional a s.

En el dominio frecuencial, la energıa de ψu,s estaconcentrada en un intervalo centrado en η/s cuyo anchoesta escalado por 1/s.Cuando s varıa, el alto y el ancho de la Heisenberg boxcambian, pero el area se mantiene constante.


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Fig. 3: Heisenberg Boxes para WT.

Valores grandes de s −→ bajas frecuencias

Valores pequenos de s −→ altas frecuencias

Cambiando u cambia el centro de localizacion temporal.


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Similitud entre la WFT y la WT: en ambos casos serealiza el producto interno de f con una familia defunciones indexadas por dos ındices:

WFT: atomos de Gabor −→ guξ(t)WT: Wavelets −→ ψu,s(t)

Diferencias entre la WFT y la WT:WFT: Las funciones de analisis (atomos de Gabor) guξ(t)tienen todas la misma envolvente, trasladadas en eltiempo, y todas el mismo ancho (independiente de ω)WT: Las wavelets ψu,s(t) tienen un ancho (temporal)adaptado a su frecuencia.

ψu,s(t) en alta frecuencia −→ angostasψu,s(t) en baja frecuencia −→ anchas

La representacion con wavelets ψu,s(t) permite capturarfenomenos de alta frecuencia de corta duracion.


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Mother wavelets tıpicas:Mexican hat (segunda derivada de una Gaussiana)

ψ(t) =(1− t2

)e−

t22

Fig. 4: Wavelet Mexican hat.


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Morlet

ψ(t) = cos(5t)e−t22

Fig. 5: Wavelet Morlet.


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Ejemplo: Sea la senal en tiempo continuo

f(t) = sin(2πF1t) + sin(2πF2t) + γ [δ(t− t1) + δ(t− t2)]

donde F1 = 500Hz, F2 = 1kHz, que se muestrea conuna frecuencia Fs = 8kHz. La senal muestreada puedeaproximarse por

f(nT ) = sin(2πF1Tn)+sin(2πF2Tn)+α [δ(n− n1) + δ(n− n2)]

Se desea analizar el contenido frecuencial de la senal enfuncion del tiempo usando la WFT con distintos anchos dela ventana, y la WT usando la wavelet de Morlet. VerScript Matlab ex wavelet 1.m.


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