(ISBN 970‐32‐2673‐6)

 

 PROCESAMIENTO DE IMÁGENES POR MÁSCARAS ESTADÍSTICAS 

 Norma Ramírez Hernández1, José Luis Ramos Quirarte2 

1Departamento de Ciencias Computacionales, 2Departamento de Electrónica, CUCEI‐Universidad de Guadalajara, Jalisco, México 

 Resumen  Este trabajo presenta algunos resultados obtenidos en el área del procesamiento espacial de  imágenes.  Se  aborda  el  procesamiento  estadístico  de  imágenes,  para  la implementación  de  máscaras  del  tamaño  deseado  y  utilizando  transformaciones  que involucran:  a  la media,  la mediana,  la  desviación  estándar  y  la  distribución Gaussiana. Métodos  todos  ellos  aplicados  para  el  suavizado,  la  remarcación  de  contraste  o  la eliminación de  ruido de una  imagen. Los algoritmos desarrollados se  implementaron en MatLab.  Palabras Clave Procesamiento de imágenes, máscaras estadísticas para procesamiento, promediado en el entorno, eliminación de ruido de una imagen, suavizado con distribución Gaussiana.  

I. Introducción El procesamiento de  imágenes con el uso de máscaras, es  la modificación directa de  los pixeles de  la  imagen utilizando un entorno  alrededor del punto    así,  la  función de procesamiento de una imagen   en el dominio espacial puede definirse como [1] [2] [3]: 

          (1) Donde   representa un operador aplicado a   en el entorno definido (máscara) para producir  la  imagen procesada  . La máscara o entorno alrededor del punto   es una subimagen normalmente cuadrada o rectangular centrada en   como se muestra en la Fig. 1. 

 

    

a)  b) Fig. 1. Definición de máscara: a) Entorno de   alrededor del punto   de una imagen, 

b) Coeficientes de ponderación de la máscara.  

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 Para  obtener  la  imagen  procesada    de  (1),  la  máscara  se  mueve  pixel  a  pixel aplicando el operador   en cada posición  .   Cuando el entorno es  ,     depende sólo del valor de   en el punto  , y   se convierte   en una función de transformación del  nivel  de  gris.  Las  técnicas  basadas  en  esta  transformación,  se  conocen  como procesamiento de punto. Para entornos mayores, y considerando a  los niveles de gris de los pixeles de   bajo  la máscara  como:  ,  , …  ,  la  respuesta de una máscara  lineal puede ser escrita como 

        (2)  

II. Descripción de Algoritmos Para efectuar el procesamiento de una imagen a través de máscaras, éstas además de ser desplazadas sobre la imagen pixel a pixel, deben ser implementadas con flexibilidad para escoger  fácilmente el  tamaño deseado,  si  serán cuadradas,  rectangulares, de  línea o de columna, etc. Para el procesamiento de  imágenes,  se decidió utilizar el MatLab porque tiene  un  paquete  de  procesamiento  de  imágenes  con  una  serie  de  rutinas  ya implementadas y que son muy útiles. Se  implementaron dos algoritmos el primero, que traslada de la imagen todos los valores a la máscara en cada desplazamiento y el segundo, que conserva los valores de las   columnas en cada iteración, copiando solamente los valores de la columna nueva. En la Fig. 2, se muestra el diagrama de flujo simplificado para el primer algoritmo. 

Completo  el recorrido X? 

Inicialización de variables.  

Tamaño de la máscara   

Determinación del centro de la máscara    y  de  los  límites  del  recorrido  de  la  máscara sobre la imagen   

Imagen procesada

Máscara completa X? 

Se incrementa una fila 

Se incrementa una fila la máscara 

Completo  el recorrido Y? 

SI

Máscara completa Y? 

SI

Copiar pixel de la imagen en la máscara

SI Crece la máscara una columna 

Se avanza una columna

Aplicación del operador de procesamiento a la imagen

SI

INICIO 

 Fig. 2. Diagrama de flujo simplificado del algoritmo para cálculo completo de máscara. 

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 III. Procesamiento Estadístico 

El procesamiento por máscaras  también  conocido  como  filtrado espacial, emplea  filtros lineales  o  no  lineales.  Los  filtros  paso  bajo  o  suavizantes,  atenúan  o  eliminan  las componentes de alta frecuencia en el dominio de Fourier y permiten el paso de las bajas frecuencias  por  lo  que  suelen  hacer  más  borrosas  a  las  imágenes.  El  procesamiento estadístico  [4]  [5] está basado  justamente en el uso de parámetros estadísticos como el promedio, la media, la desviación estándar, etc. En la Fig. 3, se muestra un menú a través del cual se elige el procesamiento deseado. 

 Fig. 3. Menú para elegir el procesamiento deseado sobre la imagen. 

 A. Promediado en el Entorno 

Para que el filtro sea suavizante, todos sus coeficientes deben de ser positivos por lo que una construcción simple de  la máscara sería aquella en  la que todos sus coeficientes  , sean  iguales a uno. El valor de  la  respuesta  [6][7]   de  (2),  sería  igual a  la  suma de  los niveles de gris  , correspondientes por  lo que para mantener a   dentro de un  intervalo válido de niveles de gris, se divide el resultado entre el número de pixeles de la máscara. Esto nos  lleva a  la definición del promedio o media aritmética   de un conjunto  finito de números,  que  es  igual  a  la  suma  de  todos  sus  valores  dividida  entre  el  número  de sumandos, 

                 (3) 

La aplicación de (3) a los pixeles en el área de la máscara, sustituyendo el valor original del pixel  central en  la  imagen para  cada  iteración, nos producirá  como  resultado  lo que  se conoce  como promediado en el entorno.  La  Fig. 4 muestra el  resultado de aplicar este método con una máscara de  . 

   a)  b) 

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Fig. 4. Promediado en el entorno: a) imagen original, b) resultado con una máscara de  . B. Filtros supresores de Ruido Basados en la Mediana  

En el caso en que el objetivo del procesamiento de la imagen sea el de reducir el ruido sin difuminar bordes o detalles que realzan a  la  imagen, una buena alternativa es utilizar  la mediana [6][7][8][9]. Con este método el nivel de gris de cada pixel de la imagen original será reemplazado por la mediana de los niveles de gris correspondientes a la posición de la máscara. Este proceso claramente representa un filtro no lineal. La mediana estadística 

 de un conjunto de valores es aquél que se encuentra en posición central después de que el conjunto ha sido ordenado en forma creciente o decreciente.  Para máscaras  con número  impar, donde  los pixeles  correspondientes de  la  imagen en forma ordenada son:  , entonces 

                (4) 

Para máscaras con número par de pixeles, será el promedio obtenido de  los dos valores centrales, 

                (5) 

La Fig. 5, muestra el resultado de aplicar (4) a la imagen, para entornos de   y  . 

   a)  b) 

Fig. 5. Mediana en el entorno: a) entorno de  , b) entorno de  .  

C. Filtrado por Promedio y Desviación Estándar Los resultados presentados en la sección A y en la sección B, utilizan la media y la mediana para  conseguir  suavizado  en  la  imagen  y  supresión  de  ruido,  respectivamente.  Sin embargo, en ocasiones, es más  conveniente el uso de operadores más  sofisticados que suavicen una imagen pero que a la vez, le den mayor ganancia a aquellas áreas con menor contraste.  Esta  operación  incluso  podría  aplicarse  de manera  variable  a  lo  largo  de  la imagen, dependiendo de sus características propias. Una  transformación muy apropiada para estos fines, es la que se presenta enseguida. 

                (6)  Donde 

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          (7) 

En  (6) y  (7),   y   representan  la media  (promedio de  intensidad) y desviación estándar (medida del contraste) del entorno, respectivamente.   es la media de la imagen original    y   es un  coeficiente del  factor de  amplificación  tomado  como   dependiendo de las características de la imagen.  El algoritmo de procesamiento fue implementado usando (6,7) eligiendo diversos tamaños de máscaras y diversos valores para  . La Fig. 6, muestra una mamografía a  la cual se  le aplicó este método para suavizar y resaltar detalles. 

   a)  b) 

Fig. 6. Promedio y desviación estándar en el entorno: a) mamografía original, b) entorno de   con   

 D. Filtrado por Función Gaussiana 

Otra  aproximación para obtener un buen  filtro  suavizante es utilizar una máscara  cuya función de respuesta  , siga una distribución Gaussiana cuya expresión general viene dada por: 

                  (8) donde   y   son coeficientes reales y  . Para el caso en que 

            (9) 

 se convierte en la función de densidad de   con distribución normal con media   y varianza  . Para la distribución normal estándar fija,   (centrada) y   por lo que (6) se reduce a: 

               (10) 

El algoritmo de procesamiento fue implementado usando (10) para definir los coeficientes de la máscara en forma bidimensional y de acuerdo con la elección de su tamaño. La Fig. 7, muestra el resultado obtenido para este procesamiento, usando una máscara de  .     

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   a)  b) 

Fig. 7. Promediado con distribución Gaussiana: a) imagen original, b) resultado con una máscara de  . 

 IV. Resultados y Conclusiones 

En este trabajo se presentan los resultados obtenidos para el procesamiento de imágenes utilizando  filtros  estadísticos  que  se  basan  en  el  desarrollo  e  implementación  de algoritmos  para  definir  entornos  o máscaras  sobre  la  imagen  original  y modificar  los valores  originales  de  estos  entornos  seleccionando  los  coeficientes  de  la máscara  por métodos  estadísticos  tales  como:  la  media,  la  mediana,  la  desviación  estándar, distribución Gaussiana, etc., Los algoritmos fueron implementados en MatLab por ser una herramienta muy  difundida,  de  fácil  programación  y  que  posee  una  gran  cantidad  de funciones implementadas y que nos son de utilidad. Por otra parte, MatLab posee filtros o herramientas de diseño para procesamiento con este objetivo disponibles en el dominio de  a  frecuencia  por  lo  que  nuestros  desarrollos  son  otra  alternativa  viable  para procesamiento de mejora de la imagen.  Aunque  mucho  se  ha  publicado  sobre  el  procesamiento  espacial  de  imágenes  [1], herramientas  directas  para  su  aplicación  no  son  muy  fáciles  de  obtener  por  lo  que consideramos que estos resultados serán muy útiles para aquellos interesados en trabajar sobre esta  interesante área. Ya que  la mejora de una  imagen es en buena medida una percepción subjetiva, y  las aplicaciones del procesamiento de  imágenes es cada vez más amplia, existen aún múltiples variantes en el procesamiento estadístico que deberían ser investigadas más  a  fondo  por  lo  que  seguimos  en  el  estudio  de  otras  características, extender este estudio a imágenes en color, y al uso de combinación de métodos.   REFERENCIAS [1] R.C González, R.E.Woods “Tratamiento digital de imágenes” Ed. Addison‐Wesley, 1996. [2] Norma Ramírez Hernández, “Procesamiento de Imágenes Médicas”, Tesis de Maestría 

en Ciencias en Ingeniería Electrónica, CUCEI, U. de G. Diciembre de 2006. [3]  J. D. Martinez, J. M. Benlloch, J. Cerdá, Ch. W. Lerche, N. Pavón, and A. Sebastiá “High‐

Speed  Data  Acquisition  and  Digital  Signal  Processing  System  for  PET  Imaging            

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Techniques Applied  to Mammography”,  IEEE  transactions on nuclear science, vol. 51, no. 3, June 2004, pp. 407‐412. 

[4] Papoulis. ”Probability, Random variables, and stochastic processes”, McGraw‐Hill, New York 1965. 

[5] Octavio Sánchez. ”Probabilidad y Estadísticas” McGraw‐Hill, México 1998.   [6] Liyang  Wei,  Yongyi  Yang,  Robert  M.  Nishikawa,  Miles  N.  Wernick,  and  Alexandra 

Edwardsm,  ”Relevance  Vector  Machine  for  Automatic  Detection  of  Clustered Microcalcifications”, IEEE transactions on medical imaging, vol. 24, no. 10, October 2005. 

[7]  Robert A. Brown*, Hongmei Zhu, and  J. Ross Mitchell  , “Correspondence Distributed Vector Processing of a New Local MultiScale Fourier Transform for Medical Imaging Applications” IEEE Transactions on medical imaging, vol. 24, no. 5, may 2005. 

[8]  Segyeong Joo, Yoon Seok Yang, Woo Kyung Moon, and Hee Chan Kim*, Member, IEEE, “Computer‐Aided Diagnosis  of  Solid  Breast Nodules:   Use  of  an  Artificial Neural Network Based on Multiple  Sonographic  Features”,  IEEE  transactions on medical imaging, vol. 23, no. 10, october 2004, pp. 1292‐1300. 

[9] Fu, K.S, González, R.C. y Lee C.S.G. ”Robotics control, sensing, vision and intelligence”, McGraw‐Hill, New York 1987. 

 

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