Ángel Guale

Problemas Álgebra Lineal

1. Sea un endomorfismo (operador lineal) del espacio vectorial V, donde el conjunto B es

una base de V

Si se tiene que

Construya la regla de correspondencia de T.

Obtenga la matriz asociada a T con respecto a la base B.

Es T es inyectiva?, y sobreyectiva?

Construya la regla de correspondencia de .

Obtenga la matriz asociada de con respecto a la base B.

¿Es un isomorfismo?

2. Sea una transformación lineal tal que ;

Donde

es una base de .

Determine la regla de correspondencia de ,

De ser posible halle

3. Considere , los conjuntos y bases de

V y W respectivamente. Si se conoce que:

; ;

; ;

Determine la representación matricial de con respecto a y .

Determine la representación matricial de con respecto a y , donde

y .

4. Sea V un espacio vectorial sobre campo real, de dimensión 3, H y W dos subespacios de V,

construya, de ser posible, una transformación lineal sobreyectiva tal que

.

Ángel Guale

5. Construya de ser posible una transformación lineal T: diferente del elemento neutro

de , tal que al hacer la composición consigo mismo, resulte el elemento neutro de

, es decir

6. Construya una transformación lineal tales que:

no sea inyectiva y

,

, tal que

.

tal que sea isomorfismo. 7. Determine una base para el núcleo e imagen de las siguientes transformaciones lineales

8. Sea L un operador lineal en el espacio vectorial V.

Demuestre que

9. Considere las siguientes transformaciones lineales.

Demuestre que:

10. Determine los valores de para los cuales es posible construir una transformación lineal

tal que:

11. Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas. Justifique rigurosamente

su respuesta

Ángel Guale

Sean V, W dos -espacios vectoriales de dimensión n, y una transformación lineal.

Sean Si genera a W entonces

genera a V.

Si son operadores lineales sobreyectivos de un espacio vectorial V sobre campo real,

entonces es un isomorfismo.

Sean dos operadores lineales de un espacio vectorial V, si la composición es

biyectiva entonces es inyectiva.

Sea un operador lineal de un espacio vectorial V sobre el campo , si es la matriz

asociada a con respecto a una base B de V, entonces

Sean V, W dos espacios vectoriales sobre el campo y un isomorfismo. Sea

Si entonces

Sea V un espacio vectorial, de dimensión finita, sobre campo real; y una

transformación lineal, se conoce que son bases de V. Sea la matriz asociada a T

con respecto a las bases ; la matriz asociada a T con respecto a las bases . Si

entonces

Si u y v son vectores paralelos en 3 y una transformación lineal, entonces es

paralela a .

Si y son dos isomorfismos, entonces

Sea T un operador de un espacio vectorial W sobre campo real, B una base de W y la matriz

asociada a T con respecto a B. Si entonces

Si A es la representación matricial de una transformación con respecto a una base

ordenada en V, entonces es la representación matricial de con respecto a la misma

base.

Si y son dos isomorfismos, entonces es también un

isomorfismo

Si y son dos isomorfismos, entonces es también un isomorfismo

12. Considere la función definida como:

donde

;

Determine si es una Transformación Lineal. En caso de serlo halle

Ángel Guale

13. Sean y dos transformaciones lineales.

Sea la matriz asociada a con respecto a las bases canónicas y ; y

la matriz

asociada a con respecto a las bases canónicas y a .

Sea una base de tal que es la matriz de cambio de base de a

; y una base de . Si se conoce que

; ;

;

;

Halle el núcleo de la matriz asociada a la composición con respecto a .

14. Considere el espacio vectorial sobre el campo , se

define la transformación lineal Taylor de grado 3 , donde es el espacio vectorial sobre los reales de los polinomios de grado menor o igual a 3, tal que:

(Entiéndase como la k-ésima derivada de f evaluada en cero)

Halle el y determine si es inyectiva.

Determine a partir de si es sobreyectiva.

Construya la representación matricial de con respecto a las bases: