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Problemas y soluciones de la asignatura

Matematicas del Grado en Biologıa. Universidad de

Alcala.

Marcos Marva Ruiz Juan Ruiz Alvarez

16 de diciembre de 2014

Indice general

1. Funciones elementales. 3

1.1. Enunciados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Soluciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Mas funciones elementales. 13

2.1. Enunciados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Soluciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Derivadas. 23

3.1. Enunciados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2. Soluciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Ecuaciones en diferencias. 29

4.1. Enunciados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2. Soluciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5. Integrales. 37

5.1. Enunciados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2. Soluciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

iii

iv INDICE GENERAL

6. Ecuaciones diferenciales. 47

6.1. Ecuaciones separables y lineales. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2. Ecuaciones separables y lineales. Soluciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.3. Ecuaciones diferenciales: isoclinas y metodo de Euler. Enunciados. . . . . . . . 51

6.4. Ecuaciones diferenciales: isoclinas y metodo de Euler. Soluciones. . . . . . . . . 52

6.5. Ecuaciones diferenciales autonomas. Enunciados. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.6. Ecuaciones diferenciales autonomas. Soluciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.7. Modelos con ecuaciones diferencias: enunciados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.8. Modelos con ecuaciones diferencias. Soluciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7. Funciones de varias variables. 61

7.1. curvas de nivel, representacion grafica y dominio. Enunciados. . . . . . . . . . . 62

7.2. curvas de nivel, representacion grafica y dominio. Soluciones. . . . . . . . . . . 63

7.3. Derivadas parciales, extremos relativos. Enunciados. . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.4. Derivadas parciales, extremos relativos. Enunciados. . . . . . . . . . . . . . . . 72

INDICE GENERAL 1

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2 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Funciones elementales.

3

4 CAPITULO 1. FUNCIONES ELEMENTALES.

1.1. Enunciados.

1. El porcentaje de germinacion de simientes depende de la temperatura. Se ha descubiertoque para cierta variedad de simiente de pepino la germinacion es del 50 % a 15oC y del90 % a 20oC. Si la relacion entre el porcentaje de germinacion G y la temperatura T sesupone lineal, encontrar G como funcion de T . A partir de esto, determina el porcentajede germinacion obtenida a 10oC y la temperatura requerida para obtener un 82 % degerminacion.

2. En un estudio de campo, se han obtenido los siguientes datos sobre el porcentaje degerminacion de ciertas semillas observadas a cuatro temperaturas diferentes:

Temperatura(oC) 6 9 12 15Germinacion( %) 0 10 20 35

Encontrar una expresion de la germinacionG en funcion de la temperatura T que satisfagalos resultados tabulados.

3. Supon que dispones de un organismo unicelular. La celula pesa m0 µg y se biparte cada2.5 horas. Se pide:

a) Encontrar una expresion para el numero de individuos (de celulas) en funcion deltiempo, y entonces calcular la cuantos habra despues de 24 horas. Ten en cuentaque el numero de individuos es una magnitud discreta. Por ejemplo, hasta que nohan pasado 4 horas desde el instante inicial no hay 2 celulas.

b) Encontrar una expresion para la masa en funcion del tiempo, y entonces calcular lamasa despues de 24 horas. La magnitud de interes, la masa, es continua. Para podermodelar el proceso vamos a suponer que la celula no para de crecer. Suponemosque cada 4 horas cada celula aumenta su masa hasta doblarla para dar lugar vıabiparticion a otras 2 celulas.

4. Considera ahora un organismo multicelular que tiene una masa inicial de 0.5 g. Sabes quedobla su masa cada 1.5 horas, pero desconoces el proceso subyacente (por ejemplo, nosabes si todas sus celulas se dividen a en el mismo instante). Encuentra una expresionpara la masa en funcion del tiempo y utilızala para calcular la masa despues de 22 horas.Indicacion: ahora el tiempo, que denotamos por t, es una variable continua. Puedes hayasresolver este problema como una modificacion de la solucion del ejercicio anterior. Enconcreto, el exponente tiene que valer 1, 2, 3, . . . cuando hayan pasado 1.5 horas, 3 horas,4.5 horas. . . y ası, sucesivamente. para que

5. Un isotopo radioactivo decae con una tasa proporcional a su masa actual. Su vida mediaT es el periodo en el que esta masa se divide por dos. Si inicialmente su masa es m0:

a) Escribe la masa m en funcion del tiempo t.

1.1. ENUNCIADOS. 5

b) Escribe la relacion anterior utilizando la exponencial de base e.

c) Si inicialmente hay 1 g de carbono 14 (vida media 5570 anos), calcula cuanto quedara de-spues de 500 dıas, 50 anos, y 5000 anos.

6. Utiliza una transformacion logarıtmica para obtener una relacion lineal entre las vari-ables dadas, y determina si se debe usar una grafica logarıtmica o semilogarıtmica pararepresentar la relacion lineal resultante.

a) y = 4x1,4

b) y = 13e−0,02t

c) r = 5 · 3s−1

d) v = 10u−0,4

7. Buscamos una relacion funcional entre x e y. Representa con una hoja de calculo losdatos que paracen en la siguiente tabla. Utiliza la transformacion logarıtmica apropiadapara determinar la relacion entre dichas variables.

x y

0.1 0.0450.5 1.331 5.7

1.5 13.362 24.44

Indicacion: si nunca has usado una hoja de calculo, ve directamente a las soluciones.

8. Establece la alometrıa (relacion potencial) entre dos medidas que crecen exponencial-mente de forma general:

A(t) = A(0)eαt

B(t) = B(0)eβt

9. La solucion del modelo logıstico de crecimiento de una poblacion es

P (t) =P0K

P0 + (K − P0)e−rt

donde P0 es el tamano inicial de la poblacion, K es la capacidad de carga del entorno y r latasa de crecimiento ilimitado de la poblacion. Comprobar que la siguiente transformacion,denominada logıstica, linealiza las funciones del tipo de P (t):

ln

(P (t)

K − P (t)

).

10. Dada la ecuacion x3 + x− 1 = 0 utiliza el metodo de la biseccion para determinar


a) a partir del intervalo [0, 1], el intervalo de longitud 1/8 en el que se encuentra laraız.

b) Aproxima el valor de la raız en dicho intervalo.

11. Encuentra un intervalo de longitud 1/8 en el que exista una raiz de la ecuacion cosx = x.

12. Supon que tienes un conjunto de datos de un par de variables (x, y) y quieres calcular supolinomio interpolador. ¿Que ventaja supone utilizar el metodo de las diferencias frenteal metodo de Lagrange?

1.2. SOLUCIONES. 7

1.2. Soluciones.

1. Solucion: Usar los datos problema para calcular los coeficientes de la ecuacion G(T ) =a · T + b. La solucion es G(T ) = 8T − 70. Ahora, por un lado basta calcular G(10) (queda un 10 % de germinacion). Por otro,hay que despejar T de 82 = 8T − 70 para obtenerT = 19oC.

2. Solucion: Se trata de interpolar los datos de la tabla. Calcula las diferencias entre losvalores y obtendras el siguiente polinomio interpolador G(T ) = 5

162T3− 5

6T2 + 95

9 T − 40.

3. Solucion:

a) Una estrategia consiste en comprobar como evoluciona el n’umero de individuosdurante las primeras horas. Si llamamos P (n) al numero de individuos tras n bi-particiones (cada una de los cuales equivale a un periodo de 2.5 horas) tenemosinicialmente P (0) = 1. Tras 4 horas hay P (1) = 2, tras 8 horas habra el doble queen P (1), es decir. P (2) = 2 ∗ 2. Tras otras 4 horas de nuevo se dobla el numero decelulas, de modo que haba P (3) = 2 · P (2) = 2 · 22 = 23. Ası, vemos llegamos aP (n) = 2n. Ahora, tras 24 horas da tiempo a completar procesos de 9 biparticion(el decima sucede tras 25 horas). Por tanto, P (9) = 29 = 512 individuos.

b) Si llamamos M(n) a la masa de la poblacion tras n biparticiones, como cada individ-uo pesa m0, tenemos M(n) = m0P (n), de donde M(9) = 512m0 µg. Sin embargo,esta descripcion del proceso no es del todo adecuada. En la grafica 3b hemos rep-resentado los valores de la sucesion x(n) = 2n (es P (n) con m0 = 1). la masa salta

Figura 1.1: Primeros terminos de la sucesion x(n) = 2n.

directamente entre n = 0 y n = 1 de masa=1 a masa=2. Pero la masa debe recor-rer todos los valores intermedios (hay un teorema con ese nombre para funcionescontinuas). Vamos a usar una variable temporal t continua, para poder ”acceder”a valores dela masa entre los instantes n = 1 y n = 2 (u otros cualesquiera). Ladistribucion de los valores que ves en la figura 3b sugiere una funcion exponencial,de modo que vamos a ensayar con una exponencial general, del tipo R(t) = a · bct.


Ademas, R(t) y M(n) deben coincidir en los valores n = 0, t = 0 (masa inicial) ycada 4 horas. Si R(0) = M(0), entonces

a · bc0 = m020 ⇒ a = m0

Quedan por determinar dos incognitas: b y c. La opcion razonable es considerar b = 2pero, por si no te lo parece, a continuacion va la justificacion rigurosa de es eleccion.Necesitamos dos ecuaciones, y las conseguimos dando dos valores al tiempo. Fıjateen que n = 1 corresponde con t = 4 y n = 2 con t = 8. Entonces{

m0b4c = m02

m0b8c = m04

⇔ simplica m0 ⇔{b4c = 2b8c = 4

⇔

⇔ log2 ⇔{

log2(b4c) = log2 2

log2(b8c) = log2 4

⇔{

4c log2 b = 18c log2 b = 2

Al dividir la segunda ecuacion entre la primera tienes

log2 b = 1⇔ b = 2

Si b = 2, es inmediato que c = 1/4.

4. Solucion: en este caso M(t) = 0,5 · 2t

1,5 . Ahora, tienes M(22) = 13003,989417723 ∼13003,9894 ∼ con 4 cifras de significativas. Si no sabes que son las cifras significativas,no te prives y consulta, por ejemplo, la seccion 1.3 del libro que encntraras enhttp://www2.uah.es/fsegundo/BioEstad/14-15/000-CursoEstadistica-bn.pdf

5. Solucion:

a) Razonando de forma similar a los dos ejercicios anteriores, y teniendo en cuentaque ahora la masa de divide entre 2 cada vezque pasan T anos, tenemos m(t) =

m0

(1

2

) tT

.

b) Ahora quieres escribir m(t) en la forma m(t) = aebt. Es decir, busca a y b tales que,para cualquier valor de t

aebt = m0

(1

2

) tT

De donde se tiene que m(t) = m0 e− ln 2

Tt.

c) Hay con sustituir en m(t) (da lo mismo que uses la expresion obtenida en el primerapartado o en el segundo) 500 dıas (¡expresado en anos!), 50 anos, y 5000 anos.Tenemos, redondeado a 4 cifras significativas, m(500 dias) ≈ 0, 9998g, m(50) ≈0, 9938 g y m(5000) ≈ 0, 5368 g.

1.2. SOLUCIONES. 9

6. En todos los casos hay que tomar logaritmos y necesitaras usar sus propiedades (log(ab) =log(a)+log(b), log(a/b) = log(a)− log(b), log(ab) = b log(a)). En este caso son logaritmosen base 10, que denotaremos por log. Necesitaras usar las propiedades de los logaritmos.

a) Definir X = log x, Y = log y. Entonces Y = log(1,4)X + log(4).

b) Definir Y = log y. Entonces Y = −0,02 · log(e) t− log(3).

c) Definir R = log r, S = log s. Entonces R = log(3) s+ log(5)− log(3).

d) Definir U = log u, V = log v. Entonces V = −0,4U + 1.

Si prefieres dar el resultado aproximado (no exacto) utiliza, por ejemplo, 4 cifras signi-ficativas. Si no sabes como hacer esto, consulta la pagina 16 del librohttp://www2.uah.es/fsegundo/BioEstad/14-15/000-CursoEstadistica-bn.pdfEl resultado es

a) Y = 0,1461X + 0,3010.

b) Y = −0,004343 t− 0,3010.

c) Y = 0,3010 s+ 0,7000

d) Y = −0,2U + 1.

7. Abre Calc (si no sabes como instalarlo, consulta el documento http://www2.uah.es/fsegundo/BioEstad/14-15/Tutorial-00.pdf). Copia los datos en dos columnas contiguas (figura 7 izquierda) yselecciona dichos valores con el raton (figura 7 derecha) , deberıa tener el aspecto

Figura 1.2:

Pulsa el boton del asistente para crear graficos Aparecera un cuadro de dialogo en elque tenemos que elegir las opciones adecuadas (figura 7). Elige diagrama de dispersion

Para cambiar la escala de uno de los ejes a escala logarıtmica, haz doble click con el ratonsobre dicho eje y marca la casilla correspondiente, como en la figura 3

para volver a la escala natural, deschequea la casilla.


Figura 1.3:

Figura 1.4:

A continuacion tienes las graficas en las que se representa a) x frente a y, b) log10 x frentea y, c) x frente a log10 y, d) log10 x frente a log10 y.

1.2. SOLUCIONES. 11

a)

b)

c)

d)

Como la unica curva que es una recta es la d), definimos las nuevas variables X = log10 xe Y = log10 y y calculamos 2 valores para el par (X,Y ), suficientes para determinar loscoeficientes de la ecuacion de la recta.

x y log10 x log10 y

0.1 0.045 -1 -1.3467874860.5 1.33 -0.3010299956 0.1238516409

La relacion lineal entre X = log x e Y = log y viene dada por Y = 2,099535673X +0,7558748556. Para obtener la relacion entre x e y basta con tomar exponenciales y teneren cuenta que X = log x para tener y = 5,7x2,099535672. Hemos trabajado con todos losdecimales para obtener un resultado lo mas exacto y aproximado posible.

8. Solucion: elobjetivo es escribir A en funcion de B o B en funcion de A. Inicialmente,tanto A como B dependen de t. Podemos, por ejemplo, despejar t de B(t) para tenert(B) y, a continuacion, sustituir en A(t) y simplificar la expresion A(t(B)) para obtener

A(t) =A(0)

B(0)α/βB(t)α/β

9. Solucion: hay que sustituir P (t) en la expresion propuesta, es decir:

ln

P0K

P0 + (K − P0)e−rt

K − P0K

P0 + (K − P0)e−rt

operar y simplificar hasta obtener ln

(P (t)

K−P (t)

)= ln

(P0

K−P0

)+ r t. Como tanto r como

ln(

P0K−P0

)son constantes, se trata de una recta.


10. Sin necesidad de hacer ningun calculo, y puesto que la longitud del intervalo inicial es 1,sabemos que hay que dar 3 pasos en el metodo de la biseccion, ya que en cada paso lalongitud del intervalo se reduce a la mitad.

a) Definimos f(x) = x3 + x − 1 y comprobamos que f(0) = −1 < 0 mientras quef(1) = 1 > 0. El intervalo pedido es [5/8, 3/4]

b) Para aproximar la raız x0 de la ecuacion mediante un valor concreto (por ejemplo,por que lo necesitemospara otro calculo) y no usando un intervalo, se elegirıa el

punto medio del ultimo intervlo calculado. Es decir, x0 = 5/8+3/42 = 11

16 .

Fıjate en que si la precision pedida hubiera sido de 1/8, entonces habrıamos necesi-tado dar un paso menos en el algoritmo de la biseccion.

11. (5/8, 3/4)

12. Solucion: Con el metodo de las diferencias nos aseguramos de elegir el polinomio de menorgrado posible de entre los que pasan por esos puntos del plano.

Capıtulo 2

Mas funciones elementales.

13

14 CAPITULO 2. MAS FUNCIONES ELEMENTALES.

2.1. Enunciados.

1. A partir de la grafica de la funcion f(x) = x2 construye las graficas de las siguientesfunciones.

a) f(x) = x2 + 2.

b) f(x) = x2 − 3.

c) f(x) = (x+ 2)2.

d) f(x) = (x− 3)2.

e) f(x) = 13x

2.

f ) f(x) = −(x− 3)2 + 2.

2. Conocida la grafica de una funcion f(x), explica que aspecto tienen f(x) ± a, f(x ± a),±af(x) con a > 0.

3. Determina la funcion trigonometrica que describe cada una de las siguientes curvas.

a)

b)

2.1. ENUNCIADOS. 15

c)

d)

4. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a)x2 + 3

x− 1< 2x b) |2x3 − 8x+ 3| < 3

5. Descomposicion en fracciones simples. Una funcion racional es aquella que se expresacomo cociente de dos polinomio P (x)/Q(x). Cuando el grado del polinomio del denom-inador es mayor que el del numerador es posible descomponer la funcion racional comosuma de fracciones mas sencillas. En caso de que las raıces de Q(x) sean reales, la descom-posicion se hace de la siguiente forma: por cada raız α real de multiplicidad n anadir nsumandos de la forma a1/(x−α), a2/(x−α)2, . . . , an/(x−α)n. Cuando la raız es simple,hacer n = 1. Se pide expresar como suma de fracciones simples las siguientes funcionesracionales.

a)x+ 3

x2 + x− 2

b)x+ 1

x3 − 5x2 + 7x− 3

6. En las comunidades depredador-presa, cuando una de las poblaciones sufre fluctuacionesperiodicas, a menudo induce fluctuaciones (tambien periodicas) en la otra poblacion. Al-gunos estudios sobre los linces en cierta region de Canada han mostrado que su poblacionse puede representar por

PL = 40000 + 35000 sen

(2πt

T

)


donde T , la duracion de un periodo, es 11 anos y, t es el tiempo en anos desde una fechade partida. El estudio de la principal presa de los linces, cierto tipo de roedores gigantes,ha permitido llegar a la conclusion de que su poblacion tambien varıa sinusoidalmente conun periodo de 11 anos. Se observo, sin embargo, que los roedores alcanzaban su maximode 110000 individuos, dos anos antes de que los linces alcanzaban el suyo. La poblacionmınima encontrada fue de 10000 individuos.

a) Encuentra una ecuacion para la poblacion de roedores PR en funcion del tiempo.

b) Dibuja las graficas de PL y PR respecto de t y determina cuando son iguales.

7. Se administra a un paciente 2 gramo de cierta sustancia cada 4 horas. Llamaremos S(n)la cantidad de sustancia que hay en el cuerpo despues de n dosis (una cada 4 horas). Cada4 horas el cuerpo es capaz de eliminar 1/4 de la sustancia que hay en el. Supongamosque inicialmente no habıa sustancia en el organismo y en ese momento se administra laprimera dosis (es decir, S(1) = 2):

a) Determina cantidad de sustancia despues de administrar 1, 2 y 3 dosis. la ecuacionque describe la cantidad de sustancia en el cuerpo en el tiempo.

b) Determina la ecuacion que describe la cantidad de sustancia en el cuerpo en eltiempo.

c) Queremos que la cantidad de sustancia en el cuero se mantenga constante cada 4horas. Determinar la cantidad de sustancia tal que, una vez administrados 2 gramos(una dosis), a las 4 horas hay tanta sustancia en el organismo como habıa hace 4horas.

d) Determina la cantidad de sustancia en el organismo a largo plazo.

8. Se administra a un paciente una sustancia cada 4 horas. Llamaremos S(n) la cantidad desustancia en el cuerpo en el intervalo n (cada intervalo es de 4 horas); el cuerpo eliminauna fraccion p de la sustancia en cada intervalo. Si durante cada periodo se administrauna dosis D0 de sustancia:

a) Determina la ecuacion que describe la cantidad de sustancia en el cuerpo en eltiempo.

b) Determina la cantidad total se sustancia en el cuerpo a largo plazo en funcion delacapacidad del organismo para eliminarla.

c) Determina la dosis que se debe administrar cada 4 horas para que la cantidad desustancia en el organismo sea, a largo plazo, de c gramos.

2.1. ENUNCIADOS. 17

9. En una planicie cercana a un bosque hay dos lagunas a las que van a alimentarse a diariolos individuos de una colonia de pajaros que habita en el bosque. Llamaremos A(n) uB(n) la cantidad de pajaros que van el dıa n a las lagunas A y B, respectivamente.Algunos ejemplares estan anillados y despues de controlar sus movimientos, los biologoshan determinado que en un dıa cualquiera

a) La mitad de los pajaros que se alimenta en la laguna A ira al dıa siguiente a lalaguna B.

b) Una cuarta parte de pajaros que se alimenta en la laguna B ira al dıa siguiente a lalaguna A.

Se pide

a) Determina las ecuaciones que describe la cantidad de pajaros en cada una de laslagunas en el tiempo.

b) Escribe el sistema de forma matricial.

c) Si un determinado dıa (llamado dıa 0) acudieron A(0) = 100 y B(0) = 400 a cadalaguna, determina como se repartiran entre las dos lagunas en los dıas 1, 2, 3.

d) Relaciona los calculos que has hecho en el apartado anterior con las potencias de lamatriz de coeficientes obtenida en el apartado 2.

e) ¿Existe alguna solucion de equilibrio?


2.2. Soluciones.

1. Solucion: puedes ayudarte de GeoGebra (u otro programa) para resolver este ejercicio.

a)

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

b)

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

c)−5 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

d) 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

e)

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

−0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

f )

1 2 3 4 5 6

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

2. Solucion:

a) La grafica de f(x)+a es la de f(x) desplazada a unidades hacia arriba. La de f(x)−aesta desplazada a unidades hacia abajo.

b) La grafica de f(x + a) es la de f(x) desplazada a unidades hacia la izquierda. Enf(x− a) el desplazamiento es hacia la derecha.

2.2. SOLUCIONES. 19

c) El valor de af(x) es a veces f(x); se trata de un cambio de escala. Fıjate en quesi a = −1 entonces −f(x) es simetrica a f(x) respecto del eje de ordenadas. Ası,cuando se multiplica por −a 6= −1, la grafica de −af(x) es simetrica a la de af(x).

d) Las anteriores transformaciones se unen la ya conocida f(−x), que es una simetrıarespecto del eje de ordenadas.

3. Solucion:

a) f(x) = 3 sin(x)

b) f(x) = 2 sin(x+ π/2)

c) f(x) = − cos(x)

d) f(x) = sin(2x)

4. Solucion:a) (−1, 1) ∪ (3,+∞) b) (0, 1) ∪ (3, 4)

5. Solucion: en ambos casos lo primero es determinar las raıces del polinomio del de-nominador. Con esa informacion, escribir la descomposicion y determinar los coeficientescorrespondientes.

a)x+ 3

x2 + x− 2. Usando la formula de la ecuacion de segundo grado (o Ruffini) tenemos

x2 + x− 2 = (x− 1)(x+ 2). Por tanto, la descomposicion es de la forma

x+ 3

(x− 1)(x+ 2)=

a

x− 1+

b

x+ 2

y falta calcular a y b. Observa que

x+ 3

(x− 1)(x+ 2)=

a

x− 1+

b

x+ 2=a(x+ 2) + b(x− 1)

(x− 1)(x+ 2)=

(a+ b)x+ 2a− b(x− 1)(x+ 2)

como los polinomios del denominador son iguales, para que la igualdad sea ciertatambien deben ser iguales los coeficientes de los polinomios del numerador. Por esohay que igualar entre sı los coeficientes de las potencias de x de los polinomios delnumerador, es decir,

x+ 3 = (a+ b)x+ 2a− b⇔{

1 = a+ b3 = 2a− b

de donde tenemos a = 4/3 y b = −1/3.

b)x+ 1

x3 − 5x2 + 7x− 3.Ahora tenemos x3− 5x2 + 7x− 3 = (x− 1)2(x− 3), por lo que la

descomposicion es de la forma

x+ 1

x3 − 5x2 + 7x− 3=

a

x− 1+

b

(x− 1)2+

c

x− 3

Un razonamiento paralelo al anterior conduce a a = −1, b = −1, c = 1.


6. Solucion:

a) PR(t) = 60000 + 50000 cos(2π11 (t− 3

4)).

b) Hay que buscar t∗ tal que PR(t∗) = PL(t∗), es decir,

60000 + 50000 cos

(2π

11

(t∗ −

3

4

))= 40000 + 35000 sen

(2πt∗11

)

hay que usar un metodo numerico, por ejemplo, el de la biseccion, y obtenemost∗ ≈ 2,97738 anos y, aproximadamente, habra ≈ 14066 individuos.

7. Solucion:

a) S(1) = 2, para calcular S(2) tenemos que tener en cuenta que el cuerpo ha eliminado1/4 de la sustancia que contenıa, entonces quedan 3/4, es decir (2∗3/4) y que acabade ingerir 2 gramos: S(2) = 2∗3/4+2 = 3/2+2 = 7/2. Para calcular S(3) razonamosigual: el cuerpo contiene 3/4 de la sustancia que contenıa (7/2 ∗ 3/4) y que acabade ingerir otros 2 gramos: S(2) = 21/8 + 2 = 37/8

b) Generalizando lo anterior, entre las dosis n y n+ 1 el cuerpo ha eliminado s(n)∗1/4de sustancia (contiene 3 ∗ S(n)/4) y ha ingerido 2 gramos, de modo que S(n+ 1) =3

4S(n) + 2.

c) La condicion es que S(n + 1) = S(n). Es decir, S(n) =3

4S(n) + 2. Al resolver la

ecuacion s∗ =3

4s∗ + 2 tenemos el resultado s∗ = 8 gramos.

d) Con el diagrama de tela de arana tenemos 8 gramos.

8. Solucion:

a) S(n+ 1) = (1− p)S(n) +D0

b) s∗ = D0/p

c) D0 = c · p

2.2. SOLUCIONES. 21

9. Solucion: Para cada apartado, sean A(n), B(n) la cantidad de pajaros en cada laguna.

a)

A(n+ 1) =

1

2A(n) +

1

4B(n)

B(n+ 1) =1

2A(n) +

3

4B(n)

b)

(A(n+ 1)B(n+ 1)

)=

(1/2 1/41/2 3/4

)(A(n)B(n)

)c) Basta sustituir en el sistema de ecuaciones:

d)

(A(1)B(1)

)=

(150350

),

(A(2)B(2)

)=

(325/2675/2

),

(A(3)B(3)

)=

(1325/82675/8

)e) Si escribimos el sistema matricial de la forma X(n+ 1) = MX(n), entonces

X(1) = AX(0) X(2) = A2X(0), A(3) = A3X(0).

f ) Sı, es de la forma A∗ = P/3, B∗ = 2P/3, donde P es la poblacion inicial (observa queno tenemos en cuenta ni nacimientos, ni muertes, ni entrada o salida de individuosen el modelo).

Capıtulo 3

Derivadas.

23

24 CAPITULO 3. DERIVADAS.

3.1. Enunciados.

1. Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

a) f(x) = 3x

b) f(x) = 4x27

c) f(x) = 8− x2

d) f(x) = (4x+ 1)3

e) f(x) = x2(3x− 5)

f ) f(x) =tg x

x

g) f(x) =1

x3

h) f(x) =√x

i) f(x) = sin3 x

j ) f(x) = cosx3

k) f(x) =√

1 + x2

l) f(x) = 2√x− 1

3√x

+ 5

m) f(x) =(3x− 4)2

(1− x)2

n) f(x) = 2√

lnx

n) f(x) =

(3x− 1

x2 + 3

)2

o) f(x) = (x2 + 2)e3x

p) f(x) =3− 1

xx+ 5

q) f(x) =

√x+ 1

x− 1

2. Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

a) f(x) = ex sen3 x

b) f(x) = arc tg

(sin x

1 + cosx

)c) f(x) =

tg x

x

d) f(x) =

√x+

√x+√x

e) f(x) = sen(sen(sen x))

3. En un experimento metabolico la masa M (en mg) de glucosa decrece de acuerdo con laformula

M(t) = 5− t2/3mg (t en horas)

Encuentra la velocidad de reaccion en el intervalo [0, 2] y en t = 0, en t = 2.

4. La temperatura del aire T , en centigrados, un cierto dıa viene dada por

T (t) = 18 + 4 sin

(π(t− 8)

12

)donde t es el tiempo en horas medido desde medianoche. Encuentra la velocidad decrecimiento de la temperatura entre las 2 : 00 y las 14 : 00 horas. Calcula la tasa decambio instantaneo de T (t) a las 2 : 00, a las 8 : 00 y a las 12 : 00 horas.

5. Calculady

dxcuando:

a) x3 + y3 = 1.

b) xy = 4.

c) x2 − y2 = 1.

d) x12 + y

12 = 4.

e) y2 = x2 +1

x2.

f ) 2 cosx+ seny = 1.

g)1

x+

1

y= 1.

h) cos(x+ y) = sen(x− y).

3.1. ENUNCIADOS. 25

6. Halla la ecuacion de la tangente a la curva y2 − x2 = 24 en el punto (1, 5). ¿Existenpuntos en los que la recta tangente es vertical u horizontal?

7. Supon que las gotas de agua de lluvia son esfericas y que al caer acumulan polvo (en susuperficie) a una velocidad proporcional a su superficie. Al acumular polvo, aumenta suvolumen. Demuestra que el radio de la gota crece a velocidad constante.

8. La forma de cierto tipo de larva es, aproximadamente, la de un cilindro circular recto. Sien sus primeros estadıos de vida su longitud es igual al radio r y crece de forma que elarea de su superficie aumenta a una velocidad constante c, halla la tasa de cambio delradio y del volumen en cualquier instante t.

9. El consumo de energıa de algunas aves voladoras se puede medir. Para cierto tipo deperiquito australiano este consumo de energıa en J / g km se puede describir mediante laformula

E =0,31(v − 35)2 + 92

v

donde v es la velocidad en km / h. Calcula la velocidad mas economica.

10. El numero de individuos de una poblacion (en millones) viene dado, en funcion del tiempo(en segundos), por la siguiente expresion

P (t) =t2 + 1

t2 + 2t+ 1

Calcula:

a) Poblacion maxima y mınima a partir del instante 0.

b) Velocidad de crecimiento maxima de la poblacion.

c) Evolucion de la poblacion.

11. La altura de un individuo, H (centımetros), a lo largo de su vida viene dada por

H(t) = 170 +190t− 1560

(t+ 1)2 + 12

donde t es la edad en anos. Calcula:

a) La edad a la que alcanzara 1 m de altura.

b) Las alturas maxima y mınima, y las edades a las que se alcanzan.

c) La altura que tendra finalmente si el individuo tiene una larga vida.

12. Sea la equacion ex = x2.

(a) Demuestra que tiene una unica raiz negativa α.


(b) Aproxima α.

13. Comprueba que las siguientes ecuaciones tiene, cada una, una solucion en el intervalodado. Usa el metodo de Newton para aproximarlas hasta que la tercera cifra decimal seaexacta.

a) 2x+ lnx = 1 en [12 , 1]

b) x+ lnx = 3 en [2, 3]

c) 2x+ ex = 3 en [0, 1]

d) 2x− x2 + e−x = 0 en [2, 3]

14. Calcula los tres primeros terminos no nulos del desarrollo de Maclaurin de las siguientesfunciones:

a) tg x b)√

1 + x c)√

1− x d) 1√1+x

15. Dada la ecuacione−x

2+x − 2x = 0

a) Sustituye en ella la funcion e−x2+x por su desarrollo de Maclaurin de grado 1, y

resuelve la nueva ecuacion obtenida.

b) Aproxima con tres cifras decimales exactas la solucion de la ecuacion inicial en el in-tervalo [0, 2] mediante el metodo de Newton, utilizando como primera aproximacionla solucion del apartado (a).

16. Dada la ecuacionln(1 + sinx) + 4x = 1

a) Utiza los 2 primeros terminos del polinomio de Maclaurin de la funcion ln(1 + sinx)para encontrar una primera aproximacion de la raiz de dicha ecuacion que esta en[0, π2 ].

b) Mejora la aproximacion hasta la tercera cifra decimal exacta mediante el metodo deNewton.

3.2. SOLUCIONES. 27

3.2. Soluciones.

1. Soluciones.–

a) f ′(x) = 3

b) f ′(x) = 108x26

c) f ′(x) = −2x

d) f ′(x) = 12(4x+ 1)2

e) f(x) = 2x(3x− 5) + 3x2

f ) f(x) =−1

x2 cos2 x

g) f ′(x) = − 3

x4

h) f ′(x) =1

2√x

i) f ′(x) = 3 sin2 x cosx

j ) f ′(x) = −3x2 sinx3

k) f ′(x) =x√

1 + x2

l) f ′(x) =1√x

+1

3x 3√x

m) f ′(x) =6(3x− 4)(1− x) + 2(3x− 4)2

(1− x)3

n) f ′(x) =1

2x√

lnx

n) f ′(x) = 2

(3x− 1

x2 + 3

)·3(x2 + 3)− (3x− 1)2x

(x2 + 3)2

o) f ′(x) = (3x2 + 2x+ 6)e3x

p) f ′(x) = −−2x− 5 + 3x2

x2(x+ 5)2

q) f ′(x) = −√x− 1

(x− 1)2√x− 1

2. Soluciones.–

a) f ′(x) = ex sen2 x(senx+ 3 cosx)

b) f ′(x) = 1/2

c) f ′(x) =sec2 x

x− tg x

x2

d) Puedes derivar directamente f ′(x) =1

2

√x+

√x+√x

(1 +

1

2√x+√x

)(1 +

1

2√x

)o escribir las raıces cuadradas como potencias −1/2 y derivar:

f ′(x) =1

2

[x+ (x+ x1/2)1/2

]−1/2 [1 +

1

2(x+ x1/2)−1/2(1 +

1

2x−1/2)

]e) f ′(x) = cos(sen(sen(x))) cos(sen(x)) cosx

3. Solucion.– Hay que calcular la tasa de variacion media de M(t) en el intervalo [0, 2] yla derivada en t = 0, en t = 2. 11/6mg/h, 0mg/h, −4/3mg/h.

4. Soluciones.– El problema es equivalente al anterior 23oC/h, 0 oC/h, π

3oC/h, π cos(π/3)

3

oC/h =

π6oC/h.

5. Soluciones.–


a)−x2

y2

b)−yx

c)x

y

d)−y

12

x12

e)x− 1

x3

y

f )2 senx

cos y

g)−y2

x2

h)cos(x− y) + sen(x+ y)

cos(x− y)− sen(x+ y)

6. Soluciones.- Lo primero es comprobar que la curva pasa por el punto (1, 5) y, si quieres,utilizar un programa cualquiera para visualizar la curva.

Para determinar la pendiente de la recta tangente en el punto (1, 5) puedes derivar im-plicitamente (2yy′−2x = 0) o, en este caso, despejar y en funcion de x (y(x) =

√x2 + 24)

y derivar despues. En cualquier caso, la pendiente es y′(1) = 1/5 y la ecuacion de la rectatangente es y(x) = 5 + (x− 1)/5

7. Solucion.–

8. Solucion.–

9. Solucion.– ≈ 39,0099 km/h .

10. Solucion.– a) 1000000 ind. , 500000 ind. b) 200000027 ind/s c) → 1000000ind. .

11. Solucion.– a) ≈ 1,49536 anos b) 175 cm con ≈ 18 anos y 50 cm con 0 anos c)170 cm .

12. Solucion.– (b) -0.7034674225.

13. Solucion.–

a) 0.687 b) 2.207 c) 0.594 d) 2.061

14. Solucion.– Hay que sustituir en la formula del polinomio de Taylor

a) x+ 13x

3 + 215x

5 b) 1 + x2 −

x2

8 c) 1− x2 −

x2

8 d) 1− 12x+ 3

8x2

15. Solucion.–

a) El polinomio de Maclaurin de grado 1 es 1 + x, de modo que hay que resolver laecuacion 1 + x− 2x = 0, que es 1.

b) 0.631

16. Solucion.–

a) El polinomio de Maclaurin de grado 2 es x − x2/2, demodoque hay que resolver laecuacion x− x2/2 + 4x = 1, que es x =

√(23) + 5.

b) 0.203

Capıtulo 4

Ecuaciones en diferencias.

29

30 CAPITULO 4. ECUACIONES EN DIFERENCIAS.

4.1. Enunciados.

1. Para las siguientes ecuaciones en diferencias, encontrar los valores de equilibrio y estudiarsu estabilidad.

a) xn+1 = 2xn − 6

b) xn+1 = 3xn − x2n + 3

c) xn+1 = −0,5x3n + 0,5x2n + xn

d) xn+1 =1

xn + 2.

e) xn+1 = x2n − 2.

f ) xn+1 = 4x3n.

2. Dada la ecuacion xn+1 = axn − x2n.

a) Calcular sus equilibrios para los distintos valores de b.

b) Estudiar, en cada caso, su estabilidad.

3. Dada la ecuacion xn+1 = −bxn + x3n.

a) Calcular sus equilibrios para los distintos valores de b.

b) Estudiar, en cada caso, su estabilidad.

4. En dinamica de poblaciones se utiliza frecuentemente el siguiente modelo de poblacionesde peces basado en una ecuacion empırica denominada ecuacion de Ricker en honor asu inventor Bill Ricket

xn+1 = αxne−βxn .

Calcula las soluciones de equilibrio y determina su estabilidad.

5. Otro modelo usado frecuentemente es el desarrollado por Beverton y Holt, dado porla siguiente ecuacion

xn+1 =rxn

1 + cxncon r, c parametros positivos. Se pide

a) Calcular los equilibrios y su estabilidad para los distintos valores de los parametros.

b) Vamos a introducir explotacion en la poblacion, es decir, en cada periodo retiramosuna fraccion h de individuos (por tanto h ∈ (0, 1] y el modelo anterior es un casoparticular de este, cuando h = 0) de modo que la ecuacion queda

xn+1 =rxn

1 + cxn− hxn.

Determina los valores de los parametros para los cuales la estrategia de explotaciones sostenible. Esto equivalea buscar los sumideros positivos.

4.1. ENUNCIADOS. 31

c) De entre los casos del apartado anterior, encuentra el que da mayores beneficios (esdecir, la estrategia de explotacion optima).

6. El modelo de Beverton-Holt fue generalizado por Hassel,

xn+1 =rxn

(1 + cxn)m

con r, c, m parametros positivos (para m = 1 tenemos el modelo de Beverton-Holt).Calcula los equilibrios y su estabilidad para los distintos valores de los parametros.


4.2. Soluciones.

1. Solucion

a) x∗ = 6, inestable.

b) x∗1 = 3, x∗2 = −1 ambos son una fuente.

c) x∗1 = 0 semi estable por la derecha, x∗2 = 1 sumidero.

d) x∗1 = −1−√

2 fuente, x∗2 = −1 +√

2 sumidero.

e) x∗1 = −1, x∗2 = 2 fuentes.

f ) x∗1 = −1/2 fuente, x∗2 = +1/2 fuente, x∗3 = 0 sumidero.

2. a) Equilibrios x∗1 = 0, x∗2 = a− 1.

b) x∗1 = 0

1) es estable ⇔ |a| < 1.

2) Inestable ⇔ |a| > 1

3) Semiestable por la derecha para a = 1.

4) El caso a = −1 no lo estudiamos este curso.

x∗2 = 1− a,

1) Es estable ⇔ 1 < a < 3,

2) Inestable ⇔ a ∈ (−∞, 1) ∪ (3,+∞).

3) El caso a = 1 implica x∗1 = x∗2 = 0 y ya lo hemos estudiado.

4) El caso a = 3 no lo estudiamos este curso.

3. a) Los equilibrios son x∗0 = 0, x∗1 = −√

1− b, x∗2 =√

1− b.b) Para el equilibrio x∗0 = 0:

1) Es estable ⇔ −1 < b < 1.

2) Es una fuente cuando b = −1 o cuando b ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞)

3) El caso b = 1 no lo estudiamos este curso.

Para el equilibrio x∗1 = −√

1− b:1) Es estable ⇔ 1/2 < b < 2.

2) Es una fuente cuando b ∈ (−∞, 1/2) ∪ (2,+∞).

3) Es semi-estable por la derecha cuando b = 1/2.


Para el equilibrio x∗2 =√

1− b:1) Es estable ⇔ 1/2 < b < 2.

2) Es una fuente cuando b ∈ (−∞, 1/2) ∪ (2,+∞).

4.2. SOLUCIONES. 33

3) Es semi-estable por la izquierda cuando b = 1/2.


4. Equilibrios: x∗1 = 0 , x∗2 =lnα

β, lo que implica α > 0 y β > 0.

Estabilidad: determinar f ′(x) = αe−βx − αβxe−βx y f ′′(x) = −2αβe−βx + αβ2xe−βx

a) Tenemos f ′(0) = α de modo que x∗1 es

1) un sumidero si α ∈ (0, 1),

2) una fuente si α > 1

3) semiestable por la derecha para α = 1.

b) Tenemos f ′(lnα/β) = 1− lnα. Hay que tener en cuenta que x∗2 existe si α > 0. Deahı, x∗2 es

1) sumidero si 1 < α < e2,

2) fuente si α /∈ (0, 1) ∪ (e2,+∞).

3) Cuando α = 1 resulta que x∗1 = x∗2, este caso ya ha sido tratado en el apartadoanterior.

4) Cuando α = e2 resulta que f ′(x∗2) = 1. Ahora f ′(x∗2) = 2(β − 1), de modo que

a ′ Es semiestable por la izquierda si β > 1,

b′ Es semiestable por la derecha si β < 1,

c′ Para β = 1 hay que recurrir a f ′′′(x) = 3αβ2e−βx − αβ3xe−βx. Al sustituirα = e2 y β = 1 tenemos f ′′′(x∗2) = 1 > 0, luego se trata de una fuente.

Observa que cuando α > e2 tanto el origen (extincion de la poblacion) como el equilibriopositivo son inestables. ¿Y que pasa entonces con la poblacion? Aunque no hemos pro-fundizado en esto en la teorıa, puedes experimentar que sucede con el fichero geogebraque encontraras en Moodle. Esencialmente, para α > e2 aparecen soluciones periodicas ysu periodo aumenta conforme α crece. A partir de cierto valor el comportamiento de lassoluciones es caotico.

5. Necesitaremos las derivadas de f(x) =rx

1 + cx, es decir, f ′(x) =

r

(1 + cx)2f ′′(x) =

−2cr

(1 + cx)3

a) Equilibrios: x∗1 = 0,

1) inestable si r > 1,

2) estable si 0 < r ≤ 1

x∗2 =r − 1

c,

1) estable si r > 1,


2) inestable si 0 < r < 1,

3) semi estable por la derecha si r = 1

b) En este caso los equilibrios son x∗1 = 0 y x∗2 =1

c

(r − h− 1

1 + h

). Ademas, para f(x) =

rx

1 + cx− hx tenemos

f ′(x) =r

(1 + cx)2− h f ′′(x) =

−2cr

(1 + cx)3

1) x∗1 es

a) estable cuando |r − h| < 1 e

b) inestable si |r − h| > 1.

c) Cuando r − h = 1 al usar la segunda derivada tenemos que el equilibrio essemi estable porla derecha (y, ademas x∗2 = x∗1 = 0).

El parametro r mide la tasa de crecimiento intrınseco de la especie y h la tasa deretirada de individuos. Ası, cuando la diferencia entre la cantidad de individuos”producidos” y retirados es menor que 1 ( |r−h| < 1 ) la poblacion se extingue.En caso contrario, la poblacion persiste.

2) x∗2 es estable cuando

∣∣∣∣1 + (2− r)h+ h2

r

∣∣∣∣ < 1 e inestable si

∣∣∣∣1 + (2− r)h+ h2

r

∣∣∣∣ >1. Cuando

1 + (2− r)h+ h2

r= 1, al recurrir a la segunda derivada tenemos que

el equilibrio es semi estable por la derecha.

Al igual que en el modelo de Ricker, existen combinaciones de los parametros quehacen que los dos equilibrios sean inestables y aparecen soluciones periodicas. Puedeshacer experimentos con el fichero Geogebra que encontraras en Moodle.

6. Los equilibrios son x∗1 = 0 y x∗2 =r1/m − 1

c. Ademas, para f(x) =

rx

(1 + cx)mtenemos

f ′(x) =r (1 + cx(1−m))

(1 + cx)m+1f ′′(x) =

cmr (cx(1−m)− 2)

(1 + cx)m+2

a) x∗1 es

a) estable cuando |r| < 1

b) e inestable si |r| > 1.

c) Cuando r = 1 el equilibrio es semi estable por la derecha.

El parametro r mide la tasa de crecimiento intrınseco de la especie.

b) x∗2 es

a) estable cuando 0 < m− m

r1/m< 2

4.2. SOLUCIONES. 35

b) e inestable si m− m

r1/m> 2 o m− m

r1/m< 0.

c) La condicion f ′(x∗2) = 1 es equivalente a m(r−1/m − 1) = 0. Es decir, o m = 0(imposible) o r = 1. En ese caso (r = 1) resulta que x∗1 = x∗2, situacion que yahabıamos estudiado antes.

Capıtulo 5

Integrales.

37

38 CAPITULO 5. INTEGRALES.

5.1. Enunciados.

1.- Calcular las siguientes integrales indefinidas:

1.

∫x dx 2.

∫(2− x)3 3.

∫x dx√9− 6x2

4.

∫x√

x2 + 1dx

5.

∫x−1/2e

√x dx 6.

∫x2

1 + x2dx 7.

∫lnx

xdx 8.

∫x ln

(x2 + 1

)x2 + 1

dx

9.

∫arcsinx√

1− x2dx 10.

∫ √x− 1 dx 11.

∫dx√

1− 4x212.

∫(3x− 4)4 dx

13.∫

6x−33x2−3x+5

dx 14.∫

1x+x lnx dx 15.

∫dx√x

16.∫

cos4 x sinx dx

17.

∫ex − e−x

2dx 18.

∫ex + e−x

2dx 19.

∫ sin(lnx)x dx 20.

∫sin (cosx) sinx dx

21.

∫dx

cos2 4xdx 22.

∫5√x+ 1 dx 23.

∫ex − e−x

ex + e−xdx 24.

∫6√

2x3 − x(6x2 − 1

)dx

2.- Calcular las siguientes integrales racionales:

1.∫

1x2+6x+5

dx 2.∫

x2−1x3−x2+x−1dx 3.

∫1

x3−4x2+4xdx

4.

∫5 dx

x+ 35.

∫2x+ 1

x2 + x− 6dx 6.

∫2x+ 1

x3 − 6x2 + 12x− 8dx

7.

∫2x3 − 2x2 + 1

x4 − 2x2 + 1dx 8.

∫2x+3

x3+2x2−29x+42dx 9.

∫x− 5

3x2 + 6xdx

10.

∫x2

−x2 + 4x− 4dx 11.

∫2x3 − 5x

3x4 − 6x2 + 3dx 12.

∫2x3 − x2 + 3

x3 − 9x2 + 27x− 27dx

3.- Calcula las primitivas can la tecnica de integracion por partes.

1.∫x cosx dx 2.

∫x arctanx dx 3.

∫lnx

xdx

5.1. ENUNCIADOS. 39

4.∫

lnx dx 5.∫

(x2 + 1) sinx dx 6.

∫x3 lnx dx

7.

∫arctanx dx 8.

∫x sinx dx 9.

∫ln2 x dx

10.

∫e−x sin(x+ 1) dx 11.

∫arcsinx dx 12.

∫(x2 + 2x)3x dx

13.

∫ex sinx dx 14.

∫(x2 − 1) cosx dx 15.

∫2x2e3x dx


5.2. Soluciones.

1. Calcular las siguientes integrales indefinidas:

1.x2

2+K 2.

− (2− x)4

4+K 3.

−√

9− 6x2

6+K 4.

√x2 + 1 +K

5. 2e√x +K 6. x− arctanx+K 7.

(lnx)2

2+K 8.

1

4ln2(x2 + 1

)+K

9.1

2arcsin2 x+K 10.

2

3

√(x− 1)3 +K 11.

1

2arcsin(2x) +K 12.

1

15(3x− 4)5 +K

13. ln |3x2−3x+5|+K 14. ln (1 + lnx) +K 15. 2√x+K 16.

−1

5cos5 x+K

17.ex + e−x

2+K 18.

ex − e−x

2+K 19. − cos(ln(x)) +K 20.

− sin2 (cosx)

2+K

21.1

4tan 4x+K 22.

5

65√

(x+ 1)6 +K 23. ln(ex + e−x) +K 24.6

76√

(2x3 − x)7 +

K

2. Calcular las siguientes integrales racionales:

1.

∫1

x2 + 6x+ 5dx

Factorizando el polinomio del denominador, tenemos∫1

x2 + 6x+ 5dx =

∫1

(x+ 5)(x+ 1)dx

Descomponiendo en fracciones parciales el integrando, queda

1

(x+ 5)(x+ 1)=−1/4

x+ 5+

1/4

x+ 1

De este modo, al integrar, obtenemos∫1

x2 + 6x+ 5dx =

∫−1/4

x+ 5+

1/4

x+ 1dx = −1

4ln |x+ 5|+ 1

4ln |x+ 1|+ C

5.2. SOLUCIONES. 41

2.

∫x2 − 1

x3 − x2 + x− 1dx

Si factorizamos tanto el numerador como el denominador del integrando, se observa que

x2 − 1

x3 − x2 + x− 1=

(x+ 1)(x− 1)

(x− 1)(x2 + 1)=

x+ 1

x2 + 1

Entonces

∫x2 − 1

x3 − x2 + x− 1dx =

∫x+ 1

x2 + 1=

1

2

∫2(x+ 1)

x2 + 1dx =

=1

2

∫2x

x2 + 1dx+

1

2

∫2

x2 + 1dx =

1

2ln(x2 + 1) + arc tg x+ C

3.

∫1

x3 − 4x2 + 4xdx

Descomponiendo en fracciones parciales, queda

1

x3 − 4x2 + 4x=

1/4

x+−1/4

x− 2+

1/2

(x− 2)2

Integrando, tenemos∫1

x3 − 4x2 + 4xdx =

1

4ln |x| − 1

4ln |x− 2| − 1/2

x− 2+ C

4. Es inmediata.5 ln |x+ 3|+K

5. El numerador del integrando es la derivada del denominador, por lo que esta integral esinmediata: ∫

2x+ 1

x2 + x− 6dx = ln |x2 + x− 6|+K.

Sin embargo, si uno no advierte que la integral es inmediata, siempre puede aplicar elmetodo: las raıces del polinomio del denominador son x = −3, 2. Se trata de dos raicesreales simples, por lo que

2x+ 1

x2 + x− 6=

A

x− 2+

B

x+ 3=A(x+ 3) +B(x− 2)

(x− 2)(x+ 3)=

(A+B)x+ (3A− 2B)

(x− 2)(x+ 3),

ası, A y B deben verificar {2 = A+B1 = 3A− 2B


cuya solucion es A = 1, B = 1. Por lo tanto∫2x+ 1

x2 + x− 6dx =

∫1

x− 2dx+

∫1

x+ 3dx

= ln |x− 2|+ ln |x+ 3|+K= ln (|x− 2||x+ 3|) +K = ln

(|x2 + x− 6|

)+K.

6. Raıces: x = 2 triple.

− 5

2(x− 2)2− 2

x− 2+K.

7. Raıces: x = −1 doble, x = 1 doble.1

4ln (x− 1) +

3

4 (x+ 1)+

7

4ln (x+ 1)− 1

4 (x− 1)+K.

8. Raıces: x = −7, 2, 3 simples.−7

9 ln (x− 2) + 910 ln (x− 3)− 11

90 ln (x+ 7) +K

9. Raıces: x = 0, −2 simples.−5

6 lnx+ 76 ln (x+ 2) +K

10. Raıces: x = 2 doble.−x+ 4

x−2 − 4 ln (x− 2) +K

11. Raıces: x = −1 doble, x = 1 doble.1

2(x2−1) + ln(x2−1)3 +K

12. Raıces: x = 3 triple.2x− 24

(x−3)2 −48x−3 + 17 ln (x− 3) +K

3.- Calcula las siguientes primiticas con la tecnica de integracion por partes

1.∫x cosx dx

Hacemos

{u = x⇒ du = dxdv = cosx dx⇒ v =

∫cosx dx = sinx

y tenemos

∫x cosx dx = x sinx−

∫sinx dx = x sinx− (− cosx) +K = x sinx+ cosx+K

2.∫x arctanx dx

Hacemos

u = arctanx⇒ du =

1

1 + x2dx

dv = x dx⇒ v =∫x dx =

x2

2

5.2. SOLUCIONES. 43

y tenemos

∫x arctanx dx =

x2

2arctanx− 1

2

∫x2

1 + x2dx

calculamos aparte la primitiva de tipo racional del miembro derecho

∫x2

1 + x2dx =

∫ (1− 1

1 + x2

)dx = x− arctanx+ C

sustituyendo en la expresion de arriba

∫x arctanx dx =

x2

2arctanx− 1

2(x− arctanx+C) =

1

2(x2 arctanx+ arctanx−x) +K

3.

∫lnx

xdx

La integral es semi-inmediata y esta propuesta en el bloque 1. Aun as’i, si noviste claro,puedes resolverla por partes: la funcion ln no tiene primitiva inmediata, por lo que de-cidimos tomar

u = lnx⇒ du =1

xdx

dv =1

xdx⇒ v =

∫ 1

xdx = lnx

Entonces:

∫lnx

xdx = ln2 x−

∫lnx

xdx

agrupamos las primitvas a un lado de la igualdad:

2

∫lnx

xdx = ln2 x⇔

∫lnx

xdx =

1

2ln2 x+K

4.∫

lnx dx

Tomamos


{u = lnx⇒ du =

1

xdx

dv = dx⇒ v =∫dx = x

Entonces: ∫lnx dx = x lnx−

∫x

1

xdx = x lnx− x+K = x(lnx− 1) +K

5.∫

(x2 + 1) sinx dx

Integramos dos veces por partes ya que el polinomio

es de grado 2. En un primer paso tomamos{u = x2 + 1⇒ du = 2x dxdv = sinx dx⇒ v =

∫sinx dx = − cosx

∫(x2 + 1) sinx dx = −(x2 + 1) cosx−

∫2x(− cosx)dx = − cosx(x2 + 1) +

∫x cosxdx,

por lo que{u = 2x⇒ du = 2 dxdv = cosx dx⇒ v =

∫cosx dx = sinx

∫2x cosxdx = 2x sinx−

∫2 sinx dx = 2x sinx−2(− cosx)+M = 2x sinx+2 cosx+M

solo queda sustituir

∫(x2 + 1) sinx dx = −(x2 + 1) cosx−

∫2x(− cosx)dx = (1− x2) cosx+ 2x sinx+M

6.x4

4

(lnx− 1

4

)+K.

7. x arctanx− 1

2ln(x2 + 1

)+K.

8. sinx− x cosx+K.

9. x ln2 x+ 2x(1− lnx) +K.

5.2. SOLUCIONES. 45

10. −e−x

2[cos(x+ 1) + sin(x+ 1)] +K.

11. x arcsinx+√

1− x2 +K.

12. (x2 + 2x)3x

ln 3− (2x+ 2)

3x

ln2 3+ 2

3x

ln3 3+K.

13.ex

2(sinx− cosx) +K.

14. x2 sinx+ 2x cosx− 3 sinx+K.

15. e3x(

2

3x2 − 4

9x+

4

27

)+K.

Capıtulo 6

Ecuaciones diferenciales.

47

48 CAPITULO 6. ECUACIONES DIFERENCIALES.

6.1. Ecuaciones separables y lineales. Enunciados

1. Decide si cada una de las siguientes funciones es solucion de la correspondiente ecuaciondiferencial.

a) y(x) = 2e3x, y′ = 3y

b) y(x) = 3x2 + 3x,x

3y′ − y = x+ 1

c) y(x) =1

4− x2, y′ = 2xy2.

d) y(x) = sinx+ cosx, y′ + y = 2 cosx

e) y(x) = 3 tg(3x), y′ = 9 + y2.

f ) y(x) = ex, y′′ + y′ = −2y

2. Determinar para que valores de m la funcion y(x) = emx es solucion de la ecuacion dada:

a) y′′ + 6y′ + 5y = 0 b) y′′′ + 3y′′ + 2y′ = 0

3. Determinar para que valores de m la funcion y(x) = xm es solucion de la ecuacion dada:

a) x2y′′ + xy′ − y = 0 b) x2y′′ − xy′ − 5y = 0

4. En cada caso, calcular la solucion general de la ecuacion diferencial o la solucion delproblema de valor inicial correspondiente

a) (x2 + 7)y′(x) = xy; y(2) = 6

b) y′(x) = −xy

; y(4) = −3

c) x sen(y) + (x2 + 3) cos(y)y′(x) = 0, y(1) = π2

d) x2y′(x) = y − xy ; y(−1) = −1

e) y′(x) = y − 4x− 1

f ) y′(x) =ex+y

y − 1

g) xy′(x)− 2y = x

h) y′(x)− y tanx = 1

i) y′(x) +2

xy = 3x+ 1

j ) y′(x) = ex − yk) y′(x)− y = cosx

l) y′ + 2xy = 2x

6.2. ECUACIONES SEPARABLES Y LINEALES. SOLUCIONES. 49

6.2. Ecuaciones separables y lineales. Soluciones.

1. En todos los casos, se trata de derivar la funcion y(x) y comprobar si se verifica laecuacion.

a) Sı. b) No. c) Sı. d) Sı. e) Sı. f ) No.


a) m = −5,−1 b) m = −2,−1, 0


a) m = −1, 1 b) m = 1 +√

6, 1−√

6

4. Lo primero es identificar si se trata de una ecuacion en variables separadas o lineal. Acontinuacion, aplicar la tecnica correspondiente.

a) Variables separadas o lineal, ya que y′(x) =xy

x2 + 7. Para resolver separando las

variables hay que integrar∫dy

y=

∫x

x2 + 7⇔ ln |y| = 1

2ln(x2 + 7) +K

y despejar

y(x) = C√x2 + 7

donde C = eK . Al imponer la condicion inicial se obtiene y(x) =6√x2 + 7√

11.

b) Variables separadas o lineal, ya que y′(x) =x

y. Para resolver separando las variables

hay que integrar ∫ydy = −

∫xdx⇔ y2 = −x2 +K

y despejar

y(x) = ±√K − x2

Como la condicion inicial es y(4) = −3 hay que quedarse con la determinacionnegativa de la raın cuadrada. Al imponer la condicion inicial se obtiene y(x) =−√

25− x2


c) Variables separadas, porque y′(x) =−x

x2 + 3

sin y

cos y. Para resolver separando las vari-

ables hay que integrar∫cos y

sin ydy = −

∫x

x2 + 3dx⇔ ln | sin y| = −1

2ln(x2 + 3) +K

y podemos despejar para obtener la solucion general y(x) = arcsin

(c1√x2 + 3

). Con

la condicion inicial calculamos la solucion particular, que es y(x) = arcsin

(2√

x2 + 3

)d) Variables separadas, la solucion general es y(x) =

c1e−1/x

xy la solucion particular

y(x) =c1e−1/x−1

xe) Lineal; el factor integrante es µ(x) = e−x, por lo que al multiplicar

y′(x)− y = 4x− 1⇔ e−xy′(x)− e−xy = 4xe−x − e−x ⇔ [e−xy(x)]′ = 4xe−x − e−x

Al integrar ambos miembros respecto de x y despejar tenemos

e−xy(x)]′ = ex∫

(4xe−x − e−x)dx = Kex + 4x+ 5

f ) Variables separadas ye−y = C − ex; observa que la solucion queda implıcitamentedefinida. No es posible despejar y en funcion de x, aunque sı x en funcion de y:x(y) = ln (C − ye−y)

g) Lineal, dado que y′(x) =2

xy+x. El factor integrante es µ(x) = e−

∫2/xdx = e−2 lnx =

elnx−2

=1

x2. Al multiplicar la ecuacion por el factor integrante

y′(x)

x2− 2

x3y =⇔ [

y(x)

x2]′ = 1

Al integrar ambos miembros respecto de x y despejar tenemos y(x) = x2(lnx+K)

h) Lineal, con solucion y (x) =K

cosx+ tanx

i) Lineal, con solucion y (x) =c

x2+

3x2

4+x

3

j ) Lineal, con solucion y (x) = Ke−x +1

2ex

k) Lineal, con solucion (x) = Kex +1

2(sinx− cosx)

l) Lineal o en variables, en cualquier caso, con solucion y (x) = 1 +Ke−x2

6.3. ECUACIONES DIFERENCIALES: ISOCLINAS Y METODO DE EULER. ENUNCIADOS.51

6.3. Ecuaciones diferenciales: isoclinas y metodo de Euler. Enun-ciados.

1. Traza algunas isoclinas de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales

a) y′ = xy

b) y′ = −x/yc) y′ = x+ y.

d) y′ = x2 + y2

2. Para los siguientes problemas e valor inicial, utiliza el metodo de Euler para calcular deforma aproximada el valor de la solucion de la ecuacion diferencial en el valor que seindica. Utiliza el ”paso” ∆t que se indica en cada caso.

a) y′(t) = −y2, y(1) = 2. Calcular, de forma aproximada, y(1.1), y(1.2), y(1.3),y(1.4), y(1.5).

b) y′(t) = 2t + ty, y(1) = 2. Calcular de forma aproximada y(2) usando ∆t = 1,∆t = 0.5, ∆t = 0.2.


6.4. Ecuaciones diferenciales: isoclinas y metodo de Euler. Solu-ciones.


a) Las isoclinas son las curvas

y(x) = k/x, k ∈ R

b) Las isoclinas son las curvas

y(x) = −kx, k ∈ R

c) Las isoclinas son las curvas

y(x) = −x+ k, k ∈ R

d) Las isoclinas son las curvas

k = x2 + y2, k ≥ 0

2. En todos los casos vamos a generar una sucesion de valores (tn, yn), en el que yn ≈ y(tn).Si la condicion inial es y(t0) = y0 y el paso del metodo numerico es ∆t, entonces tn =t0 + n∆t, yn + 1 = yn + ∆tf(tn, yn). Ilustraremos como se resuelven los primeros pasos amano, aunque tambien es posible hacerlo con una hoja de calculo.

6.4. ECUACIONES DIFERENCIALES: ISOCLINAS Y METODO DE EULER. SOLUCIONES.53

a) En este caso t0 = 1, t1 = 1.1, t2 = 1.2, t3 = 1.3, t4 = 1.4, t5 = 1.5.Por otro lado, como la ecuacion es autonoma (no aparece explıcitamente t)

y1 = y0 + ∆tf(y0) = 2 + 0.1(−22) = 1.6

y2 = y1 + ∆tf(y1) = 2.4 + 0.1(−1.62) = 1.344

y ası, sucesivamente, hasta obtener y3 = 1.1634, y1,028.35, y5 = 0.9223.

b) 1) ∆t = 1. En este caso t0 = 1, t1 = 2.Ahora la ecuacion no es autonoma (aparece explıcitamente t)

y1 = y0 + ∆tf(t0, y0) = 2 + 1 (1 ∗ 2 + 2 ∗ 1)) = 6

2) ∆t = 0.5. En este caso t0 = 1, t1 = 1.5, t2 = 2.Ahora la ecuacion no es autonoma (aparece explıcitamente t)

y1 = y0 + ∆tf(t0, y0) = 2 + 0.5 (2 ∗ 1 + 1 ∗ 2) = 4

y2 = y1 + ∆tf(t1, y1) = 4 + 0.5 (2 ∗ 1.5 + 1.5 ∗ 4) = 8.5

3) ∆t = 0.2. En este caso t0 = 1, t1 = 1.2, t2 = 1.4, t3 = 1.6, t4 = 1.8, t5 = 2.De forma analoga a como hemos procedido antes

y1 = y0 + ∆tf(t0, y0) = 2 + 0.2 (2 ∗ 1 + 1 ∗ 2)) = 2.8

y2 = 5.9520, y3 = 5.6186, , y4 = 8.0565, y5 = 11.6768

Observa que los valores aproximados de y(2) que obtenemos difieren (bastante) entresı en funcion del tamano del paso. De hecho, es sencillo calcular explıcitamente lasolucion de la ecuacion, y(t) = 4e(x

2−1)/2 − 2, y obtener el verdadero valor y(2) =15.92. El motivo deesas diferencias es que el paso elegido es demasiado grande (repasael significado geometrico del metodo para entender que esta pasando). Por ejemplo,para un paso ∆ = 0.01, la aproximacion de y(2) obtenida por el metodo de Euleres 15.63, lo que supone una gran mejorıa. Lo habitual es que estas aproximacionesnumericas las haga un ordenadorpor nosortos y, en ese caso, tomar un paso pequemono supone un problema.


6.5. Ecuaciones diferenciales autonomas. Enunciados.

1. Construir el diagrama de fases y estudiar la estabilidad de los puntos de equilibrio de lasecuaciones autonomas siguientes:

a)dy

dt= 0

b)dy

dt= 2,1 y(1− y)

c)dy

dt= 1 + y2

d)dy

dt= 2y2 − y3

e)dy

dt= 1− y2

f )dy

dt= y seny

g)dy

dt= 2seny

h)dy

dt= 1− 2seny

i)dy

dt= 1− seny

2. Dada la siguiente ecuacion diferencial:dy

dt=

(y − y2

5

)(y − 2)2,

donde y(t) representa el tamano de cierta poblacion en el tiempo t.

(a) Encontrar sus valores de equilibrio y determinar su estabilidad.

(b) Describir la evolucion de la poblacion segun los diferentes valores de y(0).

3. Estudiar cualitativamente el siguiente modelo de explotacion de una poblacion, donde elparametro positivo c nos indica la proporcion en que la poblacion es retirada por unidadde tiempo:

dN

dt= N

(2−N1 +N

)− cN .

4. Sea la ecuacion diferencialdy

dt= ay − y3 con a parametro real.

(a) Calcular sus puntos de equilibrio para cada valor de a.

(b) Construir los diagramas de fases asociados en los casos a < 0, a = 0 y a > 0.

6.5. ECUACIONES DIFERENCIALES AUTONOMAS. ENUNCIADOS. 55

(c) Si la ecuacion representa un modelo de poblacion interpretar los resultados de losapartados anteriores.

5. Estudiar cualitativamente la ecuacion:

dy

dt= y2 − 2y + 1.

Estudiar cualitativamente, segun los diferentes valores del parametro real a, la ecuacion:

dy

dt= y2 − 2y + 1− a.

6. Dada la ecuacion:dy

dt= (y − a)(y2 − 4)

(a) Construir sus diferentes diagramas de fases atendiendo a los diferentes valores delparametro a.

(b) Estudiar el comportamiento a largo plazo de sus soluciones.


6.6. Ecuaciones diferenciales autonomas. Soluciones.

1. Construir el diagrama de fases y estudiar la estabilidad de los puntos de equilibrio de lasecuaciones autonomas siguientes:

a)dy

dt= 0

b)dy

dt= 2,1 y(1− y)

c)dy

dt= 1 + y2

d)dy

dt= 2y2 − y3

e)dy

dt= 1− y2

f )dy

dt= y seny

g)dy

dt= 2seny

h)dy

dt= 1− 2seny

i)dy

dt= 1− seny

2. Dada la siguiente ecuacion diferencial:dy

dt=

(y − y2

5

)(y − 2)2,

donde y(t) representa el tamano de cierta poblacion en el tiempo t.

(a) Encontrar sus valores de equilibrio y determinar su estabilidad.

(b) Describir la evolucion de la poblacion segun los diferentes valores de y(0).

3. Estudiar cualitativamente el siguiente modelo de explotacion de una poblacion, donde elparametro positivo c nos indica la proporcion en que la poblacion es retirada por unidadde tiempo:

dN

dt= N

(2−N1 +N

)− cN .

4. Sea la ecuacion diferencialdy

dt= ay − y3 con a parametro real.

(a) Calcular sus puntos de equilibrio para cada valor de a.

(b) Construir los diagramas de fases asociados en los casos a < 0, a = 0 y a > 0.

6.6. ECUACIONES DIFERENCIALES AUTONOMAS. SOLUCIONES. 57

(c) Si la ecuacion representa un modelo de poblacion interpretar los resultados de losapartados anteriores.

5. Estudiar cualitativamente la ecuacion:

dy

dt= y2 − 2y + 1.

Estudiar cualitativamente, segun los diferentes valores del parametro real a, la ecuacion:

dy

dt= y2 − 2y + 1− a.

6. Dada la ecuacion:dy

dt= (y − a)(y2 − 4)

(a) Construir sus diferentes diagramas de fases atendiendo a los diferentes valores delparametro a.

(b) Estudiar el comportamiento a largo plazo de sus soluciones.


6.7. Modelos con ecuaciones diferencias: enunciados.

1. Problema de mezclas 1. Un deposito contiene 50 litros de una solucion, compuesta por90 % de agua y 10 % de alcohol. Otra solucion, con 50 % de cada sustancia, se va anadiendoal deposito a razon de 5 litros por minuto, al tiempo que el deposito se va vaciando arazon de 5 litros por minuto. Supuesto que el contenido del deposito esta siendo removidoconstantemente, ¿cuanto alcohol hay a los 10 minutos?

2. Problema de mezclas 2. Un deposito contiene 50 litros de una solucion, compuesta por90 % de agua y 10 % de alcohol. Otra solucion, con 50 % de cada sustancia, se va anadiendoal deposito a razon de 4 litros por minuto, al tiempo que el deposito se va vaciando arazon de 5 litros por minuto. Supuesto que el contenido del deposito esta siendo removidoconstantemente, ¿cuanto alcohol hay a los 10 minutos? Fıjate en que ahora entra menosagua de la que sale

3. Desintegracion radiactiva. Cada elemento radioactivo se desintegra a una velocidaddiferente, que es caracterıstica de cada elemento, se llama semivida del elemento, y es elnumero de anos que deben transcurrir para que se desintegren la mitad de los atomosiniciales de una muestra. Por ejemplo, la semivida del isotopo Plutonio (Pu239) es de24360 anos. Supon que en el accidente de Chernobil (que sucedio en 1986) se liberaron 5gramos de dicho isotopo. Si el ritmo de desintegracion es proporcional a la masa, ¿cuantotiempo hara falta para que quede solo un gramo?Nota: en http://es.wikipedia.org/wiki/Periodo de semidesintegraci %C3 %B3n puedes en-contrar el periodo de de semidesintegracion de algunos nucleos.

4. Cinetica quımica 1. Considera la siguiente reaccion quımica:

A+B −→ C

en donde A, B (reactivos) y C (producto) son ciertas especies quımicas. Demotemospor [A](t), [B](t) y [C](t) la concentracion en el instante t de cada una de las especiesinvolucradas. Como cada molecula de producto precisa de un atomo de cada reactivo, lavelocidad de reaccion v se define como:

v =d[C]

dt= −d[A]

dt= −d[B]

dt,

es decir, la velocidad a la que se crea el producto es igual a la velocidad a la que desapare-cen (por eso el signo negativo) los reactivos. Si suponemos que la velocidad de reacciones proporcional a la concentracion de los reactivos, entonces viene determinada, en estecaso, por la ecuacion diferencial:

d[C]

dt= k[A][B]

6.7. MODELOS CON ECUACIONES DIFERENCIAS: ENUNCIADOS. 59

Si las concentraciones iniciales (en t = 0) son [A](0) = [B](0) = P0 y [C](0) = 0, deter-mina la concentracion del producto de reaccion [C](t) en funcion del tiempo. Representagraficamente, de forma aproximada, [A](t) y [C](t) en funcion del tiempo.

Nota: Si definimos y(t) = [c](t), entonces: [A](t) = [B](t) = P0 − y(t).

5. Cinetica quımica 2. Considera la reaccion bimolecular 2NO2 → N2O4. Denotaremospor R(t) la concentracion de reactivo NO2 en el instante t, del que inicialmente hay unacantidad R0 = R(0). Escribe y resuelve la ecuacion diferencial que describe el compor-tamiento de R(t) en funcion del tiempo.

6. Cinetica quımica 3. Considera ahora la siguiente reaccion quımica:

nAA+ nBB −→ C

en la que nA atomos del reactivo A reaccionan con nB atomos del reactivo B para daruna molecula de producto C. Usando las mismas hipotesis que en aquel ejercicio, se pideplantear (solo plantear) la ecuacion diferencial que describe la evolucion en el tiempo dela concentracion de producto.


6.8. Modelos con ecuaciones diferencias. Soluciones.

1. Vamos a denotar por y(t) a la cantidad de alcohol (en litros) que hay en el instantet. Entonces, y′(t) mide la variacion de alcohol en el instante t; si hacemos un balance,tenemos

y′(t) = alcohol que entra, en litros− alcohol que sale, en litros

En cada minuto entran 5 litros de solucion al 50 %, es decir,

alcohol que entra, en litros = 5 ∗ 1

2= 2.5

En cada minuto salen 5 litros de solucion; la concentracion a la que esta la solucion enese momento es

volumen de alcohol en ese momento

volumen total=y(t)

50de modo que en cada minuto salen

5 ∗ y(t)

50litros/minuto

por lo que el problema de valor inicial que hay que resolver es

y′(x) = 2.5− 5y(t)

50, y(0) = 5

Esta ecuacion se ver como lineal o en variables separadas, y su solucion es

y(t) = 25− 20e−0.1t

2. Vamos a denotar por y(t) a la cantidad de alcohol (en litros) que hay en el instante t.Ahora el volumen total en el deposito varıa con el tiempo, ya que cada minuto entra unlitro menos de los que salen, por lo que el problema de valor inicial que hay que resolveres (mira la solucion del ajercicio anterior y compara)

y′(x) = 2.5− 5y(t)

50− t, y(0) = 5;

la ecuacion solo tiene sentido hasta que pasan 50 minutos, momento en el que el depositose vacıa (y el demoninador de la fraccion se hace cero). Esta ecuacion es lineal y susolucion

y(t) = 31.25− 8.4

108(50− t)5 − 0.625t

3.

4.

5.

6.

Capıtulo 7

Funciones de varias variables.

61

62 CAPITULO 7. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

7.1. curvas de nivel, representacion grafica y dominio. Enunci-ados.

1. Encontrar los dominios de las siguientes funciones de varias variables:

a) f(x, y) =√x+

6

y2

b) f(x, y) = 4√

2x+ 3y

c) f(x, y) =1

y − 3x

d) f(x, y) = 7x2 + 2xy + y2

e) f(x, y) = ln(4x2 − 2y)

f ) f(x, y) = 4e3xy

2. Representa las siguientes curvas en el plano

a) x2 + y2 = 9

b) 9x2 + 4y2 = 1

c) y2 − x2 = 1

d) x2 − 2x+ 1 + y2 = 1

e) xy = 2

f ) y2 − x = 0

3. Dadas las funciones:

a) z = f(x, y) = 9− 3x

b) z = f(x, y) = 4− y2c) z = f(x, y) = 6− 3x− yd) z = f(x, y) = 4 + x− y2

(a) Dibujar la interseccion de su grafica con los planos coordenados.

(b) Dibujar alguna de sus curvas de nivel.

(c) Dibujar aproximadamente su grafica.

4. Dibujar de forma aproximada la grafica de las siguientes funciones:

a) z = 1 + x2 + y2

b) z =√x2 + y2

c) z = 4− (x2 + y2)

d) z =√

4− (x2 + y2)

e) z = 16x2 + y2

Se recomienda dibujar la curva interseccion de cada grafica con los planos coordenados ytrazar previamente alguna de sus curvas de nivel.

7.2. CURVAS DE NIVEL, REPRESENTACION GRAFICA Y DOMINIO. SOLUCIONES.63

7.2. curvas de nivel, representacion grafica y dominio. Solu-ciones.

1. En todos los casos se trata de estudir cuando tienen sentido (estan definidas) las opera-ciones que definen la funcion. Denotaremos el dominio de f por domf :

a) domf ={

(x, y) ∈ R2; x ≥ 0, y 6= 0}

b) domf ={

(x, y) ∈ R2; 2x+ 3y ≥ 0}

c) domf ={

(x, y) ∈ R2; y 6= 3x}

d) domf = R2

e) domf ={

(x, y) ∈ R2; 2x2 > y}

f ) domf = R2

2. Se recomienda repasar las ecuaciones de las conicas, el caso en que los ejer son paralelosa los ejes coordenados.

a)

b)


c)

d)

e)


f )

3. Los cortes con los planos coordenadosOXZ yOY Z estan representados sobre la superficiecon las lineas negras de trazo grueso. Las curvas denivel estan (como debe ser) en el planoOXY , aunque hemos representado su ”alzado” sobre la superficie.

a) Los cortes con los planos OXZ y OY Z son las rectas z = 9− x y z = 9, respectiva-mente. Las curvas de nivel son rectas paralelas.

b) Los cortes con los planos OXZ y OY Z son la recta z = 4 y la parabola z = 4− y2,respectivamente. Las curvas de nivel son rectas paralelas.


c) Los cortes con los planos OXZ y OY Z son las rectas z = 6 − 3x y z = 6 − y,respectivamente. Las curvas de nivel son rectas.

d) Los cortes con los planos OXZ y OY Z son la recta z = 4+x y la parabola z = 4−y2,respectivamente. Las curvas de nivel son parabolas.

4. Los cortes con los planos coordenadosOXZ yOY Z estan representados sobre la superficie


con las lineas negras de trazo grueso. Las curvas denivel estan (como debe ser) en el planoOXY , aunque hemos representado su ”alzado” sobre la superficie.

a) Los cortes con los planos OXZ y OY Z son las parabolas z = 2 + x2 y z = 1 + y2,respectivamente. Las curvas de nivel son circumferencias centradas en el origen deradio

√z − 1.

b) Los cortes con los planos OXZ y OY Z son las rectas z = ±x y z = ±y, respec-tivamente. Las curvas de nivel son circumferencias centradas en el origen de radio√z.

Observa que en este caso la superficie es un cono (los cortes con los planos verticalesson rectas, no parabolas).

c) Los cortes con los planos OXZ y OY Z son las semicircumferencias z = ±√

4− x2 yz = ±

√4− y2, respectivamente. Las curvas de nivel son circumferencias centradas

en el origen de radio√z.


Observa que el dominio de la funcion que define la superficie es el cırculo{x2 + y2 ≤ 4

}.

d) Los cortes con los planos OXZ y OY Z son las parabolas z = 9 − x2 y z = 9 − y2,respectivamente. Las curvas de nivel son circumferencias centradas en el origen deradio

√z.

e) Los cortes con los planos OXZ y OY Z son las parabolas z = 16x2 y z = y2,respectivamente. Las curvas de nivel son elipses centradas en el origen con semiejes√z4 y

√z .


7.3. Derivadas parciales, extremos relativos. Enunciados.

1. Calcular las derivadas parciales de primer y de segundo orden de las siguientes funciones:

a) f(x, y) = 3x2 + 5y2 sen(xy)

b) f(x, y) = ecos(x+y)

2. Para cada funcion, calcular su gradiente en un punto arbitrario. A continuacion, calcularla derivada direccional en el punto P dado y segun el vector v que se indica.

a) f(x, y) = x− 4x2y + y2, P = (1, 2), v = (3, 4).

b) f(x, y, z) = xyz, P = (1, 0, 1), v = ( 1√2, 0, 1√

2).

c) f(x, y) = x2yexy, P = (0, 0), v = (1, 1).

3. Calcular el valor maximo de la derivada direccional de las siguientes funciones en el puntoespecificado:

a) f(x, y) = x−yx+y P = (2, 3)

b) f(x, y) = x3ex 12x+3y P = (2, 1)

4. Calcular la ecuacion de la recta normal y del plano tangente a las siguientes superficiesen los puntos indicados.

a) f(x, y) = x2 + y2 en P = (3, 4, 25).

b) f(x, y) = xy+7√x2+y2

en P = (3,−4,−1).

c) f(x, y) = sen(xy) en P = (π, 1, 0).

5. Encuentra los maximos y mınimos locales y los puntos de silla de las siguientes funciones.

a) f(x, y) = 3x2 + 2xy + y2

b) f(x, y) = ex + ey − ex+y

c) f(x, y) = x2 + xy + y2 − 3x

d) f(x, y) = x2 + 2y2 − x2y

e) f(x, y) = x2 + y2 +2

xy

f ) f(x, y) = y2 + xy + 3y + 2x+ 3

g) f(x, y) = exseny

h) f(x, y) = e−(x2+y2+2x)

i) f(x, y) = 2y2x− yx2 + 4xy

7.3. DERIVADAS PARCIALES, EXTREMOS RELATIVOS. ENUNCIADOS. 71

6. Encuentra tres numeros positivos cuya suma sea 27 y tal que la suma de sus cuadradossea lo menor posible.

7. Calcula las dimensiones de una caja rectangular abierta por su parte superior, de volumenV fijo, y tal que se requiera la menor cantidad de material posible para su construccion.

8. Un enfermo de cancer es tratado con inyecciones de dos productos experimentales difer-entes. Si la respuesta estimada del paciente es R(x, y) = 9xy − x3 − y3 + 5, donde x e yson las cantidades suministradas de cada uno de los productos, ¿que dosis da la maximarespuesta?.

9. Dada la funcion:f(x, y) = x3 + y2 + x2y + 2y + 1.

Encuentra sus extremos locales y absolutos.

10. Encuentra el maximo y mınimo absolutos de la funcion f(x, y) = 5 − 3x + 4y en D laregion triangular cerrada con vertices en (0,0), (4,0) y (4,5).

11. Encuentra el maximo y mınimo absolutos de la funcion f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4 enD = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}.

12. Encuentra el maximo y mınimo absolutos de la funcion f(x, y) = 1 + xy − x− y en D laregion acotada por la parabola y = x2 y la recta y = 4.


7.4. Derivadas parciales, extremos relativos. Enunciados.

1. Calcular las derivadas parciales de primer y segundo orden de las siguientes funciones: Us-aremos la notacion f ′x(x, y) para referirnos a f ′x(x, y) por ser mas compacta. Las derivadasde segundo orden se calculan de forma analoga a las de primer orden; hay que tener cuida-do con las derivadas ”cruzadas”, en las que se deriva primero respecto de una variableydespues respecto de la otra. Recuerda que el ressultado dederivas una funcion primerodespecto de x y despues respecto de y es elmismoque si derivamosprimeros respecto deyy despues respecto de x. Es decir, f ′′xy = f ′′yx:

a) f(x, y) = x2 + y2 sen(xy)

f ′x(x, y) = 6x+ 5 y3 cos (x y)

f ′y(x, y) = 5x y2 cos (x y) + 10 y sin (x y)

f ′′x (x, y) = 6− 5 y4 sin (x y)

f ′xy(x, y) = 15 y2 cos (x y)− 5x y3 sin (x y)

f ′′y (x, y) = 20x y cos (x y)− 5x2 y2 sin (x y) + 10 sin (x y)

b) f(x, y) = ecos(x+y)

f ′x(x, y) = − sin(x+ y)ecos(x+y)

f ′y(x, y) = − sin(x+ y)ecos(x+y)

f ′′x (x, y) = sin2(x+ y)ecos(x+y) − ecos(x+y)

f ′xy(x, y) = sin2(x+ y)ecos(x+y) − ecos(x+y)

f ′′y (x, y) = sin2(x+ y)ecos(x+y) − ecos(x+y)

2. Recuerda que la derivada direccional se puede calcular como el producto escalar entreel vector gradiente en el punto P y el vector unitario paralelo a ~v. Es decir, si ~v no esunitario, hay que normalizarlo (y lo denotaremos por ~w).

a) f(x, y) = x− 4x2y + y2, P = (1, 2), v = (3, 4).

∇f(x, y) = (1− 8x y, 2 y − 4x2).

~w =

(3

5,4

5

)


La derivada direccional vale (−9, 0) ·(

3

5,4

5

)= −12

b) f(x, y, z) = xyz, P = (1, 0, 1), v =

(1√2, 0,

1√2

).

∇f(x, y, z) = (yz, xz, xy).

El vector ~v ya es unitario.

La derivada direccional vale (0, 1, 0) ·(

1√2, 0,

1√2

)= 0

c) f(x, y) = xyexy, P = (1,−1), v = (1, 1).

∇f(x, y) =(ex y x y2 + ex y y, ex y , x2 y + ex y x

).

~w =

(1√2,

1√2

)La derivada direccional vale

(1

e2,−2

e2

)·(

1√2,

1√2

)=−1√2e2

3. En todos los casos se trata de calcular el modulo del vector gradiente en el punto P .

a) f(x, y) = xx+y a = (1, 1)

1) El gradiente es ∇f(x, y) =(

2 yy2+2x y+x2

, −2xy2+2x y+x2

)2) El vector gradiente en P y su modulo valen∥∥( 6

25 ,−425

)∥∥ = 2√13

25

b) f(x, y) = x3ex 12x+3y P = (2, 1)

1) El gradiente es

∇f(x, y) =

((3 ex x3 + 9 ex x2

)y + 2 ex x4 + 4 ex x3

9 y2 + 12x y + 4x2,

3 ex x3

9 y2 + 12x y + 4x2

)2) El vector gradiente en P y su modulo valen∥∥∥(56 e2+68 e2

49 , −24 e2

49

)∥∥∥ =

√(56 e2+68 e2)2

2401 + 576 e4

2401

4. La idea es obtener el vector normal a la superficie en el punto indicado. Con esa infor-macion es sencillo determinar larecta y el plano pedidos. El primer apartadose resuelvecon mas detalle, el resto se hace de forma totalmente analoga.

a) f(x, y) = x2 + y2 en P = (1, 2, 5).

Como z = x2 + y2, definimos la funcion F (x, y, z) = x2 + y2 − z, de forma que lasuperficie S con la que trabajamos sea la superficie de nivel dada por F (x, y, z) = 0.Ahora, sabemos que el vector gradiente de F (x, y, z) en P es normal a la superficiede nivel.

∇F (x, y, z) = (2x, 2y,−1) y ∇F (1, 2, 5) = (2, 4,−1)


Las ecuaciones parametricas de la recta normal

r ≡

x = 1 + 2λy = 2 + 4λz = 5− λ

El plano tangente en P lo forman aquellos puntos de coordenadas Q = (x, y, z) talesque el vector ~PQ = (x− 1, y − 2, z − 5) es perpendicular al vector normal, es decir,cuyo producto escalar vale 0:

π ≡ (x− 1, y − 2, z − 5) · (2, 4,−1) = 2x+ 4y − z − 4 = 0

b) f(x, y) = xy+7√x2+y2

en P = (3,−4,−1).

∇F (x, y, z) =

(y3√y2 + x2

y4 + 2x2 y2 + x4,

x3√y2 + x2

y4 + 2x2 y2 + x4

)

∇F (3,−1,−1) =

(−64

125,

27

125,−1

)Las ecuaciones parametricas de la recta normal

r ≡

x = 3 + −64

125 λ

y = −4 + 27125λ

z = −1− λ

El plano tangente en P :

π ≡ (x− 3, y + 4, z + 1)

(−64

125,

27

125,−1

)= −64x+ 27y + z − 209 = 0

c) f(x, y) = sen(xy) en p = (π, 1, 0).

∇F (x, y, z) = (y cos(xy), x cos(xy),−1)

∇F (π, 1, 0) = (−1,−π,−1)

Las ecuaciones parametricas de la recta normal

r ≡

x = π − λ

y = 1− πλ

z = 0− λ

El plano tangente en P :

Π ≡ (x− π, y − 1, z) (−1,−π,−1) = −x− πy − z − 2π = 0


5. Hay que determinar los puntos crıticos (aquellos en los que el gradiente es el vector nulo)resolviendo el sistema f ′x = 0, f ′y = 0 y clasificar los puntos crıticos utilizando el criteriodel Hessiano

a) Hay que resolver el sistema f ′x(x, y) = 2y + 6x = 0

f ′x(x, y) = 2y + 2x = 0

cuya unica solucion es (0, 0). Ahora, la matriz Hessiana de f es

H(x, y) =

(6 22 2

)y aplicando el criterio correspondiente (mira la teorıa) tenemos que (0, 0) es unmınimo relativo.

b) (0,0) silla

c) (2,-1) min.

d) (2,1) y (-2,1) silla, y (0,0) min.

e) (-1,-1) y (1,1) min.

f ) (1,-2) silla

g) ninguno

h) (-1,0) max.

i) (0,0), (4,0) y (0,-2) silla, y (43 ,−23) min.

6. 9, 9 y 9.

7. Largo y ancho 3√

2V , y alto 12

3√

2V .

8. x = 3 e y = 3.

9. (1,−32) mınimo local. No existen extremos absolutos.

10. Mınimo f(4, 0) = −7 y maximo f(4, 5) = 13.

11. Mınimo f(0, 0) = 4 y maximo f(−1, 1) = f(1, 1) = 7.

12. Mınimo f(−2, 4) = −9 y maximo f(2, 4) = 3.

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