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Matematicas aplicadas a las CCSSColeccion de Ejercicios

DISCUSION DE SISTEMASDE ECUACIONES

Inigo Zunzunegui Monterrubio

12 de octubre de 2020

mailto:[email protected]

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Indice general

2016 Modelo Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42017 Junio Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52017 Junio - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . 62017 Septiembre Opcion A - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82017 Septiembre - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . 92018 Modelo Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102018 Junio Opcion A - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112018 Junio - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . 122018 Septiembre Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142019 Modelo Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142019 Junio Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162019 Junio - Coincidentes Opcion A - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . 172019 Septiembre - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . 182020 Modelo Opcion B - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202020 Junio Opcion A - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212020 Junio - Coincidentes Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . 232020 Septiembre Opcion B - Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242021 Modelo Opcion B - Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3

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Ejercicio 1 (2 puntos)

Se considera el sistema de ecuaciones lineales, dependiente del parametro real a:x+ y − z = 12x+ 2y − 3z = 33x+ ay − 2z = 5

a) Discutase el sistema para los diferentes valores de a.

b) Resuelvase el sistema en el caso a = 2.

(Madrid - Matematicas CCSS - Modelo 2016 - Opcion B )

Solucion.

Metodo de Rouche

a) Escribimos el sistema en forma matricial:

A/A∗ =

1 1 −1 12 2 −3 33 a −2 5

Hallamos el determinante de la matriz de coeficientes A.

|A| = −3 + a = 0 =⇒ a = 3

Si a 6= 3 |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. =⇒ SistemaCompatible Determinado (Solucion unica).

Si a = 3 =⇒ A/A∗ =

1 1 −1 12 2 −3 33 3 −2 5

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 1 −12 −3

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 −1 12 −3 33 −2 5

∣∣∣∣∣∣∣ = −3 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3

ran(A) = 2 6= ran(A∗) = 3 =⇒ Sistema Incompatible (No tiene solucion)

b) Resolvemos el sistema para a = 2 por el metodo de Gauss, sabiendo que como a 6= 3estamos ante un S.C.D.

A/A∗ =

1 1 −1 12 2 −3 33 2 −2 5

∼ F2 − 2F1F3 − 3F1

∼ 1 1 −1 1

0 0 −1 10 −1 1 2

∼ F2 ↔ F3

∼

1 1 −1 10 −1 1 20 0 −1 1

⇒⇒⇒

x− 3− (−1) = 1 ⇒−y + (−1) = 2 ⇒

−z = 1 ⇒

x = 3y = −3z = −1

Metodo de Gauss

4 Ejercicios de Discusion de Sistemas de Ecuaciones

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a) Escribimos el sistema en forma matricial, hacemos que los parametros esten lo masa la derecha y abajo posible y aplicamos el metodo de Gauss. 1 1 −1 1

2 2 −3 33 a −2 5

∼ C2 ↔ C3

∼ 1 −1 1 1

2 −3 2 33 −2 a 5

∼ F2 − 2F1F3 − 3F1

∼

1 −1 1 10 −1 0 10 1 a− 3 2

∼F3 + F2

∼ 1 −1 1 1

0 −1 0 10 0 a− 3 3

⇒ a− 3 = 0

a = 3

Si a 6= 3⇒(

0 0 2 3)⇒ Sist. Compatible Determinado

Si a = 3⇒(

0 0 0 3)⇒Sist. Incompatible

b) Sustituimos en el sistema escalonado obtenido en el apartado anterior el valor a = 2.Hay que recordar que en la discusion por el metodo de Gauss hemos intercambiadolas columnas C2 ↔ C3, por lo que las incognitas y ↔ z estan intercambiadas.

A/A∗

1 −1 1 10 −1 0 10 0 −1 3

⇒⇒⇒

x− (−1) + (−3) = 1 ⇒−z = 1 ⇒−y = 3 ⇒

x = 3z = −1y = −3

◦


Considerese el sistema de ecuaciones dependiente del parametro real a:

x− ay + 2z = 0ax− 4y − 4z = 0

(2− a)x+ 3y − 2z = 0

a) Discutase en funcion de los valores del parametro a.

b) Resuelvase para a = 3.

(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2017 - Opcion B )

Solucion.

a) Escribimos el sistema en forma matricial y hallamos el determinante de la matrizde coeficientes A.

A/A∗ =

1 −a 2 0a −4 −4 0

2− a 3 −2 0

=⇒ |A| = −6a2 + 6a+ 36 = 0 =⇒a = −2a = 3

Si a 6= {−2, 3} |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. =⇒Sistema Compatible Determinado (Solucion unica x = 0, y = 0, z = 0).

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Si a = −2 =⇒ A/A∗ =

1 2 2 0−2 −4 −4 04 3 −2 0

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ −2 −44 3

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2

ran(A) = 2 = ran(A∗) 6= nº incog. =⇒ Sistema Compatible Indetermi-nado (Infinitas soluciones)

Si a = 3 =⇒ A/A∗ =

1 −3 2 03 −4 −4 0−1 3 −2 0

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 1 −33 −4

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2


b) Resolvemos el sistema para a = 3 por el metodo de Gauss. Teniendo en cuenta quese trata de un S.C.I. resolvemos solo las filas correspondientes al menor de orden 2distinto de cero encontrado en la discusion:

A/A∗ =(

1 −3 2 03 −4 −4 0

)∼

F2 − 3F1∼(

1 −3 2 00 5 −10 0

)

⇒x− 6λ+ 2λ = 0

5y − 10t = 0z = λ

⇒x = 4λy = 2λ , λ ∈ Rz = λ

◦


Se considera el sistema de ecuaciones lineales:

−x+ 3y + 3z = 0−x+ 3y + z = 1−x+ ay + 2z = 0

a) Discutase el sistema para los diferentes valores del parametro a ∈ R.


(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2017 - Opcion B - Coincidentes)

Solucion.


A/A∗ =

−1 3 3 0−1 3 1 1−1 a 2 0

1) Metodo de Gauss


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A/A∗ =

−1 3 3 0−1 3 1 1−1 a 2 0

∼ C2 ↔ C3 ∼

−1 3 3 0−1 1 3 1−1 2 a 0

∼ F2 − F1F3 − F1

∼

−1 3 3 00 −2 0 10 −1 a− 3 0

∼2F3 − F2

∼

−1 3 3 00 −2 0 10 0 2a− 6 −1

=⇒ 2a− 6 = 0 =⇒ a = 3

Si a 6= 3 ⇒(

0 0 × −1)

=⇒ Sistema Compatible Determinado(Solucion unica).Si a = 3 ⇒

(0 0 0 −1

)=⇒ Sistema Incompatible (No tiene solu-

cion).

2) Metodo Rouche-Frobenius


|A| = 6− 2a = 0 =⇒ a = 3


Si a = 3 =⇒ A/A∗ =

−1 3 3 0−1 3 1 1−1 3 2 0

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 3 33 1

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣3 3 03 1 13 2 0

∣∣∣∣∣∣∣ = 3 6= 0 =⇒ ran(A) = 3


b) Resolvemos el sistema para a = 1 por el metodo de Gauss.

A/A∗ =

−1 3 3 0−1 3 1 1−1 1 2 0

∼ F2 − F1F3 − F1

∼

−1 3 3 00 0 −2 10 −2 −1 0

⇒−x+ 3(1/4) + 3(−1/2) = 0

−2z = 1−2y − (−1/2) = 0

⇒x = −3/4y = 1/4z = −1/2

◦



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Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parametro real a:

x− 2y − z = −2−2x− az = 2

y + az = −2



(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2017 - Opcion A )

Solucion.

Metodo de Rouche


A/A∗ =

1 −2 −1 −2−2 0 −a 20 1 a −2

=⇒ |A| = 2− 3a = 0 =⇒ a = 2/3

Si a 6= 2/3 |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. =⇒ SistemaCompatible Determinado (Solucion unica).

Si a = 2/3 =⇒ A/A∗ =

1 −2 −1 −2−2 0 −2/3 20 1 −2/3 2

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 1 −2−2 0

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 −2 −2−2 0 20 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣ = 10 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3



A/A∗ =

1 −2 −1 −2−2 0 −4 20 1 4 −2

∼ F2 + 2F1 ∼

1 −2 −1 −20 −4 −6 −20 1 4 −2

∼F3 � F2

∼

1 −2 −1 −20 1 4 −20 −4 −6 −2

∼F3 + 4F2

∼

1 −2 −1 −20 1 4 −20 0 10 −10

⇒x− 2 · 2− (−1) = −2

y + 4 · (−1) = −210z = 10

⇒x = 1y = 2z = −1


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∣∣∣∣∣∣∣1 −2 −1−2 0 −10 −4 −3

∣∣∣∣∣∣∣Metodo de Rouche

a) Escribimos el sistema en forma matricial procurando que los parametros esten si-tuados los mas abajo a la derecha posible. Posteriormente hacemos el metodo deGauss.

A/A∗ =

1 −2 −1 −2−2 0 −a 20 1 a −2

∼ F2 + 2F1 ∼

1 −2 −1 −20 −4 −2− a −20 1 a −2

∼4F3 + F2

∼

1 −2 −1 −20 −4 −2− a −20 0 −2 + 3a −10

=⇒ −2 + 3a = 0 =⇒ a = 2/3

Si a 6= 2/3⇒(

0 0 2 −10)⇒Sist. Compatible Determinado

Si a = 2/3⇒(

0 0 0 −10)⇒Sistema Incompatible

b) Sustituimos a = 4 en el sistema escalonado obtenido en el apartado anterior 1 −2 −1 −2

0 −4 −6 −20 0 10 −10

⇒ x− 2 · 2− (−1) = −2⇒ −4y − 6 · (−1) = −2⇒ 10z = −10

⇒x = 1y = 2z = −1

◦


Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parametro real a:

−x+ ay + z = 32y + 2z = 0

x+ 3y + 2z = −3



(Madrid - Matematicas CCSS - 2017 Septiembre - Opcion B - Coincidentes)

Solucion.


A/A∗ =

−1 a 1 30 2 2 01 3 2 −3



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1) Metodo Rouche-Frobenius


|A| = 2a = 0 =⇒ a = 0


Si a = 0 =⇒ A/A∗ =

−1 0 1 30 2 2 01 3 2 −3

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ −1 00 2

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣−1 0 10 2 21 3 2

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ ran(A) = 2


b) Resolvemos el sistema para a = 0 por el metodo de Gauss. Como hemos visto en ladiscusion que si a = 0 el sistema es compatible indeterminado vamos a escribir tansolo las ecuaciones correspondientes al menor de orden 2 distinto de cero que hemosencontrado pues tenemos la seguridad de que son linealmente independientes.

A/A∗ =(−1 0 1 30 2 2 0

)⇒−x+ λ = 32y + 2λ = 0

z = λ⇒

x = −3 + λy = −λz = λ

◦


Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parametro real a:

x+ y + z = 32x+ y + z = 2

5x+ 3y + z = a+ 4




Solucion.


A/A∗ =

1 1 1 32 1 1 25 3 1 a+ 4

=⇒ |A| = 2


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∀a ∈ R |A| 6= 0 =⇒ ranA = 3 = ranA∗ = nº incog. =⇒ Sist. Comp. Det.


A/A∗ =

1 1 1 32 1 1 25 3 1 5

∼ F2 − 2F1F3 − 5F1

∼

1 1 1 30 −1 −1 −40 −2 −4 −10

∼F3 − 2F2

∼

1 1 1 30 −1 −1 −40 0 −2 −2

⇒ x+ 3 + 1 = 3−y − 1 = −4−2z = −2

⇒x = −1y = 3z = 1

◦



x+ ay + z = 1ax+ y + (a− 1)z = a

x+ y + z = a+ 1




Solucion.


A/A∗ =

1 a 1 1a 1 a− 1 a1 1 1 a+ 1

=⇒ |A| = �1 +�a+ a(a− 1)−(�1 + a2 +�a− 1

)= −a+ 1 = 0 =⇒ a = 1

Si a 6= 1 |A| 6= 0 =⇒ ranA = 3 = ranA∗ = nº incog. =⇒ Sist. Comp. Det.

Si a = 1 =⇒ A/A∗ =

1 1 1 11 1 0 11 1 1 2

|A| = 0 =⇒ ranA < 3 y como

∣∣∣∣∣ 1 01 1

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ranA = 2∣∣∣∣∣∣∣1 1 11 0 11 1 2

∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ranA∗ = 3

ranA = 2 6= ranA∗ = 3 =⇒ Sistema Incompatible



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A/A∗ =

1 3 1 13 1 2 31 1 1 4

∼ F2 − 3F1F3 − F1

∼

1 3 1 10 −8 −1 00 −2 0 3

⇒x+ 3 · (−3/2) + 12 = 1−8 · (−3/2)− z = 0

−2y = 3⇒

x = −13/2y = −3/2z = 12

◦



2x+ y + z = 1x+ 2y + z = 2x− y + az = −1



(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2018 - Opcion B - Coincidentes)

Solucion.

Metodo de Rouche


A/A∗ =

2 1 1 11 2 1 21 −1 a −1


|A| = 3a = 0 =⇒ a = 0

Si a 6= 0 |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. Rouche=====⇒ SistemaCompatible Determinado (Solucion unica).

Si a = 0 =⇒ A/A∗ =

2 1 1 11 2 1 21 −1 0 −1

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 2 11 2

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣2 1 11 2 21 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ ran(A∗) = 2

ran(A) = 2 = ran(A∗) 6= nº incog. = 3 Rouche=====⇒ Sistema Compatible Inde-terminado (Infinitas soluciones).


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b) Resolvemos el sistema para a = 0 por el metodo de Gauss, sabiendo que como setrata de un S.C.I. solo tenemos que resolver las filas correspondientes al menor deorden 2 distinto de cero que hemos encontrado en la discusion.

A/A∗ =(

2 1 1 11 2 1 2

)∼[

2F2 − F1

]∼(

2 1 1 10 3 1 3

)

⇒⇒⇒

2x+ 3−λ3 + λ = 1 ⇒3y + λ = 3 ⇒

⇒

x = −λ3

y = 3−λ3

z = λ

Metodo de Gauss

a) Escribimos el sistema en forma matricial, hacemos que los parametros esten lo masa la derecha y abajo posible y aplicamos el metodo de Gauss.

A/A∗ =

2 1 1 11 2 1 21 −1 a −1

∼ 2F2 − F1

2F3 − F1

∼ 2 1 1 1

0 3 1 30 −3 2a− 1 −3

∼

F2 + F3

∼ 2 1 1 1

0 3 1 30 0 2a 0

⇒ 2a = 0 =⇒ a = 0

Si a 6= 0 =⇒(

0 0 2 0)

=⇒ Sist. Compatible Determinado

Si a = 0 =⇒(

0 0 0 0)

=⇒ Sist. Compatible Indeterminado

b) Sustituimos en el sistema escalonado obtenido en el apartado anterior el valor a = 0.

A/A∗

2 1 1 10 3 1 30 0 2a 0

⇒⇒⇒

2x+ 3−λ3 + λ = 1 ⇒3y + λ = 3 ⇒

⇒

x = −λ3

y = 3−λ3

z = λ

◦



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Se considera el sistema de ecuaciones dependiente del parametro a ∈ R:

x+ 3y + z = a2x+ ay − 6z = 8x− 3y − 5z = 4

a) Discutase el sistema en funcion de los valores del parametro real a.


(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2018 - Opcion B )

Solucion.


A/A∗ =

1 3 1 a2 a −6 81 −3 −5 4

=⇒ |A| = −6a− 12 = 0 =⇒ a = −2

Si a 6= −2 |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. =⇒ SistemaCompatible Determinado (Solucion unica).

Si a = −2 =⇒ A/A∗ =

1 3 1 −22 −2 −6 81 −3 −5 4

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 1 32 −2

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 3 −22 −2 81 −3 4

∣∣∣∣∣∣∣ = 24 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3



A/A∗ =

1 3 1 42 4 −6 81 −3 −5 4

∼ F2 − 2F1F3 − F1

∼

1 3 1 40 −2 −8 00 −6 −6 0

∼F3 − 3F2

∼

1 3 1 40 −2 −8 00 0 18 0

⇒x+ 3 · 0 + 1 · 0 = 4−2y − 8 · 0 = 0

18z = 0⇒

x = 4y = 0z = 0

◦


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6x+ 2y + z = 1x+ 3y + z = 2

5x− y + az = −1




Solucion.


A/A∗ =

6 2 1 11 3 1 25 −1 a −1

=⇒ |A| = 16a = 0 =⇒ a = 0

Si a 6= 0 |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. Rouche====⇒ SistemaCompatible Determinado (Solucion unica).

Si a = 0 =⇒ A/A∗ =

6 2 1 11 3 1 25 −1 0 −1

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 6 21 3

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣6 2 11 3 25 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ ran(A∗) = 2

ran(A) = 2 = ran(A∗) 6= nº incog. Rouche====⇒ Sistema Compatible Indeter-minado (Infinitas soluciones)

b) Resolvemos el sistema para a = 0 por el metodo de Gauss. Como estamos ante unS.C.I. solamente vamos a resolver las ecuaciones correspondientes al menor de orden2 distinto de cero encontrado en la discusion. Ası:

A/A∗ =(

6 2 1 11 3 1 2

)∼ F1 ↔ F2 ∼

(1 3 1 26 2 1 1

)∼

F2 − 6F1

∼(

1 3 1 20 −16 −5 −11

)⇒

x+ 3 · 11−5λ16 + λ = 2

−16y − 5λ = −9z = λ

⇒x = 21−11λ

16

y = 11−5λ16

z = λ

◦



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Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parame-tro real m:

−x+ y + z = 0x+my − z = 0x− y −mz = 0

a) Determınese los valores del parametro real m para que el sistema tenga solucionesdiferentes a la solucion trivial x = y = z = 0.

b) Resuelvase el sistema para m = 1.


Solucion.Escribimos el sistema en forma matricial:

A/A∗ =

−1 1 1 01 m −1 01 −1 −m 0

a) Los sistemas homogeneos son siempre compatibles, pues tienen al menos la solucion

trivial. Para tener soluciones distintas de la trivial el sistema ha de ser CompatibleIndeterminado, lo que implica que ranA < 3, es decir que |A| = 0.

|A| = m2 − 1 = 0 =⇒ m = {−1, 1}

Si m = {−1, 1} el sistema es SCI (infinitas soluciones).

b) Resolvemos el sistema cuando m = 1 por el metodo de Gauss.

A/A∗ =

−1 1 1 01 1 −1 01 −1 −1 0

∼ F2 + F1F3 + F1

∼

−1 1 1 00 2 0 00 0 0 0

⇒−x+ 0 + λ = 0 ⇒

2y = 0 ⇒z = λ ⇒

x = λy = 0 , λ ∈ Rz = λ

◦


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Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parametro a ∈ R:

x+ 2y + (a+ 2)z = 1x+ y + az = 0

(a− 1)x+ 2z = a+ 1



(Madrid - Matematicas CCSS - Junio 2019 - Opcion A - Coincidentes)

Solucion.


A/A∗ =

1 2 a+ 2 11 1 a 0

a− 1 0 2 a+ 1

=⇒ |A| = a2 − 3a = 0⇒a = 0a = 3

Si a 6= {0, 3} |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. Rouche=====⇒Sistema Compatible Determinado (Solucion unica).

Si a = 0 =⇒ A/A∗ =

1 2 2 11 1 0 0−1 0 2 1

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 1 21 1

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 2 11 1 0−1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ ran(A∗) = 2

ran(A) = 2 = ran(A∗) 6= nº incog. Rouche====⇒ Sistema Compatible Indeter-minado (Infinitas soluciones)

Si a = 3 =⇒ A/A∗ =

1 2 5 11 1 3 02 0 2 4

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 1 21 1

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 2 11 1 02 0 4

∣∣∣∣∣∣∣ = −6 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3

ran(A) = 2 6= ran(A∗) = 3 Rouche====⇒ Sistema Incompatible (No tiene solu-cion)



http

s://a

pren

deco

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omel

on.c

om


A/A∗ =

1 2 4 11 1 2 01 0 2 3

∼ F2 − F1F3 − F1

∼

1 2 4 10 −1 −2 −10 −2 −2 2

∼F3 − 2F2

∼

1 2 4 10 −1 −2 −10 0 2 4

=⇒x+ 2 · (−3) + 4 · 2 = 1−y − 2 · 2 = −1

2z = 4=⇒

x = −1y = −3z = 2

◦



x+ y = 1ax− z = 32y + z = 2

a) Discutase la unicidad de la solucion del sistema en funcion del valor de a.

b) Resuelvase el sistema para a = 1.

(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2019 - Opcion B - Coincidentes)

Solucion.

Metodo de Rouche


A/A∗ =

1 1 0 1a 0 −1 30 2 1 2


|A| = −a+ 2 = 0 =⇒ a = 2


Si a = 2 =⇒ A/A∗ =

1 1 0 12 0 −1 30 2 1 2

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 1 12 0

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 1 12 0 30 2 2

∣∣∣∣∣∣∣ = −6 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3



http

s://a

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on.c

om


A/A∗ =

1 1 0 11 0 −1 30 2 1 2

∼ F2 − F1

∼ 1 1 0 1

0 −1 −1 20 2 1 2

∼F3 + 2F2

∼

1 1 0 10 −1 −1 20 0 −1 6

⇒⇒⇒

x+ 4 = 1 ⇒−y − (−6) = 2 ⇒

−z = 6 ⇒

x = −3y = 4z = −6

Metodo de Gauss


A/A∗ =

1 1 0 1a 0 −1 30 2 1 2

∼ F2 ↔ F3

∼ 1 1 0 1

0 2 1 2a 0 −1 3

∼ C1 ↔ C3

∼

0 1 1 11 2 0 2−1 0 a 3

∼ F1 ↔ F2

∼ 1 2 0 2

0 1 1 1−1 0 a 3

∼F3 + F1

∼

1 2 0 20 1 1 10 2 a 5

∼F3 − 2F2

∼ 1 2 0 2

0 1 1 10 0 a− 2 3

⇒ a− 2 = 0

a = 2

Si a 6= 2⇒(


Si a = 2⇒(

0 0 0 3)⇒Sist. Incompatible

b) Sustituimos en el sistema escalonado obtenido en el apartado anterior el valor a = 1.Hay que recordar que en la discusion por el metodo de Gauss hemos intercambiadolas columnas C1 ↔ C3, por lo que las incognitas x↔ z estan intercambiadas.

A/A∗

1 2 0 20 1 1 10 0 −1 3

⇒⇒⇒

z + 2 · 4 = 2 ⇒y − 3 = 1 ⇒−x = 3 ⇒

z = −6y = 4x = −3

◦



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om


Dado el sistema de ecuaciones

x+ ay + z = 62x− y + z = a− 1−x+ y + z = 2

a) Discuta el sistema para los distintos valores de a ∈ R.

b) Resuelva el sistema de ecuaciones para a = 2.


Solucion.


A/A∗ =

1 a 1 62 −1 1 a− 1−1 1 1 2

=⇒ |A| = −1− 3a = 0 =⇒ a = −13

Si a 6= −13 |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. Rouche====⇒ Sistema

Compatible Determinado (Solucion unica).

Si a = −13 =⇒ A/A∗ =

1 −1/3 1 62 −1 1 −4/3−1 1 1 2

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 1 −1/32 −1

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 −1/3 62 −1 −4/3−1 1 2

∣∣∣∣∣∣∣ = 569 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3

ran(A) = 2 6= ran(A∗) = 3 Rouche====⇒ Sistema Incompatible (No tiene solucion)

b) Resolvemos el sistema para a = 2 por el metodo de Gauss. Como a 6= −1/3, estamosante un S. C. D.

A/A∗ =

1 2 1 62 −1 1 1−1 1 1 2

∼ F2 − 2F1F3 + F1

∼

1 2 1 60 −5 −1 −110 3 2 8

∼5F2 + 3F2

∼

1 2 1 60 −5 −1 −110 0 7 7

⇒⇒⇒

x+ 2 · 2 + 1 = 6⇒−5y − 1 = −11⇒

7z = 7⇒

x = 1y = 2z = 1

◦


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om


Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parametro real a:

x+ ay = 0x+ 2z = 0

x+ ay + (a+ 1)z = a

a) Discuta el sistema en funcion de los valores del parametro a.

b) Resuelva el sistema para a = 0.

(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2020 - Opcion A )

Solucion.

Metodo de Rouche


A/A∗ =

1 a 0 01 0 2 01 a a+ 1 a


|A| = −a2 − a = −a · (a+ 1) = 0 =⇒ a = {−1, 0}

Si a 6= {−1, 0} |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. =⇒Sistema Compatible Determinado (Solucion unica).

Si a = −1 =⇒ A/A∗ =

1 −1 0 01 0 2 01 −1 0 −1

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 1 −11 0

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 −1 01 0 01 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣ = −1 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3


Si a = 0 =⇒ A/A∗ =

1 0 0 01 0 2 01 0 1 0

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 1 01 2

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 0 01 2 01 1 0

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ ran(A∗) = 2

ran(A) = 2 = ran(A∗) 6= nº incog. = 3 =⇒ Sistema Compatible Inde-terminado (Infinitas soluciones)



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b) Resolvemos el sistema para a = 0 por el metodo de Gauss. Como estamos anteun S.C.I. solamente es neceesario resolver el sistema formado por las ecuacionescorrespondientes al menor de orden 2 distinto de cero obtenido en la discusion.

A/A∗ =(

1 0 0 01 0 2 0

)∼[F2 − F1

]∼(

1 0 0 00 0 2 0

) ⇒⇒⇒

x = 0y = λz = 0

Metodo de Gauss


A/A∗ =

1 a 0 01 0 2 01 a a+ 1 a

∼ F1 ↔ F2

∼ 1 0 2 0

1 a 0 01 a a+ 1 a

∼

F2 − F1F3 − F1

∼ 1 0 2 0

0 a −2 00 a a− 1 a

∼F3 − F2

∼ 1 0 2 0

0 a −2 00 0 a+ 1 a

=⇒

{a = 0a+ 1 = 0 =⇒ a = −1

Si a 6= {−1, 0} ⇒

1 0 2 00 2 −2 00 0 2 2

⇒ Sist. Compatible Determinado

Si a = −1⇒

1 0 2 00 2 −2 00 0 0 −1

⇒ Sist. Incompatible

Si a = 0⇒

1 0 2 00 0 −2 00 0 −1 0

⇒ Sist. Compatible Indeterminado

b) Sustituimos en el sistema escalonado obtenido en el apartado anterior el valor a = 0.

A/A∗

1 0 2 00 0 −2 00 0 −1 0

⇒⇒⇒

x = 0y = λz = 0

◦


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om


Considere el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parametro a ∈ R:

3x+ 2y + z = 2a2x+ ay + 2z = 3−x− y − z = 2

a) Discuta el sistema para los diferentes valores de a.


(Madrid - Matematicas CCSS - Julio 2020 - Opcion B - Coincidentes)

Solucion.

Metodo de Rouche


A/A∗ =

3 2 1 2a2 a 2 3−1 −1 −1 2


|A| = −2a+ 4 = 0 =⇒ a = 2

Si a 6= 2 |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. Rouche====⇒ SistemaCompatible Determinado (Solucion unica).

Si a = 2 =⇒ A/A∗ =

3 2 1 42 2 2 3−1 −1 −1 2

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 3 22 2

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣3 2 42 2 3−1 −1 2

∣∣∣∣∣∣∣ = 7 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3

ran(A) = 2 6= ran(A∗) = 3 Rouche====⇒Sistema Incompatible (No tiene solucion)


A/A∗ =

3 2 1 02 0 2 3−1 −1 −1 2

∼ F1 ↔ F3

∼ −1 −1 −1 2

2 0 2 33 2 1 0

∼

F2 + 2F1F3 + 3F1

∼ −1 −1 −1 2

0 −2 0 70 −1 −2 6

∼

2F3 − F2

∼

−1 −1 −1 20 −2 0 70 0 −4 5

⇒⇒⇒

−x− (−7/2)− (−5/4) = 2 ⇒−2y = 7 ⇒−4z = 5 ⇒

x = 11/4y = −7/2z = −5/4



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om

Metodo de Gauss


A/A∗ =

3 2 1 2a2 a 2 3−1 −1 −1 2

∼ F1 ↔ F3F2 ↔ F3

∼ −1 −1 −1 2

3 2 1 2a2 a 2 3

∼

C2 ↔ C3

∼ −1 −1 −1 2

3 1 2 2a2 2 a 3

∼ F2 + 3F1F3 + 2F1

∼

−1 −1 −1 20 −2 −1 2a+ 60 0 a− 2 7

⇒ a− 2 = 0

a = 2

Si a 6= 2⇒(


Si a = 2⇒(

0 0 0 7)⇒ Sist. Incompatible


A/A∗

−1 −1 −1 20 −2 −1 60 0 −2 7

⇒⇒⇒

−x− (−5/4)− (−7/2) = 2 ⇒−2z − (−7/2) = 6 ⇒

−2y = 7 ⇒

x = 11/4z = −5/4y = −7/2

◦


Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parametro a ∈ R:

x− ay = 1ax− 4y − z = 22x+ ay − z = a− 4

a) Discuta el sistema para los diferentes valores de a.


(Madrid - Matematicas CCSS - Septiembre 2020 - Opcion B )

Solucion.

Metodo de Rouche


A/A∗ =

1 −a 0 1a −4 −1 22 a −1 a− 4


|A| = −a2 + 3a+ 4 = 0 =⇒ a = {−1, 4}


http

s://a

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on.c

om

Si a 6= {−1, 4} |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. Rouche====⇒Sistema Compatible Determinado (Solucion unica).

Si a = −1 =⇒ A/A∗ =

1 1 0 1−1 −4 −1 22 −1 −1 −5

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 1 1−1 −4

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 1 1−1 −4 22 −1 −5

∣∣∣∣∣∣∣ = 30 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3

ran(A) = 2 6= ran(A∗) = 3 Rouche====⇒ Sistema Incompatible (No tiene solu-cion)

Si a = 4 =⇒ A/A∗ =

1 −4 0 14 −4 −1 22 4 −1 0

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 1 −44 −4

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 −4 14 −4 22 4 0

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ ran(A∗) = 2

ran(A) = 2 = ran(A∗) 6= nº incog. = 3 Rouche====⇒ Sistema Compatible Inde-terminado (Infinitas soluciones)

b) Resolvemos el sistema para a = 3 por el metodo de Gauss, sabiendo que comoa 6= {−1, 4} estamos ante un S.C.D.

A/A∗ =

1 −3 0 13 −4 −1 22 3 −1 −1

∼ F2 − 3F1F3 − 2F1

∼ 1 −3 0 1

0 5 −1 −10 9 −1 −3

∼

5F3 − 9F2

∼

1 −3 0 10 5 −1 −10 0 4 −6

⇒⇒⇒

x− 3 · (−1/2) = 1 ⇒5y − (−3/2) = −1 ⇒

4z = −6 ⇒

x = −1/2y = −1/2z = −3/2

Metodo de Gauss


A/A∗ =

1 −a 0 1a −4 −1 22 a −1 a− 4

∼ C1 ↔ C3F1 ↔ F2

∼ −1 −4 a 2

0 −a 1 1−1 a 2 a− 4

∼

F3 − F1

∼ −1 −4 a 2

0 −a 1 10 a+ 4 2− a a− 6

∼ (a+ 4) · F2 + a · F3

∼

−1 −4 a 20 −a 1 10 0 −a2 + 3a+ 4 a2 − 5a+ 4

⇒ −a

2 + 3a+ 4 = 0a = {−1, 4}



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Si a 6= {−1, 4} ⇒ F3 =(

0 0 2 2)⇒ Sist. Compat. Determinado

Si a = −1⇒ F3 =(

0 0 0 10)⇒ Sist. Incompatible

Si a = 4⇒ F3 =(

0 0 0 0)⇒ Sist. Compatible Indeterminado

b) Sustituimos en el sistema escalonado obtenido en el apartado anterior el valor a = 1.Hay que recordar que en la discusion por el metodo de Gauss hemos intercambiadolas columnas C1 ↔ C3, por lo que las incognitas x↔ z estan intercambiadas.

A/A∗

−1 −4 3 20 −3 1 10 0 4 −2

⇒⇒⇒

−z − 4 · (−1/2) + 3 · (−1/2) = 2 ⇒−3y − 1/2 = 1 ⇒

4x = −2 ⇒

z = −3/2y = −1/2x = −1/2

◦


Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parametroreal a:

x+ y + z = 2a− 12x+ y + az = 1x+ ay + z = 1

a) Discuta el sistema en funcion de los valores del parametro a.

b) Resuelva el sistema de ecuaciones para a = 0.


Solucion.

Metodo de Rouche


A/A∗ =

1 1 1 2a− 12 1 a 11 a 1 1


|A| = −a2 + 3a− 2 = 0 =⇒ a = {1, 2}

Si a 6= {1, 2} |A| 6= 0 =⇒ ran(A) = 3 = ran(A∗) = nº incog. Rouche====⇒Sistema Compatible Determinado (Solucion unica).

Si a = 1 =⇒ A/A∗ =

1 1 1 12 1 1 11 1 1 1

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 1 12 1

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2


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∣∣∣∣∣∣∣1 1 12 1 11 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ ran(A∗) = 2

ran(A) = 2 = ran(A∗) 6= nº incog. = 3 Rouche====⇒ Sistema Compatible Inde-terminado (Infinitas soluciones)

Si a = 2 =⇒ A/A∗ =

1 1 1 32 1 2 11 2 1 1

|A| = 0 =⇒ ran(A) < 3 y como

∣∣∣∣∣ 1 12 1

∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ ran(A) = 2∣∣∣∣∣∣∣1 1 32 1 11 2 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 7 6= 0 =⇒ ran(A∗) = 3

ran(A) = 2 6= ran(A∗) = 3 Rouche====⇒ Sist. Incompatible (No tiene solucion)


A/A∗ =

1 1 1 −12 1 0 11 0 1 1

∼ F2 − 2F1F3 − F1

∼ 1 1 1 −1

0 −1 −2 30 −1 0 2

⇒⇒⇒

x− 2− 1/2 = −1 ⇒−(−2)− 2z = 3 ⇒

−y = 2 ⇒

x = 3/2y = −2z = −1/2

Metodo de Gauss


A/A∗ =

1 1 1 2a− 12 1 a 11 a 1 1

∼ F2 − 2F1F3 − F1

∼ 1 1 1 2a− 1

0 −1 a− 2 −4a+ 30 a− 1 0 2− 2a

∼

C2 ↔ C3

∼ 1 1 1 2a− 1

0 a− 2 −1 −4a+ 30 0 a− 1 2− 2a

⇒ {a− 1 = 0⇒ a = 1a− 2 = 0⇒ a = 2

Si a 6= 1, 2⇒

1 1 1 2−1 2 −1 20 0 2 2

⇒ Sist. Compat. Determinado

Si a = 1⇒

1 1 1 10 −1 −1 −10 0 0 0

⇒ Sist. Comp. Indeterminado

Si a = 2⇒

1 1 1 30 0 −1 −50 0 2 −2

⇒ Sist. Incompatible(Depende donde despejes

z = −1 o z = 5)



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A/A∗

1 1 1 −10 −2 −1 30 0 −1 2

⇒⇒⇒

x− 2− 1/2 = −1 ⇒−2z − (−2) = 3 ⇒

−y = 2 ⇒

x = 3/2y = −2x = −1/2

◦


DSE-1 Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a

1

ax y z a

ay z

ax y az a

+ + =

+ = + + =

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de a.

b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.

c) Resuélvase el sistema para 3a = .

(PAU Madrid CCSS Junio 2011 FG – Opción A)

Solución:

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de a.

( )

3 3 11

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 1 0 1

1 1 1 1 0 0 1

1 01 0

0 1 1

F F F

a a a

M M a M a a a a a

a a a a a a a

a aa a a

a a

= −

= = = = = ⎯⎯⎯⎯→ −

== = − =

− =

0 1 1 0

Si 0 0 1 1

0 1 0 0

1 10 rg 2, y como 0 rg 2

0 1rg rg

1 1 0

0 1 1 1

0

Sistema incomp0 rg 3

1 0 0

atible

M M

M M M

M M

M

a

• → =

= → → =

= → =

=

1 1 1 1

Si 0 1 1 1

1 1 1 1

1 10 rg 2, y como 0 rg 2

0 1rg rg nº incógnitas

1 1 1

0 1 1 0 rg 2

1 1

1

Sist. compatible indeterminado

1

M M

M M M

M M

M

a

• → =

= → → =

=

= → =

=

http

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om



0 1 SisSi 0 rg 3 rg t. compatible determinadoa M Ma M • → → → = =


Para ello utilizaremos solo las ecuaciones con menor de orden 2 no nulo.

( )1 11 1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 0 1 1

x

z

+ − = −

=

− ⎯⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯→ −

0

1

x

y

z

=

= −

=


3 3 1

3 1 3 0 3

3 0 1

2 0

3 1 1 3 3 1 1 3

0 3 1 1 0 3 1 1

3 1 3 3 0 0 2 0

x

y

F F F z

+ + =

+ =

= − =

⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

8 9

1 3

0

x

y

z

=

=

=

http

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om


DSE-2 Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del

parámetro real k:

1

2 2

1

x y kz

x ky z

x y z k

− + =

− + = − − = −

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de k.

b) Resuélvase el sistema para el valor de k para el cual el sistema tiene

infinitas soluciones.

c) Resuélvase el sistema para 3k = .

(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FG – Opción B)

Solución:


( ) ( )

2 2 1

3 3 1

1 1 1 1 1 1 0 1

2 1 2 2 1 2 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

0 1 11 2 0

2 3 2

C C C

C C C

k k k

M M k M k k

k

k kk k

k k

= +

= +

− − + ⎯⎯⎯⎯→

= − = − = = − = ⎯⎯⎯⎯→ − − − − −

+ = −= = + − =

− =

1 1 1 1

Si 2 1 1 2

1 1 1 2

1 10 rg 2, y como 0 rg 2

2 1rg rg

1 1 1

2 1 2 7 0 rg 3

1 1 2

1

Sistema incompatible

M M

M M M

M M

M

k

− −

• → = − − −

− = → → =

− = − → =− −

= −

1 1 2 1

Si 2 2 1 2

1 1 1 1

1 20 rg 2, y como 0 rg 2


1 2 1

2 1 2 0 rg 2

1

2

Sist. compatible indeterminad

1 1

o

M M

M M M

k

M M

M

−

• → = − − −

= → → =

=

=

= → =−

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



1 2 Sist. compatible deterSi 0 rg 3 rg o minadMk k M M• → → = = →−

b) Resolvemos cuando 2k = . Para ello utilizaremos solo las ecuaciones con menor de

orden 2 no nulo.

2 2 12 0

1 1 2 11 1 2 1 1 1 2 1

2 2 1 22 2 1 2 0 0 3 0

1 1 1 1

y

F F F z

=

= − =

− − − ⎯⎯⎯→

− → − ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯→ − −

1

0

x

y

z

= +

=

=

c) Resolvemos cuando 3k =

( ) ( )

( )2 2 1

3 3 1

5 4 3 1 4 1

5 1 4 02

4 1

1 1 3 1 1 1 3 1

2 3 1 2 0 1 5 0

1 1 1 2 0 0 4 1

x

yF F F

F F F z

− + − =

− − − == −

= − − =

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→− −

− ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→

3

5 4

1 4

x

y

z

=

=

= −

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



parámetro real k:

2 7 8

2

2

kx y z

x y kz

x y z

− + =

− + = − + + =




(PAU Madrid CCSS Junio 2010 FE – Opción B)

Solución:

( ) ( )

2 2 1

3 3 1

2 7 8 2 7 2 7

1 1 2 1 1 1 0 1

1 1 1 2 1 1 1 1 0 0

2 7 12 1 0

0 1 2

C C C

C C C

k k k k k

M M k M k k

k k kk k

k k

= +

= +

− − − + ⎯⎯⎯⎯→

= − = − = = + = ⎯⎯⎯⎯→ − − −

− − = −= − = − − + =

− =

1 2 7 8

Si 1 1 1 2

1 1 1 2

1 20 rg 2, y como

1

Sistema incompati

0 rg 21 1

rg rg1 2 8

1 1 2 12 0 re

g 3

1 1

bl

2

M M

M M M

M

k

M

M

− −

• → = − − −

− − = → → =

−

− − − = → =−

= −

2 2 7 8

Si 1 1 2 2

1 1 1 2

2 70 rg 2, y como 0 rg 2


2 7 8

1 2 2 0 rg

2

Sist. compatible indeterminado2

1 1 2

M M

M M M

M M

k

M

−

• → = − −

= → → =

=

= → =−

=

1 2 Sist. compatible deterSi 0 rg 3 rg o minadMk k M M• → → = = →−

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om




orden 2 no nulo.

1 2

2 2 12

2 2 7 82 2 7 8 1 1 2 2

1 1 2 21 1 2 2 2 2 7 8

1 1 1 2

F F

F F F

= −

− − −

− → ⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→ −

( )

2 2 1

4 3 2

2

3 4

1 1 2 2

0 0 3 4

x

y

F F F

z

− + =−

=

= −

=

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→− −

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯→

14 3

4

x

y

z

= − +

=

=


1 2

3 3 1

10 2

2 7 4 8

4

0 2 7 8 1 1 0 2 1 1 0 2

1 1 0 2 0 2 7 8 0 2 7 8

1 1 1 2 1 1 1 2 0 0 1 4

x

F F y

F F F z

− =

− + =

= + =

− − − ⎯⎯⎯→

− ⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯→

12

10

4

x

y

z

=

=

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



parámetro real a:

1 1 1 1

2 3 2 22

1 4 7

yx

za a

−

+ − = −

a) Discútase el sistema según los diferentes valores del parámetro a.

b) Resuélvase el sistema para el valor de a para el cual el sistema tiene

infinitas soluciones.


(PAU Madrid CCSS Septiembre 2010 FG – Opción A)

Solución:

Primero escribimos el sistema de la manera que estamos habituados a verlo:

1 1 1 1 1 1 1

2 3 2 22 2 3 2 5 15 0 3

1 4 7 1 4

M M M a a

a a a

− −

= − = − = − + = → = − −

1 1 1 1

Si 2 3 2 22

1 4 3 21

1 10 rg , y como 0 rg 2


1 1 1

2 3 22

3

Sist. compatible indeter0 rg 2

1

mi

4 1

o

2

nad

a M M

M M M

M M

M

−

• → = − −

= → → =

− =

− = → =−

=

3 Sist. Si com0 r pag 3 tible deterrg mina doM M Ma → → = =• →

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



b) Resolvemos cuando 3a = . Para ello utilizaremos solo las ecuaciones con menor de

orden 2 no nulo.

2 2 12

1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

2 3 2 222 3 2 22 0 5 4 20

1 4 3 21

F F F z = − =

− − −

− → − ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ −

4 4 5 1

5 20 41 1 1

0 5 20 4

x

y

z

z

− + = +

− = −

=

=

⎯⎯⎯⎯⎯→+

⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ − −

⎯⎯⎯→

5 5

4 4 5

x

y

z

= +

= − +

=

c) Resolvemos cuando 0a =

2 2 1

3 3 1 3 3 2

8 5 7 1

2 5 4 7 20

3 21

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 2 22 0 5 4 20 0 5 4 20

1 4 0 0 0 5 1 1 0 0 3 21

x

F F F y

F F F F F F z

+ − =

= − − + =

= − = − − =−

− − − ⎯⎯⎯⎯→

− ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→

32 5

8 5

7

x

y

z

=

=

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



parámetro real k:

1

2 2

1

x ky z

y kz

x y z

+ + =

+ = + + =

a) Discútase el sistema para los diferentes valores de k.



(PAU Madrid CCSS 2010 Modelo – Opción A)

Solución:

( )

3 3 1

1 1 1 1 1 1 12

0 2 2 0 2 0 21 0

1 1 1 1 1 1 1 0 1 0

01 0

1

F F F

k k kk

M M k M k kk

k

kk k

k

= −

= = = ⎯⎯⎯⎯→= = = − −

== − − =

=

1 0 1 1

Si 0 2 0 2

1 1 1 1

1 00 rg 2, y com

0


o 0 rg 20 2

rg rg1 0 1

0 2 2 2 0 rg 3

1 1 1

M M

M M M

M

M

k

M

• → =

= → → =

= − → =

=

1 1 1 1

Si 0 2 1 2

1 1 1 1

1 10 rg 2, y como 0 rg 2


1 1 1

0 2 2 0 rg 2

1 1

1


1

M M

M M M

M M

M

k

• → =

= → → =

=

= → =

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



0 1 SisSi 0 rg 3 rg t. compatible determinadok M Mk M• → → → = =


orden 2 no nulo.

11

2

2 1

1 1 1 11 1 1 1 1 1 1

0 2 1 20 2 1 2 0 2 1

1 1 1 1

x

y

z

z

−+ = −

= −

=

=

⎯⎯⎯⎯⎯→ −

→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→

1

2

1

2

x

y

z

−=

−=

=


( )

( )

3 3 1 3 3 2

0 2 3 1

2 3 2 3 2

3 2

1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1

0 2 3 2 0 2 3 2 0 2 3 2

1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 3 2

x

y

F F F F F F z

+ + =

+ =

= − = + =

⎯⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

1 3

0

2 3

x

y

z

=

=

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



parámetro real k:


4

2 2 5

3 0

x y kz

x y z

x y z

+ + =

− + =− + − =



(PAU Madrid CCSS Junio 2009 – Opción A)

Solución:

1 1 4

2 1 2 5 5 5 0 1

1 3 1 0

k

M M M k k

= − = − = → = − −

1 1 1 4

Si 2 1 2 5

1 3 1 0

1 10 rg 2, y como 0 rg 2


1 1 4

2 1 5 0 rg

1

Sist. compatible indeterminad2

o

1 3 0

M M

M M M

M M

M

k

• → = − − −

= → → =

− =

− = → =−

=

1 Sist. Si com0 r pag 3 tible deterrg mina doM M Mk → → = =• →


orden 2 no nulo.

2 2 1

1 4

3 3

2

1 1 1 4 1 1 1 4

2 1 2 5 0 3 0 3

x

y

F F F

z

+ + =

− =−

= −

=

⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→ − −

⎯⎯⎯→

3

1

x

y

z

= −

=

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om




2 2 1 2

3 3 1 3 3 3 2

2 4

3

1 1 0 4 1 1 0 4 1 1 0 4

2 1 2 5 0 3 2 3 0 12 8 12

1 3 1 0 0 4 1 4 0 12 3 12

F F F F

F F F F F F F

= −

= + = +

− ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯→ − − − − ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→

3 3 2

1 4

12 0 12

5 0

1 1 0 4

0 12 8 12

0 0 5 0

x

y

F F F z

+ =

− + =−

= + =

⎯⎯⎯→

− − ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

3

1

0

x

y

z

=

=

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



parámetro real k:

3

3

3 6

x y z

x ky z

kx z

+ + =

+ + = − =




(PAU Madrid CCSS Septiembre 2009 – Opción B)

Solución:

2 2

1 1 1 31

1 1 3 3 3 2 3 03

0 3 6

kM M k M k k k k k

kk

=

= = − + − + = − − + = = − −

1 1 1 3

Si 1 1 1 3

1 0 3 6

1 10 rg 2, y como 0 rg 2


1 1 3

1 1 3

1

Sist. compatible indete0 rg 2

0 3 6

rminado

M M

M M

M

k

M

M

M

• → = −

= → → =

− =

= → =−

=

1 1 1 3

Si 1 3 1 3

3 0 3 6

1 10 rg 2, y como 0 rg

3

Sistema incompatib

21 3

rg rg1 1 3

1 3 3 60 0 r

3

eg 3

6

l

0

M M

M M M

M M

M

k

• → = − − −

= → → =

−

− = − → =−

= −

1 3 Sist. compatible deterSi 0 rg 3 rg o minadMk k M M• → → = = → −

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om




orden 2 no nulo.

2 2 1

3 4

3 4

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 3

1 0 -3 6 0 1 -4 3 0 1 3 4

x

F F F z y

− − =−

= − = − = +

− ⎯⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ − + ⎯⎯⎯⎯→

6 3

3 4

x

y

z

= +

= − −

=


2 2 1 2

3 3 1 3 3 3 2

3

3 2

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3

1 3 1 3 0 2 0 0 0 6 0 0

3 0 3 6 0 3 6 3 0 6 12 6

F F F F

F F F F F F F

= −

= − = +

⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯⎯→

3 3 2

0 1 2 3

6 0

12 6

1 1 1 3

0 6 0 0

0 0 12 6

x

y

F F F z

+ + =

=

= + − =−

⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→

5 2

0

1 2

x

y

z

=

=

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


DSE-8 Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:

=++

=−+

=+−

822

3223

02

azyx

zyx

zyx

a) Discutir el sistema para los distintos valores de a.

b) Resolver el sistema para 4=a


Solución:


Abordamos el problema por rangos.

1 2 1 0 1 2 1

3 2 2 3 3 2 2 14 8 0 7 4

2 2 8 2 2

M M M a a

a a

− −

= − = − = + = → = −

1 2 1 0

Si 3 2 2 3

2 2 7 4 8

1 20 rg 2, y como 8 0 rg 2

3 2rg rg

1 2 0

3 2 3 46 0 rg 3

2 2 8

7 4


M M

M M M

M M

M

a

−

• → = − −

− = → = → =

− = → =

= −

7 4 SistemaSi co0 r mpg 3 atible deterg rmina doM M Ma → → = =−• →

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



También podríamos haber resuelto por Gauss:

2 2 1 2 2

3 3 1 3 3

2 2

3 3 1

3 3

2 4

3

1 2 1 01 2 1 0 1 2 1 0

33 2 2 3 0 8 5 3 0 24 15

92 2 8 0 6 2 8

0 24 8 4 32

1 2 1 0

0 8 5 3 7 4 0

0 0 7 4 23

F F F F F

F F F F F

F F

F F F

a aa

a

a

= − =

= − =−

=

= +

− − −

− ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ − → ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→

− − −

−

⎯⎯⎯⎯→ − → − − = → ⎯⎯⎯⎯→ − − −

7 4a = −

( )7 4 Sistema incompatibl Si 0 0 0 2 e3a = −• → − →

( )7 4 Sistema com Si 0 0 patibl7 4 e 2 dete3 rminadoaa −• → − − − →

b) Resolvemos directamente para 4a =

2 2 1 2 2

3 3 1 3 3

3 3

2 4

1 2 1 01 2 1 0 1 2 1 0

33 2 2 3 0 8 5 3 0 24 15

92 2 2 8 0 6 2 8

0 24 8 32

F F F F F

F F F F F

= − =

= − =−

− − −

− ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ − → ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→

− − −

2 2

3 3 1

2 1 0

3 8 5 3

23 23

1 2 1 0

0 8 5 3

0 0 23 23

x

F F y

F F F z

− + =

= − =

= + − =−

− ⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→

1

1

1

x

y

z

=

=

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


DSE-9 Dado el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:

1

2 2

1

x ay z

y az

x y z

+ + =

+ = + + =


b) Resolver el sistema para 3a = y 1a = .

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2007 – Opción A)

Solución:

( )2

1 1 1 1 10

0 2 2 0 2 1 01

1 1 1 1 1 1 1

a aa

M M a M a a a a aa

=

= = = − = − = =

1 0 1 1

Si 0 2 0 2

1 1 1 1

1 00 rg 2, y com

0


o 0 rg 20 2

rg rg1 0 1

0 2 2 2 0 rg 3

1 1 1

M M

M M M

M

M

a

M

• → =

= → → =

= − → =

=

1 1 1 1

Si 0 2 1 2

1 1 1 1

1 10 rg 2, y como 0 rg 2


1 1 1

0 2 2 0 rg 2

1 1

1


1

M M

M M M

M M

M

a

• → =

= → → =

=

= → =

=

0 1 SisSi 0 rg 3 rg t. compatible determinadoa M Ma M• → → → = =

b-1) Resolvemos cuando 3a =

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



3 3 1

0 2 3 1

3 2

2 0

1 3 1 1 1 3 1 1

0 2 3 2 0 2 3 2

1 1 1 1 0 2 0 0

x

z

F F F y

+ + =

=

= − − =

⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→

1 3

0

2 3

x

y

z

=

=

=

b-2) Resolvemos cuando 1a =

Como hemos visto cuando 1a = el sistema es compatible indeterminado por lo que para

resolverlo cogeremos tan solo las ecuaciones con menor de orden dos no nulo:

1 2 1

2 2

1 1 1 1 1 1 1

0 2 1 2 0 2 2

x

z y

+ − = −

= = −

− ⎯⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→

2

1 2

x

y

z

= −

= −

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


DSE-10 Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

2 2

2 3 1

3 3

x y z

x y z

x ay z

+ + =− + + =− + + =

a) Discútase el sistema para los diferentes valores de a.

b) Resolver el sistema para 2a = .


Solución:

a) Discútase el sistema para los diferentes valores de a.

1 1 2 2 1 1 2

2 3 1 1 2 3 1 20 5 0 4

1 3 3 1 3

M M M a a

a a

= − = − = − = → = − −

1 1 2 2

Si 2 3 1 1

1 4 3 3

1 10 rg 2, y como 0 rg 2


1 1 2

2 3

4

Sist. compatibl1 0 rg 2

e indeterminad

1 4 3

o

M M

M

a

M M

M M

M

• → = − −

= → → =

− =

− = → =−

=

4 Sistema Si 0 compatible determirg 3 rg n o adMa M M • → → → = =

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



b) Resolver el sistema para 2a = .

2 2 1 2 2

3 3 1 3 3 3 2

0 3 1

2 3 3

5

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

2 3 1 1 0 5 5 5 0 15 15 15

1 2 3 3 0 3 5 5 0 15 25 25

x

F F F F F

F F F F F F F

− + =

= +

= + − = +

⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯⎯→

2

3 3 2

0 2 1 2

3 5 51 5

10 10

1 1 2 2

0 5 5 5

0 0 10 10

x

F y

F F F z

+ + =

+ =

= + − =−

⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→

0

0

1

x

y

z

=

=

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



parámetro real k.

2 3 0

3 0

5 2 0

x y z

x ky z

x y z

− + =

− − = + − =

a) Discutir el sistema para los distintos valores de k.

b) Resolver el sistema en los casos en los que sea posible.


Solución:


2 3 1 0 2 3 1

1 3 0 1 3 56 7 0 8

5 2 1 0 5 2 1

M M k M k k k

− −

= − − = − − = + = → = − − −

2 3 1 0

Si 1 8 3 0

5 2 1 0

2 30 rg 3, y como 0 rg 2


2 3 0

1 8 0 0

8

Sist. compatible indeterminadorg 2

5 2 0

M M

M M M

M M

k

M

−

• → = − −

− = → → =

=

− = → =

= −

8 Sist Si . co0 mr patible deteg rmina3 drg oM Mk M • → =− → = →

b) Resolver el sistema en los casos en los que sea posible.

b-1) Si 8k = − , resolvemos solo las ecuaciones con menor de orden 2 no nulo

1 2

2 2 12

2 3 1 02 3 1 0 1 8 3 0

1 8 3 01 8 3 0 2 3 1 0

5 2 1 0

F F

F F F

= −

− − −

− → ⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→ −

( )

2 2 1

8 7 19 3

2 19 7

1 8 3 0 1 8 3

0 19 7 0 0 19 7

x

z

F F F y

+ =

=

= − − =−

− ⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯⎯→

19

7 19

x

y

z

=

=

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



b-2) Si 8k − , el sistema es compatible determinado y, por ser homogéneo, la

solución es la trivial

0

0

0

x

y

z

=

=

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


DSE-12 Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real p:

0

2 3

2

x y z

x y pz

x y z p

+ + =− + + = − − − =

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de p.

b) Resolver el sistema para 2p = .


Solución:

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de p.

1 1 1 0 1 1 1

1 2 3 1 2 3 3 0 1

1 2 1 1 2 1

M M p M p p p

p

= − − = − = − = = − − − −

1 1 1 0

Si 1 2 1 3

1 2 1 1

1 10 rg 2, y como 0 rg 2

1 2rg rg

1 1 0

1 2 3 6

1

Sistema incompatible0 rg 3

1 2 1

M M

M

p

M M

M M

M

• → = − − − −

= → → =

−

− − = − → =−

=

1 Sist. Si com0 r pag 3 tible deterrg mina doM M Mp → → = =• →

b) Resuélvase el sistema para 2p = .

2 2 1

3 3 1 3 3 2

1 1 1 0 1 1 1 0

1 2 2 3 0 3 3 3

1 2 1 2 0 3 2 2

F F F

F F F F F F

= +

= − = +

− − ⎯⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→

( )

3 3 2

0 1 0

3 3 1 3

1

1 1 1 0

0 3 3 3

0 0 1 1

x

y

F F F z

+ − =

+ − =−

= + =−

⎯⎯⎯⎯→

− ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→

1

0

1

x

y

z

=

=

= −

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



DSE-13 Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real m:

3 5

4

1

mx y z

x y z

x my mz

+ − =− + + = −

+ − =

a) Discútase el sistema según los diferentes valores del parámetro m.

b) Resuélvase el sistema para 2m = .

(PAU Madrid CCSS Septiembre 2004 – Opción A)

Solución:


2

1 3 5 1 11

1 1 1 4 1 1 1 2 2 4 02

1 1 1

m mm

M M M m mm

m m m m

− − = −

= − − = − = − + + = = − −

1 1 3 5

Si 1 1 1 4

1 1 1 1

1 30 rg 2, y com

1

Sistema incompatib

o 0 rg 21 1

rg rg5 1 3

4 1 1 6 0 rg 3

1

le

1 1

M M

M M M

M M

M

m

− −

• → = − − −

− = → → =

− − = → =−

= −

2 1 3 5

Si m 1 1 1 4

1 2 2 1

2 10 rg 2, y como 0 rg 2


2 1 5

2

Sist. compatible indeterm1 1 4 0 rg 2

1

inado

2 1

M M

M M M

M M

M

−

• → = − − −

= → → =

− =

− − = → =

=

1 2 Sist. compatible deterSi 0 rg 3 rg n mi adom Mm M M• → → = = →−

b) Resuélvase el sistema para 2m = .

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


1 2

2 2 12

2 1 3 52 1 3 5 1 1 1 4

1 1 1 41 1 1 4 2 1 3 5

1 2 2 1

F F

F F F

= +

− − − −

− − → ⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯⎯→ − ( )

2 2 1

1 3 4

3 3

2

1 1 1 4 1 1 4

0 3 1 3 0 3 3

x

y

F F F z

z

− + − + =− −

=− +

= + =

=

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→− − − − −

⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯→ − +

⎯⎯⎯→

3 4 3

1 3

x

y

z

= +

= − +

=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



DSE-14 Estudiar y resolver el siguiente sistema lineal de ecuaciones

2 0

1

1

x y z

x y

y z

+ + =− − = − − = −


Solución:

⎯⎯⎯ →⎯

−−−

⎯⎯⎯ →⎯

−−−

−−+=+=

0000

1110

0121

1110

1110

0121

1110

1011

0121

233122 FFFFFF

El sistema es compatible indeterminado y su solución es la siguiente:

1

2

11 2 1 0 1 2

0 1 1 1 0 1 1z y

x

y

z

= = −

− ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

−

= −

= −

=

.

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


DSE-15 Discute el siguiente sistema de ecuaciones para los diferentes valores del

parámetro k y resuélvelo cuando sea posible. (101)

+=++

=+−+

=++

1

)1(

1

kzyx

kzykkx

kzyx

Solución:

Procedemos a resolver el sistema por Gauss:

2 2 12

3 3 1

1 1 11 1 1

1 1 0 1 1 0 1 0 1

1 1 1 1 0 0 1

F F kF

F F F

kk

k k k k k k

k k k

= −

= −

⎯⎯⎯⎯→

− − − → − = → = ⎯⎯⎯⎯→ + −

( ) →→=• 10001kSi El sistema es Incompatible y no tiene solución.

→• 1kSi El sistema es compatible determinado y sus soluciones son:

2

3 2

2

2 11 1 1

1

0 1 1 0

0 0 1

1

k k kxk

k

k y k k

k k kz

k

+ − += ⎯⎯→ −

− − ⎯⎯→ = +

− ⎯⎯→ =

−

Este mismo problema lo podemos abordar por rangos, para lo cual calculamos el

determinante de la matriz A:

1 1

1 1 1 0 1

1 1 1

k

k k k k− = − = → =

3)'(01

211

101

111

'

2)(0211

1101

=→−==

=→−=−

=→=•

ARangoAComo

ARangomenorunyAkSi

Por tanto como Rango (A) ≠ Rango (A’) el sistema es incompatible.

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om




parámetro m y resuélvelo cuando sea posible. (102)

=++

=++

=++

73

532

32

mzyx

zyx

zyx

Solución:


−

⎯⎯⎯ →⎯

−⎯⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯ →⎯

−=−=

−=

0400

2110

3211

4220

2110

3211

731

5321

3211

233

133

122

2

mmm

FFFFFF

FFF

40 4 =→=− mm

( ) →→=• 00004mSi El sistema es compatible indeterminado y su

solución es la siguiente:

=

−=

−=

⎯⎯ →⎯

−

−⎯⎯→⎯

−==

z

y

x

yz2

1

210

2311

2110

32112 .

→• 4mSi El sistema es compatible determinado y sus soluciones son:

0

2

1

0400

2110

3211

=

=

=

⎯→⎯

⎯→⎯

⎯→⎯

− Z

Y

x

m


determinante de la matriz A: 404

31

321

211

=→=−= mm

m

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


2)'(0

731

521

311

'

2)(0121

1104

=→==

=→==→=•

ARangoAComo

ARangomenorunyAmSi

Por tanto como Rango (A) = Rango (A’) = 2 ≤ nº incógnitas, el sistema es compatible

indeterminado y el nº de parámetros será 3-2=1.

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om




parámetro m . (42-b del libro). (103)

−=+

−=+

mymx

mmyx

22

1

Solución:


101210

11

221

112

22122

=→=−→

−−−

−⎯⎯⎯⎯ →⎯

−

−−=

mmmmm

mm

mm

mmmFFF

( ) →→=• 0001mSi El sistema es compatible indeterminado y su solución

es la siguiente:

( ) ( )

−=→−⎯⎯→⎯

=

xy

1011 .

( ) →→−=• 2001mSi El sistema es incompatible y no tiene solución.


2

2

2

2

1222

1

21

12

210

11

2

2

m

mmY

m

mmx

mmm

mm

mmmy

−

−−=

−

−−=

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−−−

−

−−−=



12 =→=−= mm

m

m

1)'(001

01'

1)(01101

=→==

=→==→=•

ARangoAComo

ARangomenorunyAmSi



2)'(0241

21'

1)(01101

=→=−

−=

=→==→−=•

ARangoAComo

ARangomenorunyAmSi


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



parámetro a y resuélvelo cuando sea posible. (104)

=++

=+−

=−

0

0

0

zayx

azyx

zx

Solución:


++

+−

−

⎯⎯⎯ →⎯

+−

−

⎯⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯ →⎯

−

−

+=−=

−=

0200

0110

0101

020

0110

0101

011

011

0101

2233

133

122

aa

a

a

a

a

aaFFF

FFF

FFF

→=++ 0 22 aa La ecuación no tiene solución por lo que el sistema es

siempre compatible determinado con una solución única que es:

0

0

0

0200

0110

0101

2 =

=

=

⎯→⎯

⎯→⎯

⎯→⎯

++

+−

−

Z

Y

x

aa

a



→=−−−=−

−

02

11

11

1012 aa

a

a . La ecuación no tiene solución, lo que implica que el

determinante es siempre distinto de cero, es decir, que el Rango(A)=Rango(A’)=3. Por

tanto el sistema es compatible determinado en todos los casos.

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om




parámetro a y resuélvelo cuando sea posible. (105)

=++

=+−

−=−+

52

122

32

azyx

zyx

zyx

Solución:


−

−−

−

⎯⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯ →⎯

−−

−

⎯⎯ →⎯

−

−−

−=

−=

3450

5550

1221

512

3112

1221

512

1221

3112

133

122

212

2

aaaFFF

FFF

FF

101

8100

1110

1221

3450

1110

1221

23352

2 5=→=−→

+

−−

−−

⎯⎯⎯ →⎯

−

−−

−−

⎯⎯ →⎯−==

aa

aa

FFFF F

( ) →→=• 80001aSi El sistema es Incompatible y no tiene solución.

→• 1aSi El sistema es compatible determinado y sus soluciones son:

1

81

71

1

8100

1110

1221

+=

+

−=

+

−−=

⎯→⎯

⎯→⎯

⎯→⎯

+

−−

−−

aZ

a

ay

a

ax

a



12

221

112

=→=+−=− aa

a

3)'(040

512

121

312

'

2)(0521

1201

=→−=−

−

=

=→−=−

=→=•

ARangoAComo

ARangomenorunyAaSi


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


DSE-20 Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para los diferentes

valores del parámetro a .

=+−

=+−

−=−+

552

332

132

zyax

zYx

zyx

Solución:


−−−

−−

−

⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯ →⎯

−

−−

−

⎯⎯ →⎯

−

−

−−

−=

−=

aaaaaaFFF

FFF

FF

6565140

7770

3321

5512

1132

3321

5512

3321

1132

133

122

212

2

2024

242400

1110

3321

6565140

1110

3321

23372

2)14(

=→=−→

−−

−−

−

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−−−

−−

−

⎯⎯ →⎯−−==

aa

aaaaa

FaFFF F

( ) →→=• 00002aSi El sistema es compatible indeterminado y su


=

−−=

−=

⎯⎯ →⎯

−−

−−⎯⎯→⎯

−−

−−−==

z

y

x

yz1

51

110

3321

1110

33211

.


1

0

0

0400

2110

3211

=

=

=

⎯→⎯

⎯→⎯

⎯→⎯

− Z

Y

x

m



512

321

132

=→=−=

−

−

−

aa

a

2)'(0

512

321

132

'

2)(0721

3202

=→=

−

−

−

=

=→−=−

=→=•

ARango

a

AComo

ARangomenorunyAaSi

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om





http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


DSE-21 Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para los diferentes

valores del parámetro m .

=−+−

=+−

=++

02

222

2

zyx

zyx

mzyx

Solución:


−−

−⎯⎯ →⎯

−

−−⎯⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯ →⎯

−−

−

+=

−=

m

m

m

m

m

mm

FFFFF

FFF

22050

130

121

130

22050

121

0211

2212

121

32

133

122 2

→

−−

−⎯⎯ →⎯

m

m

m

yzx

zy

22500

310

211No podemos obtener una fila de ceros, por lo

que el sistema será siempre compatible determinado con una solución única

que es la siguiente:

⎯⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯⎯ →⎯

−−

−iablesde

ercambioel

conojoMucho

m

m

m

yzx

var

int

22500

310

211

5

225

62

−=

−=

=

my

mz

x



→=

−−

− 05

211

212

121

. El determinante es siempre distinto de cero, es decir, que el

Rango(A)=Rango(A’)=3. Por tanto el sistema es compatible determinado en todos los

casos.

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



DSE-22 Discute y resuelve cuando sea posible el siguiente sistema de ecuaciones para

los diferentes valores del parámetro a .

=+−

=+−

=++

65

132

12

azyx

zyx

zyx

Solución:


−−

−−−⎯⎯ →⎯

−−

−−−⎯⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯ →⎯

−

−

−=

−=

16100

1310

1121

11060

1130

1211

615

1312

1211

133

122

5

2

a

yzx

aa

zyFFF

FFF

80324

1132400

1310

1121

233 )10(=→=−→

−−

−−−⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+=aa

aa

yzx

FaFF

( ) →→=• 30008aSi El sistema es Incompatible y no tiene solución.

→• 3aSi El sistema es compatible determinado y sus soluciones son:

aZ

a

ay

ax

aa

yzx

iablesde

ercambioel

conojoMucho

324

9324

11324

7

1132400

1310

1121

var

int

−

−=

−

−=

−

−=

⎯⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯⎯ →⎯

−−

−−−



15

312

211

=→=−=

−

− aa

a

3)'(09

615

112

111

'

2)(0312

1108

=→−=

−

−=

=→−=−

=→=•

ARangoAComo

ARangomenorunyAaSi


http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


DSE-23 Discute y resuelve cuando sea posible el siguiente sistema de ecuaciones para

los diferentes valores del parámetro a .

=++

=+

+=+

azyx

zx

ayx

03

132

Solución:


−

+−⎯⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯ →⎯

+⎯⎯ →⎯

+

−=

−=

a

a

a

a

a

a

FFF

FFF

FF

210

1630

0301

111

1032

0301

111

0301

1032

133

122

21

2

21

30 21

21000

210

0301

1630

210

0301

23332

=→=−

−

−⎯⎯⎯ →⎯

+−

−⎯⎯ →⎯−=

aa

a

a

a

aFFFFF

( ) →→=• 000021aSi El sistema es compatible indeterminado y su


=

+=

−=

⎯⎯⎯ →⎯

+

−⎯⎯→⎯

− +==

z

y

x

yz2

3

210

301

210

03012

12

21

21 2

1.

( ) →−• aaSi 2100021 El sistema es incompatible y no tiene

solución.



2)(0301

320

111

301

032

=→−=== ARangomenorunyA

21021

11

001

132

' =→=−=

+

= aa

a

a

A

2)'(21 =→→=• ARangoaSi



http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



DSE-24 Dado el sistema de ecuaciones que depende del parámetro a:

=++

=−+

=++

azyx

aazyx

azyx

32

2

a) Discutir el sistema según los valores de a.

b) Resolver el sistema para 1a =

Solución:


⎯⎯⎯ →⎯

−−−

−−−⎯⎯ →⎯

−−−

−−−

⎯⎯⎯ ⎯

⎯⎯⎯ →⎯

−−=

−=

−= 23332

133

122

0110

110

121

110

0110

121

132

11

121

2

FFFFF

FFF

FFF

a

a

a

a

a

a

a

aa

a

−

−−−⎯⎯⎯ →⎯−=

aa

a

a

FFF

00

110

121

233

( ) →=• 00000aSi El sistema es compatible indeterminado y su


( )

⎯⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

+−−

−⎯⎯→⎯

+−=−

−=−+

=

ay

aax

z a

a 2

10

21

=

−=

+−=

z

ay

ax

( ) →−• aaaSi 000 El sistema es compatible determinado y sus

soluciones son:

( ) ( )

( )

⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−

−−−

=−

−=−−−

=−+−+

aaz

ay

aax

aa

a

a

1

112

00

110

121

1

1

13

−=

−=

−=

z

ay

ax



Zzzz acabar por rangos

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om


DSE-25 Discutir según los valores de a, el sistema.

=++

=++

=++

1

1

1

azyx

zayx

zyax

Solución:

( ) ( )

1 1 11 1 0

' 1 1 1 , por tanto: 0 1 1 01 1 0

1 1 1

1

1

aa a

A a a a

a

a

aa a

+ = = −→

= = → + − = − = →

=

( )

( ) ( ) ( )

1 1 1 11 1 1

Si 1 0 1, y como ' 1 1 1 1 y 01 1 1

1 1 1 1

' 2. Como ' el es .

aa ran A A

a

ran A ran A ran A sistema incompatible

− −

• = − → = → = = − −

→ =

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 11

Si 1 0 1, y como '= 1 1 1 1 ' 11

1 1 1 1

Como ' 1 el es y el número

de parámetros es 3-2=1

aa ran A A ran A

a

ran A ran A sistema compatible indeterminado

• = → = → = → =

= =

3 3

1 1

Si 1 y 1 1 1 1 1 3 2 0

1 1

a

a a A a a a a a a a

a

• − → = = + + − − − = − + =

a = 1

a = -2

Tras hacer Ruffini concluimos: ( ) ( )2 1 0

1 2 00

1

2 2

a

aA a a

a

a− = →= − +

=

=

+ → = −=

http

s://a

pren

deco

nmig

omel

on.c

om



( )

( )

2 1 1 1 2 1 1

Si 2 0 2. ' 1 2 1 1 , y como 1 2 1 0

1 1 2 1 1 1 1

' 3

a A ran A A

ran A

− −

• = − → = → = = − − −

→ =

Si 1 y 1 y 2 el es det mina a a sistema compatible er ado• − − →

Conclusión:

( )

( ) ( )

1

Si ' 1

Nº de incóg.

. . . 1

3

1 S C I par

r

á

an A

ran A ta me ro

=

• → =

=

=

( )

( )

1Si

'.

21 .

ran A

ran Aa S I

= • →

=

=

−

( )

( )

2Si

'.

32 .

ran A

ran Aa S I

= • →

=

=

−

( )

( )1, 1, 2

3Si

'.

3. .

ran A

ranSa

AC D

= • →

=

= − −

http

s://a

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deco

nmig

omel

on.c

om


matem´aticas aplicadas a las ccss coleccion de ejercicios

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