P r o b l e m a s r e s u e l t o s

La línea r e c t a

13.1 a) Construya una l ínea recta que se aproxime a los datos de la tabla 13-1.

b) Encuentre una ecuación para esta recta.

T a b l a 13-1

X 2 3 5 7 9 10

Y 1 3 7 11 15 17

S O L U C I Ó N

á) Grafique los puntos (2, 1), (3, 3), (5, 7), (7, 11), (9, 15) y (10. l T i a a s a B * rectangular de coordenadas, como se muestra en la figura 13-4. Estádarocananas-

2 9 C _-Z • Ajuste de curvas y el método de mínimos cuadrados

/

4 /

P /

/ 4

/ /

* /

/ 4

/

1 1 1 1 —x 4 8 12

ra que todos los puntos se encuentran en una línea recta (marcada con línea» discontinuas); por lo tanto, una línea recta se ajusta a los datos exactamente,

b) Para determinar la ecuación de la recta dada por Y=aa + a,X (26*

sólo se necesitan dos puntos. Elija los puntos (2, 1) y (3, 3), por ejemplo. Par; : punto (2, 1), X= 2 y K= 1; sustituyendo estos valores en la ecuación (26) resulta

1 = a0 + 2a, De manera similar, para el punto (3, 3), X = 3 y Y = 3; sustituyendo estos valores a la ecuación (26) resulta

3 = a0 + 3a, Resolviendo las ecuaciones (27) y (28) simultáneamente, a0= -3 y ai = 2, la ecuac::: requerida es

y = - 3 + 2X o y = 2 X - 3 Para verificar, se puede mostrar que los puntos (5, 7), (7, 11), (9, 15) y (10. también se encuentran en la recta.

1 3 . 2 En el problema 13.1 calculea) Y cuando X - 4, b) y c u a n d o X = 15, c) ycuando.Y = 0, d) Xcuando Y= 7.5, e) Xcuando Y-0 y / ) el incremento en y correspondiente al crecimiento de una unidad en X.

SOLUCIÓN

Se asume que la misma ley de relación, Y= 2 X - 3, es válida para valores deXy Kdiferen­tes de aquellos especificados en la tabla 13-1.

a) Si X = 4, Y= 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5. Dado que se busca el valor de y correspondiente a un valor de X incluido entre dos valores dados de X, este proceso suele llamarse interpolación lineal.

b) Si X = 15, y = 2(15) - 3 = 30 - 3 = 27. Puesto que se busca el valor de Kcorrespon­diente a un valor de Xfuera de o exterior a los valores dados de X, este proceso suele llamarse extrapolación lineal.

c) Si X = 0, y = 2(0) - 3 = 0 - 3 = -3. El valor de Y cuando X = 0 se denomina la intersección en Y. Es el valor de y en el punto en que la recta (extendida si es necesa­rio) se cruza con el eje Y.

d) Si y=7 .5 , 7.5 = 2 X - 3 ; entonces, 2X= 7.5+ 3 = 10.5 y X = 10.5/2 = 5.25. e) Si y = 0, 0 = 2X - 3; luego, 2X = 3 y X = 1.5. El valor de X cuando Y = 0 se llama la

intersección en X. Es el valor de X en el punto donde la recta (extendida si es preciso) se cruza con el eje X.

/ ) Si X se incrementa una unidad de 2 a 3, y se incrementa de 1 a 3, un cambio de dos unidades. Si X se incrementa de 2 a 10, o (10 - 2) = 8 unidades, entonces y se incre­menta de 1 a 17 o (17 - 1) = 16 unidades; es decir, un aumento de 16 unidades en Y corresponde a un aumento de 8 unidades en X o y se incrementa dos unidades por cada incremento de una unidad en X.

FIGURA 13-4

16-

12-

8-

4 ^

Problemas resueltos • 291

En general, si A Y denota el cambio en y debido a un cambio en Xde AX. entonces d cambio en Y por unidad de cambio en X está dado por A17AX = 2. Esto se llama la pen­diente de la recta y siempre es igual a a, en la ecuación Y=a0 + a,X. La constante oo es la intersección en y de la recta [véase el inciso c)]. La pregunta anterior también puede responderse directamente de la gráfica de la figura 13-4.

1 3 . 3 a) Muestre que la ecuación de una recta que pasa por los puntos (X, ,y , ) y (X2,Y2) está dada por

Y-Yx=-?—±{X-Xx)

b) Encuentre la ecuación de una recta que pasa por los puntos (2, - 3 ) y (4, - 5 ) .

S O L U C I Ó N

a) La ecuación de una recta es

Dado que ( X , ^ ) está en la recta,

Dado que (X 2,K 2) está en la recta,

y = a 0 + aiX (29)

y, = a0 + a,X, (30)

Y2 = a0 + a¡X2 (31)

Restando la ecuación (30) de la (29),

y - y ^ C Í X - X , ) (32)

Restando la ecuación (50) de la (31),

y 2 - y , = a , ( X 2 - X , ) o a , = ^ — ^

X2 - Ai

Sustituyendo este valor de a, en la ecuación (32) se obtiene

y 2 - y ,

como se requirió. La cantidad

Y, -Y,

x2 -x,

Y} - y ,

x2 -x, que suele abreviarse como m, representa el cambio en Y, dividido entre el cambio correspondiente en X y es la pendiente de la línea. La ecuación requerida puede escribirse Y— Y\= m(X-Xx).

b) P r imer método [usando el resultado del inciso a)]

Correspondiente al primer punto (2, -3) , se tiene X, = 2 y Y, = -3 ; correspondiente al segundo punto (4, 5), se tiene X 2 = 4 y Y2 = 5. Por lo tanto, la pendiente es

2 W L = 5 - i - 3 ) = 8 =

X2-Xi 4 - 2 2

y la ecuación requerida es

y - y , = m ( X - X , ) o y - ( - 3 ) = 4 ( X - 2 )

que puede escribirse Y + 3 = 4(X - 2) o Y - 4X - 11.

S e g u n d o método [con el método del problema 13.1Í»)]

La ecuación de la recta es Y = a 0 + a\X. Dado que el punto 12. -31 está ea ta mam -3 = a0 + 2a, y que el punto (4, 5) está en la recta 5=a, + 4a¿lesarneaa: a » »

2 92 Z-: _ . C '2 • A j u s t e d e curvas y el método de mínimos cuadrados

ecuaciones simultáneamente se obtiene a, = 4 y a0 = - 1 1 . Entonces, la ecuaciós requerida es

y = - l l + 4 X o y = 4 X - l l

1 3 . 4 Dé una interpretación gráfica de la respuesta dada en el problema 13.3a).

S O L U C I Ó N

La figura 13-5 muestra la recta que pasa por los puntos P y Q, que tienen las coordenaci.-(X,, Y¡) y (X2, Y2), respectivamente. El punto R, con coordenadas (X, Y), representa c:r: punto de esta recta.

FIGURA 13-5

Y-Y,

De los triángulos semejantes PRT y PQS

RT_QS Y

YP~~SP (33)

X — X\ X2 — X\

Entonces, multiplicando ambos lados por X - X,,

Y,-Y, Y-Yj=— L ( X - X , )

X2 - X, que es la ecuación requerida de la recta.

Obsérvese que cada uno de los cocientes en la ecuación (33) es la pendiente m; esto puede expresarse como Y - Y, = m(X-Xt).

1 3 . 5 Calcule a) la pendiente, b) la ecuación, c) la intersección en Y y d) la intersección en X de la línea que pasa por los puntos ( 1 , 5) y (4, - 1 ) .

S O L U C I O N

a) (X, = 1, Y¡ = 5) y (X2 = 4, Y2 '= -1) . Entonces

Yr-Y, m = pendiente =

- 1 - 5 _ -6 _

x2-x, 4 - i - _ r _ _

El signo negativo de la pendiente indica que conforme X aumenta Y disminuye, como se muestra en la figura 13-6.

b) La ecuación de la recta es

Y-Yl = m(X-Xí) o y - 5 = - 2 ( X - l )

Estoes, y - 5 = -2X + 2 o y = 7 - 2 X

Esto también puede obtenerse por medio del segundo método del problema 13.3¿>).

c) La intersección en Y, que es el valor de y cuando X = 0, está dada por Y= 1 - 2(0) = 7. Esto también puede verse directamente en la figura 13.6.

Problemas resueftos •

d) La intersección en X es el valor de X cuando Y = 0. Sustituyendo Y = 0 en la ecuación Y = 7 - 2X se obtiene 0 = 7 - 2 X o 2 X = 7 y X = 3.5. Esto también puede verse directamente en la figura 13-6.

1 3 . 6 Encuentre la ecuación de una recta que pasa por el punto (4, 2) y es paralela a la r e c t a 2 X + 3 r = 6 .

S O L U C I Ó N

Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales. A partir de 2X + 3Y= 6 se obtiene 3 Y = 6 - 2X o Y = 2 - § X, de tal modo que la pendiente de la recta es m = - § . Entonces, la ecuación requerida de la recta es

Y-Yt = m(X-X,) o K - 2 = - | ( X - 4 )

que también puede escribirse 2X + 3Y = 14.

Otro método

Cualquier recta paralela a 2X + 3Y = 6 tiene la ecuación 2X + 3Y = c. Para calcular c, sean X = 4 y K = 2. Entonces, 2(4) + 3(2) = c o c = 14; la ecuación requerida es 2X + 3K= 14.

1 3 . 7 Busque la ecuación de una recta cuya pendiente es -A y cuya intersección en Kes 16.

SOLUCIÓN

En la ecuación Y = a0 + axX, a0 = 16 es la intersección en Y y a, = -4 es la pendiente. Por tanto, la ecuación requerida es Y = 16 - 4X.

1 3 . 8 a) Construya una recta que se aproxime a los datos de la tabla 13-2.

b) Encuentre una ecuación para esta recta.

T a b l a 1 3 - 2

X 1 3 4 6 8 9 11 14

Y 1 2 4 4 5 7 8 9

SOLUCIÓN

a) Grafique los puntos (1, 1), (3, 2), (4, 4), (6, 4), (8, 5), (9, 7), (11, 8) y (14, 9) en un sistema rectangular de coordenadas, como se muestra en la figura 13-7. En la figura está dibujada a mano una recta que se aproxima a los datos. Para conocer un método que elimina la necesidad del juicio personal véase el problema 13.11, en donde se utiliza el método de mínimos cuadrados.

- T — CAtîïïUUD 13 • Ajusfe de curvas y el método de mínimos cuadrados

FIGURA 13-7 10-

8-

6-

4-

2 -

i — i — i — i — i — i — i — i — i — i — i — i — i — i — X 2 4 6 8 10 12 14

b) Para obtener la ecuación de la recta construida en el inciso a), elija cualesqu i c -puntos de la recta, como P y Q; las coordenadas de los puntos P y Q, de acuerde ; : la gráfica, son aproximadamente (0, 1) y (12, 7.5). La ecuación de la recta es >'= a a,X. Entonces, para el punto (0, 1) se tiene 1 = a 0 + cJi(O) y para el punto (12,7.5 = Í J 0 + 12ai; puesto que la primera ecuación resulta en a 0 = 1, la segunda es ei 6.5/12 = 0.542. Luego, la ecuación requerida es Y= 1 + 0.542X.

Otro método

Por lo tanto, Y= 1 + 0.542X.

1 3 . 9 a) Compare los valores de Y obtenidos a partir de la recta de aproximación ce -aquellos dados en la tabla 13-2.

b) Estime el valor de Y cuando X = 10.

S O L U C I Ó N

a) ParaX = 1, Y = 1 + 0.542(1) = 1.542 o 1.5. ParaX = 3, Y= 1 + 0.542(3) = 2.626 o 2.6 Los valores de Y correspondientes a otros valores de X pueden obtenerse de mane:; similar. Los valores de Y estimados a partir de la ecuación Y= 1 + 0.542X se denotar. por y c s t . Estos valores estimados, junto con los datos reales de la tabla 13-2, se pre­sentan en la tabla 13-3.

b) El valor estimado de Y cuando X = 10 es Y= 1 + 0.542(10) = 6.42 o 6.4.

T a b l a 1 3 - 3

X 1 3 4 6 8 9 11 14 .

Y 1 2 4 4 5 7 8 9

est 1.5 2.6 3.2 4.3 5.3 5.9 7.0 8.6

1 3 . 1 0 La tabla 13-4 contiene las estaturas redondeadas en pulgadas (pulg) y los pesos redondeados en libras (Ib), de una muestra de 12 estudiantes hombres obtenida al azar de los estudiantes del primer año de la universidad estatal.

T a b l a 1 3 - 4

Estatura X (pulg) 70 63 72 60 66 70 74 65 62 67 65 68

Peso'y (Ib) 155 150 180 135 156 168 178 160 132 145 139 152

a) Obtenga un diagrama de dispersión de los datos.

b) Construya una recta que se aproxime a los datos.

Problemas resuelta • 295

c) Encuentre la ecuación de la recta construida en el inciso b).

d) Estime el peso de un estudiante cuya estatura es de 63 pulg.

e) Calcule la estatura de un estudiante cuyo peso es de 168 Ib.

SOLUCION

a) El diagrama de dispersión mostrado en la figura 13-8 se obtiene al graficar los puntos (70, 155), (63, 150),..., (68, 152).

b) En la figura 13-8 se muestra una recta que se aproxima a los datos. Ésta es sólo una de las muchas rectas posibles que podían haberse construido.

c) Elija cualesquiera dos puntos sobre la recta construida en el inciso b), como P y Q, por ejemplo. Las coordenadas de estos puntos, como se ve en la gráfica, son aproxi­madamente (60, 130) y (72, 170). Por lo tanto

Y, - Y, (X-Xi 130

170-130 7 2 - 6 0

(X - 60) X2-Xl

d) Si X = 63, entonces Y = ¥ (63) - 70 = 140 Ib.

é) Si Y= 168, luego 168 = %X- 70 ,^X = 238 y X = 71.4 o 71 pulg.

Y ^ X - 7 0

FIGURA 13-8

o (O a

190

180

1 7 0 i

160

150

140

130

120

•'a

i — i — i — i — i — i — i — i — r ~ 60 62 64 66 68 70 72 74 76

E s t a t u r a ( p u l g a d a s )

La r e c t a d e mínimos c u a d r a d o s

13 .11 Ajuste una recta de mín imos cuadrados a los datos del problema 13.8 usando a) X como la variable independiente y b) X como la variable dependiente.

SOLUCIÓN

a) La ecuación de la recta es Y = a 0 + a¡X- Las ecuaciones normales son

£ Y = a0N +al¿~2X

¿ZXY = aol2X + ^Y,X1

El procedimiento para calcular las sumas puede ordenarse como en la tab'. -A pesar de que la columna en el extremo derecho no se requiere para esta paite del problema, se agregó a la tabla para utilizarla en b).

Dado que hay ocho pares de valores de X y Y, N = 8, y las ecuaciones noracaies se convierten en

8ao + 56a, = 40

56ao + 524a, = 364

CAPITULO 13 • Ajuste de curvas y el método de mínimos cuadrados

Resolviendo simultáneamente, a0 = t i o 0.545; a¡ = r i o 0.636; la recta de minia cuadrados requerida es Y = u + uX o Y = 0.545 + 0.636X.

T a b l a 1 3 - 5

X Y X 2 XY Y1

1 1 1 1 1 3 2 9 6 4 4 4 16 16 16 6 4 36 24 16 8 5 64 40 25 9 7 81 63 49

11 8 121 88 64 14 9 196 126 81

ZX = 56 E 7 = 40 }~2 X2 = 524 ¿ZXY = 364 E Y2 = 256

Otro método

aY)(.XX2)-(ZX)aXY) (40X524)- (56)(364) 6 • = — o 0.543 i V l ^ - f l A - f (8)(524)-(56) 2

A T Z X r - ( S X ) g ; y ) (8X364) -(56)(40) 7 . . . . a, = —; ——;— = :— = — o 0.636

N1X2-(IX)2 (8)(524)-(56) 2 11

Entonces, Y=a0 + a)X oY = 0.545 + 0.636X, como antes.

b) Si se considera X como la variable dependiente y Y como la variable independie la ecuación de la recta de mínimos cuadrados es X= b0 + b,Yy las ecuaciones norma­les son

E X =b0N +b]¿ZY

E^Y = b 0 Z Y + bl2ZY2

Entonces, de la tabla 13-5, las ecuaciones normales se convierten en

8¿>o + 40fc, = 56

40¿>0 + 256¿, = 364

de donde b¡¡ = - j o -0.50 y b¡ = § o 1.50. Estos valores también se pueden obtener de

b = ( E * ) ( E Y2) - ( E n ( E XY) = (56)(256) - (40)(364) = _ Q

N E Y2 - ( E n 2 ' (8) (256) - (40) 2

¿ _ N E ^ - ( E * ) ( E y ) (8)(364) - (56)(40) _ { ¡ Q

' N}Z Y2 - ( E K ) 2 (8)(256) - (40) 2

Por lo tanto, la ecuación dé la recta de mínimos cuadrados requerida es X = b0 + b,Y o X = -0.50+ 1.50y.

Obsérvese que al resolver esta ecuación para y se obtiene Y= 3 + § l o y = 0.333 + 0.667X, que no es igual a la recta obtenida en el inciso a).

1 3 . 1 2 Para los datos de estatura/peso del problema 13.10, suponga que la estatura sea la variable independiente y utilice Mini tab para calcular la recta de mín imos cuadra­dos. Grafique los valores de los datos observados y los puntos sobre la recta de mín imos cuadrados en la misma gráfica.

Problemas resueltos • 297

FIGURA 13-9

SOLUCIÓN

A continuación se muestran los resultados de Minitab. El comando regress c2 on 1 va­r i ab l e i n o í produce la ecuación de la recta de mínimos cuadrados, weight = -60.7 + 3.22 height . Para apreciar completamente el poder del software, vea los cálculos necesarios para encontrar la ecuación de la recta de mínimos cuadrados, como ocurre en el problema 13.17.

MTB > p r i n t e l c2

Data D i s p l a y

ROW h e i g h t w e i g h t

1 70 155 2 63 150 3 72 180 4 60 135 5 66 156 6 70 168 7 74 178 8 65 160 9 62 132

10 67 145 11 65 139 12 68 152

MTB > r e g r e s s c2 on 1 v a r i a b l e i n c l

R e g r e s s i o n A n a l y s i s

The regression equation is

weight = - 60.7 + 3.22 height En la figura 13-9 los valores de los datos observados se muestran como círculos y los

puntos predichos, dados por la recta de mínimos cuadrados, se muestran como signos de más.

180

170

160

150 -

140

130

o

• +

•

+

+ •

• + + •

60 - 1 r~ 65 70

E s t a t u r a

75

1 3 . 1 3 a) Muestre que las dos rectas de mín imos cuadrados obtenidas en el problema 13.11 se intersectan en el punto (X, Y).

b) Estime el valor de Y cuando X = 12. c) Calcule el valor de X cuando Y - 3.

S O L U C I Ó N

N 8 ' - E Y 40 .

Por lo tanto, el punto (X, Y), denominado centroide, es (7,

U L O ? 3 • Ajusfe de curvas y el método de mínimos cuadrados

a) El punto (7, 5) está en la recta Y= 0.545 + 0.636X o con mayor exactitud Y= u + rX.] dado que 5 = f i + n(7) . El punto (7, 5) está en la recta X = - s + 1Y, pues;: - i + 1(5).

Otro método

Las ecuaciones de las dos rectas son Y = fí + n X y X = - 2 + | y. Resolviese»] simultáneamente, se obtiene que X = 1 y Y =5. Por lo tanto, las rectas se interseca en el punto (7, 5).

b) Sustituyendo X = 12 en la recta de regresión de Y (problema 13.11), Y = 0 : 0.636(12) = 8.2.

c) Poniendo Y= 3 en larecta de regresión deX (problema 13.11), X = -0.50 + 1 5 4.0.

1 3 . 1 4 Pruebe que las rectas de mín imos cuadrados pasan siempre por el punto (X, I

SOLUCIÓN

C a s o 1 (X es la variable independiente)

La ecuación de la recta de mínimos cuadrados es

Y = a0 + atX

Una ecuación normal para la recta de mínimos cuadrados es

XY=a0N+a] I x (U|j

Dividiendo ambos lados de la ecuación (35) entre N da

Y = a0 + a,X (36>!

Restando la ecuación (36) de la ecuación (34), la recta de mínimos cuadrados puede e birse

r - F = a , ( X - X ) (J7>

que muestra que la recta pasa por el punto (X, Y).

C a s o 2 (/es la variable independiente)

Procediendo como en el caso 1, pero intercambiando X y y lo mismo que sustituyendo las constantes a0 y a¡ por b0 y bx, respectivamente, se encuentra que la recta de mínimos cuadrados puede escribirse

X - X = fc,(y-F) I . Í -

que indica que la recta pasa por el punto (X, Y).

Nótese que las rectas (37) y (38) no son coincidentes, pero se intersecan en (X, Y).

1 3 . 1 5 a) Considerando a X como la variable independiente, muestre que la ecuación de la recta de mín imos cuadrados puede escribirse

(Y. xy\ (E*Y

donde jc = X - X y y = Y-Y.

b) Si X - 0, pruebe que la recta de mín imos cuadrados del inciso a) puede escri­birse

Problemas resuehc: •

c) Escriba la ecuación de la recta de mínimos cuadrados correspondiente al nK*-so a) si Yes la variable independiente.

d) Verifique que las rectas en los incisos a) y c) no son necesariamente las mismas.

S O L U C I Ó N

a) La ecuación (37) puede escribirse y = a\X, donde x = X-Xyy=Y-Y. Además, de la solución simultánea de las ecuaciones normales (18) se tiene

NZXY-(1X)(1Y) _ Nl(x + X)(y + YJ-[l(x + Xy][l(y + Y)] NIX2-(IX)2 N2Z(x + X)2-[I(x + X)]2

_N22(xy + xY + Xy + XY)-(Y;x + NX){Zy + NY)

N E (x2 + 2XX + X2)-CL,X + NX)2

N22xy + MYZx + NX2Zy + X2XY-(2Zx + NX)(22y + NY)

N¿Zx2 + 2NX £ > + N2X2 - ( E * + NX)2

PeroX* = X (X-X) = 0y X y =X (Y- F) = 0; por lo tanto, lo anterior se simplifica a

_NZxy + N2XY - N2XY _¿Zxy "y~ N E x2 + N2X2 - N2X2 ~¿Zx2

Esto también puede escribirse como

¿Z xy _E x(Y ~ Y) Z xY - Y 2Zx _E xY

° l ' E x 2 E * 2 E * 2 Ex2

Por lo tanto, la recta de mínimos cuadrados es y = a,x; esto es,

a partir de b) SiX=0,x = X-X = X. Entonces, a partir de

y

setiene y = l ^ - ± L ) X o Y = Y + f ^ Z ) x V E * 2

Otro método

Las ecuaciones normales de la recta de mínimos cuadrados Y= aQ + atX son

XY = a0N + aiXx y X XY = a0 X X + a, X X2

Si X = ( X AT/JV = 0, entonces X X = 0 y las ecuaciones normales se convierten en

lY=aoN y l X Y = a i l x 2

Y Y - Y.XY de donde ÜQ = = Y y a, = ^ ^ 2

Por lo tanto, la ecuación de la recta de mínimos cuadrados requerida es

Y = a0 + a[X o Y=Y+(^pjX

c) Intercambiando X y Y o x y y, se puede mostrar como en el inciso a) que

Z-'-~..Z 13 • Ajusfe de curvas y el método de mínimos cuadrados

d) Del inciso a), la recta de mínimos cuadrados es

Del inciso c), la recta de mínimos cuadrados es

E xy (4 i

r, A Yxy,Yy Dado que, „ , t ^

E ^ E ^

las rectas de mínimos cuadrados (39) y (40) son diferentes en general. Obsérvese, sin embargo, que se intersecan en x = 0 y y = 0 [es decir, en el punto (X, Y)].

1 3 . 1 6 Si X'= X + AyY'-Y+B, donde Ay B son cualesquiera constantes, pruebe que

n ^ x y - j t , x)(J2 y) _n z x'y' - ( E *')(E r') E * 2 - (E * ) 2 * E - (E * ' ) 2

S O L U C I O N

x' = X'- X' = (X + A)-(X + A) = X- X =x

y' = Y' - Y' = (Y + B) - (Y + B) = Y - Y = y

E *y _ E x'y' Entonces E * 2 E x'2

y el resultado se obtiene a partir del problema 13.15. Un resultado similar es válido para bh

Este resultado es útil, ya que permite simplificar cálculos para obtener la recta de regresión restando constantes adecuadas de las variables Xy Y (véase el segundo método del problema 13.17).

Nota: El resultado no es válido si X' = C\X + A y Y' = c2Y + B, a menos que Cj = c2.

1 3 . 1 7 Ajuste una recta de mín imos cuadrados a los datos del problema 13.10 utilizando a) X como variable independiente y b) X como variable dependiente.

SOLUCIÓN

Pr imer método

a) Del problema 13.15a), la recta requerida es

donde x = X - Xy y = Y - Y. El trabajo requerido para calcular las sumas puede ordenarse como en la tabla 13-6. De las dos primeras columnas, se encuentra que X = 802/12 = 66.8 y Y = 1 850/12 = 154.2. La última columna se agregó para utilizar­la en el inciso b).

Problemas resueltos • 301

T a b l a 1 3 - 6

Estatura X Peso Y x = X-X y= Y- Y xy x2 2 y

70 155 3.2 0.8 2.56 10.24 0.64 63 150 -3.8 -4.2 15.96 14.44 17.64 72 180 5.2 25.8 134.16 27.04 665.64 60 135 -6.8 -19.2 130.56 46.24 368.64 66 156 -0.8 1.8 -1.44 0.64 3.24 70 168 3.2 13.8 44.16 10.24 190.44 74 178 7.2 23.8 171.36 51.84 566.44 65 160 -1.8 5.8 -10.44 3.24 33.64 62 132 -4.8 -22.2 106.56 23.04 492.84 67 145 0.2 -9.2 -1.84 0.04 84.64 65 139 -1.8 -15.2 27.36 3.24 231.04 68 152 1.2 -2.2 -2.64 1.44 4.84

E X = 802 X = 66.8

£ Y = 1 850 Y = 154.2

£ xy = 616.32 E .v2 = 191.68 X > 2 = 2 659.68

La recta de mínimos cuadrados requerida es

y = | x = 3.22* 191.68

o Y- 154.2 = 3.22(X-66.8), que puede escribirse Y= 3.22X-60.9. Esta ecuación se denomina recta de regresión de Y sobre X y se utiliza para estimar Y a partir de valores dados de X.

b) Si X es la variable dependiente, la recta requerida es

E xy

Y, y2

616.32 2 659.68

y = 0.232;^

que puede escribirse X - 66.8 = 0.232(y- 154.2) o X = 31.0 + 0.232K. Esta ecuación se denomina recta de regresión de X sobre y y es útil para estimar X a partir de valores dados de Y.

Nótese que también puede usarse el método del problema 13.11, si así se desea.

Segundo método

Utilizando el resultado del problema 13.16, se pueden restar constantes adecuadas de X y y. Se decide restar 65 de X y 150 de Y. Entonces, los resultados llegan a ordenarse igual que en la tabla 13-7.

N E X' Y' - ( E * ' ) ( £ Y') _ (12)(708) - (22)(50) «i = 3.22

1 3 . 1 8

N E X'2 - ( E X'f (12)(232) - (22)'

N1X'Y'-(1Y')(ZX') _ (12)(708)-(50)(22) _ Q 2 3 2

' N1Y'2-(1Y')2 (12)(2 868)- (50) 2

Dado que X = 65 + 22/12 = 66.8 y Y = 150 + 50/12 = 154.2, las ecuaciones de regre­sión son y - 154.2 = 3.22(X- 66.8) y X-66 .8 = 0.232(y- 154.2); esto es. )'= 3 22X- 609 y X = 0.232y + 31.0, que coincide con el primer método.

a) En el mismo conjunto de ejes, dibuje las gráficas de las dos rectas del proble­ma 13.17.

b) Estime el peso de un estudiante cuya estatura es de 63 p u l g .

c) Calcule la estatura de un estudiante cuyo peso es de 168 Ib.

FIGURA 13-10

Ajusfe de curvas y el m é t o d o d e mínimos cuadrados

T a b l a 1 3 - 7

X' r' Xa Y'2

5 5 25 25 25 - 2 0 4 0 0

7 30 49 210 900 - 5 -15 25 75 225

1 6 1 6 36 5 18 25 90 324 9 28 81 252 784 0 10 0 0 100

- 3 -18 9 54 324 2 - 5 4 - 1 0 25 0 -11 0 0 121 3 2 9 6 4

E A" = 22 J2 Y' = 50 E X ' 2 = 232 ¿2 X'Y' = 708 £ K ' 2 = 2 868

S O L U C I Ó N

a) Las dos rectas se muestran en la figura 13-10, junto con los puntos de los da:: originales. Obsérvese que se intersecan en (X, Y) o (66.8, 154.2).

— 1 1 1 1 1 1 1 1—

60 62 6 4 66 68 70 7 2 7 4 76 E s t a t u r a ( p u l g a d a s )

b) Para estimar Y a partir de X utilice la recta de regresión de Y sobre X dada en e problema 13.17 como Y= 3.22X - 60.9. Entonces, si X= 63, Y = 3.22(63) - 60.9 ; 142 Ib.

c) Para encontrar X a partir de Y, use la recta de regresión de X sobre Y dada en e problema 13.17 como X= 31.0 + 0.232 Y. Luego, si Y= 168, X= 31.0 + 0.232(1681 : 70.0 pulg.

Los resultados de los incisos b) y c) deben compararse con los del problema 13.1' incisos d) y e).

A p l i c a c i o n e s a ser ies d e t i e m p o

1 3 . 1 9 En la tabla 13-8 se presenta el valor total de los cultivos en Estados Unidos, en miles de millones de dólares, de 1989 a 1995. Uti l ice un software estadíst ico par¿ hacer lo siguiente:

Problemas resueltos • 3 0 3

T a b l a 1 3 - 8

Año 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Valor total 660.0 671.4 688.0 695.5 717.1 759.2 807.0

Fuente: U.S. Department of Agriculture, Economic Research Service.

a) Grafique los datos

b) Encuentre la ecuación de la recta de mín imos cuadrados que se ajuste a los datos.

c) Estime el valor de los cultivos en Estados Unidos en 1988 y compáre lo con el valor de $626.8 m i l millones.

d) Calcule el valor de los cultivos en Estados Unidos en 1996 y compáre lo con el valor de $859.7 m i l millones.

SOLUCION

a)

FIGURA 13-11

La línea continua en la figura 13-11 muestra una gráfica de los datos para la tabla 13-8, y la línea discontinua indica la gráfica de la recta de mínimos cuadrados.

8 0 0

•slores de cultivos totales ae Estados Unidos, en *b es de millones de dólares. 7 0 0

6 0 0 -

1 1 1 1988 1989 1990 1991

- 1 1 1 1 1 1992 1993 1994 1995 1996

A ñ o

b) El siguiente resultado parcial de Minitab ofrece la solución de la recta de cuadrados:

Data D i s p l a y

Row Year Value 1 1989 660.0 2 1990 671.4 3 1991 688.0 4 1992 695.5 5 1993 717 . 1 6 1994 759.2 7 1995 807.0 MTB > r e g r e s s c2 on 1 v a r i a b l e i n c l

Regression Analysis

The regression equation is

Value =-45222.914286 + 23.060714 Year La tabla 13-9 incluye los valores ajustados y ¡os residuales paca i »

tabla 13-8. Los valores ajustados se obtienen sustituyendo d año en la « regresión (ecuación para la recta de mínimos cuadrados). Por e j e^Éo . -€5 .

Ajusfe de curvas y el método de mínimos cuadrados

+ 23.060714 (1989) = 644.846. El residual es igual al valor menos el valor ijii T—th» Los residuales indican qué tan bien se ajusta la recta de mínimos cuadrad: i i valores reales de los datos.

T a b l a 1 3 - 9

Año Valor Valor ajustado Residual

1989 660.0 644.846 15.1536 1990 671.4 667.907 3.4929 1991 688.0 690.968 -2.9679 1992 695.5 714.029 -18.5286 1993 717.1 737.089 -19.9893 1994 759.2 760.150 -0.9500 1995 807.0 783.211 23.7893

Con frecuencia los años se codifican antes de analizar los datos. El siguí resultado de Minitab ilustra el análisis usando valores codificados para los años

Data D i s p l a y

Row Y e a r - c o d e d V a l u e

1 0 660 .0 2 1 671 .4 3 2 688 .0 4 3 695 .5 5 4 7 1 7 . 1 6 5 759.2 7 6 807 .0

MTB > r e g r e s s c2 on 1 v a r i a b l e i n c l

The regression equation is

V a l u e = 644.846 + 2 3 . 0 6 1 Y e a r - c o d e d

La tabla 13-10 ofrece los valores ajustados y los residuales para los datos de 1; tabla 13-8, usando los valores codificados para los años.

T a b l a 1 3 - 1 0

Año codificado Valor Valor ajustado Residual

0 660.0 644.846 15.1536 1 671.4 667.907 3.4929 2 688.0 690.968 -2.9679 3 695.5 714.029 -18.5286 4 717.1 737.089 -19.9893 5 759.2 760.150 -0.9500 6 807.0 783.211 23.7893

c) Cualquiera de las ecuaciones de mínimos cuadrados obtenidas en el inciso b) puede usarse para estimar el valor total de los cultivos en 1988. La ecuación obtenida utilizando los años sin codificar es Valor = -45 222.914286 + 23.060714 (1988) o $621.8 mil millones. El valor real es $626.8 mil millones y el residual es 626.8 - 621.8 = $5 mil millones. La ecuación obtenida usando el valor codificado es Valor = 644.846 + 23.061 (—1) = 621.8. Obsérvese que, utilizando el esquema de codifica­ción, 1988 se codifica como-1.

Problemas resueltos • 3 8 5

d) Cualquiera de las ecuaciones de mínimos cuadrados obtenidas en d r a e r » r usarse para estimar el valor total de los cultivos en 1996. La ecuación otitcaada —ÉV zando los años sin codificar es Valor = -45 222.914286 + 23.060714(1996) o $306-27 mil millones. El valor real es $859.7 mil millones y el residual es 85v ~ - ; - i' -$53.43 mil millones. La ecuación resultante usando el valor codificado es Vaie: = 644.846 + 23.061(7) = $806.27. Obsérvese que, usando el esquema de codificación. 1996 se codifica como 7.

1 3 . 2 0 La tabla 13-11 muestra el poder de compra del dólar, medido por los precios al consumidor, de acuerdo con la Agencia de Estadíst icas Laborales, Inspección de Negocios Actuales de Estados Unidos (U.S. Bureau o f Labor Statistics, Survey of Current Business).

T a b l a 13-11

Año 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989

Precios al consumidor 1.003 0.961 0.928 0.913 0.880 0.846 0.807

Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

Precios al consumidor 0.766 0.734 0.713 0.692 0.675 0.656 0.638

Fuente: U.S. Bureau of Labor Statistics, Survey of Current Business.

d) Grafique los datos.

b) Encuentre la ecuación de la recta de m í n i m o s cuadrados, ajusfando los datos al calcular la ecuación de la recta de tendencia y usando Mini tab para encon­trar la ecuación de la recta de tendencia.

c) Prediga el poder de compra para 1998, bajo el supuesto de que la tendencia cont inúa.

SOLUCIÓN

a) La línea continua de la figura 13-12 muestra una gráfica de los datos de la tabla 13-11 y la línea discontinua, la gráfica de la recta de mínimos cuadrados.

FIGURA 13-12

o. E o o 0) •o i— O) •o o Q.

0.99

0 .94

0.89

0 .84

0 .79

0 .74

0.69

0 .64

0.59

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1981 1983 1 9 8 5 1 9 8 7 1 9 8 9 1 9 9 1 1 9 9 3 1 9 9 5 1 9 9 7 1 9 9 9

A ñ o

b) Los cálculos para encontrar la recta de tendencia se muestran en la tabla 13-12- La ecuación es y = ( X *y/X x*)x, donde x = X-X yy=Y-Y, que puede escribarse d é l a siguiente manera:

Y - 0.801 = -0.0289(X - 6.5) o Y= -0.0289X + O J O »

3 0 6 CAPÍTULO 73 • Ajusfe de curvas y el método de mínimos cuadrados

T a b l a 1 3 - 1 2

Año X Y x = X-X y=Y-Y x2 xy

1983 0 1.003 -6.5 0.202 42.25 -1.3130 1984 1 0.961 -5.5 0.160 30.25 -0.8800 1985 2 0.928 -4.5 0.127 20.25 -0.5715 1986 3 0.913 -3.5 0.112 12.25 -0.3920 1987 4 0.880 -2.5 0.079 6.25 -0.1975 1988 5 0.846 -1.5 0.045 2.25 -0.0675 1989 6 0.807 -0,5 0.006 0.25 -0.0030 1990 7 0.766 0.5 -0.035 0.25 -0.0175 1991 8 0.734 1.5 -0.067 2.25 -0.1005 1992 9 0.713 2.5 -0.088 6.25 -0.2200 1993 10 0.692 3.5 -0.109 12.25 -0.3815 1994 11 0.675 4.5 -0.126 20.25 -0.5670 1995 12 0.656 5.5 -0.145 30.25 -0.7975 1996 13 0.638 6.5 -0.163 42.25 -1.0595

E * = 91 E Y = 11.212 E * 2 = E xy = X = 6.5 Y = 0.801 227.50 -6.5680

La solución de Minitab se obtiene de la siguiente manera: Los valores X codifi­cados se ponen en la columna C l y los valores Kdel poder de compra se ponen en la columna C2.

MTB > R e g r e s s ' P u r c h a s i n g power ' 1 ' Y e a r ' ;

R e g r e s s i o n A n a l y s i s

The regression equation is

P u r c h a s i n g power = 0.989 - 0.0289 Y e a r

La tabla 13-13 incluye los valores ajustados y los residuales para la recta de tendenc i

c) El poder de compra predicho para 1998 es 0.989 - 0.0289(15) = 0.556.

T a b l a 1 3 - 1 3

Año Poder

de compra Valor ajustado Residual

1983 1.003 0.989 0.014 1984 0.961 0.960 0.001 1985 0.928 0.931 -0.003 1986 0.913 0.902 0.011 1987 0.880 0.873 0.007 1988 0.846 0.844 0.002 1989 0.807 0.815 -0.008 1990 0.766 0.786 -0.020 1991 0.734 0.758 -0.024 1992 0.713 0.729 -0.016 1993 0.692 0.700 -0.008 1994 0.675 0.671 0.004 1995 0.656 0.642 0.014 1996 0.638 0.613 0.025

Problemas resueltos • 307

Ecuaciones n o l i n e a l e s r e d u c i b l e s a u n a f o r m a l i n e a l

13 .21 En la tabla 13-14 se presentan valores experimentales de la presión P de una masa de gas dada, correspondientes a diversos valores del volumen V. De acuerdo con los principios te rmodinámicos , debe existir una relación entre las variables en la forma PVy = C, donde y y C son constantes.

a) Calcule los valores de y y C.

b) Escriba la ecuación que relacione P y V.

c) Estime P cuando V = 100.0 pulg 3 .

T a b l a 1 3 - 1 4

Volumen V en pulgadas cúbicas (pulg3) 54.3 61.8 72.4 88.7 118.6 194.0

Presión P en libras por pulgada cuadrada (lb/pulg2) 61.2 49.2 37.6 28.4 19.2 10.1

SOLUCION

Dado que PV = C, se tiene

log P + y log V= log C o log P = log C-y log V

Llamando a log V = X y a log P = Y, la última ecuación puede escribirse

Y = a0 + a,X

donde a0 = log C y a, = -y.

(41)

La tabla 13-15 proporciona X = log V y Y = log P, correspondientes a los valores de V y F de la tabla 13-14, y también indica los cálculos considerados para obtener la recta de mínimos cuadrados (41). Las ecuaciones normales correspondientes a la recta de míni­mos cuadrados (41) son

lY=aoN + a i l x y

de donde

Y XY = aoT X + aiX X2

N}ZXY-(Y: Y) = -1.40 ( E y)(E x1) - ( E x){¿Z XY) =

E * 2 - ( E x)2

Portante, y = 4 . 2 0 - 1.40X.

a) Dado que a0 = 4.20 = log C y a, = -1.40 = -y, C = 1.60 X 104 y y = 1.40.

b) La ecuación requerida, en términos de P y V, puede escribirse PViA0 = 16 000.

c) Cuando V = 100, X = log V = 2 y y = log P = 4.20 - 1.40(2) = 1.40. Entonces, P •• antilog 1.40 = 25.1 lb/pulg 2.

T a b l a 1 3 - 1 5

X = log V y = \ogP X 2 x y

1.7348 1.7868 3.0095 3.0997

1.7910 1.6946 3.2077 3.0350

1.8597 1.5752 3.4585 2.9294

1.9479 1.4533 3.7943 2.830»

2.0741 1.2833 4.3019 2-6617

2.2878 1.0043 5.2340

E X = 11.6953 E Y = 8.7975 E X2 = 23.005» i - - -

I

3 0 8 CAPITULO 13 • Ajuste de curvas y el método de mínimos cuadrados

1 3 . 2 2 Resuelva el problema 13.21 graneando los datos en papel gráfico log-log.

SOLUCIÓN

Primero se obtiene un punto por cada par de valores de la presión P y el volumen Vd< tabla 13-14 y se grafican estos puntos en papel gráfico log-log, tal como se muestra er figura 13-13. Después se traza una recta que aproxime estos puntos (la recta de la figi 13-13 está dibujada a mano). La gráfica resultante muestra que existe una relación lin entre log P y log V, que puede representarse por medio de la ecuación

log P = a0 + a¡ log V o Y=a0 + a\X

FIGURA 13-13

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 160 200 250 M

Volumen V

La pendiente a¡, que en este caso es negativa, está dada numéricamente por el c cíente de las longitudes de AB entre AC (usando la unidad de longitud apropiada), medida en este caso da a¡ = -1.4.

Para obtener a0 se requiere un punto de la recta. Por ejemplo, cuando V = 100 en gráfica, P = 25; por lo tanto, a 0 = log P - a, log V = log 25+1.4 log 100 = 1.4 + (1.4)1 = 4.2; en consecuencia, log P + 1.4 log V = 4.2, log PVlA = 4.2 y PV'A = 16 000.

La parábola d e mínimos c u a d r a d o s

1 3 . 2 3 La tabla 13-16 muestra la población de Estados Unidos en millones, en interval de 5 años, de 1950 a 1995. Ajuste una recta, as í como una parábola a los datos, comente sobre los dos ajustes. Uti l ice ambos modelos para predecir la poblacu de Estados Unidos en el 2000.

Problemas resueltos • 3 0 9

T a b l a 1 3 - 1 6

Año 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

Población 152 166 181 194 205 216 228 238 250 263

Fuente: U.S. Bureau of Census.

SOLUCIÓN

A continuación se muestra un impreso parcial de la solución de Minitab para la recta de mínimos cuadrados y la parábola de mínimos cuadrados:

Row Year Popula t ion X xsquare

1 1950 152 0 0 2 • 1955 166 1 1 3 1960 181 2 4 4 1965 194 3 9 5 1970 205 4 16 6 1975 216 5 25 7 1980 228 6 36 8 1985 238 7 49 9 1990 250 8 64

10 1995 263 9 81

MTB >Regres s ' p o p u l a t i o n ' on 1 p r e d i c t o r ' x '

R e g r e s s i o n A n a l y s i s

T h e regression equation is Population » 155 + 12.0 x MTB >Regres s ' p o p u l a t i o n ' on 2 p r e d i c t o r s ' x ' ' x s q u a r e '

R e g r e s s i o n A n a l y s i s

T h e regression equation is Population - 153 + 13.6 x - 0.178 xscruare

La tabla 13-17 muestra los valores ajustados y residuales para el ajuste de la recta a los datos:

T a b l a 1 3 - 1 7

Año Población Valor ajustado Residual

1950 152 155.164 -3.16364 1955 166 167.194 -1.19394 1960 181 179.224 1.77576 1965 194 191.255 2.74545 1970 205 203.285 1.71515 1975 216 215.315 0.68485 1980 228 227.345 0.65455

1985 238 239.376 -1.37576

1990 250 251.406 -1.40606

1995 263 263.436 -0.43636

La tabla 13-18 muestra los valores ajustados y los residuales parada de los datos. La suma de los cuadrados de los residuales para la i de los cuadrados de los residuales para la parábola parábola se ajusta mejor a los datos que la recta.

GAPÍIULO 13 • Ajusfe de curvas y el método de mínimos cuadrados

T a b l a 1 3 - 1 8

Año Población Valor ajustado Residual

1950 152 153.027 -1.02727 1955 166 166.482 -0.48182 1960 181 179.580 1.41970 1965 194 192.323 1.67727 1970 205 204.709 0.29091 1975 216 216.739 -0.73939 1980 228 228.414 -0.41364

1985 238 239.732 -1.73182 1990 250 250.694 -0.69394 1995 263 261.300 1.70000

Para predecir la población en el año 2000, Obsérvese que el valor codificado p 2000 es 10. El valor de la recta predicha es 155 + 12.0(10) = 275 millones y el modele parábola predice lo siguiente: 153 + 13.6(10) - 0.178(100) = 271.2 millones.