PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE GEOMETRIA DIFERENCIAL

1) Hallar 2d dB

A x ; siendo A t i t j (2t 1)k y B (2t 3) i j t kdt dt

; cuando t 1

2) Siendo A t t i j t k y B t t i t j t k( ) ( ) ( ) ( ) ; 2 3 2 12 hallar

d d d(A B) (Bx A)

d t d t d t ;

cuando t = 1.

3) Hallar:

1t

d dA(A B) Bx

dt dt

; siendo: 2 22 1 2 3 1A t i t j ( t )k; B ( t )i t j tk y t

4) Siendo 2 2A (2t 3)i t j tk, B t i tj (1 2t)k y t 1 ; hallar:

t 2

d dA(A B)Bx

dt dt

5) Sean: 2 3A t i t j t k y B i t j (1 t)k ; en t= 1; calcular: (t ) (t ) (t )

(t )

d d((A´ B )) (B´xA )

dt dt; cuando

t= 1.

6) Siendo A x yz i xz j xz k y B z i y j x k hallar

x yA x B 2 3 2 2

2

2 2

en el punto

1,0, 2 .

7) Siendo el vector t 2

2

drr e i Ln(t 1) j Tg t k; hallar

dt

en el punto t=0.

8) Siendo el vector 3u 2

(u) (u) u 0r e i u j Ln(1 u)k; hallar r "

9) Si u v

(u,v)r e i (u v) j u(Sen v)k ; hallar: a) (u)r ; b) (v)r c) (u u)r d) (u) (v)r xr

10) Si 2t 3t

(t )r e A e B ; donde A y B son vectores constantes, demostrar que (t) (t) (t)5r ´ r " 6r 0

11) Resolver: d r

d t

d r

d tr

2

2 4 5 0

12) Hallar la longitud de arco de la curva y=4x2 entre los puntos (0,0) y (1,4)

13) Encontrar la longitud de la curva C, definida por la función vectorial (t)r =3Cost i + 3Sent j 4t k ,

desde (3,0,0) hasta (3,0,8ᴫ)

14) Hallar la longitud de arco de la curva C: z2 + 4y2 – 16y = - 12; x + y = 1; desde el punto t= 0

hasta el punto (0,1,0)

15) Hallar la longitud de arco de la curva C: x2 + y2 = 1 – z2 ; y + z = 1; que recorre desde el punto

(0,1,0) hasta t= 2π.

16) Dada la ecuación de la curva C: y= x2; x3= 3/2 z. Hallar la longitud de arco, en la posición de

(1,1,2/3).

17) Hallar la longitud de arco de la curva C: 2zy = 9x; z = 3y; desde el punto t= 0 hasta el punto

2( ,1,3)3

.

18) Hallar la longitud de la curva C: t t tx e Cost; y e Sent; z 2e ; desde el punto (1,0,1) hasta t=

2.

19)Dadas las curvas C1: t t tx e Cost; y e Sent; z 2e y C2:

2x t 1; y t ; z t 1 . Hallar la

longitud del arco C1; desde el instante en que se intercepta con la curva C2; hasta el punto

(e,eSen t,e) .

20) Determinar la longitud de la curva C; dado por: x= y2, 32

z y3

; desde el vector binormal a C,

que es ortogonal al plano 3x 2z 0 , hasta cuando es paralelo al plano 4x - z = 0

21) Una partícula se mueve a lo largo de la curva r t t t i t t j t t k( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 34 4 8 3 .

Hallar la componente normal de su aceleración en el instante t = 1.

22) Una partícula se mueve a lo largo de la curva x= e- t , y= Ln(t2 + 1), z= - tg t. Hallar los módulos

de las componentes tangencial y normal de su aceleración en el instante t= 0.

23) La aceleración de una partícula en función del tiempo t 0 viene dada por a e i t j Sen t kt 6 1 3( ) . Sabiendo que la velocidad

v y el desplazamiento

r son nulos

en el instante t = 0; hallar v y

r en función del tiempo.

24) Hallar la ecuación simétrica de la recta normal y la ecuación del plano rectificante de la curva C:

x2 + 3y2 = 1; x2 + 3y2 + z2 = 5; en el punto 1 1

( , ,2)2 2

.

25) Hallar la ecuación simétrica de la recta normal y ecuación del plano osculador a la curva 3 2 3x 3t t ;  y 3t ;  z=3t+t . En el punto t = 1.

26) Hallar la ecuación simétrica de la recta normal y la ecuación del plano osculador de la curva C: 2 2 2x z 5; x +y 25 z , en el punto (2,2 3 ,3).

27) Hallar la ecuación simétrica de la recta tangente y la ecuación caresiana del plano normal de la

curva C: 2 2x 2t 1, y t 1, z 3t , en el punto en que corta al plano XZ.

28) Hallar el plano osculador, radio de curvatura, radio de torsión y la circunferencia osculatriz, de la

curva C: 2 2 2 2 2 22x 2y z 9;  x y z 5 , en el punto (2,0,1).

29) En el punto t=1 de la curva C:

32 t

x 2t, y t ; z3

, hallar el radio de torsión

30) Hallar la ecuación simétrica de la recta normal, la ecuación cartesiana del plano osculador, el

radio de curvatura y centro de curvatura de la curva C: z8x ; z23y en el punto 3 1

(1, , )2 8

.

31) Hallar la ecuación del plano rectificante y el radio de curvatura, de la curva C; que resulta de la

intersección de las curvas: x2 + y2 + z2 = 6; x2 + y2 = z; en el punto ( 2,0,2) .

32) Hallar la ecuación del plano osculador; y la ecuación simétrica de la recta normal, en el punto en

que t = 1; si C es la curva formada por las ecuaciones: x t yt

tz

t

t

; ;

1 1 2

33) Hallar el radio de torsión y centro de curvatura de la curva C: (t)r =3Cost i +3Sent j 4t k ; cuando

t= 1

34) Hallar la curvatura de curva de una circunferencia de centro (4,3), radio 2 y altura 2

35) Hallar el radio de curvatura, y torsión de la curva C: 2 2x -2x+ y 2y 2; y-2z 2 , en el punto

(1,-3,-5

2).

36) Hallar la torsión de la curva C: z = 2x2y; z = x + y; en el punto (1,1,2).

37) Sea C una curva definida por la función vectorial 2 2

(t)r 3t - 5 i 5- t j 5+3 t k . Hallar la

ecuación paramétrica de la recta paralela al vector curvatura y que pasa por el punto (1)r ; en

donde el radio de curvatura es mínima.

38) Hallar el radio de curvatura y radio de torsión de la curva

r t sen t i 1 cos t j 4 sen t / 2 k en el punto correspondiente a t = .

39) Hallar el radio de torsión y la evoluta de la función vectorial

21r= arc tag s i+ Ln s 1 j + s - arc tg s k

2 ; cuando s=ᴫ.

40) Hallar el radio de torsión de la curva x= 3Cos(s), y= 3Sen(s) y z= 4s en el punto

correspondiente a s=

41) Hallar el radio de la curvatura, el radio de torsión y la evoluta de la curva C:2 2 2x + y z 25, z 4  ; en el punto (3,-6,4).

42) Hallar la ecuación del plano osculador, radio de torsión y evoluta de la curva x= e t. Cos t, y= e t.Sen t, z= e t ; cuando t= /2.

43) La curva C es la intersección del cilindro x2+y2+2(y-x)-2 = 0 con el plano x-y-2z-2 = 0. Hallar la

evoluta y el radio de torsión en el punto (3,-1,1).

44) Hallar el plano osculador, normal y rectificante, determinada por la curva C: 2 2 2 2 2 2x y z 6;  x y z 4 , en el punto (1,1,2).

45) Dado la curva C: x2 -2x = 2 –y2 -2y ; y – 2z = 2 Hallar la ecuación del plano normal, radio de

curvatura y la torsión en el punto t= 3π/2

46) Hallar la evoluta de la curva C: 1z;)13

s(LnSeny;)1

3

s(LnCos)1

3

s(x

;

cuando s = π

47) Hallar el plano rectificante, radio de curvatura y la torsión de la curva C: t t t

(t)r =e Sen2t i +e Cos2t j + 2e k ; cuando s = 0

48) Hallar el centro de curvatura de la curva C: (t)

4 3r = Cost i +(1 Sent) j Cost k

5 5 ; cuando s = 0

49) Dado la curva C: 2 3x y;  2x = 3z , cuando t=1; hallar: a) Longitud de arco cuando t 0,1 ; b)

El plano osculador, c) Radio de curvatura, d) Radio de torsión y e) Centro de curvatura

50) Hallar la evolúta de la curva C: (s)r =sCos Ln(s) i s j +Sen Ln(s) k ; cuando s = π

51) Hallar el radio de curvatura y evoluta de la curva C: (s)

4 3r = Coss i +(1 Sens)j Cossk

5 5 ; cuando

s = 0

52) Hallar el radio de curvatura, el radio de torsión y la evoluta de la curva C:

4 3

x Cos(s); y 1 sen(s); z Cos(s)s s

; cuando s= 𝛑.

53) Hallar la evoluta de la curva C:

22s 1 sx ; y ; x s 2

s 1 s 1; cuando s= 𝛑.

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Ms. Enrique BELTRAN LAZARO