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MODELOS DE TRANSPORTES NOVIEMBRE 2005

Prof: María Dalila Riveros

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PROBLEMAS RESUELTOS DE MODELOS DE TRANSPORTES

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1 ETAPA 1 GENERACIÓN Producción/Atracción: Etapa que predice los totales de Viajes Producidos (Oferta Oi) y atraídos (Demanda Dj) en base fundamentalmente a las variables socioeconómicas de la población. Los modelos de Generación pueden ser modelos polinómicos o exponenciales y están formados por relaciones funcionales entre los viajes generados y las variables explicativas. Conociendo el valor de las variables explicativas a futuro, se puede estimar la demanda futura de viajes. Variables Producción : Nº de Vehículos T.M. Familia, Ingreso Nº Habitantes / hogar Nº Trabajadores / hogar Variables Atracción : Superficie Comercial Servicios Empleos Transporte Público Edificios Públicos Métodos de Generación

a) Tasa Generación: Se relaciona el número de viajes observados con alguna variable, por ejemplo, uso del suelo.

b) Factor de Crecimiento: Consiste en actualizar el total de viajes con un factor que se obtiene a partir de las variables : población, ingreso, TM, etc. ViajesFuturo=Fi ViajesInicio

ooo

fff

TMiIiPTMiiIiPFi =

c) RLM Regresión Lineal Múltiple: Vi=bo+b1x1+b2x2+.....+bnxn

bo, b1,.... bn Variables independientes.

mNTestTi

ST−−

= ∑ 2)(= Error Estándar

d) Método clasificación cruzada:

Tijk= Tasa de Producción de viajes de hogares de Nivel socioeconómico i, tamaño j, propósito k. Vijk= Nº de viajes de hogares ns e i, tamaño j, propósito k

Nhij= Nº hogares n se i tamaño j. Donde tijk= NhijVijk

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P1 En la comuna de Pelotillehue se está modelando un recorrido de taxis-colectivos a 2 pueblos vecinos. Sea Pi la producción de viajes desde i , y Aj la atracción de viajes hacia j, H nº de habitantes, T nº de trabajadores, E el nº de empleos ofrecidos, C los locales comerciales de cada pueblo, αh tasa de crecimiento anual de habitantes en la ciudad, αe la tasa de crecimiento anual de empleos. Suponga que el 50% de los habitantes pertenecen a la fuerza laboral. determinar: PELOTILLEHUE

1 2 3 H 200 74 200 E 30 22 35 C 5 5 10 αh 3% 2% 3% αe 4% 3% 4%

a) Total de Viajes Producidos y atraídos si Pi = 5 + 0.95 Ti y Aj = 1.2Ej + 6.8Cj Aproxime

sin decimales. Calcule la generación de viajes. b) Sea Vij los viajes generados desde i hacia j con Vij = 0.085 Hi ^0.8 Ej^0.9 dij^(-1.2)

Calcular la matriz de viajes. Aproxime los Vij sin decimales, si las distancias son: Itinerarios a recorrer 0 3.67 1.64

dij 4.25 0 1.91 1.85 2.06 0

c) Determinar la matriz de Factores de crecimiento y la matriz de viajes para 5 años. Recuerde F = V año n V año 0

SOLUCIÓN a) P1 = 5+0.95*100 = 100

P2 = 5+0.95*37 = 40 P3 = 5+0.95*100 = 100 A1 = 1.2*30+6.8*5 = 70 A2 = 1.2*22+6.8*5 = 60 A3 = 1.2*35+6.8*10 = 110

Pi 100 40 100

Ai 70 60 110 240 b) Reemplazando en Vij = 0.085 Hi ^0.8 Ej^0.9 dij^(-1.2)

5

Pi 0 20 80 100 10 0 30 40 60 40 0 100

Ai 70 60 110 240 c)

2,19,08,0

2,19,08,0

085,0

085,0−

−⋅⋅==

ijjoio

jijfifa

ij

fij

dEH

dEH

v

VF

9,08,0

9,058,05 ))1(())1((

joio

ejoPiO

EH

EH

⋅

++ αα

9,05 ))1(())1(( ep αα +⋅+=

( )( ) ( )( ) 28,103,0103,019,058,05

12 =+×+=F ( )( ) ( )( ) 34,104,0103,01

9,058,0513 =+×+=F

( )( ) ( )( ) 29,104,0102,019,058,05

21 =+×+=F ( )( ) ( )( ) 29,104,0102,01

9,058,0523 =+×+=F

( )( ) ( )( ) 28,103,0103,019,058,05

31 =+×+=F ( )( ) ( )( ) 34,104,0103,01

9,058,0531 =+×+=F

Fij

0 1.28 1.34 1.29 0 1.29 1.28 1.34 0

Vij año 5

0 26 107 13 0 39 77 54 0

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P2.- Problema de localización de un centro comercial con 2 zonas que ambas originan y atraen viajes

2−= ijiiiij CDOAV Cij=0,8 dij - 0,001 jε

dij= Distancia recorrida entre i y j y jε =Estacionamientos en j d1j d2j

jε Origen Destino

1 9 13 4200 21.000 22.500 2 15 10 4700 24.000 22.500

SOLUCIÓN El modelo es simplemente acotado en los orígenes

212

2

1

1−

−

= ∑∑∑ =⇒=∴ij

jj

ijj

jiiij CDACDOAV

0,3420001,098,0001,08,0 11111 =×−×=−×= εdC 3,7470001,0158,0001,08,0 21212 =×−×=−×= εdC 2,6420001,0138,0001,08,0 12121 =×−×=−×= εdC 3,3470001,0108,0001,08,0 22222 =×−×=−×= εdC

000342,001877,0500.221111.0500.22

112

1222

1111 =

⋅+⋅=

+⋅= −− CDCD

A

00037719,009183,0500.22026,0500.22

112

2222

2112 =

⋅+⋅=

+⋅= −− CDCD

A

955,171111,0500.22000.21000342,02

1111111 =⋅⋅⋅==∴ −CDOAV 032,301877,0500.22000.21000342,02

1221112 =⋅⋅⋅== −CDOAV 299,5026,0500.22000.2400037719,02

2112221 =⋅⋅⋅== −CDOAV 702,1809185,0500.22000.24000377719,02

2222222 =⋅⋅⋅== −CDOAV

254.2321111 =+= VVD 734.2122122 =+= VVD

17.955 3.032 5.299 18.702 A=D 23.254 21.734 ∴ Mayor atracción de viajes a zona 1, allí se debe construir el Mall

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P1 Se desea obtener una fórmula del tipo V = αpP + αwW + αaA

donde V: Número de viajes, en miles, en vehículo privado, generados en una zona P: Población de la zona en miles de habitantes W: Viviendas en la zona en miles A: Autobuses diarios Se dispone de un conjunto de observaciones realizadas en distintas zonas P W A V 10 3 20 1.960 5 1 10 0.905 25 6 40 4.684 30 6.2 45 5.480 15 4.2 25 2.900 Ajuste un modelo polinómico de generación de viajes SOLUCIÓN El sistema se escribe 10αp + 3αw + 20αa = 1.960 5αp + 1αw + 10αa = 0.905 25αp+ 6αw + 40αa = 4.684 30αp + 6.2αw +45αa =5.480 15αp + 4.2αw +25αa =2.900 cuya solución se realiza mediante matrices transpuestas, sea X * β =Y con Y, X y β vectores β = ( X` * X ) -1 * X` * Y ( X` * X ) * β = X` * Y Donde: X`= es la matriz transpuesta de X X -1 = es la matriz inversa de X 10 5 25 30 15 10 3 20 1.960 αp 3 1 6 6.2 4.4 5 1 10 0.905 αw = 20 10 40 45 25 25 6 40 4.684 αa

30 6.2 45 5.480 15 4.2 25 2.900

10 5 25 30 15 1.960 3 1 6 6.2 4.4 0.905 20 10 40 45 25 4.684 è 5.480 2.900

8

1875 434 2975 αp 349.125 434 102.08 694 αw = 81.045 2975 694 4750 αa 554.710 αp = 0.1536 αw = 0.1477 αa = - 0.00102 es decir que la formula queda V = 0.1536P + 0.1477W - 0.00102A

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P2 Una empresa de autobuses, presta servicio a las poblaciones en el entorno de una capital de provincia. Ha observado que los viajes aumentan al acercarse el día de Navidad y son función del número de habitantes de cada población. Por ello se plantea estimar el número de viajeros por una fórmula exponencial del tipo

V = K tα pβ V Número de viajeros en miles de personas. t Días que faltan hasta la fiesta. p Población en miles de personas. De años anteriores tiene información sobre los viajes generados en dos pueblos con números de habitantes iguales a 10.000 y 25.000 (10 miles y 25 miles) A partir de estos datos obtener los parámetros K, α y β de la fórmula propuesta. SOLUCIÓN Tomando logaritmos en la fórmula propuesta, resulta

lg V = lg K + α ln t + β ln p

Las incógnitas de la ecuación anterior son lg K, α y β Hagamos γ = lg K, resultando la ecuación lineal en , α, β y δ. Por lo tanto

γ + αlog 7 + βlog 10 = log 2,8 γ + αlog 4 + βlog 10 = log 2,76

γ + αlog 1 + βlog 10 = log 5,51 γ + αlog 7 + βlog 25 = log 3,96 γ + αlog 4 + βlog 25 = log 5,24 γ + αlog 1 + βlog 25 = log 10,47

Para los datos del problema, resulta el sistema Resolviendo mediante matrices transpuestas la solución es

γ = 0,0402 α= -0,500 β = 0,701

El valor de K se obtiene por la fórmula K = e γ

resultando K = 1,041 y finalmente

V = 1,041 t -0,5 p 0,701

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2 ETAPA II DISTRIBUCIÓN DE VIAJES

Entregar el Nº de viajes entre un origen i y un destino j ⇒Vij, tal que se cumpla

∑∑ ==i

iijj

jij OVDV

Métodos de distribución

• Factor de Crecimiento

- Factor Uniforme FVV jijj

i ×= 0

- Factor Promedio

+

×=2

0 FjFiVV jijj

i

0i

fi

VVFi = 0

j

fj

VV

Fj =

Para que se cumplan las restricciones se realiza un proceso iterativo en que la 2da. iteración:

i

i

VGVFi )(1 =

j

jj V

GVF

)(1 =

+=

2

1111 j

ijijFF

VV

Método de Fratar

ikjkijkij FFVkV ⋅⋅=+ )()1(

∑=

= n

iijk

jjk

V

GVF

1

)(

∑=

⋅= n

jjkij

iik

FV

GVF

1)(

)(

Método Gravitacional

jriji

rij FAPKV ⋅⋅⋅=

Donde K es el factor de ajuste de la iteración r-ésima =ijF Factor impedancia

( )∑=

⋅⋅

= n

kkr

jijkijk FPA

PiKr

1

11

P1 Se está estudiando la posibilidad de habilitar un puente para unir la ciudad 1 con las ciudades 2 y 3. En la actualidad los viajes se realizarán a través de la ruta A.

La matriz de viajes actual es:

=

07008059006090650

aijV

B

a = Actual b = Base f = Futuro p = Proyecto

a) Calcular la matriz de factores de crecimiento utilizando la siguientes expresión:

avfV

Fij

ijij

f = Vijf= Viajes Futuros

vija= Viajes Actual Vij=0,1 Pi0,8 Ej

0,9 dij-1,2

Considerar que el puente se construirá en 5 años con respecto a la situación original se tiene: Pi E de αp Zona 1 2.200 90 0.03 0.05 Zona 2 3.800 170 0.03 0.055 Zona 3 4.600 200 0.03 0.045

1

A=30 km

B=15 km

2

3

5 km

3 km

12

Pi = Población zona i Ej = Empleos zona j αp= Tasa crecimiento anual de población αe= Tasa crecimiento anual de empleo dij= Distancia entre zonas (kilómetros) a)

2,19,08,0

2,19,08,0

1,01,0

−

−⋅⋅==

ijjoio

jijfifa

ij

fij

dEPdEP

vV

F

9,08,0

9,058,05 ))1(())1((

joio

ejoPiO

EPEP

⋅++ αα

9,05 ))1(())1(( ep αα +⋅+=

( )( ) ( )( ) 39,103,0105,019,058,05

12 =+×+=F

( )( ) ( )( ) 39,103,0105,019,058,05

13 =+×+=F

( )( ) ( )( ) 42,103,01055,019,058,05

21 =+×+=F

( )( ) ( )( ) 42,103,01055,019,058,05

23 =+×+=F

( )( ) ( )( ) 36,103,01045,019,058,05

31 =+×+=F

( )( ) ( )( ) 36,103,01045,019,058,05

31 =+×+=F

b) Calcular la matriz de viajes para el año 5 sin puente. Ojo, No es multiplicación de Matrices tradicional, es término a término

=

×

=×=

09528,1088,83702,851,12535,900

036,136,142,1042,139,139,10

07008059006090650

ija

ijf

ij FVV

c) Calcular el costo total del tiempo del sistema en la situación anterior. Utilice:

[ ] 3650022,0 ×= ∑∑ f

ijbb

ij MdCb UF/año

=

036,136,142,1042,139,139,10

ijF

13

=

0835803335330

ijd

{ } 3650022,0323231312323212113131212 ×××+×+×+×+×+×= VdVdVdVdVdVdCb ffff

{ } 3650022,095288,108358,83782,85331,1253535,9033 ×××+×+×+×+×+×=Cb33,723.22=Cb UF al año

d) Calcular la matriz de viajes con proyecto, usando :

pijji

fij dEPV

p

2,19,08,0085,0 −⋅⋅⋅= Se debe calcular la matriz de distancias Dijp

=

0820801820180

ijpD

2,19,058,05

12 18))03,01(170())05,01(2200(085,0 −×+×+=V

58,17612 =V

2,19,058,05

13 20))03,01(200())05,01(2200(085,0 −×+×+=V

12,18013 =V

2,19,058,05

21 18))03,01(90())055,01(3800(085,0 −×+×+=V

22,15721 =V

2,19,058,05

23 8))03,01(200())055,01(3800(085,0 −×+×+=V

58,85323 =V

2,19,058,05

31 20))03,01(90())045,01(4600(085,0 −×+×+=V

40,15531 =V

2,19,058,05

32 8))03,01(170())045,01(4600(085,0 −×+×+=V

09,82732 =V

14

=∴

009,82740,15558,853022,15712,18058,1760

5pijM

e) Calcular el costo de la situación con proy

=

0820801820180

ijpD

{ } 3650022,009,827840,1552058,853822,1571812,1802058,176185 ×××+×+×+×+×+×=pC

82,009.215 =pC UF/Año aumenta debido a que aumentan los viajes. Teoría de Utilidad aleatoria Los individuos actúan de forma determinística racional, es decir, escogen siempre la opción de mayor utilidad al escoger entre un conjunto de alternativas estando sujeto a las mismas restricciones. Utilidad representativa iii VU ε+= El individuo que ∈ Q escogerá alternativas ⇒∈∀≥⇔ AAVUA jjqiqi Probabilidad de escoger la alternativa A

⇒≥= )(Pr jqiqiq UUobP TRI=Tasa de retorno inmediata, se toman flujos del primer año:

Utilice 7575

)33,723.2282,009.21( −−=

−

−=I

CbaseCproyTRI =0,22

22%>12% Conviene hacer el puente. I= Inversión = 151,5xL I=151,5 x 50 metros =7575 UF

15

P2 Calcular según la aplicación del modelo Factor Medio hasta la tercera iteración, el número de viajes futuros de la siguiente matriz:

Zonas A B C D A - 8 10 12 B 8 - 17 15 C 10 17 - 43 D 12 15 43 -

Totales actuales 30 40 70 70 Factores de variación 2,5 1,5 1,0 2,0 Totales Futuros 75 60 70 140

1ra. Aproximación

Desde Hacia Factor medio de Variación

Nº actual de viajes

Nº de viajes futuros Factor final de variación

A B (2,5+1,5)/2 = 2,00 8 16,00 C (2,5+1,0)/2 = 1,75 10 17,50 75/60,5 = 1,240 D (2,5+2,0)/2 = 2,25 12 27,00

B A (2,5+1,5)/2 = 2,00 8 16,00 C (1,5+1,0)/2 = 1,25 17 21,25 60/63,5 = 0,945 D (1,5+2,0)/2 = 1,75 15 26,25

C A (1,0+2,5)/2 = 1,75 10 17,50 B (1,0+1,5)/2 = 1,25 17 21,25 70/103,25 = 0,678

D (1,0+2,0)/2 = 1,50 43 64,50 D A (2,0+2,5)/2 = 2,25 12 27,00 140/117,75 = 1,189

B (2,0+1,5)/2 = 1,75 15 26,25 C (2,0+1,0)/2 = 1,50 43 64,50

• 2da. Aproximación

Desde Hacia Factor medio de variación Nº de viajes futuros Factor final de variación

A B (1,240+0,975)/2 = 1,093 17,49

C (1,240+0,678)/2 = 0,959 16,78 75/67,07 = 1,118

D (1,240+1,189)/2 = 1,215 32,80

B A (0,945+1,240)/2 = 1,093 17,49

C (0,945+0,670)/2 = 0,812 17,26 60/62,76 = 0,956

D (0,945+1,189)/2 = 1,067 28,01

C A (0,678+1,240)/2 = 0,959 16,78

B (0,678+0,945)/2 = 0,812 17,25 70/94,27 = 0,742 D (0,678+1,189)/2 =0,934 60,24

D D (1,189+1,240)/2 =1,215 32,80

A (1,189+0,945)/2 =1,067 28,00 140/121,043 = 1,159 B (1,189+0,678)/2 =0,934 60,24

3a. Aproximación

16

Desde Hacia Factor medio de variación Nº de viajes futuros Factor final de variación A B (1,118+0,956)/2 = 1,037 18,14

C (1,118+0,742)/2 = 0,930 15,61 75/71,11 = 1,055 D (1,118+1,159)/2 = 1,139 37,36

B A (0,956+1,118)/2 = 1,037 18,14 C (0,956+0,742)/2 = 0,849 14,65 60/62,42 = 0,961 D (0,956+1,159)/2 = 1,058 29,63

C A (0,742+1,118)/2 = 0,930 15,61 B (0,742+0,956)/2 = 0,849 14,65 70/87,55 = 0,811 D (0,742+1,159)/2 =0,951 57,29

D D (1,159+1,118)/2 =1,139 37,36 A (1,159+0,956)/2 =1,058 29,63 140/124,28 = 1,126 B (1,159+0,742)/2 =0,951 57,29

Como se puede observar, en cada aproximación se va obteniendo un factor final de variación (última columna de los cuadros) más próximo a la unidad. En consecuencia el cálculo se suspende cuando el factor indicado se considere suficientemente aceptable.

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P3 dada la siguiente tabla, aplique el método de Fratar para determinar los viajes Generados y loas atraídos en la situación futura. Sean Gi = Origenes o viajes producidos situación futura. Ai= Destinos o viajes atraidos en situación futura. Se calculan los nuevos viajes Vij1 = Vij γiαjλij Sean mi=ui y nj=vj entonces

con un par más de iteraciones se llega a:

2)/n(m λ/Dd nvγD

/Oom/dD γvd

vα O/o O αvijo

jie

jjjiji

ie

j

eiiiiii

iijj

jijj

eiiij

ji

+===

===

===

∑

∑∑∑

18

P4 Se cuenta con una encuesta de hogares de la Ciudad X la cual se presenta a continuación:

Hogar Nº hab Nº autos Viajes/hora 1 2 0 2 2 5 1 7 3 3 2 4 4 1 0 1 5 4 2 7 6 5 0 6 7 3 0 2 8 2 1 3 9 1 1 2

10 3 0 3 11 1 0 2 12 6 2 8 13 2 2 5

a) Calcular las tasas de viaje por categoría utilizando como configuración las variables

hab/hogar (2 o menos) (más de 2) y autos por hogar (0 o 1, 2 o más) b) calcular el total de viajes para Peralillo y Río Grande, los cuales tienen 90.000 y

167.000 habitantes. Los porcentajes de hogares son: PERALILLO RIO GRANDE

10 10 60 20

SOLUCIÓN

Tasas = (Viajes/hogar), entonces tenemos

Viajes Hogares

Por lo tanto categoría 1= total viajes de categoría 1 = 10 = 2 viajes/hogar total hogares categoría 1 5

Categoría 2 = 5/1 = 5 viajes/hogar Categoría 3 = 18/4= 4,5 viajes/hogar Categoría 4 = 19/3= 6,3 viajes/hogar

20 10 40 30

Autos por hogar

0 o 1 2 o +

2 o menos

10 5

3 o mas 18 19

Autos por hogar

0 o 1 2 o +

2 o menos

5 2

3 o mas 4 3

19

b) Peralillo 90.000 hogares Rio Grande = 167.000 hogares multiplicando por los porcentajes de hogares:

PERALILLO RIO GRANDE 9000 9000 54000 18000

9000 *2 9000*5 54000*4,5 18000*6,3

18.000 45.000 243.000 113.400

Total de Peralillo= 419.400 Total Río Grande = 766.530

33400 16700 66800 50100

33400*2 16700*5 66800*4,5 50100*6,3

66.800 83.500 300.600 315.630

20

P5 Se cuenta con la siguiente matriz de viajes del 2005 para Buenas Peras, además de tienen los viajes producidos y atraídos para 2010

2005 2010 100 200 300

135 60 195

235 260 495

a) Obtenga la distribución de viajes utilizando el método de factor de crecimiento del factor

promedio b) Obtenga la distribución de viajes, utilizando el factor de crecimiento Biproporcional. SOLUCIÓN Factor Promedio è Vij =(Fi + Ŧj)* vij se hace hasta que F y Ŧ sean prácticamente 1 2 Fin = Oif Ŧjn = Djf Σj vij(n-1) Σi vij(n-1)

F1= 350/(100 + 200) = 1,17 Ŧ1 = 270/(100 +135) = 1,15 F2 = 220/(135 + 60) = 1,13 Ŧ2 = 300/(200+60) = 1,15 V11 = (1,17 + 1,15)/2 * 100 = 116 V12 = (1,17 + 1,15)/2 * 200 = 232 V21 = (1,13 + 1,15)/2 * 135 = 154 V22 = (1,13 + 1,15)/2 * 60 = 68

350

220

270 300 570

116 232 350

154 68 220

270 300 570

21

3 ETAPA III REPARTO MODAL

P1 Se ha estimado el siguiente modelo logia de partición modal agregado para viajes de trabajo en un corredor de Santiago.

iiiii PFTU 321 θθθα +++=

Ti=Tiempo de viaje dentro vehículo modo i (min) Fi=Tiempo de viaje fuera vehículo modo i Pi=Tarifa o costo del modo i Los valores estimados de los parámetros son:

01,006,005,0

3

2

1

−=

−=−=

θ

θθ

y las constantes modales son: Taxi= -1,8 Bus= 0,7 Los tiempos por modo son: Modo Ti Fi Pi Auto 35 0 400 Taxi 20 5 250 Bus 40 10 100 a) Encuentre la partición modal b) Demuestre que si sólo cambia el costo del transporte en DPI la razón entre las nuevas

probabilidades será:

)(0

0

1

13 ji PP

j

i

j

i eZZ

ZZ ∆−∆×= θ

c) Si los buses aumentan el doble la frecuencia, encuentre los nuevos particiones modales.

22

SOLUCIÓN

a) 9,210001,01006,04005,07,06,525001,0506,02005,08,1

75,540001,0006,03505,00

−=×−×−×−=

−=×−×−×−−=−=×−×−×−=

bus

taxi

a

UUU

%1,59,26,575,5

75,5

=++

= −−−

−

eeeeZ a

%0,69,26,575,5

6,5

=++

= −−−

−

eeeeZ taxi

%9,889,26,575,5

9,2

=++

=−−−

−

eeeeZ bus

b) ∑

= 0

0

0

uk

ui

ie

eZ ∑

= 1

1

1

uk

ui

ie

eZ Pero U1=U0+ iP∆3θ

∑

= 0

0

0

uk

uj

je

eZ ∑

= 1

1

1

uk

uj

je

eZ

×=∑

1

1

1

1

uk

ui

j

i

ee

ZZ

c) Si los buses aumentan al doble 01 21 FF =

Ua=-5,75 UTaxi=-5,6 UBus= 6,210001,02

1006,04005,07,0 −=×−×−×−

%92,3=AutoZ %56,4=TaxiZ %52,91=BusZ

j

i

i

i

P

P

uj

ui

Puj

Pui

uj

ui

uj

uk

ee

ee

ee

ee

ee

∆

∆

∆+

∆+

×===∑3

3

0

0

30

30

1

1

1

1

θ

θ

θ

θ

)()( 30

0

330

0

jiji PP

uj

uiPP

uj

ui

eeeee

ee ∆−∆∆−∆ ×=××= θθθ

)(0

0)( 3.3

00

00

/

/jiji PP

j

iPP

ukuj

ukui

eZZe

eeee ∆−∆∆−∆ =×=

∑∑ θθ

23

P2 En un corredor se dispone de dos modos: Auto y bus, una estimación de un modelo logia de partición modal agregado para viajes de trabajo determinó la siguiente función de utilidad modal.

iiiii CFTU 321 θθθα +++=

T= tiempo viaje en modo i F= tiempo fuera del vehículo C= costo del modo i Los parámetros son:

03,01 =θ 05,02 −=θ 005,03 −=θ Los atributos del viaje son T F C Auto 24 0 350 Bus 35 7 130 a) Determinar las constantes modal del auto si la partición auto es 47% y la constante

del bus es 0. b) Al construir una vía exclusiva buses se disminuye el tiempo a 25 minutos ¿Cuál

será la nueva partición? c) Si habilita una vía elevada de alta velocidad para el transporte privado que

disminuye el tiempo de viaje a solo 15 minutos y el costo es $300 ¿Cuánto debe disminuir la tarifa del bus para mantener la misma cantidad de pasajeros transportados. Suponga situación inicial de a.

24

SOLUCIÓN: a) %53%47 =⇒= ba ZZ 0=bα

∑=

eeUA

47,0 ∑

=e

eUB

53,0 UB

UA

ee

=53,047,0

53,047,0UBUA ee = 53,0

47,0lnlnln += UBUA ee UA = UB-0,12

47,2350005,0005,02403,0 −=⋅−⋅−⋅−= AAAU αα 05,2130005,0705,03503,0 −=⋅−⋅−⋅−= BBBU αα

12,005,247,2 −−=− BA αα 3,0=Bα

b) Suponiendo 03,0 == BA αα condiciones anteriores.

17,2350005,0005,02403,03,0 =⋅−⋅−⋅−=AU 75,1130005,0705,02503,00 −=⋅−⋅−⋅−=BU

%4075,117,2

17,2

=+

= −−

−

eeeZ A %6075,117,2

75,1

=+

= −−

−

eeeZ B

c) En a) %47=AutosZ %53=BusZ

65,1300005,0005,01503,03,0 −=⋅−⋅−⋅−=AU XXU Buses 005,0405,1005,0705,03503,00 −−=⋅−⋅−⋅−=

65,165,1

65,1

65,1

47,047,047,0 −−−

−

−=⋅⇒+

= eeeee

e UBUB

53,153.047.0 65,1 −=⇒= −

BUB Uee

X= Tarifas buses = +25$

∴ debe disminuir 130-25=$105 pesos menos.

0

25

P3 Cierto conjunto de personas deben elegir para un viaje del hogar al trabajo entre viajar en bus o en automóvil. Las personas se dividen en dos grupos homogéneos desde el punto de vista de sus preferencias. El grupo 1=20% del total. coeficiente G1 G2 Tiempo de Viaje 20 min -0,092 -0,650 Tiempo viaje bus 30 min -0,200 -0,100 Tarifa bus $60 -0,0070 -0,100

a) Determinar partición modal suponiendo que los valores de los coeficientes exactas, esto es, que no existe dispersión dentro del grupo.

b) Determinar partición modal suponiendo que los valores de los coeficientes son medios. Explicar claramente los supuestos que haga acerca su dispersión.

c) Un modelador ha calibrado un modelo logia para toda la población en el cual el valor obtenido para cada coeficiente es igual al valor medio ponderado del a siguiente forma.

∑= iinn

θθ1

Utilice dicho modelo para predecir la partición modal analizando la diferencia con las predicciones anteriores.

SOLUCION

a) Cuando no existe dispersión basta con la utilidad como elemento de decisión. Grupo 1

84,120092,0092,01 −=×−=−= tvaU a

42,660007,0302,0070,0200,01 −=×−×−=−−= bb PtvbU La totalidad de este grupo prefiere irse en auto, ya que la utilidad auto es mayor.

132065,01 −=×−=aU

9601,03010,02 −=×−×−=bU La totalidad de este grupo prefiere irse en bus

⇒ 20% población ( 1G ) se va en auto 80% población ( 2G ) se va en bus

b) Si son valores medios, no son exactos, por lo tanto ∃dispersión ⇒ modelo logit.

26

%9984,1 11 =⇒−= aa ZU

%142,6 11 =⇒−= bb ZU

%213 22 =⇒−= aa ZU

%989 22 =⇒−= bb ZU G1=0,2 ×G2 El total será: Auto= 8,02,0 21 ×+× aa PP Auto= %4,218,002,02,099,0 =×+× Bus= 8,02,0 21 ×+× aa PP Bus= %6,788,098,02,001,0 =×+×

c) Valor ponderado, Valores medios ∃⇒ dispersión ∃⇒ elemento aleatorio en la f utilidad.

20% 80% G1 G2 θ 21 8,02,0 GG θθ += Tv auto -0,092 -0,650 θ 54,065,08,0092,02,0 −=−×+−×= Tv bus -0,200 -0,100 θ 12,01,08,0200,02,0 −=−×+−×= Tarifa -0,007 -0,100 θ 08,01,08,0007,02,0 −=−×+−×=

autotvU auto 54,0−=∴

busbus PbustvU 08,012,0 −−=

8,102054,0 −=×−=∴ autoU 4,86008,03012,0 −=×−×−=busU

%3,84,88,10

8,10

=+

=−−

−

eeeZ auto

%7,914,88,10

4,8

=+

=−−

−

eeeZ bus

Coeficientes exactos ⇒ no existe dispersiónen estimadores ⇒θ Todos los individuos delgrupo son iguales. ∴ La partición modal se efectuaráconsiderando como elementos de decisión demáxima Utilidad. Grupo 1 elige auto porque 11

ba UU > Grupo 2 elige bus 22

ab UU >

27

P4 Un grupo de estudiantes debe ir a un Congreso a otra ciudad. El 20% de ellos decide ir en auto. Es resto tiene que decidir entre el bus y el tren. El bus tarda 2 horas y la tarifa es de $1.700. El tren tarda 1,40 hora y la tarifa es $1.950. a) Decida cual % se irá en que modo si:

t= tiempo y c = costo del viaje b) Si UAuto =-0,01t - 0,1 tk

el auto tarda 1,50 minutos y el costo es de $2.200, Calcular la impedancia y el valor de k en la función 4,0−=θsiU .

c) Cuál debería ser el costo de un peaje que han puesto en la ruta si el 19% decide irse en bus. Suponer condiciones de a) SOLUCIÓN a)

ZtrenZee

ZZ

bustren

bus 4,040,048,35

40,36

=⇒==−

−

2,01 ++==++ trenbusautotrenbus ZZZZZ

8,04,1)4,0(8,0 ==+= trentrentren ZZZ

%20%23%57

=

=

=

auto

bus

tren

ZZZ

b)

52,364,0

52,3685,22,0

57,0 48,35

−=⋅−

−=⋅⇒===−

I

Ie

eZZ

Iauto

tren θθ

Impedancia auto = 91,318

kU +×−×−==− 200.201,011001,056,36 42,13−=k

4,36700.102,012002,0 −=×−×−=busU

48,3598,0950.101,010015,0 −=−×−×−=trenU

98,001,015,002,002,0 −−−=−−= ctUctU trenbus

28

c)

%57%19

%421923

=

==+=

tren

auto

bus

ZZZ

137,404201,042,0 4,36

−=⇒===−

Ue

eZZ

Uauto

bus

$361200.2561.2$200.2$561.2

42,1301,011001,0137,40

=−=∴

=−×−×−=−

PeajevalíaantesyC

C

29

P5 Hay un corredor con 3 modos:

12,102,003,031,101,002,0

01,002,0

−−−=

−−−=

−−=

CtUCtUCtU

metro

bus

auto

t= tiempo viaje c=costo Auto tarda 32 minutos y el costo es 450$ Bus tarda 45 minutos y costo es 180$ Si Z metro=15% ¿Cuál es la partición de los otros? SOLUCIÓN

bus

auto

U

U

bus

auto

ee

ZZ

=

14,545001,03202,0 −=⋅−⋅−=autoU

01,431,118001,04502,0 −=−⋅−⋅−=busU

busautobus

auto ZZee

ZZ

323,0323,001,4

14,5

=⇒== −

−

115,0 =++ busauto ZZ 85,0323,0 =+ busbus ZZ

%2121,0%6464,0

=

=

auto

bus

ZZ

30

P6 Modelo de Generación: Suponga que está modelando una pequeña ciudad, para la cual cuenta con el sgte modelo de generación: P = 0.4 + 1.3 T +0.5 I A = 17 +1.2 E + 5.7 C En que P es el número de viajes producidos por un hogar en que hay T trabajadores. I es una variable muda que vale 1 si el hogar corresponde a un rango de ingreso alto y cero en caso contrario. A es el número de viajes atraídos por una zona que tiene E puestos de empleo y C locales comerciales. Complete la siguiente tabla: Zona 1 Zona 2 Nº de hogares de Ingreso Alto (IA) Nº de hogares de Ingreso Bajo (IB) Tasa de viajes producidos por hogar de IA (viajes/hogar) Tasa de viajes atraídos por hogar de IB (viajes/hogar) Producidos por hogares IA Producidos por hogares IB Total producidos Total Atraídos

DATOS Zona 1 Zona 2 Número de Hogares 300 100 Proporción de Hogares de Ingreso Alto (%) 40 20 Número medio de Trabajadores por Hogar 1.2 1.7 Número de Empleos 100 400 Número de locales comerciales 10 40 Nº de Estacionamientos por local comercial 420 120 Tiempo medio de viaje intrazonal en bus (min) 7 9 Tiempo medio de viaje intrazonal en auto (min) 6 10 Tiempo medio de viaje interzonal en bus (min) 15 15 Tiempo medio de viaje interzonal en auto (min) 13 13 Distancia media intrazonal 9 10 Distancia media interzonal 15 13

Modelo de Distribución: Dado el siguiente modelo, V ij = Bi Oi Dj Cij-2 y Cij = 0.8 dij - 0.001 ε j Con dij distancia entre i y j ε j estacionamientos en j Oi origenes Dj destinos El modelo es simplemente acotado a orígenes, por lo que se puede hacer sumatoria sobre los destinos (j):

∑ −=

j

DjCijAi 2

1

a) Determinar los valores de Cij

31

b) Determinar los valores de Bi (B1 y B2) c) Calcular la matriz de viajes Vij

Vij 1 2 ∑

1 2

∑

Modelo de Partición Modal Modelo Logit Simple Ui = Li – 0.01ti, en que ti es el tiempo de viaje en el modo i. Los modos disponibles son auto y bus, siendo las constantes modales 0 y 1.5 respectivamente (Li).

a) Calcule la utilidad del auto y del bus para cada zona b) Encontrar la partición modal Z c) Encuentre la matriz origen-destino por modo de viaje llenando la tabla

siguiente. (Para cada celda de la matriz hay que calcular la partición modal. Para V11, V12, V21 y V22 )

Matriz Auto 1 2 Matriz Bus 1 2

1 1 2 2

SOLUCION Resultados modelo de generación-atracción: Zona 1 Zona 2 Nº de hogares de Ingreso Alto (IA) 120 20 Nº de hogares de Ingreso Bajo (IB) 180 80 Generado IA por hogar 2.460 3.110 Generado IB por hogar 1.960 2.610 Total G IA 295.20 62.20 Total G IB 352.80 208.80 Generados 648.000 271.000 Atraídos 194.000 725.000 Resultados Modelo de Distribución Modelo: V ij = Ai Oi Dj Cij-2

El modelo es simplemente acotado a orígenes, por lo que se puede hacer sumatoria sobre los destinos (j):

2−∑ ∑=j j

DjCijAiOiVij

despejando

32

∑ −=

j

DjCijAi 2

1

Los estacionamientos se calcula como el número de locales comerciales por el numero de estacionamientos por local comercial : zona 1 = 10*420=4200 zona 2 = 40*120=4800 Las distancias son:

Distancias 1 2 1 9 15 2 13 10

Calculo de los Cij: C11= 0.8 d11-0.001 ε1 C12= 0.8 d12-0.001 ε2 C21= 0.8 d21-0.001 ε1 C22= 0.8 d22-0.001 ε2

Cij 1 2 1 3 7.2 2 6.2 3.2

Luego los Cij-2

Cij-2 1 2 1 0.111 0.019 2 0.026 0.098

Se calculan los Ai:

2122

2111

11

−− +=

CDCDA Equivalente para A2

A1 = 0,02814 A2 = 0,01318 Ahora se estiman la celdas de la matriz Tij: T11= A1O1D1C11

-2

33

T12= A1O1D2C12-2

T12= A2O2D1C21-2

T22= A2O2D2C22-2

Tij 1 2 ∑

1 393 255 648 2 18 253 271

∑ 411 508 919 Modelo de Partición Modal Modelo Logit Simple Vi = Li – 0.01ti, en que ti es el tiempo de viaje en el modo i. Los modos disponibles son auto y bus, siendo las constantes modales 0 y 1.5 respectivamente (Li). DATOS Zona 1 Zona 2 Número de Hogares 300 100 Número medio de Trabajadores por Hogar 1.2 1.7 Propoporción de Hogares de Ingreso Alto (%) 40 20 Número de Empleos 100 400 Número de locales comerciales 10 40 Nº de Estacionamientos por local comercial 420 120 Tiempo medio de viaje intrazonal en bus (min) 7 9 Tiempo medio de viaje intrazonal en auto (min) 6 10 Tiempo medio de viaje interzonal en bus (min) 15 15 Tiempo medio de viaje interzonal en auto (min) 13 13 Distancia media intrazonal 9 10 Distancia media interzonal 15 13 Resultados de la Partición Modal Para cada celda de la matriz hay que calcular la partición modal Para T11 U auto = 0-0.01*6 = -0.06 U bus = 1.5-0.01*7 = 1.43 P auto = 18.39 % P bus = 81.61 % Para T12 U auto = 0-0.01*13 = -0.13 U bus = 1.5-0.01*15 = 1.35 P auto = 18.54 % P bus = 81.46 %

34

Para T21 U auto = 0-0.01*13 = -0.13 U bus = 1.5-0.01*15 = 1.35 P auto = 18.54 % P bus = 81.46 % Para T22 U auto = 0-0.01*10 = -0.1 U bus = 1.5-0.01*9 = 1.41 P auto = 18.09 % P bus = 81.91 % Matriz Auto 1 2

1 72.283 47.282 2 3.344 45.772

Matriz Bus 1 2

1 320.729 207.706 2 14.688 207.196

35

4 ETAPA IV ASIGNACIÓN Primer principio de Wardrop: “Habrá Equilibro en la Red, cuando ningún usuario pueda reducir unilateralmente su costo de Viaje mediante cambio de Ruta” Es decir el USUARIO se asegura tratando de minimizar el tiempo de viaje individual. Desde el punto de vista social, esto no es lo mejor pues los consumos de tiempos en la red podrían ser menores. Segundo principio de Wardrop: “En el Equilibrio del Sistema Todas las Rutas utilizadas tienen el mismo tiempo marginal de Viaje y las no utilizadas un tiempo marginal mayor” . En el equilibrio del SISTEMA, todas las rutas utilizadas tienen el mismo tiempo (costo) marginal y las rutas no utilizadas un tiempo (costo) marginal mayor. P1. Considere una red de dos arcos uniendo un par origen-destino. Los costos medios de operación sobre los arcos son: C1= 20+ q1 C2= 6 +3q2 Y la demanda total 10 viajes a) calcular el equilibrio de los usuarios según el primer principio de Wardrop b) Calcular el equilibrio del Sistema según el segundo principio de Wardrop. SOLUCIÖN a) C1= C2 è 20 +q1= 6+3q2 pero q1 + q2= 10 20 +(10 – q2) = 6+3q2 24 = 4q2 q2 = 6 è q1= 4 Cme1= 20 +4=24 Cme2 = 6 + 6*3 = 24 Costo total = 4*24 + 6*24= 240 b) CMg1= CMg2 CMg1 = C1 + q* d(C1)/dq = 20+ q1 + q1*(1) = 20 + 2q1 CMg2 = C2 + q* d(C2)/dq = 6+ 3q2 + q2*(3) = 6 + 6q2

20 + 2q1 = 6 + 6q2 20 + 2(10-q2) = 6 + 6q2 40-6 = 8q2 q2=4,25 è q1= 5,75

C1=20 +5,75 = 25,75 C2 = 6 +3*4,25 = 18,75 Costo total = 5,75*25,75 + 4,25+18,75 = 227,75 < 240 è OK

A B

36

P2. Considere una red de tres arcos uniendo un par origen-destino. Los tiempos medios de operación sobre los arcos son: t1= 25 +0,006q1 t2= 28 + 0,000003q2 ² t3 = 29 + 0,003q3 La demanda total es 2000 veh/hora. calcular el equilibrio de los usuarios según el primer principio de Wardrop SOLUCION t1=t2=t3 (1) 25 +0,006q1 = 29 + 0,003q3 (2) 25 +0,006q1 = 28 + 0,000003q2 ² (3) q1 + q2 + q3 = 2000 de (1) y (3) q1= 10000/9 - q2/3 usando (2) 25 + 0,006(10000/9 - q2/3) = 28 + 0,000003q2 ² 0,000003q2 ² + 0,002q2 +3 -60/9 = 0 q2= -1488,0 NO q2= 821,36 OK

q1= 837,3 q3= 341,3

t1= 25 +0,006* 837,3 = 30,024 t2= 28 + 0,000003*821,36 ²= 30,024 t3 = 29 + 0,003* 341,3 = 30,024 OK

A B

1 2 3

37

P3 . Considere una red con 200 vehículos con la modelación ti = α + βXi α β 1 10 0,6 2 30 0,3 3 65 0,6 4 50 0,8

A) Encontrar equilibrio del usuario B) Optimo del sistema

SOLUCIÓN Rutas posibles: I 4 II 1-2 III 1-3 Ecuaciones por conservación de flujo: x1 + x4 = 200 x2 + x3 = x1 por Wardrop: t4 = t1 + t2 t4 = t1 + t3 è x1 + x4 = 200 x2 + x3 = x1 50 +0,8X4 = 10 +0,6X1 + 30 + 0,3X2 50 + 0,8X4 = 10 + 0,6X1 +65 +0,6X3 X1= 98,95 X2= 104,86 X3=-5,9 X4=101,04 Si se impone que X3= 0 è X1=X2 y t4= t1+t2 X1= 100 X2= 100 X3=0 X4=100 t1= 70 t2= 60 t3= 65 t4=130

b) si se agregan condiciones de tiempos marginales X1= 93,48 X2= 85,76 X3=13,72 X4=100,52

1

A B

2

4

3

38

A B1

2

3

P4. Si QAB = 2000 veh/hr t1 = 12+ q1 100 t2 = 8+ q2 100 t3 = 30+ q3 100

a) Encontrar los flujos en los arcos en el óptimo del usuario. b) Encontrar los flujos en los arcos en el óptimo del sistema. c) Explicar las diferencias existentes entre ambos óptimos.

Solución

a) Equilibrio de usuarios Rutas: I = 1-2 II =1-3 Costos por arco: t1 = 12 + (qI + qII) 100

t2 = 8 + (qI) 100

t3 = 30 + (qII) 100 Se igualan los costos medios por ruta: t I = t II t I = t1 + t2 t II = t1 + t3 y la otra ecuación por demanda qI + qII = 2000 con ambas ecuaciones se llega a qII = -100 por lo que se impone 0, lo que implica que qI= 2000

b) Óptimo del Sistema Igual a la interior, pero una de las ecuaciones igualando costos marginales y la otra por demanda. Se obtiene: qI = 1550 qII = 450

39

PROBLEMAS PROPUESTOS P1. Considere una red de tres arcos uniendo un par origen-destino. Los costos medios de operación sobre los arcos son: C1= 32+ q1 C2= 17 +3q2 C3 = 13+ 5q3

Y la demanda total de viajes es 10.

a) Calcule el equilibrio de usuarios (flujos y costos). b) Calcule el óptimo del sistema.

Solución:

a) q1 = 0,78 q2 = 5,26 q3 = 3,96

b) q1 = 3,65 q2 = 3,72 q3 = 2,63

A B

1 2 3

40

P2.

La demanda total entre 1 y 3 es 10. Costo entre 1 y 2: 5 + q1-2 Costo entre 2 y 3: 3 + 2q2-3 Costo entre 1 y 3: 6 + q1-3 a) Calcule el flujo en los arcos: q1-2, q2-3 y q1-3 suponiendo equilibrio de usuarios. b) Calcule nuevamente el flujo en los arcos, pero suponiendo equilibrio del sistema.

Solución: a) q1-2 = q2-3 = 2

q1-3 = 8

b) q1-2 = q2-3 = 2,25

q1-3 = 7,75

1

2

3

41

P3.

Demandas TAB=4.000 veh/hr TAC=2.000 veh/hr TBC=3.000 veh/hr t1= 20+0,002 q1 t2= 22+0,001 q2 t3= 18+0,004 q3 t4= 12+0,004 q4 t5= 10+0,002 q5

a) Calcule el equilibrio de usuarios (flujos). b) Calcule el óptimo del sistema.

Solución:

a) Calcular primero el equilibrio entre A y B y luego entre B y C. q1 = 2142,86 q2 = 2285,71 q3 = 1571,42 q4= 1333,33 q5= 3666,67

b) Calcular primero el equilibrio entre A y B y luego entre B y C. q1 = 1928,57 q2 = 2857,14 q3 = 1214,29 q4= 1500 q5= 3500

A B C

1

2

3

4

5

42

P4 La red de la figura está compuesta por tres zonas y cuatro arcos.

La matriz de viajes/hr es la siguiente:

Zonas A B C A 0 600 900 B 0 0 550 C 0 0 0

Las curvas flujo-demora tienen la siguiente expresión: t = t0 + α (q / C) n donde C es la capacidad del arco y los parámetros para los arcos son:

Arco t0 α n C 2 30 100 2 1000 1 75 200 3 800 3 32 80 2 1000 4 30 90 2 900

d) Encontrar los flujos en los arcos en el óptimo del usuario. e) Encontrar los flujos en los arcos en el óptimo del sistema. f) Explicar las diferencias existentes entre ambos óptimos. g) Se propone realizar una mejoría en el arco 1 con lo cual su tiempo su tiempo a flujo libre

disminuirá en 15 minutos, su capacidad C aumentará en un 25 % y su categoría cambiará hacia n = 2, α = 100. Encuentre el nuevo equilibrio de usuarios.

23

A C

4

A

B

43

V EVALUACIÓN P1 Considere la siguiente red de transporte de Yerbas Buenas compuesta por 2 nodos, como se indica en la figura.

En el año 2005se efectuó una encuesta origen-destino que arrojó los siguientes resultados a nivel anual:

O/D Z1 Z2 Z1 0 250.000 Z2 270.000 0

Las características físicas de cada arco se exponen a continuación:

Arco Longitud (km) Velocidad (km/hr) 1-2 40 70 2-1 30 60

El gobierno, en su afán de dar una mejor accesibilidad a las zonas ha decidido construir un nuevo camino bidireccional como se indica en la figura (línea punteada), con una longitud de 50 km y una velocidad de diseño de 110 km/hr. La puesta en marcha se proyecta para el año 2006. Asumiendo el siguiente modelo de distribución de viajes:

Vij n = Vij 0 * Fij Con Fij = Gij n/ Gij 0 Gij = (Pi * Pj) 0,9 (TM i * TM j) 0,85 / Cij 1,8

Cij = 2,5 Vij 0 + 0,1 Lij

a) Dadas las siguientes poblaciones y tasas de motorización, inicial y final para cada zona, se pide determinar la máxima inversión posible de manera que el proyecto sea rentable. Considere un horizonte de evaluación de veinte años.

Zona P inicial P final TM inicial TM final

1 20.000 30.000 0,010 0,030 2 18.000 26.000 0,015 0,035

Z1 Z2

44

b) Asumiendo que la inversión real es un 50 % de la calculada en la parte a) y que los beneficios tienen una tasa de crecimiento de 3% anual, calcule el valor presente neto y la tasa interna de retorno del proyecto, para 10 años de proyecto.

NOTA:

i) Considere un Valor Social del Tiempo igual a 1.200 $/ Hr y una tasa de descuento del 10%.

ii) ii) Un Proyecto se considera rentable si el primer año se capturan beneficios mayores o iguales al 10% de la inversión.

SOLUCIÓN: Primero: se calcula los Cij iniales: C12= 2,5* 250.000 + 0,1* 40 = 625.004 C12= 2,5* 270.000 + 0,1* 30 = 675.003 Luego los Gij iniciales: G12 = (20.000*18.000) 0,9 (0,01 * 0,015) 0,85 / 625.004 1,8 = 0,00000104 G21 = (20.000*18.000) 0,9 (0,01 * 0,015) 0,85 / 675.003 1,8 = 0,0000009070

Segundo: calculo de los Cij en la situación con proyecto: C12= 2,5* 250.000 + 0,1* 50= 625.005 C12= 2,5* 270.000 + 0,1* 50 = 675.005 Luego los Gij con proyecto: G12 = (30.000*26.000) 0,9 (0,03 * 0,035) 0,85 / 625.004 1,8 = 0,00001092 G21 = (30.000*26.000) 0,9 (0,03 * 0,035) 0,85 / 675.003 1,8 = 0,0000095092

Calculo de los Fij: F12 = 0,00001092 / 0,00000104 = 10,484434 F21 = 0,0000095092/ 0,0000009070= 10,484408 Obteniéndose la siguiente matriz: Z1 Z2 Z1 - 2.621.108 Z2 2.830.790 - Para calcular el ahorro de tiempo: Arco Longitud (km) Velocidad (km/hr) Tiempos de Viaje (hr) 1-2 40 70 0,57 2-1 30 60 0,50 En la situación con proyecto, con una distancia de 50 km y una velocidad de 110 km/hr se tiene un tiempo de viaje de 0, 45 hr (obviamente los usuarios elegirán esta ruta, para movilizarse desde A a B y viceversa) Con lo cual el ahorro de tiempo es en cada caso:

45

Arco Tiempos de Viaje (hr)

Inicial Tiempos de Viaje (hr)

Con Proyecto Ahorro (hr) 1-2 0,57 0,45 0,117 2-1 0,50 0,45 0,045 El ahorro total anual es: Ahorro (hr/año) = 0,117 * 2.621.108 + 0,045 * 2.830.790 = 435.036 min/año Ahorro ($/año) = 435.036 * 1.200 = 522. 042. 719 $/año Como se considera rentable un proyecto cuando los beneficios del primer año son mayor o igual al 10 % de la inversión del proyecto. Inversión = 5.220.42 7.193 $ b) Si se considera una inversión del 50 % y una tasa de crecimiento de los beneficios del 3%, se obtiene el siguiente flujo anual:

Inversión - 2.610.213.596 Año 1 522.042.719 Año 2 537.704.001 Año 3 553.835.121 Año 4 570.450.175 Año 5 587.563.680 Año 6 605.190.590 Año 7 623.346.308 Año 8 642.046.697 Año 9 661.308.098 Año 10 681.147.341

Con lo cual se obtienen los siguientes indicadores de la rentabilidad social del proyecto: VAN (10%) $ 983.394.679 TIR 17,6%

46

Bibliografía • Introducción a la Ingeniería de Transporte. JD Ortuzar • Modelos de demanda de Transporte. JD Ortúzar • Metodología para Análisis de Sistemas de transporte en Grandes ciudades y ciudades de

tamaño medio. SECTRA • Planificación en los Sistemas de transportes. Carlos Acha Ledezma • Modelos de demanda. Universidad Politécnica de Madrid .Jose Puy Huarte • Curso Internacional Carreteras 1997.Universidad Politécnica de Madrid. Planificación y

Trafico. Andrés Monzón de Cáceres. • Planificación del transporte. Rafael Izquierdo • Manual para la Evaluación de inversiones de Transporte en las ciudades. Ministerio de

Fomento, España. • Apuntes Clases. Marlene Perez.

A Carlos, Andrés, Marlene y Lisette