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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
Problemas Matemáticos Verbales. UnaIntervención Educativa
ALUMNAS: CANSECO CRUZ VELIA ELVIRA FRANCO SARAHI
PROFESORA: MARIA DEL CARMEN ORTEGA SALAS
PSICOLOGÍA EDUCATIVA.
México D.F. a 18 de Septiembre de 2002
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El objetivo de este trabajo es demostrar los efectos de un programa instruccional deresolución de problemas verbales matemáticos de estructura aditiva y multiplicativaen niños de quinto año de primaria, entre los diez y once años.
Lago y Rodríguez (1999) definen los problemas matemáticos verbales comosituaciones matemáticas altamente significativas para el alumno, en cuanto consistenen descripciones verbales de algún evento cuantitativo que se produce en el mundoreal.
La resolución de estos problemas es significativa porque permite la actividad prácticae intelectual así como el análisis, reflexión y razonamiento con respecto a lo queescucha el alumno.
En nuestro trabajo tomamos un grupo control y uno experimental, se aplicó a los dosgrupos el pretest PAEVSO (Problemas Aritméticos Escolares Verbales de una SolaOperación) diseñado por Aguilar y Navarro (2000), el grupo experimental recibióel programa instruccional PIRPAEVSO (Programa Instruccional para la Resoluciónde Problemas Aritméticos Elementales Verbales de una Sola Operación) y finalmentese aplicó el Postest PAEVSO a ambos grupos. Para comparar resultados utilizamos elmétodo estadístico, t de student.Los resultados de la investigación demostraron la eficacia del Programa InstruccionalPIRPAEVSO en la resolución de problemas verbales aritméticos con respecto a lapráctica habitual escolar.
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INDICE
Introducción................................................................................................................4
CAPÍTULO I MARCO TEÓRICO
1. El lenguaje y las matemáticas...........................................................................6
2. Las estrategias y la resolución de problemas matemáticos.................................. 9
3. Clasificación de problemas verbales matemáticos...........................................20
4. Los problemas matemáticos en quinto año de primaria....................................23
CAPÍTULO II METODOLOGÍA
1. Sujetos...............................................................................................................26
2. Instrumentos......................................................................................................26
3. Procedimiento....................................................................................................26
CAPÍTULO III ANÁLISIS DE RESULTADOS
1. Análisis cuantitativo...........................................................................................30
2. Análisis cualitativo.............................................................................................35
Conclusiones ...........................................................................................................45
Referencias Bibliográficas.......................................................................................49
Anexos
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En el ámbito educativo un tema de interés son las matemáticas ya que con frecuencialos alumnos presentan bajo rendimiento en esta materia. En particular los problemasverbales matemáticos representan un área de investigación relevante que se haenfocado a analizar la dificultad que para los alumnos representa resolverlos, por lotanto es importante investigar la manera en que los alumnos puedan resolver estosproblemas por medio de instrucciones precisas.
En el inicio de la década de los ochenta se desplaza la importancia del aprendizajedel algoritmo como algo aislado y los problemas verbales son tomados como partefundamental de la formación matemática escolar pues estos ayudan a obtener unamayor competencia numérica y un mejor desarrollo del pensamiento en relacióncon el análisis de situaciones numéricas y la toma de conciencia de los procesossubyacentes en esas situaciones.
Podemos considerar que la esencia de las matemáticas está en la resolución deproblemas, ya que las matemáticas son una serie de instrumentos que nos permitenseguir un proceso para la resolución de los mismos.
Comúnmente se cree que cuando se resuelve exitosamente un problema es sinónimode que se ha aprendido, aunque sólo se haya aprendido a resolver ese problema,es probable que se puedan resolver problemas similares o con característicassemejantes.
Es por esto que es de gran importancia que los alumnos aprendan los diferentespasos para la resolución de problemas matemáticos pues al resolver un problemapueden enfrentarse a la diversidad que existe de estos y siguiendo los mismos pasosde solución de un problema sencillo podrán resolver uno de mayor dificultad.
Es por ello que en este trabajo nos propusimos demostrar que alumnos entrenadospor un programa instruccional obtienen mayor rendimiento en resolución deproblemas verbales de estructura aditiva y multiplicativa que un grupo control, lossujetos son dos grupos de quinto de primaria, entre los diez y once años, aplicamosel pretest PAEVSO (Problemas Aritméticos Escolares Verbales de una Sola Operación)diseñado por Aguilar y Navarro (2000) a los dos grupos, el grupo experimentalrecibió el programa instruccional PIRPAEVSO (Programa Instruccional para laResolución de Problemas Aritméticos Elementales Verbales de una Sola Operación)y finalmente se aplico el postest PAEVSO.
El programa instruccional parte de la consideración de que los problemas matemáticosverbales son situaciones matemáticas altamente significativas para el alumno, queconsisten en descripciones verbales de algún evento cuantitativo que se produce enel mundo real y en función de su estructura semántica estos pueden ser: de cambio,combinación, comparación e igualación. Una descripción en detalle del programainstruccional se plantea en el segundo apartado.
Para el desarrollo de nuestro proyecto el marco contextual lo presentamos de maneraamplia en el Capítulo I y abordamos los siguientes apartados.
Nuestro primer apartado lo desarrollamos empezando con el lenguaje matemático,
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el conocimiento matemático y la relación que existe entre ambos
Así mismo analizamos las estrategias y la resolución de problemas matemáticosverbales planteadas por diferentes autores, en particular resaltamos, la propuestahecha por Aguilar y Navarro (2000)
A continuación mencionamos la clasificación de problemas verbales matemáticostomando en cuenta la clasificación de diferentes autores, la clasificación en la quenos basamos es la de Aguilar y Navarro (2000) para el desarrollo de la metodología.
Para terminar con la conceptualización abordamos los problemas matemáticos enquinto año de primaria que es el grado donde llevaremos a cabo la investigación.
En el Capítulo II presentamos la metodología para el desarrollo del ProgramaInstruccional de Resolución de Problemas Matemáticos Verbales de una SolaOperación (PIRPAEVSO). En este Capítulo establecemos los sujetos con los que sellevó a cabo la propuesta, los instrumentos que fueron utilizados así como elprocedimiento que se siguió.
Como Capítulo III incluimos el análisis e interpretación de los resultados tantocuantitativa como cualitativamente.
Finalmente incluimos un apartado de conclusiones.
Presentamos como anexos el pretest, el postest y el programa instruccional quedesarrollamos.
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OMARCO TEÓRICO1. El lenguaje y las matemáticas .
El lenguaje matemático, el conocimiento matemático y la relación que existe entreambos, es lo que se expone en este apartado.
Hoy en día las matemáticas son una habilidad de alto nivel; útil en la vida cotidianade todo individuo. Las matemáticas tienen un carácter social y comunicativo, sonaplicables a diversos contextos sociales.
No puede negarse el papel primordial que juegan las matemáticas en la educación,ni dejar de reconocer las múltiples y variadas aplicaciones de las matemáticas entodos los ámbitos de nuestra vida. Entre otras cosas pueden mencionarse lacomputación, la comunicación, la economía y, en general, la ciencia y la tecnología.(Rzedowski 1999)
Enfocándonos al conocimiento matemático, autores como Barbera y Gómez (1996)y, Gómez y Fraile (1993) coinciden en que es abstracto, general, tiene una naturalezadeductiva; hace uso de un lenguaje formal, es riguroso, preciso, suprime intenciones,emociones y afectos; además de ser teórico, impersonal y atemporal.
El aprendizaje de las matemáticas es como el de una segunda lengua, es por esto,que el lenguaje es un medio de conocimiento el cual sirve para comprender yorganizar los datos próximos; Bühler citado por Roca-Pons (1978) distingue tresfunciones del lenguaje que son:
a) La función apelativa o de llamada: esta función actúa sobre el oyente para dirigiro atraer su atención. El lenguaje es pues, primeramente una llamada al oyente. Estopuede observarse bien en las primeras etapas del lenguaje infantil. Cuando ellenguaje ya ha sido desarrollado, puede manifestarse con cierta autonomía, comolas formas del imperativo.
b) La función expresiva: en ella el hablante manifiesta su estado psíquico. Esta semanifiesta con singular claridad en el lenguaje infantil.
c) La función representativa: en ella el lenguaje puede transmitir un contenido.
Es por ello, que permitir hablar a los alumnos brinda ciertas ventajas al profesor;pues obtiene acceso a sus pensamientos. En el contexto educativo de las clases dematemáticas se dan dos razones principales para que los alumnos hablen: paracomunicarse con los demás y para hablar consigo mismos.
Hablar para uno mismo incluye situaciones en las que los alumnos pueden hablaren voz alta, aunque su efecto principal no sea tanto comunicarse con los demás;sino ayudarse a organizar los propios pensamientos.
Lago y Rodríguez (1999) argumentan que el lenguaje empleado en la enseñanzade las matemáticas difiere del lenguaje de la vida diaria, no sólo en los aspectosexplícitos sino también en los implícitos. Dicha diferencia se atribuye comúnmente al
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contexto y a los contenidos de la instrucción que afectan a los rasgos sintácticos,semánticos y pragmáticos del lenguaje matemático.
En general, se asume que un aprendizaje comprensivo de las matemáticas implicaque los alumnos conjeturen, que realicen abstracciones no descontextualizadas delas propiedades matemáticas, que expliquen sus razonamientos, que validen susaciertos, que discutan y cuestionen su modo de pensar y el de los demás.
Las múltiples relaciones entre lenguaje y aprendizaje de las matemáticas quedancontenidas en la afirmación “el lenguaje de las matemáticas”, esto de acuerdo conPimm (1990) refiere:
a) Al lenguaje verbal empleado (por los alumnos y el profesor) en el aula dematemáticas.
b) A la utilización de determinadas palabras con fines matemáticos.
c) Al lenguaje de los textos (p.e., los problemas verbales convencionales o los librosde texto en su conjunto, incluyendo el material gráfico y otros modos derepresentación).
d) Al lenguaje de las formas simbólicas escritas.
e) Al lenguaje usado como apoyo por el alumno cuando está haciendo matemáticas.
Estas funciones de representación y comunicación atribuidas al lenguaje en el contextoescolar de las matemáticas llevan aparejadas diversas actividades lingüísticas, talescomo leer y escribir, escuchar y discutir contenidos sobre un amplio rango de objetos,ideas y actividades.
Comúnmente se asume que cuando los alumnos aprenden matemáticas en la escuelaestán intentando adquirir competencia comunicativa en el lenguaje matemático escritoy hablado.
Orton (1990) plantea que: la verbalización es importante porque teóricamente abrelos procesos verbales a una inspección y una modificación conscientes. Parece prob-able que la verbalización contribuya a la recuperación de esquemas, a sumanipulación y combinación y a la evaluación de su educación.
En cuanto a las características y convenciones del sistema matemático escrito, lostextos de matemáticas se basan en el uso del lenguaje natural y de un sistema desímbolos propios.
Lago y Rodríguez (1999) plantean que los diferentes símbolos de la escrituramatemática se han agrupado en cuatro grandes clases:
a) Los logogramas: que consisten en signos especialmente inventados para losconceptos tomados como un todo; (por ejemplo, los dígitos de 0 9 son logogramas,como los símbolos “% “ , “+”, “x” , “.”, etc.)..
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b) Los pictogramas: que se basan en iconos en los que el símbolo esta estrechamenterelacionado con el significado; (por ejemplo, un para representar un cuadrado,un para representar un triángulo, etc.).
c) Los símbolos de puntuación (por ejemplo, (), : ; .).
d) Los símbolos alfabéticos; que normalmente proceden de los alfabetos griego yromano.
Para poder comprender el proceso de aprendizaje de las matemáticas es importantelo que Ausbel (1968) citado por Orton (1990) plantea que si tuviera que reducir aun sólo principio toda la psicología educativa, diría esto: el factor singular másimportante que influye en el aprendizaje es lo que el aprendiz ya conoce.Asegurémonos de esto y enseñémosle en consecuencia.
Por esto debemos considerar que no todos los alumnos logran los mismos niveles decomprensión de ciertos temas dentro de una jerarquía; esto podemos relacionarlocon lo que menciona Vergnaud (1991), acerca de que los conocimientos que adquiereel niño deben ser construidos por él mismo en relación directa con las operacionesque es capaz de hacer sobre la realidad; con las relaciones que está en condicionesde captar; componer y transformar, con los conceptos que construye progresivamente.
En complemento con esto Bruer (1999) dice que si los niños no comprenden cómolos conceptos y las estructuras numéricas fundamentan sus habilidades, su únicaalternativa es intentar entender las matemáticas escolares como una serie deprocedimientos arbitrarios.
La única forma de hacer que las matemáticas tengan significado es relacionando enla enseñanza los conocimientos conceptuales con las habilidades procesuales. Lograrque los niños comprendan esto, es un objetivo central de la enseñanza inicial de lasmatemáticas y, según los profesores, uno de los más difíciles de conseguir.
Un problema fundamental de la enseñanza de las matemáticas es que los estudiantesfinalizan su escolaridad dominando las habilidades de cálculo necesarias para re-solver problemas estándar; pero carecen de la comprensión matemática de altonivel que les permita aplicar sus habilidades en una gran variedad de situacionesnuevas.
La enseñanza de las matemáticas enfatiza demasiado a menudo el aprendizajememorístico y las recetas numéricas por encima del razonamiento.
Lago y Rodríguez (1999) especifican que uno de los problemas más importantes delos alumnos estriba en establecer una cierta consistencia entre las diferentesrepresentaciones y expresiones del mismo contenido matemático. En el programade instrucción desarrollado por Connell y Peck (1993) citados por Lago y Rodríguez(1999) apreciaron que una de las dificultades de los alumnos (de 10 a 12 años) esque no disponían de referentes significativos para los símbolos y las reglas que estabanutilizando (p.e., los cánones sintáctico gramaticales que dictan los usos aceptables yesperados de los símbolos). Igualmente, cuando Putnam, Lesgold, Resnick y Sterrett
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(1987) en (Lago y Rodríguez 1999) examinaron, entre otras cosas, la habilidad desujetos de 10 11, 1213 y 1415 años para establecer correspondencias entre algunasexpresiones formales (p.e., 16 [8+3]) y las situaciones presentadas en el marco deun problema verbal, observaron que mostraban grandes dificultades para vincularlas expresiones formales con los referentes situacionales de los problemas.
Valenzuela (1992) cita a Minsky quien establece que en principio, todas las perso-nas pueden usar el método de ensayo y error para resolver cualquier problemacuya resolución pueda ser reconocida.
Según Minsky la forma más eficiente para resolver un problema es el saber cómoresolverlo: así uno puede evitar totalmente la búsqueda de soluciones.
Las personas normalmente poseen dos tipos de conocimientos para resolver unproblema:a) Un conocimiento específico de una materia determinada: consiste de un conjunto
de esquemas en los que la persona ha organizado, de una forma determinada,los conceptos, principios y fórmulas sobre la materia. A través de los esquemas, lapersona puede además interpretar y organizar información nueva de modo queésta sea asimilada en forma significativa.
b) Un conocimiento de estrategias generales: consiste de diversos métodos gen-erales que son aplicables para casi cualquier problema, un ejemplo de estrategiasgenerales pueden ser los heurísticos
El conocimiento de estrategias puede ser considerado como una parte de unacategoría más general denominada metaconocimiento. Este término se refiere entreotras cosas a la forma en que las personas supervisamos y regulamos nuestrasacciones para el logro de una meta determinada.
Relacionado con lo anterior De Corte, E. Verschaffel, L. (1987) recolectan datossobre los problemas de las representaciones y las estrategias de solución de 30alumnos del primer año, a quienes fueron dados una serie de problemas verbales ensumas simples y restas. Los niños fueron entrevistados tres veces durante el año esco-lar y los datos obtenidos sobre sus estrategias de solución y sobre la influencia de laestructura del problema en las estrategias. Los resultados muestran que la estrategiasde los niños para los problemas de resta son fuertemente influenciadas por unaestructura semántica que se encuentren ellos. Más específicamente, las operacionesinfantiles en el material y los niveles verbales tiende a resolver cada problema deresta con la estrategia que más se acerque a los modelos y a su estructura semántica.
2. Las estrategias y la resolución de problemas matemáticos verbales.
La resolución de problemas matemáticos y las diversas estrategias que existen parala resolución de problemas matemáticos verbales son motivo del siguiente apartado.
Para muchos estudiantes las matemáticas son una actividad misteriosa, abstracta ysin significado con muy poca utilidad en la vida diaria, al respecto se han realizadoinvestigaciones; por ejemplo Schliemann (1991) plantea que a partir de lo que los
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alumnos sienten, sugiere ofrecer al alumno la oportunidad de resolver problemas encontextos prácticos.
Una de las primeras sugerencias que surge es la de ofrecer al alumno la oportunidadde resolver problemas en contextos prácticos. Esto puede contribuir a una mejorcomprensión y proporcionar el descubrimiento de estrategias nuevas y máseconómicas.
Otra sugerencia que se deriva de esta investigación, es que al niño hay que darleexperiencias en problemas que tengan respuestas no unitarias; sino que se subdividanen subrespuestas. Esto puede ayudar a trabajar más efectivamente con problemasen la vida real.
Leontiev (1972) y Rubistein (1986) citados por Labarrere (1987) consideran quedebe entenderse por problema un fin dado en determinadas condiciones. Con estecriterio se toma en cuenta el hecho de que cada problema le plantea a quien loresuelve; la necesidad de obtener determinado producto (fin) que no puede seralcanzado por cualquier vía, si no solo por aquella que permiten las condiciones delproblema.
Otra característica establece que todo problema hace surgir, en aquel que lo resuelve,determinadas necesidades y motivos que lo impulsan a acometer la solución y adesarrollar, por tanto, una actividad cognoscitiva sostenida, que se atenúa odesaparece sólo con la obtención de la respuesta o resultado esperado.
El planteamiento o el surgimiento de un verdadero problema implica que el sujeto notiene acceso a la respuesta sólo a través de su memoria, sino que está obligado apensar, a razonar, para encontrar los conocimientos necesarios, que conducen a larespuesta ó, en términos más amplios, a la solución de problema.
Parra (1989) explica que el asunto de estos problemas es que el sujeto tiene queorganizar la información contenida en la historia para responder a una preguntaque le hacen. Esa información está dada en forma de cifras (cantidades) y de accionesque realiza el personaje de la historia.
Los problemas consisten en:a)Asegurarse de lo que dice el enunciado y tratar de decirlo con sus propias palabras.
Si logra decirlo conservando la idea del enunciado será señal de que ha entendidode qué se trata.
b)Entender la idea, no de repetir el enunciado tal y como se ha dictado, por ejemplo:
Un niño fue a la papelería y compró un cuaderno y una regla. El cuaderno costó 27pesos y la regla costó 15 pesos. ¿Cuánto pagó el niño en su compra?¿Qué entiendes de este enunciado?¿Qué te están preguntando?Si tu fueras el niño de la historia ¿sabrías cuanto pagaste?
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De estos puntos depende que se pueda resolver un problema. A veces lo que dice elenunciado no es muy claro entonces conviene hacer un dibujo que represente loque dice este enunciado.
Barbera y Gómez (1996) mencionan que habitualmente la resolución de problemasse ha utilizado en la enseñanza de las matemáticas como una forma de aplicaciónde los conocimientos adquiridos previamente. El proceso habitual de enseñanzasuele ser el de enseñar un concepto o algoritmo y después poner un problema paracomprobar que está adquirido.
Gagné (1970) citado por Orton (1990), clasificó la resolución de problemas, comola forma mas elevada de aprendizaje, la definió como un proceso por él quienaprende descubre una combinación de reglas previamente aprendidas (que puedenser aplicadas)... Para lograr una solución a una nueva situación problemática.
La resolución de problemas puede cumplir una función más importante comoinstrumento para plantear situaciones que requieran una solución matemática y quepermitan el planteamiento de cuestiones, la investigación, la discusión, la exploración,la especulación y la contextualización de las operaciones.
Podemos constatar el argumento de Gagné con la investigación de Santos (1996)en donde se refiere a que una actividad importante para los estudiantes en el estudiode las matemáticas es la resolución de múltiples problemas. Aún cuando los estudiantespueden pensar que el obtener la solución de un problema es la etapa final y másimportante en matemáticas, es interesante hacer notar que el análisis de la calidadde las estrategias o métodos empleados al resolver tal problema juega un papelfundamental en el desarrollo y aprendizaje de esta disciplina. En este estudio deSantos, se analiza el trabajo que muestran estudiantes de enseñanza media superioral interactuar con problemas que ofrecen varios métodos de solución. Los resultadosmuestran que, en general, los estudiantes experimentan dificultades al tratar de re-solver los problemas en diferentes formas. Sin embargo, cuando los estudiantes recibencierta ayuda y explícitamente se les pide pensar en otras formas de solución estosgeneralmente responden y muestran avances significativos. Una implicación directapara la instrucción matemática es que el análisis de las cualidades de las diversasformas de solución de un problema ofrece un potencial para que los estudiantesexploren otros contextos (Geométrico, algebraico, aritmético, entre otros) yestablezcan o valoren los limites y ventajas de determinados métodos.
Orton (1990) concibe la resolución de problemas normalmente como generadorade un proceso a través del cual quien aprende combina elementos del conocimiento,reglas, técnicas, destrezas y conceptos previamente adquiridos para dar una solucióna una situación nueva.
Es importante mencionar que los problemas no son rutinarios; cada uno constituye,en mayor o menor grado, una novedad para el que aprende. Su solución eficazdepende de que el alumno no sólo posea el conocimiento y las destrezas requeridassi no también que sea capaz de utilizarlos y establecer una red o estructura.
Uno de los aspectos de la resolución de problemas en matemáticas es que, con
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frecuencia, esos problemas están marginados tanto de la corriente general de lamateria, como del mundo de la realidad.
El deseo de ayudar a quienes aprenden para que se conviertan en personas capacesde resolver mejor los problemas es un propósito de la educación frecuentementeexpresado y no sólo respecto a la educación matemática.
El empleo de la resolución de problemas como un componente deliberadamenteconcebido de un curriculum de matemáticas implica un cambio radical del enfoque docentebasado en el estilo más tradicional de la exposición y de la práctica de destrezas.
En relación a lo anterior González (2000) realizó un estudio evaluativo de unprograma de iniciación a las matemáticas basado en la resolución de problemaspara niños de primer ciclo de educación primaria.
La evaluación del programa se realizó atendiendo a diferentes dimensionesevaluativas. Se centraron en la evaluación de los procesos de implementación delproceso resolutor a través del Esquema Lingüístico de Interacción (E.L.I.) previsto enel diseño del programa así como en los resultados o logros fundamentales que sealcanzaron durante su desarrollo. Para la evaluación del proceso resolutor utilizaronuna escala de observación tipo lista de control; la evaluación de los resultados larealizaron a partir de la elaboración de cinco pruebas de rendimiento teniendocomo referentes evaluativos los objetivos del programa en las distintas áreascurriculares del mismo. Finalmente, esta investigación evaluativa, se aborda desdela percepción que sobre el programa han tenido los que lo han desarrolladoconsiderando que ha aportado a ellos el programa como docentes y a los alumnosque lo han recibido Los resultados obtenidos señalan la aportación del programacomo herramienta conceptual, la estimación de ciertos indicadores cualitativos decarácter actitudinal, organizativo y social realizados por los profesores que lo hanimpartido así como un cambio de actitud ante la enseñanza de las matemáticas.
Bruer (1999) explica que los niños odian los problemas de palabras; debido aque no entienden sus propósitos y los ven como otra extraña tarea escolar. Sinembargo, como son listos, realizan estas tareas adecuadamente. El truco está endeducir qué operaciones matemáticas se deben aplicar a las cantidades queaparecen en el problema para obtener la respuesta correcta. Los niños utilizanuna estrategia superficial pero adecuada: buscan la palabra clave que revele queoperación deben realizar.
Kintsch y Greeno (1985) basándose en la teoría de procesamiento de textos de VanDijk y Kintsch y combinanadola con la hipótesis de Riley, Greeno y Heller acercadel conocimiento semántico de los problemas en la comprensión de textos, usandoun modelo general de procesamiento de textos realizan un modelo que construyerepresentaciones cognitivas que usan los niños con la información necesaria parauna solución exitosa de los problemas verbales; distinguen diversos pasos en elprocesamiento de la información y describen varios niveles de representación.Concluyen que para el dominio de los problemas aritméticos verbales hay tres etapas:presuposiciones espaciales, la referencias a los grupos y las estrategias especialesde comprensión.
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Para que los alumnos puedan resolver de forma adecuada los problemas los mae-stros deben tomar en cuenta los siguientes principios planteados por Vergnaud (1991):
a) Hacer que el niño plantee por si mismo las preguntas que tienen un sentidorespecto al enunciado y, sobre todo, las preguntas intermedias.
b) Introducir voluntariamente informaciones inútiles, o bien al contrario, omitirinformaciones necesarias.
c)Conducir al niño a establecer una (o varias) representaciones operatorias de lasinformaciones, las preguntas y los caminos a seguir para responder.
d) Establecer el vínculo entre las diferentes representaciones (enunciado verbal,cadena o tabla de operadores, ecuaciones algebraicas), pidiendosistemáticamente ejercicios de traducción, como el que consiste en situar unainformación o una pregunta en un esquema.
e) Recurrir, llegando el caso, a una reconstrucción material e imitada de la situacióndada en el enunciado, y establecer los vínculos entre la situación material y lasrepresentaciones que se dan (enunciado, esquema, .......) .
Según Vergnaud estos principios son indispensables para guiar al niño en el análisisa profundidad de las relaciones y las transformaciones en juego, análisis sin el cualla enseñanza conduciría a adiestramientos poco eficaces.
La resolución de problemas matemáticos involucra la idea de interacción de variadosprocedimientos cognitivos. Una de las definiciones mas comúnmente usadas de laresolución de problemas, estipula que la tarea debe ser compleja si se va a referir aella como un problema. Según esta definición, una tarea es un problema para unestudiante, si ella requiere de una solución bajo ciertas condiciones específicas, siel estudiante comprende la tarea, pero no encuentra una estrategia inmediata parasu solución y finalmente es motivado para buscar la solución.
Es característica en la resolución de problemas la capacidad para transformarelementos de un problema de una modalidad a otra, identificando al estudiante conel nivel de comprensión del problema, solicitándole que traduzca y transforme unenunciado verbal en expresiones matemáticas no resolviendo aun el problema. Estoconlleva a seguir una adecuada línea de razonamiento donde finalmente surge ellenguaje matemático.
Es así como la resolución de problemas aproxima la matemática a las situacionescotidianas vinculadas a diferentes contextos y pone de manifiesto el tipo de controlintelectual que el alumno puede realizar sobre cada situación. Por ello, la resoluciónde problemas constituye no sólo una buena estrategia metodológica sino que suponeuna forma de acercamiento más real al trabajo en esta disciplina. No obstante, sehace necesario conocer los niveles reales de habilidad de los estudiantes en laresolución de problemas matemáticos, lo cual implica encontrar variadas formas deevaluar esta habilidad.(Poblete y Diaz 1999)
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La dificultad de los problemas verbales pueden depender principalmente de lossiguientes factores que mencionan Bermejo, Lago y Rodríguez (1998): estructurasemántica, ubicación de la incógnita, tamaño de las cantidades propuestas ypresencia o no de ayudas.
Parra (1991) argumenta que la resolución de un problema implica, en primer lugar,su reformulación en otros términos. Esto puede significar por ejemplo:
a) Transformar el enunciado en símbolos
b) Traducir a una figura o esquema gráfico
c) Detectar un concepto clave para reorganizar los datos del problema.
Puede decirse que el enunciado del problema ha sido comprendido cuando uno escapaz de reformularlo en sus propios términos. Ahora, la capacidad de reformularun problema, de traducirlo en oraciones que se refieren más a “hechos básicos”, esuna capacidad que no puede aprenderse en el curso de una lección tradicional.Esta capacidad sólo puede construirse e incrementarse, poco a poco, en unadialéctica entre uno mismo y el conocimiento matemático establecido, representadosea por el profesor, sea por los colegas, sea la misma teoría matemática. Generaresta capacidad es también, o debería ser, uno de los objetivos de los programas ylos cursos de matemáticas. Una vez que el problema ha sido planteado en los términosque Parra (1991) llamo “operatorios”, se puede tal vez pensar en los métodos oalgoritmos para su resolución. Esto es, se puede establecer el plan para llegar a larespuesta de la pregunta planteada.
Decidir cual es la mejor, la más eficaz, la más elegante, implica el reconocimientode la equivalencia de las diferentes alternativas. Sólo el entrenamiento constantepuede construir la habilidad para elegir el mejor camino en la resolución de unproblema, habilidad que puede traducirse en la elección adecuada de incógnitas.
En la decisión de la estrategia resolutiva, por su parte, es menester identificar loselementos mas simples del problema. Una vez identificados, la tarea consistirá, grossomodo en establecer las relaciones existentes entre ellos, en encontrar la estructurasubyacente para, entonces si poder elaborar un modelo que responda a la situaciónque se estudia. Parra propone que los antecedentes matemáticos pueden construirsea través de la resolución inteligente de problemas a todo lo largo de la escuelaprimaria y secundaria.
La enseñanza tradicional de las matemáticas anteriormente se enfocaba en larealización de actividades memorísticas y cálculo para el aprendizaje de lasoperaciones básicas, quedando los problemas verbales como una función deaplicación, esto ha variado de manera importante y según Lago y Rodríguez (1999)los problemas verbales han pasado a ocupar un lugar destacado en el ámbito de lainvestigación y comienza a hacerlo en el ámbito instruccional.
Diversas investigaciones han utilizado los cuatro pasos que plantea Polya (1965)para la resolución de problemas:
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Este autor plantea que para resolver un problema se necesita:a) Comprender el problema.b) Concebir un plan. Determinar la relación entre los datos y la incógnita.De no encontrarse una relación inmediata, puede considerar problemasauxiliares. Obtener finalmente un plan de solución.d) Ejecución del plan.e) Examinar la solución obtenida.Para cada fase sugiere una serie de preguntas que el estudiante se puede hacer, ode aspectos que debe considerar para lograr avanzar en la resolución del problema,para utilizar el razonamiento heurístico.
Flores (1991) cita a Polya, (1981) quien dice que el pensamiento heurístico son lasestrategias y técnicas para avanzar en problemas desconocidos y no usuales, talescomo: dibujar figuras, introducir una notación adecuada, aprovechar problemasrelacionados, explotar analogías trabajar con problemas auxiliares, reformular elproblema, introducir elementos auxiliares en una problema, generalizar, especializar,variar el problema, trabajar hacia atrás.
Schoenfeld (1985) citado por Flores (1991) señala por una parte que las categoríasde Polya de pensamiento heurístico resultan demasiado abstractas y generales parael principiante. Hay que descomponer las estrategias generales en estrategias masespecíficas. Después hay que enseñar cada una de las estrategias específicas.Schoenfeld por otro lado señala que la habilidad para resolver problemas se veafectada por factores tales como: los recursos matemáticos con los que cuenta elalumno, el control que tenga de las estrategias utilizadas y su sistema personal decreencias. Las creencias determinan la conducta de un individuo: como se aproximaa un problema, cuales técnicas usa o evita, que tanto tiempo o que tan duro trabajaen el problema.
En su investigación Rimoldi (1996) identifica que al estudiar las tácticas empleadaspor niños de corta edad para resolver problemas que involucraban conceptos yoperaciones matemáticas por ellos desconocidos, presentados en un lenguajecorriente, no abstracto, se encontraron que las preguntas que formulaban estabanclaramente relacionadas con los elementos y las relaciones de la estructuramatemática subyacente.
En problemas construidos sobre estructuras predeterminadas es posible establecersu dificultad en términos de la teoría de la información. Pero en la mayoría de loscasos la estructura subyacente es desconocida en tal situación la dificultad inherenteal problema puede ser aproximada examinando las tácticas que realizan grupos desujetos determinados. Ello significa que la táctica de cada sujeto puede ser evaluadaen función de diferentes normas.
Parra (1990) considera que un problema ha sido resuelto por un individuo cuandocree, explícita o implícitamente, que ha obtenido la verdadera solución.
A grandes rasgos, puede decirse que, al resolver un problema, el sujeto:
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a) Formula en problema en sus términos propios.
b) Experimenta, observa, tantea.
c) Conjetura.
d) Valida.
El proceso de resolución descrito se traduce, para los problemas escolares, en unproceso de tres pasos, a saber:
a) Entender el problema.
b) Desarrollar y llevar a cabo una estrategia.
c) Evaluar la solución.
En la investigación de De Corte y Verschaffel (1985) presentan un modelo parael proceso óptimo para la resolución de problemas en niños de primer año conrespecto a los problemas de suma y resta simple. De acuerdo al modelo, dos tiposde esquema juegan un papel crucial en esta fase de construcción de la representaciónmental del problema verbal: el esquema semántico que representa las materiasconcernientes al conocimiento de las diferentes relaciones entre los problemas verbalesde suma y resta y un esquema más formal y general el cual incluye conocimientoacerca de la estructura de la resolución de un problema, el papel y la intención delos problemas verbales. Ellos llaman a este esquema “Esquema de ProblemasVerbales” (Word Problem Schema WPS).
Por medio del análisis de datos descubrieron una serie de malentendidos y losdefectos en la representación de los problemas en los niños el cual conduce aerrores lógicos y predecibles. También descubrieron un número de errores que noson causados por dificultades en el proceso semántico pero son derivados de lafalta de buen desarrollo de un esquema de problemas verbales en los alumnos deprimer grado, como resultado de una desfamiliaridad con algunas tareas yconsecuentemente con las reglas del juego de los problemas verbales.
Los resultados de esta investigación apoyan el Modelo de Resolución de ProblemasVerbales Aritméticos desarrollado por Riley, Greeno y Heller (1983) citados por Decorte y Verschaffel (1985) en el cual el proceso semántico es considerado uncomponente crucial en la habilidad para resolver problemas. El modelo consiste encinco etapas:
a) El proceso de solución de la competencia par resolver un problema comienzacon la construcción de una representación mental global de una situación -problema;
b) Basados en esta representación la solución del problema selecciona una operaciónaritmética formal o una estrategia informal de contabilidad para encontrar elelemento desconocido en la representación del problema;
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c) La ejecución de la acción seleccionada o la operación siguiente como una fase enel proceso de resolución del problema;
d) Entonces la solución del problema reactiva la representación inicial del problema,reemplazando el elemento desconocido por el resultado de la acción ejecutada yformulan la respuesta;
e) La etapa final consiste en la verificación de acciones para verificar que una soluciónes correcta encontrada en una etapa anterior.
Estos modelos de resolución de problemas han mostrado ser eficaces paraenseñar a los niños a resolver los problemas aritméticos verbales.
Aguilar y Navarro (2000) evaluaron las habilidades de un grupo de 98 alumnos de8 años, para resolver problemas aritméticos verbales de una sola operación.Desarrollaron un programa específico para el entrenamiento de habilidades deresolución de este tipo de problemas, centrado en medidas heurísticas generales,además de entrenamiento específico en problemas de cambio combinación,comparación, igualación, isomorfismo de medidas y producto cartesiano. Losresultados indican la superior eficacia del programa de entrenamiento en resoluciónde problemas aritméticos verbales de una sola operación frente a estrategias deensayo y práctica tradicionalmente desarrollada en la escolarización regular.
Parra (1991) considera que la resolución de problemas en la construcción deesquemas de razonamiento, lo que la escuela no construye esencialmente, es lacapacidad para construir argumentaciones, para justificar una respuesta en términosde hechos conocidos establecidos en matemáticas, para construir modelos que sirvanpara resolver problemas diversos, en suma; para establecer la conexión entre lateoría y la realidad.
La representación debiera ser un recurso habitual que se utiliza no sólo para ilustrarconceptos nuevos, sino para desarrollar en el estudiante el hábito de buscar relacionesy reconocer patrones, cuestión importante en matemáticas, y a la que pocaimportancia se le ha dado en la enseñanza elemental.(Parra 1989)
En particular (Alarcón y Parra, 1978 y Parra, 1988) citados por Parra (1991), handiscutido acerca de la importancia de la resolución inteligente de problemas en laenseñanza elemental. Es decir la importancia de permitir que los alumnos construyansus propios caminos de razonamiento, sus propias estrategias de resolución y sobretodo la importancia de que puedan explicar porque de esa resolución.
Antes se han descrito a los problemas escolares como “una historia que nos cuentaalgún tipo de actividad en la que el protagonista tiene que contar o medir” (Parra,1988)citado en Parra (1991). En sentido amplio, un problema es algo más que unahistoria de este tipo. Un problema plantea una situación que debe ser modeladapara encontrar la respuesta a una pregunta que se deriva de la misma situación y lasolución no es inmediata.
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Sólo el entrenamiento constante puede construir la habilidad para elegir el mejorcamino en la resolución de un problema, habilidad que puede traducirse en la elecciónadecuada de incógnitas, la elección adecuada de ejes de coordenadas, la notaciónmás pertinente o económica en términos de lo que se trata de establecer.
Es crucial la capacidad para enfrentar un problema verdadero, para elaborar unesquema de resolución, aunque no se llegue siempre a la solución no se construyeen la escuela. Y sin embargo, es a través de este proceso que puede elaborarse elrazonamiento lógico, partiendo tal vez de argumentaciones informales en losprimeros años para ir formalizando poco a poco los razonamientos elaborados.
Con respecto a las investigaciones que se han hecho de los problemas verbalesLago menciona cuatro niveles evolutivos que favorecen el estudio del cambio con-ceptual que son:
a) Alrededor de los 5 o 6 años los niños pueden trabajar con una sola cantidad(p.e., saben cómo contarla). Este conocimiento basta para resolver los problemasde cambio más sencillos, los de adición en los que la incógnita se sitúa en elresultado. Por el contrario, este nivel de conocimiento no les permite resolver losde combinación, ni los de comparación, dado que éstos demandan lacomparación simultánea de dos cantidades. Operaciones aritméticas de adicióny sustracción. Por ejemplo, podrían resolver un problema de cambio con laincógnita en el segundo sumando contando desde la cantidad menor hasta lamayor (p.e., “Luis tenía 5 cromos y compró algunos. Ahora tiene 8 cromos.¿Cuántos cromos compró?”).
b) En torno a los 7 u 8 años han adquirido el esquema partepartetodo que loscapacita para manejar una situación estática en la que tienen que imponer ellosmismos una estructura sobre la situación descrita en el problema verbal. Por ello,resuelven problemas de cambio con la incógnita en el primer término.
c) A partir de los 9 o 10 años los niños disponen de los esquemas necesarios parasolucionar los diferentes problemas de comparación.
Con respecto a los procedimientos empleados por los niños para resolver losproblemas verbales, se agrupan en tres grandes tipos:
a) Modelado directo con objetos físicos.
b) Conteo verbal.
c) Estrategias mentales, incluyendo el recuerdo directo de algunos hechos numéricosde adición y sustracción.
Estas categorías implican progresivamente un mayor grado de abstracción. No ob-stante, no es suficiente que el niño disponga de un procedimiento más sofisticadopara garantizar su aplicación, ya que la elección de un procedimiento u otro dependeademás del tipo de problema y del tamaño de las cantidades del enunicado.
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Están las estrategias de modelado directo estas están apoyadas en la utilización deobjetos que sirve para representar directamente tanto las cantidades del problemacomo las acciones o relaciones descritas en el mismo, se incluyen en esta categoríalos procedimientos de:
a) Añadir a: se construye un conjunto y se le añaden, de uno en uno, los objetoscorrespondientes al segundo. La acción de añadir determina cuando el conjuntototal ha alcanzado su tamaño, concluyendo el proceso al recontar los objetosque lo componen (p.e., para adicionar 6 + 4 se construirá un conjunto de 6objetos. Éste se incrementará con la acción de añadir los elementos del segundosumando de uno en uno al tiempo que se cuentan “ 1, 2, 3, 4”. Una vez formadoel conjunto que contiene todos los objetos se procede a contarlo ‘% 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10").
b) Quitar a: se quitan objetos de uno en uno hasta que el conjunto inicial llega atener un tamaño determinado. Contando los objetos retirados se llega a larespuesta en un problema de sustracción (p.e., 6 4 se resuelve creando un conjuntode 6 elementos y retirando 4 de uno en uno. Contando los que aún quedan seconoce la respuesta “1 2”).
c) Contar todo: primero se representan físicamente los dos conjuntos y, a continuación,se cuentan los objetos resultantes de la unión de ambos para obtener la respuestaen un problema de adición.
d) Emparejamiento: se disponen los conjuntos en correspondencia unoauno.Determinando la magnitud de lo que excede el conjunto mayor al menor seencuentra la respuesta en un problema de sustracción. Esta cuantificación de larelación entre dos conjuntos puede llevarse a cabo de dos maneras:
e) Quitando: se separa la parte del conjunto mayor que no ha podido ser emparejada,física o visualmente, y se cuenta.
f) Añadiendo: después de establecer la correspondencia unoauno, se añaden objetosal conjunto menor hasta igualarlo con el mayor. Al contar los objetos añadidos seestablece la respuesta.
Los procedimientos que integran la categoría de conteo verbal se caracterizan porel uso de los numerales de la secuencia de conteo, sin la presencia de objetos físicos.El conteo se realiza hacia delante o hacia atrás y se finaliza cuando se ha aplicadoalguna regla. Normalmente este modo de proceder implica una ejecución subvocal.Algunas de las estrategias que se encuentran dentro de estos procedimientos son:
- Contar hacia delante a partir de: se cuenta a partir del primer término y se añade elsegundo si se trata de una adición (p.e., 2+3 conllevaría la secuencia ‘2,3,4,5 ...5"), o se cuentan los numerales desde el término menor hasta el mayor si se trata deuna sustracción.
- Contar todo: se cuentan los dos términos, para proceder luego al recuento de todosen el caso de la adición (p.e., 2+3 equivaldría a contar “l,2 1, 2, 3 ... 1,2,3,4,5 ....
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5”), o la diferencia entre ellos en el caso de la sustracción.
3. Clasificación de problemas verbales matemáticos.
En este apartado se analizan algunas de las clasificaciones más relevantes de losproblemas verbales matemáticos.
Bermejo, Lago y Rodríguez (1998) marcan que desde los inicios de la década delos ochenta, sobre todo, se insiste acertadamente en la relevancia de los problemasverbales en la formación matemática de los niños, desplazando el interés que hastaentonces se había prestado en exceso al aprendizaje del algoritmo. Se pretendeaproximar las matemáticas a la vida extraescolar de los niños, al mismo tiempo quese toma conciencia de la importancia de los aprendizajes informales.
Autores como Lago y Rodríguez (1999), definen que los problemas verbales sonsituaciones matemáticas altamente significativas para el alumno, por cuanto consistenen descripciones verbales de algún evento cuantitativo que se produce en el mundoreal. Por ello, constituyen un medio ideal para motivar a los escolares en el aprendizajede un concepto o habilidad particular.
También Aguilar y Navarro (2000) hacen una definición de los problemas aritméticosverbales que son aquellos que se presentan de manera verbal, sea esta oral oescrita. Consta de un texto con una o varias frases con significado. En esta definiciónestará basada nuestra metodología.
Lago y Rodríguez (1998) presentan cuatro tipos de problemas verbales en funciónde la estructura semántica (presencia o no de acción y tipo de relación) de losmismos que son los siguientes:
a) Problemas de Cambio , que se caracterizan por la presencia de una acción implícitao explícita que modifica una cantidad inicial
b) Problemas de Combinación , en los que se proponen dos cantidades disjuntas quepueden considerarse aisladamente o como partes de un todo, sin que haya algúntipo de acción.
c) Problemas de Comparación , que presentan la relación entre dos cantidadesdisjuntas, ya sea para establecer la diferencia existente entre ellas o para encontraruna cantidad desconocida a partir de otra conocida y la relación entre ellas.
d) Problemas de Igualación , que contienen elementos de los problemas de cambio ycomparación. En ellos se presenta una acción implícita basada en la comparaciónde dos conjuntos disjuntos.
La dificultad de estos problemas se corresponde con el orden en que han sidopresentados, si bien las diferencias son especialmente notorias entre los dos primerosy los dos últimos. No obstante, el lugar que ocupa la incógnita es un factor inclusomás significativo que la estructura semántica de los problemas, sobre todo cuandose haya en el primer sumando (ver Bermejo y Rodríguez 1990)
La formulación verbal del problema puede igualmente facilitar o dificultar su resolución.
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En cuanto a los errores aparecidos en la solución de los problemas verbales, Lagoy Rodríguez (1998) distinguen dos clases: los de representación y los de ejecución.Los errores de representación surgen cuando los niños construyen una representacióninapropiada del problema verbal planteado, mientras que los de ejecución semanifiestan en la resolución de la operación aritmética, que ya han sido recogidosanteriormente al hablar del logaritmo.
Por tanto, centrándose en los errores de representación cabe diferenciar los siguientestipos: inventar la respuesta, seleccionar una operación inadecuada y repetir una delas cantidades dadas en el enunciado del problema.
La selección de una operación inadecuada suele producirse cuando los niños aplicanla forma canónica “ a + b =? “ a problemas en los que la incógnita se sitúa en unode los sumandos. Este error se manifiesta en las cuatro categorías semánticas deproblemas (cambio, combinación, comparación e igualación), debidofundamentalmente a tres razones: a) los niños no entienden la indefinición relativa auno de los sumandos y le asignan la cantidad que figuran a continuación en elenunciado del problema; b) no comprenden la relación temporal expresada en eltexto del problema, y c) no entienden la proposición comparativa que determina lacuantía del sumando desconocido, como ocurre, por ejemplo, en los problemas decomparación. Por último, el error que consiste en repetir una de las cantidades delenunciado se observa frecuentemente en los diversos tipos de problemas, aunqueaparece especialmente en los problemas de comparación, cambio y combinación.
Heller y Greeno (1978) citados por Bermejo, Lago y Rodríguez (1998) atendiendoa la estructura semántica de los problemas verbales de sumar y restar establecentres tipos de problemas: problemas de cambio, de combinación y comparación; losprimeros describen situaciones dinámicas, mientras que los dos restantes presentansituaciones estáticas. Los problemas de cambio suponen una acción que modificauna cantidad inicial.
Otra clasificación de los problemas verbales es la de Vergnaud (1982) citado porBermejo, Lago y Rodríguez (1998) que atiende a tres criterios principales: medida,transformación y relación estática.
Por otra parte Carpenter y Moser (1982) citados por Bermejo, Lago y Rodríguez(1998) clasifican los problemas verbales atendiendo a cuatro dimensiones:
a)carácter dinámico vs estático de la relación entre los conjuntos del problema,
b) tipo de relación entre conjunto y sus subconjuntos,
c) si la acción implica un incremento o un decremento de la cantidad inicial,
d) naturaleza de la incógnita.
Bermejo, Lago y Rodríguez (1998) citan a Fuson (1992) que clasifica los problemasverbales de adición y sustracción basándose en dos aspectos: si implican una operaciónunaria o binaria y si el problema presenta una estructura estática o dinámica.
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En particular Aguilar y Navarro (2000) hacen una clasificación de estos problemasdonde toman en cuenta la clasificación de Lago y Rodríguez (1998) y añaden tresclasificaciones más las cuales utilizaron en su investigación, la clasificación completade Aguilar y Navarro (2000) es la siguiente:
a) Problemas de Cambio. Los problemas de tipo cambio implican una cantidad inicialy una acción que causa una transformación (incremento o decremento) de estacantidad, produciéndose un resultado final. Puede preguntarse al resolutor por lacantidad inicial, el resultado final o por el cambio.
b) Problemas de Combinación. Los problemas de combinación describenrelaciones estáticas entre conjuntos. Responden al esquema parte-parte-todo.Puede darse una parte y la otra y preguntar por la cantidad de la unión (el todo);o bien expresan él todo y una parte, teniéndose en este caso que averiguar laparte que falta.
c) Problemas de Comparación . Se presentan relaciones estáticas de comparaciónentre dos cantidades. Pero esta comparación se hace sobre dos cantidadesdisjuntas. Una de las cantidades hace funciones de “referente” y la otra de“cantidad comparada”. Un tercer elemento del problema es “la diferencia” ocantidad que excede entre el referente y la cantidad comparada. Utilizan lostérminos comparativos “mas que” y “menos que”.
d) Problemas de Igualación . Son un híbrido de problemas de comparación y cambio.Se caracterizan porque hay en ellos una comparación entre las cantidades queaparecen, pero como se pide igualar las dos cantidades comparadas es tambiénun tipo de problemas con relaciones dinámicas, es decir, se produce unatransformación sobre una de las cantidades para conseguir igualar numéricamentea la otra. Estas relaciones se establecen por el uso del comparativo de igualdad“tantos como”, “tener los mismos que”, “igual numero que”.
e) Problemas de Isomorfismo de medidas constatan de dos proposiciones asignativasy dos proposiciones interrogativas. En la redacción puede aparecer como una solaproposición asignativa y una interrogativa pero la proposición asignativa puededescomponerse en otras dos por ejemplo el problema queda redactado así:
“Tres niños tienen 3 caramelos cada uno. ¿Cuántos caramelos tienen los tres juntos?”
Todos los verbos usados son de pertenencia, existencia o reparto. Los problemas deIsomorfismo de Medidas son problemas que pueden considerarse como problemasdel esquema parte y todo dentro de la estructura multiplicativa.
f) Problemas de Escalares Grandes y Pequeños : son problemas de comparaciónmultiplicativa en los que aparecen proposiciones asignativas y proposicionesrelaciónales. Las preguntas son formuladas tanto con proposiciones asignativas(¿Cuántos son?) como proposiciones relacionales (¿Cuántas veces más?) . Todos losproblemas de escalares grandes y pequeños han sido enunciados con tresproposiciones que son oraciones simples. Los verbos usados son verbos depertenencia, coste y de acción pero siempre presentados con situaciones estáticas.
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g) Problemas de Producto Cartes iano: las oraciones son proposicionesasignativas que expresan relaciones estáticas, aunque en los problemas se presentanacciones que los alumnos pueden realizar o imaginar que realizan.
Esta ultima clasificación es la que se retoma en esta investigación.
4. Los problemas matemáticos en quinto año de primaria
Desde muy atrás en la Historia de la Educación se venia considerando que el cur-riculum debía construirse sobre principios pedagógicos y psicológicos. Sin embargo,ha sido un proceso largo y difícil el que ha permitido dotar de rigor a un campodenominado a la vez por justificaciones y argumentos filosóficos e intuicionespedagógicas.
Armendariz, Azcarate y Deulofeu. (1993) mencionan que la didáctica de lasmatemáticas es una disciplina autónoma, interdisciplinar, con un campo teórico ypráctico propio, en fase de desarrollo pero cada vez más definido y que por tanto,no se puede considerar como una simple suma de partes como son las áreas delsaber que constituyen sus fuentes y con las que necesariamente se relaciona.
Debido a la variedad de las fuentes científicas y de aplicación, dentro de la didácticade las matemáticos nos encontramos con una amplia gama de campos deinvestigación:Las que hacen referencia :
a) al pensamiento del profesor y la influencia de su marco conceptual ,
b) a los estudiantes,
c) a las estrategias de enseñanza,
d) al marco en el que se desarrolla la enseñanza.
Dienes (1980) citado por Armendariz, Azcarate y Deulofeu. (1993) creía que losniños son constructivistas por naturaleza, más que analíticos y que se construyen unaimagen de la realidad a partir de sus experiencias con los objetos del mundo. Esteproceso depende en gran medida de una “exploración activa” como puso demanifiesto Piaget. Dado que las relaciones y pautas matemáticas no son evidentes,Dienes propone que se “materialicen” estas estructuras en forma de materialespara la enseñanza. podríamos también decir que se concretan o que tomaran cuerpocaracterísticas y propiedades tanto cuantitativas como cualitativas, permitiendoaproximaciones “concretas” a cuestiones que tradicionalmente sólo eran manipuladassimbólicamente.
Actualmente y desde la perspectiva de la investigación en Didáctica de laMatemáticas, no se considera el aprendizaje de las matemáticas solamente desdeel punto de vista de la adquisición de competencias y de habilidades, sino que secontempla cada vez mas en términos de procesos cognitivos.
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Estos planteamientos coinciden con lo planteado en los planes y programas de estudiode quinto año de primaria donde nos pudimos dar cuenta que se abordan tanto losproblemas verbales como la comprobación de conocimientos adquiridos previamente.Dentro del libro para el maestro de quinto año se menciona que es importante que elmaestro diferencié cuando una actividad consiste en un problema. Para ello debetener presente que, a partir de los datos del problema, se quiere obtener unainformación que no es consecuencia inmediata de estos. Estas informaciones puedenproporcionarse a través de enunciados, documentos, situaciones y experiencias ode la construcción de un objeto o un juego matemático. Estas actividades debenllevar al niño a efectuar descubrimientos propios y no sólo aquellos que queremosque aprendan. Es por ello que se debe estimular en el niño un espíritu de búsquedaque lo ayude a desarrollar la intuición matemática.
Al plantear un problema en la escuela primaria deben considerarse tres funcionesfundamentales:
a) Un problema puede plantearse con el propósito de motivar nuevos aprendizajesy habilidades.
b) Una vez que los alumnos han construido un determinado conocimiento, el mae-stro podrá plantear problemas con los que pueda conocer y evaluar comoaplican las nociones o procedimientos aprendidos, mientras que el alumnocomprobará los conocimientos que va adquiriendo.
c) El maestro deberá plantear problemas abiertos en los cuales los alumnos, poriniciativa propia u orientados por el maestro, identifiquen las situaciones que sederivan del problema original e indaguen todo lo que sea posible con los datosque se ofrece. Al presentar o redactar un problema es importante que el maestrotenga claro que propósito se persigue.
Por lo anterior debemos tomar en cuenta lo que menciona Maza (1995) cuando serefiere a que cuando un niño intenta resolver un problema aritmético elementaldebe contar con una adecuada representación interna de los elementos de esteproblema. Es preciso también que utilice materiales o representaciones gráficas yverbales concluyendo con la expresión simbólica de lo realizado, esto debe serconsiderado por los profesores de educación primaria.
En el Libro del maestro de quinto año se sugiere que se cumpla con determinadascondiciones para plantear los problemas matemáticos:
a) Que responda a una necesidad o interés del niño.
b) Que despierte el interés de búsqueda para resolverlo.
c) Que pueda expresarse en algún lenguaje (aritmético, geométrico, gráfico, etc.) ysi es posible se traduzca de uno a otro.
d) Que su grado de dificultad no sea tan grande como para desanimar a los alumnos.
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e) Que permita al niño tener libertad de elegir distintos caminos.
Esta perspectiva planteada en los libros de texto concuerda con lo plateado porLabarrere (1987) cuando menciona que en la literatura Psicológica y Metodológicaes habitual diferenciar tres funciones que han sido establecidas atendiendofundamentalmente al papel que desempeñan los problemas en la dirección yactivación de la actividad cognoscitiva del escolar, las cuales se explican acontinuación:
La función de enseñanza radica en que los problemas sirven de vía o medio, para laadquisición, ejercitación y consolidación de sistemas de conocimientos matemáticospor los alumnos y para la formación de las habilidades y los hábitos correspondientes.
La función educativa de los problemas se comprende la influencia que ellos ejercensobre la formación de la personalidad del alumno es decir, sobre el desarrollo de suconcepción científica del mundo, y de una posición activa y critica con respecto alos fenómenos y hechos naturales y sociales.
La función de desarrollo tiene que ver específicamente con la influencia que ejercela solución de problemas sobre el desarrollo intelectual del escolar y, específicamentesobre la función de su pensamiento.
El análisis de los planes y programas de quinto año de primaria, nos permitió visualizarlos conocimientos previos del alumno y con ello determinamos la pertinencia deaplicar el programa instruccional PIRPAEVSO a los niños de quinto año de primariacomo base para el desarrollo de este trabajo.
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METODOLOGÍA
El diseño de esta investigación es cuasiexperimental. Se trabajó con dos grupos.Uno de ellos fuer entrenado en un programa instruccional, se esperaba que estosalumnos obtuvieran mayor rendimiento en resolución de problemas verbales deestructura aditiva y multiplicativa que el grupo control.
Aplicamos el Pretest PAEVSO (Problemas Aritméticos Elementales Verbales de unaSola Operación) diseñado por Aguilar y Navarro (2000) a los dos grupos, el grupoexperimental recibió el programa instruccional PIRPAEVSO (Programa Instruccionalde Resolución de Problemas Aritméticos Elementales Verbales de una Sola Operación)y finalmente se aplicó el Postest PAEVSO a ambos grupos.
Sujetos
Se tomaron los dos grupos de quinto año de la escuela primaria “Próceres de laIndependencia” que es una escuela pública, ubicada al sur de la ciudad.
El grupo de quinto “A” (grupo control) tiene 36 alumnos y el grupo de quinto “B”(grupo experimental) tiene 30 alumnos, sus edades oscilaban entre los 10 y 11 añosy son de sexo femenino y masculino. Los alumnos eran de nivel socioeconómicomedio a medio bajo.
Instrumentos
1.Se utilizó el pretest PAEVSO en la forma A (Problemas Aritméticos ElementalesVerbales de una Sola Operación) (ANEXO 1) diseñado por Manuel AguilarVillagran y José I. Navarro Guzmán (2000)
2. Se utilizó el programa instruccional PIRPAEVSO (Programa Instruccional deResolución de Problemas Aritméticos Elementales Verbales de una Sola Operación)que incluye un Manual para el Profesor y un Manual para el alumno, (ANEXO 3)que tiene un componente referido a una heurística (método de investigación basadoen el descubrimiento de nuevas relaciones o normas) general y componentes deentrenamiento en las diversas categorías de los problemas.
3. Se utilizó el PAEVSO en la forma B (ANEXO 2) como postest.
Procedimiento
1. Se realizó una adecuación del programa en su totalidad en lo que respecta allenguaje de los test y el programa instruccional.
2. Se sometió a jueceo los instrumentos con expertos y se hicieron los ajustescorrespondientes.
3. Se pilotearon los instrumentos con un grupo con características similares a la
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población objeto.
4. Se tomó un grupo experimental y otro control respetando su asignación natural.
5. Se aplicó la evaluación de la batería PAEVSO en la forma A, a los alumnos dequinto año de primaria en el grupo “A”(grupo experimental) y “B”(grupo control),este fue aplicado por las instructoras en dos sesiones de dos horas quince minutoscon cada grupo a partir de las ocho de la mañana a las diez quince de la mañana.
6. Las instructoras desarrollaron el programa con el grupo experimental en 17 sesionesde acuerdo a las tres fases siguientes:
Estas tres fases son parte estructural de cada uno de los siguientes subprogramas:1. Programa introductorio de heurística general.2. Programa de entrenamiento para los problemas de cambio.3. Programa de entrenamiento para los problemas de combinación.4. Programa de entrenamiento para los problemas de comparación.5. Programa de entrenamiento para los problemas de igualación.6. Programa de entrenamiento para los problemas de isomorfismo de medidas.7. Programa de entrenamiento para los problemas de producto cartesiano.8. Programa de repaso general.
FASE MANIPULATIVA 1.Pensando en el problema sin números 2. Representando la situación con fichas 3. Resolviendo el problema
FASE DE DIAGRAMAS 1. Elección del programa adecuado 2. Situación de la incógnita en el diagrama del problema. 3.Resolviendo el problema.
FASE SIMBÓLICA 1.Elegir la operación adecuada y su representación simbólica. 2. Comprobar que la solución es correcta.
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Las sesiones que desarrollaron las instructoras estuvieron organizadas de la siguientemanera:
SESION CONTENIDO DURACIÓN
1
Resolución de problemas de una sola operación. Heurística general¿Cómo solucionar un problema de matemáticas?1. Comprender el problema (subrayar la pregunta)2. Elegir la operación adecuada3. Realizar la operación elegida4. Ver (comprobar) si la solución es correcta
25 min.
2Entretenimiento manipulativo, gráfico (diagrama de cambio) ysimbólico de los problemas de cambio 1, 2 y 4
40 min.
3Problemas de cambio 6 y 5 40 min
4 Problemas de cambio 340 min.
5Introducción gráfica al esquema "EL TODO Y LAS PARTES"Los problemas de combinación (el todo y las partes)Combinación 1 y 2 problemas ya resueltos
40 min.
6Modelado de los problemas de combinación 1 y 2Problemas de combinación 1 y 2
45 min.
7Introducción manipulativa a los problemas de comparación(lamina con diagramas para realizar con fichas manupulativas)
40 min.
8 Problemas de comparación 4 y 3 30 min.
9 Problemas de comparación 2 y 1 40 min.
10 Problemas de comparación 6 y 540 min.
11Introducción manipulativa a los problemas de igualación (lamina condiagramas)Problemas de igualación 5 y 2
55 min.
12 Problemas de igualación 6 y 1 40 min.
13 Problemas de igualación 3 y 4 40 min.
14 Problemas de isomorfismo de medidas 1, 2 y 330 min.
15Introducción manipulativa a los problemas de producto cartesiano1 y 3 (juego de tablero)
45 min.
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Problemas de producto cartesiano 1 y 2Repaso de instrucciones generalesRepaso general de los problemaspor categorías: cambio, combinación y comparación (solo reconocery usar el diagrama)Repaso general de las categorías de: igualación, isomorfismo demedidas y producto cartesiano
60 min.
17 Repaso general de todos los problemas mezclados60 min.
29
7. Se aplicó el postest PAEVSO en la forma B a los dos grupos, por parte delas instructoras en dos sesiones de dos horas quince minutos con cada grupo apartir de las ocho de la mañana a las diez quince de la mañana.
8. Se analizaron los resultados de los grupos control y experimental mediante elestadístico t de student.
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Análisis de resultados
Análisis cuantitativo
Para el análisis cuantitativo de los datos obtenidos en el pretest (PAEVSO A) y en elpostest (PAEVSO B) se utilizó la prueba t de student ya que esta prueba estadísticaes para evaluar si dos grupos difieren entre si de manera significativa respecto a susmedias.
En este trabajo nos propusimos demostrar que alumnos entrenados por un programainstruccional obtienen mayor rendimiento en la resolución de problemas verbales deestructura aditiva y multiplicativa que un grupo control que sigue la práctica escolarhabitual.
Para ello hemos desarrollado una prueba t de student para grupos independientessegún el postest, con el fin de conocer si difieren el grupo control y el experimentalsignificativamente respecto a sus medias.
Los dos grupos parten con niveles cognitivos diferentes, dado que en el pretest, lasdiferencias entre el grupo experimental y control son: media del grupo experimentaldel total de problemas x = 25.567 . Media del grupo control del total de problemasx = 033.758 (Tabla 1).
Después de aplicar el PIRPEVSO al grupo experimental, se obtienen los resultadosdel postest, donde el grupo experimental obtiene una media de x = 52.833 deltotal de los problemas y el grupo control x = 38.909 del total de los problemas.
Al aplicar la distribución t de student para grupos independientes se deriva lo siguiente:
Donde la hipótesis de investigación es que la media del grupo experimental es mayorque la media del grupo control.
Hinv: µ 1 > µ 2
La hipótesis alterna es la misma que la hipótesis de investigación.
H1: µ 1 > µ 2
La hipótesis nula es que la media del grupo experimental es menor o igual que lamedia del grupo control.
Ho: µ 1 ≤ µ 2
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31
De la Tabla 2 obtenemos las medias del grupo experimental y del control así comola desviación estándar.
x1: 52.832 s1 : 6.639 x2: 38.909 s2 : 10.795
El estadístico de prueba es el siguiente: x1 - x2
t = √ sf + sg N1 N2
Donde la x1 es la media del grupo experimental, x2 es la media del grupo control,S1 es la desviación estándar del grupo experimental elevada al cuadrado, S2 es ladesviación estándar del grupo control elevada al cuadrado, N1 es el tamaño delgrupo experimental y N2 es el tamaño del grupo control.
Calculamos los grados de libertad y aplicamos la formula:
gl= (N1 + N2) -2 gl= (30 + 33) -2 = (63) - 2 = 61
N1 y N2 son el tamaño de los grupos.
52.833 - 38.909 t =
√ 6.639 + 10.795
30 33
13.924 t =
√ .2213 + .3271
13.924 t =
√ .5484
32
13.924 t = ________
.7405
t = 18.8035
gl = 61
α = .01 = 2.390
α = .05 = 1.670
No se rechaza Hi
Con un nivel de significancia de α = .01 = 2.390
El valor calculado es mayor que el de α = 0.1= 2.390 aceptamos la hipótesis deinvestigación.
Por lo que con una confianza de 99% tenemos evidencia suficiente para decir quelos alumnos que fueron entrenados en el programa instruccional PIRPAEVSOobtuvieron mayor rendimiento con la resolución de problemas verbales de estructuraaditiva y multiplicativa que el grupo control.
Cabe señalar que pese a que al inicio el grupo control calificó más alto que el experi-mental (como se muestra en la Tabla 1). En el Postest la diferencia es significativapues los alumnos del grupo experimental obtienen un mayor nivel cognitivo que elgrupo control (como se muestra en la Tabla 2). Por lo que podemos decirestadísticamente que el PIRPAEVSO es una alternativa a la enseñanza de la resoluciónde problemas matemáticos ya que los niños toman conciencia de que existendiferentes categorías semánticas de los problemas matemáticos y de las estrategiasutilizadas para resolverlos de manera apropiada.
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Análisis cualitativo
Con el fin de realizar un análisis más extenso se tomó nota de lo que sucedió en las17 sesiones del programa instruccional PIRPAEVSO, así como de las dos sesionesde la aplicación de el pretest (PAEVSO A) y del postest (PAEVSO B).
Los 30 alumnos de quinto año grupo B, fueron los alumnos del grupo experimental,los niños estaban sentados en filas en mesas duales cómo se muestra en la FotografíaNo. 1, cuando las instructoras les explicamos cómo trabajaríamos durante las siguientes3 semanas con respecto a las matemáticas y los problemas aritméticos; mostraroninterés en el programa, ya que dicen los niños que las matemáticas les gustan comomenciona Gabriela “Me gustan las matemáticas porque las utilizo todo el tiempohasta para dividir una hoja para hacer un cuadro” o Lorena que dice “Las matemáticastambién nos sirven para cuando vendemos dulces de la cooperativa a los demásniños”. Por lo anterior las instructoras nos pudimos dar cuenta de que los niños estabanentusiasmados por el trabajo a realizar.
En las dos sesiones en las que se aplicó el Pretest los alumnos se mostraron atentosa las indicaciones antes de empezar con la aplicación y ocasionalmente preguntaronsobre algún problema por ejemplo:
Agustín: Oye no entiendo este problema ¿me lo puedes explicar? ( refiriéndose alproblema de combinación No. 1 que dice: En la escuela hay 264 chicas y 234chicos. ¿Cuántos niños hay en la escuela?)
Instructora: Vuélvelo a leer y veras cómo lo vas a poder resolver (esto porque lasinstructoras no pueden guiar a los niños mientras resuelven los problemas ya que lomarca de esta manera el programa).
Cuando los niños terminaban antes del tiempo destinado de la aplicación se les pidióque esperaran en el patio de la escuela para que los niños que aún estaban resolviendoel pretest no tuvieran distractores.
En la primera sesión del PIRPAEVSO se les repartió el material que consistíaen un engargolado que contiene el Programa para el alumno así como el apartadode figuras, pidiendo a cada alumno que pusiera su nombre para que no seconfundieran, ya que este material se quedó en el salón durante el tiempo de trabajo,después se dio inicio a la sesión uno, con una lectura donde los niños tenían que leeren voz alta lo siguiente:
“En estas lecciones que vamos a dar, vas a aprender a como resolver los problemasde matemáticas que son de una sola operación.
1. Resolver un problema de matemáticas se parece a “buscar algo perdido” o algoque necesitas encontrar; fíjate en esta niña, ha perdido su sombrero y tiene quebuscarlo. ¿Qué harías tú para encontrar el sombrero de la niña? (Figura 1)”
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La instructora intervino diciendo que subrayaran la parte donde dice “buscar algoperdido”.
1.Resolver un problema de matemáticas se parece a “buscar algo perdido” o algoque necesitas encontrar; fíjate en esta niña, ha perdido su sombrero y tiene quebuscarlo. ¿Qué harías tú para encontrar el sombrero de la niña?
De esta manera se siguió con la primer sesión pidiendo que subrayaran y resolvieranel problema por medio de las figuras, los niños se mostraron interesados poniendoatención a todas las indicaciones pues se les hizo hincapié en que todas estasinstrucciones serían importantes para poder solucionar cualquier tipo de problema,las instrucciones para resolver problemas aritméticos que están dentro del manualpara el alumno son las siguientes:
COMO SOLUCIONAR UN PROBLEMA DE MATEMÁTICAS.
Para solucionar bien un problema de matemáticas tenemos que hacer varias cosas:
1. COMPRENDER EL PROBLEMA2. ELEGIR LA OPERACIÓN ADECUADA.3. HACER LA OPERACIÓN ELEGIDA.4. VER Si LA SOLUCIÓN ES CORRECTA.
Primero : Comprender el problema.
- Comprender el problema es como conocer donde está el sombrero.
- Para ello debemos preguntamos: ¿qué conozco? Y ¿qué es lo que busco?
- Me pregunto ¿qué es lo que conozco?.
Para contestar a esta pregunta lo que hago es LEER el problema despacio Y me fijoen LOS DATOS que me dan en el problema.
Vamos a ver un ejemplo con un problema sencillo:
PROBLEMA:
Ana tiene 23 pesos, su padre le da 25 pesos. ¿Cuántos pesos tiene ahora?.
Una vez leído tenemos estos datos:
Ana TIENE 23 pesos
Su padre le DA 25 pesos.
Me pregunto ¿qué es lo que busco?.Para contestar a esta otra pregunta hago esto:1. Leo en silencio la pregunta del problema.
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2. Pongo una raya debajo de la pregunta del problema.
Vamos a hacerlo con el problema:Ana tiene 23 pesos, su padre le da 25 pesos. ¿Cuántos pesos tiene ahora?.
La pregunta es: ¿Cuántos pesos tiene ahora?Segundo: Elegir la operación adecuada.
- Elegir la operación adecuada es como elegir el camino mas adecuado para encontrarel sombrero.
Tercero: Hacer la operación elegida.
- Hacer la operación elegida es como andar por el camino elegido para encontrar el sombrero.En nuestro ejemplo hay que hacer la SUMA. Vamos a hacer la suma:Ana tiene 23 pesos, su padre le da 25 pesos. ¿Cuántos pesos tiene ahora?Sumo: 23 + 25 48Cuarto: Ver si la solución es correcta.
- Ver si la solución es correcta es como ver si el sombrero que encuentra la niña es elque buscaba.Lee de nuevo el problema y comprueba que lo que te pedían en el problema es loque has encontrado. Fíjate en la solución: ¿te parece que es una solución lógica?.
Asegúrate de que los cálculos que has hecho con la operación son correctos.
NO TE EQUIVOQUES HACIENDO LA OPERACIÓN.
SI TE EQUIVOCAS PUEDES VOLVER A HACER LA OPERACIÓN DE NUEVO.
Vamos a hacerlo con nuestro problema:
Ana tiene 23 pesos, su padre le da 25 pesos. ¿Cuántos pesos tiene ahora?Sumo: 23
+ 2548
Leo de nuevo el problema. He encontrado lo que me pedían y me parece una soluciónlógica ya que Ana tiene que tener MAS dinero del que tenia al principio.
SOLUCIÓN: ANA TIENE 48 PESOS.
Al final de la primer sesión todos los niños ya tenían pegado en su banca el siguienterecuadro con mica donde estuviera visible aun con el engargolado sobre la banca,ya que este tenia que estar durante toda la aplicación del programa instruccional;
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1. COMPRENDER EL PROBLEMA
2. ELEGIR LA OPERACIÓN ADECUADA.
3. HACER LA OPERACIÓN ELEGIDA.
4. VER Si LA SOLUCIÓN ES CORRECTA.
En las sesiones dos, tres y cuatro se realizó el entrenamiento manipulativo de losproblemas de cambio donde se utilizaron diagramas como este:
CAMBIO
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+
=
Los problemas de cambio fueron sencillos para los alumnos ya que después de realizarjunto con ellos los primeros tres problemas pudieron resolver solos los siguientescorrectamente, nos pudimos dar cuenta de esto porque pasamos a algunos de losniños al pizarrón a resolver los problemas realizando el diagrama, la operación y lasolución, está ultima se les dificultó un poco ya que tenían que redactarla en forma derespuesta de la pregunta correspondiente al problema y eso era lo que había querecordar a todo el grupo.
En las sesiones numero cinco y seis se les enseñó el esquema “El todo y laspartes”, al inicio de esta sesión los niños dijeron que estos problemas eran demasiadofáciles pues primero tenían que completar figuras y Jorge dijo “esto es de lógica sólohay que poner lo que hace falta o completar” en este momento la instructoraaprovecho para decir que “los problemas de “El todo y las partes” también sellamaban problemas de Combinación, pues se tenia que encontrar cual era la parteque faltaba o la combinación que había que hacer para encontrar el todo”
Las figuras que tenían que completar eran de este tipo:
=
+
40
ó
En las sesiones siete, ocho, nueve y diez se resolvieron los problemas decomparación con fichas (frijoles) donde dentro de un diagrama se ponían las fichasque correspondían a cada niño de los problemas.
Juan Pepe Luis
Después de resolver tres problemas de esta manera los niños empezaron a decirque ya no lo hiciéramos con el diagrama y las fichas que sólo se leyera el problemay se resolviera por lo que se les mostró otro diagrama para resolver estos problemasque consiste en:
________________ _______________
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En las sesiones once, doce y trece se resolvieron los problemas de igualación, enestos problemas los niños tenían una confusión con la flecha que debían poner en eldiagrama ya que si la operación era una suma la flecha tenia que ir hacia arriba yhacia abajo cuando era una resta, el diagrama es el siguiente:
___________________ _______________________
En la sesión catorce se resolvieron los problemas de isomorfismo de medidas y seles plantea a los niños que son problemas de multiplicar y dividir y preguntan si estosson mas difíciles y que si hay diagramas para resolverlos;
Instructora “Estos problemas no son mas difíciles y si hay diagramas para resolverestos problemas, sólo hay que seguir los mismos pasos y van a ver que vamos apoder resolverlos fácilmente”Los niños al oír las palabras multiplicar y dividir reaccionan ya que en todos losdemás problemas sólo habían usado la suma y la resta y preguntan sobre losdiagramas por lo que nos podemos dar cuenta de que los diagramas han sido útilespara ellos pues se han dado cuenta de que es más sencillo resolver los problemascon ayuda de los diagramas.
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Los diagramas que se utilizan en estos problemas difieren ya que depende de cómoesté planteado el problema es el diagrama como por ejemplo:
Cuatro niños tienen cada uno 2 cromos. ¿Cuántos cromos tienen los cuatro juntos?
8 cromos : 4 niños = 2 cromos
Los problemas de isomorfismo de medidas del programa tienen cada uno su diagramaen la sección de figuras del manual del alumno.
En la sesión quince y parte de la sesión dieciséis se trabajó con los problemas deproducto cartesiano. Los niños los conocen como diagramas de árbol, en estos los niñostienen que completar los diagramas que se les presentan para cada problema parasaber cuantas formas diferentes se pueden formar dependiendo de lo que se pide.
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En esta sesión uno de los niños que es uno de los más destacados dentro del grupopor ser rápido en su trabajo hizo el siguiente razonamiento para sus compañeros alpasar a explicar al pizarrón uno de los problemas:
David “ El problema dice que Una niña tiene 3 faldas y 2 blusas. La pregunta quehay que subrayar es ¿De cuantas formas distintas puede vestirse?, el diagrama eseste (lo dibuja en el pizarrón)
Sin llenar el diagrama hago una multiplicación 3 por 2 son 6 y entonces la soluciónes que de 6 formas distintas se puede vestir la niña”
Instructora “Y como sabes que es una multiplicación David”
David “Es que si nos preguntan por formas distintas se multiplica y si nos preguntancuantas prendas tiene se divide”
Instructora “Explícanos por favor como sabes qué operación hay que hacer”
David” Por que si multiplico cuando me preguntan por una de las partes no me sale elresultado “
Instructora “Por que no te sale el resultado”
David “En los diagramas que hay que saber cuántas formas distintas dibujamos lascombinaciones y en los que nos preguntan por una parte separamos las combinacionesy dibujamos la parte que nos preguntan”
Aquí vemos como los alumnos son capaces de crear estrategias de resolución sinnecesidad de los diagramas pero en un principio se les facilita más usar los diagramaspara después encontrar su lógica y poner en práctica sus estrategias.
En las sesiones dieciséis y diecisiete se hace un repaso general de todos los problemasempezando por los de cambio, combinación, comparación, igualación, isomorfismo
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de medidas y producto cartesiano, donde tienen que reconocer el tipo de diagramapara resolver cada tipo de problema. En estas sesiones los niños resolvieron soloslos problemas y sólo cuando había alguna duda se acercaron a las instructoras apreguntar.
En todas las sesiones se utilizó el pizarrón como apoyo para los diagramas y en loque más se les hacia hincapié a los niños porque se les olvidaba poner la solucióncontestando a la pregunta que se les hace en cada problema.
En general durante el programa los niños acudieron a todas las sesiones y cuandollegaron a faltar se ponían al corriente con ayuda de sus compañeros y de lasinstructoras, las dos sesiones donde se aplicó el Postest los niños no faltaron a realizarsu prueba lo que nos muestra su interés por el programa. Incluso al final nospreguntaron si ya no teníamos más problemas para trabajar con ellos, por lo quetenemos la impresión de que el programa les gusto y al revisar el postest nos podemosdar cuenta de que si hubo un cambio con respecto a el pretest donde sus resultadosde los problemas fueron considerablemente superiores que en el Postest. Se notóuna mejora importante después de que se aplicó el programa instruccional.
Con respecto al grupo control que fue el quinto año grupo A los niños sólo se dedicarona contestar el pretest en las dos sesiones, en estas ningún niño externo ningunaduda y sólo pusieron atención a las indicaciones, cuando se les aplicó el postest sólodos niños externaron una duda que tenia que ver con el espacio para resolver elproblema, en este grupo aunque solo se les aplico los test mostraron gran pasividadcon respecto al grupo experimental.
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El área de la resolución de problemas verbales ha cobrado tal relevancia queBermejo, Lago, Rodríguez (1998) plantean que por medio de los problemas verbalesse podría iniciar la enseñanza de los algoritmos ya que los problemas verbales sonsituaciones matemáticas con un alto grado de significación, que el niño se planteafrecuentemente en su vida cotidiana extra-escolar.
Un aspecto que nos parece relevante destacar es que durante la aplicación delprograma instruccional PIRPAEVSO (Programa Instruccional para la Resolución deProblemas Aritméticos Elementales Verbales de una Sola Operación) los niños delgrupo experimental (5- B) mostraron interés por seguir adelante con el programa,pues trabajar en la clase con los problemas matemáticos conjuntamente con lasinstructoras y los demás compañeros suscito una mejor comprensión de los problemasy los algoritmos que estuvieron involucrados, consideramos que los sujetos mantuvieronun marcado entusiasmo a lo largo de la aplicación del programa debido a que podíanresolver los problemas sin experimentar frustración.
El anterior es un aspecto que no se resalta en la literatura que revisamos, sin em-bargo a partir de los resultados que obtuvimos nos parece un aspecto a consideraren próximas aplicaciones.
Otro aspecto importante que destacan Aguilar y Navarro (2000) es que cuando alos alumnos se les pregunta ¿ De qué es el problema?, ¿De sumar, restar, multiplicaro de dividir?. Si la clase anterior se trabajó el tema de la multiplicación, el niño suponeque el problema es de multiplicar, igualmente parte de la idea de que los datosnuméricos del problema tienen que ser usados todos, y en el orden en que sonpresentados en el problema.
Con relación a lo anterior en el trabajo que realizamos con los niños se les explicóque los problemas que se iban a resolver podían ser resueltos por cualquiera de losalgoritmos, sumar, restar, multiplicar o dividir y que antes de decidir qué operaciónrealizar debían leer bien el problema subrayando la pregunta que les formulaba elproblema, por esto los niños con el paso de las sesiones se fijaban qué les estabanpreguntando. Cuando alguno pasaba al pizarrón a resolver un problema éste lesdecía a sus compañeros que subrayaran la pregunta y les hacia mención de cual erala operación que se tenía que resolver y porqué. De ello desprendemos que siinsistimos en alguna instrucción los niños son capaces de hacerla propia y funcionalal tratar de resolver cualquier problema. También les pedimos que cada vez queleyeran un problema se fijaran en los datos que tenían y si estos eran todos útiles.
En el programa encontramos problemas en los que no todos los datos se necesitanpara resolverlo y algunos niños se dieron cuenta de que les sobraban datos y loexternaron a sus compañeros, algunos respondieron que ya se habían dado cuentay otros volvieron a leer el problema para fijarse cuál era el dato que sobraba, conesto vemos que los niños lograron poner atención a la lectura de los problemas, asímismo nos dimos cuenta al checar sus engargolados que no usaban los datos en elorden que se los presentaba el problema si no era necesario.La atención a la lectura de los problemas implica comprender diversos componentesdel mismo tales como las palabras, números, datos, símbolos, etc. por esto la lecturaes un elemento importante dentro de la resolución de problemas ya que sin el
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entendimiento de estos los niños no podrían resolver los problemas matemáticosaunque tengan conocimiento sobre cómo resolver el algoritmo.
Un factor de gran importancia en este programa fueron los diagramas que sonelementos manipulativos concretos en cada tipo de problema según las diferentescategorías semánticas que estimulan las representaciones mentales semejantes a laestructura semántica, estos fueron útiles para los niños al resolver los problemasporque podían colocar los datos ya fuera con objetos reales, dibujos o númerosdentro del diagrama. En el caso de esta investigación los niños dejaban de utilizarlos objetos reales después de dos o tres problemas del mismo tipo, después utilizabanlos dibujos y al último los números.
Con lo anterior se reafirma lo que Maza (1995) sugiere, con respecto a que sepuede introducir mejoría en la resolución de problemas con el uso de materiales;resume una serie de factores metodológicos que son tomados en cuenta en esteprograma instruccional:
a) Que se utilicen en un contexto de investigación en el aula y resolución deproblemas.b) Que los materiales, antes de ser abstractos (lo que no se excluye), presentanla mayor transparencia posible.c) Que para asegurar la aplicación de esta transparencia a la construcción deuna representación interna adecuada, se utilice en gran medida recursos dedescripción lingüística de las acciones ejecutadas.d) Que los materiales no se utilicen sólo puntualmente, sino que se apoyen enellos la mayor parte de los aprendizajes.
Los datos de nuestra investigación confirman lo planteado por Aguilar yNavarro (2000) en el sentido de que el procedimiento de comprender el problema,elegir la operación adecuada, hacer la operación elegida y ver si la solución escorrecta resulta pertinente para resolver los problemas verbales.
El procedimiento lo aplicamos de la siguiente manera:
Instructora “¿Cuáles son los pasos que tenemos que recorrer para resolver unproblema? Recuerden que resolver un problema puede ser cómo llegar a encontrarun tesoro; los pasos para resolver un problema son cuatro. Ustedes me van diciendoestos pasos y yo los voy escribiendo en el pizarrón para que no se nos olvide. (Seinterrogó a los niños y niñas sobre estos pasos y se fueron escribiendo en el pizarrón):
1. COMPRENDER EL PROBLEMA. Tengo que conocer los datos, preguntarme quées lo que conozco y qué es lo que no conozco. Para saber todo esto lo mejor esleerlo despacio y enterarme de qué es lo que me preguntan en el problema. Lapregunta del problema viene entre los signos de interrogación (¿?) y algunas veceses todo el problema. Para no olvidarme de la pregunta que me hacen en el problemalo mejor es poner una raya debajo de ella (subrayarla). Algunas veces es mejor leerel problema más de una vez para comprenderlo mejor y no olvidarme de la preguntaque me hacen.
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2. ELEGIR LA OPERACIÓN ADECUADA. Recuerda que en estos problemas lasoperaciones son siempre SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR, DIVIDIR.
3. HACER LA OPERACIÓN ELEGIDA. Tienes que tener cuidado al hacer la operaciónque resuelve un problema, si la haces mal es como si no encontraras la solución delproblema, es como elegir otro camino para llegar al tesoro. Asegúrate que laoperación este bien hecha.
4. VER SI LA SOLUCIÓN ES CORRECTA. En este paso tienes que volver a leer elproblema y comprobar si la solución que has encontrado te parece lógica. Si uno seequivoca, puede volver a hacer todo desde el principio de nuevo y fíjense en quéparte del problema está la equivocación.”
Estas instrucciones se estuvieron recordando a lo largo de la aplicacióndel programa.
Nos pudimos percatar de que la insistencia en los pasos para resolver los problemasfue efectivo pues cuando en la sesión 16 se les preguntó a los niños sobre los pasos,ellos los mencionaron correctamente incluyendo sus características.
Podemos decir entonces que la práctica diaria de instrucciones lleva a la comprensiónde las mismas, los alumnos explicaron con sus propias palabras de manera acertadalo que las instructoras habían estado mencionado.
Las instrucciones en este programa fueron muy precisas y a pesar de que estas serepetían varias veces en las sesiones los niños no se aburrieron sino que entre ellosmismos se corregían y repetían tanto las instrucciones como los pasos a seguir encada problema, lo cual nos lleva a decir que los alumnos se encontraban motivadospor el tipo de interacción que se dio ya que este no fue el tradicional.
En su investigación, De Corte y Verschaffel (1985) presentan un modelo para elproceso óptimo para la resolución de problemas con niños de primer año, conrespecto a los problemas de suma y resta simple, a través del análisis de datosdescubrieron una serie de malos entendidos y los defectos en la representación delos problemas en los niños, así como también un número de errores que no soncausados por dificultades en el proceso semántico pero son derivados de la falta debuen desarrollo de un esquema de problemas verbales en los alumnos de primergrado. Lo anterior es resultado de una desfamiliaridad con algunas tareas yconsecuentemente con las reglas del juego de los problemas verbales. Estainvestigación apoya nuestros resultados ya que al aplicar el pretest a los niños nosdimos cuenta que no seguían ningún proceso para resolver problemas y durante laaplicación del programa instruccional se familiarizaron con el proceso para resolverlos problemas pues en el postest los niños utilizaron los pasos para resolver losproblemas verbales y disminuyeron sus errores durante la resolución de los problemas.En la investigación de Aguilar y Navarro (2000) donde evaluaron las habilidadesde un grupo de niños de 8 años de edad para resolver problemas aritméticos de unasola operación, sus resultados indican la superior eficacia de un programa deentrenamiento en resolución de problemas aritméticos verbales de una sola operación,
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frente a estrategias de ensayo y práctica tradicionalmente desarrolladas en laescolarización regular. Los resultados de nuestra investigación coinciden con los deAguilar y Navarro en tanto que los niños con los que trabajamos el programainstruccional de resolución de problemas aritméticos verbales de una sola operaciónobtuvieron una mejor comprensión de los problemas que los niños que siguieron supráctica educativa habitual.
La importancia de la aplicación de este tipo de programas para la resolución deproblemas verbales radica no sólo en que los alumnos aprendan a resolver este tipode problemas, sino que por su estructura permiten introducir un fuerte componentemotivacional que permite mantener su atención e interés de manera sostenida.
Para poder conectar los procedimientos espontáneos que los niños realizan al re-solver problemas seria de crucial importancia que el programa se empezara cuandolos niños entran al aprendizaje de los algoritmos pues el profesor podría reafirmarestos procedimientos y no enseñar a los niños procedimientos más complejos.
Una ventaja que presenta este programa es que los niños toman conciencia de lasdistintas categorías semánticas de los problemas aritméticos y de las estrategiasutilizadas para resolverlos adecuadamente las cuales pueden ser desarrolladasprogresivamente conforme se va avanzando en el programa instruccional.
Esta investigación nos ha proporcionado datos con los que vemos que el PIRPAEVSOes eficaz en la resolución de problemas aritméticos verbales de una sola operación.Por lo que podemos afirmar que con la aplicación del PIRPAEVSO los alumnos obtienenun mejor entendimiento en la resolución de los problemas verbales de una solaoperación que cuando se sigue la enseñanza tradicional.
Para finalizar a continuación planteamos algunas sugerencias que consideramosdeberán tomarse en cuenta en futuras investigaciones:
- Las instrucciones que se proporcionan en este tipo de programas puedenresultar excesivamente complejas y rígidas para los niños, el instructor deberá tenerla suficiente pericia para presentarlas al grupo.
- Un entrenamiento de este tipo debe abarcar un periodo más extenso que eldesarrollado por nosotras, posiblemente comprendido en un curso escolar completo.
- Es importante explorar de manera específica los factores motivacionalesque están implícitos en el desarrollo de este tipo de programas.
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AN
EX
OS A. PROBLEMAS ARITMÉTICOS ELEMENTALES VERBALES DE UNA SOLA
OPERACIÓNNombre: __________________________________________________________Edad: ____________ años
PROBLEMAS DE CAMBIO
1.Daniel tiene 156 pesos. Su padre le da 125 ¿Cuántos pesos tiene ahora?.
2.Tenía 4 pesos y me dieron 3. ¿Cuántos pesos tengo ahora?
3.Tenía 248 pesos. Me gaste 115. ¿Cuántos pesos me quedaron?
4.Daniel tiene 8 pesos. Se gasta 3 ¿Cuántos pesos le quedan?
5.Tenía 58 cromos. Después de jugar tenia 97. ¿Cuántos cromos gane?
6.Tenía 4 pesos. Mi madre me da dinero. Ahora tengo 9 pesos. ¿Cuántos pesosme ha dado mi madre?.
7.Tenía 153 pesos. Después de comprar caramelos me quedaron 94 pesos. ¿Cuántodinero me gaste?
8.Tenía 7 cromos. Después de jugar me quedan 2. ¿Cuántos cromos he perdido?
9.Mi tío me da 125 pesos. Con los que tengo reúno 217. ¿Cuántos pesos tenía antesde ver a mi tío?
10.Mi tío me da 4 pesos. Ahora tengo 7. ¿Cuántos pesos tenía antes de ver a mi tío?.
11.Andrés pierde jugando 43 cromos. Le quedan 72. ¿Cuántos cromos tenía antesde jugar?.
12. He perdido jugando 3 cromos. Me quedan 5. ¿Cuántos tenía cuando empecé ajugar?.
PROBLEMAS DE COMPARACIÓN
1. En la escuela hay 264 chicas y 234 chicos. ¿Cuántas chicas hay más que chicos?.
2. En una tienda trabajan 5 hombres y 2 mujeres. ¿ Cuántos hombres más quemujeres trabajan en esa tienda?.
3. En una fábrica trabajan 163 obreros. En otra fábrica trabajan 158. ¿Cuántosobreros menos trabajan en la segunda fábrica?.
4. Tengo 5 primos y 2 primas. ¿Cuántas primas menos que primos tengo? .
5. En el salón de tercer año hay 164 libros. En el salón de segundo año tienen 32
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libros más que el salón de tercer año. ¿Cuántos libros tiene el salón de segundoaño?.
6. Tengo 6 pesos, Mi hermano tiene 3 más que yo. ¿Cuántos pesos tiene mi hermano?.
PROBLEMAS DE IGUALACION
1. Juan tiene 259 pesos. Andrés tiene 193 pesos. ¿Cuántos pesos más tiene quetener Andrés para tener las mismas que Juan?.
2. María tiene 5 cromos. Inés tiene 3. ¿Cuántos cromos más debe tener Inés paraque tenga los mismos que María?.
3. Inés tiene 162 cromos. María tiene 144. ¿Cuántos cromos tiene que perder Inéspara tener los mismos que María?.
4. Nicolás tiene 7 pesos. Roberto tiene 5. ¿Cuántas pesos se tiene que gastar Nicoláspara tener los mismos que Roberto?.
5. El América, ha anotado 89 goles. Si el Guadalajara anota 22 goles más tendríalos mismos que el América . ¿Cuántos goles ha anotado el Guadalajara?.
6. Rocío tiene 5 chicles. Si a Natalia le dan 2 chicles tiene los mismos que Rocío.¿Cuántos chicles tiene Natalia?.
7. En una tienda de dulces hay 168 chicles. Si venden 23 caramelos quedan losmismos chicles que caramelos. ¿Cuántos caramelos hay?
8. Hay 5 sillas en el audiovisual . Si del salón quitarán 3 sillas quedarían las mismasque en el audiovisual. ¿Cuántas sillas hay en el salón?.
9. Tengo 126 tarjetas. Si me dan 53 tengo los mismas que Luis. ¿Cuántas tarjetastiene Luis?.
10. Yo tengo 1 peso. Si me dieran 3 más tendría los mismos que Lidia. ¿Cuántospesos tiene Lidia?.
11. Tengo 212 pesos. Si me gasto 34 me queda el mismo dinero que a Jaime. ¿Cuántodinero tiene Jaime?.
12. Tengo 6 caramelos. Si doy 2 me quedo con los mismos que Luis. ¿Cuántoscaramelos tiene Luis?.
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PROBLEMAS DE COMBINACION.
1. En la escuela hay 264 chicas y 234 chicos. ¿Cuántos niños hay en el escuela?.
2. En una mesa están sentados 3 chicas y 2 chicos. ¿Cuántos niños hay?
3. En la escuela hay 564 alumnos. 315 de estos alumnos son niñas ¿Cuántos sonniños?.
4. Tengo 7 caramelos. 3 son de menta y los demás son de fresa. ¿Cuántos caramelosson de fresa?.
ISOMORFISMO DE MEDIDAS
1. La escuela va a comprar 150 bolígrafos. Cada bolígrafo cuesta 58 pesos. ¿Cuántocostarán todos los bolígrafos?
2. 3 niños tienen 2 caramelos cada uno. ¿Cuántos caramelos tienen los 3 juntos?
3.Van a repartir 128 caramelos entre los 32 niños del salón. Todos los niños recibenel mismo número de caramelos. ¿Cuántos caramelos le dan a cada niño?.
4. Se reparten 8 caramelos entre 4 niños. Todos reciben el mismo número de chicles¿Cuántos chicles recibe cada niño?
5. Se van a guardar 240 chicles en bolsas. En cada bolsa caben 40 chicles.¿Cuántas bolsas van a hacer falta?.
6. Hay que guardar 6 bolígrafos en bolsas. En cada bolsa se guardan 3 bolígrafos.¿Cuántas bolsas hacen falt
PROBLEMAS DE ESCALARES GRANDES
1. En mi clase caben 30 niños. En el salón de la escuela caben 12 veces más niños.¿Cuántos niños caben en el salón?.
2. En el cristal de una ventana hay 2 moscas. En el otro hay 3 veces más moscas.¿Cuantas moscas hay en este cristal?.
3. Nacho tiene 123 plumones. Tiene 3 veces más plumones que Víctor. ¿Cuántosplumones tiene Víctor?.
4. En la mesa de la biblioteca se sientan 8 niñas. Son 4 veces más que los niños quecaben en una banca. ¿Cuántos niños se pueden sentar en una banca?.
5. La entrada del cine cuesta 30 pesos. Un tutsi pop cuesta 2.50 pesos. ¿Cuántasveces más cuesta la entrada del cine que el tutsi pop?.6. Iván tiene 6 carros. Carlos tiene 2 carros. ¿Cuántas veces más carros, tiene Ivánque Carlos?.
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PROBLEMAS DE ESCALARES PEQUEÑOS
1. En un grupo caben 30 niños, y caben 26 veces menos niños que en el salón dela escuela. ¿Cuántos niños caben en el salón?.
2. Tengo 2 caramelos, y tengo 3 veces menos caramelos que tú. ¿Cuántos caramelostienes tú?.
3. Miguel tiene 123 cromos. Luis tiene 3 veces menos cromos que él. ¿Cuántoscromos tiene Luis?.
4. María tiene 8 pulseras. Antonia tiene 4 veces menos pulseras que Maria. ¿Cuántaspulseras tiene Antonia?.
5. En el patio de la escuela caben 248 niños En el salón caben 31 niños. ¿Cuántasveces menos niños caben en el salón de tercer año que en el patio?.
6. Aurelio tiene 6 pesos, Paco tiene 2. ¿Cuántas veces menos pesos tiene Paco queAurelio?.
PROBLEMAS DE PRODUCTO CARTESIANO
1. Una niña tiene 12 faldas y 8 blusas. ¿De cuántas maneras distintas puedecombinarlas?.
2. Hay 3 niñas y 2 niños. ¿Cuántas parejas distintas puedes formar?
3. Con los niños del grupo se pueden formar 224 parejas distintas de un niños y unaniña. Hay en la clase 16 niñas. ¿Cuántos niños hay?
4. Un niño puede combinar sus camisas y pantalones de 6 formas distintas. Tiene 3camisas. ¿Cuántos pantalones tiene?.
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ANEXO 2
B . PROBLEMAS ARITMÉTICOS ELEMENTALES VERBALES DE UNA SOLAOPERACIÓNNombre:__________________________________________________________________Edad: _____________años
PROBLEMAS DE CAMBIO.1. En el colegio hay 264 chicos. Entran después otros 264 chicos. ¿Cuántos chicoshay ahora?.
2. María tiene 5 cromos. Inés le da 3. ¿Cuántos cromos tiene ahora María?.
3. En una fábrica trabajan 163 obreros. A la hora de comer se van 127. ¿Cuántosobreros quedan en la fábrica?.
4. Nicolás tiene 7 pesos. Le da 5 a Roberto. ¿Cuántos pesos le quedan a Nicolás?.
5. En el grupo de quinto año tienen 164 libros. Los niños llevan más libros, y ahorahay en el grupo 215 ¿Cuántos libros han llevado los niños?.
6. Rocío tiene 5 chicles. Natalia le da más chicles. Ahora tiene 7 chicles. ¿Cuántosle ha dado Natalia?.
7. Tengo 262 pesos. Le he dado dinero a mi hermano y me han quedado 158 pesos¿Cuántos pesos le he dado a mi hermano?.
8. Hay 5 sillas en el audiovisual . Se llevan algunas al salón. Ahora quedan 2 sillasen el audiovisual. ¿Cuántas sillas se llevaron al salón?.
9. Salen a jugar al recreo 122 niños. Con los que ya estaban jugando allí se hanjuntado 231 niños ¿Cuántos niños había antes de que salieran los demás?.
10. Un equipo de fútbol ha metido un gol. Con éste llevan metidos 4 goles. ¿Cuántosgoles había metido antes?.
11. Los niños se llevan a dibujar al patio 124 lápices de colores . Ahora quedan enel salón 67 lápices. ¿Cuántos había antes de salir a dibujar?.
12. He regalado 2 caramelos. Ahora tengo 3. ¿Cuántos caramelos tenía antes deregalarlos?
PROBLEMAS DE COMPARACIÓN
1. Juan tiene 259 pesos. Andrés tiene 193 pesos. ¿Cuántos pesos más tiene Juan?.
2. Tengo 4 pesos y Luis tiene 2. ¿Cuántas pesos tengo más que Luis?.
3. Inés tiene 162 cromos. Daniela tiene 144. ¿Cuántas cromos menos tiene María?,
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4. Daniel tiene 8 pesos. Fernando tiene 3. ¿Cuántos pesos menos tiene Fernando?.
5. El Guadalajara ha anotado 89 goles. El América ha anotado 22 goles más.¿Cuántos goles ha anotado el América ?.
6. Juanita tiene 6 libros. Araceli tiene dos libros más. ¿Cuántos libros tiene Araceli?
7. En una tienda de dulces hay 168 chicles. Hay 23 paletas menos que chicles.¿Cuántas paletas hay?.
8. Tengo 7 cromos. Luis tiene 3 menos que yo. ¿Cuántos cromos tiene Luis?
9. Tengo 126 cromos, y tengo 53 más que Luis. ¿Cuántos cromos tiene Luis?.
10. Tengo 6 lapiceros, y tengo 2 lapiceros más que tú. ¿Cuántos lapiceros tienes tú?.
11. Tengo 268 pesos, y tengo 134 pesos menos que Jaime. ¿Cuánto dinero tieneJaime?.
12. Tengo 3 cuadernos, y tengo 2 cuadernos menos que tú. ¿Cuántos cuadernostienes tú?.
PROBLEMAS DE IGUALACIÓN
1. Daniel tiene 156 pesos. Alberto tiene 125. ¿ Cuántos pesos más debe tener Albertopara tener los mismos que Daniel?.
2. En una tienda trabajan 4 hombres y 2 mujeres. ¿Cuántas mujeres más tendríanque trabajar para que hubiera las mismas que hombres?.
3. Sonia tiene 248 pesos y Sara tiene 197. ¿Cuántos pesos tiene que gastarse Soniapara tener las mismas que Sara?.
4. Tengo 5 primos y 2 primas ¿Cuántos Primos menos debería tener para tener losmismos que primas?
5. Tengo 58 cromos. Si Andrea gana 7 cromos tiene los mismos que yo. ¿Cuántoscromos tiene Andrea?.
6. Tengo 6 pesos. Si a mi hermano le dieran 3 tendría las mismos que yo. ¿Cuántospesos tiene mi hermano?.
7. Tengo 153 pesos. Si Concha perdiera 94 pesos le quedarían los mismos que a mí.¿Cuántos pesos tiene Concha?
8. Tengo 5 paletas. Si Ana perdiera 2 tendría las mismas que yo. ¿Cuántas paletastiene Ana?.
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9. Tengo 125 pesos. Sí me dieran 118 pesos tendría las mismas que Marco. ¿Cuántospesos tiene Marco?.
10. Tengo 6 lápices de colores. Si me dieran 2 más tendría los mismos que bolígrafos.¿Cuántos bolígrafos tengo?.
11. Tengo 72 cromos. Si pierdo 43 cromos, me quedan los mismo s que a Antonio.¿Cuántos cromos tiene Antonio?.
12. Tengo 5 canicas. Si perdiera 2. Tendría las mismas que Arturo. ¿Cuántas canicastiene Arturo?
PROBLEMAS DE COMBINACION.
1. En una granja hay 223 gallinas y 168 patos. ¿Cuántas aves hay en total?.
2. Tengo 3 galletas de chocolate y 2 de vainilla. ¿Cuántas galletas tengo?.
3. En una granja hay 564 aves contando gallinas y patos. 315 son gallinas. ¿Cuántospatos hay?.
4. Si junto los chicles de menta y de fresa tengo 6. De menta son 4. ¿Cuántos chiclesson de fresa?.
PROBLEMAS DE ISOMORFISMO DE MEDIDAS
1. La escuela va a comprar 150 cuadernos. Cada cuaderno cuesta 125 pesos.¿Cuánto costarán todos los cuadernos?
2. 2 niños tienen 3 chicles cada uno. ¿Cuántos chicles tienen los 2 juntos?
3. Van a repartir 120 lápices entre los 30 niños del grupo. Todos los niños reciben elmismo número de lápices. ¿Cuántos les dan a cada uno?.
4. Se reparten 8 bolígrafos entre 4 niños. Todos reciben el mismo número debolígrafos. ¿Cuántos recibe cada uno?.
5. Se van a dar 240 paletas en bolsas. En cada bolsa caben 40 paletas. ¿Cuántasbolsas van a hacer falta?
6. Hay que repartir 6 cuadernos entre los niños. Cada niño recibe 2 cuadernos.¿Cuántos niños hay?
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PROBLEMAS DE ESCALARES GRANDES.
1. Eugenia tiene 123 pesos. Sonia tiene 3 veces más pesos que Eugenia. ¿Cuántospesos tiene Sonia?.
2. Tengo 2 caramelos, y tú tienes 3 veces más caramelos que yo. ¿Cuántos caramelostienes tú?
3. Un libro cuesta 984 pesos. Cuesta 12 veces más que un cuaderno. ¿Cuántocuesta el cuaderno?.
4. Pili tiene 8 pulseras. y tiene 4 veces más pulseras que Antonia. ¿Cuántas pulserastiene Antonia?.
5. En el patio de la escuela caben 240 niños. En el salón de quinto año caben 30niños. ¿Cuántas veces más niños caben en el patio que en el salón de quinto año?.
6. Aurelio tiene 6 pesos. Paco tiene 2. ¿Cuántas veces más pesos tiene Aurelio quePaco?.
PROBLEMAS DE ESCALARES PEQUEÑOS.
1. Eugenia tiene 123 pesos. Tiene 3 veces menos dinero que Sonia. ¿Cuanto dinerotiene Sonia?
2. En el cristal de una ventana hay 2 moscas. y hay 4 veces menos moscas que enel otro cristal. ¿Cuántas moscas hay en este cristal?.
3. Un libro cuesta 984 pesos. Un cuaderno cuesta 12 veces menos. ¿Cuánto cuestael cuaderno?.
4. En la mesa de la biblioteca se sientan 6 niños. En una banca se pueden sentar 3veces menos niños. ¿Cuántos niños se pueden sentar en una banca?
5. La entrada del cine cuesta 30 pesos. Una paleta cuesta 2.50 pesos. ¿Cuántasveces menos cuesta la paleta que la entrada del cine?.
6. Iván tiene 6 dedos extendidos. Raúl tiene 2 dedo s extendidos ¿Cuántas vecesmenos dedos extendidos tiene Raúl que Iván?.
PROBLEMAS DE PRODUCTO CARTESIANO.
1. Tengo 6 letras consonantes y 5 letras vocales. ¿Cuántas sílabas distintas queempiecen por consonante puedo formar?.
2. Con 2 tipos de carne y 3 salsas distintas, ¿Cuántos platos diferentes puedes formar?.
3. Combinando mis pantalones y camisas me puedo vestir de 24 formas diferentes.
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Tengo 4 pantalones. ¿Cuántas camisas tengo?.
4. Una niña puede combinar de 8 formas distintas sus pulseras y sus collares. Tiene4 pulseras. ¿Cuántos collares tiene?.
ANEXO 3
PROGRAMA DE ENTRENAMIENTO
1 . Introducción
El programa ha sido diseñado para poner en práctica en el marco del desarrolloregular de cualquier clase de Quinto año de Educación Primaria El programa secentra en el desarrollo de las capacidades destrezas y habilidades del alumno parala resolución de problemas aritméticos.
2. Estructuración y materiales
Para poner en práctica el Programa Instruccional para la Resolución de ProblemasAritméticos Elementales Verbales de una Sola Operación se ha diseñado un materialque se compone de 17 Lecciones o Sesiones de trabajo en los que se desarrollandistintas actividades instructivas de resolución de problemas aritméticos elementalesverbales de una sola operación.
*Documento para uso del instructor:
resumen y finalidad de cada sesión o situación didáctica.
procedimiento de enseñanza aprendizaje.
material
contenidos.
* Hojas de actividades para el alumno: Cada sesión de trabajo se presenta en un documento con una serie de problemasque pueden ser resueltos individualmente, en parejas o en pequeños grupos concuestiones relativas a los mismos que son desarrolladas antes por el instructor.
“PROGRAMA INSTRUCCIONAL PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASARITMETICOS ELEMENTALES VERBALES DE UNA SOLA OPERACIÓN(P.I.R.P.A.E.V.S.O.)
MANUAL PARA EL PROFESOR.
Programa Instruccional para la Resolución de Problemas AritméticosElementales Verbales de una Sola 0peración.
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Este diseño se compone de varios subprogramas de entrenamiento. Estossubprogramas son:
1 . Programa introductorio de heurística general: Sesión 1
2. Programa de entrenamiento para los problemas de Cambio: Sesiones 2,3,4
3. Programa de entrenamiento para los problemas de Combinación: Sesiones 5 y 6
4. Programa de entrenamiento para los problemas de Comparación.: Sesiones 8,9y 10
5. Programa de entrenamiento para lo s problemas de Igualación: S e s i o n e s11,12y 13
6. Programa de entrenamiento para los problemas de Isomorfismo de Medidas:Sesión 14.
7. Programa de entrenamiento para lo s problemas de Producto Cartesiano Sesiones15 y 16
8. Programa de repaso general: Sesión 17
SESION 1HEURÍSTICA GENERAL
Una búsqueda de un sombrero. Los pasos en la solución de un problema de matemáticas.
Objetivos.
1. Identificar un problema como una situación de búsqueda de una solución. 2.Reconocer los pasos implicados en la resolución de un Problema Aritmético Elemen-tal Verbal de una Sola Operación (PAEVSO). 3. Utilizar los pasos propuestos pararesolver estos problemas.
Procedimiento de enseñanza - aprendizaje.
Se trata de que los alumnos alcancen una idea de los pasos propuestos para aplicarlosa la resolución de problemas. Cada alumno tendrá una copia del
Material. En este caso de las Sesión 1Para la Sesión 1 se sigue una lectura conjunta del problema que se presenta debúsqueda de un objeto perdido por una niña. Los pasos que s e proponen paraencontrar el objeto son similares a los que después se van a modelar para solucionarun problema de matemáticas. El relato de la historia queda abierto a la propia inventivadel profesor para añadir la motivación que en cada caso crea más adecuada.
Se introducen los pasos para resolver un problema aritmético. Se van planteando los
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pasos con las explicaciones que se muestran a continuación. Cuando se han realizadoestas explicaciones se reparte el cuadernillo de la sesión número 2 para realizarloen gran grupo con corrección colectiva.
1. Un problema es una situación en la que una persona desea encontrar la solucióno respuesta pero no sabe cómo hacerlo para lograrlo.
Cuando una persona desea encontrar la solución o respuesta a un problema perono sabe que hacer para lograrlo, esa persona está ante:
A. Una tarea de lectura. B. Un problema por resolver,
2. Para llegar a resolver con éxito un problema una persona debe desear, encontrarla solución.
Además de querer encontrar la solución tiene que creer que será capaz de encontrarla.
Una persona que resuelve con éxito un problema debe: A. Saber hacer biendeterminados cálculos. B. Desear encontrar la solución y creer que será capaz deencontrarla.
3. La tercera cosa que debe tener una persona para poder resolver con éxito unproblema es creer que será capaz de emprender la solución al problema y resolverlo(al menos provisionalmente)
Otra cosa importante para poder resolver un problema es creer que:
A. No todo problema se puede resolver.
B. Puede ser capaz de emprender la solución al problema.4. Cuando una persona identifica un problema, es capaz de emprender su solucióny lo resuelve, esa persona podrá resolver el problema.
Una persona que reconoce un problema, es capaz de emprender su solución ylogra resolverlo es:
A. Un solucionador de problemas. B. Un buen lector.
5. Hasta ahora hemos leído y aprendido algo acerca de lo que es un problema yque se necesita para resolverlo.
Cuando tú reconoces un problema, te enfrentas a él y deseas resolverlo, necesitassaber cuáles son los pasos que has de seguir para poder resolverlo.
Una forma de resolver problemas como los que tienes que resolver en clase esseguir unos pasos que te van a encontrar la solución. Estos pasos son:
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1 . COMPRENDER EL PROBLEMA. (Para esto tienes que leer el problemacuidadosamente y si no lo comprendes vuelves a leerlo, también tienes que subrayarla pregunta que te hacen en el problema)2. ELEGIR LA OPERACION ADECUADA. La operación sirve para poder contestara la pregunta que te hacen en el problema. Tienes que decidir si debes sumar, restar,multiplicar o, dividir o si debes de hacer más de una operación para resolverlo.3. REALIZAR LA OPERACION ELEGIDA. En este punto tienes que hacer la operaciónque has elegido en el paso anterior.VER (COMPROBAR) SI LA SOLUCION ES CORRECTA. Para hacer esto tienes queleer el problema de nuevo y comprobar si la respuesta que das tiene sentido, si esalgo razonable o bien, si es un disparate”.
La ultima hoja de la Sesión 2 es par ser recortada y usada en todas las demássesiones del Programa Instruccional en las diversas fases de resolución, sobretodoen las de diagramas: y simbólica. En la Tabla 72 se resumen los pasos que se siguenen las sesiones instruccionales con las diversas categorías semánticas de los problemasutilizados en este estudio.
Tabla 72
SESIONES 5 y 6.
—PROGRAMA DE ENTRENAMIENTO DE LOS PROBLEMAS DE COMBINACIÓN.LAS PARTES Y EL TODO
Objetivos
1. Reconocer en diversas situaciones las partes y el todo de diversas configuraciones.
2. Identificar los dos tipo de problemas que forman la categoría de Combinación.
3. Conocer y aplicar la representación diagramática para los dos tipos de problemasde Combinación.
4. Resolver correctamente los problemas de Combinación (las Partes y el Todo) ensus diversas presentaciones.
SESIÓN 10
PROBLEMAS DE COMPARACION 6 Y: 5
INSTRUCCIONES GENERALES PARA LOS PROBLEMAS DE COMPARACION 6 Y5
A. FASE MANIPULATIVA
1 « PENSANDO EN EL PROBLEMA SIN NÙMEROS
Está destinado a pensar en el problema sin tener en cuenta los números; se trata de
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negar a representarse la situación-problema sin mencionar las referencias numéricas.Se incide en lo que se hace. lo que se tiene, la pregunta que hace el problema. Eneste típo de problemas hay que instruir en la distinción entre las relaciones de quiéntiene MAS y quien tiene MENOS para averiguar una cantidad final. Insistir en subrayarla pregunta del problema y en volver a leerla.
- “¿Qué es lo que tengo, hay, tiene? - “¿Conoces cuántos tiene cada uno?. Se refiere a la cantidad conocida, en estecaso se conoce lo que tiene uno y lo que la otra cantidad es mayor o menor (ladiferencia entre dos cantidades) “.
- “¿Qué es lo que hace, qué es lo que pasa en el problema?”-
En estos problemas hay una COMPARACION entre dos cantidades, una que ya setiene y otra que es mayor o menor que la que se proporciona en una determinadacantidad (o diferencia) - Tratar de distinguir quién de los dos sujetos o actuantes delproblemas tiene más y quién tiene menos
- “Subrayar la pregunta del problema y volver a leerla”.
2. REPRESENTANDO LA SITUACIÒN CON FICHAS.
Esta fase se emplea para representar la situación manipulativamente, En los problemasde COMPARACIÒN(51-J 6 y 5 se empieza la manipulación representando la situacióndada por uno de los sujetos . El niño o tiene que empezar representando con lasfichas la situación que se da con un o d e los sujetos y que es una cantidad conocida-Se conoce la cantidad decomparación. y la diferencia entre dos cantidades. Sedesconoce la cantidad que sirve dereferencia. La disposición vertical de las fichas es la más adecuada para representareste tipo de problemas de comparación.
- “¿Cuántos tiene o cuántos hay?- Colócalos en el recuadro”- “¿Tendrá más o menosque ... ?”. - “¿Cuántos más o cuántos menos tiene... ? Cuenta todas las flechas. Conesto tienes la solución al problema planteado”.
3. RESOLVIENDO EL PROBLEMA
Las preguntas van dirigidas a encontrar la solución del problema. Volver a leer denuevo la pregunta del problema. Contestarla contando las fichas que hay en elrecuadro. Una vez que se han contado las fichas del recuadro contestar verbalmenteala pregunta del problema.
- “¿Tendrá más o menos?”. - “Fíjate en la pregunta del problema. Vuelve a leerla”. -“Repasa las cosas que has hecho para no equivocarte. Piensa en la lógica si lasolución es adecuada o no tiene nada que ver con el problema».
B y C. FASE DE DIAGRAMA Y FASE SIMBOLICA
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En las hojas de trabajo del programa instruccional figuran los diagramascorrespondientes a estos dos problemas. Los diagramas son distintas uno de otro.Los problemas de Comparación 6 y 5 son contradictorios, el sentido de la operaciónque los resuelve viene expresado en la dirección contraria a la que se da en elenunciado menos que se resuelve con una suma (Comparación 6) y más que(Comparación 5) con una resta.
Hay que insistir en la situación de la incógnita (lo desconocido) en los problemas deComparación 6 y 5. El diagrama es diferente para los dos problemas y los objetossituados en el rectángulo con trozos discontinuos nos proporciona el dato que nospiden. En Comparación 6 la incógnita viene da por un rectángulo en vertical contrazos discontinuos que incluye la diferencia entre la cantidad de comparación y lacantidad de referencia que es la que buscamos y que es mayor que la cantidad decomparación. Veamos un ejemplo:
Problema 2: Una vez realizados los pasos de lectura, relectura y subrayado de lapregunta se pasa a la Fase de Diagramas y simbólica.— ¿Tienes más lápices o más rotuladores?. - _¿Cuántos lápices de colores tienes enel estuche?— Dibuja en el diagrama dónde situarías los lápices de colores, escribedebajo el nombre- (se deja un tiempo para que lo hagan en la hoja de trabajo) En elrectángulo grande tienes que dibujar lo que representa a los 7 lápices y los rotuladoresde más que tienes en el estuche, en el rectángulo más pequeño - el que está dentrodel grande dibuja los rotuladores que tienen de más y luego los 7 lápices. Sí cuentaslos objetos que has dibujado encuentras la solución al problema hazlo... Así es,tienes 11 rotuladores, o lo que es lo mismo tienes 4 rotuladores más que lápices.(Estos pasos pueden hacerse presentando él diagrama en el retroproyector ycolocando fichas de parchís corno representación de los objetos del problema).
“Para terminar tienes que pasar esto que has hecho a una operación el e matemáticas,en este problema La operación que tienes que realiza , es una suma aunque al leerel problema puedas pensar que tienes que hacer una resta (7+4-= 11)”» Formacanónica: ¿a?-b=c-b=c
“Recuerda que cuando vayas a escribir la solución tienes que volver a leer la preguntay contestar con una frase y la respuesta numérica”.
Problema 5: Una vez realizado s lo s pasos de lectura, reflectora y subraya d o de lapregunta se pasa a la Fase de Diagramas y simbólica.
.. ¿Cuántos cromos de fútbol tiene Pepe?.... (7) ¿Tiene más cromos de futbolistas odel Rey León?... (más de futbolistas) - Coloca los cromos de cada clase en la partedel diagrama que corresponda que es en el rectángulo mayor, los cromos que Pepatiene de más lo s tienes que poner en el rectangulito más pequeño que está dentrodel grande, tienes que tener mucho cuidado porque entre to do s lo s cromo s quepongas no pueden ser más de 7... Si a to do s lo s cromo s que has puesto le quitaslo s 3 de más (de futbolistas), encuentras la solución al problema y esto es lo quetienes que dibujar en el rectángulo de trazo s discontinuos ... «
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“En este problema, aunque pueda parecer que las palabras del mismodicen que hay que hacer una suma, la operación que lo resuelve es tambiénuna resta. Haz la operación de restar en el lugar que corresponde”. Sentencianumérica: ¿a?+b=e
“Escribe la solución”.leer la pregunta y contestar con una frase y la respuesta numérica” -
Problema 5: Una vez realizados los pasos de lectura, reflectora y subrayado de lapregunta se pasa a la Fase de Diagramas y simbólica.
el .. ¿Cuántos cromos de futbolistas tiene Pepe?. ... (7) ¿Tiene- más cromos defutbolistas o del Rey León?... (más de futbolistas). Coloca los cromos de cada claseen la parte del diagrama que corresponda que es en el rectángulo mayor lo s cromosque Pepa tiene de más los tienes que poner en el rectangulíto más pequeño que estádentro del grande, tienes que tener mucho cuidado porque entre todos los cromosque pongas no pueden ser más de 7. ... Sí a todos los cromos que- has puesto lequitas los 3 de más (de futbolistas), encuentras la solución al problema y esto es loque tienes que dibujar en el rectángulo de trazos discontinuos.. . “
“En este problema, aunque pueda parece que las palabras d el mismo te dicen quehay que hacer una suma, la operación que lo resuelve es también una resta. Haz laoperación de restar en el lugar que correspondiente”. Sentencia numérica: ¿:a?-+W=c
“Escribe la solución”.
Sesión 17
Esta última sesión de trabajo está destinada al afianzamiento y repaso de losproblemas que componen el programa. El tipo de trabajo de estas dos sesiones esindividual, si bien es conveniente formar parejas de alumnos con el criterio deemparejar uno de los alumnos eficiente con uno de los que hayan tenido dificultadesa la hora de comprender el uso de los diagramas.
Trabajo Individual o por parejas.
Se les deja un tiempo para que resuelvan los 12 y 18 problemas de los que secomponen estas sesiones y para dibujar los diagramas de las categorías de problemas.El instructor, junto con el profesor pasea por el aula suministrando las ayudas que secrean pertinentes, pero nunca resolviendo los problemas. Cuando se observen erroresse hacen preguntas destinadas a que el alumno reflexione sobre sus propiasrespuestas, pero nunca se corrige con frases del tipo está mal, bórralo y hazlo denuevo... « sino con preguntas como “¿Qué te piden en este problema? “, ¿ Qué tipode problema es? % ¿t e piden la situación inicial, el cambio o la situación final?,...Corrección colectiva.
Cuando, razonablemente, la mayoría de la clase haya terminado se realiza unacorrección colectiva. Se utiliza el retroproyector para los diagramas y van saliendo a
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resolver los problemas aquellos alumnos que hayamos considerado como másnecesitados de ayuda durante la fase del trabajo individual o por parejas. El instruc-tor puede cometer errores intencionados para hacer esta última parte una actividadmás reflexiva, que no sea una pura mecánica Él e repetición.
“PROGRAMA INSTRUCCIONAL PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASARITMÉTICOS ELEMENTALES VERBALES DE UNA SOLA OPERACIÓN”
MANUAL PARA EL ALUMNO
SESIÓN 1
PARA RESOLVER PROBLEMAS
Nombre y apellidos:
Número: Fecha:
En estas lecciones que vamos a dar, vas a aprender a como resolver los problemasde matemáticas que son de una sola operación.
1. Resolver un problema de matemáticas se parece a “buscar algo perdido” oalgo que necesitas encontrar; fíjate en esta niña, ha perdido su sombrero y tiene quebuscarlo. ¿Qué harías tú para encontrar el sombrero de la niña?
Figura 7 3
Vamos a ver que hace la, niña para encontrar su sombrero, de esa forma sabremoscómo resolver luego los problemas de matemáticas. Sabremos los pasos que hayque dar para dar hallar la solución correcta al problema.
2. “Buscar un sombrero». Para poder encontrar el sombrero, la niña tiene quehacer algunas de estas cosas:
1. Conocer donde se encuentra el sombrero.
3.Elegir, por ejemplo, la habitación de una casa muy grande donde ella piensa queesta el sombrero.
4. Ver, al encontrar el sombrero, si es el que ella estaba buscando.
Vamos a ver despacio cada uno de estos pasos.
Primero: Conocer dónde se encuentra el sombrero.
Si sabemos bien dónde se encuentra el sombrero podremos buscado con muchafacilidad.
Pero para saber bien dónde está el sombrero, tenemos que preguntarnos qué
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conocemos y qué buscamos. Para saber bien esto, nos preguntamos ¿quéconocemos?. Puede ser que conozcamos:
Un plano de la casa en la que está guardado el sombrero. La habitación exacta de lagran casa en la que está guardado. Que el sombrero está guardado en una caja grande.Figura 74
Luego nos preguntamos: ¿qué buscamos?
La respuesta es: un sombrero.
Segundo: Elegir el camino más adecuado para llegar a la casa grande en la queestá el sombrero.
Cuando sabemos en la casa esta el sombrero entonces pensamos en losposibles caminos que nos puedan llevar hasta la casa y escogemos el más corto o elque nos resulta más cómodo.
Para saber qué camino escoger, tenemos que mirar el mapa de la ciudad yencontrar la calle en la que está la casa que buscamos.
Luego elegimos el camino que nos lleve hasta la casa.
Figura 75
Tercero: Andar por el camino más elegido para llegar a la casa grande en la queestá el sombrero.
Nos ponemos a andar en el camino hasta llegar a la casa grande y a lahabitación en la que se encuentra el sombrero que busca la niña.
Cuarto: Ver si el sombrero que buscaba la niña es el que ella quería.
Figura 76
Cuando encontramos la casa la abrimos para ver si el sombrero que buscabaes el que esta en la caja.
Bueno, ya sabes los pasos que hay que dar para encontrar algo que necesites. Loque vamos a ver en estas lecciones es algo muy parecido.
Se trata de aprender “Cómo se soluciona un problema de Matemáticas de una solaoperación” . Para resolver un problema también hay que dar unos pasos para hacerlobien y no equivocarnos. En la sesión número dos vamos a ver esos pasos que siemprevas a tener en cuenta cuando tengas que resolver un problema de matemáticas.
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COMO SOLUCIONAR UN PROBLEMA DE MATEMÁTICAS.
Para solucionar bien un problema de matemáticas tenemos que hacer varias cosas:
1. COMPRENDER EL PROBLEMA.
2. ELEGIR LA OPERACIÓN ADECUADA. 3. HACER LA OPERACIÓN ELEGIDA. 4.VER Si LA SOLUCIÓN ES CORRECTA.
Primero : Comprender el problema.
Comprender el problema es como conocer donde está el sombrero.
Para ello debemos preguntamos: ¿qué conozco? Y ¿qué es lo que busco?
Me pregunto ¿qué es lo que conozco?.
Para contestar a esta pregunta lo que hago es LEER el problema despacio Y me fijoen LOS DATOS que me dan en el problema.
Vamos a ver un ejemplo con un problema sencillo:
PROBLEMA:
Ana tiene 23 pesos, su padre le da 25 pesos. ¿Cuántos pesos tiene ahora?.
Una vez leído tenemos estos datos:
Ana TIENE 23 pesos
Su padre le DA 25 pesos.
Me pregunto ¿qué es lo que busco?.
Para contestar a esta otra pregunta hago esto:
1. Leo en silencio la pregunta de¡ problema. 2. Pongo una raya debajo de la preguntadel problema.
Vamos a hacerlo con el problema:
Ana tiene 23 pesos, su padre le da 25 pesos. ¿cuántos pesos tiene ahora?.
La pregunta es: ¿Cuántos pesos tiene ahora?
Segundo: Elegir la operación adecuada.
Elegir la operación adecuada es como elegir el camino mas adecuado paraencontrar el sombrero.
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Tercero: Hacer la operación elegida.
Hacerla operación elegida es como andar por el camino elegido paraencontrar el sombrero.
En nuestro ejemplo hay que hacer la SUMA. Vamos a hacerla:
Ana tiene 23 pesos, su padre le da 25 pesos. ¿cuántos pesos tiene ahora?
Sumo: 23 + 25 48
Cuarto: Ver si la solución es correcta.
Ver si la solución es correcta es como ver si el sombrero que encuentra laniña es el que buscaba.
Lee de nuevo el problema y comprueba que lo que te pedían en el problema es loque has encontrado. Fíjate en la solución: ¿te parece que es una solución lógica?.
Asegúrate de que los cálculos que has hecho con la operación son correctos.
NO TE EQUIVOQUES HACIENDO LA OPERACIÓN.
SI TE EQUIVOCAS PUEDES VOLVER A HACER LA OPERACIÓN DE NUEVO.
Vamos a hacerlo con nuestro problema:
Ana tiene 23 pesos, su padre le da 25 pesos. ¿cuántos pesos tiene ahora?
Sumo: 23+ 25
48
Leo de nuevo el problema. He encontrado lo que me pedían y me parece una soluciónlógica ya que Ana tiene que tener MAS dinero de¡ que tenia al principio.
SOLUCIÓN: ANA TIENE 48 PESOS.
Trata de seguir estos pasos en el siguiente problema:
Yo tenia 248 pesos. Me gaste 115. ¿Cuántos pesos me quedaron?
Te recuerdo los pasos:
1. COMPRENDER EL PROBLEMA.
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2. ELEGIR LA OPERACIÓN ADECUADA.
3. HACER LA OPERACIÓN ELEGIDA.
4. VER Si LA SOLUCIÓN ES CORRECTA.
RESOLVER PROBLEMAS.
1. COMPRENDER EL PROBLEMA
2. ELEGIR LA OPERACIÓN ADECUADA
3. HACER LA OPERACIÓN ELEGIDA
4 VER SI LA SOLUCIÓN ES CORRECTA
Recorta esta tarjeta para pegada en tu mesa y fijarte en los pasos cuando tengamosque resolver un problema de matemáticas.