problemas interesantes de matematicas

8/13/2019 Problemas Interesantes de Matematicas

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Problemas Interesantes de Matemtica

(por Jos Augusto Siles R.)

Problema 1.Con una vasija de 9 litros y otra de 4, tienes que conseguir 2 litros, para lo

cual se pueden llenar y vaciar las vasijas tantas veces como se quiere. Cmo loharas? Y si quisieras 7 litros en lugar de dos?

Solution 1

Primero llenar la vasija de 9 litros y pasar 4 litros a la vasija pequea, estonos deja 5 litros en la vasija grande. Luego se vaca la vasija de 4 litros y sevuelve a llenar con los cinco litros de la vasija grande, esto nos deja 1 litro enla vasija grande de 9 litros. Se aparta este litro y se repite el proceso.

Usando el resultado anterior, ya hemos medido 2 litros, ahora llenamos lavasija de 9 litros y pasamos 4 a la vasija pequea esto nos deja 5 litros en lavasija grande ms 2 que ya hemos medido tenemos 7 litros.

Problema 2.

Tres hermanos han heredado una nca que tiene forma de un cuadrado, lacual se divide como lo indica la gura. EnA existe un pozo que todos quierenusar. Dnde deben estar M y N para que los terrenos de los tres hermanostengan la misma rea y adems acceso al pozo?

Solution 2

1


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Vamos a suponer que el rea del 4M DA es igual a la del 4ABN, ademsvamos a establecer que AB = x; CN = p y N B = x p: Entonces el rea del

4ABNest dada por

A1 = 1

2bh

A1 = 1

2(x p) (x)

A1 = x2 px

2

Como asumimos que 4M DA es igual a la del 4ABN; entonces A1= A2

A1+ A2 = 2x2 px

2

A1+ A2 = x2px

Luego como el cuadradoABCD tiene de lado x; su rea es

AT =x2

Si restamos el rea de los dos tringulos rectngulos al rea total del cuadradoobtenemos el rea del cuadrilatero AMCN, esto es

A3 = x2

x2 px

A3 = x

2

x2

+pxA3 = px

El enunciado dice que las tres reas deben ser iguales, entonces podemosescribir los diguiente

A1 = A2= A3x2 px

2 = px

x2 px = 2px

3px = x2

p = x3

Por tanto el punto M y Ndebe estar ubicados a un tercio del lado CD yCB respectivamente.

2


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Problema 3.

Hay dos nmeros enteros, cuyo promedio y diferencia es igual a 12. Cules el cociente de estos nmeros?

Solution 3

Vamos a llamar a estos nmeros x1 y x2, segn el enunciado cumplen con

x1 x2 = 12x1+ x2

2 = 12 ! x1+ x2= 24

resolviendo este sistema, econtramos que

x1 = 12 + x2(12 + x2) + x2 = 24

2x2+ 12 = 24

x2 = 24 12

2x2 = 6

luego

x1 6 = 12

x1 = 12 + 6

x1 = 18

Problema 4.

En un dado normal, la suma de los puntos en las caras opuestas es 7. Estedado se va volteando sobre sus caras a lo largo de la franja gris. Si lo volteamos2013 veces a lo largo de la franja gris. Cul cara del dado queda en la partesuperior?

3


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Solution 4

Si considereamos la posicin de la imagen como la posicin de origen, podemosestablecer que

Tomando como referencia la cara que est hacia arriba, esta imagen podemosconvertirla en la sucesin

2!

3!

5!

4en la siguiente tabla se describe como cambia el dado con cada vuelta

vueltas orden1 4 ! 2 ! 3 ! 52 5 ! 4 ! 2 ! 33 3 ! 5 ! 4 ! 24 2 ! 3 ! 5 ! 4

A partir de este comportamiento podemos deducir que el dado vuelve a suposicin original cada 4 vueltas, as

2013 = 503 4 + 1

despus de 2012 vueltas el dado estar en su posicin original, entonces despusde 2013 vueltas es como si haya dado una sola vuelta, el orden 4 ! 2 ! 3 ! 5:

Problema 5.

El siguiente diagrama representa una multiplicacin. Hallar el valor de a, by c sabiendo que estos representan nmeros enteros.

Solution 5

4


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Ntese que el dgito de las unidades en el producto es 1; si buscamos losmltiplos de3 que dan 1 en las unidades la nica posibilidad es

7 3 = 21

de donde resulta b = 3: Al multiplicar b b la cifra de las unidades ser 9(7 7 = 49) y la cifra de las decenas en el producto es 0; observe que elproducto 3 a va llevando 2, podemos plantear la operacin

3 a + 2 = 1

es decir, que el dgito de las unidades sea 1, podemos deducir entonces que elnmero buscado es 3, porque

3 3 + 2 = 11

as ya tenemos los dos factores y podemos encontar c efectuando la multipli-cacin

de donde c= 0: Por tanto los nmeros buscados son: a = 3, b = 7 y c = 0.

Problema 6.

El siguiente cuadrado mgico suma 15 en todas sus las, columnas y diago-nales, construya un cuadrado mgico que sume 18.

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Solution 6

Observe que el cuadrado mgico tiene cierta disposicin particular, los nmerosde la diagonal principal estn en orden(4; 5; 6);adems como ya se dijo su sumaes 15

4 + 5 + 6 = 15

para conseguir la suma de 18, basta sumar uno a cada a cada nmero

(4 + 1) + (5 + 1) + (6 + 1) = 15 + 3

5 + 6 + 7 = 18

procediendo de igual forma para cada la, columna y diagonal, obtenemos

4 + 1 = 5 9 + 1 = 10 2 + 1 = 3

3 + 1 = 4 5 + 1 = 6 7 + 1 = 88 + 1 = 9 1 + 1 = 2 6 + 1 = 7

As el cuadrado mgico buscado es,

5 10 34 6 89 2 7

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