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PROBLEMAS DE ESTTICA

Fundamentos Fsicos de la Ingeniera. Departamento Fsica Aplicada UCLMEquipo docente: Antonio J BarberoAlfonso CaleraMariano Hernndez.

ETS Agrnomos Albacete

Pablo Muiz GarcaJos A. de Toro Snchez EU. I.T. Agrcola Ciudad Real

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PROBLEMA 1

A

B

C

D

Un tabln AB de longitud L0 y masa m se encuentra encajado entre dos paredes lisas, sujeto del techo por un cable unido al punto C y soportando un contrapeso de masa M en D (vase esquema). Si la distancia BD es L, calcular la tensin del cable y las reacciones en A y en B. Las distancias de C a las esquinas izquierda y derecha son respectivamente x1 y x2. Aplicacin numrica: m = 10 kg, M = 50 kg, L0 = 3 m, L = 2 m, x1 = 0.5 m, x2 = 1.5 m.

Diagrama de slido libre Las reacciones en los puntos A y en B son normales a las paredes ya que stas son

lisas y no presentan rozamientoAC

NB

NA

Mgmg

TD

90-

90-x1

L

L0

x2

Clculo ngulo ( )22120

0

1cos xxLL

+=0

21senL

xx +=

B

3UCLM

PROBLEMA 1 (2/2)

A

B

C

NB

NA

Mgmg

TD

90-

90-x1

L

L0

x2

X

Y = 0xF 0= AB NN = 0yF ( ) 0=+ gmMT

BA NN =( )gmMT +=

= 0BM 1xT )180sen(20 Lmg

0)90sen(0 =++ LN A0cossensen

2 00

1 =+ LNMgLLmgxT A

)180sen( MgL

10

0 )(sensen2cos gxmMMgLLmgLN A ++=

cos

)(sensen2

0

10

L

gxmMMgLLmgN A

++= BN=

0

21senL

xx +=

( )221200

1cos xxLL

+= N 588=T N 5.204== BA NNValores numricos

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PROBLEMA 2

Un cilindro de peso 4 kp est apoyado sobre dos planos inclinados que forman ngulos de 30 y 60 con la horizontal. Suponiendo que las superficies de los dos planos inclinados son lisas, calclese la reaccin de cada uno de los planos inclinados sobre el cilindro.

30 60

1 = 30

2 = 60W = 4 kpN2

X

Y 0sensen 2211 == NNFX2

1N1

0coscos 2211 =++= NNWFY2

112 sen

senNN = WNN =+ 2

2

1111 cossen

sencos

2121

21 cossensencos

sen

+=

WN ( )212

sensen

+=

W

2121

12 cossensencos

sen

+=

WN ( )211

sensen

+=

W

kp 32=

kp2=

5UCLM

PROBLEMA 3

c) Calclese numricamente el coeficiente de rozamientopedido en el apartado anterior si L0 = 4 m, m = 10 kg, M = 80 kg, L = 3 m, = 30, A = 0.2. Tmese el valor de la aceleracin de la gravedad como g = 10 m/s2.

a) Dibjese el D.S.L. De la escalera cuando el hombreha subido al punto indicado.

b) Determnese el coeficiente de rozamiento estticoentre la escalera y el suelo.

20L

0L

L

mg

Mg

Una escalera de longitud L0 y masa m est apoyada contra una pared vertical formando un ngulo con la misma. Cuando un hombre de masa M sube por la escalera y alcanza un punto situado a una distancia Ldel extremo inferior, la escalera se encuentra a punto de deslizar. Si el coeficiente de rozamiento esttico entre la escalera y la pared es A, se pide:

6UCLM

PROBLEMA 3 (2/4)

20L

0L

L

mg

Mg

A

BX

Y

La fuerza de rozamiento en el punto A est dirigida hacia arriba, ya que si la escalera deslizase su extremo superior se arrastrara hacia abajo. RAF

RBF

AN

BN

Adems tenemos la reaccin normal en el punto A.

La fuerza de rozamiento en el punto B est dirigida hacia la izquierda, ya que si la escalera deslizase su extremo inferior se arrastrara hacia la derecha.

Adems tenemos la reaccin normal en el punto B.

0== BBARBA NNFN

0)()( =++=++ gmMNNgmMNF BAABRA

= 0xF

= 0yF

Equilibrio de fuerzas

Diagrama de slido libre

7UCLM

PROBLEMA 3 (3/4)

+Respecto al punto B = 0BMEquilibrio de momentos

20L

0L

L

mg

Mg

A

B

RAF

RBF

AN

BN

)180sen(20 Lmg

+90

180

)180sen( + MgL)90sen(0 + LN A

0sen0 = LFRA

sen20 gMLLm

+ sencos 00 LNLN AAA +=

sencos

sen2

00

0

LL

gMLLmN

AA +

+=

sencos

sen2 0

AA

gLLMm

N +

+

=

8UCLM

PROBLEMA 3 (4/4)

0= BBA NN = 0xF0)( =++ gmMNN BAA = 0yFSistema de

ecuaciones

sencos

sen2 0

AA

gLLMm

N +

+

= AAB NgmMN += )(

AA

B

AB

NgmMN

N

+== )(1

B

AB N

N=AA

A

NgmMN

+= )(

Resolucin numrica: L0 = 4 m, m = 10 kg, M = 80 kg, L = 3 m, = 30, A = 0.2, g = 10 m/s2

404.0=BN7.832=BNN4.336=AN

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PROBLEMA 4

Una barra homognea AB de longitud L0 y peso W se apoya sobre el punto A de una pared lisa inclinada un ngulo y sobre el punto B de un suelo rugoso. En equilibrio la barra forma un ngulo con el suelo. Se pide determinar la fuerza horizontal F de rozamiento en el punto de contacto con el suelo, las reacciones normales en los dos apoyos y el coeficiente de rozamiento en B. Datos: W = 5 kp, L0 = 2 m, = 60, = 30.

B

A

F

RA y RB son las normales en A y B, respectivamente

B

A

F

RB

RA

W

90+

90X

Y

-

180-

90-

-D.S.L.0)90cos( = ARF = 0xF

= 0yF[1]0sen = ARF

0)90sen( =+ AB RWR[2]0cos =+ AB RWR

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UCLM

PROBLEMA 4 (2/2)

B

A

F

RB

RA

W

90+

90X

Y

-

180-

90-

-D.S.L. = 0BM0)90sen()90sen(

2 00 =++ LRLW A

0)cos(cos2 00 = LRLW A

)cos(2cos

=

WRA

0sen = ARF )cos(2cossen

=WF

0cos =+ AB RWR

= )cos(2

coscos1 WRB

BRF =BR

F=

coscos)cos(2cossen=

kp50.2=ARkp17.2=Fkp75.3=BR

577.0=

[3]

Resultados numricos

[1]

[2]

Coeficiente rozamiento

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PROBLEMA 5

En un aro semicircular de centro O hay una anilla A de la que pende un peso W0. La anilla est sujeta mediante un hilo inextensible que pasa por un eje normal al aro en el punto B(ver diagrama), de cuyo extremo cuelga un peso W. La anilla resbala sin rozamiento sobre el aro hasta alcanzar la posicin de equilibrio, en cuyo momento los ngulos subtendidos con la vertical por las posiciones A y B son respectivamente A y B.Determnese la razn de los pesos W0/W.

O

AB

A B

W0W

Diagrama de slido libre de la anilla A

O

A

A B

RB

T

W0

1) Como no hay rozamiento entre anilla y aro, la reaccin R en el punto de equilibrio debe ser radial: carece decomponentes en direccin tangente.

2) La componente del peso W0 en la direccin tangente y en sentido descendente ha de ser compensada porla componente tangente de la tensin T del hilo ensentido ascendente. W

3) La tensin T del hilo es igual al peso W colgado en B.

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PROBLEMA 5 (2/2)

O

A

A B

RB

T

W0W

O

AB

A+B

1802 =++ BA

290 BA +=

= 90-

A90-A

A = 90 2BA +=

OA y OB son iguales al radio del aro, de modo que el

tringulo OAB es isscelesEn equilibrio se verifica coscos0 TW =

Como la tensin T la proporciona el peso colgado en B, se verifica T = W

2cos

sen10 BA

AWW

+=( )

2cos90cos0 BAA WW

+=

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a

AO

W

T

h

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PROBLEMA 6

Se tiene que hacer pasar un rodillo cilndrico de radio ay peso W por encima de un escaln de altura h. Para ello se enrolla un cable alrededor del rodillo y se tira del mismo horizontalmente (vase esquema). El borde A del escaln es rugoso. Calclese el valor de la tensin Taplicada al cable a partir del cual se consigue superar el escaln y la reaccin correspondiente en el borde A.Aplicacin numrica: W = 4000 N; a = 2 m; h = 50 cm.

A medida que se incrementa la tensin T del cable aumenta la reaccin en el borde Ay disminuye la normal aplicada en B (punto de contacto con el suelo).

a

A

O

W

T

h B

N

Rx

Rya

A

O

W

T

h Rx

Ry

N

Rx

Ry R

Mayor tensinMenor tensin

14

a

A

T

h BW

O

Rx

Ry

N

El rodillo est a punto de superar el escaln cuando se cumplen dos condiciones:

2) Cuando las lneas de accin de los vectores T, W y R concurren en un punto

0=+= WNRF yy0== TRF xx X

Y

Z

1) Cuando la normal N vale cero: en ese momentono ejerce presin contra el suelo en el punto B

(son vectores coplanarios)

WRy =TRx =

a

A

O

W

T

h Rx

Ry

N = 0

h

2a-h

d

O

A

b O

Ad

a-ha

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PROBLEMA 6 (2/3)

Equilibrio esttico: mientras que el rodillo no supere el escaln

Condiciones en el momento en que N = 0

hBuscamos una relacin geomtrica

adicional que ligue Rx y Ry

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PROBLEMA 6 (3/3)

ahhad 2222 ++=222 )( hada +=)2(2 hahd = )2( hahd =a

A

O

W

T

h Rx

Ry

N = 0

h

2a-h

d

O

A

b O

Ad

a-h

h

a

VALORES NUMRICOS

N9.1511=TN7.2285=R 7.20=

hah

had

== 22tg

Disponemos de las siguientes tres ecuacionesEste es el valor mnimo

para que empiece a remontar el escaln!ha

hWWT == 2tgyx

RR=tgWRy =TRx =

Componentes de R

Rx

RyR

22 yx RRR += 22 2 WhahW += ha

aW = 22

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PROBLEMA 7

a

B

D

CUna barra homognea BD de longitud L0 y peso W se apoya en los puntos B y C indicados en el diagrama adjunto. Los rozamientos en los apoyos son despreciables. Determinar el ngulo para el que se consigue el equilibrio y calcular las reacciones en los apoyos B y C. Datos: W = 5 kp, a = 0.40L0.

a

B

D

C

X

Y

20L

WRB

RC90-

= 0xF = 0yF

0)90sen( = CB RR0)90cos( = WRC

0cos = CB RR0sen =WRC

= 0BM

B

C

a

L

La=sen sen

aL =

180- 0)180sen(2sen0 =

LWRa C

0sen2sen0 =

LWRa CD.S.L.

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PROBLEMA 7 (2/2)

0cos = CB RR0sen =WRC

0sen2sen0 =

LWRa C

sen2sensen0LWWa =

3/1

0

2sen

=

La

3/10

2sen

==a

LWWRC 123/2

0

=a

LWRB

senWRC =

0

3 2senLa=

12

1sen

1sen

sen1 3/202

2

===

aLWWW

sencoscos WRR CB ==

Resultados numricos: usando W = 5 kp, a = 0.40L0 tenemos:

9283.040.02sen3/1

0

0 =

=

LL 2.68=

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PROBLEMA 8

hmax

F

L

En una mudanza es preciso trasladar un armario de peso mg deslizndolo sobre el piso y para ello se le empuja horizontalmente con una fuerza constante F. La anchura del armario es L (vase figura). El coeficiente de rozamiento esttico es . Cul es la mxima altura hmax a la que puede aplicarse la fuerza F sin que el armario vuelque?

Supongamos que aplicamos la fuerza Fen el punto preciso para que est a punto de volcar. El DSL en ese caso es

Observe que cuando el vuelco es inminente la reaccin en B es nula, mientras que en A la reaccin normal ha de ser igual al peso:

== 0mgNFY mgN =CM

AB

L

mghmax

F

N

FR

X

YLa condicin para que se produzca el vuelco es que el momento con respecto al punto A de la fuerza F sea mayor que el del peso respecto al mismo punto, as que el vuelco resulta inminente cuando se cumpla que:

== 02LmghF max

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PROBLEMA 8 (2/2)

Adems, en el momento en que el vuelco es inminente, la fuerza de rozamiento esttica ha de ser igual a F:

== 0FFF RX mgNFF R ===Sustituyendo en la ecuacin de los momentos 0

2= LmghF max

2Lhmax =0

2= Lmghmg max

Observe que el valor de la altura mxima para que el armario vuelque es independiente del valor de F, depende de dnde se aplique la fuerza. Si la altura a la que se aplica F es menor que sta, entonces el armario se deslizar sobre el piso sin volcar, tal y como se pretende.