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Geometría – Rectas Paralelas ~1~ NJCTL.org

Problemas del capítulo rectas paralelas Rectas: intersección, paralelas y oblicuas Trabajo en clase – Utiliza la imagen 1

1. Nombra todos los segmentos paralelos a 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ :

2. Nombra todos los segmentos oblicuos a 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ :

3. Nombra los segmentos que se intersectan con 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ :

4. Los segmentos 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ son coplanares? Explica tu respuesta.

5. Los segmentos 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ son coplanares? Explica tu respuesta.

¿Cada enunciado es verdadero siempre, algunas veces o nunca? 6. Dos rectas que se intersectan son oblicuas. 7. Dos rectas paralelas son coplanares. 8. Dos rectas en el mismo plano son paralelas. 9. Dos rectas que no se intersectan son paralelas. 10. Dos rectas oblicuas son coplanares. Rectas: Intersección, paralelas y oblicuas Trabajo en casa - Utiliza la imagen 1

11. Nombra todos los segmentos paralelos a 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ :

12. Nombra todos los segmentos oblicuos a 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ :

13. Nombra todos los segmentos que se intersecten con 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ :

14. ¿Los segmentos 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ son coplanares? Explica tu respuesta.

15. ¿Los segmentos 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ y 𝐻𝐷̅̅ ̅̅ son coplanares? Explica tu respuesta. Indica cuales de las siguientes afirmaciones son siempre, algunas veces o nunca verdaderas: 16. Dos rectas coplanares son oblicuas. 17. Dos rectas que se intersectan están siempre en el mismo plano. 18. Dos rectas del mismo plano son paralelas. Rectas y Transversales Clasifica cada para de ángulos como alterno interior, alterno exterior, interior del mismo lado, exterior del mismo lado, ángulos correspondientes o ninguno de éstos. 19. ∠11 y ∠16 son

20. ∠12 y ∠2 son

21. ∠14 y ∠8 son

22. ∠6 y ∠16 son

23. ∠7 y ∠14 son

24. ∠3 y ∠16 son

Imagen 1


Clasifica cada para de ángulos como alterno interior, alterno exterior, interior del mismo lado, exterior del mismo lado, ángulos correspondientes o ninguno de éstos.

25. ∠7 y ∠12 26. ∠3 y ∠6 27. ∠6 y ∠11

28. ∠7 y ∠11 29. ∠4 y ∠10 30. ∠14 y ∠16 31. ∠2 y ∠3

32. ∠2 y ∠10 Rectas paralelas y demostraciones Trabajo en clase Une cada expresión/ecuación con la propiedad utilizada para llegar a la conclusión. 33. AB = AB 34. Si m∠A = m∠B y m∠B = m∠C, entonces

m∠A = m∠C.

35. Si x + y = 9 e y = 5, entonces x + 5 = 9. 36. Si DE = FG, entonces FG = DE.

a) Propiedad sustitutiva de igualdad b) Propiedad transitiva de igualdad c) Propiedad reflexiva de igualdad

d) Propiedad simétrica de igualdad

Preguntas de muestra para la prueba tipo PARCC: 37. Prueba de ángulos exteriores alternos: Completa la prueba completando con el “banco de

razones” de más abajo. Dado: recta m || recta k

Probar: ∠2 ≅ ∠8

Enunciados Razones

1. recta m || recta k 1.

2. ∠2 ≅ ∠6 2.

3. ∠6 ≅ ∠8 3.

4. ∠2 ≅ ∠8 4.

Banco de razones a) Propiedad transitiva de congruencia b) Si 2 rectas paralelas se cortan de

formar transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.

c) Los ángulos verticales son congruentes.

d) Dado


Preguntas de muestra para la prueba tipo PARCC: 38. Prueba de ángulos interiores del mismo lado: Completa la prueba completando las

razones faltantes con las razones del “banco de razones” de abajo. Algunas razones pueden utilizarse más que una vez.

Dado: recta m || recta k

Probar: ∠5 y ∠4 son suplementarios

Rectas paralelas y pruebas Trabajo en casa Para N°39-42 une la descripción de la izquierda con el nombre de la propiedad de la derecha. 39. ∠A ≅ ∠B y ∠B ≅ ∠C, entonces ∠A ≅ ∠C. a) Propiedad sustitutiva de igualdad 40. Si bc = 77 y b = 11, entonces 11c = 77. b) Propiedad transitiva de congruencia

41. Si ∠P ≅ ∠M, entonces ∠M ≅ ∠P. c) Propiedad reflexiva de igualdad 42. QR = QR d) Propiedad simétrica de congruencia

Enunciados Razones

1. Recta m || recta k 1.

2. ∠1 ≅ ∠5 2.

3. m∠1 = m∠5 3.

4. ∠1 & ∠4 son suplementarios 4.

5. m∠1 + m∠4 = 180 5.

6. m∠5 + m∠4 = 180 6.

7. ∠5 y ∠4 son suplementarios 7.

Banco de razones

a) Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios.

b) Propiedad sustitutiva de igualdad. c) Definición de ángulos suplementarios d) Si 2 rectas paralelas se cortan por una

transversal, los ángulos correspondientes son congruentes.

e) Definición de ángulos congruentes. f) Dado


Preguntas tipo PARCC: 43. Prueba de ángulos alternos interiores: Completa la prueba completando las razones

faltantes con el “banco de razones” de abajo. Dado: recta m || recta k

Probar: ∠3 ≅ ∠5

Enunciados Razones


2. ∠3 ≅ ∠7 2.

3. ∠7 ≅ ∠5 3.

4. ∠3 ≅ ∠5 4.

Banco de razones

a) Ángulos verticales son congruentes. b) Dado. c) Propiedad transitiva de congruencia. d) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una

transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.


Preguntas tipo PARCC: 44. Prueba de ángulos exteriores del mismo lado: Completa la prueba completando las

razones faltantes con las razones del “banco de razones” de abajo. Algunas razones pueden ser utilizadas más de una vez.

Dado: recta m || recta k

Probar: ∠1 & ∠8 son suplementarios

Propiedades de rectas paralelas Trabajo en clase Utiliza el diagrama dado para responder a los problemas N°33-41.

Si m∠9 = 54°, entonces hallar los siguientes ángulos:

45. m∠1=

46. m∠2=

47. m∠4=

48. m∠5=

49. m∠15=

Enunciados Razones


2. ∠1 ≅ ∠5 2.

3. m∠1 = m∠5 3.

4. ∠5 y ∠8 son suplementarios

4.

5. m∠5 + m∠8 = 180 5.

6. m∠1 + m∠8 = 180 6.

7. ∠1 y ∠8 son suplementarios

7.

Banco de razones

a) Definición de ángulos suplementarios b) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una

transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.

c) Dado d) Definición de ángulos congruentes. e) Ángulos que forman un par lineal son

suplementarios. f) Propiedad sustitutiva de igualdad


Si m∠2 = (12x-54)° y m∠10 = (7x+26)°, entonces halla los siguientes ángulos: 50. m∠6= 51. m∠11=

52. m∠9= 53. m∠16= Encuentra los valores de las variables desconocidas en cada figura. (N° 54-58) 54. 55. 56.

57. 58.


Halla el valor de cada uno de los siguientes ángulos:

59. m∠1= 60. m∠2= 61. m∠3=

62. m∠4= 63. m∠5= Indica cuales segmentos (si hay) son paralelos. 64. 65. 66. Resuelve las incógnitas 67. 68.


Propiedades de rectas paralelas Trabajo en casa

Si m∠9 = 62°, entonces halla los valores de los siguientes ángulos: 69. m∠1= 70. m∠2=

71. m∠4= 72. m∠5= 73. m∠15=

Si m ∠2 = (14x-24)° y m ∠10 = (6x+72)°, entonces hallar los valores de los siguientes ángulos:

74. m∠6= 75. m∠11= 76. m∠9= 77. m∠16= Halla los valores de las variables desconocidas en cada figura. ( N°78-82) 78. 79. 80. 81. 82.


Halla las medidas de los siguientes ángulos:

83. m∠1= 84. m∠2= 85. m∠3=

86. m∠4= 87. m∠5= Indica cuales segmentos (si hay) son paralelos. 88.

90. 89. 91. 92.

124°

124°

D C

BA


Construyendo rectas paralelas Trabajo en clase 93. Construye una recta m que sea paralela a la recta / que pase por el punto C utilizando el método indicado. Ángulos correspondientes 94. Análisis de error: Una persona construyó la recta n que pasa por el punto D de modo tal que es paralela a la recta / utilizando el método de ángulos alternos interiores. Utilizando sus marcas indica su error.

95. Utiliza las técnicas de plegado de papel para construir rectas paralelas.


Construyendo rectas paralelas Trabajo en casa 96. Análisis de error: Una persona construyó una recta n que pasa por el punto D de modo tal que es paralela a la recta / usando el método de ángulos alternos exteriores. Usando sus marcas indica su error.

. 97. Construye rectas paralelas utilizando una regla y un compás usando ángulos alternos interiores. 98. Construye rectas paralelas utilizando una regla y un compás usando ángulos alternos exteriores.


Preguntas tipo PARCC: 99. La figura muestra la recta j, los puntos C y B están sobre la recta j y el punto A no está sobre la recta j. También se muestra la recta AB.

Parte A:

Considera la construcción parcial de una recta paralela a j que pase por el punto A. ¿Cuál sería el paso final en la construcción?

a) Dibuja una recta que pase por los puntos B y F b) Dibuja una recta que pase por los puntos C y F c) Dibuja una recta que pase por los puntos A y F d) Dibuja una recta que pase por los puntos A y G

Parte B: Una vez que esté completa la construcción ¿cuál de las siguientes razones listadas contribuye a proveer la validez de la construcción?

a) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes. b) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos externos son congruentes. c) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios. d) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos internos son congruentes.

jBC

A

jG

F

BC

A


Preguntas tipo PARCC: 100. La figura muestra la recta p; los puntos H, K, y M están sobre la recta p, y el punto J no está sobre la recta p. También se muestra la recta JK.

Parte A:

Considera la construcción parcial de una recta paralela a p que pasa por el punto J. ¿Cuál sería el último paso en la construcción?

a) Dibuja una recta que pasa por los puntos K y N b) Dibuja una recta que pasa por los puntos J y N c) Dibuja una recta que pasa por los puntos H y N d) Dibuja una recta que pasa por los puntos M y M

Parte B: Una vez que la construcción esté completa ¿cuál de las siguientes razones listadas contribuye a proveer la validez de la construcción?

a) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes. b) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos externos son congruentes. c) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios. d) Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos internos son congruentes.

pMKH

J

p

N

MKH

J


Revisión de rectas paralelas Opción múltiple

1. Nombra el segmento paralelo a 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ y oblicuo a 𝐸𝐴̅̅ ̅̅ .

a. 𝐹𝐵̅̅ ̅̅

b. 𝐷𝐴̅̅ ̅̅

c. 𝐽�̅�

d. 𝐻𝐷̅̅ ̅̅

2. Nombra el segmento paralelo a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y oblicuo a 𝐸𝐼.̅̅ ̅̅

a. 𝐹𝐵̅̅ ̅̅

b. 𝐷𝐴̅̅ ̅̅

c. 𝐽�̅�

d. 𝐻𝐷̅̅ ̅̅

3. Determina si los enunciados son siempre, algunas veces o nunca verdaderos:

Dos rectas oblicuas son coplanares. a. Siempre b. Algunas veces

c. Nunca

4. Determina si los enunciados son siempre, algunas veces o nunca verdaderos: Dos rectas que se intersectan son coplanares a. Siempre

b. Algunas veces c. Nunca

5. Determina si los enunciados son siempre, algunas veces o nunca verdaderos: Dos rectas que no se intersectan son oblicuas. a. Siempre b. Algunas veces

c. Nunca

6. Determina la relación entre ∠1 y ∠10. a. Alterno interior b. Interior del mismo lado c. Ángulos correspondientes d. Ninguno de los anteriores

7. Determina la relación entre ∠5 y ∠15. a. Alterno Exterior b. Alterno Interior

c. Interior del mismo lado d. ninguno de los anteriores


8. Dado en el diagrama de la derecha, m∠2=3x-10 y m∠15=2x+30 , ¿Cuál es m∠12? a. 32o b. 40o c. 86o d. 110o

9. Dado en el diagrama de la derecha,

m∠5= (7x+2)° y m∠11=(5x+14)°, ¿Cuál es m∠14? a. 6° b. 44° c. 46° d. 136°

En 10-11, usa el diagrama de la derecha.

10. Dado ∠2 ≅ ∠6, que justifica que k || m. a. Conversar sobre Teorema de ángulos alternos internos b. Conversar sobre Teorema de ángulos alternos exteriores c. Conversar sobre Teorema de ángulos correspondientes d. No hay suficiente información de paralelismo

11. Dado n || p , que justifica ∠1 ≅ ∠12 a. Teorema de ángulos internos alternos b. Teorema de ángulos exteriores alternos c. Teorema ángulos correspondientes d. No hay suficiente información para realizar el enunciado

Respuesta de construcción extendida 1. Completa la prueba completando las razones faltantes con el “banco de razones” de la derecha. Algunas razones pueden utilizarse más de una vez.

Dado: ∠1 ≅ ∠3; 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ || 𝑃𝑄̅̅ ̅̅

Probar: ∠2≅∠3

Enunciados Razones

1. ∠1 ≅ ∠3 1.

2. 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ || 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ 2.

3. ∠1 ≅ ∠2 3.

4. ∠2≅∠3 4.

3 2

1

M N

QP

Banco de razones

a) Propiedad transitiva de congruencia

b) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una

transversal, entonces los ángulos interiores

alternos son congruentes.

c) Dado


2. Completa la prueba completando en las razones faltantes con el “banco de razones” de la derecha. Algunas razones pueden utilizarse más de una vez. Dado: n || p, k || m

Probar: ∠2 y ∠13 son suplementarios

Enunciados Razones

1. n || p, k || m 1.

2. ∠2 ≅ ∠12 2.

3. ∠12 ≅ ∠14 3.

4. ∠2 ≅ ∠14 4.

5. m∠2 = m∠14 5.

6. m∠13 & m∠14 son suplementarios

6.

7. m∠13 + m∠14 = 180° 7.

8. m∠13 + m∠2 = 180° 8.

9. ∠2 &∠13 son suplementarios 9.

3. Usando un compás y una regla, construye líneas paralelas. Puedes utilizar cualquier método de tu elección.

Banco de razones

a) Propiedad transitiva de congruencia b) Definición de ángulos suplementarios c) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes. d) Definición de ángulos congruentes e) Dado f) Si 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos exteriores alternos son congruentes. g) Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios. h) Propiedad sustitutiva de igualdad


Respuestas

1. Segmentos 𝐽�̅�,𝐹𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅

Segmentos 𝐽𝐹̅̅ ̅,𝐼𝐸̅̅ ̅, 𝐹𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐴̅̅ ̅̅

2. Segmentos 𝐺𝐽̅̅ ̅, 𝐺𝐹̅̅ ̅̅ , 𝐺𝐶̅̅ ̅̅ ,

𝐻𝐼̅̅̅̅ , 𝐻𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐻𝐷̅̅ ̅̅

3. Sí, porque los segmentos son

paralelos

4. No, son rectas oblicuas,

entonces no son coplanares.

5. Nunca

6. Siempre

7. Algunas veces

8. Algunas veces

9. Nunca

10. Segmentos 𝐽�̅�, 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅

11. Segmentos 𝐻𝐼̅̅̅̅ , 𝐺𝐽̅̅ ̅, 𝐶𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐻̅̅ ̅̅

12. Segmentos 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐹𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐹𝐽̅̅ ̅, 𝐸𝐴̅̅ ̅̅ ,

𝐹𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐼̅̅ ̅

13. Sí, porque son paralelas

14. No, son rectas oblicuas, por lo

tanto no son coplanares

15. Nunca

16. Siempre

17. Algunas veces

18. Interior del mismo lado

19. Ninguna de éstas

20. Interior alterno

21. Correspondiente

22. Interior del mismo lado

23. Ninguno de estos

24. Correspondiente

25. Mismo lado

26. Alterno interior

27. Correspondiente

28. Correspondiente

29. Interior mismo lado



32. c. Propiedad reflexiva de

igualdad

33. b. Propiedad transitiva de

igualdad

34. a. Propiedad sustitutiva de

igualdad

35. d. Propiedad simétrica de

igualdad

36. Las razones de prueba

deberían ser:

Enunciados Razones

1. recta m || recta k 1. d.

2. ∠2 ≅ ∠6 2. b.

3. ∠6 ≅ ∠8 3. c.

4. ∠2 ≅ ∠8 4. a.


deberían ser:

Enunciados Razones

1. recta m || recta k 1. f. 2. ∠1 ≅ ∠5 2. d.

3. m∠1 = m∠5 3. e.

4. ∠1 & ∠4 son suplementarios

4. a.

5. m∠1 + m∠4 = 180°

5. c.

6. m∠5 + m∠4 = 180°

6. b.


7. c.

38. b. Propiedad transitiva de

congruencia

39. a. Propiedad sustitutiva de

igualdad

40. d. Propiedad simétrica de

congruencia

41. c. Propiedad reflexiva de

igualdad


42. Las razones de la prueba

deberían ser:

Enunciados Razones

1. line m || line k 1. b.

2. ∠3 ≅ ∠7 2. d.

3. ∠7 ≅ ∠5 3. a.

4. ∠3 ≅ ∠5 4. c.


deberían ser:

Enunciados Razones

1. recta m || recta k 1. c.

2. ∠1 ≅ ∠5 2. b.

3. m∠1 = m∠5 3. d.


4. e.

5. m∠5 + m∠8 = 180

5. a.

6. m∠1 + m∠8 = 180

6. f.


7. a.

44. 54°

45. 126°

46. 126°

47. 54°

48. 54°

49. 138°

50. 42°

51. 42°

52. 138°

53. x= 144°

54. x= 64° y y= 49/4

55. x=6; z=2

56. x=24, y=11; z=22/5

57. x=33; y=2

58. 44°

59. 107°

60. 29°

61. 29°

62. 136°

63. Los segmentos 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶 ̅̅ ̅̅ ̅son

paralelos

64. Los segmentos 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ y 𝑅𝑆 ̅̅ ̅̅ son

paralelos


66. x=9 y y=8 y z=7

67. x=8 y y=7

68. 62°

69. 118°

70. 118°

71. 62°

72. 62°

73. 144°

74. 36°

75. 36°

76. 144°

77. x=55°

78. x=86° y y=7

79. x=9; y=6; z=7

80. x=15; y=10; z=8

81. x=25; y=3

82. 41°

83. 106°

84. 33°

85. 33°

86. 129°

87. No puede determinarse

88. Los segmentos 𝑁𝐾̅̅̅̅̅ y 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ son

paralelos

89. Los segmentos 𝑄𝑃̅̅ ̅̅ y 𝑇𝑆 ̅̅ ̅̅ son

paralelos

90. x=6; y=12; z=7

91. x=18; y=7

92. Ver el trabajo del estudiante

93. hecho en el mismo interior del

mismo lado



95. Realizar ángulos congruentes

que deberían ser

suplementarios.



98. Parte A: c y Parte B: d

99. Parte A: b y Parte B: b

Revisión de opción múltiple 1. c 2. b 3. c 4. a 5. b 6. c 7. a 8. c 9. d 10. c 11. d

RESPUESTA DE CONSTRUCCIÓN EXTENDIDA 1.

Enunciados Razones

∠1 ≅ ∠3 c. Dado

𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ || 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ c. Dado

∠1 ≅ ∠2 b. Teorema de ángulos alternos internos

∠2≅∠3 a. Propiedad transitiva de la congruencia

Enunciados Razones

1. n || p, k || m 1. e

2. ∠2≅∠12 2. f

3. ∠12≅∠14 3. c

4. ∠2≅∠14 4. a

5. m∠2+m∠14 5. d

6. ∠13 & ∠14 son 6. g

suplementarios

7. m∠13 = m∠14 = 180° 7. b

8. m∠13 + m∠2 = 180° 8. h


9. b


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