problemas de transporte

7/21/2019 Problemas de Transporte

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE BABAHOYO.

MÉTODOS PARA SOLUCIONARPROBLEMAS DE TRANSPORTE.

GILMA TABLADA MARTÍNEZ.

INGENIERA EN MATEMÁTICAS.

AGOSTO 2014



Ing. Gilma Tablada Martínez. Investigación Operativa.

2

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TRANSPORTE.

El problema de transporte puede ser resuelto por el Método Simplex tradicional o cualquierotro método analítico. Sin embargo, esta metodología se hace muy tediosa por la cantidad ymagnitud de sus variables y datos.

Problemas de transporte.

Consiste en encontrar un plan de transportación óptimo de productos o bienes desdediferentes centros de oferta a varios centros de demanda. Están incluidos en una amplia gamade problemas, que se conocen como problemas de redes.

Estos problemas de transportación óptima pueden hacerse con el fin de que los costos detransportación sean mínimos o de que la ganancia de transportación se maximice.

Los modelos de distribución de recursos o transportación deben tener las siguientescondiciones generales:

Se deben cumplir las exigencias de los clientes. No se puede exceder la capacidad de producción o existencia de los productos.

La demanda no puede exceder a la oferta.

Para estos modelos las variables representan las cantidades de productos que se enviarándesde un centro de producción a un centro de recepción, por lo que llevarán 2 índices. Elprimero indica el número de la planta y el segundo el número de punto de recepción, de formatal que

→ Número de productos que se enviarán desde el centro de producción al centro de

recepción .

Antes de formular un modelo matemático para un problema de transporte, es posible dibujarun diagrama de redes esquemático para representar los diversos componentes del problema,como se ilustra en la figura 1.

Los círculos o nodos representan las plantas de producción y los centros de recepción oclientes. Cada arco indica que los productos pueden embarcarse desde la planta hasta elcliente .

Nodo: Un círculo en un diagrama de redes que representa un aspecto importante de unproblema, como la fuente y destino de bienes en un problema de transportación.

Arco: Una línea que conecta dos nodos en un diagrama esquemático que representa unarelación entre estos dos nodos, como podría ser una posible ruta para el embarque de bienes

en un problema de transportación.Además de los nodos y arcos, el diagrama de redes incluye los datos del problema. En estecaso, los números que están junto a los nodos correspondientes a los centros de producciónindican el número de productos que se oferta en cada centro, los números que están junto alos nodos correspondientes a los demandantes o clientes indican el número de productos quese solicitan allí.

Finalmente, las variables del problema se escriben junto a cada arco representan losembarques de productos desde la planta correspondiente al cliente asociado. Todos losaspectos importantes de este problema se incluyen en este diagrama de redes y, como verá, eldiagrama simplifica la formulación matemática del modelo.




3

Suponga que queremos enviar ciertos productos desde centros de producción a centrosde recepción o clientes con sus correspondientes ofertas y demandas de cada uno de loscentros.

El gráfico de redes se presenta a continuación:

Los modelos de transporte pueden ser de dos tipos:

Balanceados. No balanceados.

Cuando la cantidad de productos o bienes ofertados es igual a la cantidad de productos obienes demandados se dice que el modelo es balanceado, caso contrario, se dice que es nobalanceado. Primeramente vamos a estudiar los métodos de solución para problemasbalanceados.

El modelo para un problema de transporte balanceado es el siguiente:

Min ∑ ∑

Sujeto a:

∑ ( )

∑

∑ ∑

Los métodos de transporte en sentido general tienen los siguientes pasos:

1. Determinar una solución inicial factible básica.2.

Aplicar la condición de optimalidad para encontrar una variable de entrada, entretodas las variables no básicas. Si se satisface la condición de optimalidad terminar el

proceso. De lo contrario vaya al paso 3.

Centros de

recepción Centros de

producción

1

1

2

2

3

Figura 1. Estructura general de un modelo de transporte

2

2

3

.

.

.

.

.




4

3.

Utilizar la condición de factibilidad para encontrar la variable saliente, de entre todaslas variables básicas y determinar la nueva solución factible básica. Regrese al paso 2.

Prueba de optimalidad.

Consiste en encontrar los indicadores de la tabla simplex para analizar la posibilidad deencontrar una nueva variable básica. Las variables básicas tienen indicador nulo. La variableque ingresa a la base es la que tiene indicador más negativo.

La variable entrante a la base es la que tiene el menor coeficiente y debe cumplir lassiguientes condiciones:

1. Satisfacer las condiciones de disponibilidades de oferta y requerimientos de demanda.2. No se permiten envíos de cantidades negativas de recursos por ninguna vía.

Prueba de factibilidad.

Consiste en encontrar un nuevo plan de transportación con costo menor a los obtenidos en lassoluciones básicas anteriores.

Los modelos de distribución de recursos o transportación deben tener las siguientescondiciones generales:

Se deben cumplir las exigencias de los clientes.

No se puede exceder la capacidad de producción o existencia de los productos.

La demanda no puede exceder a la oferta.

El método de solución de problemas de transporte se basa en una tabla, llamada tablacaracterística de transportación, en la que se plasman los datos del problema de la siguiente

forma: En la parte superior derecha de cada cuadrícula en el cuerpo de la tabla, se escriben

los coeficientes de la FO, o sea, los costos de transportación desde un origen a undestino.

Los valores de oferta se ponen en la columna final.

En la última fila se ponen los valores de demanda.

En la parte inferior izquierda de cada cuadrícula en el cuerpo de la tabla, se escribenlos valores de las variables del modelo, o sea, los valores de envíos o cantidades detransportación desde un origen a un destino. Cuando no se hace envío desde un origena un destino no se pone ningún valor en esa posición, o en su defecto se coloca uncero.

Antes de aplicar un método de solución, se debe verificar la condición de equilibrio.

ESTRUCTURA DE LA TABLA CARACTERÍSTICA DE TRANSPORTE PARA UN PROBLEMA CON 3OFERETANTES Y 4 CLIENTES.

Para la elaboración de la tabla característica vamos a considerar un problema con 3 centros deoferta y 4 centros de recepción.

La información brindada para plantear el problema es:

Costos de los embarques posibles.




5

Demanda de los clientes (Centros de distribución)

Oferta de las Plantas. (Plantas de producción)

Las variables para este problema serían:

Cantidad a transportar desde la planta

al centro de recepción

.

2 3 4

2

22

23

24

3 32 33 34

3

4

SOLUCIÓN INICIAL PARA UN PROBLEMA DE TRANSPORTE.

La solución inicial para un problema de transporte puede encontrarse de manera arbitraria,haciendo asignaciones a las variables, sin descuidar las condiciones de ofertas y demandas; sinembargo, esto no es aconsejable porque podemos violar criterios técnicos como el número deasignaciones que deben hacerse o encontrar soluciones iniciales que dificulten el proceso decálculo de la solución óptima.

Para encontrar la solución usaremos dos métodos diferentes:

Método de la esquina noroeste.

Método de la celda de mínimo costo.

La solución inicial de un problema de transportación debe tener variables básicas.Si se encuentra un plan de transportación inicial con un número menor de embarques,siguiendo alguno de los métodos que vamos a estudiar, entonces se asigna cero en una celdavacía hasta completar el número de variables básicas que necesitamos.

MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE.

2

3

2 3 4

2

3

2

22

32

3

23

33

4

24

34

Clientes

f e r t a n t e s

O

f e r t a s

DemandasEcuación de

balance




6

El método consiste en asignar al destino 1 la mayor cantidad posible de la oferta 1 y asísucesivamente se van haciendo las asignaciones de las ofertas recorriendo la tabla deizquierda a derecha y de arriba abajo para satisfacer las demandas; según se requiera teniendoen cuenta los valores de la tabla.

MÉTODO DE LA CELDA DE MÍNIMO COSTO.

El método consiste en buscar la oferta de menor costo en la tabla y asignar al destinocorrespondiente según los valores de la tabla y así sucesivamente seguir haciendo asignacioneshasta satisfacer las demandas y ofertas.

Ejemplo de un problema de transporte.

Una empresa posee dos plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 250y 400 unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades deben ser trasladadas a tres centrosde distribución con demandas diarias de 200, 200 y 250 unidades, respectivamente. Los costos

de transporte en $/unidad del producto son:

C. de Dist. 1 C. de Dist. 2 C. de Dist. 3

Planta 1 21 25 15

Planta 2 28 13 19

Se quiere encontrar una solución inicial para el problema de transportación descritoanteriormente.

La tabla característica para este problema es:

C. de Dist. 1 C. de Dist. 2 C. de Dist. 3

21 25 15

Planta 1 250

28 13 19

Planta 2 400

200 200 250 650

a) Usando el método de la esquina noroeste debemos realizar los siguientes pasos:

1.

Hacer la asignación posible al destino 1 desde la planta 1.

21 25 15

250

200

28 13 19

400

200 200 250 650




7

2. Asignar a la centro 2 las 50 unidades restantes de la planta 1.

21 25 15

250

200 50 28 13 19

400

200 200 250 650

3.

Asignar al centro 2 150 unidades de las 400 que oferta la planta 2.

21 25 15

250

200 50 28 13 19

400

150

200 200 250 650

4. Las 250 unidades restantes de la planta 2 se asignan al centro 3.

21 25 15

250

200 50 28 13 19

400

150 250

200 200 250 650

La solución inicial de embarque debe tener Esta solución tiene 4 variables básicas y por lo tanto cumple la condición inicial del método detransporte. Caso contrario debíamos añadir un cero en una celda vacía y considerarlo unembarque.

Verifiquemos que también cumple con los requerimientos de demanda de cada centro dedistribución y las limitaciones de oferta de cada planta.

Requerimientode demanda 1

Requerimiento dedemanda 2


Limitaciones deoferta 1


2 22

22 23 2 23




8

Para este caso la solución inicial es:

Asignar 200 unidades diarias al centro de distribución 1 desde la planta 1, 50 al centro 2 desdela planta 1, 150 al centro 2 desde la planta 2 y 250 al centro 3 desde la planta 2.

El valor de costo para la FO se calcula:

es el costo de transportación para esta solución inicial.

b)

Usando el método de la celda de mínimo costo debemos realizar los siguientes pasos: 1.

Buscar el menor costo de envío en la tabla ($13.00), y asignar la mayor cantidad posiblea ese centro.

2. Buscar el menor costo de los restantes sin cubrir ($15.00), y hacer la mayor asignaciónposible.


21 25 15250

250

28 13 19

400

200 0

200 200 250 650


21 25 15

250

28 13 19

400

200

200 200 250 650

21 25 15

250250

28 13 19

400

200

200 200 250 650




9

21 25 15

250

0 250

28 13 19

400

200 0

200 200 250 650



21 25 15

250

0 0 250

28 13 19

400

200 200 0

200 200 250 650

Para este caso la solución inicial es:

Asignar 250 unidades diarias al centro de distribución 3 desde la planta 1, 200 al centro 1desde la planta 2 y 200 al centro 2 desde la planta 2.

El valor de costo para la FO se calcula:

es el costo mínimo de transportación.

Note que la solución inicial consta de tres embarques y se requieren 4, por lo que se hacenecesario asignar cero a una variable no básica cualquiera para garantizar el número demínimo de envíos en la solución inicial.

Generalmente la solución inicial generada con el método de mínimo costo genera una solucióninicial más próxima a la solución óptima.

Verifiquemos que también cumple con los requerimientos de demanda de cada centro dedistribución y las limitaciones de oferta de cada planta.

21 25 15

250

0 0 250

28 13 19

400

200 0

200 200 250 650




10

Deber 1:

Para los datos de costos de envío por unidad, ofertas y demandas que se muestran en la

siguiente tabla, plantee la tabla característica y encuentre una solución inicial.

Centros deoferta

Centros de demanda Ofertas1 2 3 4

1 10 15 20 14 400

2 5 7 6 8 300

3 9 10 15 13 150

Demandas 200 200 150 300

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TRANSPORTE.

1.

MÉTODO DEL CRUCE DEL ARROYO.

Pasos del método:

1. Encontrar la solución inicial. Verificar que tenga asignaciones. Si es menorcompletar con ceros.

2. Hacer la prueba de optimalidad para cada solución encontrada.3.

Hacer la prueba de factibilidad para cada solución encontrada.4.

Encontrar la cantidad a enviar de modo que el costo total de envío sea mínimo.

Prueba de factibilidad y optimalidad para el método del cruce del arroyo.

- Prueba de factibilidad. Consiste en formar los circuitos cerrados posibles desde lasceldas de las variables no básicas de la tabla característica inicial (las que no tiene

envíos asociados). Los circuitos formados tienen como vértices celdas con variablesbásicas y estas serán los vértices de los mismos.

Para encontrar el valor de la variable entrante se envía desde una celda actualmente vacía unaunidad de transportación. Esto se logra hallando los costos reducidos para las celdas vacías(variables no básicas).

El costo reducido es el valor en el que cambia la FO al enviar una unidad por el circuitocorrespondiente a una celda vacía.

A la celda de la variable no básica se asigna un signo y de manera alternada se asigna – y a las restantes celdas del circuito. El signo indica un incremento en el costo de la

transportación y el signo

– indica una disminución en el valor de la FO.






3

2

3

22 2 22




11

Dentro del circuito de costo reducido más negativo se toma la menor cantidad a transportarasociada a los costos que tienen signos negativos en el circuito. Este valor se suma y se resta alcircuito de acuerdo con su signo y se genera la próxima tabla característica.

-

Prueba de optimalidad. Consiste en verificar la optimalidad de la solución nuevaencontrada consiste en comprobar si todos los costos reducidos son positivos.

Selección de la solución inicial para nuestro ejemplo.

Tomemos la solución inicial para nuestro problema obtenida por el método de la esquinanoroeste.

21 25 15

250

200 50

28 13 19

400

150 250 200 200 250 650

En esta solución inicial tenemos 2 variables no básicas, 3 y 2, por tanto vamos a tener 2circuitos con las característica antes mencionadas. Los circuitos para calcular el costo reducidose pueden representar en la misma tabla, pero para ganar en claridad los representaremos entablas separadas. También pueden plantearse los cálculos sin que sean dibujados en la tabla.

Para nuestro caso la tabla que representa al circuito correspondiente a la variable 2 es:

21 25 15

250

200 50

28 13 19

400

150 250

200 200 250 650

La tabla que representa al circuito correspondiente a la variable 3 es:

21 25 15

250

200 50

28 13 19

400

150 250

200 200 250 650

Costo reducido:

Costo reducido:

6




12

El segundo costo calculado es negativo, por lo que la variable 3 es la que entra a la base.

Para calcular el valor posible a asignar a 3 tomamos el menor de los envíos establecidospara las variables básicas del circuito con signo en este caso 50. Ese valor se suma y se restasegún indican los signos de las celdas del circuito.

3 2

22

23

La nueva solución es:

3

22

23

Restableciendo nuestra tabla característica:

21 25 15

250

200 50

28 13 19

400

200 200

200 200 250 650

Haciendo la prueba de optimalidad para esta solución:

Como todos los costos reducidos son positivos la solución es óptima. Se calcula el costo total

mínimo.

21 25 15

250

200 50

28 13 19

400

200 200

200 200 250 650

21 25 15

250

200 50

28 13 19

400

200 200

200 200 250 650

Costo reducido:

6

Costo reducido:




13

Costo total = (200*21) + (50*15) + (200*13) + (200*19)

= 4200 + 750 + 2600 + 3600 = $11 350.00

El nuevo plan de transportación es 3 ; 22 y 23

Deber 2:

Use el método del cruce del arroyo para resolver el problema del deber 1 y encontrar un plande transportación óptimo.

2. MÉTODO DE MODIFICADO DE DISTRIBUCIÓN (MODI)

Condición de factibilidad:

Las variables básicas tienen indicadores nulos, pero para las variables no básicas debemoscalcularlos. Para ello, a cada fila asociamos los valores para y para las columnas y cada

variable básica hacemos corresponder una ecuación, de manera tal que .

Determinamos arbitrariamente cualquier o igual a cero para luego ir calculando los

otros. En nuestro caso hagamos . Para los cálculos nos auxiliamos de la siguiente tabla:

Como resultado de estas operaciones tenemos:

, , 2 , 2 , 3 .

Para cada variable no básica evaluamos

Variables no básicas Ecuación

3 3

2 2

Los cálculos anteriores equivalen a calcular la fila de indicadores de la tabla simplex, o sea, loscoeficientes de las variables estructurales en la FO. En nuestro caso sería:

Condición de optimalidad.

La solución es óptima ti todos los indicadores son no negativos.

En este caso la solución no es óptima.

Variables básicas Ecuación Solución

2 2

2 2 2 2

2 3 2 3

0 0 -12 15 0 0




14

Los valores antes calculados de manera independiente podrían ser calculados directamente enla tabla característica para simplificar el cálculo de la siguiente manera:

Los indicadores para las variables no básicas aparecen en azul en el cuerpo de la tabla.

Partiendo de que

La variable entrante es 3 porque tiene el coeficiente más negativo.

Las condiciones que debe cumplir como VE determinan el valor máximo de la variable entrantey la variable que sale de la base.

Para encontrar el valor de la variable entrante se construye un circuito cerrado consegmentos verticales y horizontales (no diagonales) desde la celda de la VE, actualmente vacía.Cada esquina del circuito debe ser una celda con una variable básica, excepto la de la variableentrante.

Para cada VNB hay exactamente un circuito. El circuito puede hacerse en cualquier sentido. A

la VE se le asigna la cantidad y en el sentido del circuito diseñado se resta y se suma lacantidad a las asignadas anteriormente a las variables del circuito, comenzando por un + enla celda de la VE.

21 25 27

21 25 15

0 250

200 50 - -12

28 13 19

-8 400

15 150 + 250 -

200 200 250 650

Luego de asignar las cantidades a las variables se calcula el valor de a través del siguienteanálisis:

23

2

22

El valor de es 50 porque es valor que hace cero a la variable básica con menor valor.

21 25 27

21 25 15

0 250

200 50 -12

28 13 19

-8 400

15 150 250

200 200 250 650

28 – ( – 8 + 21) = 19 – ( – 8+15) = -




15

Esta variable se convierte en la variable saliente. Si se anulasen 2 variables al mismo tiempo seescoge arbitrariamente cualquiera de las ellas.

En este método, al igual que en el Simplex, en cada iteración sale una variable de la base yentra otra, por lo que se mantendrán 4 variables básicas. Ahora el nuevo plan detransportación es:

3

22

23

Probemos si se cumplen las condiciones de oferta y de demanda.



Limitaciones dedemanda 3



22 3 22

23 3 23

Actualizando la tabla característica:

21 25 15

250

200 50

28 13 19

400

200 200

200 200 250 650

Debemos hacer las pruebas de optimalidad.

Calculemos los valores y para las variables básicas y los indicadores para las variables no

básicas.


3 3 2 3 3 2

2 2 2 2

Para las variables no básicas los indicadores son:

Los indicadores para las variables estructurales son:


2 2 6

2 2




16

La solución es óptima porque todos los indicadores son no negativos.

El plan de embarque óptimo tiene costo mínimo de $11 350.00; enviando desde la planta 1200 unidades al centro de distribución 1 y 50 al centro de distribución 2 y enviando desde laplanta 2 200 unidades al centro de distribución 2 y 200 al centro de distribución 3.

Deber 3:

Use el método MODI para resolver el problema del deber 1 y encontrar un plan detransportación óptimo.

3.

MÉTODO DE MULTIPLICADORES PARA SOLUCIONAR PROBLEMAS DETRANSPORTACIÓN.

Este método de solución de problemas de transporte parte de una solución inicial y requierede las pruebas de optimalidad y factibilidad. Es bastante parecido al anterior, se diferencia enel criterio para calcular los indicadores de la FO y el criterio para escoger la variable entrante.

Para ilustrar el método apliquémoslo al ejemplo anterior. Tomemos la tabla característicainicial aplicando el método de la esquina noroeste:

Como ya verificamos las condiciones de la solución inicial, obviemos esos pasos. Vayamosdirectamente a la prueba de optimalidad.

Prueba de optimalidad para el método de multiplicadores.

Las variables básicas tienen indicadores nulos, pero para las variables no básicas debemoscalcularlos en función de los valores para las filas y para las columnas. Para cada variable

básica corresponde una ecuación, en la que .

Determinamos arbitrariamente cualquier o igual a cero para luego ir calculando los

otros.

En nuestro caso hagamos . Para los cálculos nos auxiliamos de la siguiente tabla:

0 16 0 3 0 0

21 25 15

250

200 50

28 13 19

400

150 250

200 200 250 650




17


2 2

2 2

2 2

2 3 2 3

Para cada variable no básica evaluamos


3 3

2 2

Los cálculos anteriores equivalen a calcular la fila de indicadores de la tabla simplex, o sea, loscoeficientes de las variables estructurales en la FO. En nuestro caso serían:

Los valores antes calculados de manera independiente podrían ser calculados directamente enla tabla característica para simplificar el cálculo, partiendo de que . Los indicadores paralas variables no básicas aparecen en azul en el cuerpo de la tabla.

La variable entrante es 3 porque tiene el coeficiente mayor (positivo).

Para encontrar el valor de la variable entrante se construye un circuito cerrado consegmentos verticales y horizontales (no diagonales) desde la celda de la VE, actualmente vacía.Cada esquina del circuito debe ser una celda con una variable básica, excepto la de la variableentrante.

Para cada VE hay exactamente un circuito. El circuito puede hacerse en cualquier sentidocomenzando por la celda de la VE, a la que se le asigna la cantidad y en el sentido del circuitodiseñado se resta y se suma la cantidad a las asignadas anteriormente a las variables delcircuito, comenzando por un + en la celda de la VE.

0 0 12 -15 0 0

21 25 27

21 25 15

0 250

200 50 12

28 13 19

-8 400

-15 150 250

200 200 250 650

21 25 31

21 25 15

0 250

200 50 - 16

28 13 19

-12 400

-15 150 + 250 -




18

Luego de asignar las cantidades a las variables se calcula el valor de a través del siguienteanálisis:

23 2

22

El valor de es 50 porque es valor que hace cero a la variable básica con menor valor. Estavariable se convierte en la variable saliente. Si se anulasen 2 variables al mismo tiempo seescoge arbitrariamente cualquiera de las ellas.

Ahora el nuevo plan de transportación es:

Como todos los indicadores son negativos, la solución es óptima. Los envíos son:

; 3 ; 22 y 23 para un costo de $11 350.00

Mediante el método anterior probamos que esta solución fue la óptima.

Deber 4:

Use el método de multiplicadores para resolver el problema del deber 1 y encontrar un plan de

transportación óptimo.

4. MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL (MAV).

Este método permite resolver el problema en su totalidad sin necesidad de tener una solución

inicial.Pasos del método.

1. Determinar una penalización para cada fila o columna, restando los dos costosmenores de esa fila o columna. Las penalizaciones se denotarán y

respectivamente.2.

Determinar la mayor penalización. Si hay más de una penalización mayor con igualvalor, se escoge arbitrariamente cualquiera.

3. Asignar la mayor cantidad posible a la variable con el costo unitario mínimo de esa filao columna elegida.

4. Eliminar la fila o columna satisfecho, llenando de ceros las celdas vacías para que no se

tomen en cuenta en cálculos posteriores.

200 200 250 650

21 9 15

21 25 15

0 250200 -16

28 13 19

4 400

-3 200 200

200 200 250 650




19

5.

Si sólo queda una fila o columna sin eliminar, continúe con el método de costo mínimopara balancear el sistema.

6. Si no se cumple el paso 5, vaya al paso 1 sino al paso 7.7. Halle el valor de costo de la FO.

Aplicación del MAV para nuestro ejemplo.

Este método parte de la tabla característica con los costos de cada envío y las condiciones dedemanda y oferta.

21 25 15

250

28 13 19

400

200 200 250 650

A la tabla, según avanza el método se agregan filas y columnas para incorporar las penalidadesobtenidas.

Como la mayor penalidad la tiene la segunda columna (12) y el costo menor en esa columna lotiene la celda (2, 2), corresponde asignar 200 unidades al centro de distribución 2, que es sudemanda; por lo que se tacha esa columna.

21 25 15

250 6

28 13 19

400 6

200 200 250 650

7 12 4

21 25 15

250

0

28 13 19

400

200

200 200 250 650

-------

21 25 15

250 6

0

28 13 19

Penalidades de ofertaPenalidades de demanda




20

Se vuelven a calcular las

penalidades, sin tomar en

cuenta los costos de la

columna eliminada.

La máxima penalidad corresponde a la oferta 2, de los costos disponibles el menor es 19 en lacelda (2, 3), a ella se asigna lo que resta de la oferta 2 siempre y cuando el valor de la demandapara el centro 3 lo permita.

Se vuelven a calcular las penalidades:

Como sólo nos queda la fila de la oferta 1, se asignan las cantidades posibles.

400 9

200

200 200 250 650

7 ------- 4

21 25 15

250 6

0

28 13 19

400 ----

0 200 200

200 200 250 650

-------

21 25 15

250 6

0

28 13 19

400 ----

0 200 200

200 200 250 650

-------

21 25 15

250 6

200 0 50

28 13 19

400 ----

0 200 200

200 200 250 650

-------




21

Todas estas tablas pueden ser resumidas en una sola, añadiendo en cada paso una nueva fila yuna nueva columna para los y según se muestra a continuación:

Completada la distribución, se procede a hacer el análisis de optimalidad para esta solución.

Prueba de optimalidad para el MAV.

Consiste en formar todos los circuitos posibles desde las celdas vacías y calcular para cada unode ellos el costo reducido. También se puede aplicar la prueba del método MODI. El costoreducido se calcula asignando a cada celda del circuito el envío de una unidad y secorresponde al costo del envío de esa unidad.

Si todos los costos reducidos son positivos la solución es óptima, de lo contrario se toma elcircuito con costo más negativo y se resta y suma la cantidad a las variables básicas delcircuito para encontrar el nuevo plan de envío con costo menor. La celda de la VB quecomienza el circuito siempre es positiva y en los restantes vértices se alternan los signos – y +en el sentido que fue escogido el circuito.

Para este ejemplo tenemos 2 circuitos porque tenemos 2 celdas vacías que representan lasvariables no básicas.

Oferta 2

21 25 15

250 6 6 6

200 0 50

28 13 19

400 6 9

0 200 200

Demanda. 200 200 250 650

7 12 4

2 7 4

21 25 15

250

200 0 50

28 13 19

400

0 200

200

200 200 250 650

21 25 15

250

200 0 50

28 13 19

400

0 200 200

200 200 250 650

Costo reducido:

6

Costo reducido:




22

Como todos los costos reducidos son positivos la solución es óptima. Se calcula el costo totalmínimo:

Costo total = (200*21) + (50*15) + (200*13) + (200*19)

= 4200 + 750 + 2600 + 3600 = $11 350.00

El nuevo plan de transportación es:

3 22 y 23 .

La solución encontrada por cada uno de los métodos estudiados es la misma. Sin embargo, la

solución inicial encontrada al aplicar el método MAV coincide con la solución óptima del

problema encontrada en varios pasos en los restantes métodos.

Deber 5:1. Use el método MAV para resolver el problema del deber 1 y encontrar un plan de

transportación óptimo.

2.

Compare las soluciones encontradas por cada uno de los diferentes métodos. Haga un

resumen con los resultados que obtenga.

MAXIMIZACIÓN PARA PROBLEMAS DE TRANSPORTACIÓN.

Los problemas de planificación de transportación también incluyen la maximización de las

ganancias en las transportaciones, siempre y cuando las ofertas y las demandas estén

balanceadas.

Para estos problemas se aplican las mismas herramientas de solución estudiadas y los pasos a

seguir son los mismos:

-

Búsqueda de una solución inicial con envíos que satisfagan las condiciones

de oferta y demanda. No se permiten cantidades de envíos negativos

- Verificar las condiciones de optimalidad de la solución.

-

Verificar las condiciones de factibilidad de la solución.

Modelo matemático para el problema de transportación.

FO: ∑ ∑

Sujeto a:

∑ ( )

∑

∑ ∑




23

Los métodos para obtener la solución inicial son:

- Método de la Esquina Noroeste.

-

Método de la ganancia máxima.- Método de la aproximación de Vogel.

Método del Cruce del arroyo para problemas de maximización.

La solución es óptima si todos los costos reducidos son negativos para las variables no básicas.

Si la solución no es óptima se toma como VE a la que tenga el costo reducido mayor. En el

circuito correspondiente a esa variable se toma la menor asignación con signo negativo para la

VE y ese valor se adiciona o resta a las VB, según indican los signos de las variables que forman

el circuito.

Método de multiplicadores para problemas de maximización.

La solución es óptima si todos los indicadores son positivos para las variables no básicas. Si la

solución no es óptima se toma como VE a la que tenga el indicador más negativo. En el circuito

correspondiente a esa variable se toma la menor asignación con signo negativo para la VE y

ese valor se adiciona o resta a las VB, según indican los signos de las variables que forman el

circuito.

Método MAV para problemas de maximización.

Las penalizaciones se calculan tomando en cuenta los mayores cotos de las filas o columnas.

De las penalizaciones calculadas se toma la menor.

Las asignaciones se hacen tomando el criterio de mayor ganancia. Se repite el proceso hasta

que sólo nos quede una fila o columna por eliminar.

Ejemplo de un problema de maximización.

Una empresa ecuatoriana envía desde su cede en Quito a sus unidades portuarias en Manta,

Esmeralda y Guayaquil 400, 200 y 150 toneladas de un determinado producto,

respectivamente para atender pedidos de Panamá, Honduras y Venezuela con las siguientes

consideraciones:

Requerimiento(Toneladas)

Pago

($/Ton)

Panamá 200 120 000.00

Honduras 300 110 000.00

Venezuela 250 100 000.00




24

Los costos de transporte en $/toneladas del producto son:

Desde Hasta (por mar) Costo desde laplanta al puerto. Panamá Honduras Venezuela

Manta 25 000 25 000 20 000 50 000.00Esmeralda 25 000 20 000 20 000 40 000.00

Guayaquil 20 000 15 000 15 000 30 000. 00

Se requiere formular un modelo de Programación Lineal que permita satisfacer los

requerimientos de demanda y garantizar la ganancia máxima.

Solución al problema de maximización.

La información brindada para plantear el problema es:

- Precio de venta de cada tonelada del producto.

-

Costos de los embarques posibles de cada tonelada.

-

Costo de transportación desde la planta a cada unidad portuaria.

- Demanda de los clientes.

- Oferta desde las unidades portuarias.

Las variables para este problema son:

Cantidad a transportar desde la unidad portuaria al país . ( )

En base a los datos de precio y costos debemos encontrar el valor de ganancia neta desde cadaunidad portuaria a cada país.

FO: ∑ ∑

Por ejemplo de Manta a Panamá la ganancia neta sería:

(

)

. 00

Del mismo modo procedemos con los demás, de manera tal que las ganancias netas serían:

De Manta a Honduras $35 000.00

De Manta a Venezuela $30 000.00

De Esmeraldas a Panamá $55 000.00

De Esmeraldas a Honduras $50 000.00

De Esmeraldas a Venezuela $40 000.00

De Guayaquil a Panamá $55 000.00

De Guayaquil a Honduras $50 000.00




25

De Guayaquil a Venezuela $40 000.00

Esquema del modelo para el problema

Tabla característica para el modelo.

En la tabla

característica vamos a ubicar la cantidad de miles solamente.

45 35 30

400

55 50 40

200

70 65 55

250

200 300 250 750

750 750

Países

Unidades

portuarias

PM

E

G

H

V

150

2

3

22

23

2

3

32

33




26

Apliquemos el método de aproximaciones de Vogel para encontrar una solución inicial al

problema.

Calculemos las penalizaciones y asignaciones.

45 35 30

400 10

55 50 40

200 5

70 65 55

150 5

150 0 0

200 300 250 750 15 15 15

2

45 35 30

400 10 10

55 50 40

200 5 5

200 0

70 65 55250 5

200 0 0

200 300 250 750

15 15 15

2 10 15 10

2 3

45 35 30

400 10 10 10

150 25055 50 40

200 5 5

50 150 0

70 65 55

150 5

150 0 0

200 300 250 750

15 15 15

2 10 15 10

3 - - -




27

Calculemos los costos reducidos para las variables no básicas:

6

El mayor costo reducido corresponde al circuito , por lo que la VE es Procedemos

con la metodología conocida para encontrar la nueva solución.

De las variables que integran el circuito de mayor contribución, la que tiene menos asignación

es 2, por lo que es la variable que sale de la base y esa cantidad se adiciona o resta a las

variables del circuito según el signo que tienen.

La tabla característica que muestra la nueva solución es:

45 35 30

40050 100 250

55 50 40

2000 200 0

70 65 55

250150 0 0

200 300 250 750

Calculemos los costos reducidos para las variables no básicas:

6

No hay costo reducido positivo, esto es que la ganancia no se incrementará con un nuevo

envío por lo que la solución obtenida es óptima.

Debemos proceder a calcular el valor de ganancia según los valores de las variables básicas ysus contribuciones:

La ganancia neta de la compañía es de $33 750 000.00, haciendo los siguientes envíos:

50 Toneladas desde Manta a Panamá, 100 Toneladas desde Manta a Honduras, 250 Toneladasdesde Manta a Venezuela, 200 Toneladas desde Esmeralda a Honduras y 150 Toneladas desde

Guayaquil a Panamá.




28

Deber:

Una empresa con el fin de incrementar sus ventas y posicionarse en el mercado, ha instalado 3

distribuidores 1, 2 y 3. La empresa tiene cuatro compradores potenciales A, B, C y D. Las

ganancias, ofertas y demandas se muestran en la siguiente tabla:

Encuentre un plan óptimo de distribución para maximizar las ganancias.

CASOS ESPECIALES EN LOS PROBLEMAS DE TRANSPORTE.

Al aplicar las técnicas de transporte para resolver un problema de PL se pueden presentaralgunos de los siguientes casos:

- Soluciones óptimas múltiples.

-

Rutas no aceptables.

- Soluciones degeneradas.

- Problemas no balanceados.

Soluciones Múltiples.

Hay múltiples soluciones cuando los indicadores o costos reducidos de alguna variable nobásica es cero. Este concepto coincide con el del método simplex.

El ejemplo de maximización resuelto en la actividad anterior tiene soluciones múltiples pues lavía Guayaquil-Honduras tiene costo reducido cero al aplicar la prueba de optimalidad. Estosignifica que podemos tener otro plan de transportación por esta vía con el mismo valor deganancia.

Como ejercicio haga la prueba este nuevo plan de transportación.

Rutas no aceptables.

Estas situaciones se producen por alguna de las siguientes razones:

- Limitaciones por características de la región.

-

Inseguridad de alguna ruta.

- Muy caro el costo de transportación.

-

Excesivo gasto de tiempo en la transportación.

A B C D O ertas

1 80 70 60 60 80 000

2 5 70 80 70 40 000

3 70 50 80 60 70 000

Demandas 50 000 40 000 60 000 40 000




29

En tales casos se asigna un valor de costo M muy grande para de minimización y –M paraindicar la no rentabilidad de esa ruta en problemas de maximización.

Ejemplo de problema con rutas no aceptadas.

Para la siguiente tabla de datos encuentre un plan de distribución óptimo que minimice loscostos de embarque y transportación que se dan en el cuerpo de la tabla:

La tabla característica es:

Aplicando el método MAV se obtienen las primeras penalidades, de ellas escogemos la mayorpenalización que es 4, sombreamos la fila y hacemos las asignaciones respectivas:

D1 D2 D3 Ofertas

O1 $2 $2 $3 7

O2 $2 $3 -- 8

O3 $3 $1 $4 5

Demandas 6 3 11 20

2 4 5

7

1 5 M

8

3 5 6

5

6 3 11 20

2 4 5

7 2

1 5 M6 2 0 8 4

3 5 6

5 2

6 3 11 20

1 1 1




30

Calculemos las nuevas penalizaciones y escogemos de ellas la mayor. Como hay dospenalizaciones que son iguales y mayores, escogemos cualquiera de ellas y repetimos elproceso anterior. Vamos a escoger la primera fila que tiene menores costos:

Ahora sólo se puede calcular penalizaciones en la última fila y en ella se hacen las últimasasignaciones:

Se debe verificar el número de asignaciones y el balance en ellas.

Hay 5 asignaciones y están balanceadas. A continuación debemos calcular los costos reducidos

para las variables no básicas para saber si la solución obtenida es óptima:

Para :

Para 23: 6

Para 3: 6

Para 32: 6

Los costos reducidos son no negativos, esto significa que no existe otro envío que permitaminimizar los costos. Procedemos a calcular el costo mínimo:

6 6 6

2 4 5

7 2 20 1 6

1 5 M

6 2 0 8 4

3 5 6

5 2 2

6 3 11 20

1 1 1

1 1 1

2 4 5

7 2 2 --0 1 6

1 5 M

6 2 0 8 4 -- --

3 5 65 2 2 2

0 0 5

6 3 11 20

1 1 1

1 1 1

-- -- --




31

El costo mínimo es de $80.00, enviando desde el origen 1 1 unidad al destino 2 y 6 unidades aldestino 3; desde el origen 2, 6 unidades al destino 1 y 2 al destino 2 y desde el origen 3 5unidades al destino 3

Problemas de transportación no balanceados.Cuando el problema de transportación es no balanceado, significa que hay mayor oferta quedemanda o viceversa. En estos casos se introduce al modelo un destino u origen ficticio segúnconvenga, con el fin de equilibrar el modelo y aplicar los métodos estudiados.

Ejemplos de problema de transporte no balanceado.

1.

La empresa MG Autos tiene tres plantas, ubicadas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleansy dos centros de distribución, uno en Denver y otro en Miami. Las capacidades de lasplantas son 1 000, 1300 y 1 200 autos respectivamente y las demandas de los centros dedistribución son de 2 300 y 1 400 autos respectivamente. Se desea encontrar una

distribución óptima en la que los autos recorran la menos distancia.

La siguiente tabla muestra el millaje entre las plantas y los centros de distribución:

Debemos agregar las demandas y ofertas al cuadro y chequear el balance de las ofertas ylas demandas.

Denver Miami Ofertas

Los Ángeles 80 215 1 000

Detroit 100 108 1 300

Nueva Orleans 102 68 1 200

Demandas 2 300 1 4003 500

3700

Como tenemos mayor demanda que oferta, agregamos una planta ficticia con millajecero con el fin de balancear el modelo.

Denver Miami O ertas

Los Án eles 80 215 1 000

Detroit 100 108 1 300


Planta icticia 0 0 200

Demandas 2 300 1 4003 700

3 700

Denver Miami

Los Án eles 80 215

Detroit 100 108

Nueva Orleans 102 68




32

2.

Si por el contrario tuviésemos el caso en que la oferta supera a la demanda, se

procede del mismo modo, sólo que agregaríamos un centro de distribución ficticio. Por

ejemplo:

En este caso, para equilibrar el sistema, debemos agregar un centro de distribución

ficticio de la siguiente manera:

Denver Miami Centro icticio O ertas

Los Án eles 80 215 0 1 000

Detroit 100 108 0 1 500

Nueva Orleans 102 68 0 1 200

Demandas 1 900 1 400 400

3 700

3 700

Una vez que tenemos los problemas balanceados se procede a buscar una solución

inicial y aplicar alguno de los métodos conocidos para encontrar su solución óptima.

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Decir si son Verdaderos o Falsos los siguientes enunciados:a.

Para equilibrar un modelo de transporte, tal vez sea necesario añadir tanto unpunto de origen como de destino. _____

b.

Las cantidades enviadas a un punto de destino ficticio representan el excedente

en el punto de origen del envío. _____c. Las cantidades enviadas a un punto de origen ficticio representan un faltante enlos puntos destino de recibo. _____

d. Los modelos de transporte no se utilizan para maximizar ganancias. _____e.

Los modelos de transportación no se pueden resolver usando el método simplex. _____

f. Un modelo de transporte que no está equilibrado no se puede resolver aplicandoninguno de los métodos estudiados. _____

g. Para poder resolver el problema de transportación, necesariamente la solucióninicial debe tener variables básicas. _____

h. El método de la esquina noroeste permite encontrar la solución óptima delproblema de transporte. ____

Denver Miami O ertas

Los Án eles 80 215 1 000

Detroit 100 108 1 500


Demandas 1 900 1 4003 700

3 300




33

i.

El objetivo fundamental del problema de transporte es2. Para los siguientes tablas características encuentre las soluciones iniciales usando los

métodos estudiados y haga comparaciones de los resultados obtenidos:a.

1 2 6 7

0 4 2 12

3 1 5 11

10 10 10

b.

3. Para las siguientes tablas de datos de un problema de transporte, en las que semuestra el costo de transportación de trasladar un artículo desde un origen a un

destino , encuentre la solución inicial y luego determine la solución óptima, quegeneren un costo mínimo.

a.

b.

c.

4. Dos mataderos, P y Q, se encargan de suministrar la carne consumida semanalmente

en tres ciudades, R, S y T. La cantidad consumida es 20, 22 y 14 toneladas,

5 1 8 12

2 4 0 14

3 6 7 4

9 10 11

D1 D2 D3 Ofertas

O1 $0 $2 $1 6

O2 $2 $1 $5 9

O3 $2 $4 $3 5

Demandas 5 5 10

D1 D2 D3 Ofertas

O1 $0 $4 $2 8

O2 $2 $3 $4 5

O3 $1 $2 $0 6

Demandas 7 6 6

D1 D2 D3 Ofertas

O1 --- $3 $5 4

O2 $7 $4 $9 7

O3 $1 $8 $6 19

Demandas 5 6 19




34

respectivamente en cada ciudad. El matadero P puede producir cada semana 26toneladas de carne, y el Q, 30.Determinar cuál es la distribución de transporte que supone un costo mínimo,sabiendo que los costos de transporte en dólares, por tonelada de carne, desde cadamatadero de a cada ciudad, son los reflejados en la siguiente tabla:

MataderosCiudades

R S T

P 1 3 1

Q 2 1 1

5. Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad.El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que sereparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. Planificar ladistribución de frutas para que el costo de transporte sea mínimo. El costo del

transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro:

AlmacenesMercados

1 2 3

A 10 15 20

B 15 10 10

6. Una fábrica de jamones tiene dos secaderos A y B que producen 50 y 80 jamones pormes. Se distribuyen a tres tiendas de las ciudades M, N y O cuya demanda es 35, 50 y45 respectivamente. El costo del transporte por jamón en dólares se ve en la tablasiguiente:

¿Cuántos jamones deben enviarse desde cada secadero a cada tienda para hacermínimo el gasto en transporte?

7. La empresa Gal elabora cerveza, como uno de sus productos, en tres plantaslocalizadas en tres ciudades del país, A, B y C. Este producto se transporta a cuatroalmacenes localizados en cuatro ciudades del país, 1, 2, 3 y 4 para su posteriordistribución. Cada camión puede transportar 1000 cajas de cerveza. La cantidad decajas de cerveza, disponibles en las plantas, para transportar es la siguiente: A: 90 000;B: 40 000; C: 80 000. Las cajas de cerveza que requiere cada almacén son lassiguientes: 1: 40 000; 2: 60 000; 3: 50 000; 4: 60 000. Se desea minimizar los costostotales de transporte de los camiones de cerveza desde las 3 plantas hasta los cuatroalmacenes. Los costos de transporte (en cientos dólares) por camión de cerveza, seindican en la siguiente matriz de costos que se le presenta:

SecaderosTiendas

M N O

A 5 6 8

B 7 4 2

Plantas Almacenes

1 2 3 4

A 10 20 5 9

B 2 10 8 30

C 1 20 7 10




35

Aplique el método de la esquina noroeste para encontrar una solución inicial factible ycon un método de transportación conocido halle un plan de transportación óptimo.

8.

Su empresa realiza la publicidad de sus productos con cuatro firmas que existen en el

mercado: F1, F2, F3, y F4. Actualmente saca al mercado un nuevo producto y deseatener disponibles 30 unidades de publicidad en prensa, 15 en televisión, y 25 en radio,dentro de tres meses. Dado el tamaño de las firmas se espera que F1 pueda elaborar15 unidades de publicidad en total, F2 puede elaborar 25 en total, F3 puede elaborar10 en total y F4 puede elaborar 20 unidades de publicidad en total.Plantee y resuelva un modelo para minimizar los costos totales de la publicidad delproducto elaborado por las 4 firmas existentes en el mercado, que se realizará en lostres medios publicitarios. Los costos de las ofertas que presentaron esas firmas (encientos de dólares por unidad de publicidad) se presentan a continuación:

Medios dedivulgación

Firmas que fabrican el producto

F1 F2 F3 F4

Prensa 16 20 12 12

TV 26 20 30 21

Radio 22 15 23 14

9. Una compañía tiene tres fábricas (A, B y C) para ensamblar computadoras, y disponede tres tiendas habilitados para la venta (D, E y F). Las cantidades producidas por A, B yC son 1 000, 5 000 y 4 000 unidades por día respectivamente. La máxima cantidad quepuede vender el almacén D es 3 000 unidades/día, el E puede vender 6 000unidades/día y el F puede vender 7 000 unidades/día. Los costos (en dólares) detransporte de cada fábrica a cada almacén están dados en la siguiente tabla:

Encuentre un plan de distribución óptimo, que permita satisfacer los requerimientosde demanda al mínimo costo.

10. Encontrar la solución óptima de los problemas no balanceados de MG Autos,

propuestos como ejemplos en el texto anterior, que generen un costo mínimo.11.

Una empresa manufacturera elabora un producto en tres países diferentes P1, P2 y P3,que debe ser transportado a tres distribuidores situados en tres diferentes ciudadesC1, C2 y C3 para su posterior venta. La cantidad de unidades de producto disponible enP1 es de 9.000, en P2 existen 4.000 y en P3, 8.000. Las unidades de productorequeridas en C1 es de 6.000, en C2: 5.000 y en C3: 7.000. Los costos unitarios detransporte, en unidades monetarias, desde cada país hasta cada una de losdistribuidores de las tres ciudades se muestran en la siguiente matriz:

SuministroDemanda

D E F

A 1 4 2

B 3 1 2

C 4 5 2

PaísesDistribuidores

C1 C2 C3

P1 10 20 9




36

Se desea minimizar los costos totales de transporte del producto desde los cuatropaíses hasta los distribuidores de las tres ciudades.

12.

La Empresa transportista posee varios camiones usados para acarrear piedra molidapara proyectos de carreteras en el municipio. El contratista de carreteras para quientrabaja le ha dado el programa de la semana siguiente:

Información de Costos:

PlantaProyectos Disponibilidad de

cada planta A B C

W 4 3 3 75

X 6 7 6 60

Y 4 2 5 40

Calcule el plan óptimo del transporte con costo mínimo.

8.

Tres huertos de naranjos suministran cajas de naranjas a 4 detallistas. La cantidaddemandada diariamente por los detallistas es de 150, 150, 400 y 100 cajas,respectivamente. La oferta en los tres huertos es de 150, 200 y 250 cajas al día. Elcosto de transporte por caja desde los huertos hasta los detallistas se proporciona enla siguiente tabla:

HuertosDetallistas

1 2 3 4

1 1 2 3 22 2 4 1 2

3 1 3 5 3

Construya la tabla característica y resuelva el problema de transporte.9. Tres centros de distribución a cinco distribuidores. El costo del envío se basa en el

millaje entre los puntos de origen y destino y es independiente de si el camión haceviaje con cargas totales o parciales. La tabla muestra el millaje entre los centros dedistribución y las distribuidoras, junto con las cifras mensuales de oferta y de demandadadas en el número de automóviles. Un camión con carga completa incluye 18automóviles y el costo de transporte por milla es de $25.00.

P2 8 10 6

P3 10 30 7

Proyectos

Cargas de camiones

Necesidades Semanales

A 50

B 45

C 50




37

Centros dedistribución

DistribuidoresOfertas

1 2 3 4 5

1 100 150 200 140 35 400

2 50 70 60 65 80 200

3 40 90 100 150 130 150

Demandas 100 200 150 160 140

Formule el modelo de transporte y halle un envío óptimo.

10. Tres plantas de energía eléctrica con capacidades de 25, 40 y 50 millones de kilovatiospor hora, proporcionan la electricidad a tres ciudades. La demanda en las tres ciudadesse calcula en 30, 35 y 25 kilovatios por hora. La tabla que se muestra a continuaciónproporciona el precio en dólares por millón de kilovatios por hora en las tres ciudades:

Durante el mes de agosto hay un incremento de 20% en la demanda de cada una delas tres ciudades que se puede satisfacer comprando electricidad a otra red a un preciomás elevado ($1 000.00 por millón de kilovatios por hora). Sin embargo, la red no estáconectada con la ciudad 3. La compañía de servicios públicos quiere determinar el planmás económico para la distribución y la compra de la energía eléctrica adicional.a.

Determine un plan de distribución óptima para la compañía de servicios públicos.b. Determine el costo de energía adicional en el mes de agosto.

11. Un taller elabora tres productos X, Y y Z y la demanda de éstos es de 90, 210 y 120unidades por semana, respectivamente. Los productos pueden fabricarse por uno delos tres métodos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se indica la capacidad de producción decada método y las ganancias asociadas a cada producto según el método defabricación.

MétodoUnidad /Semana

ProductoGanancia/ Unidad ($)

1 2 3

1 160 X 139 140 137

2 120 Y 209 207 210

3 140 Z 254 255 255

Para el problema realice lo siguiente:a. Tabla característica del modelo.b.

Solución inicial por el método de la esquina noroeste.c.

Solución óptima por el método del cruce del arroyo.d. Plantee la interpretación económica de la solución.

12. Una empresa, con el fin de incrementar las ventas y de posicionarse en el mercado hainstalado tres distribuidoras, estratificándolas por clases sociales: 1, 2 y 3. La empresatiene 4 compradores potenciales: A, B, C y D. Las ganancias por unidad de producto de

los distribuidores se muestran en la siguiente tabla:

PaísesDistribuidores

C1 C2 C3

P1 $600 $700 $400P2 $320 $300 $350

P3 $500 $480 $450




38

Compradores

Distribuidores A B C D

1 80 70 60 60

2 50 70 8070

3 70 50 80 60

La capacidad de ventas de la distribuidora 1,2 y 3 es de 80 000, 10 000 y 50 000unidades por mes respectivamente. El departamento de mercado realizó unpronóstico de la demanda esperada por parte de los clientes y los resultados son:

CompradoresDemanda

(Unidades/mes)

A 50 000

B 40 000

C 60 000

D 40 000

Plantee la tabla característica del modelo y encuentre la ganancia máxima de losdistribuidores.

13. Florida Citrus, Inc., procesa jugo de naranja y lo transforma en concentrado congeladoen tres plantas localizadas en Tampa, Miami y Jacksonville. De cualquiera de los dos

huertos ubicados cerca de Orlando y Gainesville se pueden enviar naranjas haciacualquier planta. El huerto que está cerca de Orlando tiene 20 000 libras de naranjas y elhuerto cercano a Gainesville tiene 12 000 libras de naranjas. La planta de Tamparequiere al menos 8 000 libras de naranjas para cumplir su cuota de producción. Lasplantas de Miami y Jacksonville requieren cada una al menos 11 000 libras de naranjas.Use la técnica de agrupamiento para identificar todos los grupos de restricciones y lasrestricciones de cada grupo. Los costos de embarque e ingresos se ofrecen en las tablasque se muestran a continuación:

Dado el costo de embarque y el precio de venta del concentrado, el objetivo, sujeto aciertas restricciones de oferta y demanda, es determinar, cómo embarcar estas naranjasdesde los dos huertos a las tres plantas procesadoras para maximizar la ganancia total.

14. Una empresa de alquiler de carros sirve a siete ciudades y presenta actualmente unexceso de carros en tres ciudades (C1, C2, C3) y una carencia de ellos en cuatro de lasciudades (D1, D2, D3 y D4). El exceso de carros: es de 20 en C1, 20 en C2 y 32 en C3. La

DesdeCosto de embarque ($/ton)

Tampa Miami Jaksonville

Orlando 50 75 60

Gainesville 60 90 45

Ingresos ($/ton de naranjas procesadas)

Tampa 550

Miami 750

Jaksonville 600




39

escasez de carros es de 16 en D1, 20 en D2, 20 en D3 y 16 en D4. La tabla o matriz dedistancias en kilómetros, entre las ciudades se le presenta al finalizar el enunciado. Losvalores de F en la tabla, representan distancias muy largas. Esto indica que no es posibletransportar carros desde C1 hasta D4, ni desde C3 hasta D2 por alguna razón, porejemplo, porque las vías están en reparación y no se permite el paso. (Si en la solución

final aparece una cantidad de carros con ese costo será la confirmación de que no existesolución óptima posible para el modelo). Se desea determinar cómo distribuir los carrospara satisfacer las restricciones y minimizar la distancia total recorrida.

15.

World Airlines reabastece sus aeronaves regularmente en los cuatro aeropuertos endonde da

servicio. Laturbosina

puedecomprarse

a tresvendedores posibles en cada aeropuerto. La tabla indica (1) el costo de entrega(compra más embarque) por mil galones de cada vendedor a cada aeropuerto, (2) elnúmero disponible de miles de galones que cada vendedor puede suministrar cadames y (3) el requerimiento mensual de turbosina (en miles de galones) en cadaaeropuerto.

Formule un modelo y resuelva usando un método de transportación, para determinar lascantidades que se deben comprar y enviar por parte de cada vendedor a cada aeropuertopara minimizar el costo total.

16.

La empresa americana COMPUTER produce dos tipos de computadoras: PC y VAX. Lascomputadoras se fabrican en dos lugares: Nueva York y Los Ángeles. La sucursal deNueva York puede producir hasta 800 computadoras y la de Los Ángeles hasta 1 000computadoras. COMPUTER vende no más de 900 PC y 900 VAX. El beneficio de venta(sin contar la mano de obra) y el tiempo de fabricación asociado a cada sucursal y acada producto es el siguiente:

D1 D2 D3 D4

C1 17 23 20 F

C2 23 15 23 20

C3 25 F 13 21

Aeropuerto

Costo de entrega Cantidad de combustiblerequeridoVendedor 1 Vendedor 2 Vendedor 3

1 900 800 900 260

2 900 1 200 1 300 270

3 800 1 300 500 450

4 1 000 1 400 1 000 480

Provisión máxima 360 500 600

Beneficio de venta ($)

New York Los Ángeles

PC 600.00 1 000.00

VAX 800.00 1 300.00

Tiempo de fabricación (hrs)

New York Los Ángeles

PC 2 3

VAX 2 4



Un total de 4 000 horas de trabajo se encuentran disponibles. La mano de obra se pagaa $20.00 por hora. COMPUTER quiere maximizar los beneficios.

a.

Si hubiera disponibles 3 000 horas de trabajo, ¿cuál sería el beneficio total deCOMPUTER?

b. Suponga que un contratista externo ofrece de aumentar la capacidad de producción

de Nueva York a 850 computadoras, a un costo de $800.00. ¿Le conviene aCOMPUTER aceptar la oferta?

c.

¿Cuánto debería aumentar el beneficio de una VAX producida en Los Ángeles, paraque a COMPUTER le convenga producir VAX en Los Ángeles?

d. ¿Cuánto es lo máximo que COMPUTER estaría dispuesto a pagar por cada hora extrade trabajo?

17.

problemas de transporte

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