PROBLEMAS DE MICROELECTRONICA.

INGENIERIA ELECTRONICA

Indice

1. FUNDAMENTOS DE SEMICONDUCTORES. 1

2. ESTRUCTURA Y MODELOS DE DISPOSITIVOS. 9

3. TECNOLOGIA DE DISPOSITIVOS. 20

1. FUNDAMENTOS DE SEMICONDUCTORES.

1.1. a) Empleando el numero de Avogadro verificar el valor numerico de 4.4·1022 atm/cm3

para el germanio.

b) Encontrar la resistividad del germanio intrınseco a T = 300K.

c) Si se anaden impurezas donadoras en proporcion de una parte en 108 atomosde germanio, hallar la resistividad.

d) Si el germanio fuera un metal monovalente encontrar la relacion de la conduc-tividad con respecto al semiconductor tipo N del apartado anterior.

Sol.: b) ρ = 44.6 cm. c) ρ = 3.72 cm

1.2. Sea una muestra de silicio tipo P con una concentracion de impurezas aceptadorasde 3 · 1015 cm−3. Suponiendolas completamente ionizadas determinar la posicion delnivel de Fermi respecto a la banda de valencia a 300K. Calcular la resistividaddel material. ¿A que temperatura estaran ionizadas la mitad de las impurezas?.(EA − EV = 0.03 eV )

Sol.: T = 55.2K

1.3. Dada la representacion de la concentracion de electrones en la banda de conduccionen funcion de la temperatura (Fig. 1). Calcular:

a) El ancho de la banda prohibida del semiconductor.

b) La concentracion de impurezas donadoras.

c) La posicion energetica del nivel de impurezas respecto al fondo de la banda deconduccion.

k = 8.6 · 10−5 eV K−1.

Sol.: pendiente(T elevadas)=0.434 · 10−3 · EG/(2K). Pendiente (T bajas)=0.434 ·10−3 · (EC − ED)/(2K).

1

10

12

14

16

5 10

log(n)

10 /T(K )3 -1

Figura 1:

1.4. Una forma de definir la temperatura a la que comienza el comportamiento intrınsecode un semiconductores como aquella para la cual la densidad de portadores mino-ritarios iguala a la del dopante. Calcularla para el silicio, germanio y arseniuro degalio con densidades de dopante:

a) ND = 1015 cm−3

b) ND = 1013 cm−3.

Obtener la posicion del nivel de Fermi en ambos casos. ¿Que ocurre a temperaturasmayores?

NOTA: Otra forma parecida de definir la temperatura a la que comienza el com-portamiento intrınseco es aquella para la cual el nivel de Fermi coincide con el quecorresponderıa a un semiconductor intrınseco.

Sol:

EC − EF = 0.0258eV(Ti

300

)ln

⎛⎜⎝NC(300)

(Ti

300

)3/2

2ND

⎞⎟⎠

1.5. Se agregan atomos de silicio a un trozo de arseniuro de galio. El silicio puede reem-plazar ya sea a los atomos de Ga trivalente o a los de As pentavalente. Supongaseque los atomos de silicio actuan como atomos dopantes completamente ionizados yque el 5 % de los 1010 atomos de silicio/cm3 agregados reemplazan a atomos de galioy el 95 % restante reemplazan a atomos de As. Si la temperatura de la muestra esde 300K, calcular:

a) Las concentraciones de donadores y aceptadores.

b) Las concentraciones de electrones y huecos y la posicion del nivel de Fermi enequilibrio.

c) La conductividad del AsGa impurificado con Si.

Sol.: a) ND = 5 · 108 cm−3, NA = 9.5 · 109cm−3. b) EC − EF = 0.905 eV . c) 5.76 ·10−7Ω−1cm−1

2

1.6. Sea un semiconductor de silicio tipo N con una concentracion de impurezas pocoprofundas de 4 ·1014 cm−3. Existen ademas centros profundos aceptadores situados a212 meV del fondo de la banda de conduccion, con una concentracion de 4·1014cm−3.

Calcular la concentracion de electrones y huecos y la posicion del nivel de Fermipara las temperaturas:

90 K, 300 K y 600 K.

Sol.: EC −EF (300) = 0.288 eV , EC −EF (600) = 0.609 eV , EC −EF (90) = 0.144 eV

1.7. Considerense dos semiconductores: uno de germanio y otro de AsGa. Se impurificanambos con impurezas donadoras en concentracion 1013 cm−3. Calcular la concentra-cion de electrones y huecos y la posicion del nivel de Fermi a temperatura ambiente.

1.8. ¿Es posible que se de la situacion de la figura 2? ¿Por que?

Sol.: T elevadas.

EC

EF

EV

N =10 cmA15 -3

N =2·10 cmD-315

0.55 eV

0.01 eV

0.01 eV

1.1 eV

Figura 2:

1.9. Sea un semiconductor de germanio a 300 K impurificado con atomos donadores enconcentracion 5 · 1015cm−3 y crean un nivel a 0.01 eV del mınimo de la banda deconduccion y con atomos aceptadores en concentracion 3·1015 cm−3 y crean un nivela 0.012 eV del maximo de la banda de valencia.

Calcular el nivel de Fermi ,la concentracion de electrones y huecos y el factor deocupacion de estos centros.

Sol.: EC − EF = 0.22 eV , n = 2 · 1015 cm−3, p = 2.88 · 1011 cm−3, N−A /NA = 1,

N+D/ND = 0.9997.

1.10. Sea una muestra de silicio a temperatura ambiente, con una concentracion de do-nadores ND = 1016 cm−3 y parcialmente compensada con impurezas aceptadorasen concentracion NA. ¿Cual debe ser el valor de la concentracion NA para que laconductividad de la muestra sea de 4.5 · 10−6Ω−1cm−1?

Sol.: NA = 1016 cm−3

1.11. Una muestra de silicio tipo N, dopado con impurezas poco profundas que se en-cuentran completamente ionizadas a partir de T = 100K con una densidad ND =1016 cm−3 (de tipo donador) se estudia en el rango de temperaturas 250− 300K. Serepresenta el logaritmo de la conductividad frente al logaritmo de la temperaturaobteniendo la siguiente recta:

lnσ = 0.8755 − 2.42 · ln(T/300), con σ en Ω−1cm−1 y T en K

3

a) Obtener una expresion para la movilidad de los electrones en funcion de latemperatura y particularizar, obteniendo valores numericos para T = 250K yT = 300K.

b) Calcular la concentracion de huecos para 300 y 500K.

c) Se difunde en la muestra anterior una impureza metalica en concentracion in-ferior a la del dopante basico (NT � ND), que crea un nivel de tipo donadorproximo al centro de la banda prohibida. Se mide la diferencia de la conductivi-dad respecto a la obtenida antes de la difusion de esta impureza representando

ln(Δσ · T/300) = 5.124 − 11.6 · (300/T ) en el rango de T : 250 − 300K

Calcular la profundidad energetica de este nivel respecto al fondo de la bandade conduccion y la concentracion NT .

Sol.: a) μn = 1500(T/300)−2.42cm2/(V s). b)p(500) = 7 · 1011 cm−3, p(300) = 2.1 ·104 cm−3. c) NT = 2.5 · 1014 cm−3, ΔE = 0.3 eV .

1.12. En una muestra de silicio tipo P se mide la conductividad a 10K y 50K obteniendo-se: σ(10K) = 4.32 · 10−12 Ω−1cm−1 y σ(50K) = 1.8 · 10−2Ω−1cm−1. Obtener laconcentracion de impurezas aceptadoras y la posicion del nivel creado en el interiorde la banda prohibida.

Sol: EA − EV = 0.048 eV , NA = 1016 cm−3

1.13. En un material de silicio tipo N con conductividad 0.24Ω−1cm−1 se sabe que hay1012 impurezas metalicas por cm3 que crean un nivel energetico situado a 0.34 eV delfondo de la banda de conduccion. La vida media de los huecos es τp = 1.055ms. Sise ilumina una muestra semiinfinita de un material con estas propiedades tal comose indica en la figura 3, con 1013 fotones·cm−2s−1 de forma que la luz se absorbeen el material segun φ = φoe

−αx, obtenga la distribucion espacial de huecos y lacorriente de huecos. ( α = 5 · 1013cm−1, hν > EG ).

Sol.: p′(x) = 1.72 · 108(554 · exp(−x/Lp) − exp(−αx)) cm−3.

�x

Figura 3:

1.14. Considerese una muestra de silicio puro en el que se introducen 2 · 1012 impurezasmetalicas por cm3 que crean un nivel energetico de caracter donador situado en lamitad de la banda prohibida, con coeficientes de captura cn = cp = 10−7 cm3s−1.

a) Comprobar mediante un metodo iterativo que la concentracion de electroneses de un orden de magnitud intermedio entre la concentracion de impurezas yni. Sugerencia: Metodo de Newton para encontrar los ceros de una funcion

F (x) = 0 xi+1 = xi − F (xi)

F ′(xi)

4

b) Se hace incidir un haz de luz durante 100μs sobre la muestra creando 1013

pares electron-hueco cm−3 s−1 uniformemente en toda la muestra. ¿Cual es laresistividad de la muestra inmediatamente despues de que se deja de iluminar?(la vida media de electrones y huecos es 6.41 μs.

c) Calcular la variacion de la resistividad y de la concentracion de huecos cuandose deja de iluminar.

Sol.: b) ρ = 3.92 · 104 cm. c) p′(t) = 6.41 · 107 cm−3exp(−t/τ).1.15. Se ilumina mediante un haz de luz pulsante una muestra semiconductora de silicio

tipo p sometida a un campo electrico debil de forma que la luz se absorbe unifor-memente en ella creando 1018 pares electron- hueco por cm3 y segundo (Fig. 4). Sila anchura de los pulsos de luz es de 2 μs y la frecuencia de 100 kHz, represente lacorriente en funcion del tiempo. (NA = 1014 cm−3, τn = 1μs)

Sol.: Rango de corrientes entre 72 μA y 74 μA.

5 V

10 mm

100 m�2 mm

Figura 4:

1.16. Una muestra de Ge puro se impurifica con 1015 atomos donadores por cm3. En uninstante determinado t = 0, se introducen 1014 huecos/cm3. ¿Que tiempo transcurrehasta que la conductividad sea de 0.65 Ω−1cm−1? Se supone temperatura ambiente.El tiempo de vida media de huecos es de 200 μs.

1.17. Incide luz sobre una muestra de Silicio, con una concentracion de impurezas acep-tadoras de 1016 cm−3, creando 1021 cm−3s−1 pares electron-hueco uniformemente entoda la muestra. Hay tambien 1015 centros profundos/cm3 situados en la mitad delgap .

a) Calcular las concentraciones de electrones y huecos mientras se esta iluminando.

b) En t = 0 se apaga la luz. ¿Cuanto tiempo transcurrira hasta que el excesode minoritarios se haya reducido al 50 % del valor inicial?. (Vida media de losminoritarios 10 ns)

Sol.: a) n = 1013 cm−3. b) t1 = 0.7 · 10−8 s.

1.18. Una muestra de silicio tipo n presenta otro centro, en este caso profundo y de caracteraceptador a 0.2 eV del mınimo de la banda de conduccion, con una concentracionNT = 1014 cm−3.

5

Para los dos casos siguientes:

i) Ionizados el 10 % de los centros profundos.

ii) Ionizados el 90 % de los centros profundos.

a) Calcular la concentracion de impurezas poco profundas, ND, en cada caso.

b) La vida media de los minoritarios es 1μs y la muestra esta iluminada uniforme-mente con luz de frecuencia tal que hν > EG. Si se deja de iluminar en t = 0.¿Cuanto tiempo transcurrira hasta que el exceso de minoritarios se reduzca al10 % de su valor inicial? T = 300K, ND el calculado en i).

Sol.: ia) ND = 1.33 · 1015 cm−3. iia) ND = 1.097 · 1017 cm−3. b) t = 2.3μs.

1.19. En un material de silicio el nivel de Fermi esta situado 0.264 eV debajo de la bandade conduccion. Se sabe que hay impurezas profundas que crean un nivel a 0.34 eVde la misma banda, con concentracion 1012 cm−3 conseguiendose una vida media deminoritarios de τp = 1.055ms.

La muestra se ilumina uniformemente en todo su volumen mediante un haz de luzpulsante (figura 5a). Cuando hay luz se crean 1015 pares electron-hueco por cm3 y porsegundo. A su vez esta sometida a un campo electrico debil (figura 5b). Representarla evolucion de la resistividad del material con el tiempo. (Detallar todos los pasosintermedios)

Sol.: n = 1015 cm−3

2 s� 6 s�4 s� t

�

Si

V

(a) (b)

Figura 5:

1.20. Sean dos semiconductores de silicio tipo P a 300K. En los dos se introducen ademasimpurezas profundas en concentracion NT = 1014 cm−3 que crean un nivel a 0.2eV del maximo de la banda de valencia. Son impurezas diferentes ya que en unsemiconductor presentan caracter aceptador y en el otro donador. En cualquiera delos casos estan ionizadas el 40 %.

a) Para los dos semiconductores calcular la concentracion de electrones y de im-purezas basicas.

b) ¿Cual es mejor conductor?

Sol.: a) Don. (n = 6.9 · 104 cm−3, NA = 3.07 · 1015 cm−3), Acep. ( n = 3.2 · 104 cm−3,NA = 6, 61 · 1015 cm−3), b) las aceptadoras.

6

1.21. Se ilumina una muestra de silicio tipo N (ND = 1016 cm−3) a 300 K. Se crean Ppares electron-hueco por cm3.

Si se admite que los electrones en equilibrio entre sı y por otro lado los huecos, sepuede hablar de un pseudonivel de Fermi para cada una de estas poblaciones enlugar del nivel de Fermi para toda la muestra. Extrapolando el concepto de nivelde Fermi calcular la evolucion de los pseudoniveles de Fermi de electrones y huecospara valores de P en el rango 109 − 1017 cm−3.

¿Por que no tiene sentido hablar de nivel de Fermi en la muestra?

¿Para que otro rango de valores de P se podrıa hablar de nivel de Fermi?

Sol.: P � 104 cm−3

1.22. El indio es una impureza que se utiliza como detector de infrarrojos. Crea un nivelaceptador en el silicio a 270 meV del maximo de la banda de valencia. La vidamedia de los minoritarios es 1.19 ps. Si la concentracion de impurezas de indio en elsilicio es de 1016 cm−3 y el flujo de fotones de infrarrojos es de 1014 cm−2s−1, ¿cuantotiempo se tardarıa en detectar 100 fotones con una muestra de 1 cm2 de area? En esetiempo ¿cuantos electrones se habran generado en una muestra de 1 cm3? Admitirque la luz se absorbe uniformemente por todo el semiconductor. (T=300 K)

Sol.: 1 ps

1.23. Se quiere utilizar una muestra semiconductora intrınseca como sensor para detectarradiaciones luminosas con longitudes de onda λ ≤ 1.5μm. Se sabe que esta radiaciongenera uniformemente en la muestra 2·1017 cm−3s−1 pares electron-hueco. Calcule latemperatura de trabajo de este sensor para que la resistencia de la muestra cuandodetecte esta radiacion sea la mitad de la que se mide en ausencia de ella. ¿Que tipode semiconductor utilizarıa para la fabricacion de este sensor: silicio, arseniuro degalio o germanio?

Tiempo de vida medio de los portadores: 1μs. Suponer NC , NV , μn, μp y EG inde-pendientes de la temperatura. Energıa del foton en eV = 1.246/λ (con λ en μm)

Sol.: Germanio, T=219 K.

1.24. En una barra de GaAs de longitud L = 10μm se introducen 1014 impurezas metalicaspor cm3 que crean un nivel donador a 0.2 eV de la banda de conduccion. Dicha barrase ilumina en sus extremos creandose en ambas superficies 1019 pares electron-huecopor cm3 y por segundo (la luz no penetra en el semiconductor)(Figura 6).

a) Calcular la concentracion de electrones en equilibrio.

b) Representar y comentar la distribucion del exceso de huecos a lo largo de labarra.

Datos: vida media minoritarios=0.377 μs, T = 300K

Sol: p′(x) = Ae−x/Lp +Bex/Lp, B = Gτ(−e−L/Lp + 1)/(eL/Lp − e−L/Lp), A = Gτ −B

1.25. Sea una barra semiconductora infinita en equilibrio. En un punto de ella y en uninstante determinado (t = 0) se introduce un exceso de pares electron-hueco (Figura

7

GaAs

L

Figura 6:

7). Explicar, haciendo uso de esquemas, como evoluciona este exceso en el tiempoy a lo largo de la barra. Decir que mecanismos fısicos intervienen.

t=0 � �n= p n’, p’

� �n= p

Figura 7:

1.26. Sea un semiconductor de silicio tipo N conectado a otras regiones semiconductoras(la estructura del sistema completo no es de interes). Se sabe que hay una inyeccionestacionaria de huecos en dicha region N, de forma que se obtiene un perfil deconcentracion de huecos como el que se observa en la figura 8. pn0 es la concentracionde huecos en equilibrio, W = 5μm y la concentracion de atomos donadores en laregion N es de 1016 cm−3. Encontrar el valor de la densidad de corriente que circulaen la direccion x.

Pn

0 Wx

Pno

10 ·pno3

Figura 8:

8

2. ESTRUCTURA Y MODELOS DE DISPOSITI-

VOS.

2.1. Sea una union P+N de silicio polarizada en directo. Como sabes hay inyeccion deportadores hacia las zonas neutras de los dos semiconductores. Si admitimos que laconcentracion de huecos en el borde de la zona de carga espacial con la zona neutraN es pn = pnoexp(qV/KT ), donde pn0 es la concentracion de huecos en equilibrio enla region N (ND = 1015 cm−3) y V es la tension aplicada,

a) ¿cual es la densidad de huecos a lo largo de la zona neutra N?

b) ¿cual es la densidad de corriente de huecos en x = 0? En la expresion resultanteagrupa todas las constantes en una sola e identifıcala con algun parametroconocido. Evalua la nueva constante.

c) Evalua la corriente anterior para V = 0.4V y T = 300K.

τp = τn = 0.1μs. Area= 0.1mm2

Sol.: b) 3.7 · 10−10A/cm2, c) I = 2μA

2.2. Si una union polarizada en directo se polariza de repente en inverso la corriente nocae a cero inmediatamente sino que circula una corriente en sentido inverso, comose observa en la figura 9.

a) ¿A que puede deberse este comportamiento transitorio?

b) Si se razona en terminos del circuito equivalente de pequena senal, aunque es-trictamente no es aplicable, que elemento de dicho circuito serıa el responsablede esta conducta.

c) Calcular la corriente antes (t = 0−) y despues (t = 0+) de la conmutacion.V F = 5V , V R = 4V , R = 500Ω . NOTA: La tension en los extremos del diodono cambia de forma brusca.

Sol.: I(t = 0−) = 8.8mA, I(t = 0+) = −9.2mA

i

VRVF

R

t>0t

i

Figura 9:

2.3. Sea una union pn de silicio polarizada en inverso trabajando entre 200 y 300 K.Como sabeis la corriente inversa de saturacion, IS, depende de la temperatura.

9

a) ¿Que magnitud hace que la corriente inversa de saturacion dependa de la tem-peratura?

b) ¿Por que aparece esa magnitud en IS?

c) Si a 300K se mide una corriente en inversa en el diodo de 1pA, ¿cual sera elvalor de la corriente a 200K? (Sol.: 2.1 · 10−23A)

d) Si a 200K el diodo se polariza en directo a 0.8V , ¿cual sera ahora la corrienteque circula por el mismo? (Sol.: 3.3mA)

2.4. Se polariza una union abrupta N+P de silicio a 300K como se indica en la figura10. Se mide la capacidad de la union y se obtiene 38.01pF . Se mide tambien laresistividad de la zona P siendo de 13.27 Ωcm.

a) Averiguar la concentracion de impurezas en el lado P (considerar la concentra-cion de impurezas constante en cada region).

b) Calcular el potencial barrera de la union.

c) Averiguar la concentracion de impurezas en el lado N.

d) A 200 K se calcula la vida media de los electrones, siendo de 1μs. ¿Cual es elvalor de la corriente inversa de saturacion del diodo a 200 K?

e) ¿Que corriente circula por este circuito a esta ultima temperatura?

Sol.: NA = 1015 cm−3, ψ0 = 0.735V , ND = 1017 cm−3, Is = 1.87 · 10−12 pA

1mm 1mm

5V

A=0.01cm2

1K�

PN+

Figura 10:

2.5. Sea un semiconductor de silicio impurificado con atomos donadores. La concentra-cion de impurezas cambia de Nd1 = 1015 cm−3 a Nd2 = 2 · 1015 cm−3 en un punto dela muestra tal y como se ve en la figura 11.

a) Hacer un esquema de la curvatura de bandas de energıa.

b) Con ayuda del diagrama anterior calcular el potencial barrera.

c) Hacer un esquema cualitativo de la variacion de la densidad de carga y delcampo electrico a lo largo de esta estructura.

2.6. En la figura 12 se muestra el diagrama de bandas de una estructura semiconductora.A partir de los datos que en ella figuran determinar de que tipo de estructura setrata y las concentraciones de impurezas y su tipo a lo largo de la misma.¿Existenzonas de carga no nula a lo largo de la estructura?, si la respuesta es afirmativarepresentarlas sobre la figura (incluyendo su signo).

10

0 x

Nd

Nd2

Nd1

Figura 11:

EC

EV

EF

0.82eV 1.12eV

0.15eV

Figura 12:

2.7. Considerese la estructura MOS de la figura 13 en el que el semiconductor de silicioesta dopado con impurezas aceptadoras en concentracion 1015 cm−3. Se quiere com-parar cual es la densidad de electrones en fuerte inversion ( ψs = 2φF ) y en debilinversion (ψs = φF ). Evaluar la densidad de electrones en estos dos casos justo enla superficie Si-SiO2

q�F

SiO2 Si

EC

EFi

EF

EV

q�s

Figura 13:

2.8. Se ha fabricado un MOSFET en un substrato de silicio con una concentracion deimpurezas de 2 · 1016 cm−3. Se le hace trabajar en saturacion aplicandole una di-ferencia de potencial entre drenador y fuente de 5V y una tension puerta fuenteVGS. Se mide una corriente de drenador de 12μA para esta tension y se obtiene unaresistencia de salida de 6MΩ . Datos tecnologicos: el espesor del oxido es de 400A,las dimensiones dibujadas de la puerta del transistor son 7μm x 100μm y la difusionlateral de drenador y fuente de 0.6μm.

11

a) Averiguar si se trata de un transistor canal n o canal p.

b) Calcular la longitud real del transistor.

c) Calcular la tension de saturacion para esta tension VGS.

d) Calcular la longitud efectiva del canal.

e) ¿Cual es el factor de decrecimiento de la longitud del canal al aumentar VDS

(dxd/dVDS)?

2.9. Para un MOSFET de canal n trabajando en la region lineal con VDS = 0.1V semide una corriente de 40μA para VGS = 2V y 80μA para VGS = 3V .

a) ¿Cual es el valor aparente de la tension umbral VT ?

b) Si k′ = 40μA/V 2 ¿Cual es el cociente W/L del dispositivo?

c) ¿Que corriente circulara por el drenador si VGS = 2.5V y VDS = 0.15V ?

d) Si el dispositivo trabaja a VGS = 2.5V ¿para que valor de VDS se alcanzara elestrangulamiento (pinch-off) en el terminal de drenador? y ¿cual es la corrientede drenador correspondiente?

2.10. Sea un transistor MOS de canal n trabajando en la region triodo con valores pe-quenos de VDS y en un rango de tensiones VGS comprendido entre los 0V y 5V.La tecnologıa de fabricacion de estos transistores proporciona un espesor de oxidode 20nm, una longitud de canal superior a 1μm y una tension umbral de 0.8V.¿Cual debe ser la profundidad de este dispositivo para conseguir una resistencia deal menos 1KΩ?

2.11. La forma mas simplificada de calcular la corriente ID = ID(VDS, VGS)es considerarla carga en inversion como:

QI(y) = −Cox(VGS − V (y) − VT ) (1)

donde se admite que un potencial V (y) en un punto y del canal solo afecta a lacarga en inversion, procedimiento que se siguio en teorıa. Una forma mas correctade calcular dicha corriente es considerar que la carga de deplexion tambien se veafectada por ese potencial V(y):

VT =φms

q− Qss +Qox

Cox+ 2φF − Qb

Cox= VFB + 2φF + γ

√2φF + V (y) (2)

VFB =φms

q− Qss +Qox

Cox(3)

de esta forma la carga en inversion se puede escribir como:

QI(y) = −Cox(VGS − VFB − 2φF − V (y) − γ√

2φF + V (y)) (4)

Para calcular la corriente se procede como se hizo en teorıa sin mas que considerarahora la nueva QI(y)

dR =dy

μnWCox[VGS − VFB − 2φF − V (y) − γ√

2φF + V (y)](5)

12

∫ L

0IDdy =

∫ VDS

0μnCoxW [VGS − VFB − 2φF − V (y) − γ

√2φF + V (y)]dV (6)

ID = μnCoxW

L

[[(VGS − VFB − 2φF ) − VDS

2]VDS − 2

3γ[(2φF + VDS)3/2 − (2φF )3/2]

]

Si se desarrolla en serie el siguiente termino:

(2φF + VDS)32 = (2φF )

32 +

3

2(2φF )

12VDS +

3

8(2φF )−

12VDS

2 + · · · (7)

y admitimos que trabajamos a tensiones tales que VDS < 2φF podemos quedarnoscon los dos primeros terminos del desarrollo, con lo quedarıa una corriente igual ala que se conoce de teorıa:

ID =K ′

2

W

L

[2(VGS − VT )VDS − V 2

DS

]VDS < VDSsat (8)

ID =K ′

2

W

L(VGS − VT )2 VDS > VDSsat (9)

K ′ = μnCox = μnεox

toxVDSsat = VGS − VT (10)

Para tensiones VDS mas elevadas deberemos incluir el tercer termino del desarrolloen serie con lo que la corriente tomara la forma:

ID =K ′

2

W

L

[2(VGS − VT )VDS − (1 + δ)V 2

DS

]VDS < VDSsat (11)

ID =K ′

2

W

L

(VGS − VT )2

1 + δVDS > VDSsat (12)

δ =γ

2√

2φF

VDSsat =(VGS − VT )

(1 + δ)γ =

√2qεsND

Cox(13)

Observar como al aumentar la precision en la representacion de ID, la complejidadtambien se incrementa introduciendo un nuevo parametro δ.

Sea un transistor MOSFET de silicio de canal n con las siguientes caracterısticas:

diferencia de funciones trabajo metal-semiconductor=-0.1eV,

densidad de estados superficiales=+1011 estados/cm2,

espesor del oxido=400 A,

dopado del sustrato= 1016 impurezas/cm3,

profundidad W=2μm, longitud del canal L = 1μm

VSB = 0

a) Comparar en una grafica las dos relaciones ID − VDS simplificadas para unatension de puerta VGS = 2V en el intervalo 0 < VDS < 2V .

b) ¿Que error relativo se comete en la region de saturacion?

c) Al ser estas expresiones aproximaciones, ¿tiene sentido decir que la saturacioncomienza en el maximo de ambas representaciones?

13

d) Dibujar tambien junto a estas dos curvas donde creeis que quedarıan unasmedidas experimentales tomadas en este transistor.

2.12. Sea un transistor MOSFET de silicio de canal p con las siguientes caracterısticas:

funcion trabajo metal-semiconductor=-0.1V

densidad de estados superficiales=+1011 atomos donadores/cm2

espesor del oxido=400 A

dopado del sustrato= 1016 impurezas/cm3

a) Calcular la tension umbral.

b) Si se implantan impurezas tipo p con una concentracion de 9 · 1015 cm−3 alcan-zando una profundidad de 0.3 μm ¿cual es la nueva tension umbral?

c) Si la profundidad de la implantacion fuera de 3μm ¿cuanto valdrıa la tensionumbral?

Sol.: a) -1.5V, b) -1V, c) -1.159V

2.13. Estimar el tanto por ciento de la corriente de drenador que se pierde por el sustratoen un MOSFET de canal n cuando circula una corriente de drenador de 100 μA y seaplican las siguientes tensiones entre drenador y fuente: VDS = 1V y VDS = 5V . Latension drenador fuente de saturacion es de 0.3 V. Si se necesitan otras constantesusar valores tıpicos. Sol.: 8.5 · 10−17 %, 3.97 %

2.14. Para un transistor MOS de canal n se ha medido una tension umbral de 0.793V atemperatura ambiente. Este transistor tiene las siguientes caracterısticas: concen-tracion de impurezas en el sustrato 5 · 1015 cm−3, densidad de estados superficiales+1011 cm−2, funcion trabajo, metal- semiconductor -0.1V. (VSB = 0) Si sobre elsustrato de este tipo de transistores se implantan impurezas de fosforo en una con-centracion 4 · 1015 cm−3 hasta una profundidad d, la nueva tension umbral es de0.626V.

Estimar la profundidad de la implantacion

Sol.: 0.3μm

2.15. Calcular el campo electrico en el oxido de puerta de un MOSFET de silicio de canaln con espesor tox = 0.1μm cuando se aplica una tension de puerta VGS = 5V y unatension de drenador VDS = 4V , en los siguientes casos:

a) En un punto proximo a la fuente (x = 0) y en otro proximo al drenador. Haceruso de las graficas de la figura 14 y de los datos: densidad de estados superfi-ciales: +1011 cm−2, densidad de carga en el oxido: 1.6 ·10−8C/cm2. ¡¡Averiguarel signo de la carga en el semiconductor!!

b) Haciendo uso de las graficas determinar la tension de banda plana y delimitarsobre las figuras las regiones de acumulacion, deplexion e inversion. Continuarla representacion del modulo de la carga en el semiconductor para valoresnegativos del potencial de superficie.

14

�s(V)

0 0.5 1

-5

0

5

10

V(V

)G

�s(V)

0 0.5 1

|Q|(

C/c

m)

s2

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

(A) (B)

Figura 14: a) Relacion entre el potencial de superficie con una diferencia de potencialgenerica VG aplicada entre el metal y el semiconductor en la estructura MOS del proble-ma. b) Carga en el semiconductor por unidad de superficie para distintos potenciales desuperficie en la estructura MOS

c) Comparar el resultado con el campo electrico necesario para la avalancha enuna union pn (3 · 105 V/cm para dopados 1015 − 1016 cm−3, 106 V/cm paradopados 1018 cm−3)

d) Llamemos al maximo del campo obtenido en los apartados a) y c) EMAX. Sitenemos una union pn abrupta con concentraciones uniformes de impurezasdonadoras (1016 cm−3 en el lado n) y de impurazas aceptadoras (1015 cm−3 enel lado p), ¿que tension (VMAX) deberıamos aplicar a los extremos de la unionpara que el campo maximo en la misma coincidiera con EMAX?.

(Si se desconoce EMAX trabajar con 4 · 105 V/cm)

e) Si la union anterior se polariza en inverso con una fuente de tension de valorVMAX + 10V en serie con una resistencia de 10KΩ , ¿que corriente circulapor el circuito?

AYUDA: representar la caracterıstica I-V en inverso determinandobien cual es la tension de ruptura.

2.16. En un transistor de silicio npn se han obtenido las medidas que se observan en lasdos graficas de la figura 15.

Obtener para dicho transistor el valor de los elementos del circuito equivalente depequena senal para unas condiciones de polarizacion iguales a las de la curva IC =1mA en la medida de | β(jw) | .

Dibujar el circuito equivalente.

Datos adicionales:

Union BE: union abrupta, potencial barrera=0.7 V, capacidad a polarizacionnula=5 fF

Union BC: union abrupta, potencial barrera=0.5 V, capacidad a polarizacionnula=330 fF

15

Figura 15: a) Caracterıstica I-V. b) Comportamiento asintotico de la ganancia en corrienteen cortocircuito. Para la curva IC = 0.5mA, VBE = 0.55V . La VBC es la misma en las doscurvas. La tension del sustrato coincide con la de base.

Union Colector-sustrato: union abrupta, potencial barrera=0.5 V, capacidad apolarizacion nula=20 fF

rb = 200Ω , rc = 100Ω , rex = 5Ω

Sol.: VA=50V, Cμ=75.8fF, Cπ =0.699pF, Cjs=4.59fF

2.17. Un transistor bipolar npn de silicio esta polarizado a VBE = 0.67V e IC = 3mA. Semide la pendiente de la curva caracterıstica IC = IC(VCE) obteniendose un valor de3 · 10−5Ω−1.

¿Cual es la resistencia de salida del circuito equivalente de pequena senal de estetransistor operando en estas condiciones?

¿Cual es la tension Early?

¿Cual serıa la nueva resistencia de salida si por el transistor circula una corrientede colector de 30mA?

2.18. El transistor bipolar no es un dispositivo simetrico. Si se intercambian colector yemisor se obtienen nuevos valores para las ganancias de corriente α y β , conocidascomo αR y βR.

En un transistor bipolar se ha hecho trabajar al reves obteniendose valores de lacorriente de emisor y base de 5mA y 1mA respectivamente. ¿Cuales son los valoresde αR y βR? Razona, explicando el funcionamiento del dispositivo, si son grandes opequenos y por que se obtiene estos valores.

2.19. Se esta iluminando de forma uniforme la zona de carga espacial (10μm) de unaunion pn de area 0.2 cm2 como se muestra en la figura 16. Se estan generando 1018

pares electron hueco por cm3 y por segundo. Los portadores que se generan sonbarridos por el campo electrico de la zona de carga espacial. ¿Cual es el valor de lacorriente de iluminacion que circula por el diodo? ¿Cual es su sentido? ¿Que tensiondeberıamos aplicar en los extremos del diodo para anular esta corriente? Considerar

16

una corriente inversa de saturacion del diodo de 1nA. (Admitir que el ancho de lazona de carga espacial no se modifica)

Figura 16:

2.20. En la figura 17 se representa el diagrama de bandas de una union PN de silicioa 300 K. El lado N esta impurificado con 1016 impurezas donadoras por cm3. Deacuerdo con las especificaciones que aparecen en la figura, calcular la concentracionde electrones en x = 0.3μm. (Considerar que el diagrama de bandas es exacto. Haceruso de el)

Figura 17:

2.21. Si como modelo de pequena senal de un MOSFET se emplea el que aparece enla figura 18, ¿cual es la respuesta en frecuencia de la ganancia en corriente encortocircuito del amplificador con MOSFET? ¿Es correcto este modelo? Razona larespuesta

Figura 18:

2.22. Sea un transistor MOSFET de canal n. El sustrato de silicio tiene una concentracionde impurezas de 1016 cm−3. La diferencia de funciones trabajo entre el metal y el

17

semiconductor es φms=0.1 eV. Admitir que no hay estados superficiales ni carga enel oxido. El espesor del oxido es 400 A.

Se aplica una tension entre puerta y sustrato VG tal que el potencial de superficiees ψs=+0.4V.

a) Dibujar el diagrama de dandas para esta situacion.

b) ¿En que region se encuentra el transistor: acumulacion, deplexion, inversion?

c) Hacer un esquema de toda la estructura e indicar en que zonas de la mismaaparece carga. ¿Que tipo de carga existe en el semiconductor?

d) Calcular la carga por unidad de superficie que aparece en el semiconductor yestimar la anchura de la capa que ocupa dicha carga.

e) Calcular la tension aplicada VG

2.23. Sea un transistor MOSFET de canal N caracterizado por los siguientes parametros:espesor del oxido 400 A, W = 50μm, L = 1μm, tension umbral 0.7V, parametro dela modulacion del canal λ = 0.02V −1. Si aplicamos una tension entre puerta y fuentede 1.5V, ¿cual es la corriente que circula por el drenador cuando entre drenador yfuente se aplican las siguientes tensiones: 0.5V, 0.8V, 1.1V?

2.24. Considerese un MOSFET trabajando a temperatura ambiente con las siguientescaracterısticas: espesor del oxido 25 nm, W = 20μm, L = 1.2μm, concentracion deimpurezas ND = 1.5 × 1016 cm3, densidad de estados superficiales=+1011 atomosdonadores/cm2, densidad de carga en el oxido 2 × 10−8 C/cm2, funcion trabajometal-semiconductor=-0.1 eV.

a) Dibujar el diagrama de bandas de la estructura MOS en la direccion AA’deldibujo, admitiendo que en ese punto el transistor entra en inversion. Indicar elvalor numerico de las diferencias entre niveles energeticos que considereis massignificativas (la idea es resaltar que el transistor entra en inversion).

b) Dibujar en la cuadrıcula las curvas ID-VDS cuando VGS = −2.0 y 3.0 V. Hacerla representacion variando VDS entre 0 y -1V.

2.25. Considerese un MOSFET trabajando a temperatura ambiente con las siguientescaracterısticas: espesor del oxido 20 nm, W = 20μm, L = 1μm, concentracion deimpurezas NA = 2 × 1016 cm3, densidad de estados superficiales=+1011 atomos

18

donadores/cm2, densidad de carga en el oxido 2 × 10−8 C/cm2, funcion trabajometal-semiconductor=-0.1 eV, movilidad de los electrones en el silicio para bajoscampos 1500 cm2V−1s−1, campo crıtico para el inicio de la velocidad de saturacionEc = 6.7 × 103 V/cm.

a) Calcular la tension umbral.

b) Calcular la corriente de saturacion con el modelo de canal largo y con el modelode canal corto para una tension VGS=3.5 V.

c) Dibujar como serıa el canal cuando el transistor opera en saturacion.

d) ¿Tiene sentido hablar de una densidad de electrones nula y un canal de espe-sor cero cuando el transistor opera en saturacion? ¿Que repercusiones tendrıaconsiderar una densidad de electrones nula en parte del canal?

e) ¿A que velocidad viajan los electrones por el canal en la region de saturacion?

f ) Si la densidad de electrones, en la parte del canal que se ha agotado, es dosveces la de las impurezas aceptadoras, y admitimos que viajan a la velocidaddel apartado anterior, calcular el espesor del canal en esta region agotada. Parala corriente que circula por el canal haced uso del valor obtenido con el modelode canal corto.

19

3. TECNOLOGIA DE DISPOSITIVOS.

3.1. Una forma de fabricar resistencias en circuitos integrados es como se muestra en lafigura 19. Sobre un sustrato tipo p se difunden impurezas tipo n y posteriormenteimpurezas tipo p, obteniendose una distribucion de impurezas tal y como se observaen la grafica de N(x). Calcular el valor de la resistencia que existe entre los doscontactos metalicos.

Sol.: R = 6.1KΩ

p

n p

W=5 m�10 m�

N =10A1

N =10D

N =10A2

18

16

15

X(�m)

N(x) (cm )-3

2 4

Figura 19:

3.2. Sobre dos sustratos de silicio tipo p con NA = 1015 cm−3 se realizan dos procesosdiferentes (Figura 20). En uno se introducen por difusion 5 · 1015 atomos de fosforopor cm3. En otro se crece una capa epitaxial de silicio introduciendo durante elcrecimiento impurezas donadoras hasta alcanzar los 6 · 1015 cm−3.

a) Calcular la zona de carga espacial creada en cada una de las uniones queaparecen despues de terminados estos procesos.

b) ¿Que diferencia existe entre estos dos procesos?. Menciona algun dispositivodonde se utilicen ambos y senala las regiones del mismo donde se usa cada uno.

Sol.: Wdif = 1.03μm, Wcre = 0.99μm

Figura 20:

3.3. Considerese de nuevo el problema anterior. Sobre la region crecida epitaxialmentese crece ahora un oxido y un metal y se crean las regiones de drenador y fuentepara conseguir un MOSFET. En dicho transistor se ha calculado la tension umbral

20

(-2V) y la densidad de estados superficiales (2 · 1010 cm−2) y se conoce la diferenciade funciones trabajo entre el metal y el semiconductor (-0.15V).

a) Calculese el espesor del oxido.

b) Si se aplica una tension entre fuente y sustrato de 1V. ¿Cual es la nueva tensionumbral?

c) Si se hubieran implantado atomos aceptadores en concentracion 5 · 1015 cm−3

en una capa de profundidad 0.4μm sobre la capa epitaxial, ¿cual habrıa sidola tension umbral en este caso? (VSB = 0).

Sol.: tox = 0.104μm, Vt = −1.36V , Vt = −1.03V

3.4. La resistencia serie de colector de un transistor bipolar como el de la figura 21 tienetres componentes. Estimar las resistencias rc1 y rc3 haciendo uso de las siguientesconsideraciones:

a) las ventanas de los contactos de colector y emisor son cuadradas de lado 20 μm

b) el dopado a lo largo de la region activa del transistor se representa en la figura(b).

c) se admite que la corriente desde los contactos de emisor y colector fluye per-fectamente vertical.

d) tener en cuenta las difusiones laterales de emisor y colector (estimarlas) y dela anchura de la zona de carga espacial de la union base-colector (calcularlaadmitiendo que dicha union esta polarizada en inverso a 5V)

Sol.: rc1 = 236Ω, rc3 = 470Ω

C B E n+

n+ pn

n+

rC2rC1

rC3

20�m 20�m

(A)

X( m)�932.5

1510

2110

1910

1710

N(cm )-3

(B)

n+

p n n+

Figura 21:

3.5. Se desean construir resistores con la region de difusion de la base de un transistorbipolar. Estimar la resistencia laminar que se obtendrıa para el caso de un transistornpn cuyo perfil de impurezas se muestra en la figura 22. Sol.: 23 Ω/♦

3.6. Estimar la tension maxima que podemos aplicar a la union base colector de untransistor bipolar con un perfil de impurezas como se muestra en la figura 23. Sol.:32.8 V

21

1510

1610

1710

1810

1910

2010

N(cm )-3

x(�m)

2110

1 2 3 4 5

Difusión de emisor (N )D

Difusión de base (N )A

Figura 22:

0.1 0.2 0.5 1.0 1.5

1510

1610

1710

1810

1910

2010

N(cm )-3

x(�m)

Emisor (As)

Base (B)

Capaenterrada

(Sb)

Figura 23:

3.7. Se esta disenando un circuito que debe trabajar en un ambiente en el que la tem-peratura ronda los 100oC. El circuito va alimentado a 5V.

En el se emplean diodos, unos montados en capsulas TO-99 (θcd = 30oC/W , θjc =100oC/W ) y otros en TO-3 con disipador de calor (θcd = 2oC/W , θjc = 4oC/W ).

Sabiendo que la temperatura maxima que soporta un circuito integrado de silicio esde 150oC, estimar que resistencias de proteccion se deben poner en serie con cadauno de estos diodos.

Sol.: 6.86 Ω, 0.32 Ω.

3.8. El circuito de la figura 24 forma parte de un sistema en el cual se alcanzan altastemperaturas. Si el diodo puede soportar hasta 200oC de temperatura y esta mon-tado en una capsula TO-3, ¿cual es la temperatura maxima que se puede alcanzaren el sistema? Sol.: 188.4 oC

3.9. Con obleas de 4 pulgadas de diametro se van a fabricar dos sistemas electronicos Ay B (el B ocupa la mitad de area que el A) con el mismo proceso tecnologico: el costede fabricacion de cada oblea es de 110$, el rendimiento de circuitos despues del corte

22

5 V

10 �

Figura 24:

es del 90 %, el rendimiento despues de hacer los contactos y el empaquetamiento esdel 80 % y el coste asociado al empaquetamiento y test de las unidades es de 0.7$.El porcentaje de circuitos buenos antes de cortar las obleas varıa segun el sistema:para el A es del 40 % y para el B del 60 %. Se sabe tambien que el coste de cadaunidad A es de 1.7$.

¿Que area ocupan cada uno de los dos sistemas? Sol: AA = 0.027 pulg2

¿Cual es el coste de cada unidad B? Sol.: 1.15$

3.10. Se pretende encapsular un diodo que no puede superar los 150oC y que opera a tem-peratura ambiente en un circuito donde algunas veces tiene en serie una resistenciade 100Ω y otras veces esta conectado en serie con una de 1Ω (Figura 25). En la tablase muestran las caracterısticas de las capsulas TO3 y TO99 pero las primeras conun coste mayor que las segundas. ¿Que utilizarıas para disipar la potencia generadaen el diodo?

TO99 TO3θjc 30oC/W 4oC/Wθca 100oC/W 40oC/W

3 V

1 �

100 �

Figura 25:

3.11. a) Estimar la carga total almacenada en la zona de carga espacial de la regionn de una union pn, sabiendo que la anchura de la zona de carga espacial y eldopado en la region opuesta son 0.1 μm y 1016 cm−3 respectivamente. La unionpresenta una seccion de 10μm × 10μm.

23

b) Si el diodo presenta una tension de ruptura por avalancha de 10V y disipa unapotencia maxima de 0.25W ¿que corriente debera circular por el diodo paraque disipe solo la mitad de este valor?

c) Si el diodo esta montado en capsulas TO3 (θjc = 4oC/W , θca = 40oC/W ) ¿aque temperatura se encuentra el diodo si se hace trabajar como en el apartadob? ¿Como polarizarıamos el diodo si disponemos de una fuente de alimentacionde 12 V?

3.12. Tras la fabricacion de un transistor bipolar se obtiene el perfil de impurezas de lafigura 26. Para fabricar resistencias con esta tecnologıa se quieren emplear a) laregion epitaxial sin la formacion posterior de base y emisor y b) la region de emisor.¿Cual es la resistencia cuadrado de cada una de estas dos estructuras? Si la anchurade las resistencias es de 1μm ¿cual debe se la separacion entre contactos en los doscasos para conseguir un valor de 1KΩ? ¿Cual elegirıas?

De otros tipos de resistencias que conozcas ¿cual crees que tiene las mejores carac-terısticas? ¿Por que?

0.1 0.2 0.5 1.0 1.5

1510

1610

1710

1810

1910

2010

N(cm )-3

x(�m)

Emisor (As)

Base (B)

Capaenterrada

(Sb)

Figura 26:

3.13. En un diodo de silicio trabajando a 300 K se ha medido la corriente inversa de satu-racion tomando el valor de 1 pA. El diodo se va a hacer trabajar a dos temperaturas:200 y 300 K y en un rango de corrientes que varıa entre 0.1 y 10 mA.

a) Encontrad el modelo lineal del diodo (Vγ, rd) a cada una de estas dos tempe-raturas.

b) ¿Que temperatura maxima alcanzara realmente el diodo en estos dos ambientessi se monta en una capsula TO99 (θjc = 30oC/W, θca = 100oC/W ) ?

24

Properties of Semiconductors and Insulators (at 300 K unless otherwise noted)

Property Symbol Units Si Ge GaAs GaP SiO2 Si3N4

Crystal structure Diamond Diamond Zincblende Zincblende Amorphous AmorphousAtoms per unit cell 8 8 8 8Atomic number Z 14 32 31/33 31/15 14/8 14/7Atomic or molecularweight

MW g/g-mole 28.09 72.59 144.64 100.70 60.08 140.28

Lattice constant ao nm .54307 .56575 .56532 .54505 .775Atomic or moleculardensity

No cm−3 5.00 1022 4.42 1022 2.21 1022 2.47 1022 2.20 1022 1.48 1022

Density g cm−3 2.328 5.323 5.316 4.13 2.19 3.44Energy gap (300 K) EG eV 1.124 .67 1.42 2.24 8 a 9 4.7Energy gap (0 K) EG eV 1.170 .744 1.52 2.40Temperature depen-dence

EG/ T eV K−1 -2.7 10−4 -3.7 10−4 -5.0 10−4 -5.4 10−4

Relative permittivity εr 11.7 16.0 13.1 10.2 3.9 7.5Index of refraction n 3.44 3.97 3.3 3.3 1.46 2.0Melting point Tm

oC 1412 937 1237 1467 1700 1900Vapor pressure Torr (mmHg) 10−7(1050) 10−9(750) 1(1050) 10−6(770)

(at oC) 10−5(1250) 10−7(880) 100(1220) 10−4(920)Specific heat Cp J(g K)−1 0.70 0.32 0.35 1.4 0.17Thermal conductivity κ W(cm K)−1 1.412 0.606 0.455 0.97 0.014 0.185?Thermal diffusivity Dth cm2s−1 0.87 0.36 0.44 0.004 0.32?Coefficient of linearthermal expansion

α’ K−1 2.5 10−6 5.7 10−6 5.9 10−6 5.3 10−6 5 10−7 2.8 10−6

Intrinsic carrier con-centration

ni cm−3 1.45 1010 2.4 1013 9.0 106

Lattice mobility elec-tron

μn cm2(V s)−1 1417 3900 8800 300 20

Lattice mobility hole μp cm2(V s)−1 471 1900 400 100 10−8

Effective density of sta-tesConduction band NC cm−3 2.8 1019 1.04 1019 4.7 1017

Valence band NV cm−3 1.04 1019 6.0 1018 7.0 1018

Electric field at break-down

E1 V cm−1 3 105 8 104 3.5 105 6–9 106

Effective mass - elec-tron

m∗n/mo 1.08a 0.55a 0.068 0.5

0.26b 0.12b

Effective mass - hole m∗p/mo 0.81a 0.3 0.5 0.5

0.386b

Electron affinity qχ eV 4.05 4.00 4.07 4.3 1.0Average energy loss perphonon scatering

eV 0.063 0.037 0.035

Optical phonon mean-free path- Electron lph nm 6.2 6.5 3.5- Hole lph nm 4.5 6.5 3.5

a Used in density-of-state calculationsb Used in conductivity calculations

Constante de Boltzmann K=8.6 10−5 eV K−1

Numero de Avogadro NA=6.022 1023 mol−1

Constante de Plank h=6.63 10−34 J sCarga del electron q=1.6 10−19 CMasa del electron libre mo=9.11 10−31 KgPermitividad del vacıo εo=8.854 10−14 F cm−1

25