HOJA 10 (Física Estadística, Prof. G. Navascués, curso 2005-2006, grupo 41) 59.- Considere una superficie donde están localizados M sitios en los que se pueden adsorber partículas idénticas de momento magnético m. Cuando un sitio está ocupado por una partícula, ésta puede orientarse paralelamente o antiparalelamente a un campo magnético H. H a) Justifique que, si se aisla la superficie, con una energía total E y un número total de partículas adsorbidas N, el número de microestados viene dado por Ω(E,M,N)=M!/([M-N]!N + !N -! ) donde N + es el número de partículas con m paralelo a H y N - el número de partículas con m antiparalelo a H. Suponga el sistema en contacto con un baño térmico de temperatura T y un baño de partículas de potencial químico µ. b) Demuestre que el número medio de partículas ad sorbidas <N> viene dado por (trate de factorizar Ξ(T,V,µ)): { } { } { } { } ) ( exp ) ( exp 1 ) ( exp ) ( exp − − + − − − + − − + − − − >= < mHmHmHmHMNc) Halle <N> en los límites de bajas y altas temperaturas d) Analice el resultado anterior en relación con N + y N - y el número de huecos. Problemas donde se usan las estadísticas cuánticas60.- El espectro de energía de una partícula en un potencial externo es ε n =a+bn, siendo a y b constantes positivas y n=0,1,2,... (LA POSIBLE DEGENERACIÓN POR EL ESPÍN ESTÁ ROTA) a) Una sola de estas partículas está en contacto térmico con un baño a temperatura T. Calcule la F, E y C V . Estudie los límites de alta y baja temperatura. Evalúe el valor medio de ocupación de cada estado. Utilizando este resultado vuelva a calcular la energía E. Estudie a grandes rasgos cómo varía el potencial químico con la temperatura. b) Calcule la energía libre de dos de dichas partículas en contacto con el mismo baño térmico, en los siguientes casos: A) son distinguibles, B) son indistinguibles en el límite clásico, C) son fermiones D) son bosones. En los dos últimos casos compruebe que se cumple el límite clásico. 61.- Utilizando el concepto de número de ocupación, determine las velocidades medias <v x > y <v x 2 > de un electrón de conducción en el cesio y en el berilio a temperatura T=0K. (Considere los electrones de conducción como un gas ideal; ε F (Cs)=1.59eV, ε F (Be)= 14.3eV ). 62.- Considere dos tipos fermiones con espín 1/2: los electrones (considerados ideales) en un metal típico como el cobre (energía de Fermi =7.0eV) y un fluido de átomos de He 3 a la misma densidad que les anteriores electrones (el helio 3 tiene 2 protones, 1 neutrón y dos electrones dando un espín s=1/2 para el átomo). Suponiendo que ambos tipos de fermiones ocupan cajas con el mismo volumen y están a la misma temperatura de 300K: a) Compare las energías de Fermi, las longitudes de onda térmica de De'Broglie (Λ) y las densidades de estado. b) ¿A qué se debe n las diferencias encontradas? ¿Qué sistema puede tratarse clásicamente? 63.- Un sistema de N fermiones ideales están en una caja de volumen V con densidad media 2/V 0 . En ciertas condiciones tiene una densidad de estados dada por la expresión: ω(ε) = a(2n-1-ε /ε 0 ) para (n-1) ε 0 <ε<nε 0 , con a=V/(V 0 ε 0 ) y n=1,2,3.... a) Haga un gráfico de la densidad de estados como función de ε. b) Determine la energía de Fermi a T=0K y analice el resultado. c) Determine la energía media por fermión a T=0K. d) Simplifique la densidad de estados de forma razonable para usarla en el límite clásico. e) Determine el potencial químico en el límite clásico. f) Determine la energía media por fermión en el límite clásico.
