problemas complementarios te
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Problemas
Complementarios28-03-2014
Problema 1
Si la estrella del Norte o Polaris se apagara hoy, ?en que
año desaparecería de nuestra visión? La distancia
desde la Tierra a Polaris es alrededor de 6.44 × 1018𝑚
Problema 1
Solución
Datos: distancia = 6.44 × 1018𝑚; 𝑇 =?
Sabemos que: 𝜆 ∙ 𝑓 = 𝑐 =1
𝑇=
𝑑
𝑇
⟹ 𝑇 =𝑑
𝐶=
6.44×1018𝑚
3×108 𝑚/𝑠×
1𝑎ñ𝑜
365𝑑𝑖𝑎𝑠×
1𝑑í𝑎
24ℎ×
1ℎ
3600𝑠
Por lo tanto: 𝑇 = 680𝑎ñ𝑜𝑠
En consecuencia: La estrella desaparecería de nuestra
visión en el 2680.
Problema 2
La rapidez de una onda electromagnética que viaja en
una sustancia transparente no magnética es 𝑣 =1
𝑘∙𝜖∙𝜇0,
donde 𝑘 es la constante dieléctrica de la sustancia.
Determine la rapidez de la luz en el agua, la cual tiene
una constante dieléctrica a frecuencias ópticas de 1.78.
Problema 2
Solución
Por dato 𝑣 =1
𝑘∙𝜖∙𝜇0(𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒)
Nos piden: 𝑣𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 =? 𝑠𝑖 𝑘 = 1.78
Sabemos que por condición se cumple
𝑣 =1
1.78 4𝜋×10−7 8.85×10−12
Problema 2
Solución
∴ 𝑉𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 = 2.25 × 108 𝑚/𝑠
Problema 3
Una onda electromagnética en el vacío tiene una
amplitud de campo eléctrico de 220 V/m. Calcule la
amplitud del campo magnético correspondiente.
Problema 3
Solución
Datos: 𝐸𝑚á𝑥 =220𝑉
𝑚; 𝐵𝑚á𝑥 =?
Sabemos que en una onda electromagnética se
cumple que:
𝐸𝑚á𝑥
𝐵𝑚á𝑥= 𝑐
Problema 3
Solución
⟹𝐵𝑚á𝑥 =𝐸𝑚á𝑥
𝑐=
220
3×108∴ 𝐵𝑚á𝑥 = 733 × 10−9𝑇 = 733𝑛𝑇
Problema 4
Calcule el valor máximo del campo magnético de una
onda electromagnética en un medio donde la rapidez
de la luz es de dos tercios de la rapidez de la luz en el
vacío, y donde la amplitud del campo eléctrico es de
7.60 mV/m
Problema 4
Solución
Datos: 𝐸 𝑚á𝑥 = 7.60 ×10−3𝑉
𝑚; donde: 𝑐𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
2
3𝑐𝑣𝑎𝑐í𝑜
Sabemos que en una onda electromagnética se cumple que:
𝐸𝑚á𝑥
𝐵𝑚á𝑥= 𝑐𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
2
3𝑐𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜 ⟹ 𝐵𝑚á𝑥 =
3𝐸𝑚á𝑥
2𝑐𝑣𝑎𝑐í𝑜=
3× 7.6×10−3
2× 3×108
𝐵𝑚á𝑥 = 38 × 10−12𝑇 ≅ 38𝑝𝑇
Problema 5
La figura muestra una onda sinusoidal electromagnética
plana que se propaga en lo que se eligió como la dirección
de 𝑥. Suponga que la longitud de onda es 50m y el campo
vibra en el plano 𝑥𝑦 con una amplitud de 22V/m. Calcule a)
la frecuencia de la onda y b) la magnitud y dirección de B
cuando el campo tiene su valor máximo en la dirección 𝑧
negativa. C) Escriba una expresión para B en la forma 𝐵 =
𝐵𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
Problema 5
Con valores numéricos para 𝐵𝑚𝑎𝑥 , 𝑘 𝑦 𝜔
𝑧
𝑦
𝑥
𝐸 =22𝑉
𝑚𝑗
𝜆 = 50m
𝐵 =?
Problema 5
Solución
Inciso a
Sabemos que: 𝜆 ∙ 𝑓 = 𝑐 ⇒ 𝐹 =𝑐
𝜆=
3×108
50
∴ 𝑓 = 6 × 106𝐻𝑧 = 6𝑀𝐻𝑧
Problema 5
Solución
Inciso b
Sabemos que:𝐸𝑚𝑎𝑥
𝐵𝑚𝑎𝑥= 𝑐 ⇒ 𝐵𝑚𝑎𝑥 =
𝐸𝑚𝑎𝑥
𝑐=
22𝑉/𝑚
3×108
∴ 𝐵𝑚𝑎𝑥 = 73.3 × 10−9𝑇 = 73.3𝑛𝑇 (−𝑘)
Problema 5
Solución
Inciso c
Sabemos que: 𝜔 = 2𝜋 × 𝑓 = 2𝜋 × 106 = 12𝜋 × 106𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝜔 = 3.77 × 107𝑠−1
Además:𝜔
𝑘= 𝑐 ⟹ 𝑘 =
3×108
12𝜋×106= 0.126
Problema 5
Solución
Inciso c
Entonces: 𝐵 𝑥, 𝑡 = −73.3𝑁𝑇𝑐𝑜𝑠 0.126 − 3.77 × 107𝑡 𝑘
Problema 6
Escriba expresiones para los campos eléctrico y
magnético de una onda electromagnética plana
sinusoidal que tiene frecuencia de 3𝐺𝐻𝑧 y viaja en la
dirección 𝑥 positiva. La amplitud del campo eléctrico es
300 V/m
Problema 6
Solución
Datos: 𝑓 = 3 × 109𝐻𝑧 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 300𝑉/𝑚
Sabemos que las expresiones para una ecuación de
onda están dadas por:
𝐵 𝑥, 𝑡 = 𝐵𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝐸𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
Problema 6
Solución
Donde: 𝐵𝑚𝑎𝑥 =𝐸𝑚𝑎𝑥
𝐶=
3×102
3×108= 1 × 10−6𝑇
𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2 3.1416 3 × 109 = 18.85 × 10−9𝑠−1
𝑘 =𝜔
𝑐=
18.85×109
3×108= 62.8
Problema 6
Solución
𝐵 𝑥, 𝑡 = 1𝜇𝑇 𝑐𝑜𝑠 62.8𝑥 − 18.85 × 109𝑡
𝐸 𝑥, 𝑡 = 300𝑉/𝑚 𝑐𝑜𝑠 62.8𝑥 − 18.85 × 109𝑡
Problema 7
Verifique por sustitución que las siguientes ecuaciones
Respectivamente
𝐸 = 𝐸𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
𝐵 = 𝐵𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
son soluciones para las ecuaciones
𝜕2𝐸
𝜕𝑥2= 𝜇𝑜 ∙ 𝜖𝑜
𝜕2𝐸
𝜕𝑡2𝑦
𝜕2𝐵
𝜕𝑥2= 𝜇𝑜 ∙ 𝜖𝑜
𝜕2𝐸
𝜕𝑡2
Problema 7
Solución
Tenemos que
⟹𝜕𝐸
𝜕𝑥= −𝐸𝑚á𝑥𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
⇒𝜕2𝐸
𝜕𝑥2= −𝐸𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑘
2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
Por lado
⟹𝜕𝐸
𝜕𝑡= 𝐸𝑚á𝑥𝜔𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
⇒𝜕2𝐸
𝜕𝑡2= −𝐸𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜔
2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
Problema 7
Solución
Entonces reemplazando tenemos
−𝐸𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑘2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝜇0𝜖0 ∙ −𝐸𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜔
2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
⟹1
𝜇0𝜖0=
𝜔2
𝑘2∴𝜔
𝑘=
1
𝜇0𝜖0= 𝑐 (𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜)
En consecuencia
𝐸 = 𝐸𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 si es solución de la ecuación
Problema 7
Solución
Por otro lado:
Tenemos que
⟹𝜕𝐵
𝜕𝑥= −𝐵𝑚á𝑥𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
⇒𝜕2𝐵
𝜕𝑥2= −𝐵𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑘
2𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
Además
⟹𝜕𝐵
𝜕𝑡= 𝐵𝑚á𝑥𝜔𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
⇒𝜕2𝐵
𝜕𝑡2= −𝐵𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜔
2𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
Problema 7
Solución
Entonces reemplazando tenemos
−𝐵𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑘2𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝜇0𝜖0 ∙ −𝐵𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜔
2𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
⟹1
𝜇0𝜖0=
𝜔2
𝑘2∴𝜔
𝑘=
1
𝜇0𝜖0= 𝑐 (𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜)
En consecuencia
𝐵 = 𝐵𝑚𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 si es solución de la ecuación