1. Se desea construir una jaula rectangular para encerrar a un león. Para construir la jaula sólo se cercaran tres lados, ya que se utilizara la barda poniente del zoológico como el cuarto lado. Si el material disponible para el cerco son 30 metros lineales. ¿Cuáles serán las dimensiones de la jaula rectangular que tenga la mayor área posible? (5 minutos).

2. Determine la ecuación rectangular de la siguiente curva paramétrica: (5 minutos)

C = {x2=4cos2βy2=4 sen2β

3. Un recipiente para almacenar agua que tiene forma de cono, se está llenando a través de una llave que se encuentra en la parte superior como se ve en la figura.

La llave arroja agua al recipiente a razón constante de 0.01m3min

(10 litros por

minuto). Si la razón a la que cambia el nivel del agua h(t) en el recipiente, con

respecto al tiempo, es h´(t)=dhdt

=0.21

√t 3mmin , calcule el cambio que tiene el nivel del

agua de t=1min. (15 minutos)

4. En un salón hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres.

a) Con estos datos, ¿Se puede saber el número de hombres que hay? Justifique su respuestab) Si además, se sabe que el número de hombres es el doble que el de mujeres. ¿Cuántos

hombres, mujeres y niños hay? (15 minutos)

5. Una barra metálica a una temperatura de 100oF se pone en un cuarto a una temperatura constante de 0oF. Después de 20 min. la temperatura de la barra es de 50oF.

a) ¿Cuánto tiempo tardará la barra para llegar a una temperatura de 25oF?b) ¿Cuál será la temperatura de la barra después de 10 min?

(20 minutos)

Respuestas

1) 7.5, 7.5 y 15 m

2) C = {x2=4cos2β……………………………………………… ..(1)y2=4 sen2β……………………………………………… ..(2)

Despejando cos2 β de (1) y sen2 β de (2)

cos 2 β = x2

4………………………………………………………………………………(3)

sen 2 β = y2

4 ……………………………………………………………………………..(4)

sumando miembro a miembro (3) y (4)

cos 2 β + sen 2 β = x2

4 + y

2

4pero, por identidad pitagórica cos 2 β + sen 2 β = 1sumando miembro a miembro

cos 2 β + sen 2 β = x2

4 + y

2

4 se convierte a

1= x2

4 + y

2

4Suprimiendo denominadores4 = x2 + y2 que es la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y radio 4.

3) 0.21m4) x= número de hombres

y= número de mujeresz= número de niños

Se plantean las ecuacionesx+y+z=222y+3z=2xCon estas dos ecuaciones no se puede saber el número de hombres por ser un sistema compatible indeterminado Con una nueva ecuaciónx=2yel sistema se puede resolver, dando como resultado, 12 hombres, 6 mujeres y 4 niños

5) Solución:

Sea T(t) la temperatura de la barra en un tiempo t, luego

T(0)=100°F,

T(20)=50°F y

TA es TA=0°F

La velocidad a la que se enfría la barra es:

dT

dt

Por la ley de enfriamiento de Newton se tiene que:

dT

dtk T T

A

Como TA= 0, queda formulado con la siguiente ecuación diferencial y sus condiciones:

dT

dtkT

T(0) = 100, T(20) = 50

Resolviendo la ecuación diferencial nos queda:

T 20( ) 50

T t( ) cekt

T 0( ) 100

100 cek 0( )

c 100

T t( ) 100ekt

Sustituyendo k en la ecuación de la solución tenemos que:

a) El tiempo necesario para que la temperatura de la barra sea de 25°F se obtiene resolviendo la ecuación T(t)=25

t = 40

Así que la barra tardará 40 min. en alcanzar una temperatura de 25°F.

b) La temperatura después de 10 minutos será:

Aproximadamente 71°F

100e20k

50

e20k 50

100

e20k 1

2

k 0.034657359 T t( ) 100e0.034657359 t

100e0.034657359 t

25

tln 0.25( )

0.034657359

T 10( ) 100e0.034657359 10( )

= 70.71